Concepto De Funcion, Dominio E Imagen 4j3238

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MATEMÁTICAS I 

UD FUNCIONES 

1. Concepto de función. Dominio e Imagen.  Una  función  es  una  relación  entre  dos  variables,  de  forma  que  a  cada  valor  de  la  variable  independiente x, le asocia un único valor de la variable dependiente y, que llamaremos imagen de  x.  Decimos  que  y  es  función  de  x  y  lo  representamos  por  .  En  adelante  usaremos  la  terminología función real de variable real, o sea,  : . Esta notación es necesario que quede  muy claro lo que significa, vamos a explicarla con suficiente claridad: 

:

    La primera   que nos encontramos corresponde al espacio donde la   toma sus valores, esto es  donde va a estar incluido el dominio. La segunda   nos indica el espacio a donde va la   por  , es  ”, que es lo que venimos llamando el espacio  decir, en este espacio están todos los valores “ imagen o recorrido.  Vamos a recordar ahora dos conceptos ligados al de función, el dominio y la imagen aunque este  último sea menos importante.   , esto es,  El DOMINIO de una función es el conjunto de valores de   para los cuales existe  ,   La IMAGEN de una función es el conjunto de valores que puede tomar  , esto es,  ,   A) FUNCIONES POLINÓMICAS   y  Son funciones de la forma  su dominio es siempre   .  1 ( x + 1) 6           Ejemplo:  f ( x ) = x 4 − 5 x 3 + 2 1000 B) FUNCIONES RACIONALES  Son  de  la  forma:    Donde  ,   son  funciones  polinómicas.  Su  dominio  es  .  Ejemplo: 

f ( x) =

36 x + 4 x3 − 4 x 2 − 5 x 5

  para  calcular  el  dominio  de  una  función  racional  tomo  el 

denominador  y  lo  igualo  a  cero.  Resuelvo  la  ecuación  que  me  queda  y  automáticamente  obtengo  que  el  dominio  es  todos  los  números  reales  menos  las  soluciones  que  me  hayan  salido. En nuestro ejemplo:  ⎧x = 0 ⎪ 3 2 x − 4 x − 5 x = 0 → ⎨ x = −1 ⇒ Dom( f ) = \ − {−1, 0,5}   ⎪x = 5 ⎩ C) FUNCIONES RADICALES 

{ x ∈ \ / g ( x) ≥ 0} ⎪⎧n par , f ( x) = n g ( x) → Dom( f ) = ⎨   ⎪⎩n impar , \ Ejemplo:  f ( x) = −3x 2 − 9 x primero  vamos  a  quedarnos  sólo  con  lo  que  hay  dentro  de  la  raíz  cuadrada  y  lo  vamos  a  poner  mayor  o  igual  que  cero.  A  continuación  resolveremos  la  inecuación.  −3 x 2 − 9 x ≥ 0 →                ⇒ Dom ( f ) = [ −3, 0 ]  

      D) FUNCIONES LOGARÍTMICAS  f ( x) = Log a ( g ( x)) ⎫ ⎬ → Dom( f ) = { x ∈ \ / g ( x) > 0}   f ( x) = Ln( g ( x)) ⎭ Ejemplo:  f ( x) = Ln( −3 x 2 − 9 x) primero  vamos  a  quedarnos  sólo  con  lo  que  hay  dentro  del  logaritmo neperiano y lo vamos a poner mayor estricto que cero. A continuación resolveremos  la inecuación y la solución es el dominio que queremos calcular.  −3 x 2 − 9 x > 0                ⇒ Dom ( f ) = ( −3, 0 )    

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  FUNCIONES EXPONENCIALES  f ( x) = a g ( x ) ⎫⎪ ⎬ → Dom( f ) = Dom( g )   f ( x) = e g ( x ) ⎪⎭ 5x

F)

Ejemplo:  f ( x) = π x −1 para  calcular  el  dominio  de  cualquier  exponencial  lo  que  hacemos  es  calcular el dominio de la función que haya en el exponente. Por tanto calculamos el dominio  5x de  g ( x) =   Dom ( f ) = Dom ( g ) = \ − {1}   x −1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)  f ( x) = sen( g ( x)) ⎫ ⎬ → Dom( f ) = Dom( g )   f ( x) = cos( g ( x)) ⎭ ⎧ f ( x ) = sen( x) → Dom( f ) = \ ⎪⎪ Ejemplos:  ⎨ f ( x ) = cos( x) → Dom( f ) = \   ⎪ 4 2 4 2 ⎪⎩ f ( x ) = cos( x − 1) → Dom( f ) = Dom( x − 1) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞ )

G) FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE  2k + 1 ⎫ ⎧ f ( x ) = Tg ( g ( x)) → Dom( f ) = ⎨ x ∈ R / g ( x ) ≠ π⎬  2 ⎩ ⎭ 2k + 1 ⎧ ⎪⎪ f ( x) = Tg ( x) → Dom( f ) = \ − 2 π Ejemplos:  ⎨   ⎪ f ( x) = Tg (2 x) → Dom( f ) = \ − 2k + 1 π ⎪⎩ 4 H) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO  Se  define  la  función  valor  absoluto  como   6 , 0 | |   5 , 0 4   , 0 3 | |   , 0 2   1     6 4 2 2 4 6                   De aquí podremos directamente definir el valor absoluto de funciones de todo tipo. En este curso trabajaremos y encontraremos  solamente  valor  absoluto  de  polinomios  de  grado  no  mayor  a  2.  Veamos  algunos  ejemplos  que  4 puedan ayudarnos a dominar este tipo de funciones.    3   Ejemplo 1  1 , 1 0 1 1 2 | | 1| 1| 1, 1 0 1 1 1, 1   1 , 1 1   Ejemplo 2  2|”, con esto no  podemos hacer nada, primero hay  2 Imaginamos que sólo nos dan  esto:  “| 1 1 que transformarla a una función a trozos. Una vez tenemos la función a trozos entonces estudiamos  lo que nos pidan (continuidad, derivabilidad, …)  1     Vamos a transformarla:  2  

