Apuntes Ingenieria De Sistemas 3fcd

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO

INGENIERIA DE SISTEMAS "APUNTES DEL SEMESTRE" Trabajo en Parejas INTEGRANTES: Hernández González Eduardo Hernández Hernández Mario Alberto Grupo: 6CV6 Ing. PérezTéllez Guillermo I. Agosto-Diciembre

Entrega: 09 de Diciembre del 2016

UNIDAD I INTRODUCCION A LA INGENIERIA DE SISTEMAS Definición de sistema: Sistema: Conjunto de elementos que interactúan entre sí para el logro de un objetivo. Por Ejemplo.Computadora-Herramienta Sistema Colectivo Metro Clasificación de los sistemas 1.-Sistemas Naturales: Abundan en la naturaleza en el ser humano y en el sistema universal. Ejemplo: Ciclo hidrológico-Natural Ciclo digestivo-Humano Galaxias-Universal 2.-Sistemas artificiales: Aparecen en una infinita variedad alrededor de nosotros. Edificios,Aeropuerto y Casas. 3.-Sistemas Pendientes: Son aquellos que duran mucho más que las operaciones que en ella realiza el ser humano. Ejemplo: Ferrocarriles nacionales de México Tv azteca, Televisa INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL, UNAM Empresas automotrices 4.-Sistemas temporales: Son aquellos que duran cierto periodo y desaparecen.

Ejemplos: Campañas políticas Spots Teletón Campaneando Prospera 5.-Sistemas abiertos: Son aquellos que interactúan con el medio ambiente de todos los sistemas. Ejemplos: Naturaleza Seres vivos Galaxias 6.-Sistemas sociales: Están integrados por personas Ejemplos: Empresas Dependencias de gobierno Partidos políticos Club Escuela 7.-Sistemas hombre-máquina: Es cuando el hombre emplea un equipo para realizar su trabajo Ejemplos: Retroexcavadora-Ser humano Computadora-Humano

8.-Sistemas mecánicos: Son puramente mecánicos y deben obtener sus propias entradas y mantenerse vivo ¿Pertenecen a ciencia ficción? 9.-Sistemas cerrados: El ambiente que rodea nunca cambia porque es cerrado CARACTERISTICAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 1.-Examen de las relaciones funcionales de un sistema. 2.-Utilizacion del grupo interdisciplinario de profesionistas (**) (Ingenieros Civiles, arquitectos, filósofos, doctores, es, secretarios, contadores, etc.) 3.-Adaptacion de un método científico 4.-Descubrimiento de nuevos problemas para su estudio Principales fases de un estudio de investigación de operaciones Método Científico 1.-Observar → Acción 2.-Hipotesis → Formación 3.-Experimentar → Formación 4.-Resultado → Validación 5.-Conclusión → Institucional 1.-Formulacion del problema 2.-Construccion de un modelo

3.-Prueba del modelo 4.-Revisar los resultados obtenidos 5.-Resultados 1.-Observacion 2.-Deficinicion de problema 3.-Desarrollo del modelo 4.-Solución optima del modelo 5.-Implantacion del modelo 6.-Solución ENTRADA

SALIDA

INICIACION DE LA OBRA PLANIFICACI ON DE OBRA

SEGUIMIENT OY CONTROL DE OBRA

RETROALIMENTAC ION

EJECUCION DE OBRA

CIERRE DE OBRA INICIO DEL PROYECTO

PLANIFICACI ON DEL PROYECTO

RETROALIMENTAC ION CONTROL DEL PROYECTO

EJECUCION DEL PROYECTO

CIERRE DEL PROYECTO

TRASLAPE DEL PROCESO CONSTRUCTIVO DEL PROYECTO U OBRA.

INTERRELACION DE LOS ELEMENTOS DE UN PROYECTO

ESTUDIO SOCIOECONIMICO

ESTUDIO FINANCIERO

ESTUDIO TECNICO

ESTUDIO DEL MERCADO

ESTUDIO AMBIENTAL

ESTUDIO INSTITUCIONAL

CICLO DE VIDA DEL PROYECTO (DIAGRAMA)

NOTA: a la Empresa tiene una duración de 99 años

De acuerdo SRE Mi

LA INGENIERIA DE SISTEMAS Y LA ISTRACION La istración se puede definir: Es un conjunto sistemático de reglas para lograr la máxima eficiencia en la forma de estructura y manejar un organismo social o bien con el logro de objetivos y resultados de un grupo de personas y recursos. FASES FUNDAMENTALES DE LA ISTRACION 1.-Planeacion: Consiste en prever un futuro deseable, es decir fijar la estrategia istrativa, los objetivos, la misión, visión política, valores y estrategia para la organización. 2.-Organización: Se refiere a la estructuración de las relaciones que deben de existir entre los elementos del grupo social para su mayor eficiencia y el logro de resultados. 3.-Direccion: Comprende la orientación de las acciones de los distintos elementos del grupo social hacia el cumplimiento de las acciones. 4.-Control: Se refiere a la medición de resultados con respecto a lo planeado y programado y a la sugerencia de medidas preventivas correctivas. ELEMENTOS DE MI EMPRESA GRUPOS SOCIALES 1.-Asociacion de Colonos 2.-Comites ciudadanos de control y vigilancia (COCIVOVIS) FUNCION DE LOS GRUPOS SOCIALES 1.- La construcción de las obras tiene que llevarse a cabo con materiales de buena calidad. 2.- Las obras se realizaran en los tiempos marcados según el contrato. 3.- Se evita la corrupción. 4.- Se garantiza que las acciones del Gobierno se realicen con honestidad y conciencia. CARACTERISTICAS DE LA INGENIERIA DE SISTEMAS

1.-Interes y tenacidad 2.-Razonamiento 3.- Creatividad 4.- Experiencia 5.- Facilidad de expresión oral y escrita. 6.- Habilidad de relaciones humanas. ELEMENTOS DE MI EMPRESA EMPRESA PÚBLICO Y PRIVADO INVESTIGACION Y DESARROLLO DE PRODUCTOS INCUBACION POLIEMPRESA Recursos Financieros

Dirección

Recursos Tecnológicos

Confianza

Recursos Materiales

Comunicación

Capital Humano

Toma de decisiones Motivación Liderazgo Cultura organizacional BRAZOS CABEZA PIES CUERPO

Estudio del Mercado Estudio Técnico Estudio Financiero Estudio de impacto ambiental Análisis Riesgo

y

istración

de

ISTRACION DE OBRAS

UNIDAD IIMODELOS Definición de Modelos Modelo: Es una representación o abstracción de una situación u objetos reales Un modelo debe ser representativo a la realidad Objetivo del modelo: Es representar cuales son las variables importantes o pertinentes. TIPOS DE MODELOS Las diferentes clasificaciones de los modelos dan una idea adicional de sus características esenciales, los tipos son: 1.-Modelos Icónicos: Es una representación física de algunos objetos ya sea en forma idealizada o en escala distinta. Ejemplo: 1 fotografía, plano, mapa en 2D, globo, automóvil, avión en 3D 2.-Modelos Analógicos: Representa situaciones dinámicas por ejemplo curvas de demanda, curvas de distribución de frecuencia en las estadísticas y diagramas de flujo. 3.-Modelos Simbólicos o Matemáticos: Son verdaderas representaciones de la realidad y tomas la forma de cifras y símbolos matemáticos. Comienzan como modelos abstractos que formamos en nuestra mente y que luego se registra como modelos simbólicos o matemáticos. Por ejemplo una ecuación. Ecuación: Una ecuación es precisa y fácil de aprender sus simbólicos son fáciles de aprender que las palabras.

