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Tema 10
FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS C.E.I.P.S. Adolfo Suárez Luis Alonso Curso 2010/2011
Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
Curso 2010/2011
Luis Alonso
2
1.- POLIEDROS Un cuerpo geométrico es una figura de tres dimensiones. Hay dos grandes tipos de cuerpos geométricos: –
Poliedros: Limitadas por caras planas poligonales.
–
Cuerpos de revolución: resultan al girar una figura plana alrededor de un eje.
Curso 2010/2011
Luis Alonso
3
1.- POLIEDROS En un cuerpo geométrico podemos distinguir: –
Vértices: puntos.
–
Aristas: rectas.
–
Caras: planos.
Curso 2010/2011
Luis Alonso
4
Posiciones relativas ●
En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas: –
Curso 2010/2011
Posiciones de dos planos: ●
Paralelos
●
Secantes
Luis Alonso
5
Posiciones relativas ●
En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas: –
Curso 2010/2011
Posiciones de dos rectas: ●
Paralelas
●
Secantes
●
Se cruzan
Luis Alonso
6
Posiciones relativas ●
En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas: –
Curso 2010/2011
Posiciones de una recta y un plano: ●
Secantes
●
Paralelos
●
Recta contenida en el plano
Luis Alonso
7
Perpendicularidad ●
● ●
Además, si se cortan la recta y el plano pueden ser perpendicularmente. Es decir, la recta es perpendicular al plano. Y esto ocurre cuando la recta es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.
Curso 2010/2011
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1.- POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos. Llamamos: –
Caras del poliedro a los polígonos que lo forman.
–
Aristas del poliedro a los lados de las caras: Cada arista se junta con dos caras.
–
Vértices del poliedro a los vértices de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras.
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9
1.- POLIEDROS ●
●
Existen dos tipos de poliedros: –
Convexo: Son los que hemos visto siempre.
–
Cóncavo: Tiene como “agujeros” o “hendiduras”
Ejemplo: las figuras de la página 169.
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10
1.- POLIEDROS ●
En cualquier poliedro se verifica la fórmula de Euler:
C+V=A+2 –
C: Caras
–
V: Vértices
–
A: Aristas
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POLIEDROS REGULARES Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares idénticos y en cada vértice del poliedro concurren el mismo número de aristas o de caras.
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POLIEDROS REGULARES Los únicos 5 poliedros regulares son: –
Tetraedro: 4 caras que son triángulos
–
Cubo: 6 caras que son cuadrados
–
Octaedro: 8 caras que son triángulos
–
Dodecaedro: 12 caras que son pentágonos
–
Icosaedro: 20 caras que son triángulos
Curso 2010/2011
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POLIEDROS REGULARES
Curso 2010/2011
Luis Alonso
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POLIEDROS ●
Otros poliedros importantes son: –
Paralelepípedo recto (ortoedro) y oblicuo
–
Prisma recto y oblicuo
–
Pirámide y tronco de pirámide
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados base, y varios paralelogramos, llamados caras laterales. La distancia entre las bases se llama altura del prisma. ●
●
Si todas las caras laterales son rectángulos, el prisma es recto. Si alguna cara lateral no es rectángulo, el prisma es oblicuo. Se nombra también con el polígono de la base: prisma pentagonal.
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PARALELEPÍPEDO ●
Un prisma con todas las caras paralelogramos se llama paralelepípedo. –
●
Un paralelogramo es un polígono de 4 lados paralelos e iguales dos a dos: cuadrado, rombo, rectángulo,...
Podemos destacar: –
Ortoedro: caras rectángulos.
–
Cubo: caras cuadrados.
–
Romboedro: caras rombos.
–
Romboidedro: caras romboides.
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2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Las alturas de los triángulos de las caras laterales se llaman apotemas de la pirámide. Las pirámides se llaman triangulares, cuadrangulares,... según el polígono de la base Curso 2010/2011
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TRONCO DE PIRÁMIDE ●
Si cortamos una pirámide de forma paralela a la base tenemos un tronco de pirámide y la pirámide deficiente.
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PROPIEDADES MÉTRICAS ●
●
Como los poliedros tienen en sus caras polígonos (triángulos, rectángulos,...) podemos usar las mismas propiedades métricas que en el plano. Por ejemplo, en un ortoedro podemos calcular ciertas distancias ayudados por el Teorema de Pitágoras, ya que todas sus caras son perpendiculares entre sí.
