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FÍSICA: Recopilación de Problemas de Algebra Vectorial

Ing. José Avilés Recalde

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En el plano: 1.1. Escribir de las otras formas los siguientes vectores: a) T = 40 m; S 60° O

b) W = 100 km(–0,9397i – 0,3420j)

c) C = 5 cm; 126,87°; 36,87°

d) H = 800 mm; 315°

e) L = (–15; 45) m

f) G = 3000 km; N 55° O

g) F = –200i – 500j [cm]

h) D = 95 m; 30°; 120°

i) S = 85 km(0,5736i + 0,8192j)

j) M = 60i – 30j [km]

1.2. Hallar la posición relativa del punto final del vector N = 700 m; 320° respecto al punto final del vector V = 550 m; N 40° E 1.3.

Sumar por el método del polígono: A = 200 m; 130°; B = 600 m; S 50° E; C = 400 m; 40°; 50°

1.4.

Con los vectores dados en el problema anterior, encontrar por el método del polígono: ½ A – ⅛ C + ⅓ B.

1.5.

Dados: V = 300i – 400j [km] y U = 200 km; 65°; hallar por el método del paralelogramo: a) 2V + 3U; b) 2U + V.

1.6.

Encontrar, analíticamente: P + ½ Q – 3O; si: P = 60 cm; 20°; Q = –90i – 40j [cm] y O = 125 cm S 40° E.

1.7. Dados los vectores: M = 125 cm(0,8192i – 0,5736j) y L = –60i – 80j [cm]; hallar: a) el menor ángulo entre ellos; b) la proyección de L sobre M; c) 2M x L. 2

1.8. Si el producto escalar entre dos vectores que forman un ángulo de 125° entre ellos, es 5000 [u ] y uno de ellos es 100 [u]; 115°, hallar el otro vector. 1.9. El vector base en el eje de las ordenadas de un vector es 60j [m] y su ángulo de posicionamiento geográfico desde el S al E es 40°. Expresar dicho vector de todas las formas posibles. 1.10.

Escribir en coordenadas geográficas la posición relativa de Argentina respecto a Francia.

1.11.

Dar en coordenadas polares la posición relativa de México respecto a Venezuela.

1.12. Escribir en función de sus ángulos directores la posición relativa de Sudáfrica respecto a Canadá. 1.13.

Dar en función de su unitario la posición relativa de Alemania respecto a Brasil.

1.14. Escribir la posición relativa de Argelia respecto a Rusia en coordenadas rectangulares y en función de las coordenadas del punto de llegada. 1.15. Si las coordenadas del punto de llegada de un vector cualquiera son (320; –250) m, escribir este vector en coordenadas geográficas y en función de su unitario. 1.16. El módulo o magnitud de un vector es 500 km y forma un ángulo de 100° con el eje positivo de las ordenadas. Escribir este vector en coordenadas geográficas y en coordenadas rectangulares. 1.17. Dados los vectores: A = 45 cm; 310°; B = 100 cm; N 10° E y C = 80 cm; 110°; 20°; hallar analíticamente: a) 3B – 5A + ½ C; b) la proyección de C sobre A; c) el producto punto entre los vectores C y B; d) el producto vectorial entre B y A. 1.18. Los puntos de llegada de dos vectores tienen las siguientes coordenadas: (25; 30) cm y (–50; 35) cm. Escribir los vectores en función de sus unitarios y hallar el ángulo que forman entre ellos. 1.19.

Dos vectores sumados dan –7i – 3j [m] y restando el segundo del primero dan 17i + 17j [m]. Hallar los vectores.

1.20. Dados los vectores: V = 500 mm; 20°; W = 250 mm; S35°O y Z = 300 mm; 130°; 140°; hallar: a) el producto escalar de V y W; b) el producto vectorial de Z y V; c) la proyección del vector W sobre el vector Z.

