Asentamiento 2l5x62

Problemas resueltos de mecánica de suelos CAPITULO NUEVE

Asentamientos 9.1. Introducción. El asentamiento en las fundaciones superficiales está compuesto por tres componentes, el asentamiento inmediato (Si), el asentamiento por consolidación primaria (Sc) y el asentamiento por consolidación secundaria (Ss). El cálculo del asentamiento inmediato en general se basa en la teoría elástica. Los otros dos componentes de asentamiento resultan de la expulsión gradual de agua y del reordenamiento de partículas bajo carga constante, respectivamente. La importancia relativa de los componentes de asentamiento según el tipo de suelo, es presentada en la Tabla. Tipo de suelo Arena Arcilla Suelo orgánico

Si Si Relativa Relativa

Sc No Si Relativa

Ss No Relativa Si

Asentamiento inmediato. Es estimado a partir de los parámetros elásticos del suelo. Para suelos predominantemente cohesivos, esta teoría es buena, debido a que se asumen condiciones de homogeneidad e isotropía no tan alejadas de la realidad. Como datos para el cálculo, se requieren el módulo de elasticidad no drenado EU y el coeficiente de Poisson . Por otro lado, para la estimación del asentamiento inmediato de suelos granulares sin cohesión, se recomienda utilizar los métodos semi empíricos en los que sí se toma en cuenta la variación de los parámetros elásticos, como por ejemplo el método de Schmertmann. Asentamiento por consolidación primaria. El asentamiento por consolidación es propio de suelos saturados cohesivos o de baja permeabilidad sujetos a un incremento en el esfuerzo efectivo que se traduce en un incremento en la presión de poros. Si bien el agua y las partículas de suelo son virtualmente incompresibles, el cambio de volumen en la masa de suelo se debe a la expulsión gradual del agua de los poros. Para predecir el asentamiento por consolidación, es necesario conocer las propiedades esfuerzo – deformación en una masa de suelo. Para esto, se desarrolla una prueba de laboratorio denominada consolidación unidimensional (prueba del edómetro), en la cual la muestra puede deformarse solamente en dirección vertical. La deformación horizontal es impedida. Las ecuaciones para la estimación del asentamiento por consolidación primaria a partir de los parámetros obtenidos en laboratorio, son presentadas en el Anexo I. De forma meramente casual, el método de consolidación primaria unidimensional resulta muy acertado para la estimación del asentamiento total (Si + Sc). Para arcillas rígidas el asentamiento total es igual al asentamiento edométrico (total = edómetro). Para arcillas blandas el asentamiento total es igual a 1,1 veces el asentamiento edométrico (total = 1,1 x edómetro). Finalmente, en cuanto a la estimación del tiempo de consolidación, el Anexo I presenta las ecuaciones y tablas basadas en la teoría de consolidación unidimensional de Terzaghi. Asentamiento por consolidación secundaria. A diferencia de la consolidación primaria, el proceso de consolidación secundaria no contempla la expulsión de agua de los poros, sino más bien se refiere a la reorientación, fluencia y descomposición de materiales orgánicos en el suelo por lo que tampoco es preponderante un cambio en el esfuerzo efectivo para su desarrollo. Las ecuaciones para su estimación son presentadas en el Anexo I. 24

Capítulo 9 Asentamientos

9.2. Problemas resueltos. PROBLEMA 1 La estratigrafía de un terreno está formada por 5 m de arcilla normalmente consolidada, todo ello sobre un macizo rocoso compuesto de arenisca de permeabilidad alta. El nivel freático se halla a 2 m de la superficie del terreno (Figura 9.1). El peso unitario saturado de la arcilla es 21 kN/m3. Con una muestra inalterada obtenida a 2,5 m de profundidad se realizó un ensayo de consolidación, habiéndose alcanzado los siguientes resultados: Índice de vacíos inicial = 0,58 Índice de compresibilidad = 0,11 Coeficiente de consolidación = 0,20 m2/año ( parámetro correspondiente al rango de presiones al que estará sometido el suelo) En la superficie del terreno se proyecta construir un tanque de almacenamiento de combustible de 5m de diámetro, mismo que ejerce una presión vertical sobre el suelo de 143 kN/m2. Este tanque duplicará la presión vertical efectiva que existe en la arcilla actualmente.

5

Arcilla N.C.

eo=0,58 cc=0,11 2 cv=0,2 m /año

Macizo rocoso muy fracturado

Figura 9.2. Carga sobre el suelo. Se requiere:

a) Calcular el asentamiento. b) ¿Qué tiempo en años será necesario para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de arcilla?

