355125985-soal-latihan-bilangan-docx.docx 32356h

Soal Latihan Topik : Bilangan

1.

Hasil kali dua bilangan asli m dan n adalah 10000, dengan m dan n bukan kelipatan 10. Tentukan jumlah m dan n. Alternatif Penyelesaian. m.n  10000  2 4 5.4

Oleh karena m dan n bukan kelipatan 10 = 2. 5, maka m  2 4  16 dan n  54  625 (atau sebaliknya). Jadi m  n  16  625  641 2.

4 x  5(mod11) dan 5 y  2(mod11) . Tentukan x.y(mod11)

Alternatif Penyelesaian. Teorema. Jika ax  b(mod m) mempunyai solusi maka ( a , m) b Jika ( a , m) b maka ax  b(mod m) mempunyai solusi sebanyak ( a , m)

4 x  5(mod11)  16(mod11)  x  4 5 y  2(mod11)  35(mod11)  y  7 Jadi xy(mod11)  28(mod11)  6(mod11) 3.

Hari ini adalah hari Senin, maka 10 2017 adalah hari Alternatif Penyenelsaian. 10 2  2(mod 7) (10 2 )3  8(mod7)  1(mod7) 10 2017  (106 )336 .10(mod7)  1.10(mod7)  3(mod7)

Yang artinya 102017 hari lagi sama artinya dengan 3 hari lagi. Jadi 102017 hari lagi setelah hari Senin adalah hari Kamis. 4.

Diberikan bilangan 229 merupakan bilangan prima dengan tepat dua angka kembar, tentukan banyak bilangan prima dengan tepat dua angka kembar antara 200 dan 300. Alternatif Penyelesaian. Bilangan prima antara 200 – 300 adalah 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293. Yang memiliki tepat dua angka: 211, 223, 227, 229, 233, 277 Jadi banyak bilangan prima antara 200 – 300 yang memiliki tepat dua angka kembar adalah 6 bilangan

5.

Tentukan bilangan yang dapat dibagi 6 tetapi tidak dapat dibagi 9 antara 101 sampai 199. Alternatif Penyelesaian. Bilangan kelipatan 6 antara 101 sampai 199 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168, 174, 180, 186, 192, 198

KPK(9, 6) = 18 Bilangan kelipatan 18 antara 101 sampai 199 108, 126, 144, 162, 180, 198 Jadi bilangan kelipatan 6 antara 101 sampai 199 yang tidak habis dibagi 9 adalah 102, 114, 120, 132, 138, 150, 156, 168, 174, 186, 192. 6.

Perkalian 3!.5!.6! dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian bilangan prima. Tentukan jumlah pangkat dari 2 dan 3 Alternatif Penyelesaian. 3!.5!.6!

 3.2.1.5.4.3.2.1.6.5.4.3.2.1  23.33.42.52.6  23.33.24.52.2.3  28.34.52

Jadi jumlah pangkat dari 2 dan 3 adalah 8 + 4 = 12 7.

Jika 56 disajikan dalam 211 dalam basis b, maka 112 dalam basis b disajikan dalam basis 10 adalah Alternatif Penyelesaian.

211b  2.b2  1.b1  1.b0 56  2b2  b  1 0  2b2  b  55 Sehingga nilai b yang mungkin adalah 5.

112b  1125  1.52  1.51  2.50  25  5  2  32 Jadi 112 5  32 8.

Tentukan bilangan terbesar k sedemikian sehingga 30! dapat habis dibagi 6

k

Alternatif Penyelesaian.

30!  30.29.28.27.26.25.24....3.2.1 9.

Tentukan banyak suku yang sama dari dua barisan aritmatika 5, 12, 19, …, 2014 dan 2, 13, 24, …, 2015. Alternatif Penyelesaian. Teorema: Persamaan liniear Diophantine ax  by  c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika

( a , b) c Teorema: Jika d  ( a , b) dan xo , y o merupakan penyelesaian persamaan Diophantine ax  by  c , maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah

x  xo  (b / d)k dan y  yo  ( a / d)k dengan k parameter bilangan bulat. Barisan aritmatika 5, 12, 19, …, u x , …, 2014 memiliki beda = 7 Barisan aritmatika 2, 13, 24, …, u y , …, 2015 memiliki beda = 11 Misalkan u x dan u y berturut-turut merupakan suku pertama pada barisan aritmatika 5, 12, 19, … dan 2, 13, 24, …. yang menyebabkan ux  uy .

ux  uy 5  ( x  1).7  2  ( y  1).11 7 x  2  11y  9 7 x  11y  7 Karena (7, -11) = 1 dan 1 7 maka 7 x  11y  7 mempunyai selesaian.