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1.21. Expresar en coordenadas polares y en función de sus ángulos directores la posición relativa de Perú respecto a Inglaterra. 1.22. Dar la posición relativa de Rusia respecto a Colombia en función de su unitario, en coordenadas rectangulares y en función de sus ángulos directores. 1.23. Tres vectores forman un triángulo como se indica en la figura. El módulo de A es de 30 cm y el de C es de 55 cm. a) Escribir el vector A en coordenadas geográficas y en función de su unitario; b) hallar analíticamente: ½ A +3B – 6C; c) encontrar el vector proyección de A sobre C; d) hallar (2A • ½ B)C; e) calcular: (3B + ½ C) • (A – C) 1.24.

A

B C

40°

En base de los cuatro vectores que se muestran en la figura, cuyos módulos son: E = 25 m; F = 37 m; G = 42 m y H = 30 m: a) escribir el vector G en coordenadas rectangulares y en función de sus ángulos directores; b) encontrar analíticamente (E – 2F) • ½ H; c) hallar el producto y vectorial entre 3G X H; d) hallar la posición relativa del punto de llegada de F respecto al F punto de llegada de E; e) calcular la proyección del vector H sobre el vector F.

E

77°

28° 45° x

1.25. Cuatro vectores cuyos módulos son de 25 cm forman un rombo como se indica en la A B figura; a) escribir el vector A en coordenadas G 18° H geográficas y en función de sus ángulos 40° directores; b) escribir el vector C en función de su unitario y en coordenadas polares; c) C D encontrar el valor de [5A + 3(B – 4C)] • D; d) hallar la posición relativa del punto final de A respecto al punto final de B; e) calcular el producto vectorial C X 3A; f) hallar el vector proyección de A sobre C y el vector proyección de D sobre B. 1.26. Dados los vectores: M = 500 cm; 56°; N = 250 cm; N20°O; O=(–300; –400)cm y P = 200i – 320j [cm]; a) escribir el vector M en coordenadas geográficas; b) expresar el vector N en función de su unitario; c) escribir el vector O en función de sus ángulos directores; d) expresar el vector P en coordenadas polares; e) hallar 3M • ½ P; f) calcular 4O X ⅝ N; g) encontrar el vector proyección de N sobre M; h) hallar el ángulo comprendido entre O y P. 1.27. El radio de la semicircunferencia graficada es de 30 m; para los vectores inscritos en ella, a) expresar A en coordenadas rectangulares; b) hallar la posición relativa del punto de llegada de B respecto al punto de llegada de C; c) encontrar el vector y proyección de D sobre A; d) calcular ⅔ B X 3C; e) hallar (2A – 3D) • ( ½ C + 4B); f) calcular (A + 2B) X (3C – ½ D)

B 30° D 30°

A

1.28. Dados los vectores cuyos módulos son: V = 10 x km; U = 25 km T = 32 km y W = 40 km, ubicados como se indica en la figura, a) escribir el vector W en coordenadas rectangulares; b) expresar el vector V en función de su unitario; c) encontrar el vector proyección de U sobre T; d) calcular el vector posición relativa del punto final de U respecto al punto de llegada de W; e) encontrar el producto punto entre T y V; f) sumar analíticamente los cuatro vectores; g) hallar el resultado del producto vectorial de U con V; h) calcular: (3T – 2V) X (W + ½ U).

50°

C 20°

y

W

35° U 28° 22° V

T 16° x

1.29. Expresar en coordenadas polares y en función de su propio unitario la posición relativa de México respecto a India. 1.30. Si dos vectores sumados dan como resultado 35i – 50j [cm] y al restar el segundo del primero resulta el vector 125i – 100j [cm], encontrar dichos vectores. 1.31. El vector base en el eje de las abscisas de un vector tiene un módulo de 850 mm y el ángulo de posicionamiento geográfico es de 38° medido desde el norte hacia el este. Escribir dicho vector en función de su unitario. 1.32. La suma vectorial gráfica por el método del polígono de cuatro vectores se muestra en el gráfico; si los módulos de cada uno de ellos son: A = 5 cm; B = 8 cm; C = 6 cm y D = 7 cm; a) expresar el vector B en coordenadas geográficas; b) escribir el vector D en función de su unitario; c) hallar la posición relativa del punto de llegada del vector A respecto al punto final del vector C; d) hallar el vector

y’

y”

y

x’

