Aplicaciones De La Integral Definida 1r1pc

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA I. CÁLCULO ÁREAS DE REGIONES PLANAS Consideramos una función 𝒚 = 𝒇(𝒙) definida no negativa en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], y sea: 𝑻: La región determinada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), el eje X y las rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. 𝑨(𝑻): Área de la región 𝑻, entonces:

𝒃

𝑨(𝑻) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂

Observaciones: 1. Si 𝑻 es la región plana determinada por las curvas 𝒚 = 𝒇(𝒙) y 𝒚 = 𝒈(𝒙) tal que 𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃], entonces:

𝒃

𝑨(𝑻) = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 𝒂

2. Si 𝑻 es la región plana determinada por las curvas 𝒙 = 𝒇(𝒚) y 𝒙 = 𝒈(𝒚) tal que 𝒈(𝒚) ≤ 𝒇(𝒚) ∀𝒙 ∈ [𝒄, 𝒅], entonces:

𝒅

𝑨(𝑻) = ∫ [𝒇(𝒚) − 𝒈(𝒚)] 𝒅𝒚 𝒄

3. Si 𝑻 es la región plana determinada por una función determinada en forma paramétrica por: 𝒙 = 𝒙(𝒕) ˄ 𝒚 = 𝒚(𝒕), por las rectas 𝒙 = 𝒂 ˄ 𝒙 = 𝒃 y por el segmento [𝒂, 𝒃] del eje X, entonces:

𝒃

𝒕𝟏

𝑨(𝑻) = ∫ 𝒚 𝒅𝒙 = ∫ 𝒚(𝒕). 𝒙′ (𝒕) 𝒅𝒕 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝒂 = 𝒕𝟎 ˄ 𝒃 = 𝒕𝟏 𝒂

𝒕𝟎

4. Si 𝑺 es el sector curvilíneo limitado por una curva definida en coordenadas polares por la función: 𝒓 = 𝒇(𝜽), y por dos radios polares 𝜽 = 𝜶 ˄ 𝜽 = 𝜷, con 𝜶 < 𝜷, entonces: 𝑨(𝑺) =

𝟏 𝜷 𝟐 ∫ 𝒓 𝒅𝜽 𝟐 𝜶

Ejercicio 01.- Halla el área del recinto delimitado por la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 y el eje 𝑋. Solución 1° Determinación de interceptos: a) Con el eje X 𝑥1 = −2 2 Si 𝑦 = 0 ⇰ 𝑥 (𝑥 − 4) = 0 ⇔ { 𝑥2 = 0 𝑥3 = 2 b) Con el eje Y Si 𝑥 = 0 ⇰ 𝑦 = 0

2° Cálculo del área de la región El área de la región sombreada está dada por: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 a) Cálculo del área 𝐴1 : 0

0

0

𝑥4 𝐴1 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 4𝑥 ) 𝑑𝑥 = ( − 2𝑥 2 )| = 0 − (−4) 4 −2 −2 −2 2 𝐴1 = 4𝑢 b) Cálculo del área 𝐴2 : 2 2 2 𝑥4 3 2 𝐴2 = ∫ [0 − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ (4𝑥 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 = (2𝑥 − )| = 4 4 0 0 0 2 𝐴2 = 4𝑢 Luego: 𝐴 = 8𝑢2 3

Ejercicio 02.- Calcula el área comprendida entre la función 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑, el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1. Solución 1° Determinación de interceptos: a) Con el eje X Si 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = (𝑥 + 1)2 + 2 > 0 ⇰ la curva no corta al eje X. b) Con el eje Y Si 𝑥 = 0 ⇰ 𝑦 = 3 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑

2° Cálculo del área: 1

1

1

𝑥3 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 2𝑥 + 3 ) 𝑑𝑥 = ( + 𝑥 2 + 3𝑥)| 3 −1 −1 −1 2

1

𝐴=(

(−1)3 𝑥3 13 + 𝑥 2 + 3𝑥)| = ( + 12 + 3.1) − ( + (−1)2 + 3(−1)) 3 3 3 −1 20 2 𝐴= 𝑢 3

Ejercicio 03.- Halla el área del recinto limitado por la parábola 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 y el eje 𝑋 en el intervalo [0, 4]. Solución 1° Determinación de interceptos: a) Con el eje X Si 𝑦 = 0 ⇰ 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0 ⇔ (𝑥 − 3 )(𝑥 + 2) = 0 ⇰ 𝑥 = −2 ˅ 𝑥 = 3 b) Con el eje Y Si 𝑥 = 0 ⇰ 𝑦 = −6

2° Cálculo del área de la región El área de la región sombreada está dado por: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 c) Cálculo del área 𝐴1 : 3

3

3

𝐴1 = ∫ [𝑜 − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = − ∫ (𝑥 2 − 𝑥 − 6 ) 𝑑𝑥 = − ( 0

