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Problemas PROBLEMA 01 Encuentra la densidad del aluminio si se sabe que 42g de este es equivalente a 0,53 m3 de su volumen. Solución: Convertimos de g – kg 1kg = 1000g 42g

x

1kg/1000g

=

0.042kg

Datos: M = 0.042kg V = 0.53m3 ρ=?

∴ ρ=

m v

ρ=

0.042 kg 3 0.53m

ρ=0.08 kg/m3 Problema 2. Un recipiente cilíndrico de 1.00m de diámetro y 2.00m de alto pesa 30.00kg, si se llena en un líquido el conjunto pesa 1500.00kg, determinar el peso específico del líquido, la densidad y el peso específico relativo o densidad relativa. Solución: d = 1.00m →r =0.5 m h = 2.00m

ω1

= 30.00kg

ω2

= 1500.00kg

γ =?

ρ=? γ r=? Peso especifico γ=

γ=

ω2 −ω1 π r 2 .h 1500.00 kg−30.00 kg 3 =935.83 kg / m 2 π (0.5 m) .2m

Densidad ρ=

m γ → ρ= v g

ρ=

935.83 9.81

ρ=95.4

Densidad relativa o peso específico relativo γ r=

γ γH O 2

γ r=

=

ρ ρH O 2

935.83 =0.936 1000

PROBLEMA 03

Si un depósito de aceite tiene un volumen de 0.917 m3 y posee una masa de 825 Kg. Hallar su densidad y peso especifico Solución:



Densidad (ρ):

ρ =

ρ =



825 kg . 0.917 m3

=

Peso específico ():

=

m. g = v

=

m v

3 = 900 kg /m

w v

825 kg x 9.81 0.917 m

8093.25 kg . 0.917 m3

m 2 s

3

m s2

N  = 8.83 m3 Problema 04 A una lata cilíndrica de 150 mm de diámetro contiene 100 mm3 de aceite. Con una masa de 1.56 kg. Calcule la Densidad, Peso especifico y Gravedad especifica. ρ =

m v

ρ =



1.56 kg . 0.1 m3

3 = 15.6 kg /m

=

Peso específico ():

m. g = v

=

w v

1.56 kg x 9.81 0.1 m

15.3 kg . 0.1 m3

=

m 2 s

3

m s2

N  = 153 m3 Gravedad especifica (g.e) g.e =

g.e =

ρ fluido ρh 20

15.6 1000

g.e = 0.0 V = AL=

ρ=

( 0.150 m)2 ( 0.100 m ) π D2 L =π =1.767 x 10−3 m3 4 4

m 1.56 kg 883 kg = = V 1.767 x 10−3 m3 3

γ =ρg=

883 kg 9.82 m 1N 10 N 8.66 kg x x =8.66 x = 3 2 3 3 m m s m m 1 kg . 2 s

883 kg ρ m3 sg= @ 4 0 C= =0.883 ρw 1000 kg m3

Fuerza hidrostática que actúa sobre la puerta de un automóvil sumergido Un automóvil pesado se sumergió en un lago por accidente y quedó sobre sus ruedas La puerta mide 1.2 m de altura y 1 m de ancho, y el borde superior de la misma está 8 m abajo de la superficie libre del agua. Determine la fuerza hidrostática sobre la puerta y la ubicación del centro de presión

Hipótesis 1. La superficie del fondo del lago es horizontal. 2. La cabina de pasajeros está sellada, de modo que no se filtra agua hacia su interior. 3. La puerta se puede tomar aproximadamente como una placa rectangular vertical. 4. La presión en la cabina de pasajeros permanece en el valor atmosférico, puesto que no se filtra agua hacia adentro por lo tanto se puede eliminar la presión atmosférica en los cálculos 5. El peso del automóvil es mayor que la fuerza de flotación Fr= pghc A Fr = (1 000 kg/m3)(9.81 m/s2)(8 + 1.2/2m)(1x1.2m2 )

Fr = 101239.2 N Calculo al centro de presión

Y c =Y +

I´x Yg A 3

2

(1× 1.2 )m 12 Y c =8.6 m + =8.61 2 8.6 m×(1 ×1.2)m

En la figura que veremos a continuación, tenemos un estanque lleno de gasolina cuya profundidad total del estanque es de 12 pies. La pared presenta 40 pies de ancho. Calcule la magnitud de la fuerza resultante sobre la pared y la ubicación del centro de presión. El gravedad especifica de la gasolina es igual a SG=0.68grs/cm 3.



