2- Interferencia 573h4c

Interferencia 1) Dos rayos 1 y 2 de la misma longitud de onda λ = 500nm están en fase al atravesar el plano AA’. ¿Seguirán en fase al pasar por BB’?. Si no están, calcular el desfasaje. naire = 1; nagua = 1,33; nvidrio = 1,5 aire

1

45°

2

A

A` 1,5 mm

vidrio agua

2,5 mm

B

B`

⎛n ⎞ ⎛ 1 ⎞ nA sen iˆ = nV sen rˆ ⇒ rˆ = sen −1 ⎜ A sen iˆ ⎟ = sen −1 ⎜ sen 45D ⎟ = 28,12D ⎝ 1,5 ⎠ ⎝ nV ⎠ ⎛ n ⎞ ⎛ 1,5 ⎞ sen 28,12D ⎟ = 32,11D nV sen iˆ′ = nH 2O sen rˆ′ ⇒ rˆ′ = sen −1 ⎜ V sen rˆ ⎟ = sen −1 ⎜ ⎜ nH O ⎟ ⎝ 1,33 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎞ l l 2π 2π ⎛ Δφ = k0 ΔL = ( L2 − L1 ) = ⎜⎜ nV AO + nH 2O OB ′ − nV l AO + nH 2OlOB ⎟⎟ = λ0 λ0 ⎝ cos ( r ) cos ( r ) ⎠ 2π nV l AO ( sec ( r ) − 1) + nH 2O lOB ( sec ( r ′ ) − 1) = =

( )

(

)

(

λ0

=

(

)

)

(

( (

) )

( (

) ))

2π 1,5 ⋅1,5mm sec 28,12D − 1 + 1,33 ⋅ 2,5mm sec 32,11D − 1 = 1,13 ⋅104 rad 500nm

2) Dos señales luminosas coherentes monocromáticas y de long. de onda λ = 601,4 nm, parten desde el plano AA’. Una de las señales, en su propagación deber atravesar un deposito de paredes de vidrio que contiene agua, como muestra la figura. Los índices de refracción en el aire, agua y vidrio son respectivamente de naire = 1, nagua = 4/3 y nvidrio = 3/2. ¿Cual es la diferencia de fase entre las dos ondas? A

5 mm

5 mm

B

20 mm

A’

B’

((

)

)

Δφ = k0 ΔL = k0 ( L2 − L1 ) = k0 n A ( l A′B′ − ( 2a + d ) ) + nV 2a + nH 2O d − ( n Al A′B′ ) =

((

)

)

(

)

= k0 nV 2a + nH 2O d − n A ( 2a + d ) = k0 ( nV − 1) 2a + ( nH 2O − 1) d = 1.22 ⋅105 rad

3) Hallar por el método de los fasores, la función suma de ψ1(t), ψ2(t) y ψ3(t), donde ψ1(t) = 10 sen(ωt), ψ2(t) = 16 sen(ωt + π/6) y ψ3(t) = 5 sen(ωt - π/4). Resolver gráficamente por el método de los fasores. Verificar analíticamente. π⎞ ⎛ j ⎜ ωt + ⎟ 6⎠ ⎝ + 16e

π⎞ ⎛ j ⎜ ωt − ⎟

(

j

π

−j

π

)

Ψ ( t ) = Ψ1 ( t ) + Ψ2 ( t ) + Ψ3 ( t ) = 10e + 5e ⎝ 4 ⎠ = 10 + 16e 6 + 5e 4 e jωt = ⎛ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎞ jωt jωt j (ωt + 0.161564 ) = ⎜ 10 + 16 ⎜ + j ⎟ + 5⎜ −j ⎟ ⎟ e = ( 27.39 + j 4.46 ) e = 27.75e ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ ψ = 27.75sen (ωt + 0.161564 ) jωt

Interferómetro de Young

4) Dos rendijas paralelas cuyos centros están separados 0.6mm se iluminan con luz monocromática. Sobre una pantalla situada a 35cm detrás de la rendijas. Se recogen las bandas de interferencia, siendo la distancia entre dos franjas oscuras consecutivas de 0,26 mm. Hallar la longitud de onda de la luz.

