Algebra De Proposiciones 4x2m43

CAPITULO DOS 2.

LA LOGICA DIGITAL

2.1. PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS 1. PROPOSICIONES. Una proposición es un enunciado o una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Una proposición es verificable, por ende, es un elemento fundamental de la lógica matemática y de la lógica digital. A continuación se tienen algunos ejemplos de enunciados que son proposiciones y algunos que no lo son, se explica el porqué algunos de estos enunciados no son, como tal, proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Por ejemplo. p: La tierra es plana. q: -12 + 28 = 21 r: x > y + 1 s: El Cortulua será campeón en la presente temporada de Fútbol colombiano. t: Hola ¿Qué tal? v: Bogotá es la capital de Colombia w: Lava el coche, por favor. Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son

proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento y v es una proposición verdadera. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. 2. CONECTORES LÓGICOS Y PROPOSICIONES COMPUESTAS. Las proposiciones anteriores son todas, proposiciones simples. Para obtener proposiciones compuestas se deben ligar o combinar más de una proposición simple. Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples). Los operadores o conectores básicos son: y, o, no, no o, no y, o exclusiva, no o exclusiva 1. Operador and (y) - Operación Conjunción Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: {∧ , un punto (.), un paréntesis, o también, ∩ }. Se le conoce como la multiplicación lógica(en la matemática booleana): Algunos ejemplos son: 1. La proposición "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" está formada por dos proposiciones simples: q y r q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. Con p: El coche enciende. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p = q ∧r Su tabla de verdad es como sigue:

.q

.r

.p = q ∧ r

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0 Donde;

1 = verdadero 0 = falso En la tabla anterior el valor de q = 1 significa que el tanque tiene gasolina, r = 1 significa que la batería tiene corriente y p = q ∧ r = 1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina o no tiene corriente la batería y que, por lo tanto, el carro no puede encender. 2. La ciudad x está en Francia y es su capital es una proposición compuesta por las proposiciones simples: p: La ciudad x está en Francia. Qué es verdadera solo para todas las ciudades x que estén en Francia de lo contrario será falsa y, r: La ciudad x es capital de Francia. Qué es verdadera solo si x es Paris de lo contrario será falsa Con ello la proposición compuesta q: p ∧ r será verdadera solo si x es Paris, de lo contrario será falsa, como lo muestra la tabal correspondiente. .p

.r

.q = p ∧ r

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

El operador y en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección, por ello se le puede representar como lo muestra la figura No 15:

Figura No 15. p ∧ r

También tiene representación circuital con interruptores ,como aparece en la figura 16. Si los dos interruptores están cerrados(indicando verdadero o "1" lógico) la lámpara se enciende de lo contrario no.

Figura No 16 Circuito con interruptores que representa la función lógica Conjunción(AND) p ∧ r

2. Operador Or (o) – Operación Disyunción Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {∨ ,+,∪ }. Se conoce como las suma lógica en el Álgebra Booleana. En términos literales se comporta como y/o. Por ejemplo: 1. Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase". Donde. p: Entra al cine.

q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase. La proposición compuesta es p: q v r y la tabla de verdad representativa es:

.q

.r

.p: q ∨ r

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

La única manera en la que no puede ingresar al cine (p = 0), es que no compre su boleto (q = 0) y que, además, no obtenga un pase (r = 0). 2. Con la proposición m: Iré al estadio si juega Santa fé o me invitan Compuesta por las proposiciones: p: Juega Santa Fé q: Me invitan al estadio Se obtiene la proposición compuesta cuya notación es: .m: p v q La tabla de verdad correspondiente es: .p

.q

.m: p ∨ q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

En cualquier caso la operación OR o la disyunción se asimila a la operación Unión entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:

Figura No 17. Diagrama de Venn de una Disyunción p ν q

Y en circuito de conmutación, así:

Figura No 18. Representación circuital de una disyunción (OR) p v q

de tal suerte que es suficiente con que uno de los dos interruptores este cerrado para obtener un "1" lógico, es decir, que la lámpara encienda. 2. Operador Not (no) – Operación negación

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, ¬ ,− }. Por Ejemplo.

1. Teniendo la proposición : p: La capital de Francia es Paris (p = 1), su negación será :

p’: no es la capital de Francia Paris(p’= 0) 2. Para p: 2x4 = 6 (p = 0) p’: 2x4 ≠ 6 (p’ = 1)

.p

p’

1

0

0

1

Con 1 verdadero y 0 falso. También, tiene expresión en la teoría de conjuntos y es el denominado complemento, cuyo diagrama de Venn es:

Figura No 19. Diagrama de Venn Operador not - Negación

En términos de circuito su representación será, como aparece en la figura No 20, Cuando se cierra p ("1" lógico) el led se

apaga(falso o "0" lógico) y si p se abre("0" lógico) el led se enciende (verdadero o "1" lógico).