R 32°

A y”’ 15°

x”

C

41°

D x”’

50°

B

x

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proyección de D sobre B; e) calcular el producto escalar de B con C; f) realizar el producto vectorial entre D y A. 1.33. El vector M forma un ángulo de 110° en sentido antihorario con el vector N = 115i + 122j [m] y tiene un módulo de 110 m; escribir el vector M en coordenadas geográficas y en función de su propio unitario. 1.34. Sabiendo que el vector D = –120i + 100j [km] forma un ángulo de 80° en sentido horario con el vector E cuyo módulo es de 160 km hallar, por el método del paralelogramo y analíticamente, la suma de 3E + 2D y encontrar la proyección de D sobre E. 1.35. Si la componente en el eje x de un vector mide 30 cm y el ángulo para las coordenadas polares del vector es 150°, hallar el producto punto de este con un segundo vector cuyo vector base en el eje de las ordenadas mide 40 cm y el ángulo de posicionamiento geográfico del segundo vector es de 25° medido desde el sur hacia el oeste. 1.36.

Dado el vector A = 560 m(–0,7071i – 0,7071j), escribirlo de las otras formas posibles.

1.37. Si dos vectores forman entre sí un ángulo de 132° y sus módulos son 50 u y 30 u, estando el segundo orientado 50° desde el norte hacia el oeste, hallar la posición relativa del punto final del primer vector respecto al punto de llegada del segundo vector. 1.38.

Expresar el vector H = 60 u; 120°; 150° de las otras formas posibles.

1.39. Dos vectores perpendiculares entre sí se suman y el módulo de la resultante es de 500 m. Hallar dichos vectores sabiendo que el primero forma un ángulo de 35° con las abscisas y el segundo tiene un módulo de 200 m. 1.40. El vector base en las abscisas de un vector mide 0,36 m y dicho vector forma un ángulo de 68° medido desde el sur hacia el oeste. Expresar este vector en coordenadas polares y en función de sus ángulos directores. 1.41. Dados los vectores: K = 6000i + 5000j [u]; L = 7000 u; 205° y M = 4500 u(0,9848i – 0,1736j); hallar: a) K X ½ M; b) (2L – M) • 3K; c) la proyección de M sobre K; d) el ángulo comprendido entre M y L e) ¼ K – ½ L + ⅞ M. 1.42. Expresar la posición relativa de Argentina respecto a Austria en función de sus ángulos directores y en función de su propio unitario. En el espacio: Expresar de las ocho formas posibles los siguientes vectores:

50 cm; 45°; 124,45°; 115,1°

5.1.

V=

5.2. 5.3.

A = 61 N; N 33,69° O; 22,59° depresión H = 5i – 3j – 2k [m]

5.4. 5.5. 5.6.

E = 38 km (0,8111i – 0,4867j – 0,3244k) L = (50; 40; –30) cm G = 4i + 5j – 2k [m]

5.7. 5.8.

Q = 62 m; S 66,8° E; 14,71° depresión P = 9 cm (0,888i - 0,111j + 0,444k)

5.9. 5.10.

O = 436 mm; 16,7°; 90°; 106,7° A = (–18; 7; 0) dinas

5.11.

a=

5.12. 5.13.

I = 632 m; N 55°E; 13,81° elevación C = –18i + 13j +18k [cm]

5.14. 5.15.

r = 756 mm; 29,21°; 115,88°; 102,6° O = (–4; 3; 2) km

5.16. 5.17. 5.18.

D = 38 cm; 60,88°; 35,8°; 108,93° K = (5; –2; 3) N Ñ = –4i –2j + 2k [km]

5.19.

J=

50 m; S 59,04° E; 34,45° depresión

5.20.

