Abaco 2h3v5x

abacus

=≥

{}

? ≤MAT&HS+

% LAY 0 -4P8 637

1

2

imagen 1 Diagram 1

2A

1

1x8=8

10

10x4=40

100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

2B

2C 1x1=1

1x0=0

10x6=60

10x5=50

100x9=900

100x6=600

1000x5=5000

1000x7=7000

10000x2=20000

10000x3=30000 100000x4=400000 1000000x2=2000000 10000000x1=10000000 100000000x3=300000000

*2

imagen 3 Diagram 3

A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

3

imagen 4 Diagram 4

4

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

(ES) 1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓN El ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central. Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)… El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual. 3. OPERACIONES CON EL ÁBACO Todas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas. SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles. Se representa como se muestra en la imagen 1. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

Unidades Decenas Centenas Unidades de Millar Decenas de Millar Centenas de Millar Unidades de Millón Decenas de Millón Centenas de Millón Unidades de Billón

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACO Antes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

RESTA Simple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece. 2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A. 2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

MULTIPLICACIÓN Simple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar: * 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4 2

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

(EN) 1. HISTORY AND DESCRIPTION The abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

MULTIPLICATION Simple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems. An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

(FR) 1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Diagram 1 shows us what they represent. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

Units Tens Hundreds Thousands Tens of Thousands Hundreds of Thousands Millions Tens of Millions Hundreds of Millions Billions

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc. Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

2. HOW TO USE THE ABACUS Before you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B. 2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Unités Dizaines Centaines Milliers Dizaines de milliers Centaines de milliers Millions Dizaines de millions Centaines de millions Milliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIER Avant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre. Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît. 2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

Below are a few exercises for you to try: * 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et erez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual. 3. OPERATIONS WITH THE ABACUS All operations can be divided into either simple or complex operations. ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Nous proposons ci-dessous différents exercices : * 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 : A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

SUBTRACTION Simple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel. 3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIER Toutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le 3

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons er à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons er 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire er à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen: * 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183. * 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

SOUSTRACTION Opération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons er 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung. 3. RECHNEN MIT DEM ABAKUS Alle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen. ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire er les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

MULTIPLICATION Opération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

ABZIEHEN Einfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons er à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

(DE) 1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNG Der Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien. Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

MALNEHMEN Einfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plusund Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen. Er sieht aus wie auf Abbildung 1. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

Einer Zehner Hunderter Tausender Zehntausender Hunderttausender Millionen Zehn Millionen Hundert Millionen Milliarden

(IT) 1. STORIA E DESCRIZIONE Il pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale. Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRD Vor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen. 2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders 4

Unità Decina Centinaio Unità di migliaia Decina di migliaia Centinaio di migliaia Unità di milione Decina di milione Centinaio di milione Unità di miliardo

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

2. COME USARE IL PALLOTTOLIERE Prima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra. Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare. 2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

A imagem 1 representa um ábaco.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi iamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

Unidades Dezenas Centenas Unidades de Milhar Dezenas de Milhar Centenas de Milhar Unidades de Milhão Dezenas de Milhão Centenas de Milhão Unidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACO Antes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece. 2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare: * 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso amos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale. 3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERE Tutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse. ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

A seguir propomos alguns exercícios para completar: * 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183. * 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual. 3. OPERAÇÕES COM O ÁBACO Todas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOTTRAZIONE Semplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois amos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir amos a formar a segunda cifra (321), ando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos ar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo amos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas amos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por ar, voltamos a repetir a operação e amos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente amos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

MOLTIPLICAZIONE Semplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

SUBTRAÇÃO Simples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, amos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; amos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas amos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, amos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos ar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a ar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

(PT) 1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃO O ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central. O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

MULTIPLICAÇÃO 5

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, ando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826. Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e amos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes amos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois amos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo amos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta ar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

(RO) 1.ISTORIE ŞI DESCRIERE Abacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

ÎNMULŢIREA Simplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826. Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)… Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

(TR) 1. TARİHÇESİ VE TANIMI Abaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile. Se reprezintă conform imaginii 1. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

Bucăţi Zeci Sute Unităţi de miliard Zeci de miliard Sute de miliard Unităţi de milion Zeci de milion Sute de milion Unităţi de bilion

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)… Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir. Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACUL Înainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A. 2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

Adet Onlar Yüzler Binler On binler Yüz binler Milyonlar On milyonlar Yüz milyonlar Milyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR? Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir. 2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

3. OPERAŢIUNI CU ABACUL Toate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456. Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır. 3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLER Tüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir. TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

SCĂDEREA 6

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τ α δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır. Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε: * 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183. * 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3: A/ .............. B/ .............. Γ/ .............. Δ/ .............. E/ .............. ΣΤ/ .............. Ζ/ .............. H/ .............. Θ/ ..............

ÇIKARMA Basit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου. 3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟ Όλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο α ριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δ εκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμ ό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσιν ες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κ όκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456. Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μο νάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλ λά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες π ου μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξι ά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δε κάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χά ντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδ ες, δηλαδή, 837.

ÇARPMA Basit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır. Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

ΑΦΑΙΡΕΣΗ Απλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αρι θμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να α φαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μον άδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Τ ο τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντά δες (πράσινο), δηλαδή, 212.