Figura No 20. Representación circuital de una negación (NOT) p’

4. La O exclusiva (Disyunción exclusiva) Es el operador que conecta dos proposiciones en el sentido estricto de la "o" literal, o es blanco o es negro; es o no es. El operador se denomina XOR, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son verdaderas el resultado es falso, igual si las dos son falsas. Se nota como ⊕ . Algunos ejemplos son: 1. r: Antonio canta o silva La proposición está compuesta por las proposiciones p: Antonio Canta y q: Antonio silva Su notación es: p: r ⊕ q Y su tabla de verdad será: .p

.q

.r = p ⊕ q

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

La XOR o disyunción exclusiva se asimila a la operación Unión exclusiva entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:

.p ⊕ q Figura No 21. Diagrama de Venn de una Disyunción exclusiva (XOR)

Y en circuito de conmutación, así:

Figura No 22. Representación circuital de una disyunción exclusiva XOR p ⊕ q

El led será encendido si los interruptores están en posiciones contrarias de cualquier otra forma se conservara apagado("o" lógico) 5. Combinaciones con negadora. Con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not). Se hará un recorrido muy somero por cada uno de ellos. Se recomienda acudir a la bibliografía respectiva para precisar mejor los conceptos; de la misma manera es válido desarrollar apropiadamente el taller uno 1. Operador NAND – Conjunción negada Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado falso, en cualquier otro caso la proposición compuesta es verdadera. Su símbolo es: {(∧ )’, (.)’, (∩ )’}. De tal manera que la representación de una proposición queda como sigue:

p = (q ∧ r)’ Cuya tabla de verdad es complemente contraria a la conjunción:

.q

.r

p = (q ∧ r)’

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Donde: 1 = verdadero 0 = falso El operador y negado en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección complementada, por ello se le puede representar en diagrama de Venn como lo muestra la figura No 23:

Figura No 23. (q ∧ r)’

El conector NAND también tiene representación circuital con interruptores, como aparece en la figura 24. Si los dos interruptores están cerrados(indicando verdadero o "1" lógico) el led se apaga ("0" lógico) de lo

contrario está encendida ("1" lógico). Su comportamiento es completamente contrario a la conjunción.

Figura No 24. Circuito con interruptores que representa la función lógica Conjunción(NAND) (q ∧ r)’

2. Operador NOR – Disyunción negada Es el Inverso de la disyunción, por ello, se obtiene con este operador un resultado verdadero en el único caso que se obtenía falso en la disyunción, es decir, cuando las proposiciones son falsas. En cualquier otro caso da un resultado falso. Se e indica por medio de los siguientes símbolos: {(∨ )’, (+)’, (∪ )’}. Se conoce como las suma lógica inversa en el Álgebra Booleana. La proposición compuesta es r: (p ∨ q)’ y la tabla de verdad representativa es:

.p

.q

.r = (p ∨ q)’

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

En cualquier caso la operación NOR o la disyunción negada se asimila a la operación Unión entre conjuntos, pero, complementada; por ello en diagrama de Venn se representa como en la figura No 25, donde se considera como resultado todo lo que en la disyunción no lo era, así:

Figura No 25. Diagrama de Venn de una Disyunción negada

El circuito de conmutación queda como en la figura No 26. La única forma en que se ACTIVE el led("1" lógico), es que ninguno de los interruptores se cierre("1" lógico) el led se conservará APAGADO("0" lógico.

Figura No 26. Representación circuital de una disyunción negada (NOR) (p v q)’

3. Operador XNOR – Disyunción exclusiva negada Es el operador que niega al conector O exclusivo , así , que tan solo es verdadera la proposición compuesta sí, o, bien, las dos son verdaderas o las dos son falsas(más adelante veremos que también se denomina equivalencia). El operador se denomina XNOR, Se nota como como (⊕ )’.

, algunos también lo notan

La tabla de verdad será:

.p

.q

.r = p

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

q

La XNOR o disyunción exclusiva se asimila a la operación Unión exclusiva pero complementada, por ello el diagrama de Venn se representa, así:

Figura No 27. Diagrama de Venn de una Disyunción exclusiva (XNOR)

Y en circuito de conmutación, así:

Figura No 28. Representación circuital de una disyunción exclusiva XNOR p q

De manera que los dos interruptores en "1", o, los dos en "0" originan un estado encendido "1" en el led; de lo contrario se conservara apagado "0". 5. Otros Conectores y operaciones lógicas 1. Proposiciones condicionales. Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

.p → q Se lee "Si p, entonces, q"

Ejemplo. El candidato istrativo dice "Si salgo electo Representante al CSU recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año". Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: Sean p: Salgo electo Representante al CSU. q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p →q

Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

.p

.q

.p → q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato al CSU mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando: p = 1; significa que salió electo, q = 1 recibieron un aumento del 50% en su sueldo, por lo tanto p → q = 1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p = 1 y q = 0 significa que p → q = 0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p = 0 y q = 1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato al CSU y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que la proposición p → q = 1.

Cuando p = 0 y q = 0 significa que aunque no salió electo, tampoco se dio un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato al CSU y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que la proposición p → q = 1.

2. Proposición bicondicional. Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:

.p ↔ q Se lee "p, si solo si, q"

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Por Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

"Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de cinco"

Donde: p: Es buen estudiante. q: Tiene promedio de cinco.

por lo tanto su tabla de verdad es.

p

.q

.p ↔ q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas. Es la misma Disyunción exclusiva inversa o negada (XNOR),

2. TALLER UNO

1. Verifique los conceptos escribiendo con sus palabras lo que interpreta por cada uno: a. AND, NADN, OR NOR, XOR y XNOR b. Operaciones entre conjuntos c. Intersección, unión, complemento, diferencia. d. Relaciones entre conjuntos. e. Relaciones entre los símbolos de un sistema 2. Diseñe más ejemplos para cada uno de los conectores propuestos. 3. Diseñe el diagrama de Venn y el circuito conmutacional correspondiente a la proposición condicional y a la bicondicional. 4. Implemente en el laboratorio varios de los circuitos propuestos en los dos puntos anteriores. 5. Elabore e implemente en el laboratorio el circuito conmutacional que represente: Una alarma de un carro se activa cuando estando encendido el motor una de las puertas esta abierta, el cinturón del conductor o copiloto no esta colocado estando el asiento respectivo ocupado o cuando las luces quedan encendidas cuando el carro está apagado. 6. Elabore el mapa conceptual de la sección.