1  7.3  11.2 7  7.21  11.14 Maka xo  21, yo  14 Selesaian umumnya: x  21  11k dan y  14  7 k Untuk k  1 diperoleh x  10, y  7 sehingga

ux  5  ( x  1).7  5  63  68 Jadi suku pertama yang sama pada kedua barisan adalah 68. Karena [7,11] = 77, maka barisan aritmatika 68, 145, 222, …, 1993 merupakan barisan suku-suku yang sama pada kedua barisan aritmatika di atas. Banyak suku yang sama adalah 1993  68  (n  1).77 1993  77 n  9 1993  9 n 77 n  26

Jadi banyak suku yang sama dari dua barisan aritmatika tersebut adalah 26 suku. 10. 128 dapat dinyatakan menjadi 2 bilangan prima. Tentukan selisih kedua bilangan prima tersebut. Alternatif Penyelesaian. Bilangan prima 19 dan 109 jika dijumlahkan menjadi 128. Jadi selisih kedua bilangan prima tersebut adalah 90. 11. Sisa pembagian (4 44  4) oleh 11 adalah … Alternatif Penyelesain. Soal tersebut sama saja dengan mencari x pada (444  4)  x(mod11)

(4 44  4)(mod11)  ((4.11)44  4)(mod11)  (0  4)(mod11)  4(mod11) Jadi sisa pembagian (444  4) oleh 11 adalah 4. 12. 1600 dapat dinyatakan sebagai perkalian m dan n, m dan n bukan kelipatan 10. Tentukan selisih m dan n. Alternatif Penyelesaian. 1600  16.100  2 4.2 2.52  26.52 26  64,52  25

Misal m = 64 dan n = 25 (atau sebaliknya)

Jadi selisih m dan n = 64 – 25 = 39 13. 6 x  3(mod11) dan 2 y  7(mod11) . Tentukan xy(mod11) . Alternatif Penyelesaian. Soal ini mempunyai bentuk yang serupa dengan soal nomor 2.

6 x  3(mod11)  36(mod11)  x  6 2 y  7(mod11)  18(mod11)  y  9 Sehingga xy(mod11)  54(mod11)  10(mod11) Jadi xy(mod11)  10(mod11) 14. Jumlah 7 bilangan berututan 280. Tentukan banyak bilangan primanya. Alternatif Penyelesaian. Bilangan berurutan bermakna b = 1. Misalkan a adalah suku pertama dari 7 bilangan berurutan

n tersebut. Jumlah 7 bilangan berurutan bermakna S7  (2a  (n  1)b) dengan n = 7, dan b = 1. 2 Sehingga 7 280  (2a  (7  1).1) 2 280  7 a  21 280  21 a  7 a  37

Oleh karena itu 7 bilangan tersebut adalah: 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 Yang merupakan bilangan prima: 37, 41, 43 Jadi banyak bilangan prima pada soal tersebut adalah 3. 15. Sisa pembagian x 51  51 dengan ( x  1) adalah… Alternatif Penyelesaian. 51 Misalkan f ( x)  x  51 dibagi dengan ( x  1 ), maka sisanya f (1) .

51 Sehingga f ( 1)  ( 1)  51  50

Jadi sisa pembagian x 51  51 dengan ( x  1) adalah 50

16. Tentukan jumlah semua bilangan yang terletak antara 301 – 550 yang habis dibagi 8 tetapi tidak habis dibagi 12. Alternatif Penyelesaian. Bilangan yang habis dibagi 8 antara 301 – 550 304, 312, 320, …, 544 Mencari banyaknya suku.

un  a  (n  1)b 544  304  (n  1)8 544  304 n 1 8 n  31 Jumlah n suku pertama 31 (304  544) 2 31  848 2  13144

304  312  ...  544



Karena [8, 12] = 24, maka bilangan yang habis dibagi 8 dan 12 antara 301 – 550 adalah 312, 336, 360, …, 528 Mencari banyaknya suku

un  a  (n  1)b 528  312  (n  1)24 528  312 n 1 24 n  10 Jumlah n suku pertama 10 (312  528) 2  4200

312  336  ...  528



Jadi jumlah semua bilangan yang habis dibagi 8 dan tidak habis dibagi 12 adalah 13144 – 4200 = 8944 17. Tentukan banyak bilangan prima yang kurang dari 100 dan setiap angka penyusunnya bilangan prima. Alternatif Penyelesaian. Bilangan prima kurang dari 100. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Jadi bilangan prima yang setiap angka penyusunnya bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73 105

18. Tentukan apakah 3

 4105 habis dibagi 7.