0 3

3

2

𝑥3 𝑥2 − − 6𝑥)| 3 2 0

(3)3 (3)2 𝑥 𝑥 03 02 − − 6𝑥)| = ( − − 6.0) − ( − − 6.3) 3 2 3 2 3 2 0 (3)2 27 𝐴1 = 0 − (9 − − 18) = 2 2 27 2 𝐴1 = 𝑢 2 d) Cálculo del área 𝐴2 : 4 4 4 𝑥3 𝑥2 2 𝐴2 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 𝑥 − 6 ) 𝑑𝑥 = ( − − 6𝑥)| = 4 3 2 3 3 3 𝐴1 = (

4

𝐴2 = (

(4)3 (4)2 (3)3 (3)2 𝑥3 𝑥2 − − 6𝑥)| = ( − − 6.4) − ( − − 6.3) 3 2 3 2 3 2 3 64 16 27 9 𝐴2 = ( − − 24) − ( − − 18) 3 2 3 2 17 2 𝑢 6 27 17 ⇰ 𝐴 = ( + )𝑢2 2 6 𝐴2 =

∴ 𝐴=

49 2 𝑢 3 𝟏

Ejercicio 04.- .- Halla el área del recinto limitado por 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟏+𝒙𝟐 y la parábola 𝒚 = Solución Notamos que ambas funciones son pares. Su gráfica es simétrica con respecto a eje Y Hallaremos el área de la región que está en El primer cuadrante y luego duplicamos, así Tendremos el área total deseada. 1° Determinación de las coordenadas de B

𝒙𝟐 . 𝟐

𝟏 𝒙𝟐 = ⇰ 𝒙 = ±𝟏 𝟏 + 𝒙𝟐 𝟐 2° Cálculo del área de la región deseada: 1 𝟏 𝒙𝟐 1 1 𝐴 = 2∫ [ − ] 𝑑𝑥 = 2 [𝑡𝑎𝑛−1 𝑥|10 − 𝑥 3 |10 ] = 2 [𝑡𝑎𝑛−1 (1) − 𝑡𝑎𝑛−1 (0) − ] 𝟐 𝟐 6 6 0 𝟏+𝒙

𝜋 1 3𝜋 − 2 2 𝐴 = 2[ − 0 − ] = 𝑢 4 6 12 Así: 3𝜋 − 2 2 𝑢 12 Ejercicio 05.- .- Halla el área de la región plana limitada por las gráficas de las funciones 𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝟐| − |𝒙 − 𝟔| ; 𝑥 − 𝑦 = 𝟒. Solución 𝐴=

1° Redefinimos 𝒇(𝒙): −𝟒 𝐒𝐢 𝒙 < 𝟐 𝒇(𝒙) = {𝟐𝒙 − 𝟖 𝐒𝐢 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟔 𝟒 𝐒𝐢 𝒙 ≥ 𝟔

2° Cálculo del área: 2

4

6

8

𝐴 = ∫ [(𝑥 − 4) − (−4)] 𝑑𝑥 + ∫ [(𝑥 − 4) − (2𝑥 − 8)] 𝑑𝑥 + ∫ [(2𝑥 − 8) − (𝑥 − 4)] 𝑑𝑥 + ∫ [4 − (𝑥 − 4)] 𝑑𝑥 0

2 2

4

6

4

6

8

𝐴 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ (4 − 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 − 4) 𝑑𝑥 + ∫ (8 − 𝑥) 𝑑𝑥 0

2

2

4

4

6

6

8

(𝑥 − 4)2 (𝑥 − 4)2 (𝑥 − 8)2 𝑥2 𝐴= | − | + | − | 2 0 2 2 2 2 4 6 𝐴=[

(2)2 − (0)2 (4 − 4)2 − (2 − 4)2 (6 − 4)2 − (4 − 4)2 (8 − 8)2 − (6 − 8)2 ]−[ ]+[ ]−[ ] 2 2 2 2

Luego:

1 𝐴 = [4 + 4 + 4 + 4] = 8𝑢2 2

𝐴 = 8𝑢2 Ejercicio 06. Halla el área de la región plana limitada por las gráficas de las funciones 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙; y 𝑥 − 𝑦 = 𝟒. Solución 1° Determinación de los puntos de intersección: 𝑦 = 𝑥 − 4 … (1) { 𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 … (𝟐) Reemplazando (1) en (2):

(𝒙 − 𝟒)𝟐 = 𝟐𝒙 ⇰ 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 ⇰𝒙=𝟐 ˅ 𝒙=𝟖 2° Cálculo del área: Observando el gráfico, nos damos cuenta que debemos partir el intervalo de integración en dos partes, como se indica: a) Para 𝟎 ≤ 𝑥 ≤ 2: 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 ⇰ 𝒚 = ±√𝟐𝒙 ⇰ 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 ˄ 𝒈𝟏 (𝒙) = −√𝟐𝒙 b) Para 𝟐 ≤ 𝑥 ≤ 8: 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 ˄ 𝒈𝟐 (𝒙) = 𝒙 − 𝟒 Así: 2

8

𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝒈𝟏 (𝑥)] 𝑑𝑥 + ∫ [𝑓(𝑥) − 𝒈𝟐 (𝑥)] 𝑑𝑥 2