CATEGORIAS Y TIPOS DE MODELOS MATEMATICOS

1.- Cualitativos y cuantitativos Los negocios comienzan con los modelos cualitativos y llegan gradualmente hasta donde pueden usarse como modelos cuantitativos. Ejemplo: Cuando uno estudia ingeniería y después ya es ingeniero 2.-Estandar y Hechos a la medida Es para problemas específicos de mi empresa y es la construcción del modelo que se ajuste al problema. 3.-Probalistico y Determinístico Los probalisticos se basan en las estadísticas de riesgo e incertidumbre Los determinísticos se usan para valores precisos Ejemplo g=9.81m/s π=3.14 4.-Descriptivos y de Optimización Los descriptivos representan las condiciones del mundo real y tienen la capacidad de dar solución a todos los problemas. Los de optimización representan soluciones alternas. 5.-Estatico y Dinámico Los estaticos ocupan una respuesta especial a corto plazo por ejemplo la programación lineal Los dinámicos están sujetos al tiempo y considera los requerimientos futuros periodo por periodo Por ejemplo cambio de presidente cada 6 años. 6.-Simulacion y No Simulación Simulación es un método que comprende cálculos secuenciales paso por paso donde el sistema es de gran escala Ejemplo Línea 12 del Metro y Aeropuerto No simulación tiene técnicas preparadas especialmente para sus soluciones respectivas.

CONSTRUCCION DEL MODELO 1.-Consiste en detallar la lista de todos los elementos del sistema 2.-Determinar si deben usarse esos elementos 3.-Se escogen los elementos más importantes 4.-Asiganr un símbolo a cada elemento 5.-Se crea la formula o sistema 6.-Resultados MODELOS, TECNICAS, TEORIAS, MODELOS QUE SE HAN APLICADO A LA INGENIERIA DE OPERACIONES INVESTIGACION DE OPERACIONES 1.-Teoria de probabilidades: En esta teoría la toma de decisiones es con certeza riesgo e incertidumbre, dependiendo de las condiciones existentes de los estados de la naturaleza (temblores, sismos, huracanes, Tsunamis, terremotos, viento, etc.) 2.-La estadística: Es para predecir el futuro 3.-Tecnicas Matemáticas: En general puede decirse que cualquier método matemático es útil en los proyectos de investigación de operaciones. Ejemplos método gráfico, Método de gran M, teoría de colas, cadenas de Mac, método M. 4.-Modelos de secuenciación: Son de secuencia para tareas o eventos y la mejor secuencia es para dar servicio a los clientes. Ejemplo, el desarrollo de una obra, planeación de nuevos productos, planeación de la maquinaria. 5.-Modelos de remplazo: Generalmente son de 2 tipos 1.-Articulos que se deterioran a través del tiempo, ejemplo filtro de aire, gasolina, bujías, etc. 2.-Los que fallan después de determinado periodo, ejemplo, maquinas, camiones, equipo, motores, etc.

6.-Modelo de Inventario: Se ocupa de dos dimensiones 1.-Que cantidad hay que ordenar 2.-Y en qué tiempo hay que pedir esa cantidad a fin de aminorar el costo total, para lograr el equilibrio apropiado entre los costos faltantes. 7.-Modelos de asignación; Es cuando hay que llevar varias actividades de ejecución e instalación con los recursos limitados para desempeñar cada una de ellas del modo más efectivo para maximizar las utilidades para minimizar los recursos y el tiempo 8.-Modelos de Programación Dinámica: Es el resultado de la programación matemática que son útiles en los procesos y se emplea una computadora para manipular la gran cantidad de datos 9.-Modelos Competitivos: Conocido como la teoría de fuegos. Aquí pueden formularse todos los problemas de competencia como concursos de obras, nuevos productos, precios, etc. 10.-Modelos de líneas de espera (teoría de Colas): Se ocupa de las llegadas aleatorias a una instalación de servicio ya sea un banco, centro comercial etc. Este modelo permite la determinación del No. Óptimo de personas o de instalaciones que se requieran para dar servicio a los clientes 11.-Tecnicas de Simulación: Puede usarse una computadora para la simulación de los sistemas de las grandes obras como también en ventas potenciales. 12.-Modelos de Ruta: Corresponde a las diferentes rutas y consiste en escoger la ruta más corta de ciudad en ciudad con un costo mínimo del pago de pasaje 13.-Metodo de Búsqueda: El método de búsqueda emplea la información y experiencia basada para cumplir los objetivos deseados 14.-Metodos de Combinación: Consiste en resolver secuencias lógicas

UNIDAD III PROGRAMACION LINEAL

Es una técnica llamada matemática diseñada para optimizar, maximizar las utilidades y minimizar los recursos y el tiempo, aplicando en el área físico matemático, área de ciencias biológicas y en el área de ciencias sociales. La estructura de los problemas es siempre la misma de manera que contando con un buen programa se solucionan todos los problemas. La estructura básica del modelo de programación lineal consta de: Z=C1X1+C2X2+C3X3+…..+CnXn → Función Objeto Sujeto a: A11X1+A112X2+…..+AnXn ≤ b1 A21X1+A122X2+…..+A2nXn ≤ b2 Am1X1+A1m2X2+…..+AmnXn≤ bm X1≥0, X2 ≥0,…………, Xm ≥0

Condición no negativa

Dónde: Z=Función Objeto a optimizar (Maximizar y Minimizar) X1,X2, Xn =Variables de decisión C1,C2,Cn =Coeficientes que miden el grado de operatividad de las variables de decisión n= número de actividades m=número de recursos Aij=cantidad de los recursos i=para llevar la actividad cota a cabo b1,b2,bm= cantidad disponible del recurso Para resolver un problema de programación lineal existen varios métodos 1.- Método Grafico 2.- Método Matemático 3.- Método Simplex

4.- Método Dualidad 5.-Método Dantzing-orden 6.-Método transporte 7.-Método de vogel 8.-Método columna mínima 9.-Método matriz 10.-Método soluciones especiales 11.-Método penalización 12.-Método dos fases 13.-Método gran M 14.-Método analítico METODO SIMPLEX

Maximización= Utilidades

Encuentra la solución óptima de optimización Optimización Minimización= Recursos y tiempo