H=

38 cm (0,8111i – 0,4866j – 0,3244k)

497 cm (–0,4037i – 0,8971j + 0,1794k)

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y

AO = 40 cm AD = 20 cm AB = 20 cm GO = 30 cm TV = 30 cm GH = 50 cm TU = 70 cm

S

R

T

U W

B

K

V

J

C

Ñ

A N

O E

D TS = 10 cm ÑM = 70 cm GF = 20 cm

G

x

H Q

L

I

F

z

Ing. José Avilés Recalde

P

M

Realizar los siguientes ejercicios tomando en cuenta los datos del gráfico anterior: 5.21. Expresar el vector OL de las ocho formas posibles. 5.22. Hallar el ángulo comprendido entre los vectores IS e IQ 5.23. Calcular el vector proyección de GR sobre GK 5.24. Hallar el resultado de: (NS X MR) + (2CO X LV) 5.25. Realizar la siguiente operación: 5(OR • EK)PR 5.26. Encontrar el vector proyección de SB sobre SH 5.27. Calcular el ángulo formado entre los vectores NQ y NG 5.38 Expresar el vector JF en coordenadas geográficas 5.29. Hallar el valor de: (2EI • 0,5KD) (3OQ X BR) 5.30. Calcular: (UD – 2AI) • (WM X EB) Para el siguiente gráfico, expresar en coordenadas geográficas los vectores: 5.31.

OR

5.32.

5.36.

OH

5.37.

OI

OD

5.33.

y

OÑ

C 3cm

5.34.

OK

D

2cm A T

4cm

B

2cm U

5cm

2cm

F 2cm

R

S

Ñ

1cm N L z

M

Z

5cm

3cm

W

H

2cm Y X P

Q

5cm

O

G

V

I

x

4cm K 2cm J

Basados en el gráfico anterior, realizar analíticamente las siguientes operaciones:

5.35.

OJ

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Ing. José Avilés Recalde

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5.38. 3MG + 2KT – GS 5.39. 20VC + 30XR – 10ÑF 5.40. 5JT – 2VR + 8HP 5.41. 10MB – 5ZC + 8DN 5.42. 50PD + 10WX – 100IT 5.43. (2AF • BK) 4SQ 5.44. (3BS X PR) – (GV X 3OR) 5.45. (NJ + 2ZC) • AG 5.46. Hallar el ángulo comprendido entre CT y CW 5.47. Calcular el ángulo formado entre JP y JR 5.48. Encontrar el vector proyección de TN sobre TB 5.49. Hallar el vector proyección de JS sobre JD 5.50. Encontrar el ángulo entre los vectores QN y QU 5.51. Dados los puntos: F(20; 15; 10) m; G(–10; 10; 20) m ; y H(10; –20; 15) m, ubicarlos en el espacio tridimensional, hallar sus proyecciones en los planos principales y en los ejes, pintar los ángulos rectos principales en las proyecciones y dar las posiciones relativas entre ellos. 5.52. Dados los puntos: A(–20; –15; –10) cm ; B(10; –10; –20) cm ; y C(–10; 20; –15) cm, ubicarlos en el espacio tridimensional, dar las posiciones relativas entre ellos, dibujar los vectores A, B y C (que parten del origen de coordenadas) y para B dibujar los triángulos principales y secundarios respecto al plano XZ. 5.53. Dados los puntos: T(200; 150; 100) m ; U(–100; 100; 200) m y V(100; –200; 150) m, ubicarlos en el espacio tridimensional, dibujar los prismas adscritos a dichos puntos, dibujar el vector V que parte del origen, dibujar los triángulos principales y secundarios respecto al plano XY y expresar V de las cinco formas posibles. 5.54. Dados los puntos de coordenadas: M(1500; –2000; –3000) cm y N(–2000; 3000; 1000) cm, ubicarlos en el espacio tridimensional, dibujar los respectivos prismas adscritos, dar sus posiciones relativas. Dibujar los vectores M y N que parten del origen de coordenadas y calcular el ángulo comprendido entre ellos. 5.55. Para los puntos dados en el ejercicio 5.52 hallar el ángulo comprendido entre los vectores BA y BC y calcular la proyección del vector CA sobre CB. 5.56. Con los puntos dados en el ejercicio 5.53 hallar el resultado de (TU • 2VT) VU. Encontrar el ángulo comprendido entre UV y UT y la proyección de T sobre U que parten del origen de coordenadas.