1. LAS TABLAS DE VERDAD 1. USO TABLAS DE VERDAD Desde ya, se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos y más aún, establecer la veracidad de tal proposición.

Ejemplo. 1. Sean las proposiciones:

p: Hoy es domingo. .q

.r

.p = q ∧ r

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

.q

.r

.p = q ∨ r

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

.q

.r

.p = q ⊕ r

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

.q

.r

p = (q ∧ r)’

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

.q

.r

p = (q ∨ r)’

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

.q

.r

p=q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

.p

.q

p→q

1

1

1

r

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Figura No 29. Tablas de verdad de los conectores lógicos básico

q: Tengo que estudiar circuitos digitales. r: Aprobaré el curso.

El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar circuitos digitales o no aprobaré el curso". Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

(p ∧ q) ∨ r ’ De tal proposición, puedo hallar su valor de verdad. Antes de hacerlo, se presenta un resumen de las tablas de verdad en la figura No 29.

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula. No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas. Por ser tres proposiciones (variables) p, q y r. La tabla tendrá ocho posibilidades para combinar la condición de verdad de cada una ya que 23 = 8. Con ayuda de la tabla de la figura 29. la tabla del presente ejemplo queda así: .p

.q

.r

.r’

.p ∧ q

(p ∧ q )∨ r’

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

Debe observarse, que el operador Conjunción se desarrolla primero que el operador disyunción por la jerarquía de los operadores planteada en la sección 2.2.4.1. Para que la proposición compuesta sea verdadera se requiere que r sea falsa, no importando p ni q. También, en el caso en que p, q y r sean verdaderas. En todos los demás casos la expresión es falsa. 2. Del enunciado hallar la condición de verdad: " Si tengo dinero, entonces, pagaré el semestre; o, no pago el semestre y voy a Europa. Si y solo sí, si voy a Europa, entonces, tengo dinero Esta compuesto por tres proposiciones que son: .p: Tengo dinero .q: Pagaré el semestre .r: Iré a Europa La notación correspondiente es: .z: [(p→ q)∨ (q’∧ r)] ↔ (r→ p)

La tabla de verdad que representa está proposición dando cuenta de su veracidad es la que se presenta a continuación, como se puede observar hasta no resolver el paréntesis cuadrado, no se puede hacer la doble implicación. Primero se desarrollan los dos paréntesis redondos por estar dentro del paréntesis cuadrado y posteriormente se resuelve la disyunción. Simultáneamente se ha podido resolver la implicación, o se puede hacer luego. Resuelto todo esto ahora, si se procede a encontrar el valor de la bicondicional: .p

.q

.r

. .p→ (q’∧ (p→ q)∨ (q’∧ r) r→ p q’ q r)

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

[(p→ q)∨ (q’∧ r)] ↔ (r→ p)

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

3. Sea el siguiente enunciado "Si no pago la luz, entonces me cortarán la energía eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado"

Donde la proposición está compuesta de las proposiciones simples: p: Pago la luz. q: Me cortarán la energía eléctrica. r: Me quedaré sin dinero. s: Pediré prestado. t: Pagar la deuda. w: soy desorganizado.

Siendo la notación: .z: (p’ → q) ∧ [ p → (r ∨ s) ] ∧ [ (r ∧ s) → t’ ] ↔ w De tal proposición, puedo hallar su valor de verdad haciendo uso de las tablas de verdad, resultarán 26 = 64 posibles combinaciones. Quedará como ejercicio del lector. 1. TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS 2.2.2.1. Tautología.

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

.p

.q

. . p’ q’

0

0

1

0

1

1 1

p→ q

q’→ p’

(p→ q)↔ (q’→ p’)

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

Nótese que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales es posible apoyarse para realizar demostraciones. 2.2.2.2. Equivalencia lógica. Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p ≡ q. Un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p→ q) y (q’→ p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p→ q) ≡ (q’→ p’) A continuación se citan una lista de las tautologías y equivalencias más conocidas de la lógica proposicional, que se identifican como leyes del álgebra proposicional. En la unidad correspondiente al álgebra de Boole se verá que los mismos se conocen como los teoremas y postulados básicos del álgebra de Boole. 1.- Doble negación. a). .(p')' ≡ p 2.- Leyes conmutativas. a). (p ∨ q) ≡ (q ∨ p) b). (p ∧ q) ≡ (q ∧ p) 3.- Leyes asociativas.

a). [(p ∨ q) ∨ r] ≡ [p ∨ (q ∨ r)] b. [(p∧ q) ∧ r] ≡ [p∧ (q∧ r)] 4.- Leyes distributivas. a). [p ∨ (q∧ r)] ≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] b). [p ∧ (q ∨ r)] ≡ [(p∧ q) ∨ (p∧ r)] 5.- Leyes de idempotencia. a). (p ∨ p) ≡ p b). (p ∧ p) ≡ p 6.- Leyes de Morgan a). (p ∨ q)' ≡ (p' ∧ q') b). (p ∧ q)' ≡ (p' ∨ q') c). (p ∨ q) ≡ (p' ∧ q')' d). (p∧ q) ≡ (p' ∨ q')' 7.- Contrapositiva. a). (p→ q) ≡ (q’→ p' ) 8.- Implicación. a). (p→ q) ≡ (p' ∨ q) b). (p→ q) ≡ (p ∧ q')' c). (p ∨ q) ≡ (p'→ q) d). (p ∧ q) ≡ (p → q')' e). [(p→ r) ∧ (q→ r)] ≡ [(p ∨ q) → r] f). [(p→ q) ∧ (p→ r)] ≡ [p→ (q ∧ r)] 9.- Equivalencia a). (p↔ q) ≡ [(p→ q) ∧ (q→ p)]