25

Problemas resueltos de mecánica de suelos

Solución . a) Calcular el asentamiento. El asentamiento debido a la consolidación de la arcilla NC es calculado, por la ecuación:

SC 

 po  p pr  cc H c  log  1  eo po  

Reemplazando los valores se tiene que:

SC 

(0,11)(2000) log 2  42 mm 1  0,58

Este valor resulta ser el asentamiento por consolidación del ensayo del edómetro (ensayo de consolidación), o sea:

S C (oed)  42 mm Éste debe ser corregido por factores empíricos para obtener el asentamiento por consolidación real. En este caso se puede emplear el criterio de Skempton & Bjerrum (Tabla 9.2) para arcillas suaves normalmente consolidadas, según el cual el valor del factor corrección es de 1

S C  S C (oed) Entonces: SC = 42 mm El asentamiento inmediato producido en la arena puede ser calculado según la ecuación E-3 propuesta por Harr (en este caso para fundaciones flexibles). Para el ejemplo, B = 5 m, ES = 25 MN/m2, S = 0,3. El coeficiente av se puede obtener de la Figura E,1 del Anexo E. b) Tiempo en años para alcanzar el 50 % del asentamiento en la capa de arcilla. El esfuerzo vertical efectivo inicial en el punto medio de la arcilla, empleando un valor para el peso unitario del agua de 10 kN/m3. o = (2)(18) + (1)(20) + (1)(21) – (2)(10) o = 57 kN/m2

26

Capítulo 9 Asentamientos Entonces, el incremento de esfuerzo promedio efectivo en ese punto es igual a

pav = 57 kN/m2 A continuación se procede a estimar la carga neta en la superficie mediante un proceso inverso utilizando la ecuación de incremento de esfuerzo por debajo de una fundación circular flexible.

 1  p  qo 1   1  B / 2 z 2 



  3  2  



Para B = 5 m y z = 3 m, 4 m, 5 m se obtiene que:

p av

   q  1  o  1  3 6  2     5   2   1   23     

        1   4  1  3 2 2       1   5       24      

        1   1  3 2 2       1   5       25      

         

57 = qo (0,399) Por lo que la carga neta a nivel de fundación es: qo = 143 kN/m2 Como las hipótesis de Harr H =  no se cumple, se deben hacer correcciones mediante los coeficientes F1 y F2. Estos coeficientes se pueden obtener de las figuras E.2 y E.3 del Anexo E. Para:

 0,6 B  L 1  B  H

F1  0,08 F2  0,075

Finalmente se tomará la ecuación E-4 del Anexo E.



 



 



Si 

B qo 2 1   s 1   s 2 F1  1   s  2  s 2 F2 Es

Si 

(5)(143) 1  0,32  1  0,32 (0,08)  1  0,3  2(0,3) 2 (0,075) 25000











Si = 0,00291 m = 3,0 mm

27

Problemas resueltos de mecánica de suelos El asentamiento calculado corresponde al asentamiento en la parte central del tanque. Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, para un grado de consolidación del 50 %, se obtiene que el factor del tiempo correspondiente a un 50% de consolidación es: Tv = 0,197 Mediante la ecuación E-14 del anexo E, se sabe que:

t

Tv H dr 2 cv

Para el ejemplo, cv = 0,20 m2/año, Hdr = 1 m (doble drenaje), ya que el agua de los poros en la arcilla será expulsada hacia el estrato superior de arena y hacia la base rocosa fracturada,

t

(0,197) (1) 2 0,20

t  1 año Finalmente, se concluye que al cabo de un año (50% de consolidación) el asentamiento máximo de la fundación será: St  (42)(0,50) + 2,0 St = 23 mm

28

Capítulo 9 Asentamientos PROBLEMA 2 Se planea construir un edificio de hormigón armado de 10 niveles (incluyendo sótano). La presión aplicada al terreno por nivel es de 10 kN/m2. La fundación de la estructura consiste de una losa rectangular flexible de 10 m de ancho y 20 m de largo, apoyada a 4 m de profundidad. La estratigrafía del terreno consiste de 8 m de arcilla sobre - consolidada que descansa sobre roca impermeable (Figura 9.3). Los parámetros obtenidos del estudio geotécnico son los siguientes: Profundidad del nivel freático respecto a la superficie del terreno = 1 m Peso unitario de la arcilla = 19 kN/m3 Coeficiente de compresibilidad volumétrica = 0,14 m2/MN Coeficiente de consolidación = 10 m2/año (Estos dos últimos parámetros corresponden al rango de presiones al que será sometido el suelo). Se requiere: a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de fundación, en mm b) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundación, en mm. c) Calcular la magnitud del asentamiento diferencial producido entre el punto central y la esquina de la losa. d) Suponiendo en principio un exceso de presión de poros uniforme (uo constante), y una longitud o trayectoria de drenaje de 4 m, estimar el tiempo en años que será necesario para alcanzar el 90% del asentamiento total.