(EL) 1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ο άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σ ύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετ ά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 απ ό τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκ άδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)… Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τ ις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτ όμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτ ύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Απλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις , όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντ ας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμέν ες 10 χάντρες που μετακινούνται. Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες απ ό τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπ όλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περν άμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για ν α περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μέ νει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

Μονάδες Δεκάδες Εκατοντάδες Μονάδες Χιλιάδας Δεκάδες Χιλιάδας Εκατοντάδες Χιλιάδας Μονάδες Εκατομμυρίου Δεκάδες Εκατομμυρίου Εκατοντάδες Εκατομμυρίου Μονάδες Δισεκατομμυρίου

(RU) 1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕ Счеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟ Πριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά. Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μ πλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η ει κόνα 2.A.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρ ά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρ ες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, πε ρνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θ α απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περ νάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για ν α σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξι ά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1. 1 10 100 7

Единицы Десятки Сотни

1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

Единицы тысяч Десятки тысяч Сотни тысяч Единицы миллионов Десятки миллионов Сотни миллионов Единицы миллиардов

(CN) 1. 历史和说明 算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历 史学家指出其源于中亚。

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИ Перед тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с лев ой стороны.

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、 soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）... 算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除 ），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理， 在求解的同时培养思考能力。

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками разл ичные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат. 2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано н а иллюстрации 2.A.

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。 形状如图 1 中所示。 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зелен ого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтог о цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого ц вета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B. 2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десятка м и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зе леного цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого ц вета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перем ещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шар ика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому м ы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, ж елтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как предст авлено это число на счетах.

个位 十位 百位 千位 万位 十万位 百万位 千万位 亿位 十亿位

2. 如何使用算盘 开始使用前，所有算珠必须在左边。 为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。 2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算 珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。 2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向 右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上 的这个数字如图 2.B. 所示。

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения. * 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183. * 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因 此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算 珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个 算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。 我们在此提供几种要完成的练习： * 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

* 2： 写下图 3 中所示的数字： A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХ Все операции можно разделить на простые и сложные. СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представит ь на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шари ка для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе ч исло (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, на конец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

* 练习答案位于本手册末页。

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика дл я единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавля ем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Одн ако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, ко торые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили тольк о 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и пер емещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для е диниц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

3. 用算盘运算 所有运算都可以分为简单或复杂。 加法 简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（ 蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到 右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位 ），即 456。 复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红 色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向 右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只 移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色 ）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

ВЫЧИТАНИЕ Простое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещ аем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемеща ем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный ре зультат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

减法 简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色 ）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算 珠（绿色），即 212。

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно пер еместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим в право все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычит ании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 с отни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及 百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并 向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边 （十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色 ）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还 剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

УМНОЖЕНИЕ Простое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных опера ций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делае м то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеле ных шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для един иц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

乘法 简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（ 蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两 次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个 算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。 复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十 位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个， 此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色 ）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует перемест ить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещ аем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого пер емещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим 8

‫)‪(AR‬‬ ‫‪ .1‬اﻟﺘﺎرﻳﺦ واﻟﻮﺻﻒ‬ ‫ﻳﻌﺘﺒﺮ اﻷﺑﺎﻛﻮس أداة اﻹﺣﺼﺎء اﻷﻗﺪم ﻓﻲ اﻟﻌﺎﻟﻢ‪ ،‬واﻟﺘﻲ ﺷﻜﻠﺖ أﺳﺎس اﻟﺤﺎﺳﺒﺎت اﻟﺮﻗﻤﻴﺔ اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ‪ .‬ﻳﺼﻌﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺼﺪره اﻟﺪﻗﻴﻖ ﻟﻜﻦ أﻏﻠﺐ ﻋﻠﻤﺎء اﻟﺘﺎرﻳﺦ ﻳﺸﻴﺮون إﻟﻰ آﺳﻴﺎ اﻟﻮﺳﻄﻰ‪.‬‬ ‫ﻟﻘﺪ ﺗﻄﻮر اﻷﺑﺎﻛﻮس ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻲ ﻣﺨﺘﻠﻒ أﻧﺤﺎء اﻟﻌﺎﻟﻢ‪ ،‬وﻧﺠﺪ ﻣﻨﻬﺎ اﻟﻴﻮم اﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ اﻷﺷﻜﺎل؛ اﻟﺴﻮان ﺑﺎن )اﺑﺎﻛﻮس ﺻﻴﻨﻲ(‪ ،‬وﺳﻮروﺑﺎن )اﺑﺎﻛﻮس ﻳﺎﺑﺎﻧﻲ(‪ ،‬وﺳﺘﺸﻮﺗﻲ )اﻻﺑﺎﻛﻮس اﻟﺮوﺳﻲ(‪...‬‬ ‫ﻳﺴﻬﻞ ﻓﻬﻢ اﻷﺑﺎﻛﻮس‪ ،‬وﻫﻮ ﻳﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺗﻌﻠﻢ اﻟﺤﺴﺎب ﺑﺴﻬﻮﻟﺔ‪ .‬ﻳﺴﻬﻞ ﻧﻈﺎﻣﻪ ووﺿﻌﻴﺔ اﻷرﻗﺎم ﻓﻴﻪ ﻋﻠﻰ ﺗﻌﻠﻢ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ ﻟﻸرﻗﺎم اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ )ﻛﺎﻟﺠﻤﻊ واﻟﻄﺮح واﻟﻀﺮب واﻟﻘﺴﻤﺔ(‪ ،‬ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺟﺬر اﻟﺘﺮﺑﻴﻊ واﻷرﻗﺎم اﻟﻤﺤﺘﻤﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻜﻤﻦ ﻓﺎﺋﺪة اﻷﺑﺎﻛﻮس ﻓﻲ ﺗﻌﻠﻴﻤﻨﺎ ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ ﻓﻲ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ وإﻳﺠﺎد اﻟﺤﻠﻮل ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻳﺘﺄﻟﻒ اﻷﺑﺎﻛﻮس ﻣﻦ إﻃﺎر ﻣﻊ ﻗﻀﺒﺎن ﻣﺘﻮازﻳﺔ ﺗُﺪﺧﻞ ﻓﻴﻬﺎ ‪ 10‬ﻛﺮات ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ‪.‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة رﻗﻢ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫آﺣﺎد‬

