Armaduras-3d 372r5x

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CUARTO LABORATORIO DE CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS (Armaduras Espaciales) CURSO

: CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS

PROFESOR

SECCION:

ALUMNOS

:

Ing. JORGE, VER ERMITAÑO

“C”

: PUMA GAMBOA, WILSON MANUEL

2017-I

PROBLEMA Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura espacial, la cual es sometida a cargas en algunos nodos, despreciándose los efectos de temperatura y de peso de cada viga en la armadura espacial. Se tiene que el Módulo de Elasticidad del material de cada viga es 3.1×10 5 MPa, así como el área de la sección constante de cada viga es de 10030 mm2. Datos: Módulo de Elasticidad:

3.1×105 MPa.

Ancho de la sección constante de cada viga:

100 mm.

Espesor de la sección constante de cada viga:

30 mm.

Carga PA:

6000 N.

Carga PD:

8000 N. Esquema del problema

1.5 m 1m

1m

PA=6000N 1m

PD/2=4000N PD/2=4000N

Secciones: 3000 mm2 Material: E=3.1 x 105 N/mm2

Diagrama de flujo E, d, PA, PA,PD, coordenadas

Cálculo le, Ae, l, m,n

Vector Rigidez (c / elemento)

Ltr (Matriz de Rotación)

CONECTIVIDAD

(matriz simétrica)

Fi (Vector Columna Fuerza) Cálculo de los Desplazamientos: Dato: {Q16, Q17,..., Q26, Q27 }= 0;

;

Cálculo de las Reacciones en los apoyos (R):

Cálculo del Vector []:

I = 1:6 acu1=[ac u1 L]

Programa %practica4.m clear all clc fprintf('\nPROGRAMA QUE PERMITE RESOLVER UNA ARMADURA ESPACIAL\n') %Ingreso de Datos: E=input('Ingrese el modulo de Elasticidad (N/mm^2,MPa): '); a=input('Ingrese el ancho de la seccion de los elementos (mm): '); b=input('Ingrese el espesor de la seccion de los elementos (mm): '); f=input('Ingrese numero de nodos de la estructura: '); e=input('Ingrese numero de elementos de la estructura: '); %Calculo del Area: A=a*b; %Ingreso de Coordenas: (referencia nodo 6) fprintf('\nIngreso de Coordenadas de los Nodos: \n') fprintf('\n(Procurar que los nodos restringidos se encuentren al final del ingreso)\n') for i=1:f fprintf('\nCoordenada nodo %d: (En mm)\n',i) x(i)=input('x: '); y(i)=input('y: '); z(i)=input('z: '); end home fprintf('\nCoordenadas de los Nodos: \n') fprintf('\nNodo X Y Z\n') for i=1:f fprintf('%4d %16.0f %16.0f %16.0f\n',i,x(i),y(i),z(i)) end %Ubicacion de los elementos con respecto a los nodos: for j=1:e fprintf('\nNodos Elemento (%d): \n',j) r(j)=input('Nodo Inicial: '); t(j)=input('Nodo Final: '); end for j=1:e le(j)=sqrt((x(t(j))-x(r(j)))^2 +(y(t(j))-y(r(j)))^2 +(z(t(j))-z(r(j)))^2); l(j)=(x(t(j))-x(r(j)))/le(j); m(j)=(y(t(j))-y(r(j)))/le(j); n(j)=(z(t(j))-z(r(j)))/le(j); end fprintf('\nTabla de Datos: \n') fprintf('\nElemento Long. Elemento l m n Nodo Inicial Nodo Final\n') for j=1:e fprintf('%4d %18.4f %16.4f %16.4f %16.4f %16.0f %16.0f\n',j,le(j),l(j),m(j),n(j),r(j),t(j)) end %Formacion de la Matriz de Rotacion: X=[1 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0]; Y=[0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0]; Z=[0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1]; L=[];