Figura 9.3. Edificio en estrato de suelo. Solución. a) Calcular el asentamiento total del punto central de la losa de fundación El edificio tiene 10 plantas, por lo tanto la carga bruta es: q = (10)(10) = 100 kN/m2 29

Problemas resueltos de mecánica de suelos La carga neta a nivel de fundación es:

qn  q'q'o  q  D f Para  = 19 kN/m3 y una profundidad de fundación Df = 4 m, se tiene: qn = 100 – (4)(19) = 24 kN/m2 Para el caso de una fundación flexible se puede emplear la ecuación D-7 del Anexo D

p = q I3 En este caso q = 24 kN/m2 y el factor I3 puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D. Para determinar el asentamiento del centro de la losa, se analiza la cuarta parte del rectángulo. L = 20 / 2 = 10 m, B = 10 / 2 = 5 m, z = 2 m De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es:

p = 5,85 kN/m2 Entonces, el incremento de esfuerzo vertical en el centro de la fundación

p = (4)(5,85) = 23,4 kN/m2 Ahora, para hallar el asentamiento de consolidación del ensayo del edómetro se tiene que: c(oed) = mv ' H c(oed) = (0,00014)(23,4)(4) c(oed) = 0,0131 m = 13 mm Valor que debe ser corregido para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso se puede emplear el criterio de Burland para arcillas rígidas sobreconsolidadas, según el cual, Stotal = Sc(oed) = c(oed) Entonces: Stotal = 13 mm b) Calcular el asentamiento total en una de las esquinas de la losa de fundación. En este caso q = 24 kN/m2 y el factor I3 puede ser determinado de la Tabla D.4 del Anexo D. Para determinar el asentamiento de la esquina de la losa, se analiza toda la losa. L = 20 m, B = 10 m, z = 2 m

30

Capítulo 9 Asentamientos De este modo se obtiene que el esfuerzo vertical por debajo de la esquina es:

p = 5,98 kN/m2 El asentamiento de consolidación del ensayo del edómetro c(oed) = mv  H c(oed) = (0,00014)(5,98)(4) c(oed) = 0,0033 m = 3,3 mm Valor que se corrige para obtener el asentamiento total de la arcilla. En este caso se empleará el criterio de Burland para arcillas rígidas sobreconsolidadas, según el cual: Stotal = Sc(oed) = c(oed) Entonces: Stotal = 3,3 mm c) Se pide encontrar el asentamiento diferencial entre los puntos previamente analizados. Asentamiento diferencial producido:

 = 13 – 3,3 = 9,7 mm d) Empleando la Tabla E.1 del Anexo E, se obtiene el valor del factor tiempo, correspondiente al 90% de consolidación Tv = 0,848 Además se sabe que:

t

Tv H 2 cv

Para el ejemplo, cv = 10 m2/año, H = 4 m (trayectoria de drenaje), entonces:

t

(0,848)(4) 2 10

t  1,4 años

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Problemas resueltos de mecánica de suelos

PROBLEMA 3 Una zapata flexible de fundación de 1,0 m x 1,0 m, soportando una carga de o sobre el nivel de fundación de 200 kN, es construida a una profundidad de 1,0 m debajo de la superficie del terreno. El depósito de suelo está conformado por un estrato de 2,0 m de arena. El nivel freático se encuentra a 1,0 m de profundidad respecto a la superficie. Debajo de la arena se halla un estrato de arcilla normalmente consolidada de 2,0 m de espesor que a su vez descansa sobre arena densa (Figura 9.4).

200 kN

Arena

1m 1.0m x 1.0m 1m

Arcilla compresible 2m

Arena densa Figura 9.4. Zapata en perfil de suelo. Mediante el estudio de suelos se han determinado los siguientes parámetros: Depósito de arena Peso unitario por encima del nivel freático = 17,0 kN/m3 Peso unitario por debajo del nivel freático = 19,0 kN/m3 Módulo de elasticidad = 20 MPa Arcilla Peso unitario saturado = 18,0 kN/m3 Índice de vacíos inicial = 0,7 Índice de compresión = 0,25 Índice de expansión = 0,06 Módulo de elasticidad = 25 MPa Peso unitario del agua = 9,8 kN/m3 Se pide encontrar el asentamiento total en el centro de la fundación. 32