0

8

2

⇰ 𝐴 = ∫ [√𝟐𝒙 − (−√𝟐𝒙)] 𝑑𝑥 + ∫ [(√𝟐𝒙) − (𝑥 − 4)] 𝑑𝑥 = 18𝑢2 0

2

Luego: 𝐴 = 18𝑢2

Ejercicio 07. Calcular el área de la región plana determinada por las gráficas de las funciones 𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟐𝒙𝟑 +𝒙𝟐 −𝟐𝒙 𝟖

y 𝒚 = 𝒈(𝒙) =

𝒙𝟑 . 𝟖

Solución

1° Determinación de los puntos de intersección: 𝒙𝟑 𝑦= … (1) 𝟖 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒚 = … (𝟐) { 𝟖 Igualando (1) y (2): 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟎 ⇰ 𝒙 = 𝟎; 𝒙 = 𝟏 ˅ 𝒙 = −𝟐

2° Cálculo del área: 0

1

𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 −2

0

1 0 1 1 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 ⇰ 𝐴 = ∫ [(𝟐𝒙 + 𝒙 − 𝟐𝒙) − 𝒙 ]𝑑𝑥 + ∫ [𝒙 − (𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙)]𝑑𝑥 8 −2 8 0 0 1 1 1 ⇰ 𝐴 = ∫ [(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙)]𝒅𝒙 + ∫ [−𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙]𝒅𝒙 8 −2 8 0

0

1

1 𝑥4 𝑥3 𝑥4 𝑥3 2 ⇰ 𝐴 = [( + − 𝑥 )| + (− − + 𝑥 2 )| ] 8 4 3 4 3 −2 0

Luego:

(−2)4 (−2)3 (1)4 (1)3 1 ⇰ 𝐴 = [[0 − ( + − (−2)2 )] + [(− − + (1)2 ) − 0]] 8 4 3 4 3 1 8 5 37 2 ⇰ 𝐴= ( + )= 𝑢 8 3 12 96

37 2 𝑢 96 Ejercicio 08. Se toman los puntos 𝑨 = (−𝟐, 𝟒) y 𝑩 = (𝟏, 𝟏) de la parábola 𝒚 = 𝒙𝟐 y los puntos, fuera de la parábola, 𝑪 = (𝟏, 𝒂) y 𝑫 = (−𝟐, 𝒃), tales que el segmento 𝑪𝑫 es tangente a la parábola y paralelo al segmento 𝑨𝑩. Hallar el área de la región plana, encerrada por los segmentos 𝑨𝑫, 𝑫𝑪, 𝑪𝑩 y la parábola. Solución 1° Determinación de la ecuación de la recta 𝐿 que contiene al segmento 𝑪𝑫: 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 … (1) Dato: 𝟒−𝟏 𝑨𝑩 ⫽ 𝑪𝑫 ⇰ 𝒎𝑪𝑫 = 𝒎𝑪𝑫 = = −𝟏 = 𝒎𝑳 = 𝒎 −𝟐 − 𝟏 (𝟏) ⇰ 𝒎 = −𝟏 ⇒ 𝑳: 𝒚 = −𝒙 + 𝒏 … (𝟐) 𝐴=

2° Determinación del punto de tangencia 𝑻: 𝒅(𝒙𝟐 ) 𝟏 𝒎= = 𝟐𝒙 = −𝟏 ⇰ 𝒙 = − 𝒅𝒙 𝟐 Luego el punto de tangencia 𝑻, es igual a: 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒚 = (− ) = ⇰ 𝑻 = (− , ) ← 𝐩𝐞𝐫𝐭𝐞𝐧𝐞𝐜𝐞 𝐚 𝐥𝐚 𝐩𝐚𝐫á𝐛𝐨𝐥𝐚 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 Reemplazamos las coordenada de 𝑇 en (2): 𝟏 𝟏 𝟏 = − (− ) + 𝒏 ⇰ 𝒏 = − 𝟒 𝟐 𝟒 Luego, la ecuación de la recta 𝑳, es igual a: 𝑳: 𝒚 = −𝒙 −

𝟏 𝟒

3° Cálculo del área de la región deseada: 1 𝟏 𝐴 = ∫ [𝑥 2 − (−𝑥 − )] 𝑑𝑥 𝟒 −2 9 2 𝐴= 𝑢 4 Ejercicio 09. Calcular el área de la región plana determinada por las gráficas de las curvas: 𝒙𝒚 = 𝟗 y √𝒙 + √𝒚 = 𝟒; para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟗. Solución

1° Determinación de los puntos de intersección:

𝒙𝒚 = 𝟗 … (𝟏) (𝟏) (𝟐) ⇒ 𝒙 + 𝟐√𝒙𝒚 + 𝒚 = 𝟏𝟔 ⇒ { √𝒙 + √𝒚 = 𝟒 … (𝟐) Multiplicando la ecuación (3) por 𝒙: (𝟏)

𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 = 𝟏𝟎𝒙 ⇒

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗 = 𝟎

⇰

𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎 … (𝟑)

𝒙=𝟏 ˅ 𝒙=𝟗

2° Cálculo del área deseada: 1 9 88 2 𝐴 = ∫ [(4 − √𝑥) − ] 𝑑𝑥 = − 18𝐿𝑛3 𝑥 3 −2

Luego: 88 𝐴 = ( − 18𝐿𝑛3) 𝑢2 3 Ejercicio 10. Calcular el área de la región plana determinada por la cardiode de ecuación: 𝒓 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽. Solución Este problema es una aplicación directa de la fórmula: 𝑨=