10.- Ley de identidad a). (p ∨ f) ≡ p b). (p ∨ t) ≡ t c). (q ∧ t) ≡ q d). (q ∧ f) ≡ f 11.- Ley de Complementos a). (p ∨ p’) ≡ t b). (p ∧ p’) ≡ f c). .t ’ ≡ f d). .f ‘ ≡ t Estas leyes son demostrables aplicando las tablas de verdad, se desarrollan a continuación algunos casos, que el lector deberá verificar: 1.- Doble negación. a). (p')' ≡ p .p

p’

(p’)’

0

1

0

1

0

1 Equivalenc ia demostrad a

2.- Leyes conmutativas. a). (p ∨ q) ≡ (q ∨ p) .p .q (p ∨ q) (q ∨ p) 0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1 Equivalenc ia demostrad a b). (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)

.p .q (p ∧ q) (q ∧ p) 0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

Se demuestra que la equivalencia es correcta. 3.- Leyes asociativas. a). [(p ∨ q) ∨ r] ≡ [p ∨ (q ∨ r)] .p

.q

.r

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

(p ∨ (p ∨ q) ∨ (q ∨ [p ∨ (q ∨ r)] q) r r)

Se demuestra que la equivalencia es correcta. a. .p

.q

.r

[(p∧ q) ∧ r] ≡ [p∧ (q∧ r)] (p ∧ (p ∧ q) ∧ (q ∧ r) [p ∧ (q ∧

q)

r

r)]

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

Se demuestra que la equivalencia es correcta.

4.- Leyes distributivas. a). [p ∨ (q∧ r)] ≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] .p

.q

r

(q ∧ r)

.p ∨ (q ∧ r)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

(p ∨ (p ∨ r) [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q) r)]

Se demuestra que la equivalencia es correcta.

b). [p ∧ (q ∨ r)] ≡ [(p∧ q) ∨ (p∧ r)] .p

.q

.r

(q ∨ r)

.p ∧ (q ∨ r)

(p ∧ (p ∧ r) [(p ∧ q) ∨ (p ∧ q) r)]

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Se demuestra que la equivalencia es correcta.

5.- Leyes de idempotencia. a). (p ∨ p) ≡ p .p

(p∨ p)

0

0

1

1

Se demuestra que la equivalencia es correcta b). (p ∧ p) ≡ p .p

(p∨ p)

0

0

1

1

Se demuestra que la equivalencia es correcta 6.- Leyes de Morgan a). (p ∨ q)' ≡ (p' ∧ q') .p

.q

.p ∨ q

(p ∨ q)’

.p’

.q’

(p’ ∧ q)

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

Se demuestra que la equivalencia es correcta. b). (p ∧ q)' ≡ (p' ∨ q') .p

.q p ∧ q

(p ∧ q)’

.p’

.q’

(p’ ∨ q)

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

Se demuestra que la equivalencia es correcta. c). (p ∨ q) ≡ (p' ∧ q')' ..p .q

.(p ∨ q)

.p’

.q’

(p' ∧ q')

(p’ ∧ q’)’

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1 Se demuestra que la equivalencia es correcta.

d). (p∧ q) ≡ (p' ∨ q')' .p

.q

.(p ∧ q)

.p’

.q’

(p' ∨ q')

(p’ ∨ q’)’

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

Se demuestra que la equivalencia es correcta. 3. Contradicción Una contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p∧ p’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad. p

.p’

p∧ p’

0

1

0

Si en el ejemplo anterior

1

0

0

p: La puerta es verde.

La proposición p∧ p’ equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es verde". 2.2.2.4. Contingente Una proposición compuesta cuyos resultados en sus diferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente. Es decir, contingente es aquella proposición que en algún momento es falsa; necesaria es la proposición verdadera en todo momento, e imposible la proposición falsa en todo momento . Lo anterior quiere decir que una Tautología no es una proposición contingente, pero tampoco lo es una contradicción. Posteriormente se precisará cuando existe una falacia. 1. CONDICIONAL, RECIPROCA, INVERSA Y CONTRARECIPROCA Haciendo uso de las tablas de verdad es posible a partir de las proposiciones condicionales, obtener su reciproco, su inversa y su contrareciproco. 2.2.3.1. Condicional. Es la mencionada en el literal 2.1.2.6.1. recuérdese que se nota: p →q y Se lee "Si p, entonces, q", o, también " p implica q" o incluso "p si solo q". Un ejemplo puede ser:

teniendo las proposiciones: p: Marcos estudia y q: Marcos pasará el examen la condicional será: Si Marcos estudia, entonces, pasará el examen. O también es válido: Marcos Estudia Implica pasar el examen. Y también puede ser: Marcos estudia solo si pasa el examen. En cualquier caso su notación será: p → q 2. Reciproca. Es la proposición compuesta en las que se da la condición de implicación pero con las proposiciones en orden inverso: Se nota: q→ p Continuando con el ejemplo anterior ejemplo con las dos mismas proposiciones la proposición reciproca será: Si Marcos pasa el examen, entonces, estudia. O también es válido: Marcos pasa el examen Implica estudiar. Y también puede ser: Marcos pasa el examen solo si estudia . 3. .Inversa. Es la proposición compuesta por la negación individual de las dos proposiciones que se relaciona a través de la condicional. Se nota: p’ → q’. Continuando con el ejemplo anterior ejemplo con las dos mismas proposiciones la proposición inversa a la condicional original es: Si Marcos NO estudia, entonces, NO pasará el examen. O también es válido: Marcos NO estudia Implica NO pasar el examen. Y también puede ser: Marcos NO estudia solo si NO pasa el examen.

