07-regresion Y Correlacion 3gzr

Ing. de Sistemas e Informática – Ing. Industrial

UAP Inferencia Estadística

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Si a cada unidad estadística se le observa simultáneamente dos variables cuantitativas entonces se obtiene dos series de datos emparejados. En este caso con frecuencia se desea conocer si ambas variables están relacionadas o si son independientes. Unidad estadística Variable: X Variable: Y

: : :

1 X1

2 X2

3 X3

Y1

Y2

Y3

............ ............

n Xn

Yn

Es decir, se tiene n observaciones bidimensionales:

( X i , Yi ) :

(X1 , Y1) , (X2 , Y2) , ........ ,

(Xn , Yn)

Diagrama de esparcimiento Cada par de datos representa un punto en el sistema cartesiano.

Este conjunto de puntos ( X i , Yi ) se llama “diagrama de esparcimiento”, “diagrama de dispersión”, “dispersigrama” o ”nube de puntos”. El diagrama de dispersión puede tomar diferentes formas:

Entonces, según la forma del diagrama de dispersión; podemos pensar en un modelo matemático que mejor describa la relación existente entre X e Y. El sentido de la regresión es el de predicción de una variable basándonos en el conocimiento de otra. Profesora: Gladys Enríquez Mantilla

272

UAP


Inferencia Estadística Regresión Es un método que se emplea para encontrar una función que se adapte o ajuste a un diagrama de esparcimiento con la finalidad de poder obtener una predicción aproximada de una de las variables a partir de la otra. El objetivo de un análisis de regresión es investigar la relación estadística que existe entre una variable dependiente Y y una o más variables independientes X1 , X2 , ...... , X k . Para poder realizar esta investigación, se debe postular una relación funcional entre las variables. Debido a su simplicidad analítica, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación lineal. Cuando solo existe una variable independiente, esto se reduce a una línea recta: Y  f (X) Donde: X : variable predictora (variable independiente o explicativa) Y : variable predictando o variable respuesta (variable dependiente o explicada). Al analizar los siguientes diagramas de dispersión: La nube de puntos parece ajustarse bien a una recta.

Una línea recta de pendiente positiva puede aproximarse a casi todos los puntos. Un análisis de regresión está justificado.

No hay indicios de existencia de relación.

Cualquier recta que se trace deja a muchos puntos alejados de ella. Hacer un análisis de regresión no tiene sentido.

El ajuste lineal no parece adecuado para este dispersigrama.

Existen observaciones atípicas (outliers).

Existe relación pero no lineal.

Probablemente influyan en la estimación de la recta.

Correlación Es el método empleado para determinar el grado de relación entre las variables que se estudian para así determinar en qué medida una relación funcional describe o explica de una forma adecuada la relación entre estas variables. Explica el grado de la bondad del ajuste del modelo de regresión.

Profesora: Gladys Enríquez Mantilla

273


UAP Inferencia Estadística Coeficiente de Correlación Lineal Simple:

r (Coeficiente de Pearson)

Indica si hay relación lineal entre dos variables y el grado de esta relación (alta, baja o nula). Permite contestar ¿qué tan estrecha es la relación entre X e Y? El signo de r tiene que ver sólo con la dirección de la relación entre dos variables, ya sea directa o inversa y la magnitud del coeficiente tiene que ver con la intensidad o estrechez de la relación. El valor de r puede ser positivo, negativo o cero.

1  r   1

La correlación es tanto más fuerte a medida que r se aproxima a –1 ó +1 y es tanto más débil a medida que se aproxima a 0. Nota: 

Si r  0,75 la recta de regresión será una buena estimación.



Todo r  0 indica cierto grado de relación entre dos variables



Una correlación baja no siempre significa ausencia de relación ya que puede existir una correlación curvilínea muy estrecha.

r  1 Existe una relación lineal directa perfecta (positiva) entre las dos variables. Es decir, las puntuaciones bajas de X se asocian con las puntuaciones bajas de Y, mientras las puntuaciones altas de X se asocian con los valores altos de la variable Y.

r  1 Existe una relación lineal inversa perfecta (negativa) entre las dos variables. Es decir, las puntuaciones bajas en X se asocian con los valores altos en Y, y las puntuaciones altas en X se asocian con los valores bajos en Y.

r  0 No existe una relación lineal entre las dos variables estudiadas.


274



Fórmulas para calcular el Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson:

r 

 XY   X Y 2  2 n 2 2   X   X   n  Y   Y   n

Forma de Regresión:

r 

Conociendo a y b :

b . b

r 

a

 Y  b  XY  n Y2  Y2  n Y2

Ejemplo: Una encuesta entre vendedores de autos usados para determinar la relación entre la cantidad de anuncios clasificados y la venta de autos usados, dio los siguientes resultados del número de avisos clasificados y el número de automóviles usados vendidos para cada uno de los negocios que no utilizaron ningún otro medio publicitario. Nº Anuncios clasificados Nº Autos vendidos

: :

74 139

45 110

50 95

38 78

29 60

17 54

Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. Solución:

r

6  25608  253  536 ( 6  12575  253 2 ) ( 6  53046  536 2 )

 0.958

Un modelo lineal es confiable, por lo tanto se pueden realizar pronósticos.

Estadísticas – Estadísticas Básicas – Correlación…

Al hacer clic en Aceptar.


275



r2

Coeficiente de Determinación:

Determina el porcentaje de la variación total de Y que queda explicada por la ecuación de regresión. Mide la bondad del ajuste de la línea de regresión.

0  r2  1 Ejemplo:

r  0.958

r2  0.9582  100  92%



El 92% de los cambios que se producen en el número de autos vendidos pueden ser atribuidos a los cambios que se producen en el número de anuncios clasificados, mientras que el 8% de dichos cambios se pueden atribuir a otros factores que no han sido tomados en cuenta en este caso o a efectos aleatorios. Covarianza:

S xy

La covarianza entre dos variables es un estadístico resumen indicador de si las puntuaciones están relacionadas entre sí. El signo de la covarianza nos dice si el aspecto de la nube de puntos es creciente o decreciente, pero no nos dice nada sobre el grado de relación entre las variables. La fórmula para calcular la covarianza es:

SXY  Cov ( X , Y ) 

 XY   X .  Y n

n

n

Una covarianza positiva significa que existe una relación lineal positiva entre las dos variables, cuando es negativa significa que existe una relación lineal inversa (negativa) entre las dos variables; cuando es cero se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas. Ejemplo. Usando los datos de la encuesta entre vendedores de autos usados para determinar la relación entre la cantidad de anuncios clasificados y la venta de autos usados, se tiene:

SXY 

25608 253 536    501 .11 6 6 6

Como la covarianza es positiva entonces podemos concluir que existe una relación lineal positiva entre el número de autos vendidos y el número de avisos clasificados. Modelos de Regresión: Estudian la relación cuantitativa (estocástica) entre una variable de interés Y (respuesta o dependiente), y un conjunto de variables explicativas ( x1 , x 2 , .... , x n ) (regresoras o independientes)


276



MODELO DE REGRESION BIVARIABLE LINEAL Modelo de Regresión de Y sobre X: Sea ( x1, y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ..... . ( x n , y n ) observaciones de las variables X e Y para una muestra de tamaño n, donde ( y1 , y 2 , .... , y n ) son independientes. El modelo de regresión lineal simple está dado por:

Yi     X i  e i Donde  y  son parámetros desconocidos, ( x1 , x 2 , .... , x n ) son valores fijos y ( e1 , e 2 , ... , e n ) son errores aleatorios. Recta de Regresión de Y sobre X:

ˆ  a  bX Y

Se llama así a la recta que atraviesa el diagrama de esparcimiento y que mejor se ajusta a él. Si llegamos a conocer la ecuación, se podrá llegar a estimar valores de Y desconocidos a partir de valores de X conocidos. Y = f(X) Variable Predictando

Variable Predictora

Y : variable predictando, predicha, explicada o respuesta. X : variable predictora o explicativa. Y = a + bX + ei

e : error de estimación, residuo, error residual.

Error o residuo: e i Es la distancia que hay del valor observado a la recta de regresión. Puede ser positivo o negativo. El error de cada dato se calcula mediante: ˆi ei  y i  y El promedio de los errores es igual a cero, al igual que la suma.

Recta de Regresión de X sobre Y:

ˆ  a'  b' X X

Si se hubiera tomado Y como variable predictora o explicativa y X como predictando o explicada, la recta de regresión estima X a partir de los valores de Y. X = f(Y) Variable Predictando

ˆ = a + bY + ei X


Variable Predictora ei : errores de estimación.

277



Rectas de Regresión de Y sobre X y de X sobre Y

Ambas rectas de regresión, se cortan en el punto cuyas coordenadas corresponden a las medias de ambas variables: ( x , y ) , a este punto se le suele llamar centro de gravedad G de la distribución Por lo general: a  a y b  b Por lo tanto la ecuación de regresión de Y sobre X difiere de la ecuación de regresión de X sobre Y. Sólo cuando la coincidencia entre los puntos reales y la recta de regresión sea perfecta, entonces ambas rectas de regresión serán iguales.

a  a'

y

b  b'

En este caso, las dos rectas de regresión son coincidentes, entonces los datos quedan perfectamente descritos por una relación lineal. La predicción es perfecta.

Los datos presentan una mejor relación lineal a medida que las dos rectas se acercan.

Si ambas rectas son perpendiculares entonces los datos no presentan una relación lineal.

Interpretación de a y b a:

es la intersección de la recta de regresión con el eje Y. Es el valor que toma la variable predictando Y cuando la variable predictora X es cero.

b:

Coeficiente de regresión. Es la pendiente de la recta. Debe tener el mismo signo que r. Es la cantidad de cambio de la variable predictando Y asociada a un cambio unitario de la variable predictora X.


278


UAP Inferencia Estadística Si la recta presenta pendiente positiva: b > 0

Existe una relación lineal directa o positiva (cuando X aumenta Y también aumenta).

Ejemplo: Si Y = 2 + 0.7 X

donde:

X : Horas de estudio

Y : Nº de respuestas correctas.

Horas de estudio a =2 Cuando la alumna no estudia, se espera que obtenga 2 respuestas correctas. b = 0.7

1

Por cada hora que se incremente en las horas de estudio, se espera que el número de respuestas correctas se incremente en aproximadamente 1. Si la recta presenta pendiente negativa: b < 0

Existe una relación lineal inversa o negativa. (cuando X aumenta Y disminuye)

Ejemplo: Si Y = 19 – 2.2 X

donde:

X: Horas de estudio

Y : Nº de errores cometidos.

Horas de estudio Profesora: Gladys Enríquez Mantilla

279


UAP Inferencia Estadística a = 19

Cuando la alumna no estudia, se espera que cometa 19 errores. b = -2.2

 -2

Por cada hora que se incremente en las horas de estudio, se espera que el número de errores disminuya en aproximadamente 2. En algunas situaciones, “a” no tiene una interpretación realista si el cero no es un punto del rango de la X. Por ejemplo, al estudiar la relación entre las variables peso y estatura de un grupo de personas; no podría decirse que si la estatura de una persona es 0, se espera que su peso sea tal.

Según el signo de “b”, se tiene:

b 0 Existe relación lineal directa

b0 Existe relación lineal Inversa

b 0 No existe Relación

Según el signo de a y b, un modelo lineal puede presentar cualquiera de las siguientes formas:

a0 b0

a0 b0

a0 b0

a0 b0

Un valor atípico o outlier modifica de forma importante la recta de regresión ajustada.


280



MÉTODO DE MINIMOS CUADRADOS Al observar el diagrama de esparcimiento se puede ver que ninguna recta pasará por todos los puntos, entonces ¿cuál será la mejor? El método de mínimos cuadrados es una técnica empleada para llegar a la ecuación de regresión minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores Y verdaderos y los valores pronosticados de Y. Este método supone que la recta de mejor ajuste es aquella para la cual la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos (Xi , Yi) a la recta es mínima.

Si entre estas variables existiera una relación lineal perfecta, entonces todos los puntos caerían sobre la recta de regresión, que también ha sido trazada y que muestra la relación “promedio” que existe entre las dos variables. En la práctica, se observa que la mayoría de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino que están “dispersos” en torno a ella. Esta dispersión representa la variación en Y que no puede atribuirse a la variación en X.

