Kalkulus Fungsi, Jenis-jenis Fungsi, Operasi Fungsi 1h6v4g

FUNGSI Anggota Kelompok :

1.Amanah Febrian Indriani (4611415001)

2.Triyana Fadilla (4611415007)

3.Adinda Audia Caessarani .A (4611415015)

4.Hafid Alpin Al Gazni (4611415016)

Pengertian Fungsi • Relasi : aturan yang mengawankan/

mengkaitkan/ menugaskan 2 himpunan • Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya :

x1 , x2  A, Untuk MA 1114 Kalkulus I setiap

jika

x1  x2 , maka

f  x1   f  x2 

2

Pengertian Fungsi Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:AB yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut codomain dari f. Relasi di bawah ini merupakan fungsi A

B

a

1

i

2

u

i

3

e

4

o

5

MA 1114 Kalkulus I

3

Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi : Tidak ada kaitan dgn anggota B

A

a mempunyai 2 nilai

B

a

1

i

2

u

3

e

4

o

5

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B. MA 1114 Kalkulus I

4

Pengertian Fungsi

Jelajah :  y f  x   y, x  A  B

Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf Contoh : 1. Carilah domain dan range dari fungsi :

1 f  x  4x  3 Jawab : a. Mencari domain MA 1114 Kalkulus I

5

Pengertian Fungsi syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

4x  3  0

3 x 4

3 3 Sehingga D f    ,     ,   atau     3  4  4   

4

b. Mencari Range 1 y ,4 x  3  0 4x  3

y  4 x  3  1

R f    ,0    0,   MA 1114 Kalkulus I

6

Contoh 2. Carilah domain dan range dari fungsi :

x2 f  x  3x  1 a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

3x  1  0 1 x 3

 1     3

1  1  Sehingga D f    ,     ,   = 3  3   MA 1114 Kalkulus I



7

Contoh b. Range

x2 f  x  y  3x  1

3 xy  y  x  2 3 xy  x  2  y

x 3 y  1  2  y 2 y x 3y 1 MA 1114 Kalkulus I

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,

3y 1  0

1 y 3

Jadi



1  1  R f    ,    ,   3  3  

1  Atau      3 8

Contoh 3. Carilah domain dan range dari fungsi : f  x   x2  5x  6

a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

 x2  5x  6  0

 x2  5x  6  0   x  2  x  3  0 TP = -2, -3 MA 1114 Kalkulus I

++

--3

++ -2

Jadi D f    3,2 9

Contoh b. Mencari Range

 1  2 y 1  2 y   0

f  x  y   x2  5x  6

1 1 TP   , 2 2

y 2   x2  5x  6





 x2  5x  y 2  6  0 Agar x   , maka D ≥ 0





 25  4.1 y 2  6  0  25  4 y 2  24  0  1 4 y2  0 MA 1114 Kalkulus I

--

++ 1

2

-1

2



1 1 Jadi, R f    ,    0,    2 2

1   0,   2

Karena y0



10

Macam-macam Fungsi Macam-macam fungsi : 1. Fungsi polinom

f  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n

-Fungsi konstan, f  x   a0 -Fungsi linier,

f  x   a0  a1 x

-Fungsi kuadrat,

f  x   a0  a1 x  a2 x 2 MA 1114 Kalkulus I

11

Macam-macam Fungsi 2. Fungsi Rasional Bentuk umum :

p x  q x 

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0

contoh : f  x 

 x  1 2 x3  x 2  1

3. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

f  x  3 x 1  2 x  2 MA 1114 Kalkulus I

12

Macam-macam Fungsi 4. Fungsi bilangan bulat terbesar/ floor

 x

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

 x  n  n  x  n  1

 5  5

  1,2  2

 3,2  3 5. Fungsi Genap Disebut fungsi genap jika f   x   f  x 

dan grafiknya simetris

terhadap sumbu y MA 1114 Kalkulus I

13

Macam-macam Fungsi Contoh : f  x  x2

f  x  x

f  x   cos x  6. Fungsi Ganjil Disebut fungsi ganjil jika f   x    f  x  dan grafiknya simetris terhadap titik asal, contoh :

f  x   sin  x  f  x   x3 MA 1114 Kalkulus I

14

Grafik dari fungsi 1. Garis Lurus

y  mx  c persamaan garis lurus yang melewati (0,c) contoh :

y  x3 3 -3

MA 1114 Kalkulus I

15

Garis Lurus  y  y1   m x  x1  Persamaan garis lurus melalui  x1 , y1  y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1 Persamaan garis lurus melalui  x1 , y1  &  x 2 , y 2  2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)

y  ax 2  bx  c Diskriminan  D  b 2  4ac MA 1114 Kalkulus I

16

Grafik Fungsi Kuadrat 

b D ,  Titik puncak =    2a 4a 

y

a >0

x D>0

MA 1114 Kalkulus I

D=0

D<0

17

Grafik Fungsi Kuadrat Contoh : Gambarlah grafik fungsi y  x 2  x  1 a =1 jadi a > 0  grafik menghadap ke atas

D  b 2  4ac  12  4 = -3 < 0

 tidak menyinggung sumbu x

MA 1114 Kalkulus I

18

Grafik Fungsi Kuadrat • Titik potong dengan sumbu koordinat • Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak ada

• Titik potong dengan sumbu y x=0y=1 dengan demikian grafik melalui (0,1)



b D  ,   • Titik puncak =   2a 4a  

1 3   ,   2 4 19

Grafik Fungsi Kuadrat Gambar grafik fungsi

y  x  x 1 2

x  ax 2  by  c D b   Titik puncak =   ,   4a 2a 

1 3

-1 

1

Untuk persamaan kuadrat

4

b Sumbu simetri =  2a

2

MA 1114 Kalkulus I

20

Grafik Fungsi Majemuk

3. Grafik Fungsi Majemuk Contoh :

1. Gambarkan grafik fungsi f ( x)  x

 x ,x  0 x    x ,x  0 y=-x

MA 1114 Kalkulus I

y=x

21

Grafik Fungsi Majemuk 2. Gambarkan grafik fungsi

1 x2 f  x    x2 x2 Grafiknya terdiri dari 2 

bagian, yaitu garis y  1 untuk x  2 dan garis y  x  2 untuk x  2

MA 1114 Kalkulus I

y  x2

y 1 2

22

Grafik Fungsi Majemuk

3. Gambarkan grafik dari fungsi x2  4 f  x  x2

f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2 Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :

 x  2  x  2    f x   x  2 MA 1114 Kalkulus I

23

atau

Grafik Fungsi Majemuk f  x   x  2 , jika x  2

Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4. Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y  x  2 kecuali titik (2,4). y  x2

4

2 MA 1114 Kalkulus I

24

Fungsi Trigonometri

• Dapat ditulis dengan persamaan y =sin x , y = cos x , y = tan x miring

depan samping