182618401 Ejercicios Resueltos Del Circulo De Mohr i1bm

PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR 20. Una barra uniforme de sección 6x9cm esta sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm 2 P=5400Kg. 5400kg

5400kg

σ x = P/A σ y =0 σ x = 5400kg/6x9cm 2 xy t =0 x = 1000 Kg/ cm 2 Cortante máximo: máx t = ± 2 2 2 xy y x J + | | . | \ |

+o o

máx t = ±√ (5400-0) 2 /2+0

σ

2

t max = ±500 Kg/ cm 2

21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos: u =20º σ x = 1000 Kg/ cm 2 σ y =0 xy t =0 Esfuerzo normal: σ n =( (σ x + σ y ) /2)-((σ x - σ y ) Cos2u )/2+ xy t Sen2u σ n

que

=( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º

Esfuerzo cortante: t= Sen2u (σ x - σ y )/2+ xy t Cos2u t= Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º

σ n =116.98 Kg/ cm 2 t= 321.39 Kg/ cm 2

22. Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg u =30º 2240kg σ x

2240kg

= P/A σ y =0 σ x = -2240kg/2x2cm 2 xy t =0 x = -560 Kg/ cm 2

σ

Esfuerzo normal: σ n =( (σ x + σ y ) /2)-((σ x - σ y ) Cos2u )/2+ xy t Sen2u σ n =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º

Esfuerzo cortante: t= Sen2u (σ x - σ y )/2+ xy t Cos2u t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º

σ n =-140 Kg/ cm 2

t= -242.49 Kg/ cm 2

23. Resolver Mohr. Datos: σ x = -560 Kg/ cm 2

nuevamente

el

problema

22

utilizando

el

círculo

σ y =0 xy t =0 θ=30º MOHR

de

-CENTRO C= σ x + σ y ) /2 R 2 =a 2 +b 2 C=-280 a = (σ x - σ y )/2 a=280 b= xy t =0

-RADIO

R=280

2θ=60º

DEL GRÁFICO: σ n =280Sen60º

t= 280Cos60º

σ n =242.49 Kg/ cm2 t= -140 Kg/ cm 2 C=-280 O 2 280 280Sen60º sn,t smin=-560 smax=0 t s

24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , σ x = 210 Kg/ cm 2 , σ y =0, xy t =280 Kg/ cm 2 , determinar analíticamente las tensiones normal y cortante que existen en plano inclinado u =45ºcon el eje X. Datos: σ x = 210 Kg/ cm 2 σ y =0 xy t =280 Kg/ cm 2

un

u =45º Esfuerzo normal: σ n =( (σ x + σ y ) /2)-((σ x - σ y ) Cos2u )/2+ xy t Sen2u σ n =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º

Esfuerzo cortante: t= Sen2u (σ x - σ y )/2+ xy t Cos2u t= Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º

σ n =385 Kg/ cm 2 t= 105 Kg/ cm 2

25. Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las

tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σ x = 210 Kg/ cm 2 σ y =0 xy t =280 Kg/ cm 2 u =45º a) Calculando los esfuerzos principales:

σ max =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280 2

σ min =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 2

b)

Hallamos las direcciones:

Tan2u p=-2x280/210 2u p=-2.667 IIQ, IVQ 90º-2u p=20.554

XY y x y x 2 2 2 , 1 2 2

2u p1=20.554+90º u p1=55º16´

2u p2=20.554+270º u p2=145º16´

t o o o o o + | | . | \ |

÷ ± + = σ max =404.04 Kg/ cm 2 σ min =-194.04 Kg/ cm 2 y x xy o o t u ÷ = 2 tan2 p

c) Cortante máximo: máx t = ± 2 2 2 xy y x J + | | . | \ |

+o o

máx t = ±√ (210-0) 2 /2+280 2

Tan2u c=(σ x - σ y )/2 xy t

t max = ±299.04 Kg/ cm 2 u c=10º16´41”

26. Resolver Mohr. Datos: σ x = 210 Kg/ cm 2

nuevamente

el

Problema

25

utilizando

el

círculo

σ y =0 xy t =280 Kg/ cm 2 u =45º MOHR -CENTRO C= σ x + σ y ) /2 R 2 =a 2 +b 2

-RADIO

C=105 a = (σ x - σ y )/2 a=280 b= xy t =280

R=299.04

280

de

DEL GRÁFICO: Sen2u c=105/299 2u c=20.55 2u p=20.55+90º 210 R=299 105 C=105 O sx,t xy smin=-194 smax=404.04 t s sy,t xy 2qp1 2qp2 2qc 280 t max=299.04kg/cm² t max=-299.04kg/cm² 2u p=110.55 27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones en que tienen lugar. Datos: 280 kg/cm 2 210kg/cm 2

210kg/cm

2 280 kg/cm 2 σ x =-210 kg/cm 2 xy t =-280 kg/cm 2 σ y = 0 a) Calculando los esfuerzos principales:

las de

tensiones los

planos

σ max =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280 2

σ min =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 2

Hallamos las direcciones:

Tan2u p=-2x-280/-210 2u p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2u p=20.554 2u p1=20.554+90º XY y x 2 2 2 , 2 2 t o o o | | . | \ |

y x 1 o o +

÷ ± + = σ max =194.04Kg/ cm 2 σ min

2u p2=20.554+270º

-404.04Kg/ cm 2 y x xy o o t u ÷ = 2 tan2 p u p1=55º16´

u p2=145º16´

b) Cortante máximo: máx t = ± 2 2 2 xy y x J + | | . | \ | +o o máx t = ±√ (-210-0) 2 /2+-280 2

Tan2u c=(σ x - σ y )/2 xy t

28.