Alternatif Penyelesaian. (3105  4105 )(mod 7)

 (3105  (7  3)105 )(mod 7)  (3105  3105 )(mod 7)  0(mod 7)

105

Jadi 3

 4105 habis dibagi 7.

19. Tentukan bilangan 4 digit yang memenuhi 4( abcd)  dcba Alternatif Penyelesaian.

4( abcd)  dcba , karena bilangannya 4 digit, maka kemungkinan nilai a adalah 1 atau 2.

Karena dcba  2.2( abcd) , maka dcba merupakan bilangan genap. Sehingga a haruslah genap. Jadi

a  2 . Karena 4a  d , diperoleh d  8 , sehingga: 4(2bc8)  8cb2 8.1000  4b.100  4c.10  32  8.1000  c.100  b.10  2 8.1000  4b.100  (4c  3).10  2  8.1000  c.100  b.10  2 Diperoleh:

40b  4c  3  10c  b 39b  3  6c Hal ini dipenuhi untuk b  1, c  7 Jadi bilangan yang dimaksud abcd  2178 1234

20. Tentukan dua digit terakhir dari bilangan 3 Alternatif Penyelesaian.

1234 Soal ini sama maknanya dengan menentukan x pada 3  x(mod100)

35  243(mod 100)  43(mod 100) 310  (35 )2  43.43(mod 100)  1849(mod 100)  49(mod 100)

320  (310 )2  49.49(mod 100)  2401(mod 100)  1(mod 100)

31234  (320 )61 .310.34 (mod 100)  1.49.81(mod 100)  3969(mod 100)  69(mod 100)

Jadi dua digit terakhir dari bilangan 31234 adalah 69. 21. Jika ditulis dalam basis 10 tentukan banyaknya angka bilangan 416 x 525 Alternatif Penyelesaian.

416.525  232.525  (2.5)25 .27  1025.128 Jadi banyaknya angka pada bilangan 416.525 adalah 28 22. Tentukan semua pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga a 2  b2  1991 Alternatif Penyelesaian.

a2  b2  1991 ( a  b)( a  b)  1991 Karena 1991=1.1991 atau 1991 = 11.181, maka terdapat dua kemungkinan Kemungkinan 1 Misal 1991 = 1.1991, diperoleh

ab 1 a  b  1991  2a  1992  a  996 b  1991  996  995 Pasangan bilangan aslinya a = 996 dan b = 995

Kemungkinan 2 Misal 1991 = 11.81, diperoleh

a  b  11 a  b  181  2a  192  a  96 b  181  96  85 Pasangan bilangan aslinya a  96 dan b  85 Jadi pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi a2  b2  1991 adalah ( a , b)  (996,995) atau ( a , b)  (96,85) 23. Tentukan angka terakhir dari 777 333 Alternatif Penyelesaian. 333 Soal ini sama dengan mencari x pada persamaan kongruensi 777  x(mod10)

777  7(mod 10)

777 2  9(mod 10)  1(mod 10) , sehingga 777 4  1(mod 10) 777 333  (777 4 )83 7(mod 10)  7(mod 10) Jadi angka terakhir dari 777 333 adalah 7 24. Tentukan sisa 31990 jika dibagi 41 Alternatif Penyelesaian. Soal ini sama dengan mencari x pada persamaan kongruensi 31990  x(mod41)

34  81(mod 41)  1(mod 41) sehingga 38  1(mod 41) 31990  (38 )248 .34.32  1248.( 1).9(mod 41)  9(mod 41)  32(mod 41) Jadi sisa 31990 jika dibagi 41 adalah 32. 25. Tentukan angka satuan dari (1!)3  (2!)3  (3!)3  ...  (2017!)3 Alternatif Penyelesaian. Soal ini sama dengan mencari x pada (1!)3  (2!)3  (3!)3  ...  (2017!)3  x(mod 10) Karena 5!  120  0(mod 10) , maka 6!(mod10)  7!(mod 10)  ...  2017!(mod 10)  0(mod 10) Sehingga (1!)3  (2!)3  (3!)3  (4!)3  (5!)3  ...  (2017!)3  (1  8  6  4  0)(mod 10)  9(mod 10)

Jadi angka satuan dari (1!)3  (2!)3  (3!)3  ...  (2017!)3 adalah 9 26. Diketahui 7

3 x1

 56 , tentukan nilai dari 7 2 x1

Alternatif Penyelesaian.