1 ⎞ λD ⎛ 1 ⎞ λD λD d ⎛ Δymin = ymin ( m + 1) − ymin ( m ) = ⎜ ( m + 1) + ⎟ −⎜m+ ⎟ = ⇒ λ = Δymin = 445, 7nm 2⎠ d ⎝ 2⎠ d d D ⎝ 5) Sea 0,1mm la distancia d entre las dos rendijas de un diafragma que se utiliza para hacer la experiencia de Young, y 50cm la distancia D a la pantalla. Calcular la distancia en la pantalla entre el máximo central y el primer máximo a cada lado, para la luz violeta (λ = 400nm) y luz roja (λ = 700nm). ymax λ λD λD λD λD = m ⇒ ymax = m ⇒ Δymax = ymax ( m ± 1) − ymax ( m ) = ( m ± 1) −m =± D d d d d d −2 50 ⋅10 m Δymax ( λ1 ) = 400 ⋅10−9 m = ±2mm 0,1⋅10−3 m

sen (θ ) =

Δymax ( λ2 ) = 700 ⋅10−9 m

50 ⋅10−2 m = ±3,5mm 0,1 ⋅10−3 m

6) Un dispositivo de doble abertura como el que se utiliza para realizar la experiencia de Young, se ilumina con luz de una lámpara a vapor de mercurio filtrada de tal manera que solamente se utiliza la línea verde intensa (λ = 546nm). Las aberturas están separadas 0,1mm. ¿Cuál es la posición angular del primer mínimo (m = 0) y del décimo máximo (m = 10)? 1⎞ ⎛⎛ 1⎞λ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞ 546nm ⎞ ⎛ d sen (θ min ) = ⎜ m + ⎟ λ ⇒ θ min = sen −1 ⎜ ⎜ m + ⎟ ⎟ ⇒ θ min ( 0 ) = sen −1 ⎜ ⎜ 0 + ⎟ = 0,16D ⎟ 2⎠ 2⎠d ⎠ 2 ⎠ 0,1mm ⎠ ⎝ ⎝⎝ ⎝⎝ ⎛ 546nm ⎞ ⎛ λ⎞ = 3,13D d sen (θ max ) = mλ ⇒ θ max = sen −1 ⎜ m ⎟ ⇒ θ max (10 ) = sen −1 ⎜ 10 ⎟ ⎝ d⎠ ⎝ 0,1mm ⎠

7) Diseñar un dispositivo de doble abertura que produzca franjas de interferencia separadas 1º sobre una pantalla distante. Suponga que se ilumina con luz de sodio (λ = 589nm). d sen α = mλ ⇒ d =

mλ 1 ⋅ 589 ⋅10-9 m = = 0.034mm sen α tg 1°

8) ¿Cuantas veces aumenta la distancia entre las franjas de interferencias contiguas en la pantalla del experimento de Young si el filtro verde λ = 5 ⋅10−5 cm se sustituye por el rojo λ = 6.5 ⋅10−5 cm ? yrojo y verde

mλrojo D d

λrojo 650 ×10-9 m = = = = 1,3 mλverde D d λverde 500 × 10-9 m

9) En el experimento de Young se interpuso una delgada lámina transparente en la trayectoria de los rayos provenientes de la ranura inferior. Esto hace que la franja brillante central se desplace hasta la posición que antes ocupaba la quinta franja brillante (sin contar la central). Considerar que los rayos inciden sobre la lámina normalmente. El índice de refacción de esta última es 1,3. La longitud de onda utilizada es de 6·10-7m. a) Hacia dónde se desplazan las franjas? Justificar. b) ¿Cómo se modifica el espaciamiento entre las franjas? Justificar. c) Calcular el espesor de la lámina.

a) L1 > L2 , por lo tanto las franjas se desplazan hacia abajo. Si se colocara la lámina en la ranura superior se moverían hacia arriba. b) No se modifica. c) Δφ = k0 ΔL = k0 ( L1 − L2 ) = k0 ( ( nAl + nAe ) − ( nAl + d sen θ + nV e ) ) = k0 ( ( nA − nV ) e − d sen θ ) ⇒ ( ( n A − nV ) e − m′λ ) = mλ ⇒ e = λ

m + m′ 0 + ( −5 ) = 6 ⋅10−7 m = 10μm n A − nV 1 − 1.3

10) En una experiencia de Young donde la distancia entre ranuras es de 1 mm se ha colocado una fuente de luz monocromática como indica la figura. Determinar el máximo central indicando su posición. nA = 1.

)

(

Δφ = Δϕ + k0 ΔL = k0 ( x 2 + d 2 − x ) + k0 ( d sen θ ) = k0 d sen θ + x 2 + d 2 − x ⇒

(

)

ymax D 500mm ⎛ + x 2 + d 2 − x = 0 ⇒ ymax = x − x2 + d 2 = ⎜ 50mm − 1mm ⎝ D d , el signo menos indica que se movió hacia abajo. d

( 50mm )2 + (1mm )2 ⎞⎟ = ⎠

−5mm

11) En un dispositivo de Young, iluminado con luz de λ = 600 nm, se colocan delante de las ranuras sendas láminas de vidrio de índice de refracción n = 1,5, y espesores e1 = 10μm y e2 = 20μm respectivamente. La distancia entre ranuras es de 2mm y la distancia entre ranuras y pantalla es 1m. a) Decir hacia dónde se corre el modelo de interferencia sobre la pantalla respecto su centro. b) Hallar el corrimiento del máximo central y del de 3er. orden.