‫‪10‬‬

‫ﻋﺸﺮات‬

‫‪100‬‬

‫ﻣﺌﺎت‬

‫‪1.00 0‬‬

‫آﺣﺎد اﻷﻟﻮف‬

‫‪10 .0 0 0‬‬

‫ﻋﺸﺮات اﻷﻟﻮف‬

‫‪100.000‬‬

‫ﻣﺌﺎت اﻷﻟﻮف‬

‫‪1.000.000‬‬

‫آﺣﺎد اﻟﻤﻠﻴﻮن‬

‫‪10.000.000‬‬

‫ﻋﺸﺮات اﻟﻤﻠﻴﻮن‬

‫‪100.000.000‬‬

‫ﻣﺌﺎت اﻟﻤﻠﻴﻮن‬

‫‪1.000.000.000‬‬

‫آﺣﺎد اﻟﻤﻠﻴﺎر‬

‫‪ .2‬ﻛﻴﻔﻴﺔ اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﺑﺎﻛﻮس‬ ‫ﻗﺒﻞ اﻟﺒﺪء ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻟﻪ ﻳﺠﺐ ﺗﺜﺒﻴﺖ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻜﺮات ﻓﻲ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﺴﺮى ﻣﻨﻪ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺘﻌﺮف واﻻﻋﺘﻴﺎد ﻋﻠﻴﻪ ﻳﻨﺼﺢ ﺑﺘﺮﻛﻴﺐ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻷرﻗﺎم ﻣﻊ اﻟﻜﺮات وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﺘﺮاﻛﻴﺐ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ وﺣﺴﺎب اﻷرﻗﺎم اﻟﺘﻲ ﺗﻈﻬﺮ‪.‬‬ ‫‪.2‬أ‪ .‬ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 48‬ﺣﺮك ‪ 8‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻵﺣﺎد )اﻟﺼﻒ اﻷول‪ ،‬اﻟﺰرﻗﺎء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﻌﺸﺮات ﺣﺮك ‪ 4‬ﻛﺮات )اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬اﻟﺤﻤﺮاء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﺳﻮف ﻳﺼﺒﺢ اﻟﺮﻗﻢ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة ‪.2‬أ‪.‬‬ ‫‪.2‬ب‪ .‬ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 25961‬ﺣﺮك ﻛﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ اﻵﺣﺎد )اﻟﺼﻒ اﻷول‪ ،‬اﻟﺰرﻗﺎء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﻌﺸﺮات ﺣﺮك ‪ 6‬ﻛﺮات )اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬اﻟﺤﻤﺮاء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﻤﺌﺎت ﺣﺮك ‪ 9‬ﻛﺮات )اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ ،‬اﻟﺨﻀﺮاء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﺸﻜﻞ آﺣﺎد اﻷﻟﻒ ﺣﺮك ‪ 5‬ﻛﺮات )اﻟﺼﻒ اﻟﺮاﺑﻊ‪ ،‬اﻟﺼﻔﺮاء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬وأﺧﻴﺮا ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ ﻋﺸﺮات اﻟﻤﻠﻴﺎر ﻧﺤﺮك ﻛﺮﺗﻴﻦ )اﻟﺼﻒ اﻟﺨﺎﻣﺲ‪ ،‬اﻟﺒﻴﻀﺎء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﺳﻮف ﻳﻈﻬﺮ اﻟﺮﻗﻢ ﻓﻲ اﻷﺑﺎﻛﻮس ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة ‪.2‬ب‪.‬‬ ‫‪.2‬ج‪ .‬ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 312437650‬ﻧﺒﺪأ ﺑﺎﻵﺣﺎد )اﻟﺼﻒ اﻷول‪ ،‬اﻟﺰرﻗﺎء(‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻷﺣﻴﺎن ﻻ ﻧﺠﺪ ﻛﺮات ﻓﻲ ﻫﺬاا ﻟﺼﻒ‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﻳﺠﺐ اﻻﻧﺘﻘﺎل إﻟﻰ اﻟﻌﺸﺮات واﻟﺘﺤﺮﻳﻚ ‪ 5‬ﻛﺮات )اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬اﻟﺤﻤﺮاء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﻤﺌﺎت‬ ‫)اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬اﻟﺨﻀﺮاء( ﻳﺠﺐ ﺗﺤﺮﻳﻚ ‪ 6‬ﻛﺮات إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻓﻲ آﺣﺎد اﻷﻟﻒ ﻧﺤﺮك ‪ 7‬ﻛﺮات )اﻟﺼﻒ اﻟﺮاﺑﻊ‪ ،‬اﻟﺼﻔﺮاء( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻓﻲ ﻋﺸﺮات اﻷﻟﻒ )اﻟﺼﻒ اﻟﺨﺎﻣﺲ‪ ،‬اﻟﺒﻴﻀﺎء( ﻧﺤﺮك ‪ 3‬ﻛﺮات إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻓﻲ ﻣﺌﺎت اﻷﻟﻒ )اﻟﺼﻒ‬ ‫اﻟﺴﺎدس‪ ،‬اﻟﺰرﻗﺎء( ﻧﺤﺮك ‪ 4‬ﻛﺮات إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر‪ .‬ﻓﻲ آﺣﺎد اﻟﻤﻠﻴﻮن )اﻟﺼﻒ اﻟﺴﺎﺑﻊ‪ ،‬اﻟﺤﻤﺮاء( ﻧﺤﺮك ﻛﺮﺗﻴﻦ إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻓﻲ ﻋﺸﺮات اﻟﻤﻠﻴﻮن )اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻣﻦ‪ ،‬اﻟﺨﻀﺮاء( ﻧﺤﺮك ﻛﺮة واﺣﺪة ﻓﻘﻂ إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬وأﺧﻴﺮﴽ ﻣﺌﺎت اﻟﻤﻠﻴﺎر )اﻟﺼﻒ‬ ‫اﻟﺘﺎﺳﻊ‪ ،‬اﻟﺼﻔﺮاء( ﻧﺤﺮك ‪ 3‬ﻛﺮات إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬اﻟﺼﻮرة ‪.2‬ج‪ .