7 3 x 1  56 7 3x  8 7x  2 Jadi 7 2 x1 

(7 x )2 4  7 7

27. Pada tahun N, hari ke-300 dalam tahun tersebut adalah Selasa. Pada tahun N+1, hari ke-200 nya juga Selasa. Hari apakah hari ke-100 pada tahun N-1? Alternatif Penyelesaian. Ada dua kemungkinan untuk tahun N, yaitu tahun N merupakan tahun kabisat atau tahun N bukan merupakan tahun kabisat. Kemungkinan 1: Tahun N bukan merupakan tahun kabisat. Hari ke-300 dalam tahun N sama dengan hari ke-200 tahun N + 1 hal ini berarti 265  0(mod7) . Hal ini tidak benar karena 7 tidak membagi 265. Jadi tahun N merupakan tahun kabisat. Tahun N merupakan tahun kabisat, sehingga tahun N – 1 bukan merupakan tahun kabisat. Untuk menentukan hari apakah hari ke-100 tahun N – 1 sama saja menentukan x hari sebelum hari selasa pada kongruensi 565  x(mod 7) . Karena 565  7.80  5 , maka x  5 . Jadi hari ke-100 pada tahun N – 1 adalah hari Kamis. 28. Sisa pembagian 2 55  5 oleh 11 adalah … Alternatif Penyelesaian. Soal tersebut sama saja mencari x pada 255  5  x(mod11)

(255  5)(mod11)  ((2 5 )11  5)(mod11)  (( 1)11  5)(mod11)  4(mod11) Jadi sisa pembagian 2 55  5 oleh 11 adalah 4. 29. Bilangan 126 dapat ditulis sebagai jumlah dua bilangan prima. Selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilangan tersebut adalah .. 30. Dalam sistem bilangan berbasis sepuluh, bilangan 645 bermakna 6.10 2  4.101  5.100 . Akan tetapi, di Negeri Benua semua bilangan ditulis dalam basis r. Jono membeli sebuah motor disana dengan harga 440 satuan moneter(sm). Ia memberi penjualnya cek 1000 sm dan menerima kembalian 340 sm. Basis r adalah … 31. Banyak bilangan bulat m dengan 10  m  100 sedemikian hingga 19 merupakan faktor m2  m  30 adalah… 31. Untuk suatu bilangan bulat n,5n  14 dan 8n  19 mempunyai faktor persekutuan lebih besar dari pada satu. Faktor persekutuan tersebut adalah … 32. Himpunan {1, 2, 4} membentuk grup dengan operasi perkalian modulo m, dengan m = … 33. Sisa pembagian 3247  11 oleh 17

34. Jika a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehigga x 2  x  2 merupakan faktor ax 3  bx  4 maka

b sama dengan … a

35. Diketahui 1  k habis dibagi 3, 1  2k habis dibagi 5, 1  8k habis dibagi 7. Jika k adalah bilangan bulat positif, maka nilai terkecil untuk k adalah … 36. Jika 10a  1(mod 13) maka 17a jika dibagi 13 akan bersisa… 37. Jika N  2(mod 4) dan M  8(mod 16) maka sisa MN jika dibagi 32 adalah … 38. N adalah bilangan asli yang memenuhi N  2(mod 3) dan N  1(mod 2) . Tentukan sisanya jika N dibagi 6. 39. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat: bersisa 2 jika dibagi 5, bersisa 3 jika dibagi oleh 7, dan bersisa 4 jika dibagi 9. Berapakah hasil penjumlahan digit-digit dari N? 40. Barisan 3, 15, 24, 48, … adalah barisan bilangan asli yang merupakan kelipatan 3 dan kurang 1 dari suatu bilangan kuadrat. Tentukan sisanya jika suku ke-1994 dibagi 1000. 41. Berapa sisanya jika 1 . 3 . 5 . … . 2005 dibagi 1000?3