𝟏 𝜷 𝟐 𝟏 𝟐𝝅 𝟑𝝅 ∫ 𝒓 𝒅𝜽 = ∫ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)𝟐 𝒅𝜽 = 𝟐 𝜶 𝟐 𝟎 𝟐

Ejercicio 11. Calcular el área de la región plana determinada por l0s pétalos de rosa de ecuación: 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽). Solución 1° Determinación de los puntos de intersección: Hacemos: 𝒓 = 𝟎 ⇰ 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽) = 𝟎 ⇰ 𝟐𝜽 = Para el primer cuadrante, hacemos:

(𝟐𝒌 + 𝟏)𝝅 (𝟐𝒌 + 𝟏)𝝅 ⇰ 𝜽= , 𝟐 𝟒

𝒌=𝟎 ⇰ 𝜽=

𝝅 𝟒

𝒌∈ℤ

2° cálculo del área deseada: Calcularemos el área de la región que está en el primer cuadrante y a este resultado, lo multiplicamos por 8.

𝝅

𝝅 𝟒

𝝅

𝟏 𝜷 𝟒 𝟒 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽 𝑨 = 𝟖. ∫ 𝒓𝟐 𝒅𝜽 = 𝟒 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)𝟐 𝒅𝜽 = 𝟒 ∫ 𝒅𝜽 𝟐 𝜶 𝟐 𝟎 𝟎 𝝅

𝟒 𝟏 𝝅 𝟏 𝝅 𝑨 = 𝟐 ∫ (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽) 𝒅𝜽 = 𝟐 ((𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝟒𝜽)| ) = 𝟐 [( + 𝒔𝒆𝒏𝝅) − 𝟎] = 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐 𝟎 𝟎

Luego: 𝑨=

𝝅 𝟐 𝒖 𝟐

II. LONGITUD DE ARCO Definiciones Preliminares: Consideremos previamente una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en el intervalo [𝑎, 𝑏] y una partición 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 = 𝑏} de [𝑎, 𝑏]. Definimos: 1. Función alisada. Si 𝑓 ′ (𝑥) es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces, se dice que 𝑓(𝑥) es alisada en este intervalo. La gráfica de una función alisada carece de vértices en el intervalo de definición. 2. Longitud de arco. La longitud de arco de una curva continua es la porción de curva ̂. comprendida entre dos puntos. En la figura se presenta el arco 𝐴𝐵

Se sabe que, para hallar la longitud de un segmento de recta, basta con averiguar el número de veces que un segmento rectilíneo, que se toma como unidad de medida de longitud, se puede superponer sobre el segmento. Lo anterior no es posible hacerlo si se trata de medir un arco. Para medir la longitud de un arco de una función alisada en [𝑎, 𝑏], seguiremos el siguiente procedimiento: 1º Establecemos una partición 𝑃 de [𝑎, 𝑏]en 𝑛 subintervalos con (𝑛 − 1) números intermedios entre 𝑎 y 𝑏, de tal modo que:

𝑥0 = 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 2º Escogemos el i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] de longitud ∆𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 donde 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛. 3º Consideremos 𝑃𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )) el punto sobre la curva, resultando así los (𝑛 + 1) puntos: 𝑃0 , 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛

Si unimos mediante un segmento rectilíneo cada pareja de puntos 𝑃𝑖−1 y 𝑃𝑖 de la figura, se obtiene una línea poligonal formada por todos estos elementos. La longitud de cada segmento está dada por la fórmula: 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 ‖ = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) + (𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 )) Entonces, la longitud 𝐿𝑃 de toda la línea poligonal, está dado por la suma de las longitudes de cada segmento. Así tenemos: 𝑛

̂ 𝐿𝑃 = ∑ √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )2 + (𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ))2 ≈ Longitud de 𝐴𝐵 𝑖=1

Como 𝑓 ′ (𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏], entonces, el teorema del valor medio para derivadas, establece que: ∃𝑧𝑖 ∈ ⟨𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ⟩ tal que 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ) = 𝑓 ′ (𝑧𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) = 𝑓 ′ (𝑧𝑖 )∆𝑖 𝑥 Así: 𝑛

𝑛

𝐿𝑃 = ∑ √(∆𝑖 𝑖=1

𝑥)2

+

(𝑓 ′ (𝑧𝑖 )∆𝑖 𝑥)2

2

= ∑ √(∆𝑖 𝑥)2 [1 + (𝑓 ′ (𝑧𝑖 )) ] 𝑖=1

𝑛 2

𝐿𝑃 = ∑ √1 + (𝑓 ′ (𝑧𝑖 )) ∆𝑖 𝑥 (suma de Riemann) 𝑖=1

Luego, aplicando el proceso de límite cuando 𝑛 ⟶ ∞ se tiene: 𝑛

𝑏

2

2

lim ∑ √1 + (𝑓 ′ (𝑧𝑖 )) ∆𝑖 𝑥 = ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥𝑖 )) 𝑑𝑥 = 𝐿𝐴𝐵 ̂