‬ﺗﻮﺿﺢ اﻟﺮﻗﻢ ﻛﻤﺎ ﺳﻴﻈﻬﺮ ﻓﻲ اﻷﺑﺎﻛﻮس‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺮض ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ اﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ اﻟﻤﻜﻤﻠﺔ‪:‬‬ ‫* ‪ :1‬ﺗﻤﺜﻴﻞ اﻷرﻗﺎم اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﺑﺎﻛﻮس‪.4183 ،1692 ،987 ،539 ،205 ،191 ،98 ،46 :‬‬ ‫* ‪ :2‬ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻷرﻗﺎم اﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة رﻗﻢ ‪:3‬‬ ‫أ‪.............. /‬‬ ‫ب‪.............. /‬‬ ‫ج‪.............. /‬‬ ‫د‪.............. /‬‬ ‫ﻫـ‪.............. /‬‬ ‫و‪.............. /‬‬ ‫ز‪.............. /‬‬ ‫ح‪.............. /‬‬ ‫ط‪.............. /‬‬ ‫* أﺟﻮﺑﺔ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﺎت‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﺑﺎﻛﻮس‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت إﻟﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺴﻴﻄﺔ أو ﻣﻌﻘﺪة‪.‬‬ ‫اﻟﺠﻤﻊ )ﺻﻮرة رﻗﻢ ‪(4‬‬ ‫اﻟﺒﺴﻴﻄﺔ‪ :‬ﻓﻲ ﺣﺎل رﻏﺒﻨﺎ ﺑﺠﻤﻊ ‪ .321 + 135‬ﻳﺠﺐ وﺿﻊ اﻟﺮﻗﻢ اﻷول ﻓﻲ اﻷﺑﺎﻛﻮس )‪ ،(135‬ﻧﺤﺮك ‪ 5‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻵﺣﺎد )اﻷزرق( إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ و‪ 3‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات )أﺣﻤﺮ( و‪ 1‬ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت )أﺧﻀﺮ(‪ .‬ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻧﻘﻮم ﺑﺘﺸﻜﻴﻞ اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫)‪ :(321‬ﻧﺤﺮك ﻛﺮة واﺣﺪة زرﻗﺎء إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻣﻦ اﻵﺣﺎد وﻛﺮﺗﻴﻦ ﺣﻤﺮاء ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات و‪ 3‬ﻛﺮات ﺧﻀﺮاء ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت‪ .‬اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﻤﻨﻰ ﻫﻲ‪ 6 :‬ﻛﺮات زرﻗﺎء )آﺣﺎد( و‪ 5‬ﻛﺮات ﺣﻤﺮاء )ﻋﺸﺮات( و‪ 4‬ﻛﺮات ﺧﻀﺮاء )ﻣﺌﺎت(‪ ،‬أي ‪.456‬‬ ‫ﻣﻌﻘﺪة‪ :‬ﻟﺠﻤﻊ ‪ .564 + 273‬ﻳﺠﺐ ﺗﺮﻛﻴﺐ اﻟﺮﻗﻢ )‪ 3 :(273‬ﻛﺮات زرﻗﺎء ﻣﻦ اﻵﺣﺎد و‪ 7‬ﻛﺮات ﺣﻤﺮاء ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات وﻛﺮﺗﻴﻦ ﺧﻀﺮاء ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت‪ .‬ﻧﺰﻳﺪ ﻛﺮات إﻟﻰ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﻤﻨﻰ واﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 564‬ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ‪ 4‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻵﺣﺎد اﻟﺰرﻗﺎء و‪6‬‬ ‫ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻵن ‪ 7‬ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻏﻴﺮ ﻛﺎﻓﻴﺔ‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺗﻤﺮﻳﺮ ‪ 3‬ﻛﺮات إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ اﻟﺒﺎﻗﻴﺔ ﻓﻲ ﺟﻬﺔ اﻟﻴﺴﺎر وﻧﻤﺮر ﻛﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﻧﺠﺪ ﺟﻤﻴﻊ ﻛﺮات اﻟﻌﺸﺮات ﻓﻲ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﺴﺮى‪ .‬وﺑﻤﺎ أﻧﻨﺎ ﻗﻤﻨﺎ‬ ‫ﺑﺘﻤﺮﻳﺮ ‪ 3‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات وﻻﺗﺰال ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼﺛﺔ أﺧﺮى ﻟﻠﺘﻤﺮﻳﺮ ﻧﻌﻴﺪ اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ وﻧﻤﺮر ‪ 3‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻫﻲ اﻟﺘﻲ ﺑﻘﻴﺖ ﻟﺪﻳﻨﺎ‪ ،‬وﺑﻌﺪﻫﺎ ﻧﺰﻳﺪ ‪ 5‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻈﻬﺮ ﻫﻲ ‪ 7‬ﻛﺮات‬ ‫ﻓﻲ اﻵﺣﺎد و ‪ 3‬ﻓﻲ اﻟﻌﺸﺮات و‪ 8‬ﻓﻲ اﻟﻤﺌﺎت‪ ،‬أي ‪.837‬‬ ‫اﻟﻄﺮح‬ ‫اﻟﺒﺴﻴﻄﺔ‪ :‬ﻧﻄﺮح ‪ .213 - 425‬ﺑﻌﺪ ﺗﺜﺒﻴﺖ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻜﺮات ﻓﻲ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﺴﺮى ﻧﺒﺪأ ﺑﺘﻤﺮﻳﺮ اﻟﺮﻗﻢ اﻷول ‪ 5 ،425‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻵﺣﺎد اﻟﺰرﻗﺎء و‪ 2‬ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء و‪ 4‬ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء‪ .