FR=γ ( h g ) ( A) Hg = 6 ft

lb γ =¿ (0.68grs/cm3)( 62.43 3 ¿ ft

= 42.452

lb f t3

A = 12ft x 40ft = 480ft 2

lb FR = (42.452 f t 3

¿

( 480ft2) (6ft) = 122261.76 lbF



YP=YC+

I CC (YC )( A)

3

YP

40 x 12 12 ¿ 6+ ( 40 x 12 ) (6)

YP= 8ft

Determinar la fuerza debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de 2m. de altura y 1 m. de ancho que se muestra en la figura. Determinar su posición.



Determinando la fuerzas

F=γ × h × A

F=1000×(1.2+1)×(2 ×1)

F=4400 kg Derminacion del punto de aplicación

Y =

I cg ´ +Y Y´ A 3

1 ×2 12 Y = +(1.2+1) (1.2+ 1) ×(2× 1) Y =2.352mts

Calcular la magnitud y punto de aplicación de la fuerza horizontal que actúa sola compuerta plana y vertical mostrada en la figura.

La fuerza F1 q actúa sobre la superficie cuadrada es

F1=γ × ´h× A=1000 ( 1.50+0.60 ) 1.20 ×1.20=3024.00 kg Y su punto de aplicación, respecto a la superficie del agua,

1.20 ×1.203 I 12 Y 1= cg + Y´ = + 2.10=2.16 m Y´ A 2.10× ( 1.20× 1.20 )

(

)

La fuerza F2, que actua sobre la superficie triangular es

´ A=1000 1.50+1.20+ 1 ×1 × 1.20 =1818.00 kg F2 =γ × h× 3 2

(

)

Y su punto de aplicación, respecto a la superficie del agua,

1.20 × 1.203 I cg ´ 36 Y 2= +Y = +3.03=3.05m Y´ A 1.20 ×1.20 3.03× 2

(

)

(

)

La fuerza total sobre la superficie compuesta es

Ft =3024+ 1818=4842kg El momento estático de la fuerza Ft, respecto a la superficie del agua es igual al momento de las fuerzas parciales F 1 y F2 respecto a la misma superficie.

Ft Y t=F 1 Y 1+ F 2 Y 2 Despejando y sustituyendo se tiene

Y t =

3024 × 2.16+1818 ×3.05 4842

Y t =2.49

Hallar el modulo y la linea de acción de la fuerza a cada lado de la compuerta que se muestra en la figura. Determinar F para abrir la compuerta si esta es homogénea y pesa 3000 kg. El ancho de la compuerta es de 1.80 m.

La longitud de la compuerta es

L=√ 1.802 +2.402=3 m Determinación de la fuerza producida por el liquido de la izquierda

La altura desde el centro de gravedad de la compuerta hasta la superficie del liquido donde la presión es 0. Es

1.80 h´1= +0.60+ 1.20 =2.20 m 2

(

)

El área real de la compuerta es

A=L x ancho=3.00 x 1.80 Entonces la fuerza es

F1=γ h´1 A=864 x 2.70 x (1.80 x 3.00) F1=12597 Kg Deerminacion de la línea de acción de la fuerza producida por el liquido de la izquierda esta línea se encuentra a

Y 1=

Y 1

desde el punto O

I cg + Y´ 1 ´ Y1 A

Por relación de triángulos

1.80 3.6 = 3.00 Y´ 0

Y´ 0=6 m

L 3.00 Y´ 1=Y 0 − =6.00− =4.50 m 2 2 Determinación de la fuerza producida por el líquido de la derecha

La altura desde el centro de gravedad de la compuerta hasta la superficie del liquido donde la presión es 0. Es

1.80 h´2= + 0.60 =1.50 m 2

(

)

F2 =γ h´2 A=864 x 1.50 x (1.80 x 3.00) F2 =6998 Kg Determinación de la línea de acción de la fuerza producida por el liquido de la derecha, esta línea de acción se encuentra a

Y 1=

Y

desde el punto O

I cg + Y´ 1 Y1 A

Por relación de triángulos

1.80 0.60 = 3,00 X´ L 3.00 Y´ 2=X + =1.00+ =2.50 m 2 2

x=1.00 m

3

1.80 X 3.00 12 Y 2= + ( 2.50 )=2.80 m ( 2.5 ) X (1.80 X 3.00) Los brazos de cada una de las fuerzas de las fuerzas se encuentran indicados en la figura siguiente.