𝑛→∞

𝑎

𝑖=1

Finalmente, tenemos: Definición Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función alisada en el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces, la longitud 𝐿𝐴𝐵 ̂ de arco de la curva de 𝑓 entre los puntos 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎) y 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏) está dada por: 𝑏

2

′ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 𝑎

Nota:

1. Si 𝐿𝐴𝐵 ̂ es finito, se dice que la curva es rectificable; en caso contrario, se dice que la curva no es rectificable (tiene longitud infinita). 2. Si la longitud de arco de la curva cuando 𝑥 se expresa como una función de 𝑦 definida en el intervalo [𝑐, 𝑑], se tiene: 𝑑

2

′ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑦)) 𝑑𝑦 𝑐

3. Si la función viene expresada en coordenadas paramétricas 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), entonces, la longitud de arco de la curva 𝐿𝐴𝐵 ̂ donde 𝑡0 y 𝑡1 son los parámetros correspondientes a los puntos inicial y final de la curva; está dado por: 𝑡1 ′ 2 ′ 2 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √[𝑥 (𝑡)] + [𝑦 (𝑡)] 𝑑𝑡 𝑡0

En la mayoría de los casos no es posible encontrar explícitas de la longitud de un arco de curva. Por ello se deben crear nuevas funciones, como es el caso de las integrales elípticas (que expresan longitudes de arcos de elipses), o utilizar métodos aproximados para calcular arcos de curva. Ejemplo 01. Calcular la longitud del segmento de recta 𝑦 = 3𝑥 del punto (1,3) al punto (2,6). Solución

Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⇰ 𝑓 ′ (𝑥) = 3. El intervalo de definición esta dado: [𝑎, 𝑏] = [1,2], entonces: 2

2

2

′ 2 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + (3) 𝑑𝑥 = √10𝑢 1

1

Ejemplo 02. Encuentre la longitud del arco de curva 9𝑦 2 = 4𝑥 3 del origen al punto (3,2√3). Solución El intervalo de definición esta dado: [𝑎, 𝑏] = [0,3], entonces: 3

2

′ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 0

Cálculo de 𝑓 ′ (𝑥):

𝑑(9𝑦 2 ) 𝑑(4𝑥 3 ) 𝑑𝑦 9𝑦 = 4𝑥 ⇰ = ⇰ 18𝑦 = 12𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

3

2

𝑑𝑦 12𝑥 2 2𝑥 2 𝑑𝑦 2𝑥 2 𝑑𝑦 2 2𝑥 2 4𝑥 4 4𝑥 4 ⇰ = = ⇰ = ⇔( ) =( ) = 2= 3=𝑥 𝑑𝑥 18𝑦 3𝑦 𝑑𝑥 3𝑦 𝑑𝑥 3𝑦 9𝑦 4𝑥 2

(𝑓 ′ (𝑥)) = 𝑥 Por lo tanto: 3

𝐿𝐴𝐵 ̂

2

3

= ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥 = 0

0

14 𝑢 3

Ejemplo 03. Encuentre la longitud del arco de curva 8𝑦 = 𝑥 4 + 2𝑥 −2 desde el punto donde 𝑥 = 1 al punto donde 𝑥 = 3. Solución El intervalo de definición esta dado: [𝑎, 𝑏] = [1,2], entonces: 2

2

′ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 1

Cálculo de 𝑓 ′ (𝑥):

𝑥 4 + 2𝑥 −2 𝑥 3 𝑥 −3 ⇰ 𝑓 ′ (𝑥) = − 8 2 2 3 −3 2 𝑥 𝑥 1 1 1 1 1 2 (𝑓 ′ (𝑥)) = ( − ) = (−2 + 𝑥 6 + 6 ) = − + (𝑥 6 + 6 ) 2 2 4 𝑥 2 4 𝑥 Por lo tanto: 𝑓(𝑥) =

3

𝐿𝐴𝐵 ̂

3 1 1 1 2 ′ √ (𝑥)) = ∫ 1 + (𝑓 𝑑𝑥 = ∫ √ + (𝑥 6 + 6 ) 𝑑𝑥 2 4 𝑥 0 0

𝐿𝐴𝐵 ̂

1 3 3 33 == ∫ (𝑥 + 𝑥 −3 ) 𝑑𝑥 = 𝑢 2 0 16

1

Ejemplo 04. Encuentre la longitud del arco de curva 𝑦 = 3 (𝑥 2 + 2)3/2 desde el punto donde 𝑥 = 0 hasta el punto donde 𝑥 = 1. Solución El intervalo de definición esta dado: [𝑎, 𝑏] = [0,3], entonces: 3

2

′ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 0

Cálculo de 𝑓 ′ (𝑥): 1 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 2)3/2 ⇰ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥(𝑥 2 + 2)1/2 3 2 (𝑓 ′ (𝑥)) = 𝑥 2 (𝑥 2 + 2) Por lo tanto: 3

3

2

3

′ 2 2 2 2 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + 𝑥 (𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ √(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 0

0 3 2 𝐿𝐴𝐵 ̂ == ∫ (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 12𝑢 0

0

Ejemplo 05. Encuentre la longitud del arco de curva 𝑥 2/3 + 𝑦 2/3 = 1 desde el punto donde 1 𝑥 = 8 hasta el punto donde 𝑥 = 1. Solución 1 El intervalo de definición esta dado: [𝑎, 𝑏] = [ , 1], entonces: 8