La maximización de una función f(X1,X2,X3……………..Xn) Minimizar Z= X1+2X2 -----FUNCION OBJETO SUJETA A: X1> 2 X1-X2≤3 X1,X2≥0-------CONDICION NO NEGATIVA Es equivalente a la minimización de f(X1,X2,X3;………Xn) Minimizar Z= X1+2X2 -----FUNCION OBJETO

SUJETA A: X1≥ 2 X1-X2≤3 X1;X2≥0-------CONDICION NO NEGATIVA En el sentido de que ambos problemas producen los mismos resultados óptimos para convertir el modelo de programación lineal a un equivalente de maximización a minimización, multiplicando cada coeficiente de las variables de decisión por -1

Ejemplo I Método SIMPLEX “DIETA” Se dispone de dos alimentos, pan y queso 1kg de pan cuesta $6 y contiene 2000 calorías y 50 gr de proteína 1kg de queso cuesta $21 y contiene 400 calorías y 200gr proteínas una dieta normal contiene 6000 calorías y 200 gr de proteína ¿ qué cantidad de pan y queso debe consumirse para satisfacer la dieta normal a un costo mínimo. Solución:

1.- definir las variables de decisión

variables de decisión: x1= cantidad de pan requerido por día x2= cantidad de queso requerida por día

2.- definir la función objeto Z=6x1+21x2función objeto

3.-definir las restricciones de capacidad 2000x1+4000x2>6000 50x1+2000x2>200

x1, x2 >0  condición no negativa

2000x1+ 4000x2>6000%2000 50x1+200x2>200%50 x1+2x2>3 x1+4x2>4

4.- convertir las desigualdades en igualdades agregando variable de holgura

x1+2x2=3 x1+4x2=4

Z=6x1+21x2

X1+2x2+1s1=3 X1+4x2+1s2=4 Z=6x1-21x2-0s1-0s2=0 5.- Expresar las ecuaciones de restricción y la función objeto en forma matricial Variables Z básicas

X1

X2

S1

S2

Solució n

A’’’

S1

0

0

2

1

0

3

B’’

S2

0

1

4

0

1

4

Ç’’

Z

1

-6

-2

-0

-0

0

6.- Columna Pivote: escogemos la variable que se va a convertir en la variable básica de entrada y es la que tiene el coeficiente más negativo de la función objeto 7.-Fila Pivote: la variable básica saliente es la variable básica actual, teniendo el valor más pequeño posible de las restricciones del modelo y se obtiene dividiendo la restricción y el valor de la columna pivote y se toma el valor más pequeño

8.- Numero pivote: es el coeficiente que está en la intersección entre la columna pivote y la fila pivote. El numero pivote tiene que ser convertido a +1 y cada uno de los coeficientes restantes en la columna pivote tiene que ser convertidos a 0. El ejemplo termina cuando en la función objeto no existe ningún número negativo Como el problema no termina regresamos al punto numero 6 Variables Z básicas

X1

X2

S1

S2

Solució n

A’’’

X1

0

1

0

2

-1

2

B’’

X2

0

0

1

-1/2

1/2

1/2

Ç’’

Z

1

0

0

3/2

9/2

22.50

Solucion

Ejemplo I Método MATEMATICO “DIETA” 20000x1+40000x2=6000 50x1+200x2=50 x1+2x2=3 x1+4x2=4 (-x1-x2=-3) x1+4x2=4 el resultado al restar la ecuación 2x2=1 x2=1/2 x2=0.5 sustituyendo en la ecuación 2 x1+2x2=3 x1+2(0.5)=3 x1+1=3 x1=3-1

x1=2 sustituyendo x1 y x2 en z z=6x1+21x2 z=6(2)+21(0.5) z=12+10.5 z=22.5 costo mínimo por un día de dieta

Ejemplo 2Método GRAFICO “DIETA” X1+2X2=3 X1+4X2=4 De la ecuación 1 x1+2x2=3 si x1=0 x2=1.5 si x2=0 x1=3 de la ecuación 2 x1+4x2=4 si x1=0 x2=1 si x2=0 x1=4

Ejemplo 3Método SIMPLEX “Mi Empresa” Mi empresa fraccionadora cuenta con 100 000m 2 de terreno de los cuales se pueden usar para la construcción solo el 60% pues el 40% restante será para áreas verdes o área común se propone construir 2 tipos de casas. La casa tipo 1 requiere 120m2 de terreno una inversión de $300 000 y proporciona una utilidad de $50 000. La casa tipo 2 requiere 200m 2 de terreno una inversión de $200 000 y proporciona una utilidad de $100 000. El capital disponible para la construcción es de $90 000 000. ¿Cuántas casas tipo 1 y 2 deben construirse para obtener la utilidad máxima posible o eficiente? Solución: 1. variables de decisión x1= número de casa a construir tipo 1 x2= número de casa a construir tipo 2 z=50000x1+ 100000x2-------FUNCION OBJETO Sujeto a

120x1+200x2<60000 300000x1+20000x2<900000%10000 x1,x2>0---->condición no negativa 120x1+200x2<60000%10 12x1+20x2<6000%4 3x1+5x2<1500 3000000x1+200000x2<90000000%10000000 3x1+2x2<900 3x1+5x2=15000 3x1+2x2=900 z=50000x1+100000x2 3x1+5x2=15000 3x1+2x2=900 z=50000x1+10000x2 3x1+5x2+1s1+0s2=1500 3x1+2x2+0s1+1s1=9000 Z=5000x1-100000x2-0s1-0s2=0 Variable Z básica

X1

X2

S1

S2

A

S1

0

3

5

1

0

B'

S2

0

3

2

0

1

O

Z

1

-50000

100000

-0

-0

A''=1/5(a')

B''=b-2(a'')

O=o+100000(a'')

Z=1/5(3)=3/5

Z=0-2(0)=0

Z=1+10000(0)=1

X1=1/5(5)=1

X1=3-2(3/5)=4/5

X1=-50000+140000(5/3)

X2=1/5(5)=1

X2=2-2(1)=0

X2=-100000+10000(1)=0

S1=1/5(1)=1/5

S1=0-2(1/5)=-2/5

S1=-0+100000(1/5)=20000

S2=1/5(0)=0

S2=1-2(0)=1

S2=0-100000(0)=0

=1/5(3)=300

=900-2(300)=300

0+1000000(300)=3000000 0

Solución X2=número de casas construidas = 300 CASAS Utilidad Máxima= $ 30 000 000.00

Ejemplo 4 Método MATEMATICO “Mi Empresa” 50000x1+100000x2=6000 120x1+200x2<60000 300000x1+20000x2<900000%10000 x1,x2>0----> condición no negativa 120x1+200x2<60000%10 12x1+20x2<6000%4 3x1+5x2<1500 3000000x1+200000x2<90000000%10000000 3x1+2x2<900 3x1+5x2=15000 3x1+2x2=900 z=50000x1+100000x2 Z=5000x1-100000x2-0s1-0s2=0

Solución X2=número de casas construidas = 300 CASAS Utilidad Máxima= $ 30 000 000.00