‬ﻟﻄﺮح اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 213‬ﻧﺒﺪأ ﻣﻦ اﻵﺣﺎد‪ :‬ﻧﻤﺮر ‪3‬‬ ‫ﻛﺮات ﻣﻦ اﻵﺣﺎد اﻟﺰرﻗﺎء ﻣﻦ اﻟﻴﻤﻴﻦ إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر وﻓﻲ اﻟﻌﺸﺮات ﻧﻤﺮر إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻛﺮة واﺣﺪة ﺣﻤﺮاء وﻓﻲ اﻟﻤﺌﺎت ﻧﺤﺮك ﻛﺮﺗﻴﻦ ﺧﻀﺮاء ﻣﻦ اﻟﻴﻤﻴﻦ إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر‪ .‬اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻨﻬﺎﺋﻴﺔ ﻫﻲ‪ :‬ﻛﺮﺗﻴﻦ ﻓﻲ اﻵﺣﺎد اﻟﺰرﻗﺎء وﻛﺮة ﻓﻲ اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء‬ ‫وﻛﺮﺗﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء اي ‪.212‬‬ ‫ﻣﻌﻘﺪة‪ :‬ﻓﻲ ﻫﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻧﻄﺮح ‪ .485 - 976‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻧﻤﺮر ‪ 6‬آﺣﺎد و‪ 7‬ﻋﺸﺮات و‪ 9‬ﻣﺌﺎت إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ‪ .976‬ﻟﻄﺮح اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 485‬ﻧﺒﺪأ ﻣﻦ اﻵﺣﺎد‪ .‬ﻧﻄﺮح ‪ 5‬آﺣﺎد زرﻗﺎء وﻧﻤﺮرﻫﺎ إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻧﻄﺮح ‪ 8‬ﻋﺸﺮات‪،‬‬ ‫ﻟﻜﻨﻨﺎ ﻻ ﻧﻤﻠﻚ ﻛﺮات ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺗﻤﺮﻳﺮ ‪ 7‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر وﺗﻤﺮﻳﺮ ‪ 1‬ﻣﻦ ‪ 9‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء‪ .‬ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻧﻤﺮر ﺟﻤﻴﻊ ﻛﺮات اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻧﺤﺮك ﻛﺮة واﺣﺪة ﺣﻤﺮاء ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻷﻧﻬﺎ‬ ‫اﻟﺒﺎﻗﻴﺔ ﻟﻄﺮﺣﻬﺎ‪.‬‬ ‫وأﺧﻴﺮﴽ ﻧﻄﺮح ‪ 4‬ﻣﺌﺎت ﺧﻀﺮاء ﻣﻦ ‪ 8‬ﻓﻲ ﺣﻮزﺗﻨﺎ )ﻃﺮﺣﻨﺎ ‪ 1‬ﻣﻦ ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻌﺸﺮات( وﺗﺒﻘﻰ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ 4‬ﻓﻲ اﻟﻘﺴﻢ اﻷﻳﻤﻦ‪ .‬واﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻫﻲ ‪ 4‬ﻣﺌﺎت و‪ 1‬ﻋﺸﺮات و‪ 1‬آﺣﺎد‪ ،‬أي ‪.491‬‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫اﻟﺒﺴﻴﻄﺔ‪ :‬ﻟﻠﻀﺮب‪ ،‬ﻣﺜﻼ ﻟﻀﺮب ‪ 2× 413‬ﻳﺠﺐ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت أن ﺗﻜﻮن ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻜﺮات ﻓﻲ ﺟﻬﺔ اﻟﻴﺴﺎر‪ .‬ﻧﺒﺪأ ﺑﺎﻵﺣﺎد اﻟﺰرﻗﺎء أوﻻ ً وﻧﺠﺪ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﻤﻨﻰ ﺧﺎﻟﻴﺔ وﻧﺒﺪأ ﺑﺘﺤﺮﻳﻚ ‪ 3‬ﻛﺮات ﻣﺮﺗﻴﻦ إﻟﻰ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﻤﻨﻰ‪ .‬ﻧﻌﻴﺪ اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻣﻊ اﻟﻌﺸﺮات‬ ‫وﻧﺤﺮك ﻛﺮة واﺣﺪة ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﻊ اﻟﻤﺌﺎت‪ ،‬وﻧﺤﺮك ‪ 4‬ﻛﺮات ﺧﻀﺮاء ﻣﺮﺗﻴﻦ‪ .‬ﻳﺠﺐ أن ﺗﻜﻮن اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‪ 6 :‬ﻛﺮات آﺣﺎد زرﻗﺎء وﻛﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء و‪ 8‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء‪ ،‬أي ‪.826‬‬ ‫ﻣﻌﻘﺪة‪ :‬ﻟﻀﺮب ‪ 2×74‬ﻧﺒﺪأ ﺑﺘﺤﺮﻳﻚ ‪ 4‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻵﺣﺎد اﻟﺰرﻗﺎء ﻣﺮﺗﻴﻦ‪ ،‬وﺑﻌﺪﻫﺎ ﻧﻀﺮب اﻟﻌﺸﺮات ﺑﺘﺤﺮﻳﻚ ‪ 7‬ﻛﺮات ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء‪ ،‬ﻟﻜﻨﻨﺎ ﻻ ﻧﻤﻠﻚ ﻛﺮات ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻌﻤﻠﻴﺔ‪ .‬ﻧﺤﺮك ﻋﻨﺪﻫﺎ ‪ 7‬ﻛﺮات اﻷوﻟﻰ إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ واﻟﺜﻼﺛﺔ اﻟﺒﺎﻗﻴﺔ‬ ‫ﻛﺬﻟﻚ‪ ،‬وﺑﺬﻟﻚ ﻧﺤﺮك ﻛﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء وﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﺤﺮك إﻟﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﺟﻤﻴﻊ ﻛﺮات اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء‪ ،‬وﺗﺒﻘﻰ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ 4‬ﻛﺮات ﺣﻤﺮاء ﻟﻠﻌﺸﺮات ﻟﻠﺘﻤﺮﻳﺮ واﻟﺘﻲ ﻧﺤﺮﻛﻬﺎ إﻟﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ‪ .‬ﺗﺒﻘﻰ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻛﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺌﺎت اﻟﺨﻀﺮاء و‪ 4‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻌﺸﺮات اﻟﺤﻤﺮاء و‪ 8‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻵﺣﺎد اﻟﺰرﻗﺎء‪ ،‬أي ‪.148‬‬

