2 - Calculadora Paso Por Paso - Symbolab 6r1t7

2017­6­21

(d^2y)/(dx^2)+3(dy)/(dx)=2e^{2x}senx ­ Calculadora paso por paso ­ Symbolab

Solución

2

2x d ( ) d ( ) ( ) 2 y + 3 dx y = 2e sin x : dx

y = c 1 + c 2e

−3x

2x 2x + 9 e sin ( x ) − 7 e cos ( x ) 65

65

Pasos 2

bo m Sy

2x d ( ) d ( ) ( ) 2 y + 3 dx y = 2e sin x dx

Ecuación diferencial no homogénea de segundo orden lineal con coe cientes constantes Una EDO lineal, no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma ay'' + by' + cy = g ( x ) Solución general para a ( x ) y'' + b ( x ) y' + c ( x ) y = g ( x )

La solución general para a ( x ) y'' + b ( x ) y' + c ( x ) y = g ( x ) se puede escribir como

y = yh + yp y h es la solución para la EDO homogenea a ( x ) y'' + b ( x ) y' + c ( x ) y = 0 y p, la solución particular, es cualquier función que satisface la ecuación no homogenea 2

Hallar yh resolviendo d 2 ( y ) + 3 d ( y ) = 0: dx dx 2

Ocultar pasos

−3x

b la

d ( ) d ( ) 2 y + 3 dx y = 0 dx

y = c 1 + c 2e

Ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coe cientes constantes Una EDO homogenea, lineal de segundo orden tiene la siguiente forma ay'' + by' + cy = 0

Para una ecuación ay'' + by' + cy = 0, adoptar una solución de la forma y = e Re escribir la ecuación con y = e 2

d 2 dx

γ ·t

ɣx

( ( eɣx ) ) + 3 dxd ( ( eɣx ) ) = 0 2

Simpli car d 2 dx 2

d 2 dx

( ( eɣx ) ) + 3 dxd ( ( eɣx ) ) = 0:

e

ɣx

( ɣ2 + 3ɣ ) = 0

Ocultar pasos

( ( eɣx ) ) + 3 dxd ( ( eɣx ) ) = 0 2

Simpli car d 2 dx

( ( eɣx ) ) + 3 dxd ( ( eɣx ) ) = 0:

2 ɣx

ɣ e

ɣx

+ 3e ɣ = 0

Mostrar pasos

2 ɣx ɣx Factorizar ɣ e + 3e ɣ = 0

e e

ɣx

ɣx

( ɣ2 + 3ɣ ) = 0

( ɣ2 + 3ɣ ) = 0

Resolver e

e

ɣx

ɣx

( ɣ2 + 3ɣ ) = 0:

Ocultar pasos

ɣ = 0, ɣ = −3

( ɣ2 + 3ɣ ) = 0

γ ·t ɣx 2 ≠ 0, resolver e ɣ + 3ɣ = 0 2 es equivalente a resolver la ecuación cuadrática ɣ + 3ɣ = 0

(

Ya que e

)

2

ɣ + 3ɣ = 0 Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: Formula general para ecuaciones de segundo grado: 2 Para una ecuación de segundo grado de la forma ax + bx + c = 0 las soluciones son

√ 2 x 1, 2 = −b ± b − 4ac 2a

√ a = 1, b = 3, c = 0: ɣ1, 2 = −3 ± 3 − 4 · 1 · 0 2

Para

2· 1

Mostrar pasos

ɣ=

2 −3 + √ 3 − 4 ·

2· 1

1· 0

: 0

√ 2 ɣ = −3 − 3 − 4 · 1 · 0 : 2· 1

Mostrar pasos

−3

Las soluciones nales a la ecuación de segundo grado son:

ɣ = 0, ɣ = −3 ɣ = 0, ɣ = −3 γ t γ t Para dos raices reales γ1 ≠ γ2, la solución general toma la forma:    y = c1e 1 + c2e 2 0

−3x

https://es.symbolab.com/solver/step­by­step/%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7Dy%7D%7Bdx%5E%7B2%7D%7D%2B3%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D… 1/2

2017­6­21

(d^2y)/(dx^2)+3(dy)/(dx)=2e^{2x}senx ­ Calculadora paso por paso ­ Symbolab 0

y = c 1e + c 2e

−3x

Simpli car

y = c 1 + c 2e

−3x

2

2x Encontrar yp que satisfaga d 2 ( y ) + 3 d ( y ) = 2e sin ( x ) : dx dx

Ocultar pasos

2x 2x y = 9 e sin ( x ) − 7 e cos ( x ) 65

65

2x 2x 2x Para la parte no homogénea g ( x ) = 2e sin ( x ) , asumir una solución con la forma: y = a0e sin ( x ) + a1e cos ( x ) 2

d 2 dx

( ( a0e2xsin ( x ) + a1e2xcos ( x ) ) ) + 3 dxd ( ( a0e2xsin ( x ) + a1e2xcos ( x ) ) ) = 2e2xsin ( x ) 2

Simpli car d 2 dx

Mostrar pasos

( ( a0e2xsin ( x ) + a1e2xcos ( x ) ) ) + 3 dxd ( ( a0e2xsin ( x ) + a1e2xcos ( x ) ) ) = 2e2xsin ( x ) :

2x

2x

7a0e cos ( x ) + 9a0e sin ( x ) + 9a1e

Encontrar una solución para el ( los ) coe ciente ( s ) a0, a1 2x 2x 2x 2x 2x Resolver 7a0e cos ( x ) + 9a0e sin ( x ) + 9a1e cos ( x ) − 7a1e sin ( x ) = 2e sin ( x ) :

Mostrar pasos

a1 = − 7 , a0 = 9 65

65

2x 2x Sustituir las soluciones de parametro en y = a0e sin ( x ) + a1e cos ( x )

( 65 )

2x 2x y = 9 e sin ( x ) + − 7 e cos ( x ) 65

Simpli car 2x 2x y = 9 e sin ( x ) − 7 e cos ( x ) 65

65

2

2x Una solución particular yp para     d 2 ( y ) + 3 d ( y ) = 2e sin ( x )     es: dx dx 2x 2x y = 9 e sin ( x ) − 7 e cos ( x ) 65

65

La solución general y = yh + yp es:

y = c 1 + c 2e

−3x

2x 2x + 9 e sin ( x ) − 7 e cos ( x ) 65

65

https://es.symbolab.com/solver/step­by­step/%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7Dy%7D%7Bdx%5E%7B2%7D%7D%2B3%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D… 2/2