Ejemplo 5 Método GRAFICO “Mi Empresa” 3X1+5X2=1500 3X1+2X2=900 De la ecuación 1 3x1+5x2=1500 si x1=0 x2=300 si x2=0 x1=500 de la ecuación 2 3x1+2x2=900 si x1=0 x2=450 si x2=0 x1=300

x2=3x1+2x2=9 00

x1=3x1+5x2=150 0

Ejemplo 6 Método MATEMATICO “COMEDORES 1 Y 2” X1+2X2=20 2X1+X2=16

Diferencia de las ecuaciones -2x1-4x2=-40 2x1+x2=16

-3x1=-24 x2=-24/-3 x2=8

Sustituyendo en ec 1

x1+2x2=20 x1+2(8)=20 x1+16=20 x1=20-16 x1=4 Z= 200x1 + 240x2 Sustituyendo x1 y x2 en Z Z=200(4)+240(8) Z= 800+1920 Z=$2720 Solución optima X1= 4 COMEDORES TIPO 1 X2= 8 COMEDORES TIPO 2

Z= $2720 UTILIDAD MAXIMA

Ejemplo 7 Método GRAFICO “COMEDORES TIPO 1 Y 2” Ejemplo 3 comedores tipo 1 y 2 método grafico

X1+2x2=20 2x1+x2=16 de ec 1 si x1=0; x2=10 si x2=0; x1=20 de ec 2 si x1=0; x2=16 si x2=0; x1=8 Z=200(4)+240(8) Z= 800+1920 Z=$2720 Z= $2720 UTILIDAD MAXIMA

Ejemplo 8 Método SIMPLEX “COMEDORES TIPO 1 Y 2”

X1+2X2=20 2X1+X2=16

Diferencia de las ecuaciones -2x1-4x2=-40 2x1+x2=16

-3x1=-24 x2=-24/-3 x2=8

Sustituyendo en ec 1

x1+2x2=20 x1+2(8)=20 x1+16=20 x1=20-16 x1=4

ç’’’=ç’’+807b’’’) z=1+80(0)=1 x1=-80+80(1)=0 x2=0+80(0)=0 s1=20+80(-1/18)=220/4 s2=0+80(1/18)=40/3 =2400+80(4)=2700

Variables Z

X1

X2

S1

S2

Solució

básicas

n

A’’’

X2

0

0

1

1/9

-1/12

8

B’’

X1

0

1

0

-1/18

1/6

4

Ç’’

Z

1

0

0

220/9

40/3

2720

Solución X1= 4 comedores tipo 1 X2= 8 comedores tipo 2

Utilidad máxima =2700.0

Comprobación

Construcción

6x1+12x20120 Sustituyendo 6(4)+12(8)=120 24+96=120 120=120

Pintura

8x1+4x2=64 8(4)+4(8)=64 32+32=64 64=64

Z=200x1+240x2

Z=200(4)+240(8) Z=800+1920 Z=$2720

UNIDAD IV CONTROL DE INVENTARIOS Inventarios Aproximadamente a principios de 1915 se dio la atención al desarrollo de Métodos Matemáticos destinados a ayudar a quien toma las decisiones en el establecimiento de niveles óptimos de inventario. Definición de Inventario Es un conjunto coordinado de reglas para decidir en forma rutinaria cuando y cuanto (Tiempo y Numero de pedidos) ordenar cada uno de los productos materiales, refacciones, equipos que maneja mi empresa. El control de inventarios es sumamente importante para el buen funcionamiento de mi empresa. Existen 2 tipos de inventarios 1.-Exeso de inventarios ¿Qué es el exceso de inventarios? El exceso de inventarios es 2.-Inventarios Insuficientes Ocasiona serios problemas para las operaciones normales de mi empresa Cierre de mi empresa Al comprar grandes cantidades se presentas 2 casos que son las ventajas y desventajas Por comprar grandes cantidades Ventajas

Desventajas

Costos Unitarios más bajos

Mayores Capital ($)

Costos más bajos de pedidos

Mayor costo de inventario

Menos agotamiento existencias

de Mayores deterioro

Costos más bajos de transporte

requerimientos

posibilidades

de

de

Depreciación de los inventarios Existencias más antiguas

FUNCIONES QUE DESEMPEÑAN LOS INVENTARIOS Las funciones que cubren los inventarios de mi empresa son: 1.-Mantener estabilidad de las operaciones normales de mi empresa 2.-Asegura en la dotación de la economía 3.-Balance general COSTO DE ORDENACION Se refiere al costo de las actividades de compras el cual guarda proporción con el número de ordenaciones de compras o requisiciones que se efectúan. Costo de mantener los inventarios Mantener los inventarios Intereses sobre el valor Invertido

12%

Edificio y terreno

10%

Personal que atiende el almacén

3%

Seguros

2%

Depreciación y deterioro

5%

Perdidas Invisibles

1%

Absolutismo

3%

36% Se observa que el costo de mantener los inventarios es bastante elevado es decir del orden del 36% del valor de los mismos. Por tanto es muy importante prestarle la debida atención a este problema a fin de tratar de reducir a un mínimo el valor de los inventarios, claro está sin alterar el resto de las acciones involucradas en el desarrollo de la empresa el cual podrá cerrar mi empresa. MODELO DE INVENTARIOS MODELO 1 PUNTO DE ORDENACION (P.O) En virtud de que la cantidad ordenada no llega en el instante que se pide, es necesario introducir un plazo de entrega por lo tanto el Punto de Ordenación va a ser igual al promedio de la demanda durante el plazo de entrega más un stock de seguridad. P.O= P/2 x L + Ss P.O= DxL+Ss P.O= DxL Dónde: P.O=Punto de Ordenación (unidades) D=Demanda (unidades/año) L=Plazo de entrega (meses) Ss=Stock de Seguridad (unidades) Q=Lote económico (unidades) SOLUCION GRAFICA P.O=300 UNIDADES Cuando lleguen a 300 unidades tendremos que ordenar el producto el Punto de Ordenación (P.O) Ejemplo de Punto de Ordenación Una dependencia de gobierno ha calculado los siguientes datos para un determinado producto. Se trata de encontrar el Punto de

Ordenación correspondientes teniendo un lote económico de 3600 unidades con una demanda diaria de 50 unidades por día en un plazo de entrega de 6 días. Solución Datos: Q= 3600 unidades D= 50 unidades/día L=6 días P.O= ? Formula P.O= DxL Sustituyendo datos: P.O= 50 unidades/ x 6 días P.O= 300 unidades

MODELO 2 MÉTODO DE WILSON: 1.- calcular el pedido óptimo 2.- calcular el número de pedidos al año 3.- hallar el tiempo que pasa entre 2 pedidos 1.- cálculo del pedido optimo q=

√

2 Kd g

donde Q= pedido optimo K= costo de un pedido D= demanda g= costo de almacenamiento q=

√

2(900)(337.500) (6.75∗.10)