Mediante la condición de equilibrio tenemos

12597 X 1.67+3000 x 120−6998 x 180−F 2.40=0 21036+ 3600−12596 24 F=5017 Kg

PROBLEMA Nº 01:

Para el tanque de la figura considere las siguientes dimensiones

PROBLEMA Nº 02

La superficie AB es un arco con un radio de 2m y un ancho de 1m entrando en la superficie. La distancia EB es 4m. El fluido de arriba de la superficie AB es agua, y la presión atmosférica prevalece sobre la superficie libre del agua sobre el lado inferior de la superficie AB. Encuentre la magnitud y la línea de acción de la fuerza hidrostática que actúa sobre la superficie AB.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Un cubo de un material que mide 30 cm por lado, tiene una masa de 7500 gramos. Determinar: A) ¿Si el cubo flotará dentro del agua?. Y si flota, B) ¿Cuál es el porcentaje del volumen del cubo que se encuentra sumergido?

Solución: Parte A: Datos según el problema: l=0,30 m .

mo=7,5 Kg V o=l 3 =(0,30 m)3=0,027 m3 Conociendo la masa y volumen del objeto podemos calcular su densidad y compararla con la del agua: ρ

=

o

ρf =1000

mo Vo Kg 3 m

Entonces: ρ f > ρO

=

7,5 Kg. 3 0,027 m

=

277,78

Kg 3 m

RESPUESTA

El cubo sí flotará dentro del agua .

Parte B: W f =E=mf ∗g=ρ f∗V S∗g W O =mO∗g=ρO∗V O∗g Si sabemos que el cuerpo flota, entonces existe un equilibrio entre el peso del objeto y el empuje que recibe: E=W O ρf ∗V S∗g=ρO∗V O∗g ρf ∗V S =ρO∗V O kg . V S ρO m3 = = =0,2778 V O ρf kg . 1000 3 m 277,78

V S =0,2778∗V O Vs=27,78

RESPUESTA:

El 27.78% es porcentaje del volumen del cubo que se encuentra sumergido.

Problema N° 2 Un iceberg de peso especifico específico es

γH

2

O

γ1

= 912 Kgf/m3 flota en un océano cuyo peso

= 1027 Kgf/m3. Si se sabe que el volumen del iceberg que

emerge es de 600 m3. Se nos pide determinar cuál es el volumen total del iceberg.

Solución:

1°

Según

datos

problema: γ ic=912 kgf /m3 γ H O=1027 kgf /m3 2

∀ E =600 m

3

del

2° Como conocemos el volumen de la parte emergida (

∀E

), podemos expresar

dicho volumen en función de su peso, mediante la siguiente relación: γ ic=

WE ∀E

W E=γ ic . ∀ E W E=912kgf / m3 . 600 m3 W E=547200 m3

3° El problema nos dice que el iceberg flota, por lo tanto para que esto suceda se debe cumplir lo siguiente: E=W T W T =W E +W S

pero E=W E + W S

W E=E−W S Pero:

E=γ H O . ∀ S

y

2

W S =γ ic . ∀ S

547200 m3 =γ H O . ∀ S−γ ic . ∀S 2

547200 m3 =∀ S ( γ H O−γ ic ) 2

547200 m3 =∀ S (1027 kgf /m3 −912 kgf /m3) 547200 m3 =∀ S (1027 kgf /m3 −912 kgf /m3)

3

3

547200 m =∀ S (115 kgf /m ) ∀ S =4758.26 m3

4° Determinamos el volumen total del iceberg: ∀ T =∀ E + ∀ S ∀ T =600 m3 + 4758.26 m3 ∀ T =5358.26 m3

RESPUESTA:

El volumentoal deliceberg es de 5358.26 m3

Problema N° 3 Un objeto prismático de 20 cm de altura por 20 cm de anchura y 40 cm de longitud se pesa en el agua a una profundidad de 50 cm, dando la medida 5 kg. ¿Cuánto pesa en el aire y cuál es su densidad relativa?

Solución: 1° Diagrama de cuerpo libre

PARTE SUMERGI DA

2° Por estática: ∑Y =0 W=T+E

W = (5x9.81) + E W = 49.05 + E

…(1)

3° Pero sabemos que el Empuje es igual al peso del volumen del líquido desalojado por el cuerpo sumergido: E= ρf . g . ∀s E=10 3

, pero el Volumen sumergido es el Volumen total del cuerpo.

kg m x 9.81 2 x(0.2 x 0.2 x 0.4) m3 3 m s E=156.96 N

… (2)

4° Reemplazamos (2) en (1) W = 49.05 + E W = 49.05 + 156.96 W = 206.01 N 5° Densidad relativa (ρr)

mc kg ρc V m3 = c ρH 2 O kg 1000 3 m

ρr =¿

, pero

mc =

W 206.01 N = =21 kg g m 9.81 2 s

21 kg ( 0.2 x 0.2 x 0.4) m3 ρr = =1.31 kg 1000 3 m RESISTENCIA:

El peso del cuerpo en el aire es W = 206.01 N y su ρr =1.31 densidad relativa es

Problema N° 4 Una boya va a soportar un paquete de instrumentos de forma cónica, como se ilustra en la figura. La boya esta echa de un material uniforme con peso 3 específico de 8 L b / pie . Al menos 1.50 pies de la boya deben estar por

arriba de la superficie del agua de mar por seguridad y visibilidad. Calcular el peso paquete

Solución

máximo de

permisible del instrumentos.