4. Contra recíproca. Es la reciproca de la inversa condicional. Se nota: q’ → p’. Siguiendo con el ejemplo: Si Marcos NO pasa el examen, entonces, NO estudia. O también es válido: Marcos NO pasa el examen Implica NO estudiar. Y también puede ser: Marcos NO pasa el examen solo si NO estudia . La tabla representativa de las cuatro proposiciones es: .p

-q

Condicional Recíproca

Inversa

(p→ q)

(q→ p)

(p’→ q’)

Contrarecíp roca (q’→ p’)

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Como se puede observar condicional y contrarecíproca son equivalencias lógicas, de igual manera recíproca e inversa, también lo son. Es decir: (p→ q) ≡ (q’→ p’), es la equivalencia 7 (contrapositiva) (q→ p) ≡ (p’→ q’), es la misma aplicación 3. SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES Y JERARQUÍA DE OPERADORES 1. Jerarquía de operadores Cuando se requiere manipular con tablas de verdad o con las leyes proposicionales complejas, es necesario manejar una jerarquia de operadores. Tal jerarquía es la del álgebra tradicional. Orden : Corchete, Paréntesis Cuadrado, Paréntesis redondo, negación, conjunción, disyunción. La negación se ejecuta cuando aparezca, igual la condicional y la bicondicional, por lo general se ejecutan en

proposiciones incluidas en algún tipo de paréntesis. Ejemplos: 1. .En la proposición p ∧ q ∨ r primero se desarrolla la proposición compuesta que integra el operador ∧ , es decir, p ∧ q, y después su resultado se resuelve con el operador ∨ resolviendo p ∧ q ∨ r, Así, que es lo mismo que: (p ∧ q) ∨ r 2. En la proposición p ∧ (q ∨ r) ∧ p’ ∧ q ∨ r, la mayor jerarquía la tiene el paréntesis, luego es lo primero que se desarrolla, después la negación de p. Desarrollado (q ∨ r) y p’ quedan por desarrollar tres conjunciones y una disyunción. Como las conjunciones son de mayor jerarquía son las que se deben resolver, ahora. Una vez terminadas, se desarrolla la disyunción. Primero (q ∨ r) Segundo p’ Tercero p ∧ (q ∨ r) ∧ p’ ∧ q Y Cuarto [p ∧ (q ∨ r) ∧ p’ ∧ q] ∨ r 3. En la proposición p ∧ q ∨ [( r ∧ p)’ ∧ q ∨ r], Tiene prelación el paréntesis cuadrado [( r ∧ p)’ ∧ q ∨ r] , hasta tanto no se resuelva lo que esta abarcado por él, no se puede continuar. Dentro hay un paréntesis redondo, una negación, dos conjunciones y una disyunción; se debe entonces resolver el paréntesis que involucra una conjunción; ahora se procede a negar y quedan por resolver del paréntesis cuadrado una disyunción y una conjunción. Se resuelve la conjunción y luego la disyunción. Con ello se termina el paréntesis cuadrado. Quedan una disyunción y una conjunción. Como ya se sabe va primero la conjunción para terminar con la disyunción. Primero (r ∧ p)

Segundo (r ∧ p)’ Tercero (r ∧ p)’ ∧ q Cuarto [(r ∧ p)’ ∧ q ∨ r] Quinto p ∧ q Y sexto (p ∧ q) ∨ [(r ∧ p)’ ∧ q ∨ r] 4. En la proposición p ∧ {q ∨ [( r ∧ p)’ ∧ q ∨ r] } el orden resumido es: Primero (r ∧ p) Segundo (r ∧ p)’ Tercero (r ∧ p)’ ∧ q Cuarto [(r ∧ p)’ ∧ q ∨ r] Quinto {q ∨ [( r ∧ p)’ ∧ q ∨ r] } Terminando el corchete Y sexto p ∧ {q ∨ [(r ∧ p)’ ∧ q ∨ r]}

5. En la proposición p → {q ∨ [( r ∧ p)’ ↔ q ∨ r] } el orden resumido es: Primero (r ∧ p) Segundo (r ∧ p)’ Tercero (r ∧ p)’ ↔ q Cuarto [(r ∧ p)’ ↔ q ∨ r] Quinto {q ∨ [( r ∧ p)’ ↔ q ∨ r] } Terminando el corchete Y sexto p → {q ∨ [(r ∧ p)’ ↔ q ∨ r]} 2. Reducción de Proposiciones con las equivalencias fundamentales