Q=30000 2.-número de pedido N= d/Q N=337.500/3000 N=11.25 pedidos al año 3.-tiempo que pasa entre dos pedidos T=360/N T=360/11-25 T= 32 días 4.- calcular el punto de pedido teniendo en cuenta que el plazo de aprovisionamiento es de 7 días y el Ss es de 2475.5kg Demanda diaria = demanda anual/360= 337500/360= 937.5 kg/día Demanda estimada en el plazo de aprovisionamiento Demanda diaria* plazo de aprovisionamiento

937.5 kg/día* días el plazo de aprovisionamiento= 6562.50kg

MODELO 3 DESCUENTO POR CANTIDAD 2 3

C=C1xD+c2 D/q+ C3 Q/2 N=D/Q; t=Q/D Dónde: Q= lote económico (unidades) D= demanda (unidades/año) C= costo total anual ($) C1= costo unitario producto

C2= costo de ordenación N= número de pedidos por año t= tiempo entre pedidos (1 año) Ejemplo: La demanda de tabiques de mi empresa constructora es de 180 000 al año el costo de almacenamiento por unidades de $1.00 añ año y el costo de ordenar una compra es de $40.00 .Determinar la cantidad. 1) Optimo a ordenar 2) El costo total por años, si el unitario del producto es de $3.00 3) Numero de pedidos por año 4) El tiempo de pedidos 1) Cantidad optima a ordenar 2 3

Q= 3794.73 Q= 3.795 unidades 2) Costo anual total C=C1xD+c2 D/q+ C3 Q/2 C= (3)(180,000)+40(180000/3795)+1(3795/2) C=543,794.73 3) Numero óptimo de pedidos por año N=D/Q = 180 000/3795= 47.43 N= 48

4) Tiempo entre pedidos t=Q/D t=Q/D=3795/180000=0.021 años 7.2 días 8 días MODELO 4 DE INVENTARIOS ABC Se acostumbra a dividir los inventarios en 3 grandes grupos 1.-Grupo de Gran Valor Formado por el 5% de los productos y tiene un valor del 65% del inventario. 2.-Grupo Intermedio Está formado por el 30% de los productos y tiene un valor del 30% del inventario. 3.-Grupo de Poco Valor Está formado por el 65% de los productos y tiene un valor del 5% de los inventarios. Los porcentajes anteriores representan el 90% de los (productos) industrias, el hecho anterior tiene la ventaja de poder dedicar un máximo de atención al grupo de gran valor. Con los datos anteriores se puede construir la siguiente gráfica.

150

35,9

100

100,100

OA=Grupo de Gran Valor AB= Grupo Intermedio

50 0 0

20 40 60 80 100 120

BC= Grupo de Poco Valor

Valores de los

5,65

Inventarios

% de los materiales TRASPASO DE MATERIALES Un problema que se presenta con frecuencia en la operación y control de almacenes es el que se refiere al traspaso de los materiales (de uno a varios almacenes) donde se tienen excedentes de un determinado material. Resolver este problema en forma óptima es mediante una camioneta. 1.- ¿Un almacén en la Ciudad de México que debe tener? Azulejo importado, muebles sanitarios de (Italia, Alemania, España, etc.) 2.- ¿Si pongo un almacén en la periferia que debemos de tener? Grava, arena, cemento, clavos y todo lo necesario. LOCALIZACION ÓPTIMA DE ALMACENES A partir de áreas regionales donde se presentan necesidades de almacenamiento y consumo de materiales

COSTOS QUE INTERVIENEN EN UN ALMACEN 1.- Costo de inventario: es contratar un y aumentar de acuerdo al número de almacenes existentes. 2.- Costo de transporte: se refiere al traspaso de los materiales de un almacén o varios almacenes donde se tiene excedente de materiales. 3.- Costo de almacenamiento: se refiere a os costos de operativos de un almacén o varios almacenes. 4.- Costo de comunicación y procesamiento de datos: con la innovación de la comunicación estos costos pueden ser caros. Por ejemplo, teléfono, internet, impresora, plotter, etc. NUMERO DE ALMACENES Con los costos anteriores se elabora una gráfica para determinar el número óptimo de almacenes en dicho rango se superponen todos los costos que intervienen en un almacén y el costo mínimo nos dará el numero óptimo de almacenes.

Costo de comunicacion

Costo de inventario

Rango de inventario

UNIDAD V TEORIA DE REDES Una representación de redes proporciona un panorama general y una ayuda para visualizar las relaciones entre los componentes del sistema, ya que son utilizados en todas las áreas científicas, sociales y económicas. Dentro de la ingeniería civil en los últimos años la teoría de redes ha tenido importantes aplicaciones ya que es un método que ha ofrecido ayuda útil para lograr un avance en las actividades para realizar una obra con mayor eficiencia logrando optimizar tiempos y costos. Objetivo El objetivo de la teoría de redes es la localización de flujos para minimizar el flujo a través de una red. A continuación se definen los componentes de redes típicas NODO Central Camionera Casa Aeropuerto Estación de bombeo Hidroeléctricas Estación de Ferrocarril Puertos Marítimos M (estaciones) Presas Telmex Estaciones

ARCO Autopistas Carreteras Líneas Aéreas Tuberías Cables Vías

FLUJO Camiones Vehículos Aeronaves Fluidos Energía eléctrica Trenes

Vías Marítimas

Barcos

Vías Ríos Cables Avenidas

Vagones de gente Agua Comunicaciones Metro bus

ELEMENTOS DE UNA RED 1.- Nodos: son los puntos representados por círculos

2.-Arcos: son líneas que se etiquetan dando nombre a los nodos en sus puntos terminales A

B

3.-Arco Dirigido: es cuando el flujo a través de un arco es en una sola dirección A

B

4.-Arco No Dirigido: es cuando el flujo se permite en ambas direcciones A

B

Ej. Autopista Cuautitlán Izcalli

5.-Red Dirigida: es aquella red que solo cuenta con arcos dirigidos D

A

C B

E

6.-Red no dirigida: es aquella red que todos sus arcos son no dirigidos

A

D

C

E B

7.-Trayectoria: es la sucesión de arcos distintos que conectan a 2 nodos de manera que el nodo entre flujos será factible.

A

C

D B

8.-Trayectoria No Dirigida: es una sucesión de arcos cuya dirección puede ser hacia o desde un nodo D

A

C

E B

9.-Ciclo Dirigido: es aquel sitio que tiene una trayectoria dirigida DE-ED D

E

E

D

10.-Ciclo No Dirigido: es aquel que tiene una trayectoria no dirigida por ejemplo AB-BC-AC A

C B

11.-Red Conexa: es una red en la que cada par de nodos está conectado

B

E

12.-Capacidad de arco: es la cantidad máxima de flujo que puede circular en un arco dirigido. Q=10m/s A

B

13.-Nodo Fuente: es cuando el flujo sale del nodo inicial Q=10m/s A

14.-Nodo Demandante: es cuando llega el flujo que salió del nodo anterior Q=10m/s B

15.-Nodo trasbordo: satisface la conservación del flujo, así el flujo que entra es igual al flujo que sale. Q=10m/s A

B

Existen 2 métodos 1) Camino del valor mínimo 2) Camino del valor máximo 3) Método del Ing. Guillermo Irineo PérezTéllez

Ejemplo 1 Calcular el camino de valor mínimo y el camino de valor máximo y la ruta crítica.