2   

2

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2|

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2 ,

2

0

2,

2

0

1

2 1

2

 

    Entonces  nos  quedaría  esta  función  de  la  forma  siguiente.  Primero  distinguimos  y  ordenamos  los  intervalos,  éstos  serían:  ∞ , 1 , 1 , 2 , 2 , ∞ .  Ahora  observando  en  la  partición  de  valor  absoluto  que  hemos  hecho  ahí  arriba  y  al  tener  tres  intervalos, obtenemos:    2, 1 | 2| 2 , 1 2  2, 2   Cuya representación gráfica quedaría así:      4         3         2       1           2 1 1 2 3     Así pues para calcular el dominio de una función valor absoluto se hace como si no tuvieras el valor absoluto 

 

2. Puntos de corte con los ejes  Para hallar los puntos de corte con los ejes de una función  de la siguiente manera:  Puntos de corte con el eje de ordenadas,  :               .  Puntos de corte con el eje de abscisas,  :                  0 .  Ejemplo:  2x − 6   y= 2 x −4                                  

3   

 no hay más que igualar a cero  0 , es decir, 

0 en la ecuación 

, es decir, 

0 en la ecuación 

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3. Monotonía de una función  Diremos que una función es creciente si para cada dos valores  , se cumple que     ,  se  cumple  que   Diremos  que  una  función  es  decreciente  si  para  cada  dos  valores    , se cumple  Diremos que una función es estrictamente creciente si para cada dos valores    que  ,  se  Diremos  que  una  función  es  estrictamente  decreciente  si  para  cada  dos  valores    cumple que      

                   

4   

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4. Simetrías de una función  Diremos que una función   es simétrica respecto:  a) Origen de coordenadas  0,0  si se cumple que 

 

                      b) Eje 

 si se cumple que 

 

                     

5. Periodicidad de una función  Diremos que una función   es periódica de período   si se cumple que  Ejemplos:  f ( x) = sen( x) → sen( x) = sen( x + 2π ) → Τ = 2π f ( x) = cos( x) → cos( x) = cos( x + 2π ) → Τ = 2π   f ( x) = Tg ( x) → tg ( x) = tg ( x + π ) → Τ = π  

5   

. 

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6. Construcción  de  una  función  por  transformaciones  elementales  Consideremos una función   y su representación gráfica. También consideremos una constante  real positiva  . Entonces:  a)  es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de   respecto del eje   b)  es una función cuya gráfica es la de   desplazada hacia arriba   unidades  c)  es una función cuya gráfica es la de   desplazada hacia abajo   unidades  d)   es  una  función  cuya  gráfica  es  la  de    desplazada  hacia  la  izquierda    unidades  e)   es  una  función  cuya  gráfica  es  la  de    desplazada  hacia  la  derecha    unidades  Ahora  vamos  a  aprender  estas  cinco  premisas  para  ampliar  nuestro  rango  de  representación  de  funciones. Hazte a la idea de que la línea curva negra es la gráfica de una función  . Se pide calcular:  ,

,        

,

 

,      

     

6   

 

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7. Composición de Funciones  Supongamos A, B, C, D intervalos de  , de forma que . Entonces vamos a definir una nueva  operación  llamada  composición  entre  funciones.  Bien,  pues  sean  dos  funciones  f : A → B y g : C → D .  De  forma  que  la  Im( f ) ⊆ Dom( g ) .  Entonces  se  tiene  que:      f g A ⎯⎯ → B ⊆ C ⎯⎯ → D ⎫⎪ ⎬ ⎯⎯→ gD f A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → D ⎪⎭

( g D f )( x) = g ( f ( x))  

¿Cómo compondremos nosotros dos funciones?, veámoslo con un ejemplo:  f ( x) = −3 x + 1 g ( x) = e12 x

   

( f D g )( x) = f ( g ( x)) = f (e12 x ) = −3(e12 x ) + 1 ( g D f )( x) = g ( f ( x)) = g (−3 x + 1) = e12( −3 x +1)

 

8. Función Inversa  La  función  inversa  de  una  función  ,  se  representa  por  componerla con  , nos sale  .  f ( x) = Ln( x) ⎫ ⎬  g ( x) = e x ⎭                   ( f D g )( x) = f ( g ( x)) = f (e x ) = Ln(e x ) = x ( g D f )( x) = g ( f ( x)) = g (−3 x + 1) = e Ln ( x ) = x

,  es  aquella  función  tal  que  al 

 

De esta forma decimos que   y   son funciones inversas la una de la otra  MÉTODO PARA HALLAR LA INVERSA  1) Partimos de    2) Cambio   y me queda    3) Despejo   en la igualdad del segundo paso  4) Me queda    Practica con la función  3 1  2) 3) y = −3x + 1 ⎯⎯ → x = −3 y + 1 ⎯⎯ →

x −1 −x +1 4 = y ⎯⎯ → y = f −1 ( x) =   −3 3

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