Aplicaciones Del Algebra De Boole 41l18

Circuitos digitales fundamentales y álgebra de boole Tres son las operaciones lógicas fundamentales en las que se basan los circuitos lógicos, a saber:  Suma lógica.  Producto Lógico.  Complementación. Los circuitos que las realizan son denominados circuitos lógicos o, también llamados, digitales. El soporte matemático de los circuitos lógicos, o digitales, es el álgebra de Boole que básicamente es un conjunto de reglas matemáticas que trata con variables binarias y que se basa en las tres operaciones anteriormente indicadas. Un aspecto particular destacable del álgebra de Boole, es que las expresiones matemáticas se corresponden con un determinado circuito lógico: o sea expresan circuitos físicos. Operaciones lógicas fundamentales.

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ALGEBRA DE BOOLE: PRINCIPIOS Y REGLAS FUNDAMENTALES. El álgebra de Boole es el soporte matemático de los sistemas digitales, que, como ya se sabe, se basa en sólo tres tipos de operaciones: suma, producto y complementación (negación). Opera con variables que sólo pueden tomar dos estados, por lo cual también es conocida como álgebra binaria. Fue desarrollada por Georges Boole a mediados del siglo XIX. En un principio sólo se aplicaba a razonamientos lógicos que itían sólo dos posibilidades; sí, no, cierto, falso, etc. Posteriormente, en 1938, Claus Shannon la adaptó y se extendió su aplicación a los circuitos de conmutación, ya que estos también operan sólo con dos estados: o abierto, o cerrado, relé activado, relé desactivado, lámpara encendida, lámpara apagada, etc. La peculiaridad del álgebra de Boole es precisamente esta característica de operación con elementos que sólo pueden tomar dos estados, elementos binarios. Normalmente, como ya se ha dicho, los dos estados con que opera se expresan con los dígitos 0 y 1, que no expresan cantidades sino estados diferentes de un dispositivo. Variable Binaria: Se entiende por variable binaria algo que puede tomar sólo dos estados. Por ejemplo, un pulsador, un relé, un transistor en conmutación, etc. Algebraicamente se expresa mediante alguna letra, a veces con subíndice: A, B0, B1, etc. Función Lógica: Una función lógica es también una variable binaria, cuyo estado depende de otras variables binarias relacionadas por medio de operaciones lógicas. Por ejemplo, la puerta O (OR) produce una función lógica cuyo estado depende de las variables de entrada relacionadas por medio de la operación suma lógica. Tabla de Verdad: La tabla de verdad expresa el estado lógico de la función correspondiente a cada una de las diferentes combinaciones, N, que se pueden dar con las variables. El número de combinaciones, N, que se pueden dar con n variables es:

N = 2n Expresión Lógica: La representación algebraica de una función lógica es lo que se llama expresión lógica. Un ejemplo práctico de función lógica es la que realiza el circuito de la siguiente figura. La lámpara constituye la variable binaria de salida, que es función de la operación entre los tres interruptores; la lámpara sólo se encenderá cuando el interruptor A esté activado y también B o C. Esto tiene por expresión lógica:

F = A (B + C) En esta misma figura se representa esta función lógica, así como la representación mediante puertas lógicas. Compuertas Lógicas

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Postulados Fundamentales: Postulados tipo Suma.  La suma de una variable con 0 es igual a la variable: A + 0 = A  La suma de una variable con 1 es igual a 1 : A + 1 = 1  La suma de una variable con sí misma es igual a la variable : A + A = A  La suma de una variable con su complemento es igual a 1 : A + A = 1 A continuación se esquematiza lo anteriormente planteado.

Postulados tipo Producto. Compuertas Lógicas

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 El producto de una variable por 0 es igual a 0 : A * 0 = 0  El producto de una variable por 1 es igual a la variable : A * 1 = A  El producto de una variable por sí misma es igual a la variable : A * A = A  El producto de una variable por su complemento es igual a = : A * A = 0 A continuación se ilustra lo anterior.

