06 Analisis Metode Rayleigh 55h2l

ANALISIS DIMENSI METODE RAYLEIGH Cara Rayleigh berdasarkan anggapan bahwa sejumlah variabel berpengaruh terhadap fenomena fisik, maka hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat dinyatakan sebagai : Q1 = K Q2k2 Q3k3 .........Qnkn K : konstanta tak berdimensi Q : meliputi semua variabel yang berpengaruh dan konstanta yang diperlukan oleh sistem dimensi yang dipakai Bila sejumlah n variabel dan konstanta dimensional tersebut mengandung x dimensi primer, dapat dibentuk x persamaan dengan n-1 bilangan anu. Penyelesaian dari x persamaan menghasilkan tersebut akan menghasilkan n-x kelompok tak berdimensi. Contoh:

Tentukan persamaan yang bisa digunakan untuk menentukan laju perpindahan panas persatuan luas dari dinding pipa ke zat cair. Laju perpindahan panas bergantung pada sejumlah variabel berikut : Variabel Aliran panas per satuan luas Diameter pipa (dalam) Kecepatan rata-rata zat cair Densitas zat cair Viskositas zat cair Konstanta dimensional Panas spesifik zat cair Konduktivitas termal zat cair Beda suhu

Lambang q/A D V ρ µf gc k ΔT

Dimensi

HL-2t-1 L Lt-1 ML-3 FL-2t MLF-1t-2 HM-1T-1 HL-1t-1T-1 T

q/A = K (D, V, ρ, µf, gc, , k, ΔT)

(1)

q/A = [D]a [ V]b [ρ]c [µf]d [ gc]e []f [k]g [ΔT]h

(2)

[HL-2t-1] = [L]a [ Lt-1]b [ML-3 ]c [FL-2t ]d [MLF-1t-2 ]e [HM-1T-1 ]f [HL-1t-1T-1]g [T]h

(3)

Bila syarat homogenitas dimensi diterapkan, maka dapat ditulis serangkaian persamaan: Eksponen H :

1=f+g

(4)

Eksponen L :

-2 = a + b – 3c – 2d + e – g

(5)

Eksponen t :

-1 = -b + d – 2e – g

(6)

Eksponen M:

0= c + e – f

(7)

Eksponen F :

0=d–e

(8)

Eksponen T: 0 = - f – g + h

(9)

Jadi ada 8 anu dan 6 persamaan. 6 diantara anu dapat kita nyatakan dengan 2 yang lain. Jadi dua huruf sembarang harus tetap ada. Hasil akhir akan sama berlakunya untuk semua pilihan. Huruf b dan f akan kita pertahahankan. 6 huruf lainnya dieliminasi. Dari persamaan 4 g=1–f

(10)

Dari persamaan 9 dan 10 h=f+g=1

(11)

Dari persamaan 8 d=e

(12)

Dari persamaan 6 dan 12 2e – d = 1 – b – g = e = d

(13)

Dari persamaan 10 dan 13 d=e=1–b -1+f=f–b

(14)

Dari persamaan 7 dan 14 C=f–e=f–f+b=b

(15)

Dari persamaan 5, 10, dan 15 a = - 2 – b + 3c + 2d – e + g a = -2 –b + 3b + 2f – 2b – f + b -1 – f a=b–1 Subsitusi nilai-nilai dari persamaan 10 sampai 16 ke Persamaan 3.

(16)

Semua eksponen yang mempunyai eksponen integral dikumpulkan dalam satu gugus, dan yang mempunyai eksponen b dalam gugus kedua, sedang yang yang mempunyai eksponen f dalam gugus ketiga, sehingga 𝑞𝐷 𝐷𝑉𝜌 = 𝐴𝑘∆𝑇 𝜇𝑓 𝑔𝑐

𝑏

𝐶𝑝𝜇𝑓 𝑔𝑐 𝑘

𝑓

Masing-masing gugus tanpa dimensi. Setiap fungsi apa saja dalam ketiga gugus itu akan homogen secara dimensional, dan persamaannya merupakan persamaan tanpa dimensi. Hasil akhir analisis dimensi: 𝑞𝐷 𝐷𝑉𝜌 𝐶𝑝𝜇𝑓 𝑔𝑐 =𝐾 , 𝐴𝑘∆𝑇 𝜇𝑓 𝑔𝑐 𝑘 𝑞 𝑘∆𝑇 𝐷𝑉𝜌 𝐶𝑝𝜇𝑓 𝑔𝑐 = 𝐾 , 𝐴 𝐷 𝜇𝑓 𝑔𝑐 𝑘 Bentuk K ditentukan dari eksperimen, dengan menentukan efek dari masing-masing gugus dari dalam kurung terhadap nilai gugus pada ruas kiri. Latihan: Tentukan persamaan yang bisa digunakan untuk menentukan koefisien film perpindahan panas antara dinding pipa lurus dan fluida yang mengalir di dalamnya. Ada beberapa variabel yang berpengaruh terhadap koefisien film perpindahan panas antara dinding pipa lurus dan fluida yang mengalir di dalamnya. Variabel tersebut beserta dimensinya adalah: Variabel Koefisien film Diameter pipa (dalam) Kecepatan linier fluida Density fluida Viskositas absolut fluida Konduktivitas termal fluida Kapasitas panas fluida Konstanta dimensional

Lambang h D V ρ µ k gc

Dimensi

FL-1t-1T-1 L Lt-1 ML-3 ML-1t-1 Ft-1T-1 FLM-1T-1 MLF-1t-2