X3

X1

X0

X4

X2

X6

X8

X7

X5

X0(4)-X1(6)-X3(4)-X6(2)-X8(5)-X10= 21 X0(4)-X1(3)-X4(5)-X6(2)-X8(5)-X10= 19

X1 0 X9

X0(4)-X1(3)-X4(6)-X7(6)-X10= 19 X0(4)-X1(3)-X4(6)-X7(4)-X9(3)-X10= 20 X0(5)-X2(2)-X4(5)-X7(2)-X8(5)-X11(5)= 19 X0(5)-X2(2)-X4(6)-X7(6)-X10(3)-X11(4)= 19 X0(5)-X2(2)-X4(6)-X7(4)-X9(5)-X10= 20 X0(5)-X2(3)-X5(4)-X7(6)-X10(5)-X11(5)= 18 X0(5)-X2(3)-X5(4)-X9(4)-X9(4)-X11(4)= 19 X0(5)-X2(3)-X5(7)-X9(3)-X10(3)-X11(3)= 18 SOLUCION 23

Días

21

Días

28

Días

26

Días

28

Días

26

Días

22

Días

27

Días

28

Días

26

Días

28

Días

26

Días

22

Días

27

Días

24

Días

22

Días

18

Días

23

Días

Solución EJEMPLO DE UNA CASA I.-CAMINO DEL VALOR MINIMO II.-CAMINO DEL VALOR MAXIMO III.-RUTA CRÍTICA

=20 DIAS

EJEMPLO 2Calcular camino de valor mínimo, camino del valor máximo y ruta crítica de la siguiente red.

X5

X1

X8 X6

X0

X3

X2

X1 1

X9 X4

X0(4)-X1(6)-X3(4)-X6(2)-X8(5)-X10= 23 X0(4)-X1(3)-X4(5)-X6(2)-X8(5)-X10= 21 X0(4)-X1(3)-X4(6)-X7(6)-X10= 28

X7

X1 0

X0(4)-X1(3)-X4(6)-X7(4)-X9(3)-X10= 26 X0(5)-X2(2)-X4(5)-X7(2)-X8(5)-X11(5)= 28 X0(5)-X2(2)-X4(6)-X7(6)-X10(3)-X11(4)= 26 X0(5)-X2(2)-X4(6)-X7(4)-X9(5)-X10= 28 X0(5)-X2(3)-X5(4)-X7(6)-X10(5)-X11(5)= 26 X0(5)-X2(3)-X5(4)-X9(4)-X9(4)-X11(4)= 22 X0(5)-X2(3)-X5(7)-X9(3)-X10(3)-X11(3)= 27 X0(4)-X1(6)-X3(4)-X6(2)-X8(5)-X10= 28 X0(4)-X1(3)-X4(5)-X6(2)-X8(5)-X10= 26 X0(4)-X1(3)-X4(6)-X7(6)-X10= 28 X0(4)-X1(3)-X4(6)-X7(4)-X9(3)-X10= 26 X0(5)-X2(2)-X4(5)-X7(2)-X8(5)-X11(5)= 22 X0(5)-X2(2)-X4(6)-X7(6)-X10(3)-X11(4)= 27 X0(5)-X2(2)-X4(6)-X7(4)-X9(5)-X10= 24 X0(5)-X2(3)-X5(4)-X7(6)-X10(5)-X11(5)= 22 X0(4)-X1(6)-X3(4)-X6(2)-X8(5)-X10= 18 X0(4)-X1(3)-X4(5)-X6(2)-X8(5)-X10= 23 Solución EJEMPLO 2 I.-CAMINO DEL VALOR MINIMO II.-CAMINO DEL VALOR MAXIMO III.-RUTA CRÍTICA

=23 DIAS

UNIDAD VI RUTA CRÍTICA Definición: 1.- Planeación: un análisis detallado de las actividades que son necesarias para llevar a cabo l proyecto de tal manera que se pueda

determinar la duración detalla de cada una de las actividades que integran el proyecto. 2.- Interrelación entre actividades con base la descripción de las actividades que consta el proyecto, es necesario definir la interrelación de dichas actividades que guardan a lo largo del desarrollo del proyecto, y para esto recurrimos a los diagramas de flecha o redes de actividades, donde también fijamos la duración y tiempo de ejecución de una actividad. 3.- Las actividades se llevan a cabo en consigna de un grupo de profesionales de diversas disciplinas, (ingenieros civiles), la consigna de este equipo es llevar a cabo las actividades en su tiempo y forma de acuerdo al proyecto haciendo ver que el tiempo de duración y los recursos para dichas acciones son los correctos, también una función de este grupo interdisciplinario es coordinar que los costos y la inversión sea siempre de acuerdo al programa que acuerda el proyecto. 2)La Programación Tiene por objetivo definir: Duración del proyecto Las actividades que gobiernan la duración del proyecto (ruta crítica) Las libertades que gozan las actividades que no gobiernan la duración del proyecto (Holgura) 3)Control. En la etapa de control se realiza mediante el diagrama de barras, calendario de obra o diagrama de Ghan, el cual es una representacióngráfica. De llevar a cabo los trabajos o actividades en el lugar de los hechos que indica el proyecto en el momento de su realización, no marcha por sí solo, de tal forma que exige la presencia del Ingeniero civil, en obra sin mencionar que sus funciones son supervisar que el proyecto marche en tiempo y forma, atender costos y gastos, ser flexible en

atender que se cumpla lo programado en base a la ruta crítica, procurando que no se altere en ningún momento puesto que esto podría ocasionar la falla total del proyecto, la planeación y programación del proyecto puede representarse por medio de redes, las cuales intervienen en mostrar cómo y en qué orden se realizan las actividades conforme a un orden de ejecución, así mismo se cuenta con un instrumento para establecer la secuencia de los trabajos permitiendo al ingeniero civil contar con el tiempo suficiente para efectuar modificaciones, si este lo requiere, asignar los recursos en forma eficiente y definir la relación entre las actividades para agilizar el final del proyecto. Existiendo dos métodos para efectuar la ruta critica *M *Método de pert “evaluación de programación y técnicas de revisión) Conceptos básicos para el trazo de redes de actividades Una red de un proyecto se representa por medio de nodos y flechas. Los nodos o círculos representan eventos y las flechas indican actividades específicas. 1.- Nodo inicial del proyecto

2.- Nodo final del proyecto.

3.- Algun nodo del proyecto intermedio. 4= nodo intermedio

4.- Secuencia de actividades

5.- Alguna actividad comparte nodo. (5) comparte el nodo con 7 y 6

6.- Dos nodos salientes que no se pueden iniciar sin que culmine la actividad que precede .