‫‪9‬‬

‫)‪(HE‬‬ ‫‪ .1‬הסטוריה ותיאור‬ ‫החשבונייה נחשבת למכשיר החישוב העתיק ביותר‪ ,‬והיא קודמתם של המחשבונים הדיגיטליים המודרניים‪ .‬קשה לקבוע מהו מוצאה המדויק‪ ,‬אך רוב ההיסטוריונים מאמינים כי מקורה במרכז אסיה‪.‬‬ ‫החשבונייה התפתחה בדרכים שונות באזורי העולם השונים‪ ,‬וכיום קיימים כמה סוגי חשבוניות‪ :‬ה"סואן פאן" )חשבונייה סינית(‪ ,‬ה"סורובן" )חשבונייה יפנית(‪ ,‬ה"סצ'וטי" )חשבונייה רוסית(‪...‬‬ ‫קל מאוד להבין את החשבונייה‪ ,‬והיא שימושית מאוד כדי ללמוד לחשב‪ .‬שיטת הספירה לפי מיקום עוזרת להבין את הפעולות החשבוניות הבסיסיות )חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל וחילוק( ואפילו שורש ריבועי וחזקות‪ .‬היתרון‬ ‫של החשבונייה הוא שהיא מלמדת אותנו לחשוב חשיבה לוגית על כל בעיה מתמטית‪ ,‬ובכך היא מפתחת את היכולת לחשוב על פתרונות‪.‬‬ ‫החשבונייה מורכבת ממסגרת עם מוטות מקבילים‪ ,‬שעליהם ‪ 10‬כדורים הניתנים להזזה‪.‬‬ ‫היא נראית כפי שמוצג באיור ‪.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1, 000‬‬ ‫‪10 ,000‬‬ ‫‪100,000‬‬ ‫‪1,000,000‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0,000,000‬‬ ‫‪100,000,000‬‬ ‫‪1,000,000,000‬‬

‫אחדות‬ ‫עשרות‬ ‫מאות‬ ‫אלפיות‬ ‫עשרות אלפים‬ ‫מאות אלפים‬ ‫מיליונים‬ ‫עשרות מיליונים‬ ‫מאות מיליונים‬ ‫מיליארדים‬

