Analisis Numerik Metode Euler 1x5342

BAB I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Penggunaan matematika dalam kehidupan sangat berguna untuk meningkatkan pemahaman dan penalaran, serta untuk memecahkan suatu masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa disadari ketika kita mempelajari matematika, kita memiliki ketelitian dan kecermatan yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang menggunakan nilai yang kompleks sehingga faktor ketelitian sangat diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah. Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial yang kita kenal, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa. Pesamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan dari sebuah unknown function dan hanya memiliki satu variabel bebas. Solusi dari persamaan diferensial adalah fungsi spesifik yang memenuhi persamaan. Persamaan dibawah ini merupakan contoh dari persamaan diferensial biasa yang memiliki solusi. Pada persamaan dibawah ini, x merupkan variabel bebas dan y merupakan variabel tetap. y merupakan nama unknown function dari variabel x.

1.2

Tujuan Tujuan yang hendak dicapai dalam penulisan ini yaitu sebagai salah satu syarat untuk memenuhi seluruh praktikum jurusan Teknik Elektro ITENAS Bandung, antara lainnya:  Mahasiswa dapat menghitung persamaan differensial biasa dengan menggunakan metode euler, baik secara manual maupun dengan komputer.

1.3

Sistematis Penulisan BAB I

: Pendahuluan Pada bab ini memuat latar belakang, tujuan yang ingin dicapai, serta sistematis penulisan

BAB II

: Teori Dasar Dasar teori yang berisi kajian literatur mengenai materi dasar dan terkait dengan teori-teori metode euler

BAB III

: Landasan Praktikum Pembahasan tentang langkah-langkah untuk mendapatkan rumus metode euler

BAB IV

: Penutup Berisi tentang analisa dan kesimpulan dari praktikum

BAB II TEORI DASAR

2.1

Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor: y i  1  y i  y i'

Δx Δx 2  y i''  ... 1! 2!

Apabila

nilai

x

kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi: yi  1  yi  yi' Δ x

Dengan

membandingkan yi' persamaan (8.4) dan persamaan (8.5)

dapat disimpulkan bahwa pada metode Euler, kemiringan  = = f (xi , yi), sehingga persamaan (8.5) dapat ditulis menjadi: yi  1  yi  f ( xi , yi ) Δ x

dengan i = 1, 2, 3, … Persamaan (8.6) adalah metode Euler, nilai yi + 1 diprediksi dengan menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan turunan Gambar Metode Euler

pertama) di titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias x. Gambar 8.3, adalah penjelasan secara grafis dari metode Euler. Kesalahan Metode Euler Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan terjadinya dua tipe kesalahan, yaitu:

1) Kesalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang digunakan untuk perkiraan nilai y, 2) Kesalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit) yang digunakan dalam hitungan. Kesalahan pemotongan terdiri dari dua bagian. Pertama adalah kesalahan pemotongan lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu langkah. Kedua adalah kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya. Gabungan dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan pemotongan global. Besar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode Euler dapat dijelaskan dari deret Taylor. Untuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk: y '  f ( x, y )

y' 

dy dx

dengan , sedang x dan y adalah variabel bebas dan tak bebas.

Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor: yi  1  yi  yi'

Δx Δx 2 Δx n  yi''  ...  yin  Rn 1! 2! n!

Apabila

persamaan (8.7) disubstitusikan ke persamaan (8.8), akan menghasilkan: yi  1  yi  f ( xi , yi )

Δx Δx 2 Δx 3  f ' ( xi , yi )  f ' ' ( xi , yi )  ...  Rn 1! 2! 3!