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PROPIEDADES MÉTRICAS ●
●
Por ejemplo, podemos calcular si en una caja (ortoedro) entra un determinado listón. Ejemplo página 171.
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PROPIEDADES MÉTRICAS ●
Realmente, podemos usar el “Teorema de Pitágoras en el espacio”: –
El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los valores de sus tres dimensiones.
D= x y z 2
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Luis Alonso
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN Girando un rectángulo alrededor de un lado se genera un cilindro recto. Las bases del cilindro son círculos y su distancia es la altura.
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN Haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto, se obtiene un cono recto. La altura es la distancia del vértice a la base. La altura del triángulo (g) es la generatriz. También tenemos troncos de cono.
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN La esfera se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Queda determinada por su radio (r).
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN ●
●
Podemos encontrarnos también con problemas métricos en los cuerpos de revolución. Lo importante es darnos cuenta de cuáles son los datos y qué queremos hacer con dichos datos.
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SIMETRÍAS ●
●
Hay dos tipos de simetrías en cuerpos geométricos: –
Eje de simetría: Si giramos el cuerpo alrededor de ella con un determinado ángulo volvemos a tener el mismo cuerpo.
–
Plano de simetría: Es un plano que contiene el eje de simetría y divide al cuerpo en dos mitades iguales pero simétricas.
Podemos encontrar muchos planos de simetrías en poliedros y en cuerpos de revolución.
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS ●
●
●
El área de un cuerpo geométrico es la superficie que ocupa el cuerpo. En los cuerpos geométricos estudiados conviene desarrollarlos sobre el plano y así calcular su área. Lo que haremos entonces es calcular áreas de rectángulos, trapecios, triángulos, hexágonos,... y sumar todas las áreas de las distintas caras.
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4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS ●
●
El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. El volumen de un prima o un cilindro es área de la base por la altura.
V = Abase · h ●
El volumen de una pirámide o un cono es la tercera parte del área de la base por la altura.
1 V = A base · h 3 Curso 2010/2011
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4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS ●
El área de la superficie esférica es:
A=4 · r ●
2
El volumen de una esfera es:
4 3 V = · r 3
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS ●
●
Para calcular el área o el volumen de un cuerpo compuesto debemos primero descomponerlo en cuerpos elementales como los que ya hemos estudiado. Una vez descompuesto, calculamos las distintas áreas o volúmenes y luego sumamos todas para encontrar el área o el volumen del cuerpo compuesto.
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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6.- LA TIERRA ●
●
La Tierra es prácticamente una esfera con radio medio de 6371Km. La Tierra gira alrededor del eje terrestre que pasa por dos Polos: Norte y Sur.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremos son los polos. Un huso es la superficie limitada entre dos meridianos. La Tierra se divide en 24 husos llamados husos horarios, que determinan lugares con la misma hora.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestre que son perpendiculares al eje (y por tanto también a los meridianos). El ecuador es el máximo paralelo; es decir, la circunferencia más grande. La superficie contenida entre dos paralelos se llama zona.
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6.- LA TIERRA ●
●
Podemos establecer las coordenadas que tiene un punto en la esfera terrestre usando el sistema terrestre que tiene por ejes el ecuador y el meridiano de Greenwich. La unidad de medida es el grado.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
Cualquier punto de la Tierra está determinado por unas coordenadas: latitud y longitud. La longitud de un lugar P es la medida en grados del arco que forma, en el ecuador, el meridiano del lugar y el meridiano de Greenwich. La latitud de un lugar P es la medida en grados del arco que forma, en el meridiano del lugar, el ecuador y el paralelo del lugar.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
●
La longitud varía de 0º a 180º en dirección este (E) y de 0º a 180º en dirección oeste (W). La latitud varía de 0º a 90º en dirección norte (N) en el hemisferio norte y de 0º a 90º en dirección sur (S) en el hemisferio sur. Todos los puntos de un mismo meridiano tienen la misma longitud. Todos los puntos de un mismo paralelo tienen la misma latitud.
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6.- LA TIERRA ●
●
Entonces las coordenadas de una ciudad se escriben: A(15ºE, 45ºN) –
Ciudad A
–
Situada a 15º al este del meridiana de Greenwich
–
Situada a 45º al norte del ecuador.