‫‪.2‬אופן השימוש בחשבונייה‬ ‫לפני תחילת השימוש‪ ,‬על כל הכדורים להיות בצד שמאל‪.‬‬ ‫כדי להתחיל להכיר את החשבונייה‪ ,‬מומלץ להציב מספרים שונים בעזרת הכדורים‪ ,‬לראות שילובים שונים של החשבונייה ולחשב את המספר המופיע‪.‬‬ ‫‪ .A.2‬כדי ליצור את המספר ‪ ,48‬נעביר ‪ 8‬כדורים בשורת האחדות )שורה ראשונה‪ ,‬צבע כחול( לצד ימין‪ .‬כדי ליצור את העשרות‪ ,‬נעביר ‪ 4‬כדורים )שורה שנייה‪ ,‬צבע אדום( לצד ימין‪ .‬מספר זה מוצג באיור ‪.2.A‬‬ ‫‪ .B.2‬כדי ליצור את המספר ‪ ,25,961‬נעביר כדור אחד בשורת האחדות )שורה ראשונה‪ ,‬צבע כחול( לצד ימין‪ .‬כדי ליצור את העשרות נעביר ‪ 6‬כדורים )שורה שנייה‪ ,‬צבע אדום( לצד ימין‪ .‬כדי ליצור את המאות‪ ,‬נעביר ‪9‬‬ ‫כדורים )שורה שלישית‪ ,‬צבע ירוק( לצד ימין‪ ,‬כדי ליצור אלפים נעביר ‪ 5‬כדורים )שורה רביעית‪ ,‬צבע צהוב( לצד ימין‪ ,‬ולבסוף‪ ,‬כדי ליצור את עשרות האלפים‪ ,‬נעביר ‪ 2‬כדורים )שורה ‪ ,5‬צבע לבן( לצד ימין‪ .‬מספר זה‬ ‫מוצג באיור ‪ 2.B‬כפי שהוא נראה בחשבונייה‪.‬‬ ‫‪ .C.2‬כדי ליצור את המספר ‪ ,312,437,650‬נתחיל באחדות )שורה ראשונה‪ ,‬צבע כחול(‪ ,‬אבל הפעם אין לנו אף כדור להעביר‪ ,‬על כן נעבור לעשרות ונעביר ‪ 5‬כדורים )שורה שנייה‪ ,‬צבע אדום( לצד ימין‪ .‬ליצירת המאות‬ ‫)שורה שלישית‪ ,‬צבע ירוק(‪ ,‬נעביר ‪ 6‬כדורים לצד ימין‪ .‬לאלפים )שורה רביעית‪ ,‬צבע צהוב(‪ ,‬נעביר ‪ 7‬כדורים לצד ימין‪ .‬לעשרות האלפים )שורה חמישית‪ ,‬צבע לבן(‪ ,‬נעביר ‪ 3‬כדורים לצד ימין‪ .‬למאות האלפים )שורה‬ ‫שישית‪ ,‬צבע כחול(‪ ,‬נעביר ‪ 4‬כדורים לצד ימין‪ .‬למיליונים )שורה שביעית‪ ,‬צבע אדום(‪ ,‬נעביר ‪ 2‬כדורים לצד ימין‪ .‬לעשרות מיליונים )שורה שמינית‪ ,‬צבע ירוק(‪ ,‬נעביר כדור ‪ 1‬בודד לצד ימין‪ .‬ולבסוף למאות מיליונים‬ ‫)שורה תשיעית‪ ,‬צבע צהוב(‪ ,‬נעביר ‪ 3‬כדורים לצד ימין‪ .‬באיור ‪2.C‬מוצג מספר זה כפי שהוא נראה בחשבונייה‪.‬‬ ‫אנחנו ממליצים על כמה תרגילים‪:‬‬ ‫* ‪ :1‬הציגו בעזרת החשבונייה את המספרים הבאים‪.4183 ,1692 ,1009 ,987 ,539 ,205 ,191 ,98 ,46 :‬‬ ‫* ‪ :2‬רשמו את המספרים המיוצגים באיור ‪:3‬‬ ‫‪...................../A.‬‬ ‫‪......................B‬‬ ‫‪.................... /C‬‬ ‫‪.................... /D‬‬ ‫‪.................... /E‬‬ ‫‪.................... /F‬‬ ‫‪.................... /G‬‬ ‫‪.................... /H‬‬ ‫‪.................... / I‬‬ ‫* פתרונות התרגילים נמצאים בסוף חוברת ההדרכה‪.‬‬ ‫‪ .3‬פעולות חשבוניות בעזרת החשבונייה‬ ‫ניתן לחלק את כל הפעולות לפשוטות ולמורכבות‪.‬‬ ‫חיבור‬ ‫פשוט‪) :‬איור ‪ (4‬אם נרצה לחבר ‪ .321 + 135‬קודם יש להרכיב בחשבונייה את המספר הראשון )‪ - (135‬נעביר לצד ימין ‪ 5‬כדורים מהאחדות )כחולים(‪ 3 ,‬כדורים מהעשרות )אדומים( וכדור אחד מהמאות )ירוק(‪ .‬אחר כך‬ ‫נרכיב את המספר השני )‪ - (321‬נעביר לצד ימין כדור כחול אחד )אחדות(‪ 2 ,‬כדורים אדומים )עשרות( ולבסוף ‪ 3‬ירוקים )מאות(‪ .‬התוצאה המתקבלת בצד ימין היא‪ 6 :‬כדורים כחולים )אחדות(‪ 5 ,‬אדומים )עשרות( ו‪4-‬‬ ‫ירוקים )מאות( ‪ -‬כלומר ‪.456‬‬ ‫מורכב‪ :‬כדי לחבר ‪ .564 + 273‬מרכיבים את המספר הראשון )‪ 3 :(273‬כדורים באחדות )כחולים(‪ 7 ,‬בעשרות )אדומים( ו‪ 2-‬במאות )ירוקים(‪ .‬ממשיכים ומוסיפים מימין את המספר השני )‪ 4 - (564‬כדורים באחדות‬ ‫)כחולים(‪ 6 ,‬כדורים בעשרות )אדומים( ‪ -‬אבל כבר יש לנו ‪ ,7‬ומכאן שאין מספיק כדורים‪ .‬במקרה זה‪ ,‬עלינו להעביר לצד ימין את ‪ 3‬הכדורים הנותרים בשמאל‪ ,‬וכן להעביר ימינה כדור אחת מהמאות )ירוק(‪ .‬שוב יש לנו‬ ‫בצד שמאל את כל הכדורים של העשרות‪ .‬כיוון שהעברנו רק ‪ 3‬כדורי עשרות ונותרו לנו ‪ 3‬כדורים נוספים להעביר‪ ,‬חוזרים על הפעולה ומעבירים לצד ימין את ‪ 3‬כדורי העשרות )אדומים( שנותרו‪ .‬לבסוף מוסיפים ‪5‬‬ ‫כדורי מאות )ירוקים( לצד ימין‪ .‬התוצאה שתתקבל היא ‪ 7‬כדורים באחדות‪ 3 ,‬בעשרות ו‪ 8-‬במאות ‪ -‬כלומר ‪.837‬‬ ‫חיסור‬ ‫פשוט‪ :‬נחסר ‪ . 425 - 213‬כאשר כל הכדורים בצד שמאל‪ ,‬מעבירים לצד ימין את המספר הראשון )‪ 5 :(425‬כדורים מהאחדות )כחולים(‪ 2 ,‬עשרות )אדומים( ו‪ 4-‬מאות )ירוקים(‪ .‬כדי לחסר את המספר השני )‪,(213‬‬ ‫נתחיל באחדות; נעביר ‪ 3‬כדורי אחדות )כחולים( מימין לשמאל‪ ,‬בעשרות נעביר לצד שמאל כדור אחד )אדום( ובמאות נזיז ‪ 2‬כדורים )ירוקים( מימין לשמאל‪ .‬התוצאה הסופית היא‪ 2 :‬כדורים באחדות )כחולים(‪1 ,‬‬ ‫בעשרות )אדומים( ו‪ 2-‬במאות )ירוקים( ‪ -‬כלומר ‪.212‬‬ ‫מורכב‪ :‬הפעם נחסר ‪ . 976 - 485‬כמו בפעולות הקודמות‪ ,‬נעביר לצד ימין ‪ 6‬אחדות‪ 7 ,‬עשרות ו‪ 9-‬מאות )‪ .(976‬כדי לחסר את המספר השני )‪ ,(485‬נתחיל באחדות‪ .‬ניקח ‪ 5‬אחדות )כחולות( ונעביר אותן לשמאל‪ .‬אחר‬ ‫כך נחסר את ‪ 8‬העשרות‪ ,‬אך אין לנו מספיק כדורים‪ .‬לכן עלינו להעביר שמאלה את ‪ 7‬הכדורים )עשרות( שיש לנו בעשרות‪ ,‬וכן נעביר שמאלה ‪ 1‬מתוך ‪ 9‬הכדורים במאות )ירוקים(‪ .‬אחר כך נחזיר את כל כדורי העשרות‬ ‫)אדומים( לימין‪ ,‬ונזיז כדור אדום אחד )עשרות( לצד שמאל‪ ,‬כי זה הכדור שנותר לנו לחסר‪.‬‬ ‫לבסוף נחסר ‪ 4‬מאות )ירוקים( מה‪ 8-‬שיש לנו )לקחנו אחד בחיסור המאות(‪ .‬נותרו לנו ‪ 4‬בצד ימין‪ ,‬והתוצאה הסופית היא ‪ 4‬מאות‪ 9 ,‬עשרות ואחדה אחת ‪ -‬כלומר ‪.491‬‬ ‫כפל‬ ‫פשוט‪ :‬כדי להכפיל‪ ,‬למשל ‪ , 413 X 2‬כמו בשאר הפעולות החשבוניות‪ ,‬על כל הכדורים להיות בצד שמאל‪ .‬קודם נעבוד על האחדות )כחולים(‪ ,‬נתחשב בכך שצד ימין ריק‪ ,‬ונזיז ימינה ‪ 3‬כדורים פעמיים‪ .‬דבר דומה נעשה‬ ‫עם העשרות‪ :‬נעביר כדור אחד פעמיים‪ ,‬ואילו במאות נעביר ‪ 4‬כדורים )ירוקים( פעמיים‪ .‬התוצאה שאנו אמורים לקבל היא‪ 6 :‬כדורים באחדות )כחולים(‪ 2 ,‬כדורים בעשרות )אדומים( ו‪ 8-‬כדורים במאות )ירוקים( ‪-‬‬ ‫כלומר ‪.826‬‬ ‫מורכב‪ :‬אם ברצוננו להכפיל ‪ ,74 X 2‬נתחיל בהזזה ימינה פעמיים של ‪ 4‬כדורי אחדות )כחולים(‪ ,‬אחר כך נכפיל את העשרות ונעביר פעמיים ‪ 7‬כדורי עשרות )אדומים(‪ ,‬אבל אין לנו מספיק כדורים‪ ,‬ולכן נעביר לצד ימין‬ ‫את ‪ 7‬הכדורים הראשונים וגם את ה‪ 3-‬הנותרים‪ .‬אז מעבירים כדור אחד מהמאות )ירוק( וכן מעבירים שמאלה את כל כדורי העשרות )אדומים(‪ .‬כיוון שעדיין יש להעביר את ‪ 4‬העשרות הנותרות‪ ,‬נזיז את ‪ 4‬כדורי‬ ‫העשרות )אדומים( לצד ימין‪ .‬לבסוף יישארו לנו כדור אחד מהמאות )ירוק(‪ 4 ,‬כדורי עשרות )אדומים( ו‪ 8-‬כדורי אחדות )כחולים( ‪ -‬כלומר ‪.148‬‬