Y  abX

MODELO DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X

ˆ i )2 ( Yi  Y  d2i   e2i    Esta expresión se minimiza derivando: S  0 a



 

S   ˆ i )2   ( Yi  Y a a a  ( Yi  a  bX i )2  2 a



= = = 

na 

b

 Xi




 mínimo

S

S  0 b

 ( Y  (a  bX )   0 i

i

2

 ( Yi  a  bX i )(1) 2  (  Yi  a  b Xi )  2 Yi  2 a  2 b Xi   Yi  n a  b Xi  0  Yi

281





 

S  ˆ i )2  ( Yi  Y b b  ( Yi  a  bX i )2 b





= = a

 Xi



b

 X2i

 ( Y



 (a  bX i ) )2  0

i

 ( Yi  a  bX i ) (Xi ) 2  (  Xi Yi  a Xi  b X2i )  2  Xi Yi  2 a Xi  2 b X2i   X i Yi  a  X i  b X2 i  0

 2 =



 b



 Xi Yi

Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones Normales: na  a

 Xi



 Xi b  X2 i b

 

 Yi  Xi Yi

Al resolver estas ecuaciones usando la regla de Cramer se obtiene:

a 

 X2  Y   X  XY 2 n  X2   X 

b 

MODELO DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y

 XY   X  Y 2 n  X 2   X

n

X  a  b Y

Las ecuaciones normales o paramétricas de regresión son:

 a n  b   a Y  b  



Y  Y2

 

X X Y

Al resolver estas ecuaciones usando la regla de Cramer se obtiene:

a' 

 Y2  X   Y  XY 2 n  Y 2   Y 

b' 

 XY   Y  X 2 n  Y 2   Y 

n

Forma matricial Ecuación de Regresión de Y sobre X:

 a n     b  X 



1

 X    Y      X2    XY 


Ecuación de Regresión de X sobre Y:

 a n     b  Y 



1

 Y    X      Y2    XY  282


UAP Inferencia Estadística Ejemplo:

Tomando los datos de la cantidad de anuncios clasificados y el número de autos vendidos: Nº Anuncios clasificados Nº Autos vendidos a)

: :

74 139

45 110

50 95

38 78

29 60

17 54

Trazar el diagrama de esparcimiento.

1. Digitar los datos.

2. Graph – Scatterplot…

Clic en OK. 3. Ingresar las variables correspondientes.

Clic en OK


283



Entonces, se muestra el siguiente diagrama de dispersión: Scatterplot of AutosVend:Y vs Anuncios:X 140 130

AutosVend:Y

120 110 100 90 80 70 60 50 10

b)

20

30

40 50 Anuncios:X

70

80

Hallar las ecuaciones normales:

  a n  bX   Y  2   a X  bX  X Y c)

60



6 a  253 b  536    253 a  12575 b  25608

Ajustar un modelo lineal a los datos:

ˆ  a  bX Y

a



 X2  Y   X  XY 2 n  X2   X

b 

 XY   X  Y 2 n  X 2   X 

n





ˆ  22.80  1.58 X Y

12575  536  253  25608 6  12575  253 2

6  25608  253  536 6  12575  253 2

 22.80

 1.58

Interpretando a y b: a = 22,8  23 autos vendidos. Cuando no se publican anuncios clasificados, se espera vender aproximadamente 23 autos. b = 1,58  2 autos vendidos Por cada anuncio clasificado que se incremente, se espera que el número de autos vendidos se incremente en aproximadamente 2.


284



Stat – Regresión – Fitted Line Plot…

Clic en OK

Fitted Line Plot

AutosVend:Y = 22,85 + 1,577 Anuncios:X S R-Sq R-Sq(adj)

140 130

10,2770 91,8% 89,8%

AutosVend:Y

120 110 100 90 80 70 60 50 10

d)

20

30

40 50 Anuncios:X

60

70

80

Hallar los valores estimados y los residuos o errores de estimación: Valores Reales u observados Nº Anuncios Nº Autos vend. X Y 74 45 50 38 29 17

139 110 95 78 60 54

Valores Estimados ˆ  22.8  1.6 X Y 141.2 94.8 102.8 83.6 69.2 50.0

Residuos ˆ ei  Y  Y - 2.2 15.2 - 7.8 - 5.6 - 9.2 4.0

Al observar la columna de los residuos o errores de estimación se puede apreciar que la mayoría son negativos, eso significa que se están realizando estimaciones por encima del valor real.


285


UAP Inferencia Estadística Error Estándar de Estimación (

SL )

En un diagrama de dispersión no todos los puntos coinciden con la línea de regresión. Si todos los puntos estuvieran sobre la línea no habría error al predecir la variable respuesta Y basándose en la variable predictora X. El error estándar de estimación nos da una medida de la desviación promedio de los errores de predicción en torno a la línea de regresión. Mide la dispersión de los valores observados alrededor de la recta de regresión. Es el mismo concepto de la desviación estándar. La desviación estándar mide la dispersión de los datos alrededor de la media aritmética, el error estándar de estimación mide la dispersión de los valores observados alrededor de los valores estimados (recta de regresión). El error estándar de estimación se determina por medio de:

S Y /X 

Y

2

 a

Y

 b

n  2

 XY

Ejemplo: Continuando con el ejemplo de la cantidad de anuncios clasificados y el número de autos vendidos: Nº Anuncios clasificados Nº Autos vendidos

SY/X 

: :

74 139

45 110

50 95

38 78

29 60

53046  22.8456  536  1.5768  25608 4

17 54

 10.27

En promedio los valores reales se alejan con respecto a la recta de regresión en aproximadamente 10 autos.

Intervalo de pronóstico para un valor futuro de Y:

ˆ L Li  Y s

Es frecuente desear obtener un intervalo de valores razonables para el valor de Y asociado con algún experimento futuro cuando la variable predictora X tenga un valor x 0

a  b x0  t0 SL

1 

1 n ( x0  x )2  2 n n  X2  (  X )

t 0  t1 - α/2 , n2


286


UAP Inferencia Estadística Ejemplo: Nº Anuncios clasificados Nº Autos vendidos

: :

74 139

45 110

50 95

38 78

29 60

17 54

Para 55 avisos clasificados, hallar un intervalo de pronóstico del 95% para el número de autos vendidos. Solución:

t o  t1 - α/2 , n  2  t 0.975 , 4  2.776

22.8456  1.5768  55  2.776  10.27

x 0  55

1

x  42.17

1 6 ( 55  42.17 )2  6 6  12575  253 2

ˆ  141 .48 77 .65  Y

Con una confianza del 95%, para 55 avisos clasificados se espera que el número de autos vendidos sea aproximadamente como mínimo 78 y como máximo 141.

1. Digitar los datos:

2. Stat – Regression – Regression…

3. Clic en Options….



Clic en OK y luego en OK.


287


UAP Inferencia Estadística Intervalo de confianza para β Un intervalo de confianza del ( 1   )% regresión es: L i    L s

para la pendiente



de la verdadera recta de

Este intervalo está centrado en la estimación puntual del parámetro y la cantidad que se extiende a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.

SL

b  to

X

2

t o  t1 - α/2 , n2

2  X  

n

Ejemplo: Nº Anuncios clasificados Nº Autos vendidos

: :

74 139

45 110

50 95

38 78

29 60

17 54

Hallar un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de regresión  Solución:

to  t1 - α/2 , n2  t0.975 , 4  2.776

1.5768  2.776

10.27 253 2 12575  6



0.92    2.23

Con una confianza del 95% se espera que el coeficiente de regresión  esté variando entre 0.92 y 2.23. ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA) DE REGRESIÓN El análisis de varianza consiste en descomponer la variabilidad de la variable predictando o respuesta en variabilidad explicada por el modelo más variabilidad no explicada o residual, esto permitirá contrastar si el modelo es significativo o no. El ANOVA trata de responder a la siguiente pregunta: ¿es mejor usar X para predecir la variabilidad de Y, o por el contrario se puede conseguir la misma explicación de Y sin tener en cuenta los valores de X, simplemente usando el valor más representativo de Y, esto es, su media? Si sucediera esto último, la recta del modelo tendría pendiente cero, por lo que las hipótesis a verificar son: H0 :   0

H1 :   0

Si se acepta variables.

H0

la variable predictora no influye y no hay relación lineal entre ambas


288



Con frecuencia el problema de analizar la calidad de la línea de regresión estimada se maneja a través de un enfoque de Análisis de Varianza, donde la suma de cuadrados total se particiona en dos componentes: SCT = SCR + SCE

Donde: SCR SCE

: :

Refleja la cantidad de variación de los valores de Y explicados por el lineal.

modelo

Refleja la variación alrededor de la línea de regresión. Mide cuánta variación en Y es dejada sin explicación por el modelo, es decir cuánto no se puede atribuir a una relación lineal.

Y     X i  ei

Modelo de Regresión poblacional Lineal Simple:

ˆ  a  bX Y

Línea de Regresión estimada o ajustada: Procedimiento ANOVA de regresión: 1.

2.

3.

Hipótesis:

H0 :   0

El modelo es Y   , es decir la variación de Y resulta de fluctuaciones aleatorias que son independientes de los valores de X. No existe relación lineal entre las variables.

H1 :   0

El modelo es Y     X , es decir la variación de Y se puede atribuir a las variaciones de X. El modelo lineal es significativo.

F1  , 1 , n  2

Valor Crítico:

Estadística de Prueba:

F 

CMR CME

Tabla de Análisis de Varianza Fuente de Variación Regresión

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio

SCR

SCR CMR  1

SCE CME  n- 2

1

Error

n-2

SCE

Total

n-1

SCT

Suma de Cuadrados Total (Variación Total):

SCT 


Y

2



(

F

CMR CME

 Y )2 n

289



Suma de Cuadrados de Regresión (Variación Explicada):  ( X )2  2  2  SCR  b X    n  





Suma de Cuadrados del Error (Variación no Explicada): 4.

SCE = SCT - SCR

Decisión: Si F pertenece a la región de aceptación, entonces aceptar H0

5.

Conclusión:

H

0 la variable predictora X no influye y Con una confianza del (1-) %, si se acepta no hay relación lineal entre ambas variables. En caso contrario, sí existe una relación lineal entre ambas variables.

Ejemplo: Nº Anuncios clasificados Nº Autos vendidos

: :

74 139

45 110

50 95

38 78

29 60

17 54

¿Se puede afirmar que las variaciones en el número de autos vendidos se deben a fluctuaciones aleatorias que son independientes del número de anuncios clasificados? Solución: 1.

Hipótesis:

H0 :   0 H1 :   0

2.

Valor Crítico:

F1   , 1, n  2

 F0.95 , 1 , 4  7.71 7.71

3.

CMR F   44.90 CME

Estadística de Prueba:

Tabla de Análisis de Varianza Fuente de Variación Regresión Error (residual) Total

SCT 



Y

2

Grados de Libertad 1 4 5

2  Y  

n

Suma de Cuadrados 4740.96 422.37 5163.33

 53046 


Cuadrado Medio 4740.96 105.59

F 44.90

536 2  5163 .33 6

290


UAP Inferencia Estadística  SCR  b    2



X

2

2  X  

n

   1.5768 2  

 253 2   12575    4740 .96 6  

SCE  SCT  SCR  5163 .33  4740 .96  422 .37 4.

Decisión: F = 44.90 pertenece a la región de rechazo, entonces rechazamos H0 y aceptamos H1

5.

Conclusión: Con una confianza del 95% no se puede afirmar que las variaciones en el número de autos vendidos se deben a fluctuaciones aleatorias independientes del número de anuncios clasificados.

Digitar los datos:

Stat – Regression – Regression…

Clic en Options….

Clic en OK y luego en OK.


291



REGRESIÓN Y CORRELACIÓN CUADRÁTICA SIMPLE La parábola por lo general se aplica en aquellos casos en que se presenta una parte ascendente y en seguida una descendente o viceversa. En la práctica su uso es poco frecuente sin embargo a veces se utiliza para proyecciones de utilidad, ingresos. Ecuación de Regresión Cuadrática Su gráfico:

ˆ  a  b X  c X2 Y

Para hallar los valores de a, b y c se deben resolver las siguientes ecuaciones normales:

an aX

 b  X  c  X2   Y  b  X2  c  X3   X Y

a  X2  b  X3  c  X 4   X2 Y Forma matricial

n a     X  b   c     X2 

 

 X  X2    X2  X3   X3  X4 

1

      

 Y    XY    X2Y 

Coeficiente de correlación cuadrático

r 

a

 Y  b  XY  c  X2 Y  n Y  Y2  n Y2

2

Error estándar de Estimación cuadrático

SC 

 Y2


 a

Y

 b

 XY

n  3

 c

 X2 Y

292


UAP Inferencia Estadística Ejemplo:

En la una fábrica se tienen los siguientes datos correspondientes a las horas trabajadas (en miles) que producen cierto producto (en unidades). Horas trabajadas Producción

: 1 : 25

2 15

4 10

5 10

7 15

a)


b)

Ajustar a los datos un modelo cuadrático.

