Calculo-ii - 14 4h61l

CÁLCULO II ESCUELA:

SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

DOCENTE: CICLO:

MSc. Hebert Castillo Paredes II

PERIO DO:

AGOSTO-DICIEMBRE 2014

OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series. En resumen: Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS • • • • •

Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP Conocer y evaluar integrales impropias Caracterizar y tabular sucesiones Analizar Series (CV o DV) Utilizar la serie de Taylor para aproximar funciones reales • Analizar las series de Fourier

CONTENIDOS 12. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 12.1 Integración por partes 12.2 Integración mediante fracciones parciales 12.3 Sustituciones trigonométricas 13. FORMAS INDETERMINADAS 13.1 Límites infinitos 13.2 Integrales Impropias

14. SERIES 14.1 Sucesiones 14.2 Series Infinitas (CV, DV) 14.3 Convergencia (Criterios) 14.4 Serie de Taylor 14.5 Series de Fourier

Capítulo 2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

2.1

INTEGRACIÓN POR PARTES

Método que surge de la formula de la derivada de un producto:

Ejemplo 1:

Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden: LOGARÍTMICA, INVERSA TRIGONOMÉTRICA, ALGEBRAICA, EXPONENCIAL

Ejemplo 2:

u = x, du = dx x x dv = e dx, v = e

Ejemplo 3:

 log( x)dx

1 u  log( x ),.....du  dx x dv  dx,......v  x

Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:

Caso Especial: Doble integración por partes Ejemplo 4:

(1)

(2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene:

2.2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES) •Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios) •Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más fracciones simples

P( x) f ( x)  Q ( x ) R( x)

CASO 1: Funciones de la forma Grado P(x) > Grado Q(x) (impropia)

P( x) f ( x)   C ( x)  Q( x) Q( x)

Propia

Ejemplo: Donde:

Caso 2: Si::

, Grado P(x) < Grado Q(x) (propia)

Se hace la descomposición:

Donde:

constantes reales.

Ejemplo 1:

Igualando numeradores:

Se forma un sistema de ecuaciones lineales:

Resolviendo se obtiene:

Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas

Entonces: Ejemplo:

Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas. Q(x) posee factores cuadráticos de la forma:

Entonces:

Ejemplo:

Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

Luego:

Se obtiene:

PROBLEMAS: MEDIANTE EL METODO DE FRACCIONES PARCIALES, RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

x2  2 x  4 1. dx 3 ( x  1)

6x  1 2.  dx 3 ( 2 x  1) x

x2 3. 2 dx 2 ( x  4)

4 x 2  3x  1 4. dx 3 2 x x

x 4  3x 2  4 5.  dx 2 ( x  1)

dx 6.  2 2 x ( x  4) 2

2.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS •Integrar funciones Irracionales (Radicales) •Utilizar identidades trigonométricas Algunos Ejemplos:

Tres casos fundamentales: (1)

a 2  u 2 ,......... .u  asen,......... . a 2  u 2  a cos 

(2)

a 2  u 2 ,......... .u  a tan ,......... . a 2  u 2  a sec 

(3)

u 2  a 2 ,......... .u  a sec ,......... . u 2  a 2  a tan 

a: constante real. Ejemplo 1: Resolver la integral

Ejemplo 2: Resolver la integral

Utilizando la identidad:

Puesto que:

=

PROBLEMAS: USE SUTITUCION TRIGONOMETRICA PARA RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

x2

1.

25  x

3.

x 9 dx 4 x

2

dx

2

5. 1  x dx 2

dx 2.  (1  x 2 )3 / 2

4. 

6. 

9  x2 dx x dx x2  4

Unidad 2 INTEGRALES IMPROPIAS

2.1.1 LÍMITES INFINITOS ¿Qué significan las siguientes expresiones?

X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.) f(x): toma valores positivos muy grandes

X: toma grandes f(x): se aproxima a 5

Gráfica de Límites Infinitos

Algunos Ejemplos Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

2.1.2 INTEGRALES IMPROPIAS b

 f ( x )dx a

CASO 1:

a   b   a   _ y _ b  

CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)

2.1.3 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO

b

f ( x ) dx  a

CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA

INTEGRALES CONVERGENTES Si existe el límite

INTEGRALES DIVERGENTES Si limite es infinito (+/-)

INTEGRALES OSCILANTES Si no existe limite

NÚMERO FINITO DE SINGULARIDADES

Asíntota = Singularidad

Algunos Ejemplos Ejemplo 1: Esquematizar la región.

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

PROBLEMAS: USE INTEGRACION IMPROPIA Y RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

Unidad 3 SERIES INFINITAS

3.1 SUCESIONES Aplicaciones de los naturales en los reales: a: N  R n  an Ejemplo: número e

¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!

Sucesiones Monótonas Ejemplo: Analizar la monotonía de la sucesión

a n   2n

Paso 2

Paso 1

a1  2

a n  a n1

a2  4

2 n  2 n1

a3  8 a1  a 2  a 3  ... estrictame nte _ creciente

2n  2n 2 1  2.....verdad

 La sucesión es monótona

3.2 SERIES INFINITAS Sumas parciales

S1  a1 S 2  a 1 a 2 S 3  a 1 a 2 a 3 . . . S n  a1 a 2 a 3  ...  a n

N-ésima suma parcial

¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite la serie converge !!!

3.3 CONVERGENCIA

EJEMPLOS Serie armónica Serie geométrica

divergente

PROPIEDADES Adición: Producto por escalar: CRITERIOS DE CV

Criterio del cociente

Criterio de la raíz

Criterio de la INTEGRAL

3.4 SERIE DE TAYLOR

Polinomio de Taylor:

Residuo de Taylor:

La serie de Taylor se rebautizará "serie de Maclaurin" para x = 0

Brook Taylor

ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin

3.5 SERIE DE FOURIER