‫‪10‬‬

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изважд аме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетицит е (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 ед иница, тоест 491.

(BG) 1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕ Сметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия. Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

УМНОЖЕНИЕ Просто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, вс ички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десет иците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 т опчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване . Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите. Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топче та от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топч ета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно п рехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

Изглежда като показаното на снимка 1. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

Единици Десетици Стотици Хиляди Десетохиляди Стохиляди Милиони Десетомилиони Стомилиони Милиарди

(NL) 1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVING Het telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТО Преди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A. 2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen. Zie afbeelding 1. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

Eenheden Tientallen Honderdtallen Duizendtallen Tienduizendtallen Honderdduizendtallen Miljoentallen Tienmiljoentallen Honderdmiljoentallen Miljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKT Schuif alle kralen naar links voor gebruik. Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите: * 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B. 2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването. 3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТО Всички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни. СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нар еди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 че рвени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld: * 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единици те (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавя ме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвър лим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топч е от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от ляв ата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиц ите (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, койт о ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan: A/ .............. B/ .............. C/ .............. D/ .............. E/ .............. F/ .............. G/ .............. H/ .............. I/ ..............

ИЗВАЖДАНЕ Просто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно пъ рвото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотици те (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топ чета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резулт ат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), то ест 212.

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding. 3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAM Alle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen. OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв 11

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen. Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837. AFTREKKEN Eenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212. Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491. VERMENIGVULDIGEN Eenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826. Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

12

*1

46=

98=

191=

205=

539=

987=

1009=

1692=

4183=

*2: A/ ...76 B/ ...84 C/ ... 361 D/ ...138 E/ ...747 F/ …1830 G/ ...8405 H/ ... 2039 I/ ...25724

13

(ES) Guardar esta información para futuras referencias. (EN) Please retain this information for future reference. (FR) Renseignements à conserver. (DE) Hebe alle Informationen für zukünftige Kommunikation auf. (IT) Istruzioni da conservare. (PT) Guarde esta informação para futuras referências. (RO) Păstraţi această informaţie pentru viitoare referinţe.

(PL) Zatrzymać tę informację do późniejszego wglądu. (TR) Bu bilgileri, ileride ihtiyaç duyabileceğinizi göz önünde bulundurarak muhafaza ediniz. (EL) Κρατήστε αυτές τις πληροφορίες για μελλοντική χρήση. (RU) Сохраните эту информацию для последующих справок. (CN) 把此说明保存好以备日后查阅。 (JP) 必要な時に読めるよう、この説明書は大切に保管して下さい。 .‫( ﺣﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﻫﺬه اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت ﻛﻤﺮﺟﻊ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻞ‬AR)

.‫( יש לשמור הוראות אלה לעיון עתידי‬HE)

ABACUS Ref.: 66598_290413

Importado por: Imaginarium, S.A. Plataforma Logística PLA-ZA, C./ Osca, nº4 50197 Zaragoza - España CIF A-50524727