8 10

8 20

9 20

10 35

12 45

Al trazar el diagrama de esparcimiento, se observa que el modelo cuadrático sería un modelo adecuado. ˆ  a  b X  c X2 Y

205  10 a  66 b  548 c 1560  66 a  548 b  5022 c 14750  548 a  5022 b  48788 c

10 66 548   66 548 5022 548 5022 48788 205 66 548 a  1560 548 5022 14750 5022 48788

b 

10 205 66 1560 548 14750

548 5022 48788

10 66 205 c  66 548 1560 548 5022 14750 







 1 337 672

40 072 580  29.957 1 337 672

 10 578 600   7.908 1 337 672

1 043 220  0.780 1 337 672

ˆ  29.96  7.91 X  0.78 X2 Y


293


UAP Inferencia Estadística c)

Hallar el volumen de producción esperado para 14 mil horas. Si X = 14:

ˆ  29.96  7.91  14  0.78  142  72 Y d)

Calculando el coeficiente de correlación cuadrático.

r 

29.957  205  7.908  1560  0.780  14750  10  20.52 5425  10  20.52

r  0.95  e)

Un modelo cuadrático sí es confiable es decir, se pueden realizar pronósticos.

Calculando el coeficiente de determinación cuadrático.

r2  0.952  90% El 90% de las variaciones que se producen en la producción se pueden atribuir a las variaciones producidas en el número de horas trabajadas, el 10% restante de estas variaciones son debidas a otros factores o a efectos aleatorios. f)

Calculando el error de estimación cuadrático.

SC 

5425  29.95696  205  7.90822  1560  0.77988  14750 7

 4.096

En promedio los valores reales se alejan con respecto a la ecuación de regresión cuadrática en aproximadamente 4 unidades.

Digitar los datos:

Stat – Regression – Fitted Line Plot…

Clic en OK


294



Fitted Line Plot

Producc:Y = 29,96 - 7,908 HorasTrabaj:X + 0,7799 HorasTrabaj:X**2 50

S R-Sq R-Sq(adj)

4,09621 90,4% 87,6%

Producc:Y

40

30

20

10 0

2

4

6 8 HorasTrabaj:X

10

12

Modelo Cuadrático

Error estándar de estimación

b)

Coeficiente de Determinación

Calcular los valores estimados y errores de estimación del modelo parabólico. Valores estimados


Errores de estimación

295



REGRESIÓN Y CORRELACIÓN EXPONENCIAL

Al graficar los valores X e Y se obtiene una curva creciente o decreciente, es decir que la variable predictora evoluciona en forma aritmética y la variable predictando evoluciona en forma geométrica. En la práctica son numerosas las variables que presentan un crecimiento geométrico: la población, ventas, salarios, ingresos, etc.

Ecuación de Regresión Exponencial:

ˆ  a . bX Y Para facilitar la determinación de las ecuaciones normales, la función anterior se linealiza aplicando logaritmos: Log Y = Log a + X log b Ecuaciones normales:

 log Y  n log a  X log Y  log a .  X

X log b .  X 2

 log b . 

Coeficiente de Correlación Exponencial:

r 

 X log Y   X .  log Y  n  X2  (  X )2   n ( log y )2  (  log Y )2  n

Ejemplo: La demanda de televisores (miles de unidades) y los gastos de publicidad (cientos de dólares) en un país desde 2008 hasta 2012 fue: Gastos de Publicidad Demanda de TV a)

: :

2 3

4 6

5 12

7 24

12 45



296


UAP Inferencia Estadística b)

Ajustar a los datos un modelo exponencial: ˆ  a . bX Y Log Y = Log a + X log b

5.37  5 log a  30 log b 38.96  30 log a  238 log b  

log a 

log b 

5.37 30 38.96 208 290 5 5.37 30 38.96





290

5 30  290 30 238

109 .26  0.38 290

33.7  0.12 290

 a  2.38

 b  1.31

Por lo tanto el modelo exponencial será:

ˆ  2.38 . 1.31X Y c)

Calcular el coeficiente de correlación exponencial:

r 

d)

5  38.96  30  5.37

5  238  30 5  6.64  5.37  2

2

 0.95  Es confiable.

Realizar e interpretar un pronóstico: Si X = 13:

ˆ  2.38 . 1.3113  79.63  80 unidades Y Cuando los gastos de publicidad sean de 1300 dólares, se espera que la demanda de televisores sea 80 000.

a)

Trazar el diagrama de esparcimiento. 1. Ingresar los datos y escribir en C3: LogY

2. Graph – Plot…

Clic en Aceptar. Profesora: Gladys Enríquez Mantilla

297



Clic en Aceptar. Se obtiene el siguiente diagrama de esparcimiento: Gráfica de dispersión de DemandaTV:Y vs. GastosPublic:X 50

DemandaTV:Y

40

30

20

10

0 2

4

6 8 GastosPublic:X

10

12

b) Hallar la ecuación de regresión exponencial. Calc – Calculator

Entonces aparecerá:

Clic en Aceptar. Profesora: Gladys Enríquez Mantilla

298


UAP Inferencia Estadística Stat – Regression – Regression…

Clic en Aceptar.

a = Antilog (0.375) = 2.37 b = Antilog (0.116) = 1.31

ˆ  2.37  1.31X Y

Error estándar de estimación c)

Coeficiente de Determinación

Calcular los valores estimados y errores de estimación del modelo exponencial.


299



REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE En la mayor parte de los problemas que se generan en la industria en que se aplica el análisis de regresión, se requiere más de una variable independiente en el modelo de regresión. La complejidad de la mayoría de los mecanismos científicos es tal que, con objeto de estar en condiciones de pronosticar una respuesta, se necesita un modelo de regresión múltiple. Por lo tanto, es razonable pensar que puedan existir varias variables independientes X i que contribuyan a explicar la variable dependiente Y. Es entonces cuando se utiliza el modelo de regresión lineal múltiple.

Regresión Múltiple En la regresión múltiple se trata de predecir una sola variable respuesta a partir de dos o más variables predictoras. Permite utilizar una mayor información disponible para estimar la variable respuesta, de esta forma se trata de aumentar la precisión del estimado.

Y 

Variable dependiente

 f ( X1 , X 2 , .... , X p )   Variables independientes

Modelo de Regresión Múltiple: Un modelo de regresión múltiple expresa una relación lineal entre una variable dependiente y dos o más variables independientes ( X1 , X 2 , .... , X p ) .

Y   0  1 X1   2 X 2  ....   p X p  e i  i mide el cambio esperado en la variable respuesta Y cuando X i aumenta en una unidad y el resto de las variables predictoras permanecen constantes.

El modelo de regresión lineal simple presenta dos componentes:


300


UAP Inferencia Estadística Ecuación de Regresión para tres variables:

Los estadísticos a través de los cuales estimaremos los valores de  0 , 1 y  2 vienen dados por las expresiones de b 0 , b1 y b 2  Y  b0  b1 X1  b2X2

Y X1 y X 2 b0 b1 y b 2

: : : :

Variable predictando (dependiente o respuesta) Variables predictoras (independiente). constante de regresión. coeficientes de regresión parcial.

La ecuación de regresión lineal múltiple de Y sobre en un sistema X1 y X 2 tridimensional de coordenadas rectangulares, representa un plano que se llama plano de regresión y es una generalización de la recta de regresión para dos variables. Esta ecuación de regresión (plano de regresión) puede escribirse como:  Y  b 0.12  b 01. 2 X1  b 02.1 X 2 Donde: Y b 0. 12 b 01. 2

b 02. 1

Varía parcialmente debido a la variación unitaria de X 1 y X 2 Es el intercepto del plano de regresión con el eje Y. Mide la variación

: : :

de Y cuando X 1 y X 2 permanecen constantes. Es la pendiente asociada a X 1 .

:

Indica el cambio (aumento o disminución) que sufrirá Y parcialmente por cada variación unitaria de X 1 cuando X 2 permanece constante. Es la pendiente asociada a X 2 . Indica el cambio (aumento o disminución) que sufrirá Y parcialmente por cada variación unitaria de X 2 cuando X 1 permanece constante.

El criterio de mínimos cuadrados localizará el plano que minimice la suma de los cuadrados de los errores de estimación, obteniéndose las ecuaciones normales:

b0 n

 b1  X1

 b2  X 2

 X1 b0  X 2

 b1 

 b 2  X1 X 2 

b0

X12



 b1  X1 X 2  b 2  X 22



Y  X1 Y  X2 Y

Al resolver simultáneamente estas ecuaciones por el método de determinantes, se obtienen los valores de b 0 , b1 y b 2 . Forma matricial

 b1   n    b 2     X1 b    3    X 2


 X1  X12  X1 X 2

 X 2   X1X 2   X 22 

1

     

 Y   X1 Y   X 2 Y  301



Supuestos del modelo de regresión lineal múltiple: Si tenemos dos variables predictoras X 1 y X 2 el modelo de regresión lineal múltiple requiere las mismas condiciones que el modelo de regresión lineal simple. Linealidad Los datos deben satisfacer una relación lineal. Los puntos se ajustan a un plano.

Si hay sólo dos variables predictoras X 1 y X 2 entonces los datos deben estar aproximadamente contenidos en un plano.

Para tres o más variables predictoras, la ecuación de regresión es un hiperplano y no podemos visualizar los datos gráficamente. Homocedasticidad La varianza debe ser constante: Var ( e i )   2

,

i :1, 2 , .... , n

La nube de puntos tiene el mismo grosor (su aspecto es de una almohada plana y de grosor constante).

Homogeneidad El valor esperado o promedio de lo errores de estimación e i es cero:

E( ei )  0 ,

i : 1, 2 , .... , n

Independencia Los errores o residuos e i son variables aleatorias independientes. Es decir, una observación no debe dar información sobre las demás. Normalidad Los errores e i tienen distribución normal: e i ~ N ( 0 ,  2 ) . Coeficientes de Correlación Simple Sólo comparan dos variables, sin tener en cuenta la tercera. Miden la proporción de la varianza de Y explicada por X 1 y X 2 exclusivamente.

r01 r02 r12

: Correlación simple entre Y y X 1 : Correlación simple entre Y y X 2 : Correlación simple entre X 1 y


X2

302


UAP Inferencia Estadística Coeficiente de Determinación Múltiple:

R 20. 12

Es una medida que representa la proporción de la variación total de Y que está explicada por el plano de regresión es decir por la influencia conjunta de X 1 , X 2 y por el azar. Mide la tasa porcentual de los cambios de Y que pueden ser explicados por X 1 y X2 simultáneamente. 0  R 20. 12  1 Cuanto más se acerca a 1, tanto menor es la dispersión de los puntos alrededor del plano de regresión y tanto mejor es el ajuste.

R 20 . 12



b0

Y

 b1  X1 Y  b 2  X 2 Y  n Y

 Y2

 nY

2

2

Interpretación de R 20. 12 : Si

X 1 : Gastos de publicidad

Y

X 2 : Precio

R 20. 12  0.95

: Ventas

El 95% de las variaciones en las ventas han sido explicadas por las variaciones en los gastos de publicidad y en el precio, quedando un 5% de la variación de las ventas que sólo puede ser explicado por factores que no han sido tomados en consideración en nuestro análisis o por aleatoriedad inherente. Correlación Múltiple La correlación múltiple indica qué tanto de la variación total de la variable respuesta o predictando puede explicarse por todas las variables predictoras actuando conjuntamente. Coeficiente de Correlación Múltiple:

R 0 . 12

Expresa el grado de relación existente entre tres a más variables. Si todos los valores de las variables, varían en forma proporcional ya sea directa o inversamente, es decir satisfacen exactamente una ecuación, se dice que las variables están correlacionadas perfectamente o que existe una relación perfecta entre ellas.

 1  R 0 . 12  1 Error estándar de estimación múltiple La estimación se hace más precisa conforme el grado de dispersión alrededor del plano de regresión se hace más pequeño.