Para

el

elemento

del

Problema

27.

Determinar

las

tensiones

normal y cortante que actúan en un plano inclinado Datos: σ x =-210 kg/cm 2 xy t =-280 kg/cm 2 σ y = 0 u =30º Esfuerzo normal: σ n =( (σ x + σ y ) /2)-((σ x - σ y ) Cos2u )/2+ xy t Sen2u σ n =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º

Esfuerzo cortante: t= Sen2u (σ x - σ y )/2+ xy t Cos2u t= Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º

t max = ±299.04 Kg/ cm 2 u c=10º16´41”

30º con el eje X

σ n =-294.99 Kg/ cm 2 t= -230 Kg/ cm 2

29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σ x =560kg/cm 2 , σ y =560 kg/cm 2 y determinar analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento. Datos: σ x =560 kg/cm 2 xy t =0 σ y =560 kg/cm 2 Cortante máximo: máx t = ± 2 2 2 xy y x J + | | . | \ | +o o máx t = ±√ 560-560) 2 /2+0 2

30. ¿Qué forma adopta el descritas en el problema 29? Datos: σ x =560 kg/cm 2 xy t =0 σ y =560 kg/cm 2 MOHR -CENTRO -RADIO C= σ x + σ y ) /2 R 2 =a 2 +b 2

círculo

de

Mohr

para

C=560 a = (σ x - σ y )/2 a=0 b= xy t =0 El circulo ubicado en origen.

las

R=0

solicitaciones

forma un punto que esta el eje horizontal a 560

del

t max = 0 O t s C=560

31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σ

x =560 kg/cm 2 y σ y =-560 kg/cm 2 . Determinar analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento. ¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes? Datos: σ x =560 kg/cm 2 xy t =0 σ y =-560 kg/cm 2 Cortante máximo: máx t = ± 2 2 2 xy y x J + | | . | \ | +o o máx t = ±√ 560--560) 2 /2+0 2

Tan2u c=(σ x - σ y )/2 xy t

32. Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones Normal y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σ x =560 kg/cm 2 xy t =0 σ y =-560 kg/cm 2 u =30º Esfuerzo normal: σ n =( (σ x + σ y ) /2)-((σ x - σ y ) Cos2u )/2+ xy t Sen2u σ n =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º t max = ± 560 kg/cm 2 2u c=45º σ n =-280 Kg/ cm 2

Esfuerzo cortante: t= Sen2u (σ x

- σ y )/2+ xy t Cos2u t= Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º

33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones σ x =560 kg/cm 2 y σ y =-560 kg/cm 2 . Determinar el círculo de Mohr, las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º eje X. Datos: σ x =560 kg/cm 2 xy t =0 σ y =-560 kg/cm 2 u =20º MOHR -CENTRO C= σ x + σ y ) /2 2 =a 2 +b 2 C=0 a = (σ x - σ y )/2 a=560 b= xy

-RADIO

R

R=560

con

el

t =0 2u =40º DEL GRÁFICO: t =560sen40º

σ

n

=560cos40º t= 484.974 Kg/ cm 2 sy,t xy sx,t xy R=560 O=centro t s 560 -560 40º sn t t =-359.961 kg/cm 2 σ n =-428.985kg/cm

2

34. Un elemento plano extraído de una envuelta cilíndrica delgada, sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. 560 kg/cm 2 560kg/cm 2

560 kg/cm

2 560 kg/cm 2 Datos: σ

x =0 xy t =560 kg/cm 2 σ y =0 Calculando los esfuerzos principales:

σ max =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560 2

σ min =( (0+ 0) /2)-√ ((0- 0) /2+560 2

DEL GRÁFICO: 2u p=45º

XY y x 2 2 2 , 2 2 t o o o | | . |

y x 1 o o +

\ | ÷ ± + = σ max =560 Kg/ cm 2 σ min =-560 Kg/ cm 2 O=centro t s 560 -560 sy,t xy sx,t xy 2qp 35. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los que actúan. 840 kg/cm 2 560 kg/cm 2 560kg/cm

2 1400 kg/cm 2

1400 kg/cm

2 2

560 kg/cm 560 kg/cm

2 840 kg/cm 2

planos

Datos: σ x =1400 kg/cm 2 xy t =-560 kg/cm 2 σ y = 840 kg/cm 2 a)

Calculando los esfuerzos principales:

σ max =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560 2

σ min =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 2

b)