1°.- Diagrama de cuerpo libre de la boya

En donde: wb

= peso de la boya w p = peso del paquete de instrumentos Eb

= empuje en la boya

EP

= empuje en el paquete de instrumentos

2°.- Equilibrio estático

∑ F y =0

+

−wb −w p + E b + EP =0 Como necesito el peso máximo del paquete (

wp

),

lo puedo hallar

despejándolo de la ecuación del equilibrio estático w p=Eb + E P −wb

………….. (1)

3°.- Hallar incógnitas necesarias para poder hallar el peso máximo: wb

,

EB

,

w b=γ b . v b

EP

2

8 Lb/ ¿ft

3

[

1 3 π (1) 3 π (¿ . 3+ ft 4 6 wb=¿

]

w b=2 3.04 Lb ……………………… (2)

Eb =γ f . v b sumer .

Lb/¿ ft

3

[

]

π ( 1 )2 π ( 1 )3 3 . 2+ ft 4 12 E b=64 ¿

Eb =117.29 Lb

………………….. (3)

E p=γ f . v p

[

2

]

π ( 2 ) (3) 3 Lb/¿ ft ft 12 E P=64 ¿ 3

E P=201.06 ib ………………(4) 4°.- Remplazamos los resultados de (2) (3) (4) en la ecuación (1) que sirve para hallar el peso maximo del paquete de herramientas. w p=Eb + E P −wb w p=117.29 Lb+201.06 Lb−23.04 Lb w p=295.3 1 Lb

RESPUESTA:

El peso máximo que soportara la boya, para que

cumpla la condición de que debe estar 1.50 pies sobre la superficie es de 295.31 Lb.

Problema N° 5 Un cilindro sólido tiene 3m de diámetro y 6m de altura y pesa 277 KN. Si el cilindro está colocado en aceite, cuya gravedad especifica es 0,90. Determinar si el cilindro es estable en aceite.

Solución

Datos del problema: Para analizar la estabilidad del cilindro nos guiamos de la expresión anteriormente obtenida de la estabilidad del barco, tenemos: h=

Iz −h >0 ∀s 0

….(1)

Analizamos independientemente cada uno de los datos de la fórmula de estabilidad de los cuerpos:



El momento de inercia del cuerpo: 4

π d 4 π (3 m) I z= = =3.9761 m4 64 64



… (2)

El volumen sumergido del cuerpo:

Para obtener el volumen sumergido del cuerpo sabemos que el cuerpo (cilindro) está en un estado de equilibrio con el empuje hidrostático debido al líquido (aceite), entonces: w=E

w=γ f . ∀ S

∀S=

Pero

G. E=

γf γ agua

,

, despejando

w 277 x 103 N = γf γf

despejando el

γf

,

…… (3)

obtenemos :

γ f =(G . E). γ agua N 3 m γ f =( 0.90 ) ¿ 9810

∀S

)

γ f =8829

N m3

….. (4)

Reemplazando el (4) en (3), tenemos: ∀S=

277 x 103 N =31.3739 m3 N 8829 3 m

Ahora, procedemos a calcular Para determinar

h0

h0

……

(5)

que es el segmento en este caso:

´ CGCb

, recordamos que el cuerpo tiene un estado de equilibrio

con el empuje hidrostático, es decir el peso del cuerpo es igual al empuje hidrostático.

Considerando el gráfico de la parte superior, decimos que el cilindro está parcialmente sumergido una profundidad z , entonces tenemos: w=E 2

π .r w=γ f . z .( ) 2

, despejando la profundidad z :

3 m 2 ¿ ¿ ¿2 Z N 8829 3 . π .¿ m 3 w 277 x 10 N ¿ = ¿ γ f . π r2

……

(6)

Del gráfico: h0=3−

=0.7808 ( x2 )=3−( 4.4385 2 )

….. (7)

Reeemplazando (2), (5) y (7) en (1), tenemos la siguiente expresión: 4

3.9761 m h= −0.7808 m 31.3739 m 3 h=−0.6504 m< 0 RESPUESTA:

Como h < 0 entonces el cuerpo (cilindro) no posee estabilidad

dentro del fluido (aceite).

GRUPO 2