SM 

 ( Yi

ˆ )2 Y i

n  p 1

Y : Valores observados en la muestra ˆ : Valores estimados a partir a partir de la ecuación de regresión Y n : Número de datos p : Número de variables independientes


303



Error estándar de estimación para dos variables predictoras:

S Y , X1 , X2 

Y

2

 b0  Y  b1  X1 Y  b2  X 2 Y n3

CORRELACIÓN PARCIAL Es la correlación entre dos variables cualquiera cuando los efectos de las otras variables se han controlado. Coeficiente de Correlación Parcial Mide la correlación entre la variable predictando y una variable predictora determinada, cuando todas las demás variables predictoras permanecen constantes, es decir cuando se elimina el efecto de las variables restantes. Las correlaciones parciales son importantes para decidir si incluir o no más variables predictoras. Coeficiente de Correlación Parcial para tres variables

Y  f ( X2 , X3 ) Fórmula de primer orden parcial:

rij

k



rij  rik r jk 2 (1  rik ) (1  r 2 jk )

Indica la correlación entre las variables i y j

Ejemplo:

r12 . 3 

r12  r13 r23 2 2 (1  r13 ) (1  r23 )

Correlación parcial entre

Y y

X 2 cuando X3 se

Y y

X3 cuando X 2 se

mantiene constante.

r13 . 2 

r13  r12 r32 2 2 (1  r12 ) (1  r32 )

Correlación parcial entre mantiene constante.

r23 . 1 

r23  r21 r31 2 2 (1  r21 ) (1  r31 )

Correlación parcial entre

X2

y

X3 cuando Y se

mantiene constante.


304



Coeficiente de Correlación Parcial para cuatro variables

Y  f ( X2 , X3 , X 4 ) Fórmula de segundo orden parcial:

ri j . l  rik . l r jk . l

ri j . k l 

2 2 (1  rik . l ) (1  r jk . l )

Puede permutarse k por l.

Ejemplo:

r12

34

 r13 . 4 r23 . 4

r12 . 4



Correlación parcial entre Y y X2 cuando X3 y

2 2 (1  r13 . 4 ) (1  r23 . 4)

X4 se mantienen constantes. Coeficiente de Correlación Parcial para cinco variables

Y  f ( X2 , X3 , X4 , X5 ) Fórmula de tercer orden parcial:

rij .

klm



rij .

kl

(1 

 rim . 2 rim . kl

kl

) (1 

r jm .

kl

r2 jm . kl )

Indica la correlación entre las variables i y j

Ejemplo: La siguiente tabla muestra las ventas de un artículo (en cientos), los gastos de publicidad por radio y los gastos de publicidad en periódicos (en miles de soles). Gastos de publicidad en radio (miles de soles) X1 4 7 9 12 a)

Gastos de publicidad en periódico (miles de soles) X2 1 2 5 8

Ventas (cientos) Y 7 12 17 20

Hallar la ecuación del plano de regresión. Las sumas obtenidas son:

 X1  32  X12  290  X1 Y  505

 X 2  16  X22  94  X 2 Y  276

Para hallar el plano de regresión:


Y

 56

 Y2  882  X1 X 2  159

ˆ  b  b X  b X Y 0 1 1 2 2

305



Deberán formarse las ecuaciones normales

4 b 0  32 b1  16 b 2



56

32 b 0  290 b1  159 b 2

 505

16 b 0  159 b1  94 b 2

 276

Luego, usando el método de Cramer se calcularán:

b 0 , b1 y b 2

4 32 16   32 290 159  236 16 159 94

b0 

56 32 16 505 290 159 276 159 94

b1 

b2   b)

c)

236 4 56 16 32 505 159 16 276 94 236

4 32 32 290 16 159 236

56 505 276



152  0.644 236



392  1.661 236



4  0.017 236

La ecuación del plano de regresión es:

ˆ  0.644  1.661 X  0.017 X Y 1 2

Interpretar : b 0 , b1 y b 2

b0  0.644  64 unid.

Es el incremento promedio en las ventas cuando los gastos de publicidad en radio y los gastos de publicidad en periódico permanecen constantes.

b1  1.661  166 unid.

El promedio de ventas esperadas crece en aprox. 166 unidades cuando los gastos de publicidad en radio aumentan en S/.1000, manteniéndose constante los gastos de publicidad en periódicos.

b2  0.017  2 unid.

El promedio de ventas esperadas crece en aprox. 2 unidades cuando los gastos de publicidad en periódico aumentan en S/.1000, manteniéndose constante los gastos de publicidad en radio.

Calcular el coeficiente de correlación lineal múltiple.

R0 .12  R 0 .12  0.987

0.644  56  1.661  505  0.017  276  4  142 882  4  142 Por lo tanto un modelo lineal sí es adecuado.


306


UAP Inferencia Estadística d)

Calcular el coeficiente de determinación múltiple. R 2 0 .12  ( 0.987 )2  0.975 = 97.5%

Alrededor del 98% de la variación total de las ventas se explica por medio de la ecuación de regresión. e)

Calcular los coeficientes de correlación lineal:

r01 

r02 

r12 

f)

4  505  56  32 ( 4  882  56 2 ) ( 4  290  32 2 ) 4  276  56  16 ( 4  882  56 2 ) ( 4  94  16 2 ) 4  159  32  16 ( 4  290  32 2 ) ( 4  94  16 2 )

r12 , r13 , r23

 0.9875

 0.959

 0.9706

Calcular los coeficientes de correlación parcial:

r01. 2 

r12  r13 r23 2 (1  r13

)

2 (1  r23 )



0.9875  0.959  0.9706 (1  0.959 2 ) (1  0.9706 2 )

 0.831

 Si los gastos de publicidad en periódicos fueran constantes, existiría correlación lineal alta entre las ventas y los gastos de publicidad en radio.

r02 .1 

r13  r12 r32 2 2 (1  r12 ) (1  r32 )



0.959  0.9875  0.9706 (1  0.9875 2 ) (1  0.9706 2 )

 0.014

 Si los gastos de publicidad en radio fueran constantes, existiría correlación lineal casi nula entre las ventas y los gastos de publicidad en periódicos.

r12 . 0 

r23  r21 r31 2 2 (1  r21 ) (1  r31 )



0.9706  0.9875  0.959 (1  0.9875 2 ) (1  0.959 2 )

 0.528

 Si las ventas fueran constantes, existiría correlación lineal baja entre los gastos de publicidad en radio y los gastos de publicidad en periódico periódicos.


307

UAP


Inferencia Estadística

1. Digitar los datos:

2. Stat – Regression – Regression…

3. Clic en Ok.


308



EJERCICIOS PROPUESTOS Regresión y Correlación Lineal, No Lineal y Múltiple

1.-

Como parte de la evaluación de un sistema de computadora, un gerente de sistemas quiere predecir el tiempo de respuesta de las terminales de la computadora. El tiempo de respuesta de una terminal se define como el tiempo (en segundos) que la computadora tarda en responder a un comando enviado desde una terminal oprimiendo una de las teclas de función de programa de la terminal. Aunque son muchas las variables que influyen en el tiempo de respuesta de las terminales, el gerente de sistemas va a modelar dicho tiempo como una función del número de s simultáneos (es decir, el número de s que están accediendo a la unidad central de procesamiento en el momento en que se envía el comando). El gerente ha recabado los datos de muestra que se presentan a continuación. Encuentre un modelo lineal adecuado. Nº s simultáneos Tiempo de respuesta (seg.)

: :

1 0.22

2 0.59

3 1.01

4 1.36

5 1.42

¿Podrá el gerente predecir el tiempo el tiempo de respuesta de las terminales de la computadora usando un modelo lineal? 2.-

Una compañía presenta los siguientes datos con respecto a las ventas de un producto durante siete años. Años Ventas a) b) c) d) e) f)

3.-

: :

2007 36

2008 28

2009 34

2010 52

2011 58

2012 62

2013 67

Ajustar a los datos un modelo parabólico. ¿Se puede afirmar que el modelo hallado será eficiente para realizar pronósticos? Si tuvieras que elegir entre un modelo lineal y uno parabólico. ¿Por cuál te decidirías? Interpretar a , b y c. ¿Qué porcentaje de los cambios producidos en las ventas, no es explicado por el modelo parabólico? Estimar las ventas para el año 2018.

Un nuevo paquete de software de consulta para computadora se diseñó con el objetivo de lograr un y un mantenimiento más eficientes de los conjuntos de datos a gran escala. La eficiencia se mide en términos del número de operaciones de entrada/salida (E/S) de disco (llamadas bloques de almacenamiento) necesarias para acceder al conjunto de datos y darle mantenimiento; cuanto menor sea el número de bloques leídos, con mayor rapidez se efectuará la operación. A fin de evaluar el desempeño del nuevo sistema de software, se registró el número de operaciones de E/S de disco necesarias para acceder a un conjunto de datos a gran escala, para cada uno de una muestra de ocho conjuntos de datos de diversos tamaños (donde el tamaño se mide como el número de registros contenidos en el conjunto de datos). Nº de Registros (millares) Nº de E/S a disco (millares)

:

350

200

450

:

36

20

45

50 5

400

150

350

300

40

18

38

32

¿Es confiable un modelo lineal? Si lo es, hallar dicho modelo de regresión.


309


UAP Inferencia Estadística 4.-

Se tiene las siguientes variables: Y X1 X2

5.-

a)

si

b)

interpretar: r02 = 0,96 r12 = 0,97

Y = 0,6 + 1,6X1 + 0,02X2

a) b) c) d) e)

: :

28 5

r01.2 = 0,83 r12. 0 = 0,53

b0

b1

y

b2

R20. 12 = 0,98 R0. 12 = 0,99

32 8

46 4

24 7

28 10

36 4

42 3

37 4

51 3

42 4

Hallar la ecuación de regresión parabólica. Estimar la edad para una persona que solicita 6 permisos en el mes. ¿Es un modelo parabólico, el más adecuado? ¿por qué? ¿Qué porcentaje de los cambios que se producen en la variable predictando se pueden atribuir a otros factores o al azar? Si se usa un modelo lineal, ¿se puede afirmar que los cambios de la predictando se deben a los cambios en la predictora?

Se tienen los siguientes datos correspondientes a las horas de estudio y al número de errores cometidos en un examen de Inferencia Estadística por un grupo de alumnos del IV ciclo de Ingeniería de Sistemas de la UAP. Horas de estudio Nº de errores Nº de alumnos a) b) c) d) e) f) g)

7.-

interpretar:

Un fabricante quiere establecer si hay una relación parabólica entre las ausencias al trabajo. X: número de permisos al mes e Y: edad del trabajador. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 10 trabajadores, obteniendo la siguiente información: Y X

6.-

: rendimiento académico. : horas de estudio. : inasistencias.

: : :

5 7 3

2 14 1

9 6 5

6 7 3

7 5 3

3 8 1

4 10 2

8 4 4

Realiza un análisis grafico y contesta ¿Qué tipo de relación existe entre ambas variables? ¿Por qué? ¿Podemos afirmar que los pronósticos que realicemos con este modelo estarán cercanos a la realidad? ¿Por qué? ¿Podemos afirmar que las variaciones que se producen en la variable predictando se pueden atribuir a efectos aleatorios? ¿Por qué? ¿Qué porcentaje de las variaciones en el número de errores se deben a los cambios que se producen en las horas de estudio? ¿Qué tanto se alejan los puntos del diagrama de esparcimiento con respecto a la recta de regresión? 1.4738 ¿Cuántos errores espera cometer como máximo, un alumno que dedica 12 horas al estudio? 5.331 ¿Qué se puede decir acerca de la pendiente del modelo de regresión poblacional? Obtener una conclusión altamente significativa. -1.32 ; -0.46

Una fracción importante del esfuerzo que se invierte en la creación de software comercial para computadora tiene que ver con la prueba de programas. Se emprendió un estudio con el fin de evaluar la utilidad potencial de diversas variables relacionadas con productos y procesos para identificar el software propenso a errores. Se ajustó un modelo de línea recta, el cual relaciona el número de defectos en un módulo (Y) con el número de operandos (X) únicos en el módulo, a los datos obtenidos de una muestra de módulos de software. El coeficiente de determinación para este análisis fue 0,74. ¿Inferiría usted que el modelo de línea recta es un predictor útil del número de defectos en un módulo? Explique.


310



Una compañía recabó los datos adjuntos para comparar el precio de venta de casas nuevas con el tamaño de la construcción en cientos de pies cuadrados. Espacio construido : 20 22 18 30 23 25 Precio de venta : 116 118 91 145 105 121 a) ¿Podemos afirmar que a mayor espacio construido mayor precio de venta? Justifique su respuesta. b) Hallar un intervalo altamente significativo para el coeficiente de regresión. c) Si el espacio construido es de 32 ¿cuál es el precio de venta mínimo y máximo que se espera?