Aplicando las once equivalencias es posible hacer que proposiciones relativamente largas se puedan convertir en proposiciones más cortas y compactas. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos 1. Hallar la expresión simplificada para p’∧ q v p∧ q Solución: Ley distributiva(4b) con q como elemento común: p’∧ q v p∧ q ≡ q ∧ ( p’ v p) Ley de complementos (11a): p’∧ q v p∧ q ≡ q ∧ t Ley de identidad (10c) p’∧ q v p∧ q ≡ q 2. Hallar la expresión simplificada para p’∧ q v p∧ q v p∧ q’ Solución: Ley asociativa(3 a): p’∧ q v p∧ q v p∧ q ’≡ (p’∧ q v p∧ q) v p∧ q ’ Ley distributiva(4b) con q como elemento común: p’∧ q v p∧ q v p∧ q’ ≡ [q ∧ ( p’ v p)] v p∧ q’ Ley de complementos (11a): p’∧ q v p∧ q v p∧ q’ ≡ (q ∧ t) v p∧ q’ Ley de identidad (10c) p’∧ q v p∧ q v p∧ q’ ≡ q v p∧ q’ Ley distributiva(4 a) con q como elemento común: p’∧ q v p∧ q v p∧ q’ ≡ (q v p) ∧ (q v q’) Ley de complementos(11 a): p’∧ q v p∧ q v p∧ q’ ≡ (q v p) ∧ t Ley de identidad(10c): p’∧ q v p∧ q v p∧ q’ ≡ (q v p) 3. Hallar la expresión simplificada para (p’∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’ Solución: Ley conmutativa(2 a): (p´∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ (p vp’∧ q)∧ (q v p)∧ q’ Ley distributiva(4 a): (p’∧ qvp)∧ (q v p)∧ q’≡ (pvp’)∧ (pvq)∧ (qvp)∧ q’ Ley de complementos(11 a): (p’∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ t ∧ (p v q)∧ (q v p)∧ q’

Ley de identidad(10c): (p’ ∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ (p v q)∧ (q v p)∧ q’ Ley conmutativa( 2b): (p’ ∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ (p v q)∧ (p v q)∧ q’ Ley de idempotencia( 5b): (p’ ∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ (p v q)∧ q’ Ley conmutativa (2b): (p’ ∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ q’ ∧ (p v q) Ley distributiva (4b): (p’ ∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ (q’ ∧ p) v (q’ ∧ q) Ley de complementos (11b) (p ∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ (q’ ∧ p) v f) Ley de identidad(10 a): (p ∧ q v p)∧ (q v p)∧ q’≡ (q’ ∧ p) 4. TALLER DOS 1. Hallar el valor de verdad de la proposición compuesta del ejemplo 3(Sí pago de luz..) 2. Demostrar la veracidad de las equivalencias lógicas 7, 8 y 9. 3. Halle las representaciones circuital y el diagrama de Venn de las proposiciones reciproca, inversa y contra recíproca de una condicional. 4. Establecer en cada una de las siguientes proposiciones, cuáles son equivalencias lógicas, cuáles tautologías y cuáles contradicciones: a. b. c. d. e. f. g. h. i.

p ∧ q’ (p’ ∨ q)’ p→ q q→ p p’→ q’ (p’ ∨ q’)’ p ∨ (p ∧ q)’ (p ∧ q) ∧ (p ∨ q)’ (p→ q) → (p ∧ q)

1. Arme con frases de lenguaje las proposiciones del punto anterior utilizando cada una de las siguientes proposiciones simples: .p: La sumatoria de ángulos de un triangulo es de 180 grados .q: Un triangulo tiene tres lados 2. De la condicional p → q arme la frase correspondiente a las proposiciones reciproca, inversa y contra recíproca. 3. Demuestre la veracidad de las siguientes equivalencias lógicas, con tablas de verdad y con la aplicación de las equivalencias básicas:

a. (p ∨ q) ∨ (p ∧ q)´ ≡ p’ b. p ∨ (p ∧ q) ≡ p c. p’∧ q ∧ s ∨ p’ ∧ q ∧ s’ ∨ p ∧ q ’∧ s ∨ p ∧ q’ ∧ s ≡ p 4. Exprese en diagramas de Venn todas las equivalencias de la sección y verifique su validez. De la misma forma proceda con el punto 4 y 7. 5. Realice el mapa conceptual de la sección

2.3. ARGUMENTOS Y LEYES DE INFERENCIA 1. ARGUMENTOS Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones p1, p2, p3,..,pn, llamadas premisas, y otra proposición q, llamada conclusión, se denota como: p1, p2, p3,..,pn q Un argumento es válido o no. De serlo se convierte en implicación lógica. De no lograr validez se llama falacia. 1. Argumento válido La premisa se asocia con conjunciones, así: p1, p2, p3,..,pn. ≡ p1 ∧p2 ∧p3 ∧.. ∧ pn El operador se asocia a la implicación. Así pues una aproximación en el lenguaje común de un argumento sería: "Si p1 ∧p2 ∧p3 ∧.. ∧ pn entonces q" Por lo anterior se dice que un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión. Ejemplo: Averiguar si el siguiente argumento es válido (p→ q), (q’→ p’) (p→ q) Se debe establecer la tabla de verdad de la premisa (p→ q) ∧ (p’→ q’) esto es lo que se muestra en la quinta columna de la tabla

siguiente. La premisa solo es verdadera para p y q en 1. .p

-q

(p→ q)

(p’→ q’)

(p→ q) ∧ (p’→ [(p→ q), (p’→ q q’) (p→ q)

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Ahora se establece la veracidad de la conclusión (p→ q). La misma se muestra en la tercera columna. Tal conclusión es verdadera tres veces, dos de ellas cuando la premisa también lo es. Ahora si se puede establecer la veracidad del argumento: Si (p→ q) y (p’→ q’), entonces (p→ q). De acuerdo al criterio de validez de un argumento: un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión. Se debe buscar cuando fue verdadera la premisa, o en p=q= 0 o en p=q=1; en esos casos se debe mirar la conclusión que valor tiene, para estos dos casos (p→ q). se hace verdadera, luego el argumento es válido. Una forma de demostrar lo mismo es verificar en la tabla con la operación implicación la premisa con la conclusión(cosa que se observa en la última columna) de la tabla de arriba, si se obtiene una tautología el argumento es válido. 2. Falacia La falacia es el argumento que no es válido, es decir siendo verdadera la premisa, la conclusión resulta falsa. También se puede expresar como, la no obtención de tautología al implicar la premisa con la conclusión.