1

2

′ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 1 8

Cálculo de 𝑓 ′ (𝑥): 𝑥

2/3

+𝑦

2/3

𝑑(𝑥 2/3 + 𝑦 2/3 = 1 ) 𝑑(1) =1 ⇰ = ⇰ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 −1/3 2 −1/3 𝑑𝑦 𝑥 + 𝑦 =0 3 3 𝑑𝑥 1

𝑑𝑦 𝑥 −3 𝑦1/3 ′ (𝑥) ⇰ =𝑓 = − 1 = − 1/3 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 −3 ⇰ 𝑓 ′ (𝑥) = − 2

(𝑓 ′ (𝑥)) =

𝑦1/3 𝑥1/3

𝑦 2/3 1 − 𝑥 2/3 = = 𝑥 −2/3 − 1 𝑥 2/3 𝑥 2/3

Por lo tanto: 3

2

3

3

′ −2/3 − 1 𝑑𝑥 = ∫ √𝑥 −2/3 𝑑𝑥 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + 𝑥 0

0 3

𝐿𝐴𝐵 ̂

0

9 == ∫ 𝑥 −1/3 𝑑𝑥 = 𝑢 8 0 𝜋

Ejemplo 06. Calcular la longitud del arco de la curva 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥) en el intervalo [0, 3 ]. Solución Cálculo de 𝑓 ′ (𝑥):

𝑓 ′ (𝑥) = −𝑡𝑎𝑛𝑥

𝜋 3

𝜋 3

2 ⇰ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = ∫ √1 + (−𝑡𝑎𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(2 + √3)𝑢 0

0

Ejemplo 07. Calcular la longitud del arco de la curva de ecuación 8𝑎2 𝑦 2 = 𝑥 2 (𝑎2 − 2𝑥 2 ) . Solución Se calculara la porción ubicada en el primer cuadrante, así el intervalo de definición esta dado: [𝑎, 𝑏] = [0, 𝑎√2], entonces: 𝑎√2

𝐿𝐴𝐵 ̂ = 4∫

2

√1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥

0

Despejando 𝑦: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ±

𝑥 2√2𝑎

√𝑎2 − 2𝑥 2

Cálculo de 𝑓 ′ (𝑥): 𝑓

′ (𝑥)

=±

1

𝑎2 − 4𝑥 2

√1 +

𝑎√2 (3𝑎 2 1 (𝑎2 − 4𝑥 2 )2 − 4𝑥 2 )2 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑑𝑥 8𝑎2 𝑎2 − 2𝑥 2 2√2𝑎√𝑎2 − 2𝑥 2 0

( ) ⇰ (𝑓 2√2𝑎 √𝑎2 − 2𝑥 2

𝑎√2

⇰ 𝐿𝐴𝐵 ̂ = 4∫ 0

′ (𝑥))2

1 (𝑎2 − 4𝑥 2 )2 = 2 2 8𝑎 𝑎 − 2𝑥 2

𝐿𝐴𝐵 ̂ = 𝑎𝜋𝑢 VOLÚMENES DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Un toro se obtiene por la rotación de un círculo.

Sea 𝒇 una función continua y positiva en el intervalo [𝑎, 𝑏]. Si la región 𝑹 indicada en la figura rota alrededor del eje 𝑋, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen trataremos de determinar. ROTACIONES ALREDEDOR DE LOS EJES CARTESIANOS El volumen de sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas: Rotación paralela al eje 𝑿: Método del disco El volumen de un sólido generado cuando se gira una región plana 𝑹, comprendida entre las gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) definidas en un intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃], alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje 𝑂𝑋 de expresión 𝒚 = 𝒌 siendo 𝑘 constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica: 𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫ ([𝒇(𝒙) − 𝒌]𝟐 − [𝒈(𝒙) − 𝒌]𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒂

Observaciones. 1. En particular, si se gira una figura plana comprendida entre 𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒚 = 𝟎, 𝒙 = 𝒂 y 𝒙 = 𝒃 alrededor del eje 𝑶𝑿, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: 𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫ [𝒇(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙 𝐜𝐨𝐧𝐨𝐜𝐢𝐝𝐨 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐦é𝐭𝐨𝐝𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐝𝐢𝐬𝐜𝐨𝐬 𝒂

2. Ambas expresiones se deducen cuando se gira la región 𝑹, formada por innumerables rectángulos de base 𝒅𝒙 y altura 𝒇(𝒙), alrededor del eje 𝑿, formándose discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen del sólido generado por dicha rotación. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉 donde el radio de la base del cilindro es 𝒓 = 𝒇(𝒙), y la altura del cilindro es 𝒅𝒙, por lo que el volumen del cilindro resulta ser 𝑽 = 𝝅[𝒇(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙 y la suma de todos estos volúmenes parciales, es el volumen total que resulta en la expresión: 𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫ [𝒇(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙 𝒂

3. Si la región 𝑹, está determinada solo por las gráficas de las dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) definidas en un intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃], entonces, el volumen total del sólido de revolución generado será la resta del volumen mayor menos el volumen menor, con lo cual se tiene: 𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫ ([𝒇(𝒙)]𝟐 − [𝒈(𝒙)]𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒂

Para la aplicación de este método, conocido como método del anillo, es importante primero, entender bien la estructura geométrica que está involucrada en él. Quizás resulte útil pensar situaciones que lo vemos a diario en nuestra vida cotidiana, por ejemplo en un trozo de cebolla, que todos conocemos de que en su interior, sus tejidos están dispuestos en una serie de capas más o menos cilíndricas que, cuando se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la cebolla. Ver figura.