Para que nos hagamos una idea, las coordenadas de Madrid son: (3.41ºO,40.24ºN)
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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1.- POLIEDROS Un cuerpo geométrico es una figura de tres dimensiones. Hay dos grandes tipos de cuerpos geométricos: –
Poliedros: Limitadas por caras planas poligonales.
–
Cuerpos de revolución: resultan al girar una figura plana alrededor de un eje.
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1.- POLIEDROS En un cuerpo geométrico podemos distinguir: –
Vértices: puntos.
–
Aristas: rectas.
–
Caras: planos.
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Posiciones relativas ●
En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas: –
Curso 2010/2011
Posiciones de dos planos: ●
Paralelos
●
Secantes
Luis Alonso
5
Posiciones relativas ●
En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas: –
Curso 2010/2011
Posiciones de dos rectas: ●
Paralelas
●
Secantes
●
Se cruzan
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6
Posiciones relativas ●
En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas: –
Curso 2010/2011
Posiciones de una recta y un plano: ●
Secantes
●
Paralelos
●
Recta contenida en el plano
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7
Perpendicularidad ●
● ●
Además, si se cortan la recta y el plano pueden ser perpendicularmente. Es decir, la recta es perpendicular al plano. Y esto ocurre cuando la recta es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.
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1.- POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos. Llamamos: –
Caras del poliedro a los polígonos que lo forman.
–
Aristas del poliedro a los lados de las caras: Cada arista se junta con dos caras.
–
Vértices del poliedro a los vértices de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras.
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1.- POLIEDROS ●
●
Existen dos tipos de poliedros: –
Convexo: Son los que hemos visto siempre.
–
Cóncavo: Tiene como “agujeros” o “hendiduras”
Ejemplo: las figuras de la página 169.
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1.- POLIEDROS ●
En cualquier poliedro se verifica la fórmula de Euler:
C+V=A+2 –
C: Caras
–
V: Vértices
–
A: Aristas
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POLIEDROS REGULARES Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares idénticos y en cada vértice del poliedro concurren el mismo número de aristas o de caras.
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POLIEDROS REGULARES Los únicos 5 poliedros regulares son: –
Tetraedro: 4 caras que son triángulos
–
Cubo: 6 caras que son cuadrados
–
Octaedro: 8 caras que son triángulos
–
Dodecaedro: 12 caras que son pentágonos
–
Icosaedro: 20 caras que son triángulos
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POLIEDROS REGULARES
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POLIEDROS ●
Otros poliedros importantes son: –
Paralelepípedo recto (ortoedro) y oblicuo
–
Prisma recto y oblicuo
–
Pirámide y tronco de pirámide
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados base, y varios paralelogramos, llamados caras laterales. La distancia entre las bases se llama altura del prisma. ●
●
Si todas las caras laterales son rectángulos, el prisma es recto. Si alguna cara lateral no es rectángulo, el prisma es oblicuo. Se nombra también con el polígono de la base: prisma pentagonal.
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PARALELEPÍPEDO ●
Un prisma con todas las caras paralelogramos se llama paralelepípedo. –
●
Un paralelogramo es un polígono de 4 lados paralelos e iguales dos a dos: cuadrado, rombo, rectángulo,...
Podemos destacar: –
Ortoedro: caras rectángulos.
–
Cubo: caras cuadrados.
–
Romboedro: caras rombos.
–
Romboidedro: caras romboides.
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2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Las alturas de los triángulos de las caras laterales se llaman apotemas de la pirámide. Las pirámides se llaman triangulares, cuadrangulares,... según el polígono de la base Curso 2010/2011
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TRONCO DE PIRÁMIDE ●
Si cortamos una pirámide de forma paralela a la base tenemos un tronco de pirámide y la pirámide deficiente.
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PROPIEDADES MÉTRICAS ●
●
Como los poliedros tienen en sus caras polígonos (triángulos, rectángulos,...) podemos usar las mismas propiedades métricas que en el plano. Por ejemplo, en un ortoedro podemos calcular ciertas distancias ayudados por el Teorema de Pitágoras, ya que todas sus caras son perpendiculares entre sí.
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PROPIEDADES MÉTRICAS ●
●
Por ejemplo, podemos calcular si en una caja (ortoedro) entra un determinado listón. Ejemplo página 171.