for j=1:e Lj=l(j)*X + m(j)*Y + n(j)*Z; L=[L Lj]; end fprintf('\nMatrices de Rotacion (cosenos directores): \n') for j=1:e fprintf('Elemento %d:\n',j) disp(L(1:2,6*j-5:6*j)) end %Calculo de la Matriz de Rigidez de cada elemento: k=[]; for j=1:e H(j)=(E*A)/le(j); Rj=H(j)*L(1:2,6*j-5:6*j)'*[1 -1; -1 1]*L(1:2,6*j-5:6*j); k=[k Rj]; end fprintf('\nMatrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):\n') for j=1:e fprintf('Elemento %d:\n',j) disp(k(1:6,6*j-5:6*j)) end %Conectividad de las Matrices de rigidez (Matriz estructural): K=zeros(3*f); for j=1:e Gj=zeros(3*f); Gj(3*r(j)-2:3*r(j),3*r(j)-2:3*r(j))=k(1:3,6*j-5:6*j-3); Gj(3*r(j)-2:3*r(j),3*t(j)-2:3*t(j))=k(1:3,6*j-2:6*j); Gj(3*t(j)-2:3*t(j),3*r(j)-2:3*r(j))=k(4:6,6*j-5:6*j-3); Gj(3*t(j)-2:3*t(j),3*t(j)-2:3*t(j))=k(4:6,6*j-2:6*j); K=K+Gj; end fprintf('\nMatriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): \n') disp(K) %Determinacion de las fuerzas en cada nodo, (en cada grado de Libertad): fprintf('\nIngreso de las Magnitudes de las fuerzas: \n') w=input('Numero de fuerzas sobre la armadura: '); F=zeros(3*f,1); for v=1:w AC=zeros(3*f,1); fprintf('\nFuerza (%d):\n',v) P(v)=input('P (en N): '); N(v)=input('Nodo donde se ubica: '); fprintf('\nDireccion de la Fuerza (%d):\n',v) D=input('Vector Columna Direccion (sino no corre): '); AC(3*N(v)-2:3*N(v),1)=P(v)*D; F=F+AC; end fprintf('\nNodos Restringidos: \n') c=input('Numero de nodos rigidos: '); for g=1:c fprintf('\n(%d°)\n',g)

d(g)=input('Nodo Restringido: '); end %Resolucion del Sistema [F]=[K]*[Q]: q=inv(K(1:3*(f-c),1:3*(f-c)))*F(1:3*(f-c),1); C=zeros(3*c,1); Q=[q; C]; %Obtencion de las fuerzas de Reaccion: F(3*(f-c)+1:3*f,1)=K(3*(f-c)+1:3*f,1:3*f)*Q; fprintf('\nTabla de Resultados de [Q] y [F]: \n') fprintf('\n GDL Desplazamiento(Q, en mm) Fuerza(F, en N)\n') for i=1:3*f fprintf('%4d %16.4f %24.4f\n',i,Q(i,1),F(i,1)) end %Obtencion de Distribucion de esfuerzos en cada elemento: B=[-1 1]; for j=1:e J(j)=E/le(j); s(j)=J(j)*B*L(1:2,6*j-5:6*j)*[Q(3*r(j)-2:3*r(j),1);Q(3*t(j)-2:3*t(j),1)]; end fprintf('\nTabla de Esfuerzos: \n') fprintf('\n Elemento Esfuerzo (N/mm^2, MPa)\n') for j=1:e fprintf('%5d %20.4f \n',j,s(j)) end

Ejecución del programa PROGRAMA QUE PERMITE RESOLVER UNA ARMADURA ESPACIAL Ingrese el modulo de Elasticidad (N/mm^2,MPa): 3.1e+5 Ingrese el ancho de la seccion de los elementos (mm): 100 Ingrese el espesor de la seccion de los elementos (mm): 30 Ingrese número de nodos de la estructura: 9 Ingrese número de elementos de la estructura: 17 Ingreso de Coordenadas de los Nodos: (Procurar que los nodos restringidos se encuentren al final del ingreso) Coordenadas de los Nodos: Nodo X Y 1 500 2500 2 0 1500 3 1000 1500 4 1000 1500 5 0 1500 6 0 0 7 0 0 8 1000 0 9 1000 0 Tabla de Datos:

Z 1000 1000 1000 0 0 0 1000 1000 0

Elemento Long. Elemento l m n Nodo Final 1 1118.0340 0.4472 0.8944 0.0000 2 1000.0000 1.0000 0.0000 0.0000 3 1118.0340 0.4472 -0.8944 0.0000 4 1000.0000 0.0000 0.0000 1.0000 5 1500.0000 -0.3333 0.6667 0.6667 6 1000.0000 1.0000 0.0000 0.0000 7 1500.0000 0.3333 0.6667 0.6667 8 1000.0000 0.0000 0.0000 1.0000 9 1414.2136 -0.7071 0.0000 0.7071 10 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 11 1802.7756 -0.5547 0.8321 0.0000 12 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 13 1802.7756 0.0000 0.8321 -0.5547 14 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 15 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 16 1802.7756 0.0000 0.8321 -0.5547 17 1802.7756 -0.5547 0.8321 0.0000

Nodo Inicial 2 2 1 4 4 5 5 5 4 7 8 8 8 9 6 7 9

1 3 3 3 1 4 1 2 2 2 2 3 4 4 5 5 5

Matrices de Rigidez de cada elemento (N/mm): Elemento 1:

    1.0e+005 *     

1.6636 3.3273 0 - 1.6636 - 3.3273 0

3.3273 0 - 1.6636 - 3.3273 6.6545 0 - 3.3273 - 6.6545 0 0 0 0 - 3.3273 0 1.6636 3.3273 - 6.6545 0 3.3273 6.6545 0 0 0 0

Elemento 2:

9.3000 0 0 - 9.3000  0 0 0 0   0 0 0 0 1.0e+005 *   - 9.3000 0 0 9.3000  0 0 0 0  0 0 0  0

0 0 0 0 0 0

0 0  0  0 0  0

0 0  0  0 0  0

Elemento 3:

    1.0e+005 *     

1.6636 - 3.3273 - 3.3273 6.6545 0 0 0 - 1.6636 3.3273 3.3273 - 6.6545 0 0 0

0 - 1.6636 3.3273 0 3.3273 - 6.6545 0 0 0 0 1.6636 - 3.3273 0 - 3.3273 6.6545 0 0 0

0 0   0 0  

Elemento 4:

    1.0e+005 *     

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 9.3000 0 0 0 0 0 0 0 0 - 9.3000 0

0  0  0 - 9.3000  0 0  0 0   0 9.3000 0 0

Elemento 5:

    1.0e+005 *      Elemento 6:

0.6889 - 1.3778 - 1.3778 2.7556 - 1.3778 2.7556 - 0.6889 1.3778 1.3778 - 2.7556 1.3778 - 2.7556

- 1.3778 2.7556 2.7556 1.3778 - 2.7556 - 2.7556

- 0.6889 1.3778 1.3778  1.3778 - 2.7556 - 2.7556 1.3778 - 2.7556 - 2.7556  0.6889 - 1.3778 - 1.3778  - 1.3778 2.7556 2.7556  - 1.3778 2.7556 2.7556

0 0 - 9.3000 0 0  9.3000   0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0    1.0e+005 * - 9.3000 0 0 9.3000 0 0    0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0       Elemento 7:

     1.0e+005 *      

0.6889 1.3778 1.3778 - 0.6889 - 1.3778 - 1.3778

1.3778 1.3778 - 0.6889 - 1.3778 - 1.3778  2.7556 2.7556 - 1.3778 - 2.7556 - 2.7556 2.7556 2.7556 - 1.3778 - 2.7556 - 2.7556  - 1.3778 - 1.3778 0.6889 1.3778 1.3778  - 2.7556 - 2.7556 1.3778 2.7556 2.7556  - 2.7556 - 2.7556 1.3778 2.7556 2.7556  

Elemento 8:

     1.0e+005 *       Elemento 9:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 9.3000 0 0 0 0 0 0 0 0 - 9.3000 0

0   0  0 - 9.3000  0 0   0 0  0 9.3000   0 0

    1.0e+005 *     

3.2880 0 - 3.2880 - 3.2880 0 3.2880  0 0 0 0 0 0  - 3.2880 0 3.2880 3.2880 0 - 3.2880  - 3.2880 0 3.2880 3.2880 0 - 3.2880  0 0 0 0 0 0  3.2880 0 - 3.2880 - 3.2880 0 3.2880

Elemento 10:

     1.0e+005 *      

0 0 0 0 6.2000 0 0

0

0

0 0 0 0 - 6.2000 0 0

0

0

0 0 0 0 - 6.2000 0 0 0 0  0 0 0 0 6.2000 0  0 0 0  

Elemento 11:

    1.0e+005 *     

1.5873 - 2.3809 - 2.3809 3.5714 0 0 - 1.5873 2.3809 2.3809 - 3.5714 0 0 0

0 0 0 0 0

- 1.5873 2.3809 0  2.3809 - 3.5714 0 0 0 0  1.5873 - 2.3809 0  - 2.3809 3.5714 0  0 0 0 

Elemento 12:

    1.0e+005 *     

0 0 0 0 6.2000 0 0

0

0

0

0

0

0 - 6.2000 0 0

0

0

0 0 0 0 - 6.2000 0 0 0 0  0 0 0 0 6.2000 0  0 0 0 

Elemento 13:

    1.0e+005 *     

0 0 0 0 0 0  0 3.5714 - 2.3809 0 - 3.5714 2.3809 0 - 2.3809 1.5873 0 2.3809 - 1.5873   0 0 0 0 0 0  0 - 3.5714 2.3809 0 3.5714 - 2.3809  0 2.3809 - 1.5873 0 - 2.3809 1.5873 

Elemento 14:

    1.0e+005 *      Elemento 15:

0 0 0 0 6.2000 0 0

0

0

0

0

0

0 - 6.2000 0 0

0

0

0 0 0 0 - 6.2000 0 0 0 0  0 0 0 0 6.2000 0  0 0 0 

    1.0e+005 *     

0

0

0

0 6.2000 0 0

0

0

0

0

0

0 - 6.2000 0 0

0

0

0 0 - 6.2000 0 0 0 0  0 0 0 0 6.2000 0  0 0 0  0

0

Elemento 16:

    1.0e+005 *     

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0  3.5714 - 2.3809 0 - 3.5714 2.3809 - 2.3809 1.5873 0 2.3809 - 1.5873   0 0 0 0 0  - 3.5714 2.3809 0 3.5714 - 2.3809  2.3809 - 1.5873 0 - 2.3809 1.5873 

Elemento 17:

    1.0e+005 *     

0 - 2.3809 3.5714 0 2.3809 - 3.5714 0 0 0 0 0 0 0   - 1.5873 2.3809 0 1.5873 - 2.3809 0  2.3809 - 3.5714 0 - 2.3809 3.5714 0  0 0 0 0 0 0  1.5873 - 2.3809

0 - 1.5873 2.3809

Matriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): 1.0e+006 * Columns 1 through 8 0.4705 0 0 -0.1664 -0.3327 0 -0.1664 0.3327 0 1.8820 0.5511 -0.3327 -0.6655 0 0.3327 -0.6655 0 0.5511 0.5511 0 0 0 0 0

-0.1664 -0.3327 0 -0.1664 0.3327 0 -0.0689 0.1378 0.1378 -0.0689 -0.1378 -0.1378 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.3327 0 1.5839 0.0946 -0.3288 -0.9300 0 -0.6655 0 0.0946 1.6426 0 0 0 0 0 -0.3288 0 1.2588 0 0 0.3327 0 -0.9300 0 0 1.0964 -0.3327 -0.6655 0 0 0 0 -0.3327 1.2855 0 0 0 0 0 0 0 0.1378 0.1378 -0.3288 0 0.3288 0 0 -0.2756 -0.2756 0 0 0 0 0 -0.2756 -0.2756 0.3288 0 -0.3288 0 0 -0.1378 -0.1378 0 0 0 0 0 -0.2756 -0.2756 0 0 0 0 0 -0.2756 -0.2756 0 0 -0.9300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0 0 0 0 0.2381 -0.3571 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 9 through 16 0 -0.0689 0.1378 0.1378 -0.0689 -0.1378 -0.1378 0 0.1378 -0.2756 -0.2756 -0.1378 -0.2756 -0.2756 0 0.1378 -0.2756 -0.2756 -0.1378 -0.2756 -0.2756 0 -0.3288 0 0.3288 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3288 0 -0.3288 0 0 -0.9300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9300 0 0 -0.9300 0 0 0 0 0 1.3277 -0.1378 -0.4666 -0.9300 0 0 0 0 -0.1378 1.2527 0.0375 0 0 0 0 -0.9300 -0.4666 0.0375 1.6931 0 0 0 0 0 -0.9300 0 0 1.1576 -0.1003 0.1378 0 0 0 0 0 -0.1003 1.6098 0.0375 0 0 0 0 0 0.1378 0.0375 1.3643 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0