((

)

)

Δφ = k0 ΔL = k0 ( L2 − L1 ) = k0 nA ( l0 + d sen (θ ) ) + nV e2 − ( nA ( l0 + e2 − e1 ) + nV e1 ) = = k0 ( nA d sen (θ ) + ( nV − nA ) ( e2 − e1 ) ) ⇒ n A d

ymax + ( nV − n A ) ( e2 − e1 ) = mλ ⇒ D

D ( mλ − ( nV − nA ) ( e2 − e1 ) ) nAd 1m ymax ( 0 ) = ( 0 − (1,5 − 1) ( 20μm − 10μm ) ) = −2,5mm , (hacia abajo) 1⋅ 2mm 1m ymax ( 3) = ( 3 ⋅ 600nm − (1,5 − 1) ( 20μm − 10μm ) ) = −1, 6mm 1⋅ 2mm

⇒ ymax =

12) Se ilumina un dispositivo de doble ranura separadas 1mm, con luz de longitud de onda λ = 500nm, y se observa el patrón de interferencia sobre una pantalla situada a 2m de las ranuras. a) ¿Cuál es la separación entre los máximos de interferencia adyacentes sobre la pantalla? b) ¿Cuál es el valor de la interfranja? c) Se coloca luego una lámina de vidrio de n = 1,25 inmediatamente detrás de una de las ranuras, y se observa que las posiciones ocupadas antes por los máximos están ahora ocupadas por mínimos. ¿Cuál es el menor espesor de vidrio que pueda producir este efecto? a) Δymax = ymax ( m + 1) − ymax ( m ) = λ b) Δi =

D 2m = 500nm = 1mm d 1mm

Δymax = 0,5mm 2

c) Δφ = k0 ΔL = k0 ( L2 − L1 ) = k0 ( nA ( l0 + d sen θ ) + nV e ) − nA ( l0 + e ) = k0 ( nA d sen θ + ( nV − nA ) e )

(

)

1⎞ λ ⎛ nA d sen θ + ( nV − nA ) e = mλ ⇒ mλ + ( nV − 1) e = ⎜ m + ⎟ λ ⇒ e = = 1μm ⎝ 2⎠ 2 ( nV − 1)

Láminas delgadas - Cuña

13) Una lámina de vidrio de 0,4µm de espesor se ilumina con un haz de luz blanca normal a la lámina. El índice de refracción del vidrio es 1,5. ¿Qué longitudes de onda del espectro visible aparecerán intensificadas en el haz reflejado? (espectro visible: λ = 400nm a λ = 700nm)

λ⎞ λ 2en 2 ⋅ 0, 4μm ⋅1,5 ⎛ Δφ = k0 ΔL = k0 ( L2 − L1 ) = k0 ⎜ 2en − ⎟ ⇒ 2en − = mλ ⇒ λ = ⇒ = 480nm 1⎞ 1⎞ 2⎠ 2 ⎛ ⎛ ⎝ ⎜m+ ⎟ ⎜2+ ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ (para otros valores de n, se obtienen λ fuera del rango visible). 14) Sobre una película jabonosa (n = 1,33) incide luz blanca formando un ángulo de 45°. ¿Qué espesor mínimo debe tener la película para que los rayos reflejados tengan coloración amarilla (λ = 600nm)?. 2e n 2 − sen 2 ( i ) −

λ

1⎞ λ 1⎞ 600nm ⎛ ⎛ = mλ ⇒ e = ⎜ m + ⎟ = ⎜0+ ⎟ = 0,133μm 2 2 ⎠ 2 n 2 − sen 2 ( i ) ⎝ 2 ⎠ 2 1,332 − sen 2 45D ⎝

( )

15) Una película jabonosa colocada verticalmente toma la forma de cuña a causa del escurrimiento del líquido. Observando las franjas de interferencia a la luz reflejada de un arco de mercurio (λ = 546,1nm), hallamos que la longitud que abarcan 6 franjas brillantes sucesivas es 2cm. Determinar el ángulo de la cuña en segundos. La luz incide perpendicularmente sobre la superficie de la película. El índice de refracción de la película de agua jabonosa es 1,33. ⎛ λ⎞ λ 1⎞ λ ⎛ ( ) ⎟ ⇒ 2 x tan (α ) n − = mλ ⇒ xmax = ⎜ m + ⎟ x n − Δφ = k0 ΔL = k0 ( L2 − L1 ) = k0 ⎜ 2 tan α