7.- Dos o más actividades no pueden tener el mismo nodo o evento de iniciación y terminación. Se prolonga una línea imaginaria entre actividades.

8.- Los nodos de cada actividad deben numerarse pero con la condición de que el No. De nodo inicial de cada actividad debe ser menor al número del lado final de la misma

9.- La red de actividades o diagramas de flechas siempre se construye de izquierda a derecha.

10.- Las actividades nunca deben cruzarse.

EJEMPLO: METODO DE PERT CASA HABITACIONAL El método de camino crítico es un proceso istrativo de planeación, programación y ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo. USOS El método de Pert es un método muy amplio dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto ya sea grande o pequeño en el áreafísicomatemático, ciencias sociales y ciencias biológicas.

El ejemplo consta de 5 pasos: I.- Lista de actividades: Esta información se obtiene de las personas que intervendrán en la ejecución y control del proyecto de acuerdo con la asignación de responsabilidades y nombramiento de puestos al momento de la definición del proyecto (Ing. civil) II.- Matriz de secuencias: Existen 2 procedimientos para conocer la secuencia de las actividades. A) Por antecedentes B) Por secuencias A) Por antecedentes: Se preguntara a los responsables del proceso cuales actividades deben iniciar del proyecto y finalizar el proyecto que aparecen en la lista. B) Por secuencia: Se preguntara a los responsables de la ejecución y el control de cada una de las actividades del proyecto cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las actividades que aparecen en nuestra lista. III.- Matriz de Tiempos Se requieren 3 tiempos Tiempo medio (M): es el tiempo normal que se necesita para la ejecución de las actividades basado en experiencia y trabajos anteriores. Tiempo óptimo (O): representa el tiempo mínimo posible sin importar los costos, materia prima, tecnología y capital humano, es simplemente realizar las actividades en el menor tiempo. Tiempo pésimo (P): es un tiempo grande que pudiera presentarse como consecuencias de accidentes, falta de suministros, falta de materia prima y causas no previstas. Con los tiempos anteriores se obtiene el tiempo estándar y el tiempo estándar es igual más 4 veces el tiempo medio más el pésimo dividido entre 6 T=

O+4M+P

6

IV.- Matriz de costos: Consiste en solicitar los costos de cada actividad realizados en tiempo estándar y en tiempo óptimo, existen 3 tipos s de costos: a) Costo normal ($N) b)Costo limite ($L) c)Pendiente (m) m=$L-$N t-

V.- Matriz de elasticidad: Una vez indicada la duración de todas las actividades en la red se procede a recorrer la del nodo inicial al nodo final, es decir, hacia adelante. Durante este recorrido se determina los siguientes tiempos asociados al proyecto. NOMBRE ACTIVIDAD

DURACIO N

COSTO

POR SECUENCIA

SEMANAL 1

A

Obtener licencia de construcción

5

$50,000

Primera actividad

2

B

Limpieza, trazo y 2 nivelación

$60,000

Se inicia después de A

3

C

Construcción barda perimetral

2

$30,000

Se ejecuta después de B

4

D

Construcción de cimientos

3

$40,000

Puede ejecutarse simultáneamente con C pero después B

5

E

Construcción de muros, castillos y techos

8

$90,000

Se ejecuta después de D

6

F

Colocación de las tuberías

2

$45,000

Se ejecuta después de CyE

H.S.E 7

G

Colocar ventanas

1

$35,000

Se ejecuta después de E

8

H

Aplanados, enyesar y muebles sanitarios

3

$60,000

Se ejecuta después de FyG

9

I

Carpintería

4

$60,000

Se ejecuta después de H

1 0

J

Pintura y acabados

3

$50,000

Se ejecuta después de I

1 1

K

Colocar Tierra

2

$40,000

Se ejecuta después de G

1 2

L

Colocar Plantas

1

$40,000

Se ejecuta después de KyH

MATRIZ DE TIEMPOS (DIAS) T.O

T.M

T.P

T.T

20 DIAS

25 DIAS

30 DIAS

25 DIAS

5 DIAS

10 DIAS

20 DIAS

11 DIAS

5 DIAS

10 DIAS

20 DIAS

11 DIAS

10 DIAS

15 DIAS

20 DIAS

15 DIAS

30 DIAS

40 DIAS

50 DIAS

40 DIAS

5 DIAS

10 DIAS

15 DIAS

10 DIAS

1 DIAS

5 DIAS

10 DIAS

6 DIAS

10 DIAS

15 DIAS

20 DIAS

15 DIAS

15 DIAS

20 DIAS

25 DIAS

20 DIAS

10 DIAS

15 DIAS

20 DIAS

15 DIAS

5 DIAS

10 DIAS

15 DIAS

10 DIAS

1 DIAS

5 DIAS

10 DIAS

6 DIAS

MATRIZ DE COSTOS $N

$L

m

$50,000

$65,000

3000

$60,000

$78,000

3000

$30,000

$39,000

1500

$40,000

$52,000

2400

$90,000

$117,000

2700

$45,000

$58,500

2700

$35,000

$45,500

2100

$60,000

$78,000

3600

$60,000

$78,000

3600

$50,000

$65,000

3000

$40,000

$52,000

2400

$40,000

$52,000

2400 30%

A) Tiempomás próximo de iniciación (TPI) Es el tiempo más temprano en que puede iniciarse dicha actividad. B) Tiempo más próximo de terminación (TPT) Es el tiempo más temprano que puede terminarse dicha actividad. TPI

TPT

Ahora se procede el recorrido en sentido contrario hacia atrás o sentido inverso y se generan 2 tiempos c) Tiempo más lejano de terminación (TLT) Es el tiempo mástardío al que puede terminarse una actividad sin alargar la duraciónmínima del proyecto. D) Tiempo más lejano de iniciación (TLT) Es el tiempo mástardío al que puede iniciarse una actividad sin atrasar la duraciónmínima del proyecto

TLI

TLT

Con los tiempos anteriores se obtiene lo siguiente: TPT= TPI+D TLI=TLT-D

Los que tienen los mismos datos es la ruta crítica RUTA CRITICA=32 SEMANAS CASA HABITACIONAL= 32 SEMANAS MATRIZ DE ELASTICIDAD TPI

TLI

TPT

TLT

0

0

5

5

5

5

7

7

7

7

9

9

9

9

12

12

12

12

20

20

20

20

22

22

20

21

21

22

22

22

25

25

25

25

29

29

29

29

32

32

21

29

23

31

25

31

26

32

MATRIZ DE HOLGURAS HT

HL

HI

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

7

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

8

6

0

6

IV Matriz de holguras: La holgura es la libertad que tiene una actividad para alargar su tiempo de duración o disminuir su tiempo. Tenemos 3 tipos de holguras 1) Holgura total: es el tiempo total que se puede demorar una actividad sin atrasa el proyecto entero, la holgura total está dada por la relación: HT= TLI-TPI HT=TLT-TPI Todas las actividades de la ruta crítica tienen holgura 0 2) Holgura libre: es el tiempo total que se puede atrasar sin atrasar ninguna otra actividad, la holgura libre esta dad por la relación HL=TPI-TPT 3) Holgura independiente: representa el tiempo total que se puede atrasar una actividad sin atrasar el proyecto completo. HGI=HT-HL VII MATRIZ DE PORCENTAJES 1) Porcentaje de expansión (%E) 2)Porcentaje de compresión (%C) 3)La desviación estándar ( ) = P-O/6