0 0 0

0 0

0 -0.6200 0 0

0 0

0.2381 -0.3571 0 0 0

0 0

0

Columns 17 through 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0 -0.6200 0 0.2381 -0.3571 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9771 -0.2381 0 0 0 0 -0.2381 0.1587 0 0 0 0 0 0 0.1587 -0.2381 0 0 0 0 -0.2381 1.3343 -0.2381 0 0 0 0 -0.2381 0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 25 through 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0.2381 -0.3571 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1587 -0.2381 -0.2381 0.9771 0 0 0

0 0

Ingreso de las Magnitudes de las fuerzas: Numero de fuerzas sobre la armadura: 3 Fuerza (1): P (en N): 6000 Nodo donde se ubica: 1 Direccion de la Fuerza (1): Vector Columna Direccion (sino no corre): [0;1;0] Fuerza (2): P (en N): 4000 Nodo donde se ubica: 5 Direccion de la Fuerza (2): Vector Columna Direccion (sino no corre): [0;0;-1] Fuerza (3): P (en N): 4000 Nodo donde se ubica: 4 Direccion de la Fuerza (3): Vector Columna Direccion (sino no corre): [0;0;-1] Nodos Restringidos: Numero de nodos rigidos: 4 (1°) Nodo Restringido: 6 (2°) Nodo Restringido: 7 (3°) Nodo Restringido: 8 (4°) Nodo Restringido: 9

Tabla de Resultados de [Q] y [F]: GDL 1 2 3 4 5

Desplaz.(Q, en mm) 0.0024 0.0092 -0.0574 0.0033 0.0040

Fuerza(F, en N) 0.0000 6000.0000 0.0000 0.0000 0.0000

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

-0.0336 0.0018 0.0046 -0.0437 -0.0085 -0.0105 -0.0437 -0.0090 -0.0078 -0.0342 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Tabla de Esfuerzos: Elemento Esfuerzo (N/mm^2, MPa) 1 1.1698 2 -0.4768 3 1.0662 4 0.0000 5 0.0695 6 0.1668 7 -0.0695 8 0.1899 9 -0.2686 10 0.8309 11 0.2589 12 0.9537 13 2.6626 14 -2.1691 15 -1.6155 16 2.1448 17 -0.2589

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -4000.0000 0.0000 0.0000 -4000.0000 0.0000 4846.6445 0.0000 0.0000 -7846.6445 3569.2143 430.7857 -10153.3555 4430.7857 -430.7857 7153.3555 0.0000

OBSERVACONES Y CONCLUSIONES Se observa que los valores de los desplazamientos están en el orden de las micras, es decir son desplazamientos muy pequeños, esto es debido a las dimensiones de la viga así como la rigidez del material. Al inicio del problema se manifestó que se consideraba empotrada toda la zona lateral derecha de la figura, de esta manera también cumple el isométrico de las barras dada las vistas. Con lo que respecta a los esfuerzos se observa que el elemento 16 es el que posee el mayor esfuerzo, además es debido a esfuerzo de tracción. Ante las constantes entradas de variables se optó por usar variables acumulativas, tanto en la creación de las matrices de rotación como en las matrices de cada elemento, esto nos permite ahorrar mucho en los elementos a utilizar y solamente se llama a la función acumulada en una matriz para la operación respectiva.

Otro punto a resaltar de este programa es de su diseño no es solamente para ejecutar la solución de este problema, sino puede trabajar según las características de otros con la misma dimensión (3 en este caso), siendo un problema para su operación para dos dimensiones (se generan ceros en la matriz de rigidez, tanto en filas y columnas, por lo cual su inversa es una matriz singular). Claro esta que, al analizar las vigas estructurales tridimensionales en su representación real, se tendrá que considerar muchos factores, tales como la temperatura, el límite de carga isible, la fatiga, etc. De esta manera también nos podemos encontrar cargas no solo puntuales sino también variables tanto volumétricas como superficiales.