Otro ejemplo, es también la estructura interna de un tronco de árbol, pues, esta consiste en una serie de casquetes, hechos de distintas clases de madera, aproximadamente cilíndricos, que en los cortes transversales se ven como una serie de anillos de diferente color. Según los biólogos, al contar estos anillos se puede establecer la edad de los árboles pues sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su parte superior, sino a lo ancho. La única parte de los troncos encargada del crecimiento es una fina capa que los rodea, llamada cámbium. En los árboles de las zonas de clima templado, el crecimiento no es constante y como la madera que produce el cámbium en primavera y en verano es más porosa y de un color más claro que la producida en invierno, de ello resulta que el tronco del árbol está compuesto por un par de anillos concéntricos nuevos cada año, uno más claro que el otro. En la figura, se aprecia lo descrito:

4. Si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: a) Si 𝒚 = 𝒌, está siempre está debajo de las gráficas de 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), entonces: 𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫ ([𝒇(𝒙) − 𝒌]𝟐 − [𝒈(𝒙) − 𝒌]𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒂

b) Si 𝒚 = 𝒌, está siempre sobre las gráficas de 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), entonces: 𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫ ([𝒌 − 𝒇(𝒙)]𝟐 − [𝒌 − 𝒈(𝒙)]𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒂

Rotación paralela al eje 𝒀: Método de la corteza cilíndrica El método de la corteza cilíndrica (llamado también método de los casquetes cilíndricos) proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. Nota. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto. Este método consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros, calcular luego, los volúmenes de estos casquetes y sumarlos para obtener el volumen total.

Nociones Preliminares: 1. Cálculo del volumen 𝑽 de un casquete cilíndrico de altura 𝒉, radio interior igual a 𝒓𝟏 y radio exterior igual a 𝒓𝟐 .

Si 𝑽𝟏 es el volumen del cilindro interior y 𝑽𝟐 es el volumen del cilindro exterior, entonces: 𝑽 = 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 = 𝝅(𝒓𝟐 )𝟐 𝒉 − 𝝅(𝒓𝟏 )𝟐 𝒉 = 𝝅[(𝒓𝟐 )𝟐 − (𝒓𝟏 )𝟐 ]𝒉 = 𝝅(𝒓𝟐 + 𝒓𝟏 )(𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 )𝒉 𝒓𝟐 + 𝒓𝟏 ⇰ 𝑽 = 𝟐𝝅 ( ) (𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 )𝒉 … (𝟏) 𝟐

Considerando: 𝒓=

𝒓𝟏 + 𝒓𝟐

𝐫𝐚𝐝𝐢𝐨 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐜𝐢𝐥𝐢𝐧𝐝𝐫𝐨𝐬 𝐲, 𝟐 ∆𝒓 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 𝐠𝐫𝐨𝐬𝐨𝐫 𝐝𝐞𝐥 𝐜𝐚𝐬𝐪𝐮𝐞𝐭𝐞 𝐜𝐢𝐥í𝐧𝐝𝐫𝐢𝐜𝐨

Entonces de (1) se tiene: 𝑽 = 𝟐𝝅𝒓𝒉∆𝒓 Observación. El resultado obtenido, puede recordarse fácilmente, si imaginariamente, hacemos un corte en el casquete cilíndrico, y lo abrimos tal como se aprecia en la figura (b).

Planteamiento general El método de la corteza cilíndrica (casquetes cilíndricos) funciona muy bien en esta situación. En la figura podemos ver las capas que se generan al aplicar este método, razón por el que se le conoce también, como el método de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los "cascarones" cilíndricos.

El método de los casquetes cilíndricos. Sean: - 𝑻 la región plana 𝑻, determinada por la gráfica de 𝒇(𝒙) definida positiva en un intervalo [𝒂, 𝒃], el eje 𝑿 y las rectas verticales 𝒙 = 𝒂 𝐲 𝒙 = 𝒃. - 𝑺 es el sólido de revolución generado al rotar 𝑻 alrededor del eje Y. - 𝑽(𝑺) es el volumen de 𝑺.

Realizamos una partición del intervalo [𝒂, 𝒃] en 𝒏 subintervalos [𝒙𝒊−𝟏 , 𝒙𝒊 ] y tomamos el rectángulo 𝑹𝒊 construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de 𝒇(𝒄𝒊 ) para hacerlo rotar alrededor del eje 𝒀. Se produce un casquete cilíndrico de radio medio 𝒄𝒊 , altura 𝒇(𝒄𝒊 ) y espesor igual a ∆𝒓 = 𝒙𝒊−𝟏 − 𝒙𝒊 . Ver figura adjunta.