9.-

Se tiene la siguiente información con respecto a la producción total (miles de unidades) y el costo total (miles de dólares) de cierto artículo en una compañía. Costo total Producción a) b) c) d)

10.-

11.-

30 10

36 20

40 30

48 40

50 50

54 60

66 70

88 80

Ajustar a los datos un modelo exponencial. ¿Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que un modelo exponencial sería de mayor utilidad que un modelo lineal? Justifique. Si se tiene una producción de 53000 unidades, ¿cuál será el costo total esperado? Use el mejor modelo. ¿Qué porcentaje de los cambios en Y se pueden atribuir a otras variables o a efectos aleatorios?

Los siguientes datos son las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en dos tests, que se quieren utilizar como “previsores” de la calificación media de los alumnos en el área de Lenguaje y las calificaciones medias reales obtenidas por dichos alumnos, más tarde, en su curso de lenguaje. Calificac. : 8,8 5,5 8,7 6,8 6,5 8,7 8,4 9,7 5,8 Test 1 : 8,9 4,9 8,6 6,3 5,0 8,0 8,7 9,4 5,5 Test 2 : 9,2 5,6 9,0 6,7 6,2 8,5 9,0 9,9 6,0 a)

Calcular e interpretar:

b) c)

0,9862 0,9920 Hallar el plano de regresión. ¿Se puede afirmar que un modelo de regresión múltiple explica la relación entre la variable predictando y las variables predictoras? ¿Por qué?

r12

r13 r23 0,9664

Se tienen las estaturas (pulgadas) de un grupo de padres y sus hijos mayores. Padres Hijos

12.-

: :

: :

65 68

63 66

64 68

68 69

62 66

a)

¿Podemos afirmar que existe una relación inversa entre la estatura de los padres y sus hijos? ¿Por qué?

b)

Hallar los valores mínimo y máximo para el verdadero cambio de la variable predictando cuando la variable predictora aumenta una unidad.

Para los siguientes datos correspondientes a las ventas de un producto durante el periodo 2005-2011: Años Ventas a) b) c) d)

: :

2005 545

2006 755

2007 919

2008 1200

2009 1600

2010 2500

2011 4200

Ajustar a los datos una curva exponencial. Estimar las ventas para los años 2020 y 2025. ¿Se puede afirmar que estos pronósticos son cercanos a la realidad? ¿Por qué? Calcular los errores de estimación para cada año.


311



Una compañía desea determinar si el número de anuncios transmitidos por televisión están correlacionados linealmente o no con las ventas de su producto, para lo cual obtuvo la siguiente información de algunas ciudades. Ciudad Nº comerciales TV Unidades vendidas a) b) c) d) e)

14.-

15.-

: : :

A 12 7

B 6 5

C 9 10

D 15 14

E 11 12

F 15 9

G 8 6

¿Podemos afirmar que las variaciones en las unidades vendidas resultan de fluctuaciones aleatorias que son independientes del número de comerciales de TV.? ¿Estarías dispuesto a invertir en publicidad? ¿Por qué? Con una confianza del 99%, realiza un pronóstico. ¿Qué tanto se alejan los valores estimados con respecto a los valores observados? Calcular los errores de estimación.

El departamento de contabilidad de un fábrica de papel desea estimar la cantidad mensual de gastos generales de la fábrica (gastos indirectos de producción, en miles de dólares). En el pasado, la firma ha estimado estos gastos sobre la base del número esperado de horas directas de trabajo. En los últimos años, sin embargo, los gastos estimados se han vuelto un predictor errático de los gastos reales. Como resultado, la firma está buscando otro factor con el cual se pueda mejorar la ecuación de estimación. El departamento de contabilidad mantiene un historial del número de horas (en cientos) durante las cuales han estado en producción las máquinas de la firma. Se tienen los siguientes datos para los últimos diez meses. Y : X2 : X3 :

Gastos generales actuales de la fábrica (miles de dólares) Horas de trabajo directas (en cientos) Horas de máquina (en cientos).

Y : X2 : X3 :

29 45 16

24 42 14

27 44 15

25 45 13

26 43 13

28 46 14

30 44 16

28 45 16

28 44 15

27 43 15

a)

¿Se puede combinar esta información con los datos de horas de trabajo directas y obtener una ecuación de estimación más precisa para los gastos generales de la fábrica?

b)

Si quisieras hallar un modelo lineal, ¿cuál variable descartarías? ¿Por qué?

c)

¿Se podría afirmar que los cambios que se producen en la variable predictando se pueden atribuir a los cambios de la mejor variable predictora?

d)

¿En cuánto se alejan los puntos del dispersigrama con respecto a la recta de regresión?

e)

Al hallar un modelo lineal, ¿se puede decir que la relación es directa? ¿Por qué?

Se tienen los siguientes datos: Temperatura (ºC) Nº de helados vendidos a) b) c) d) e) f)

: :

10 5

15 12

20 24

25 38

30 70

34 130

Trazar el diagrama de esparcimiento. Hallar el modelo más adecuado. ¿Cuántos refrescos se esperaría vender si la temperatura fuera 27ºC? ¿Es confiable este modelo? ¿Por qué? Calcular e interpretar el coeficiente de determinación. Hallar los valores máximo y mínimo de la verdadera pendiente:


312



Se desea hacer un estudio para examinar el papel que juega la televisión en la vida de un grupo preseleccionado de personas de edades superiores a los 65 años. El propósito de dicho estudio es proporcionar información que permita hacer una programación adecuada a las necesidades de este grupo. Una muestra aleatoria de siete personas de edades superiores a los 65 años fue seleccionada y a cada persona le fue solicitada la siguiente información: Nº de horas TV Edad Escolaridad (años) a) b)

d) e) f)

a) b) c)

0,9 69 10

1,6 81 12

2,8 71 12

3,0 75 6

3,3 79 6

: :

20 18,3

30 18,8

40 19,1

50 19,3

60 19,5

70 19,7

80 19,8

¿Qué porcentaje de las variaciones en el consumo se pueden atribuir a otros factores o a efectos aleatorios? Con una confianza del 99%, ¿se puede afirmar que un modelo lineal explica la relación existente entre velocidad y consumo? Con una confianza del 90%, ¿cuál sería el máximo valor esperado para el coeficiente de regresión poblacional?

Los siguientes datos indican las ventas mensuales (en miles de soles) y los años de experiencia en ventas de diez vendedores de una fábrica. A.E. Ventas a) b) c)

19.-

0,8 65 10

Las pruebas acerca del consumo de combustible de un vehículo que viaja a diferentes velocidades produjeron los siguientes resultados: Velocidad Consumo

18.-

0,5 73 14

Hallar la ecuación del plano de regresión. ¿Cuál de las dos variables predictoras, explican mejor la variabilidad de la variable predictando? ¿Sería confiable un modelo lineal usando únicamente la mejor variable predictora? Si es así encuentre dicho modelo. Usando un modelo lineal, realizar un pronóstico con un nivel del 1%. ¿Qué tanto se alejan los valores observados con respecto a los valores estimados? ¿Se puede afirmar que a medida que aumenta la variable predictora, se espera que la variable predictando también crezca. ¿Por qué?

c)

17.-

: : :

: :

4 5

5 6

2 4

5 5

6 7

7 10

1 3

8 11

3 4

7 9

Hallar un modelo de regresión cuadrático. ¿Podemos afirmar que una curva parabólica expresa adecuadamente la relación entre las variables consideradas? ¿Por qué? ¿Cuánto se ganará en confiabilidad si se elige el mejor modelo entre un cuadrático y un lineal?

Los siguientes datos corresponden a las horas de estudio para una prueba y al número de respuestas correctas obtenidas en dicha prueba por 17 alumnos. Horas de estudio Respuestas correctas Nº de alumnos a) b) c) d) e)

: : :

1 2 1

5 11 3

6 20 4

2 10 3

7 14 4

3 12 2

Si un modelo lineal es confiable, hallar un pronóstico altamente significativo e interpretarlo. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables involucradas? ¿Por qué? Hallar los valores estimados. Calcular los errores de estimación. ¿Cuál será el valor máximo esperado para el verdadero coeficiente de regresión?


313



El gerente de personal de una empresa considera que puede haber una relación entre el ausentismo (días) , Salario (en miles de soles) y la edad (años). Selecciona una muestra aleatoria de 8 empleados, con los resultados siguientes: Días ausente Edad Salario a) b) c) d) e) f) g)

21.-

6 61 16,4

10 37 14,3

18 23 8,0

9 46 14,7

7 58 14,0

14 29 11,2

11 36 15,3

Una compañía asigna diferentes precios a un equipo de sonido particular en ocho regiones diferentes del país. Los siguientes datos muestran el número de unidades vendidas y los precios correspondientes (en miles de soles).

a) b) c)

: :

5 15

8 7

10 3

13 6

16 14

22 36

28 62

¿Se puede afirmar que el modelo parabólico es el mejor ajuste? Hallar el modelo de regresión parabólico. ¿Se puede afirmar que hay una buena asociación parabólica entre las variables?

Se realizó un estudio para determinar los efectos de no dormir en la capacidad de las personas para resolver problemas sencillos. Un grupo de personas participó en el estudio que consistió en dar a cada persona, después de un periodo específico sin dormir, un conjunto de problemas sencillos de sumar y se registró el número de errores. Se obtuvieron los siguientes resultados: Nº de errores Nº horas sin dormir Nº de personas a) b) c) d) e)

23.-

15 27 8,5

Encontrar los coeficientes de regresión múltiple. Interprete el significado de las pendientes. Predecir el número de días de ausencia de un empleado de 40 años de edad que gana S/ 13 000 al año. ¿Sería adecuado un modelo lineal, usando la mejor variable predictora? Hallar dicho modelo lineal, si fuera confiable. Usando dicho modelo, realizar una estimación interválica. ¿Qué tanto se alejan los puntos del diagrama de esparcimiento con respecto al plano de regresión?

Ventas Precio

22.-

: : :

: : :

9 8 3

6 12 2

8 16 3

14 20 4

16 24 5

¿Se puede afirmar que existe una relación directa entre número de errores y número de horas sin dormir? ¿Por qué? Los pronósticos que se realicen con un modelo lineal, ¿serán acertados? Al nivel del 1%, ¿Qué podemos afirmar acerca del verdadero coeficiente de regresión? ¿Influye la cantidad de horas sin dormir en el número de errores cometidos? Si duerme todas sus horas, ¿cuántos errores se espera que cometa?

Los siguientes datos corresponden al grado de ansiedad de un grupo de alumnos elegidos aleatoriamente en cierta universidad y sus calificaciones. Ansiedad Calificación a) b) c) d)

: :

8 7

10 10

12 8

16 9

14 6

18 5

22 5

23 6

19 8

26 7

¿Se puede afirmar que a mayor nivel de ansiedad, calificaciones más bajas y a la recíproca? ¿Qué calificación cabe esperar partiendo de una ansiedad de 20 puntos? Usar un nivel del 1%. Al nivel del 10, ¿qué podemos afirmar acerca del verdadero coeficiente de regresión? Calcular los valores estimados con el modelo lineal.


314



A continuación se presentan los datos obtenidos en un estudio realizado por una cadena de supermercados para determinar la eficiencia de varios soportes publicitarios sobre ventas. Los datos fueron obtenidos de las ventas semanales (en miles de soles), de los gastos publicitarios en revistas, en televisión, en radio y en boletines volantes distribuidos en casas. Ventas Revista TV Radio Volante a) b) c) d) e) f)

25.-

: : : : :

365 61 36 13 32

441 56 14 8 41

807 62 28 6 34

450 41 31 3 33

828 69 21 0 32

314 73 36 5 7

472 88 38 6 8

¿Sobre cuál soporte publicitario se debería invertir? ¿Por qué? Hallar el modelo de regresión que permita estimar las ventas, teniendo en cuenta los dos soportes publicitarios más eficientes. Calcular los residuos del plano de regresión. Hallar la ecuación de un modelo lineal usando la mejor predictora. Al nivel del 10%, ¿las ventas dependen de la publicidad en la mejor predictora? ¿Qué porcentaje de las variaciones en las ventas se pueden atribuir a otros factores o al azar?