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PROPIEDADES MÉTRICAS ●
Realmente, podemos usar el “Teorema de Pitágoras en el espacio”: –
El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los valores de sus tres dimensiones.
D= x y z 2
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN Girando un rectángulo alrededor de un lado se genera un cilindro recto. Las bases del cilindro son círculos y su distancia es la altura.
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN Haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto, se obtiene un cono recto. La altura es la distancia del vértice a la base. La altura del triángulo (g) es la generatriz. También tenemos troncos de cono.
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN La esfera se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Queda determinada por su radio (r).
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3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN ●
●
Podemos encontrarnos también con problemas métricos en los cuerpos de revolución. Lo importante es darnos cuenta de cuáles son los datos y qué queremos hacer con dichos datos.
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SIMETRÍAS ●
●
Hay dos tipos de simetrías en cuerpos geométricos: –
Eje de simetría: Si giramos el cuerpo alrededor de ella con un determinado ángulo volvemos a tener el mismo cuerpo.
–
Plano de simetría: Es un plano que contiene el eje de simetría y divide al cuerpo en dos mitades iguales pero simétricas.
Podemos encontrar muchos planos de simetrías en poliedros y en cuerpos de revolución.
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4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS ●
●
●
El área de un cuerpo geométrico es la superficie que ocupa el cuerpo. En los cuerpos geométricos estudiados conviene desarrollarlos sobre el plano y así calcular su área. Lo que haremos entonces es calcular áreas de rectángulos, trapecios, triángulos, hexágonos,... y sumar todas las áreas de las distintas caras.
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4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS ●
●
El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. El volumen de un prima o un cilindro es área de la base por la altura.
V = Abase · h ●
El volumen de una pirámide o un cono es la tercera parte del área de la base por la altura.
1 V = A base · h 3 Curso 2010/2011
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4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS ●
El área de la superficie esférica es:
A=4 · r ●
2
El volumen de una esfera es:
4 3 V = · r 3
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS ●
●
Para calcular el área o el volumen de un cuerpo compuesto debemos primero descomponerlo en cuerpos elementales como los que ya hemos estudiado. Una vez descompuesto, calculamos las distintas áreas o volúmenes y luego sumamos todas para encontrar el área o el volumen del cuerpo compuesto.
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Tema 10 1.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN 4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA
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6.- LA TIERRA ●
●
La Tierra es prácticamente una esfera con radio medio de 6371Km. La Tierra gira alrededor del eje terrestre que pasa por dos Polos: Norte y Sur.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremos son los polos. Un huso es la superficie limitada entre dos meridianos. La Tierra se divide en 24 husos llamados husos horarios, que determinan lugares con la misma hora.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestre que son perpendiculares al eje (y por tanto también a los meridianos). El ecuador es el máximo paralelo; es decir, la circunferencia más grande. La superficie contenida entre dos paralelos se llama zona.
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6.- LA TIERRA ●
●
Podemos establecer las coordenadas que tiene un punto en la esfera terrestre usando el sistema terrestre que tiene por ejes el ecuador y el meridiano de Greenwich. La unidad de medida es el grado.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
Cualquier punto de la Tierra está determinado por unas coordenadas: latitud y longitud. La longitud de un lugar P es la medida en grados del arco que forma, en el ecuador, el meridiano del lugar y el meridiano de Greenwich. La latitud de un lugar P es la medida en grados del arco que forma, en el meridiano del lugar, el ecuador y el paralelo del lugar.
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6.- LA TIERRA ●
●
●
●
La longitud varía de 0º a 180º en dirección este (E) y de 0º a 180º en dirección oeste (W). La latitud varía de 0º a 90º en dirección norte (N) en el hemisferio norte y de 0º a 90º en dirección sur (S) en el hemisferio sur. Todos los puntos de un mismo meridiano tienen la misma longitud. Todos los puntos de un mismo paralelo tienen la misma latitud.
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6.- LA TIERRA ●
●
Entonces las coordenadas de una ciudad se escriben: A(15ºE, 45ºN) –
Ciudad A
–
Situada a 15º al este del meridiana de Greenwich
–
Situada a 45º al norte del ecuador.
Para que nos hagamos una idea, las coordenadas de Madrid son: (3.41ºO,40.24ºN)
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