Ejemplo 1: Averiguar si el siguiente argumento es válido (p→ q), (q→ p) p Se debe establecer la tabla de verdad de la premisa (p→ q) ∧ (q→ p) esto es lo que se muestra en la quinta columna de la tabla siguiente. (p→ q) (q→ p)

(p→ q) ∧ (q→ p)

[(p→ q), (q→ p)] → p

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

.p

-q

0

0

1

0

1

1 1

Ahora se establece la veracidad de la conclusión p. Ahora si se puede establecer la veracidad del argumento: Si (p→ q) y (q→ p), entonces p. De acuerdo al criterio de validez de un argumento: un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión. Se debe buscar cuando fue verdadera la premisa: La premisa es verdadera cuando o las dos p y q son falsas o las dos son verdaderas. en esos casos se debe mirar la conclusión que valor tiene, para este caso p se hace verdadero dos veces en la línea 3 en la línea 4. Para ésta última premisa y conclusión son verdaderas, para la línea tres siendo verdadera la conclusión la premisa es falsa, lo que no importa. Pero, en la línea uno, la premisa siendo verdadera no da una conclusión falsa. Esto hace que el argumento no sea valido y por ende la proposición es una falacia Una forma de demostrar lo mismo es verificar en la tabla con la operación implicación la premisa con la conclusión(cosa que se observa en la última

columna), si se obtiene una tautología el argumento es válido. Obsérvese que no hay tautológica, luego es una falacia. Ejemplo 2: Averiguar si el siguiente argumento es válido (p→ q), (p’→ q’) p Se debe establecer la tabla de verdad de la premisa (p→ q) ∧ (p’→ q’) esto es lo que se muestra en la quinta columna de la tabla siguiente. La premisa solo es verdadera para p y q en 1 o las dos en cero.

.p

-q

(p→ q)

(p’→ q’)

(p→ q) ∧ (p’→ [(p→ q), (p’→ q’]) → q’) p

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Ahora se establece la veracidad de la conclusión p. La misma se muestra en la primera columna. Tal conclusión es verdadera dos veces, una de ellas cuando la premisa también lo es el otro caso cuando están las dos variables en cero. Ahora si se puede establecer la veracidad del argumento: Si (p→ q) y (p’→ q’), entonces p. De acuerdo al criterio de validez de un argumento: un argumento es valido cuando la premisa es verdadera haciendo verdadera la conclusión. Se debe buscar cuando fue verdadera la premisa, cosa que ya se preciso; en esos casos se debe mirar la conclusión que valor tiene, para las dos en "1" p se hace verdadera, pero en el caso en que las dos p y se hacen "0" p se hace "0" luego el argumento resulta ser una falacia.

Una forma de demostrar lo mismo es verificar en la tabla con la operación implicación la premisa con la conclusión(cosa que se observa en la última columna) de la tabla de arriba, si se obtiene una tautología el argumento es válido de lo contrario es una falacia, como lo demuestra la última columna. 2. LA IMPLICACIÓN LÓGICA Se dice que una proposición p(p1, p2, p3,..,pn) implica lógicamente una proposición q(q1, q2, q3,..,qn) si q(q1, q2, q3,..,qn) es verdadera cada vez que p(p1, p2, p3,..,pn) sea verdadera. Es decir, cuando un argumento resulte ser valido. Su representación es: p(p1, p2, p3,..,pn) ⇒ q(q1, q2, q3,..,qn) Ejemplo: Verifique que p ↔ q implica lógicamente p→ q Como argumento se puede expresar como: p ↔ q p→ q La tabla queda: .p

-q

(p↔ q)

(p→ q)

(p↔ q) → (p→ q)

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Luego sí es un argumento válido. Por tal hecho es una implicación lógica que se representa como: (p↔ q) ⇒ (p→ q) 3. REGLAS DE INFERENCIA Y DEMOSTRACIONES 2.3.3.1. Reglas de inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente

de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. En la sección anterior quedaron planteadas las principales equivalencias lógicas, ahora se enumerarán algunas de las inferencias básicas,para emplear en demostraciones : 12.- Adición. a). p ⇒ (p ∨ q) 13.- Simplificación. a). (p ∧ q) ⇒ p 14.- Absurdo a). (p→ 0) ⇒ p' 15.- Modus ponens. a). [p ∧ (p→ q)] ⇒ q 16.- Modus tollens. a). [(p→ q) ∧ q'] ⇒ p' 17.- Transitividad del → a). [(p↔ q) ∧ (q↔ r)] ⇒ (p→ r) 18.- Transitividad del → a). [(p→ q) ∧ (q→ r)] ⇒ (p→ r) 19.- Mas implicaciones lógicas. a). (p→ q) ⇒ [(p ∨ r) → (q ∨ s)] b). (p→ q) ⇒ [(p∧ r) → (q∧ s)] c). (p→ q) ⇒ [(q→ r) → (p→ r)] 20.- Dilemas constructivos.

a). [(p→ q) ∧ (r→ s)] ⇒ [(p ∨ r) → (q ∨ s)] b). [(p→ q) ∧ (r→ s)] ⇒ [(p∧ r) → (q∧ s)] Todas estas implicaciones lógicas son demostrables con tablas de verdad. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración, posteriormente se presentan algunos ejemplos aclaratorios. 21.- Adición p _____ ∴ p ∨q 22.- Simplificación .p ∧q _______ ∴p 23.- Silogismo disyuntivo .p ∨q p’ ___________ ∴q 24.- Silogismo hipotético p→ q q→ r ________ p→ r 25.- Conjunción

p q ___________ p ∧q 26.- Modus pones p p→ q __________ .q 27.- Modus Tollens p→ q q’ __________ .p’ A continuación se presentarán dos ejemplos de inferencias. Ejemplo 1 ¿Es valido el siguiente argumento?. Si usted invierte en Tecnología, entonces se hará millonario. Si se hace usted millonario, entonces será feliz. ____________________________________________________ ∴ Si usted invierte en tecnología, entonces será feliz. Solución Sea: p: Usted invierte en tecnología. q: Se hará millonario.