Se tienen los datos correspondientes a las calificaciones en una prueba de inteligencia, el número de clases perdidas y las calificaciones en el curso de Inferencia Estadística de un grupo de alumnos del IV ciclo de Ingeniería de sistemas de la universidad Alas Peruanas. Prueba de Inteligencia Calific. Estadística Clases perdidas a) b) c) d) e)

26.-

649 48 40 7 36

: : :

50 7 6

54 12 7

62 13 5

70 17 2

75 18 1

80 19 3

90 20 2

Estimar la calificación de estadística de un estudiante que ha perdido 4 clases y tiene una puntuación de 60 en la prueba de inteligencia. Encuentre un modelo lineal usando la mejor variable predictora. ¿Se puede afirmar que los cambios de la variable predictando se pueden atribuir a los cambios de la variable predictora? ¿Por qué? Realizar un pronóstico al nivel del 5% e interpretarlo. ¿Qué tan lejos se encuentra el dispersigrama con respecto a la recta de regresión?

Se intenta estudiar la relación existente entre el número de años de afiliación a un partido político, la motivación por pertenecer a ese partido y el nivel de satisfacción con dicho partido. Para ello se parte de los datos de ocho individuos tomados al azar. Satisfacción : Años de afiliación : Fuerza motivación : a) b) c) d) e) f) g) h)

6 8 4

7 7 5

4 10 3

9 3 7

10 6 8

9 13 8

9 4 9

5 12 2

Calcular e interpretar: r12 r13 r23 -0,256 0,8735 -0,2753 encontrar la ecuación del plano de regresión de Y sobre X2 y X3 Estimar la satisfacción de una persona que lleva 9 años afiliada a su partido político y tiene una motivación de 7. Si tuvieras que descartar una de las variables predictoras, ¿cuál sería? Hallar un modelo lineal usando la mejor predictora. ¿Qué porcentaje de los cambio que se producen en Y, se pueden atribuir a otros factores o al azar? Al nivel del 1%, ¿se puede concluir que los cambios que se producen en la variable respuesta se deben a efectos aleatorios? Calcular los valores estimados con el plano de regresión.


315



La empresa "Autos S.A.", fabricante de automóviles, vende éstos por medio de distribuidores repartidos en todo el país. El gerente de dicha compañía, ha logrado desde el año 1995 un crecimiento de las ventas de 28%. Muy orgulloso de este resultado, lo atribuye sobre todo a la experiencia de sus vendedores. El ha recolectado los siguientes datos mensuales de ventas en unidades y del número de vendedores: Ventas (unidades) Nº de vendedores a)

35 12

33 9

44 16

28 10

20 6

Se tienen los siguientes datos que corresponden al espíritu de iniciativa personal en las situaciones de solución de problemas. Se tomó una muestra aleatoria de ingenieros de sistemas. Iniciativa Personal : Madurez Emocional : Seguridad en sí mismo: a) b) c) d) e) f) g)

29.-

25 7

El gerente concluye que el 95% de la variación de las ventas son explicadas por la variación del número de vendedores, razón por la cual propone al Director, contratar más vendedores. ¿Es válida la conclusión del gerente? Explique por qué. Se afirma que por cada vendedor que se contrate, el número de unidades vendidas se incrementará. ¿Es correcta la afirmación?

b)

28.-

: :

9 10 8

11 10 12

10 18 15

14 15 17

18 20 23

16 16 21

19 22 26

24 20 35

Si tuviera que hallar un modelo sólo con una variable predictora, ¿a cuál elegirías? ¿Por qué? Hallar un modelo lineal adecuado usando la mejor variable predictora. ¿Se puede afirmar que tanto la variable predictando como la variable predictora, varían en el mismo sentido? Explica. ¿Podemos afirmar que la variación de Y se puede atribuir a la variación de X, o se debe a fluctuaciones aleatorias? ¿Podemos afirmar que a mayor seguridad en sí mismo, se espera una mayor iniciativa personal? ¿Por qué? Un investigador sostiene que utilizando la misma variable predictora de b), un modelo exponencial permitiría realizar pronósticos más confiables, ¿estás de acuerdo? Explica. ¿Qué puntaje se esperaría en Iniciativa Personal para un ingeniero que tiene 30 en seguridad en sí mismo y 19 en Madurez Emocional?

Las calificaciones de un grupo de estudiantes en su reporte de medio año y los exámenes finales fueron las siguientes: Medio Año Final a) b) c) d) e) f) g) h) i)

: :

77 82

50 66

71 78

72 34

81 47

94 85

96 99

¿Se puede concluir que existe una relación directa entre las calificaciones de medio año y final de año? ¿Por qué? ¿Serán acertados los pronósticos que se realicen usando un modelo lineal? Encuentre un modelo lineal. Interpretar a y b. Realizar un pronóstico al nivel del 99%. ¿Cuál será el valor máximo esperado para el verdadero cambio de la variable respuesta cada vez que la variable predictora se incrementa en un punto? Las calificaciones de final de año, ¿se ven explicadas por las notas de medio año? Calcular los residuos del modelo lineal. ¿En cuánto se aleja el diagrama de esparcimiento con respecto a la recta de regresión?


316



En una investigación sobre la relación que existe entre el número de veces que se repite una tarea y los errores que se cometen se ha constatado la relación curvilínea existente entre ambas variables. Veces repite Nº errores a) b) c) d)

31.-

6 26

8 18

11 10

13 8

16 6

17 4

18 2

Hallar la ecuación de regresión exponencial de la variable Y sobre X. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. Realizar un pronóstico puntual. Un modelo exponencial, ¿genera pronósticos más confiables? ¿Por qué?

La demanda de televisores (miles de unidades) y los gastos de publicidad (cientos de dólares) en un país, desde 2007 hasta 2013 fue: Demanda Publicidad a) b)

32.-

: :

: :

50 1,1

60 2,0

68 3,0

88 3,8

125 5,0

135 5,5

184 6,5

Si tuvieras que elegir entre un modelo lineal y un modelo exponencial, ¿cuál crees que sería de mayor utilidad? ¿Por qué? Hallar dicho modelo.

Una firma cree que sus ingresos anuales dependen de sus gastos por investigación. Se tiene la información de los últimos seis años (en miles de dólares). Ingreso Anual Gastos en Investigación

: :

31 5

40 11

30 4

34 5

25 3

20 2

a) ¿Qué tipo de relación existe entre el ingreso anual y los gastos en investigación? b) ¿Qué tan lejos se encuentran los valores estimados con respecto a los valores reales? c) ¿Influyen los gastos en investigación en los ingresos anuales de la firma? 33.-

Los siguientes datos corresponden a los CI verbal y no verbal así como las calificaciones en Inglés, de un grupo de estudiantes del IV ciclo de ingeniería de sistemas. Calificación CI Verbal CI No Verbal a) b) c) d) e)

34.-

: : :

70 110 120

60 90 92

80 100 104

95 140 135

90 120 118

¿Cuál de las dos predictoras permiten realizar mejores pronósticos? Hallar la ecuación del plano de regresión. Interpretar la constante y los coeficientes de regresión. ¿Influye la mejor predictora en la variable predictando? ¿Qué porcentaje de los cambios en la variable respuesta es explicado por la segunda predictora?

El departamento de ventas de una compañía desea hallar un modelo exponencial que le permita estimar la demanda (en miles de dólares) de refrigeradoras para los próximos años, tomando en cuenta los datos históricos decrecientes desde el año 2007 hasta 2013. Demanda Años a) b) c) d) e)

: :

550 2007

400 2008

250 2009

200 2010

100 2011

70 2012

90 2013

Hallar un modelo exponencial que se ajuste a los datos. ¿Podemos confiar en el modelo encontrado para realizar pronósticos? ¿Cuál será la demanda esperada para los años: 2018, 2020 y 2022? Calcular los valores estimados con el modelo exponencial. Hallar los residuos del modelo exponencial.


317



Un psicólogo experimental afirma que en un experimento controlado, cuanta más edad tenga un niño tanto menor será su número de respuestas irrelevantes. Los siguientes datos fueron recopilados para comprobar su aseveración. Edad Nº Rptas.Irrelev. a) b) c) d) e) f) g)

36.-

5 9

6 7

6 12

7 8

9 6

9 9

10 7

12 5

Para los siguientes datos: Nº turistas 13 17 38 42 40 34 30

a)

Ajustar a los datos un modelo de Regresión parabólica.

b)

Calcular el coeficiente de correlación.

c)

Estimar cuántos turistas se espera recibir para el mes de diciembre.

Una compañía desea encontrar un modelo que explique la relación existente entre la producción (miles de unidades por año) y el costo marginal de producción (dólares por unidad). Producción Costo Marg. a) b) c) d)

38.-

4 13

¿Parece válida la afirmación del psicólogo? Hallar la ecuación de un modelo lineal, sólo si es confiable. ¿Influye la variable predictora sobre la variable predictando? Hallar los límites esperados para el verdadero cambio que se produce en la variable predictando cuando la predictora se incrementa en una unidad. Realiza e interpreta un pronóstico altamente confiable. Calcular los errores de estimación. Si tuvieras que decidir entre un modelo lineal y un exponencial, ¿cuál elegirías y por qué?

Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio 37.-

: 2 : 12

: :

5 20

7 60

9 60

9 100

11 120

12 120

12 180

14 240

16 280

El asesor estadístico de la compañía asegura que el modelo que mejor describe la relación entre estas dos variables es un modelo exponencial, ¿estás de acuerdo con él? ¿Por qué? Hallar la ecuación del modelo más adecuado. Realiza un pronóstico puntual. Si el modelo lineal es el mejor, realiza e interpreta un pronóstico en forma de intervalo.

Se tienen los datos correspondientes a las edades (años), los ingresos (dólares) y el número de años desde que salieron de la universidad de un grupo ingenieros de sistemas que trabajan para la misma institución. Edad Nº de años Ingresos a) b) c) d) e) f) g)

: : :

57 13 512

60 19 650

45 14 550

42 16 500

36 12 540

45 16 680

62 25 680

36 10 456

52 18 590

Hallar un modelo lineal usando la mejor variable predictora. Interpretar a y b. ¿Qué tipo de relación existe entre ambas variables? ¿Por qué? Hallar el plano de regresión de Y sobre X2 y X3 Interpretar b1 , b2. , b3 ¿Qué tanto se alejan los puntos del dispersigrama con respecto al plano de regresión? Calcular los errores de estimación del plano de regresión.


318



Los siguientes datos son los ingresos por ventas mensuales, en centenas de $ que obtuvo una compañía. Mes : Ingresos : a)

2 43

f) g) h)

4 85

5 118

6 164

7 228

8 316

9 444

10 611

Un fabricante de juguetes que vende su producción en más de cien distritos de ventas, el año pasado introdujo un nuevo juguete de bajo precio y desea estimar las ventas de este nuevo juguete en el próximo año en términos de gastos de publicidad. Ventas (miles) Gastos de Publicidad.($) a) b) c)

41.-

3 61

¿Podemos afirmar que un modelo exponencial es el más adecuado en este caso? ¿por qué? Encuentre la ecuación del modelo más adecuado. Realice un pronóstico puntual e interprete. Calcular los valores estimados y los errores de estimación. Usando un modelo lineal, ¿qué tan lejos están los puntos del diagrama de dispersión con respecto al modelo hallado? Influye linealmente la variable predictora sobre la variable predictando. ¿Qué porcentaje de los cambios de Y no son explicados por un modelo lineal? Hallar el valor mínimo esperado para el coeficiente de regresión.

b) c) d) e)

40.-

1 31

: :

120 50

180 60

135 65

147 72

185 84

Encontrar dicho modelo de regresión lineal. Interpretar el coeficiente de regresión. Al nivel del 2%, ¿Qué se puede afirmar acerca del verdadero coeficiente de regresión?

El director ejecutivo de una asociación de ejecutivos nacionales de ventas sabe la relación que existe entre los resultados de un vendedor en las pruebas de aptitud, el número de años de experiencia en este campo y las ventas anuales de la persona. La información siguiente fue recogida para seis vendedores escogidos al azar. Y

: Ventas anuales ( $ 10 000)

Y : X2 : X3 :

36 84 7

28 74 5

39 89 8

30 78 7

X2 : Resultado de aptitud X3 : Años de experiencia. 45 22 92 70 10 3

Si un vendedor obtuvo 83 en la prueba de aptitud y tiene 7 años de experiencia, ¿cuáles serán las ventas que podrán esperarse de esta persona? 42.-

Una compañía distribuye un test de aptitud entre todos sus nuevos representantes de ventas. La dirección tiene interés en conocer la capacidad del test para predecir el eventual éxito de estos representantes. Los datos adjuntos recogen el valor (en miles de soles) de las ventas semanales medias y las puntuaciones obtenidas en el test de aptitud para una muestra aleatoria de ocho representantes. Ventas semanales Puntuación Test a) b) c) d) e)

: :

10 55

12 60

28 85

24 75

18 80

16 85

15 65

12 60

Interpretar la pendiente estimada de la recta de regresión. ¿Se puede afirmar que un modelo lineal es un buen ajuste? ¿Por qué? ¿Podemos afirmar que a mayor puntuación obtenida en el test, se espera que sus ventas semanales sean mayores? ¿Por qué? ¿Qué porcentaje de los cambios en las ventas se pueden atribuir a otros factores diferentes de la puntuación en el test? Si un representante obtuvo 70 puntos en el test, ¿cuál será su venta semanal esperada?


319



Una muestra muestra aleatoria de cinco familias da la siguiente información en relación al ingreso familiar anual y los gastos anuales en bienes durables (refrigeradoras, lavadoras, televisores, etc.) Ingreso Anual (miles de soles) Gastos (cientos de soles)

: :

5 7

8 14

7 8

10 15

15 20

¿Se puede atribuir la variación en los gastos anuales a las variaciones en el ingreso anual? 44.-

Una firma de renta de automóviles recabó los datos adjuntos sobre los costos de mantenimiento (en dólares) y las millas recorridas (en miles) para siete de sus automóviles. Automóvil Millas recorridas Costo Mantenimiento

: : :

A 55 299

B 27 160

C 36 215

D 42 255

E 65 350

F 48 275

G 29 207

¿Se pueden realizar pronósticos confiables usando un modelo lineal? 45.-

Un estadístico de una fábrica de automóviles quiere desarrollar un modelo estadístico para predecir el tiempo de entrega (el número de días entre la fecha del pedido y la fecha de entrega del automóvil) de automóviles nuevos ordenados con mucho equipo opcional y la distancia de traslado (en cientos de millas). El estadístico selecciona una muestra aleatoria de 7 automóviles con los resultados siguientes: Opciones ordenadas : Distanc. Traslado : Tiempo de entrega :

46.-

3 7.5 25

4 13.3 32

4 4.7 26

7 14.6 38

7 8.4 34

8 12.6 41

9 6.2 39

ˆ 13.6  2.34 X 2  0.621 X 3 Y

a)

Hallar el plano de regresión.

b)

¿Cómo es la correlación entre la variable predictando y la mejor predictora para valores constantes de la otra predictora? ¿Por qué? 0.988

c)

Usando un modelo lineal con la mejor predictora y con un margen de error del 1%, ¿qué valor se espera obtener en la variable respuesta partiendo de un valor de 15 en la variable predictora? 34.84 ; 77.30

d)

¿Se puede afirmar que los cambios que se producen en la variable respuesta se deben a los cambios de la variable predictora? Sí 26.52

Una tienda especialista en trajes para personas de negocios con éxito intenta determinar las variables que pueden explicar el nivel de compras de sus clientes. Se recogieron datos de las compras por cada visita en dólares, los ingresos de los clientes en miles y los años de permanencia del cliente en su empleo. Se pensaba que la última variable mide hasta dónde ha subido el cliente en la escala de puestos de la empresa y, por tanto, refleja su necesidad de vestir con elegancia. Compras : Ingresos : Años Perm. :

630 107 12

550 95 12

320 54 6

820 141 16

450 76 10

755 130 15

750 127 14

330 55 9

950 174 22

655 110 13

Después de recoger los datos, el director de la tienda se confiesa nulo en estadística y no tiene ni idea de qué hacer con ellos, ¿puede ayudarle? a) b) c)

Hallar la ecuación del plano de regresión. Si el director tiene la oportunidad de servir a un cliente con un año más de experiencia o a uno con 1000 más de ingreso, ¿a quién debe atender? ¿Permiten los datos determinar qué variable es la más importante para explicar las compras? ¿Por qué?


320



Se desea analizar el número de errores cometidos por una persona en relación con las horas que lleva desarrollando un trabajo. Errores cometidos Horas trabajadas

: :

10 1

10 2

8 3

6 4

5 5

3 6

4 7

2 8

5 9

8 10

9 11

10 12

¿Podemos afirmar que el número de errores por hora disminuirá si la persona se vuelve más eficiente en la tarea, pero después aumentaría debido a otros factores como por ejemplo la fatiga y el aburrimiento? 48.-

Los siguientes datos corresponden a las calificaciones y las puntuaciones en ansiedad obtenidas por un grupo de estudiantes: Ansiedad : Calificac. : a) b) c) d) e) f) g)

49.-

8 12

10 10

16 9

14 8

18 7

22 5

23 6

19 8

26 5

28 3

27 4

¿Sería apropiado utilizar un modelo lineal para realizar pronósticos? ¿Qué porcentaje de la variable predictando explica el modelo de regresión? Calcular el error estándar de estimación. Con un margen de error del 5%, ¿qué calificación cabe esperar partiendo de una ansiedad de 20 puntos? 4.868 , 8.394 Hallar un intervalo de confianza del 95% para la cantidad por la cual un estudiante de la población de la que se efectuó el muestreo puede esperar cambiar su calificación aumentando un punto en su ansiedad. Con una confianza del 90%, ¿se puede afirmar que los cambios que se producen en la variable predictando se pueden atribuir a los cambios de la variable predictora? ¿Se puede afirmar que existe una buena asociación lineal entre X e Y?

Durante los últimos cuatro años, los gastos en publicidad y las ventas de una empresa (en millones de pesetas) han sido: Ventas Gastos a) b) c) d) e) f)

50.-

12 9

: :

100 1.0

126 1.3

180 1.7

210 2.0

¿Será un modelo lineal un buen ajuste? ¿Por qué? Si en el quinto año la empresa ha previsto tener un gasto de 2,17 millones de pesetas, y suponiendo que las condiciones de mercado no se alteran, ¿qué ventas obtendrá dicha empresa? ¿Con qué fiabilidad debe esperarse el resultado anterior? ¿Qué porcentaje de las variaciones en las ventas no se debe a los gastos en publicidad? ¿Se podría afirmar que los cambios que se producen en las ventas no se deben a efectos aleatorios? ¿Entre qué valores se espera que esté variando el coeficiente de regresión?

Se sospecha que la tasa de fallos de cierto componente electrónico está relacionada con la temperatura. Se obtiene la siguiente muestra de la variable bidimensional: (Temperatura grados Fahrenheit , Fallos en una hora x 106) = (X , Y) 55;1.90 a) b) c) d) e)

65;1.93

75;1.97

85;2.00

95;2.01

105;2.01

Trazar la nube de puntos de la muestra. Hallar la recta de regresión de la tasa de fallos sobre la temperatura. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal de Pearson. ¿Qué número de fallos puedes predecir que se producirán en hora a 70º Fahrenheit? ¿Qué tan alejados están los puntos del diagrama de esparcimiento con respecto al modelo lineal de regresión?


321



Estamos interesados en investigar cómo varía el peso (libras) con la altura (pulgadas) y edad (años) en los niños con una cierta deficiencia nutricional. Para tal efecto se obtiene una muestra aleatoria de niños, obteniéndose los siguientes resultados: Peso Altura Edad a) b) c) d) e)

52.-

64 57 8

71 59 10

53 49 6

67 62 11

55 51 8

58 50 7

77 55 10

57 48 9

56 42 10

51 42 6

76 61 12

68 57 9

¿Podemos afirmar que ambas variables son buenas predictoras? ¿Por qué? Hallar un modelo lineal o múltiple que permita realizar pronósticos que estén muy cercanos a la realidad. ¿Qué tanto de los cambios de la variable predictando se ven explicados por el modelo de regresión hallado? ¿En qué medida se alejan los valores observados con respecto al modelo de regresión? Realizar e interpretar un pronóstico.

Una empresa que fabrica circuitos electrónicos aplica un riguroso control de calidad. La producción se lanza por lote de 100 circuitos y luego se prueba cada circuito. Los circuitos defectuosos (por lote) son inmediatamente reparados por el servicio de reparación. Para poder planear adecuadamente la rotación del personal obrero en el servicio de reparación, es importante poder predecir el tiempo (en minutos) requerido en este servicio después de la producción de un lote. La empresa dispone de los datos siguientes: Nº defectuosos Tiempo reparac.

1 23

2 29

3 49

4 64

4 74

5 87

6 96

6 97

7 109

8 119

a) ¿Sería apropiado utilizar un modelo lineal para realizar pronósticos? ¿Por qué? b) ¿Qué porcentaje de la variable predictando es explicado por un modelo de regresión lineal? c) Calcular e interpretar el error estándar de estimación. 5.12 d) Con un margen de error del 5%, ¿qué tiempo se utilizará en la reparación cuando se tienen 10 artículos defectuosos? 143.94 ; 164 e) Hallar un intervalo de confianza del 95% para la verdadera variación que se produce en el tiempo de reparación por cada artículo defectuoso que se incremente. 12.90 ; 16.46 f) Con una confianza del 90%, ¿se puede afirmar que los cambios que se producen en la variable predictando se pueden atribuir a los cambios de la variable predictora? ¿Por qué? 53.-

Una empresa de desarrollo de software establece relacionar sus ventas en función del número de pedidos de los tipos de software que desarrolla (Sistemas Educativos y Automatizaciones Empresariales), para atender 10 proyectos en el presente año. En la siguiente tabla se muestra las ventas (en miles de soles), el número de pedidos de sistemas, el número de pedidos de Aplicaciones Educativas y el número de pedidos de Automatizaciones empresariales. Ventas Nº Pedid. Sistemas Nº pedid. Aplic.Educat. Nº pedid. Automat.Empres. a) b) c) d)

: : : :

440 50 105 75

455 40 140 68

470 35 110 70

510 45 130 64

506 51 125 67

480 55 115 72

460 53 100 70

500 48 103 73

490 38 118 69

Hallar la ecuación del plano de regresión. Interpretar: b1 , b 2 y b 3 ¿Qué tanto explica el plano de regresión hallado la relación entre las variables involucradas? Realizar e interpretar un pronóstico. Hallar un modelo lineal usando la mejor predictora.


322



En una empresa de servicio de Internet busca relacionar las ganancias que obtiene cada computadora con el número de s que ingresan a dicha cabina diariamente. En la tabla representa las ganancias S/. y el número de s. Ganancia Nº de s a) b)

55.-

: :

100 116

102 105

102 99

111 106

97 100

104 109

102 98

96 108

Una empresa informática tiene un registro de productos de software al cual se les midió el número de errores encontrados (en cientos de módulos) y el número de líneas de código que posee (miles de líneas). Los datos se encuentran resumidos en la tabla siguiente:

a) b) c) d) e) f)

: : :

10 1 10

15 1 7

15 2 6

20 2 5

20 3 4

25 3 3

25 4 1

35 4 1

35 5 2

Si se usa un modelo lineal, ¿serían acertados los pronósticos? ¿Por qué? Hallar el modelo lineal. Interpretar a y b. En promedio, ¿qué tanto se alejan los valores verdaderos con respecto a los valores estimados? ¿Se puede afirmar que las variaciones en el número de errores encontrados son independientes del número de líneas de código? Si el producto tiene 37000 líneas de código, ¿cuántos errores se espera encontrar? Usar un nivel del 10%. ¿Entre qué valores se espera que esté variando el verdadero coeficiente de regresión?

Los datos de la tabla adjunta muestran el tiempo en horas de impresión de trabajos que se han impreso en una impresora láser de marca HP. Se está interesado en estudiar la relación existente entre la variable de interés “tiempo de impresión de un trabajo” y la variable explicativa “número de páginas del trabajo”. Hacer el estudio en base a los datos obtenidos en el muestreo y que son los siguientes: Tiempo Nº Págs. a) b) c) d) e) f)

57.-

99 110

Hallar un modelo que le permita realizar buenos pronósticos. Con una confianza del 99%, realizar e interpretar un pronóstico.