⎜ 2⎟ 2 2 ⎠ 2 tan (α ) n ⎝ e( x ) ⎝ ⎠ ( m′ − m ) λ ⎛ ( m′ − m ) λ ⎞ −1 ⎛ ( 6 − 1) ⋅ 546.1nm ⎞ ⇒ α = tan −1 ⎜ = Δxmax = tan ⎜ ⎟ = 10.59" ⎟ 2 tan (α ) n ⎝ 2 ⋅1.33 ⋅ 20cm ⎠ ⎝ 2nΔxmax ⎠

16) Una película delgada de acetona (n = 1,25) flota sobre una placa gruesa de vidrio (n = 1,5). Sobre la película incide luz de longitud de onda λ variable. Cuando se observa el sistema por reflexión hay una interferencia destructiva para λ = 600nm, y una interferencia constructiva para λ = 700nm. Calcular el espesor de la película de acetona. ⎧ 1⎞ ⎛ ⎛ 2en 1 ⎞ 1 λ1λ2 1 600nm ⋅ 700nm ⎪2en = ⎜ m + ⎟ λ1 + ⎟ λ1 ⇒ e = = = 0.84μm 2 ⎠ ⇒ 2en = ⎜ ⎨ ⎝ − ⋅ − λ λ λ 2 4 n 4 1.25 700nm 600nm ⎝ ⎠ 2 2 1 ⎪⎩2en = mλ2

Anillos de Newton

17) Se observan anillos de Newton cuando una lente plano - convexa está colocada de modo que la cara convexa se apoye sobre una superficie plana de vidrio, iluminándose y observando el sistema desde arriba con luz monocromática. El radio del primer anillo brillante es 1mm. a) Si el radio de la superficie convexa es 4m, ¿cuál es la longitud de onda de la luz utilizada? b) Si se llena de agua (n = 1,33) el espacio comprendido entre la lente y la superficie plana del vidrio, ¿cuál sería el radio del primer anillo brillante? Δl = 2ne ( x ) +

λ 2

≅ 2n

r2 λ r2 λ + =n + R 2 2R 2

λ r a) n + = mλ ⇒ λ = R 2 2

2nr 2 2 ⋅1 ⋅ (1mm ) nr 2 = = = 500nm R 4m ⎛ 1⎞ R ⎜1 − ⎟ ⎝ 2⎠ 2

r2 λ 1 ⎞ λR ⎛ ⎛ 1 ⎞ 500nm ⋅ 4m = ⎜1 − ⎟ = 0.867mm b) n + = mλ ⇒ rmax = ⎜ m − ⎟ R 2 2⎠ n 1,33 ⎝ ⎝ 2⎠

18) Una lente convexa se coloca sobre un vidrio plano y se ilumina desde arriba con luz roja de longitud de onda 670nm. La interferencia producida por la luz reflejada en la superficie plana y convexa que limitan la capa de aire consta de un punto oscuro coincidiendo con el de o de las superficies, rodeado de anillos claros y oscuros. Sabiendo que el radio r del vigésimo anillo oscuro es de 1,1cm, calcular el radio de curvatura de la lente R. rmax

2 (1.1mm )3 ⋅1 rmax n 1 ⎞ λR ⎛ = ⎜m− ⎟ ⇒R= = = 9.26m 1⎞ 1⎞ 2⎠ n ⎛ ⎛ ⎝ λ ⎜ m − ⎟ 670nm ⎜ 20 − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

19) Considere una lente plano-convexa de radio de curvatura 10m sobre una superficie de vidrio plano. Supongamos que la lente es movida lentamente separándola de la superficie plana de vidrio hasta que la separación es de 0,1mm. a) Aumenta o disminuye el radio de los anillos? b) Cuántas veces la intensidad del centro de los anillos pasa por un máximo si la luz incidente es monocromática y tiene una λ = 500nm? a) Disminuye b)

⎛⎛ 1⎞ λ ⎞ 1⎞ λ 2dn 1 2 ⋅ 0.1mm ⋅1 1 ⎛ rmax = ⎜ ⎜ m′ − ⎟ − d ⎟ 2 R ⇒ ⎜ m′ − ⎟ − d ≥ 0 ⇒ m′ ≥ + = + = 400.5 ≥ 401 2 ⎠ 2n 2 ⎠ 2n λ 2 500nm 2 ⎝ ⎝⎝ ⎠ m′ − m = 401 − 1 = 400

Interferómetro de Michelson

20) Un leve movimiento efectuado en uno de los dos espejos de un interferómetro de Michelson origina la aparición de 150 franjas oscuras cuando se hace llegar al instrumento una luz de 480nm de longitud de onda. Calcular la distancia que se desplazó el espejo. Δd = N

λ 2

= 150

480nm = 36μm 2

21) En un interferómetro de Michelson, para que la figura de interferencia se desplazara 500 franjas fue necesario correr el espejo una distancia de 0,161mm. Hallar la longitud de onda de la luz incidente. Δd = N

λ 2

⇒λ =2

Δd 0,161mm =2 = 644nm N 500