Tabel Hasil hitungan dengan metode Euler x

y eksak

0,00

1,00000

0,25

2,56055

0,50

3,21875

0,75

3,27930

1,00

3,00000

1,25

2,59180

1,50

2,21875

x = 0,5 y perk 1,00000 5,25000 5,87500 5,12500

 t (%) 63,11 95,83 130,99

x = 0,25 y perk 1,00000

 t (%) -

3,12500

22,04

4,17969

29,85

4,49219

36,99

4,34375

44,79

3,96875

53,13

3,55469

60,21

1,75

1,99805

2,00

2,00000

2,25

2,24805

2,50

2,71875

2,75

3,34180

3,00

4,00000

3,25

4,52930

3,50

4,71875

3,75

4,31055

4,00

3,00000

4,50000 4,75000 5,87500 7,12500 7,00000

125,00 74,71 46,88 50,99 133,33

3,24219

62,27

3,12500

56,25

3,25000

44,57

3,61719

33,05

4,17969

25,07

4,84375

21,09

5,46875

20,74

5,86719

24,34

5,80469

34,66

5,00000

66,67

Perbandingan antara persamaan (8.6) dan persamaan (8.9) menunjukkan bahwa metode Euler hanya memperhitungkan dua suku pertama dari ruas kanan persamaan (8.9). Kesalahan

yang

terjadi

dari

metode

Euler

adalah

karena

tidak

memperhitungkan suku-suku terakhir dari persamaan (8.9) yaitu sebesar:

 t  f ' ( xi , yi )

Δx 2 Δx 3  f '' ( xi , yi )  ...  Rn 2! 3!

dengan



t

adalah kesalahan pemotongan lokal eksak. Untuk x yang sangat kecil, kesalahan seperti yang diberikan oleh persamaan (8.10), adalah berkurang dengan bertambahnya order (order yang lebih tinggi). Dengan demikian suku yang mengandung pangkat lebih besar dari dua dapat diabaikan, sehingga persamaan (8.10) menjadi:  a  f ' ( xi , yi )

Δx 2 2!

dengan  a adalah perkiraan

kesalahan pemotongan lokal. 2.2Diferensial Parsial

Persamaan Diferensial Parsial adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau diferensialnya. Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan

geometris. Bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan differensial parsial. Umumnya, jika adalah fungsi dua variable dan, andaikan kita misalkan hanya saja yang berubah-ubah sedangkan dibuat tetap, katakan dengan konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variable tunggal, yaitu jika mempunyai turunan di, maka kita menamakannya turunan parsial dari terhadap di dan menyatakannya dengan. Jadi Error: Reference source not found denganError: Reference source not found Menurut definisi turunan, kita mempunyai Sehingga persamaan nomor 1 menjadi

Dengan cara serupa, turunan parsial dari terhadap di dinyatakan dengany =(a,y) diperoleh dengan membuat � tetap ( � = a ) Error: Reference source not founddan mencari turunan biasa dari fungsi Jika

Error:

Reference source not found adalah fungsi dua variable, turunan parsialnya adalah fungsi Error: Reference source not found dan Error: Reference source not found yang didefinisikan oleh

BAB III LANDASAN PRAKTIKUM

3.1 Algoritma 3.1.1 Algoritma Metode Euler

1. Mulai 2. Definisikan fungsi persamaan data 3. Masukan data input 4. Hitung panjang vector x 5. Memproses nilai dari data masukan sesuai rumusan 6. Selesai 3.2 Flowchart 3.2.1 Flowchart Metode Euler

3.3 Listing Program 3.3.1 Listing Metode Euler

#include<stdio.h> #include<math.h> float a,b,c,d,e; float f,g,h,i,j; float k,l,m,n,o; float p,q,r,s,t; float u,v,w;

int pilihan; main (void) { ulang: printf("Muhammad Iqbal Fathurahmaan\n"); printf("11-2013-083\n"); printf("---------------------------\n"); printf("Masukkan Nilai X : "); scanf("%f",&a); printf("Masukkan Nilai Y' : "); scanf("%f",&b); printf("Masukkan Nilai h1 : "); scanf("%f",&c); printf("Masukkan Nilai h2 : "); scanf("%f",&d); printf("Masukkan Nilai h3 : "); scanf("%f",&e); f=(((1/3)*b)*a*a*a)-(b*a); g=b*a; h=b+f; i=b-h;

j=b+(f*c); k=b-j; l=b+(f*d); m=b-l; n=b+(f*e); o=b-n; printf("Nilai y1: %g\n",j); printf("Nilai error y1: %g\n",k);

printf("Nilai y2: %g\n",l); printf("Nilai error y2: %g\n",m); printf("Nilai y3: %g\n",n); printf("Nilai error y3: %g\n",o); printf("Ingin Masukkan data yang Lain?\n"); printf("[1]ya\n"); printf("[2]tidak\n"); scanf("%d",&pilihan); if(pilihan==1) { goto ulang; } }