Nº líneas de código Nº errores encontrados Nº de productos

56.-

98 96

: :

1 0.60

2 0.9

3 1.40

4 1.80

5 2.50

6 3.2

7 3.4

8 4.5

Hallar la recta de regresión considerando el tiempo como variable predictora. Hallar una recta usando el número de páginas como variable explicativa. Realizar una estimación altamente confiable del número de páginas que se imprimirían en 12 horas. Al nivel del 1%, estimar el tiempo de impresión máximo si el número de páginas es 850. ¿Qué se puede afirmar acerca del verdadero coeficiente de regresión? ¿Se puede afirmar que las variaciones en el tiempo de impresión son independientes del número de páginas?

Se está estudiando la relación entre el número de años que una persona está afiliada al sindicato y el nivel de satisfacción con la actuación de dicho sindicato. Para ello se toma aleatoriamente a un grupo de personas adscritas a sindicatos, obteniéndose: Años Satisfacción a) b) c)

: :

8 7

7 5

10 8

3 5

6 9

13 9

4 3

Calcular el coeficiente de correlación lineal. Comentar el resultado obtenido. Predecir el índice de satisfacción de una persona que lleva 11 años perteneciendo al sindicato. Conociendo que el índice de satisfacción es de 6 predecir los años que lleva en el sindicato.


323



Supongamos que el Gerente de Ventas no está satisfecho con el modelo lineal con una variable, y decide incorporar las calificaciones obtenidas en la fase 1 del programa inicial de entrenamiento. Igualmente, decide incorporar más datos correspondientes a otros vendedores. De forma tal que nuestros datos son: vendedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Puntuación de la prueba 4 7 3 6 10 9 2 5 9 2 1 3

Calificación de desempeño 2 5 1 4 6 5 10 5 4 6 1 1

Hallar el plano de regresión e interpretar b1 , b2 , b3 ¿Qué tan lejos están los puntos del dispersigrama con respecto al plano de regresión? Si usamos la mejor variable predictora, ¿sería útil un modelo lineal? ¿Por qué? Hallar el modelo lineal e interpretar a y b. ¿Se puede afirmar que los cambios que se producen en la variable predictando se deben a fluctuaciones aleatorias que son independientes de los cambios de la mejor variable predictora? ¿Qué podemos afirmar acerca del verdadero cambio que se produce en la variable predictando cada vez que la variable predictora se incrementa en un punto?

a) b) c) d) e) f)

59.-

Ventas semanales (en miles de soles) 5 12 4 8 11 4 30 14 6 14 4 5

Un sociólogo asignado a una institución correccional estuvo interesado en estudiar la relación entre inteligencia y delincuencia. Un índice de delincuencia (variando de 0 a 50) fue formulado para medir la gravedad y frecuencia de crímenes cometidos, mientras la inteligencia fue medida por IQ. La tabla muestra el índice de delincuencia (ID) y el IQ para una muestra aleatoria de convictos menores. ID IQ

a) b) c) d) e) f) g) h)

: :

26.2 110

33.0 89

28.5 102

35.5 85

38 73

30 90

25.25 98

20.3 110

31.9 98

21.1 122

22.7 119

22.1 120

Un modelo lineal, ¿permitirá realizar pronósticos cercanos a la realidad? ¿Por qué? Si el modelo lineal es confiable, hallar dicho modelo. ¿Se puede afirmar que mientras más inteligente es el sujeto, se espera un mayor índice de delincuencia? ¿Por qué? ¿Qué tanto de los cambios en la variable predictando se pueden atribuir a los cambios en la variable predictora? ¿Influye el IQ en el índice de delincuencia? Con una confianza del 90%, ¿cuánto se espera que sea como máximo el verdadero coeficiente de regresión? Realizar un pronóstico altamente confiable. Calcular e interpretar la covarianza.


324



El ingreso anual disponible y los gastos de consumo de 9 familias, seleccionadas aleatoriamente, en una zona de cierta ciudad han sido en miles de dólares los siguientes: Gasto Ingreso

: :

7 8

12 15

18 20

30 35

20 28

24 25

8 8

11 13

8 7

Haciendo uso de esta información, responder a las siguientes preguntas: a) Ajuste por mínimos cuadrados una recta en la que el consumo sea función de los ingresos. b) Comente el significado del coeficiente de la recta ajustada. c) Proporcione una medida de la bondad del ajuste. d) ¿Se puede concluir que los cambios de la variable predictando se deben a efectos aleatorios? e) Hallar el alejamiento de los puntos del diagrama de dispersión con respecto al modelo hallado. f) Calcular los errores de estimación. 61.-

Un gerente de recursos humanos desea determinar el salario que debe pagar a cierta categoría de obreros. Para determinar dicho salario se realiza un estudio en el que intervienen las variables Salario Mensual ($), Nivel de Producción Anual en la Empresa (en miles de dólares) y Nivel de Especialización media del trabajador (de 0 a 10). El gerente obtiene los siguientes resultados: Salario ($) Producción Especialización a) b) c) d) e) f) g)

62.-

: : :

123.4 300.5 4.3

135.7 325.9 5.5

115.9 298.6 7.8

100.6 200.9 4.9

98.7 300.4 4.3

150.4 359.8 8.5

124.6 279.6 6.4

110.0 215.6 5.6

Hallar la ecuación del plano de regresión lineal mínimo cuadrático que explica el salario en función de la producción y del nivel de especialización. ¿Qué salario se debería pagar si el nivel de producción fuese de 315 mil dólares y el nivel medio de especialización de 6.6? Calcular los valores estimados usando el plano de regresión. Hallar los residuos. Hallar la ecuación de la recta de regresión usando la mejor predictora. ¿Explica la mejor predictora a la variable predictando? ¿Qué tanto se alejan los puntos del dispersigrama con respecto a la recta de regresión?

Una empresa fabricante de cereales para el desayuno desea conocer la ecuación que permita predecir las ventas (en miles de euros) en función de los gastos en publicidad infantil en televisión (en miles de euros), el tiempo diario de aparición en televisión (en minutos) y los gastos en publicidad en los periódicos (en miles de euros). Se realiza un estudio en el que se reúnen los datos mensuales correspondientes a los últimos 20 meses. Estos datos aparecen en la siguiente tabla: Ventas Public. TV Tiempo TV Public.Per. a) b) c) d) e) f)

: : : :

10 1.0 50 0.4

12 1.2 57 0.4

13 1.3 56 0.5

12 1.4 55 0.5

14 1.5 60 0.4

16 1.7 65 0.4

12 1.8 69 0.6

14 1.3 67 0.5

11 1.4 68 1.1

10 0.9 67 0.3

19 0.8 97 0.5

8 0.9 66 0.6

Hallar el plano de regresión usando las dos mejores predictoras. Hallar los valores estimados. Calcular los errores de estimación. Hallar la ecuación de un modelo lineal e interpretar la constante y el coeficiente de regresión. Al nivel del 10%, ¿qué podemos afirmar acerca del verdadero coeficiente de regresión? Realizar un pronóstico al nivel del 98%.


325



Veintitrés estudiantes de pedagogía tomaron parte en un programa de evaluación diseñado para medir la eficacia de los profesores y determinar qué factores son importantes. Participaron 11 instructoras. La medición de la respuesta fue una evaluación cuantitativa del maestro colaborador. Las variables regresoras fueron las calificaciones de cuatro pruebas estandarizadas entregadas a cada instructor. Los datos son los siguientes. Eficacia 410 569 425 344 324 505 235 501 400 584 434 a) b) c) d) e)

64.-

P2 125 131 141 122 141 152 141 132 157 166 141

P3 59 31 80 75 49 49 60 41 50 32 54

P4 55 63 45 46 41 43 41 64 42 57 58

Hallar el modelo de regresión usando las dos mejores predictoras. El plano de regresión hallado, ¿permitirá realizar pronósticos confiables? ¿Por qué? Utilizando la mejor predictora, hallar la ecuación de regresión. ¿Se puede afirmar que los cambios que se producen en la variable predictando se pueden atribuir a los cambios de la mejor predictora? ¿Qué tanto se alejan los puntos del diagrama de dispersión con respecto a la recta de regresión?

En base a una muestra de doce datos se quiere ajustar un modelo de regresión de la variable respuesta, precio en euros por el que se adquirió una impresora láser, respecto a las variables regresoras: número de páginas por minuto que es capaz de imprimir y años de antigüedad de la impresora. Los datos del estudio son los siguientes: Precio Nº págs. Antig. a) b) c)

65.-

P1 69 57 77 81 0 53 77 76 65 97 76

: : :

466 6 6

418 6 4

434 6 2

487 6 0

516 8 6

462 8 4

475 8 2

501 8 0

594 12 6

553 12 4

551 12 2

589 12 0

Hallar el modelo de regresión. ¿Qué tanto de los cambios de Y pueden ser explicados por el modelo de regresión hallado? Realiza e interpreta un pronóstico.

En base a una muestra de datos se quiere ajustar un modelo de regresión de la variable Rendimiento de un sistema informático, respecto a las variables regresoras: número de buffers y número de procesadores. Los datos del estudio son los siguientes: Buffers Proces. Rend. a) b) c) d)

: : :

5 8 9

10 8 20

15 8 30

20 8 39

25 12 50

5 12 10

10 12 19

15 12 30

20 20 40

25 20 50

5 20 11

10 25 21

15 25 31

20 25 42

25 25 51

Hallar la ecuación de regresión usando ambas predictoras. Hallar un modelo lineal usando la mejor predictora. ¿Influye la mejor predictora en la variable predictando? Al nivel del 10%, ¿cuánto se espera que sea como máximo el rendimiento si la variable predictora asume el valor 15?


326



En una clase de estudiantes se realiza un estudio para determinar la relación existente entre la variable “Nota obtenida por el estudiante en la asignatura de Estadística” y las variables: “Nota esperada por el estudiante”, “Horas semanales de estudio dedicadas a la asignatura” y “Nota media del estudiante en las demás asignaturas”. Para ello se tienen en cuenta los siguientes datos: Estadística Nota esperada Horas estudio Nota media a)

12 14 10 14

h) i)

9 11 8 11

14 13 12 13

12 14 13 14

11 9 7 12

17 18 15 16

14 15 14 15

18 16 20 16

16 14 15 14

10 11 10 12

8 10 8 11

Un programa informático realiza un cálculo con un número. Se desea estudiar la relación entre el tiempo de ejecución y la regresora número de dígitos del número. Para ello se ha recogido una muestra de observaciones: Tiempo de ejecución Nº de dígitos del número a) b) c) d) e) f)

68.-

15 17 14 14

¿Cuál de las variables predictoras explica mejor la nota obtenida por el estudiante en la asignatura de Estadística? ¿Por qué? Realizar e interpretar un pronóstico usando las dos mejores predictoras. Interpretar la constante y los coeficientes del plano de regresión. Al nivel del 1%, realiza un pronóstico usando la mejor predictora. ¿Influye la mejor predictora en la nota obtenida en estadística? Qué tipo de relación existe entre la variable predictando y la mejor predictora? ¿Qué porcentaje de los cambios en la variable respuesta es explicado por el modelo de regresión lineal. Calcular los valores estimados con el plano de regresión. Hallar los residuos de la recta de regresión.

b) c) d) e) f) g)

67.-

: : : :

: :

1 1

1 2

2 4

2 5

3 8

3 9

4 14

4 16

5 20

5 25

Ajustar un modelo de segundo grado a partir de la muestra dada. Calcular la predicción del tiempo de ejecución para un número de 6 dígitos. ¿Serán acertados los pronósticos que se realicen con el modelo cuadrático? Hallar los valores estimados. Calcular los residuos. Entre un modelo lineal y uno cuadrático, ¿cuál permitiría realizar mejores pronósticos? ¿Por qué?

Se mide en una muestra aleatoria de estudiantes universitarios el tiempo semanal (horas) que pasan frente al televisor y los puntos obtenidos en una prueba de competencia lectora con escala de 0 a 20 puntos (0=mínima competencia y 20=máxima competencia). El propósito del estudio es determinar la posible asociación entre las variables. Tiempo TV (hrs.) Competencia lectora (ptos.) a) b) c) d) e) f)

: :

9 15

16 11

20 8

7 18

10 14

25 7

5 12

18 10

¿Sería adecuado utilizar un modelo lineal para realizar pronósticos? ¿Por qué? Interpretar a y b en el modelo lineal. ¿Qué se puede afirmar acerca del verdadero coeficiente de regresión? ¿Podemos afirmar que los cambios producidos en la variable respuesta los podemos atribuir a las variaciones de la variable predictora? Calcular e interpretar el error estándar de estimación. Obtener una conclusión altamente significativa acerca del verdadero cambio que se produce en la variable predictando cuando la variable predictora se incrementa en una unidad.


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