 Propiedades y teoremas Fundamentales. Propiedad Asociativa. Esta propiedad permite poner, por ejemplo: F = A + B + C +D = ( A +B ) + ( C + D) Propiedad Conmutativa. Esta propiedad, como su nombre indica, permite conmutar los términos y las variables. F=ABCD=BCAD F = A + ( B C ) = (B C ) + A

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Propiedad distributiva La multiplicación es distributiva respecto a la suma: A(B+C) = AB + AC Esta expresión está de acuerdo con las matemáticas clásicas; se trata de eliminar el paréntesis. Distribución de la suma respecto al producto: ( A + B ) ( A + C ) = AA + AC + BA + BC Como A es término común, se puede factorizar por A, quedando = A ( 1 + C + B ) + BC y como 1 + C + B = 1 , queda = A + BC Leyes de De Morgan

A*B*C=A+B+C A+B+C=A*B*C

Leyes de Idempotencia De la suma: A + A = A ; A + Ā = 1 Del producto: A * A = A ; A* Ā = 0

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Síntesis

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ELECTRÓNICA DIGITAL INTEGRADA: GENERALIDADES Y TECNOLOGÍAS Es un tema fundamental para todo aquel que tenga que relacionarse a nivel práctico con la electrónica digital. Es la materia digital con que usualmente se encuentra el técnico de mantenimiento, y que también tiene muy alto interés para quien le interese el diseño y experimentación de circuitos digitales.  Circuitos Integrados: CHIPS: Un circuito integrado es un circuito electrónico funcional cuyos componentes se fabrican todos a la vez sobre una base monolítica de material semiconductor (sustrato); esto es lo que se conoce por chip. El Chip, una vez encapsulado, para que pueda ser manejable, da lugar al circuito integrado (fig siguiente.).

 Escalas de Integración. Desde la aparición del primer circuito integrado comercial en 1961, las densidades de componentes por milímetro cuadrado de la pastilla han ido en constante aumento. El nivel de complejidad de los circuitos integrados digitales se expresa en lo que se llama escala de integración, que da idea del número de puertas integradas y, por tanto, de su complejidad. Aunque no hay una definición universalmente aceptada para los niveles de complejidad, se utilizan las siguientes clasificaciones: Cuando un Chip contiene un máximo de 12 puertas, es del tipo SSI (Small Scale Integration) o pequeña escala de integración. Son los CI más simples: cuatro puertas, seis inversores, etc. Si el Chip tiene entre unas 13 y un máximo de 100 puertas, se llama MSI (Medium Scale Integration) o escala de integración media. Ej.: sumadores, contadores, decodificadores, etc. Si el Chip tiene entre 100 puertas y un máximo de 1000, se llama LSI (Large Scale Integration) o alta escala de integración. Ej.: procesadores aritméticos, microprocesadores, memorias, etc. Actualmente los avances de las técnicas de integración han dado lugar al término VLSI (Very Large Scale Integration) muy alta escala de integración, para chip que agrupan entre 1000 y 10.000.- puertas. Ej.: Microprocesadores. En todo caso se debe señalar que ya se ha comenzado a hablar de VVLSI (muy, muy alta escala de integración), también llamada ULSI, chips con más de 10.000 puertas.

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Compuertas Lógicas La compuerta lógica es el bloque de construcción básico de los sistemas digitales. Las puertas lógicas operan con números binarios. Por tanto las puertas lógicas se denominan puertas lógicas binarias. Todos los sistemas digitales se construyen utilizando tres puertas lógicas básicas. Estas son las puertas AND, la puerta OR y la puerta NOT. Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2 salidas (puede darse el caso de proporcionarse la salida y su negación). En todos los símbolos las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha.  Simbología lógica. En un principio, se empezó a adoptar una simbología que fue adaptándose a la evolución de los circuitos que iban apareciendo; es lo que se conoce como simbología estándar americana, en la cual cada puerta lógica se representa por un símbolo diferente (símbolos distintivos). Es la simbología que se ha hecho más popular, y en la actualidad aún sigue utilizándose. Pero debido al espectacular desarrollo de las técnicas electrónicas digitales se hizo necesario adoptar una normalización, más de acuerdo al estado actual y venidero de la tecnología. Por ello, el American National Standars Institute (ANSI) en combinación con el Institute of Electrical And Electronic Engineers (IEEE) se encargó del desarrollo de un conjunto estándar de símbolos lógicos, y apareció la norma ANSI/IEEE 91-1984 (Standar Graphic Symbols for Logic Functions): compatible con el estándar 617 del IEC (International Electrotechnical Commission). La simbología normalizada, aunque aún no se ha hecho popular, ya hace años que viene apareciendo (junto con los símbolos clásicos) en los data book de los fabricantes de circuitos integrados, que suele indicarse como logic simbol IEEE/IEC. Pero teniendo en cuenta de que aún existe una gran cantidad de información técnica basada en la antigua simbología y que todavía se sigue utilizando, por ahora, se hace necesario conocer ambas simbologías. Los detalles sobre simbología se irán explicando conjuntamente con los circuitos y a medida que sea necesario.

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