MATRIZ DE PORCENTAJES %E

%C

A

0

0.20

1.67

B

0

0.55

2.5

C

0

0.55

2.5

D

0

0.33

1.67

E

0

0.25

3.33

F

0

0.50

1.67

G

1

0.85

1.5

H

0

0.33

1.67

I

0

0.25

1.67

J

0

0.33

1.67

K

8

0.50

1.67

L

6

0.83

1.5

VIII. DIAGRAMA DE GANTT Para determinar los recursos materiales económicos tecnológicos y capitales humano son necesarios en un momento dado es conveniente expresar la información en unos diagramas de GANTT.

El diagrama de GANTT permite determinar las actividades que van a realizarse en un momento dado

El diagrama de GANTT en el eje horizontal representa el tiempo y en el eje vertical las actividades.

NOMENCLATURA DE PERT (3)

Ejemplo del método pert.

PASO 1: ACTIVIDADES DEL PROYECTO La primera fase corresponde a identificar todas las actividades que intervienen en el proyecto, sus interrelaciones, sucesiones, reglas de precedencia. Con la inclusión de cada actividad al proyecto se debe cuestionar respecto a que actividades preceden a esta, y a cuales siguen inmediatamente esta finalice. Además, deberán relacionarse los tiempos estimados para el desarrollo de cada actividad. A diferencia del método M, el método PERT asume tres estimaciones de tiempo por cada actividad, estas estimaciones son: Tiempo optimista (a): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma perfecta. En la práctica suele acudirse al tiempo récord de desarrollo de una actividad, es decir, el mínimo tiempo en que una actividad de esas características haya sido ejecutada. Tiempo más probable (m): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma normal. En la práctica suele tomarse como el tiempo más frecuente de ejecución de una actividad de iguales características. Tiempo pesimista (b): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma deficiente, o cuando se materializan los riesgos de ejecución de la actividad.

PASO 2: ESTIMAR EL TIEMPO ESTIMADO (DURACIÓN PROMEDIO) Y LA VARIANZA Para efectos de determinar la ruta crítica del proyecto se acude al tiempo de duración promedio, también conocido cómo tiempo estimado. Este tiempo es determinado a partir de las estimaciones como:

El cálculo del tiempo estimado deberá hacerse entonces para cada actividad. Por ejemplo para la actividad A:

Además de calcular el tiempo estimado, deberá calcularse la varianza de cada actividad. El cálculo de esta medida de dispersión se utiliza

para determinar la incertidumbre de que se termine el proyecto de acuerdo al programa. Para efectos del algoritmo PERT, el cálculo de la varianza se hará a partir de sus estimaciones tal cómo se muestra a continuación:

El cálculo de la varianza deberá hacerse entonces para cada actividad. Por ejemplo para la actividad A:

Para las actividades del tabulado mencionado en el Paso 1, los tiempos estimados y varianzas serían las siguientes:

PASO 3: DIAGRAMA DE RED

Con base en la información obtenida en la fase anterior y haciendo uso de los conceptos básicos para diagramar una red, obtendremos el gráfico del proyecto (los tiempos relacionados con cada actividad en el gráfico corresponden a los tiempos estimados):

PASO 4: CALCULAR LA RED Para el cálculo de la red se consideran 3 indicadores, T1, T2 y H. Estos indicadores se calculan en cada evento o nodo (entiéndase nodo entonces como un punto en el cual se completan actividades y se inician las subsiguientes.

T1: Tiempo más temprano de realización de un evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de izquierda a derecha y considerando lo siguiente:  T1 del primer nodo es igual a 0.  T1 del nodo n = T1 del nodo n-1 (nodo anterior) + duración de la actividad (tiempo estimado) que finaliza en el nodo n.

 Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con mayor valor.

En este caso para el cálculo del T1 en el nodo 8, en el que concurre la finalización de 2 actividades, deberá considerarse el mayor de los T1 resultantes:

T1 (nodo 6) + G = 13 + 6 = 19 T1 (nodo 7) + H = 8 + 4 = 12

Así entonces, el T1 del nodo 8 será igual a 19 (el mayor valor).

T2: Tiempo más tardío de realización del evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de derecha a izquierda y considerando lo siguiente:  T2 del primer nodo (de derecha a izquierda) es igual al T1 de este.  T2 del nodo n = T2 del nodo n-1 (nodo anterior, de derecha a izquierda) - duración de la actividad que se inicia (tiempo estimado).  Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con menor valor.

En este caso para el cálculo del T2 del nodo 1, en el que concurren el inicio de 2 actividades deberá entonces considerarse lo siguiente:

T2 nodo 2 - B = 6 - 6 = 0 T2 nodo 3 - C = 9 - 2 = 7

Así entonces, el T2 del nodo 1 será 0, es decir el menor valor. H: Tiempo de holgura, es decir la diferencia entre T2 y T1. Esta holgura, dada en unidades de tiempo corresponde al valor en el que la ocurrencia de un evento puede tardarse. Los eventos en los cuales la holgura sea igual a 0 corresponden a la ruta crítica, es decir que la ocurrencia de estos eventos no puede tardarse una sola unidad de tiempo respecto al cronograma establecido, dado que en el caso en que se tardara retrasaría la finalización del proyecto.

Las actividades críticas por definición constituyen la ruta más larga que abarca el proyecto, es decir que la sumatoria de las actividades de

una ruta crítica determinará la duración estimada del proyecto. Puede darse el caso en el que se encuentren más de una ruta crítica. Ruta crítica:

Esta ruta se encuentra compuesta por las actividades A, C, E, G, I, J. La duración del proyecto sería de 22 semanas. PASO 4: CÁLCULO DE LA VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y PROBABILIDADES La varianza y la desviación estándar para la culminación del proyecto se relacionan con las actividades que comprenden la ruta crítica. Así entonces, para calcular la varianza basta con sumar las varianzas de las actividades A, C, E, G, I y J:

La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada de la varianza del proyecto, es decir:

Con la información que acabamos de obtener podemos efectuar cálculos probabilísticos de terminación del proyecto. Por ejemplo, sí se nos pide hallar la probabilidad de que el proyecto se culmine antes de 26 semanas, procederíamos de la siguiente forma y siguiendo la teoría de distribución normal:

Buscando este valor en una tabla de distribución normal encontramos que equivale a 0,9612, es decir que la probabilidad de culminar el proyecto en 26 semanas o menos es del 96,12%.