Por lo tanto, el volumen 𝑽𝒊 de este casquete cilíndrico está dado por:

𝑽𝒊 = (𝟐𝝅𝒄𝒊 )𝑓(𝒄𝒊 )∆𝒙 Un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución es la suma de los volúmenes de los 𝒏 casquetes cilíndricos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la siguiente figura.

Así; tenemos:

𝒏

𝒏

𝑽 ≈ ∑ 𝑽𝒊 = ∑(𝟐𝝅𝒄𝒊 )𝒇(𝒄𝒊 )∆𝒙 𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

Esta aproximación será mucho mejor, mientras más grande sea 𝒏, (el número de casquetes cilíndricos). Es decir: 𝒏

𝒃

𝑽 = 𝐥𝐢𝐦 ∑(𝟐𝝅𝒄𝒊 )𝒇(𝒄𝒊 )∆𝒙 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒏→∞

𝒂

𝒊=𝟏

De esta manera hemos logrado formular una regla general para el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. CONCLUSIÓN: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje 𝒀 la región plana 𝑹, determinada por la gráfica de la función 𝒇(𝒙) definidas en un intervalo [𝒂, 𝒃] con 𝒇(𝒙) > 𝟎, el eje 𝑿 y las rectas verticales 𝒙 = 𝒂 𝐲 𝒙 = 𝒃, Está dado por la integral: 𝒃

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂

Observación: El volumen de un sólido generado cuando se gira una región plana 𝑹, comprendida entre las gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) definidas en un intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃], alrededor de un eje de revolución paralelo al eje 𝒀, es decir, una recta paralela al eje 𝑂𝑌 de expresión 𝒙 = 𝒌 siendo 𝑘 constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica: 𝒃

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ (𝒙 − 𝒌)[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 𝒂

Problema N° 01. Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al hacer girar sobre el eje Y, la región plana 𝑻 comprendida en el primer cuadrante, entre la curva 𝒚 = −𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 y la recta vertical 𝒙 = 𝟑. Solución

Aplicando el método de los casquetes cilíndricos, tenemos: El volumen de este sólido está dado por: 𝟑

𝟑

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙(−𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟎

𝟗𝟗𝝅 𝟑 𝒖 𝟓

Problema N° 02. Utilizar el método de los casquetes cilíndricos, para deducir la fórmula para calcular el volumen de un cono de altura 𝒉 y de radio 𝒓 en su abertura. Solución

La geometría plana nos dice que el volumen del cono se puede calcular mediante la fórmula: 𝟏 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉 𝟑 En efecto Consideremos que este cono, se obtiene al rotar alrededor del eje 𝒀, la región triangular cuyos vértices son (𝟎, 𝟎), (𝒓, 𝟎) 𝒚 (𝟎, 𝒉), donde 𝒉 𝐲 𝒓 son números reales positivos.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (𝒓, 𝟎) 𝒚 (𝟎, 𝒉) está dada por: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = (−𝒉/𝒓)𝒙 + 𝒉

Debemos tener presente que un casquete cualquiera, de radio 𝒙, tiene como altura:

𝒇(𝒙) = (−𝒉/𝒓)𝒙 + 𝒉 tal como se puede apreciar:

Por lo tanto, el volumen del cono viene dado por la integral: 𝒓

𝒓

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙[(−𝒉/𝒓)𝒙 + 𝒉] 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟎

𝟏 𝟐 𝝅𝒓 𝒉 𝒖𝟑 𝟑

Problema N° 03. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje 𝒀, la región plana 𝑻 delimitada por las parábolas 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑, 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 y por las rectas 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟑. Solución La región 𝑻 se muestra a continuación:

En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓

𝐲

𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑

El sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje Y puede verse en la siguiente figura.

Luego, un casquete cilíndrico de radio 𝒙 tiene como altura: 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = (𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓) − (−𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟐

Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral: 𝟑

𝟑

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙[𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙 == 𝟐𝝅 ∫ 𝒙[𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟐] 𝒅𝒙 = 𝟏

𝟏

𝟏𝟗𝟐 𝝅 𝒖𝟑 𝟏𝟓

Problema N° 04. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor de la recta vertical 𝒙 = 𝟏, la región que está comprendida entre el eje x, las rectas verticales 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟑 y la curva 𝒇(𝒙) = 𝟐 − √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 Solución La región a rotar se muestra en figura:

Lo especial de este ejemplo es que la región gira alrededor de una recta vertical que no es el eje Y como en los ejemplos anteriores. Esto puede apreciarse en la siguiente figura.

En este caso, un casquete cilíndrico cualquiera, tiene altura igual a 𝒇(𝒙), y radio medio igual a (𝒙 − 𝟏) y no 𝒙 como en los casos anteriores puesto que el casquete cilíndrico tiene como eje de rotación la recta vertical 𝒙 = 𝟏. Ver figura.

El volumen del sólido generado está dado por: 𝟑

𝟑

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ (𝒙 − 𝟏)𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐𝝅 ∫ (𝒙 − 𝟏)(𝟐 − √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟐

𝟐

𝑽 = (𝟔 − 𝟐√𝟑)𝝅 𝒖𝟑