3.4

Screenshot DATA PENGAMATAN Tabel 3.4.1 Data Pengamatan Metode Euler

X

Y’

H h1 h2

Y aproksimasi h3

Error

0

1

0.5 0.1 0.05

0.5

0.69

0.5 0.1 0.05

1

0.6

0.5 0.1 0.05

1.5

0.73

0.5 0.1 0.05

2

3

0.5 0.1 0.05

3.5 Tugas Akhir 1. Buat grafik (x,y) terhadap (Error: Reference source not found dan error 1,2,3 jelaskan grafiknya

2.

Sebutkan apa

kegunaan metode euler dalam kehidupan sehari-hari ! a.

menyelesaikan persamaan differensial.

b.

memprediksi nilai tegangan dari nilai arus yang diinginkan.

c.

memprediksi daya dengan parameter tegangan dan arusnya.

d. mengukur kedalaman benda anomaly tanpa harga kerapatan massa

3.

e.

untuk mengestimasi suatu posisi.

f.

penafsiran perubahaan variable stock dalam interval waktu.

Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial parsial ?

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat

suku-suku diferensial

matematika diartikan

parsial,

yang

dalam

sebagai suatu hubungan yang mengaitkan

suatu fungsiﾧ yang tidak

diketahui, dimana merupakan fungsi

dari beberapa variabel bebasﾧ dengan

turunan-turunannya

melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP. Fungsinya menyelesaikan

digunakan

untuk

melakukan

formulasi

dan

permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang

tidak diketahui. 4.

Jelaskan perbedaan metode euler dengan diferensial parsial Metode euler: yang terdiri dari satu variabel bebas saja Diferensial parsial: yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas

BAB IV ANALISA DAN KESIMPULAN 4.1

Analisa

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Metode euler atau disebut juga metode orde pertama, Misalnya diberikan PDB orde satu, Error: Reference source not found = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = x0 Persamaan metode Euler yaitu : yr = yr-1 + h * f(xr-1, yr-1)

Meskipun metode Euler sederhana, tetapi ia mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotong (truncation error) dan galat longgokan (cumulative error). Galat pemotong dapat langsung ditentukan dari persamaan berikut: Ep 

1 2 " h y (t )  0(h 2 ) 2

Galat

pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga di sebut juga galat per langkah (error per step) atau galat local. Semakin kecil nilai h (yang berarti semakin banyak langkah perhitungan). Nilai pada setiap langkah (yr) dipakai lagi pada langkah berikutnya. Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r ini di sebit galat longgokan (cumulative error). Jika langkah dimulai dari x0 = a dan berakhir di xn = b maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir (yn) adalah h2 " (b  a ) "    1/ 2  h y (t )  n y (t )  y (t )h 2 2 r 1 n

Etotal

2

"

Galat

longgokan total ini sebenarnya adalah Etotal  y (b) sejati  y ( xn ) Euler

Perbedaan metode euler dengan diferensial parsial adalah: Metode euler: yang terdiri dari satu variabel bebas saja Diferensial parsial: yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas

4.2

Kesimpulan Dapat

menghitung

persamaan

differensial

biasa

dengan

menggunakan metode euler, baik secara manual maupun dengan komputer.

Daftar Pustaka

-

Agus Setiawan, ST, MT, 2006, pengantar Metode Numerik, yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta

-

Drs. Sahid, M.Sc.

2005, pengantar Komputasi Numerik

dengan Matlab,

yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta

-

Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, Metode Numerik Untuk Teknik : dengan penerapan pada komputer pribadi, Universitas Indonesia, 1991.

-

Erwin Kreyszig, Advance Engineering Mathematics, 6th Edition, John Wiley & Sons, Inc, 1988.