Hallamos las direcciones:

Tan2u p=-2x-560/1400-840 2u p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2u p2=+63.435 XY y x 2 2 2 , 2 2 t o o o |

y x 1 o o +

2u p1=+63.435 +180º

| . | \ |

÷ ± + = σ max =1746.099 Kg/ cm 2 σ min =493.901 Kg/ cm 2 y x xy o o t u ÷ = 2 tan2 p u p2=31º43´03”

u p1=121º46´57”

c) Cortante máximo: máx t = ± 2 2 2 xy y x J + | | . | \ |

+o o

máx t

= ±√ (1400-840) 2 /2+-560 2

Tan2u c= (σ x - σ y )/2 xy t Tan2u c= (1400- 840)/2(-560) 2u c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2

t max = ±626.099 Kg/ cm 2 u c=76º43´03”

36. Resolver Mohr.

nuevamente

el

Problema

35

utilizando

el

círculo

de

Datos: σ x =1400 kg/cm 2 xy t =-560 kg/cm 2 σ y = 840 kg/cm 2

MOHR -CENTRO C= σ x + σ y ) /2 R 2 =a 2 +b 2

-RADIO

C=1120 a = (σ x - σ y )/2 a=280 b= xy t =-560

O

smin=493.9kg/cm² smax=1746.099kg/cm² (1400,-560) (8400,560) 2qc C=1120 t s t max=626.099kg/cm² -560 2qp

R=626.099

37. Considerar nuevamente el problema 35. Determinar analíticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X. Datos: σ x =1400 kg/cm 2 xy t =-560 kg/cm 2 σ y = 840 kg/cm 2 u =20º Esfuerzo normal: σ n =( (σ x + σ y ) /2)-((σ x - σ y ) Cos2u )/2+ xy t Sen2u σ n =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º

Esfuerzo cortante: t= Sen2u (σ x - σ y )/2+ xy t Cos2u t= Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º

σ n =-280 Kg/ cm 2 t= -249 Kg/ cm 2

38. Resolver Mohr. Datos: σ x =1400 kg/cm 2

nuevamente

el

Problema

34

utilizando

xy t =-560 kg/cm 2 σ y = 840 kg/cm 2 u =20º MOHR -CENTRO C= σ x + σ y ) /2 R 2 =a 2 +b 2

-RADIO

el

círculo

de

C=1120 a = (σ x - σ y )/2 a=280 b= xy t =-560

C=1120 t s t max=626.099kg/cm² -560 O smin=493.9kg/cm² smax=1746.099kg/cm² (1400,-560) (8400,560) 40º a s t b 560 626.099 b senb=560/626.099 b=63.435 b=63.435 a=23.435 626.099sena 626.099 626.099cosb a=23.435 626.099sena=249 626.099cosb=574.45

R=626.099

2u =40º

t =249kg/cm² s=R-574.45+493.9 s=545.54kg/cm² 560 626.099 b senb=560/626.099 b=63.435 b=63.435 a=23.435 626.099sena 626.099 626.099cosb a=23.435 626.099sena=249 626.099cosb=574.45 t =249kg/cm² s=R-574.45+493.9 s=545.54kg/cm² 39. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura, determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm 2 700 kg/cm

2 700kg/cm 2 2 2

560 kg/cm 560 kg/cm 700kg/cm

2 2

2 Datos: σ x =-560 kg/cm 2 xy t =700 kg/cm

700 kg/cm

840 kg/cm

2

σ y = -840 kg/cm 2 a)

Calculando los esfuerzos principales:

σ max =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700 2

σ min =( -560+-840) /2)-√ ((-560--840) /2+700 2

b)

Hallamos las direcciones:

Tan2u p=-2x-700/-560--840 2u p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 2u p1=11.3099+90º XY y x 2 2 2 , 2 2 t o o o | | . | \ | ± + =

÷

y x 1 o o +

2u p2=11.3099+270º

σ max =13.863 Kg/ cm 2 σ min =-1413.863 Kg/ cm 2 y x xy o o t u ÷ = 2 tan2 p u p1=50º39´18”

u p2=140º39´18”

c) Cortante máximo: máx t = ± 2 2 2 xy y x J + | | . | \ | +o o máx t = ±√ (-560--840) 2 /2+700 2

Tan2u c= (σ x - σ

y )/2 xy t Tan2u c= (-560--840)/2(700) 2u c=11.3099 (IIQ, IVQ)

t max = ±713.863 Kg/ cm 2 u c=5º39´17.88”

40. Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr. Datos: σ x =-560 kg/cm 2 xy t =700 kg/cm

2 σ y = -840 kg/cm 2 MOHR -CENTRO C= σ x + σ y ) /2 R 2 =a 2 +b 2

-RADIO

C=-700 a = (σ x - σ y )/2 a=140 b= xy t =700 C=-700 O 2 R=713.86 smin=-1413.86 smax=13.86 t s t max=713.86kg/cm² t max=-713.86kg/cm² sy,t xy sx,t xy 840 700 2qc 2qp

R=713.86