r: Será feliz De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera: p →q q →r ______ ∴ p →r Dando una ojeada a la implicación lógica o inferencia del silogismo hipotético (24) el argumento es valido&. Ejemplo 2. ¿Es valido el siguiente argumento?. Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. _________________________________________ ∴ Los impuestos bajan Solución: Sea p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva. p →q q _____ ∴ p No aparece en ninguna de las inferencias básicas y tampoco en ninguna de las reglas, de tal suerte que solo aplicando la tabla de verdad se sabrá si es verdadera o falsa.

.p

-q

(p→ q)

(p→ q) → p

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

Resulta ser una falacia, luego no es un argumento valido. Por ello no aparece registrado en las reglas de inferencia. 2. Métodos de demostración. Para demostrar que un argumento es válido se ha logrado, hasta ahora, a través del uso de tablas de verdad y en los dos últimos ejemplos con la aplicación de reglas de inferencia. En ésta, la parte final de la sección, se hará una formalización más precisa de tales reglas mediante los denominados método directo y método por contradicción. 1. Demostración por el método directo. Supóngase que p → q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma. p1 ∧p2 ∧p3 ∧.. ∧ pn ⇒ q Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1, p2, p3 ,.. ,pn.* Se escribe. p1 p2 p3

. . pn ______ ∴

q

Esto es realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera. Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo. (p1 ∧p2 ∧p3 ∧.. ∧ pn) ⇒ q Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. "Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas. Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión. A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia. Ejemplo: Sean p: Trabajo. q: Ahorro.

r: Compraré una casa. s: Podré guardar el carro en mi casa. Analizar el siguiente argumento: "Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el carro en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el carro en mi casa, entonces no ahorro". El enunciado anterior se puede representar como: p ∨q → r; y r → s; entonces s' → q' Equivale también a probar el siguiente teorema: [(p ∨q) → r] ∧[r → s] ⇒ [s' → q'] Como se trata de probar un teorema de la forma general: p1 ∧p2 ∧......∧pn ⇒ q Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas. 1.- (p ∨q) → r Hipótesis 2.- r → s Hipótesis 3.- q → (q ∨p) Adición tautología 12 4.- q → (p ∨q) 3; ley conmutativa, regla 2 5.- q → r 4,1; silogismo hipotético, regla 24 6.- q → s 5,2; regla 22 7.- s' → q' 6; contrapositiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera$. Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda. El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar. 2. Demostración por contradicción. El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción. Ejemplo Demostrar el teorema:

[ p → (p ∧ r) ] ∧ [ (q ∨s) → t ] ∧(p ∨s) ⇒ t La demostración del teorema por el método de contradicción es como se indica Demostración

1.- p → (p ∧r) Hipótesis 2.- (q ∨s) → t Hipótesis

3.- p ∨s Hipótesis 4.- t’ Negación de la conclusión 5.- (q ∨s)’ 2,4; Modus tollens, regla 27 6.- q’ ∧s’ 5; Ley de Morgan, 6 a. 7.- q’ 6; Simplificación, regla 22 8.- s’ ∧q’ 6; Ley conmutativa, 2b 9.- s’ 8; Simplificación, regla 22 10.- s ∨p 3; Ley conmutativa, 2 a 11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 23 12.- q ∧r 11,1; Modus ponens, regla 26 13.- q 12; Simplificación, regla 22 14.- q ∧ q’ 13,7; Conjunción, regla 25 15.- Contradicción. Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. 3. Observaciones Concluyentes. Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato. p1 ∧p2 ∧p3 ∧.. ∧ pn ⇒ q Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (∧ ), lo cual implica que p1 es cierta y (∧ ) p2 es verdad y (∧ )...... y pn también es cierta entonces (⇒ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los

pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución. Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí se sabe inferir soluciones lógicas, se estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas. Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que se pueda realizar las relaciones entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. 3. TALLER TRES 1. Verifique la validez de los siguiente argumento por 3 métodos diferentes a. Sí estudio, no perderé circuitos digitales. Si no juego fútbol entonces estudio. Pero perdí circuitos digitales __________________________ Por lo tanto, jugué fútbol b. Si trabajo no puedo estudiar. O trabajo, o paso circuitos digitales. Trabajé __________________________ Por lo tanto, pase circuitos digitales c. Si x es par, entonces y no divide a z. O j no es primo, ó y divide a z .x es primo

__________________________ ∴ x es impar 1. Demuestre por tablas las implicaciones lógicas(12 a 20): 2. Precise los siguientes conceptos a. b. c. d. e.

Predicado Silogismo Razonamiento Inferencia Demostración

1. Con las siguientes proposiciones: p: José lee el Tiempo q: José lee el Espectador r: José lee el Espacio g: Leer genera un amplio bagaje cultura h: La lectura afianza la inteligencia i: Los científicos son inteligentes j: Los profesores de la universidad investigan k Los investigadores leen l: La democracia no tiene nada que ver con procesos electorales m: La autonomía universitaria no es económica n: Los países subdesarrollados son felices Escriba diversos argumentos y demuestre su validez. 2. Elabore el mapa conceptual de la sección 3. Elabore el mapa conceptual del capítulo dos.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS