6 Exercices Corriges Mmc 4n2761

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TD3/ Méca-1/MMC 27 Septembre 2001 1. Champ de contraintes dans une poutre On considère le champ de contraintes suivant dans le domaine 0<x1
2. "Essai brésilien" On considère un disque de diamètre d, soumis à deux forces P radiales, appliquées sur la circonférence et diamétralement opposées. On examine le champ de contraintes suivant, compte tenu des notations de la figure, où a est une constante que l'on définira à la question 2: s/a = (cos q1/r1) ir1ƒir1 + (cos q2/r2) ir2ƒir2 - (1/d) I

x2 P q1 r1 d

r q r2

x1

1. Montrer que Divx [(cos q/r) irƒir] =0, r, q, ir ayant q2 les significations habituelles en coordonnées cylindriques. En déduire que Divx s = 0 (Indication : Divx(aƒb) = Dxa(b) + divxb a, Dx(a a) = —xa ) a Dxa + aƒ— 2. Montrer que s(n)= 0 le long de la surface libre r=d/2. On ne considérera que des points éloignés des points d'application de P. 3. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x2=0. Calculer la résultante et en déduire la constante a. (Indication : La primitive de 1/(1+x2)2 est: x/(2(1+x2)) + Arctg(x)/2. ) 4. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x1=0. En déduire pourquoi un matériau peu résistant en traction casse sur cet axe. 5. Application numérique : On considère un échantillon cylindrique en béton de hauteur H=0.1 m, diamètre d=0.1m. La force maximale mesurée est : Fmax=2 104 N. Calculer la résistance à la traction du béton.

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TD3/Eléments de solution: 1. Exercice 1: 1. On vérifie que ∂sij/∂xj vaut identiquement zéro. Remarque : Ce champ de contraintes vérifie également les équations de Beltrami ; il lui est donc associé un champ de déplacements si le comportement est élastique. 2. Le vecteur contraintes est s (n). Sur les faces x2=-c par exemple, il vaut : s(-i2) = -s 22i2-s12i1 ; il correspond à l’action de l’extérieur sur la pièce. s11(0,x2) = -p/2 (x2/c)3, s12(0,x2)=0, s11(L,x2) = (3p/4) (L2x2/c3-2/3 (x2/c)3 ), s12(L,x2)=(3p/4) (L/c) (1-(x2/c)2) ; s12(x1,c)=0, s22(x1,c) = 0, s12(x1,-c)=0, s22(x1,-c)=p On a donc une poutre chargée sur sa face inférieure par une pression -p et ainsi que par des forces sur les faces x1=0 et L. Si la poutre est élancée L>>c, s11(0,x2) est d’ordre 1 en L/c, alors que s11(L,x2) et s12(L,x2) sont d’ordre (L/c)2 et (L/c) respectivement. L’action exercée sur la face x1=0 devient négligeable. Les contraintes sont maximales en x1=L et pratiquement uniaxiale car s12 est d’un ordre de grandeur plus petit que s12. On note que rapidement s11 est linéaire en x2. 3. Torseurs Ú s 11 dx2 = 0, Ú s 12 dx2 = p x10 : on peut retrouver cela en raisonnant au niveau de la coupure 0£x1£x10 à partir des actions exercées sur les faces. Ú x2 s11 dx2 = p (x12/2 –c2/5) ~px12/2 (formule classique RDM), Ú x2 s12 dx2 = 0 4. A.N. : L=20m, c=1m , Cz=0.8, V=200m/s, ra= 1 kg/m3, p=Cz raV2/2 = 0.8 x1x4.104x0.5 = 16000 Pa s11(L,c) ~ (3p/4) (L2/c2) = 3x16000/4x(20)2 ~5 Mpa

Poutre épaisse : c=L/5

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Isovaleur s11 Poutre élancée : c=L/10

Isovaleurs s12 Les isovaleurs de s22 sont des droites x2=cst

2. Exercice 2: Essai brésilien Eléments de solution 4. Divx ((cosq/r) irƒir) On rappelle : —xa) Divx(aƒb)= Dxa(b) + divxb a Divx(a A) = a DivxA + A(— On en déduit : —x(cosq/r)) Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) Divx (irƒir) + (irƒir)(— —x(cosq/r)) ir = (cosq/r) (Dxir(ir) + divxir ir) + (ir,— —x(cosq/r) = (-sinq/r) iq/r – (cosq/r2) ir , Dxir = ∂qirƒiq/r= iqƒiq/r Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) (0 + (1/r) ir) - (cosq/r2) ir = 0 Remarque : avec la formule classique, on trouve le même résultat : ∂srr/∂r + (1/r) ∂srq/∂q + (srr - sqq )/r = - cos q1/r12 + cos q1/r12 = 0 2. Sur le pourtour r=d/2, n=er, cos q1/r1 = cos q2/r2 = 1/d, et : (er1 , er2)=0 ; d'où: s(n)= a/d [ (er1, er) er1 + (er2, er) er2 - er ] = 0 3. sur x2=0, q=0, q1=q2, r1=r2 , cos q1 = d/2r1 , r1 = (d2/4 + r2)1/2 ; n=-i2 , (er1 , -i2) = cos q1,

(er2 , -i2) = - cos q2,

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www.almohandiss.com 4 s(n) = a [(cos2 q1/r1) er1 - (cos2 q2/r2) er2 + (1/d) i2] s(n) = a [(cos2 q1/r1) (sin q1 i1 - cos q1 i2) - (cos2 q2/r2) (sin q2 i1 + cos q2 i2) + (1/d) i2] s(n) = a [-2 cos3 q1/r1 + (1/d) ] i2 = a/d [-d4/4r14 + 1 ] i2 donc, il n'y a pas de cisaillement sur cet axe; si r1=d/2, (au centre), la contrainte normale est max. et vaut: -3a/d si r1=d/÷2, (au bord), la contrainte normale vaut zéro. Résultante (des forces de de la partie inférieure x2<0 sur la partie x2>0: (a/d) Ú]-d/2,d/2[ [-d4/4(d2/4 + r2)2 + 1 ] dr = - (a/d) dp/2 = - a p/2 = P on en déduit a. Répartition de s22 sur l'axe x2=0: -0.4

-0.2

0.2

0.4

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3

4. Sur l'axe x1=0, q1=q2=0, q= ±p/2, er1 = -i2, er2= i2 , n = i1 (si on regarde l'action de x1>0 sur x1<0): s/a = - (1/d) i1 il n'y a, à nouveau, pas de contrainte de cisaillement. Comme a et d sont positifs, la contrainte normale est une traction. L’essai est intéressant car il est difficile de pratiquer un essai de traction simple sur le béton, à cause des problèmes d’arrimage de l’échantillon à la presse. 5. Application numérique : s11max = -2P/pd = 2F/(pdH) ~ 1.27 MPa

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Isovaleurs s22

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Isovaleurs s11

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Isovaleurs s12

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