Capítulo 9 Asentamientos Solución. El incremento de esfuerzo promedio en el estrato de arcilla está dado por:

1 p  (pt  4pm  pb ) 6 Si empleamos la ecuación:

p = q I En este caso, la carga neta es:

qn 

200,0  (1)(17)  183,0 kPa (1,0)(1,0)

Asimismo, I = f (B, L, z), Para L = 1,0 / 2 = 0,5 m incremento de esfuerzo vertical en la esquina es: z = 1,0 m z = 2,0 m z = 3,0 m

  

B = 1,0 / 2 = 0,5 m, se tiene que el

p = 15,37 kN/m2 p = 4,94 kN/m2 p = 2,32 kN/m2

Entonces, el incremento de esfuerzo vertical bajo el centro de la fundación es:

pt = (4)(15,37) = 61,48 kN/m2 pm = (4)(4,94) = 19,76 kN/m2 pb = (4)(2,32) = 9,28 kN/m2 Y el incremento de esfuerzo promedio en el estrato, será:

1 1 pav  (pt  4pm  pb )  (61,48  (4)(19,76)  9,28) 6 6

pav  25 kN/m2 Asentamiento inmediato en la arcilla Se puede emplear la ecuación propuesta por Janbu, que será:

S e  A1 A2

qO B ES

Los factores A1 y A2 se obtienen de la Figura E.5 del Anexo E. Para estimar el asentamiento inmediato en la arcilla, se asume que el estrato de arcilla se extiende hasta la superficie y que tiene una base rígida. En este caso, para Df/B = 1,0 / 1,0 = 1,0 se tiene: A2  0,94 33

Problemas resueltos de mecánica de suelos Además, para H / B = (3,0) / 1,0 = 3,0 se tiene: A1  0,6 Entonces:

S e  (0,6)(0,94)

(183)(1,0) 25

Se = 4,13 mm Se asume luego que el primer estrato es arcilla con características iguales al segundo estrato y con una base rígida. En este caso, para Df / B = 1,0 / 1,0 = 1,0, se tiene: A2  0,94 Además, para H / B = (1,0) / 1,0 = 1,0 se tiene: A1  0,34 Luego:

S e  (0,34)(0,94)

(183)(1) 25

Se = 2,34 mm Entonces el asentamiento inmediato en la arcilla es la diferencia entre los dos asentamientos anteriores. Se = 4,13 – 2,34 = 1,79 mm Asentamiento por consolidación en la arcilla El esfuerzo vertical efectivo inicial en el punto medio de la arcilla 'o = (1,0)(17,0) + (1,0)(19,0–9,8) + (1,0)(18,0–9,8) 'o = 34,4 kN/m2 El asentamiento debido a la consolidación de la arcilla está dado por:

S oed 

  '  p  CC H log  o '  1  eO  o 

S oed 

(0,25)(2000)  34,4 + 25  log   1  0,70  34,4 

Por lo que,

34

Capítulo 9 Asentamientos SOED = 69,77 mm Valor que deberá ser corregido para obtener el asentamiento por consolidación real. En este caso se puede emplear el criterio de Burland para arcillas rígidas normalmente consolidadas, según el cual SC = Soed Entonces Stotal = 69,77 + 1,79 = 71,6 mm Asentamiento en la arena Para calcular el asentamiento en el estrato de arena, se recurre al método propuesto por Schmertmann, para el que se procede a dibujar un esquema del factor de influencia. El esfuerzo efectivo inicial al nivel de la fundación (Df) y a la profundidad del factor máximo de influencia (Df + B/2) es: 'vo = (1)(17) = 17 kPa 'vp = (1)(17) + (0,5)(19–9,8) = 21,6 kPa El valor máximo del factor de influencia Iz y los factores de corrección C1, C2 y C3 son (v, Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4): IZ = 0,5 + (0,1)(183 / 21,6)1/2 = 0,79 C1 = 1 – (0,5)(17 / 183) = 0,95 C2 = 1,0 C3 = 1,03–0,03(1,0/1,0) = 1,0

Figura 9.5. Incremento de esfuerzo verticales.

35

Problemas resueltos de mecánica de suelos

Para zapatas : Iz = 0,1+(zf/B)(2Izp–0,2] Iz = 0,1+(0,25/1,0)[(2)(0,79)–0,2] = 0,4450 Iz = 0,667Izp(2–zf/B) Iz = (0,667)(0,79)(2–0,75/1,0) = 0,6587

zf = 0 a B/2: zf = 0,25 m: zf = B/2 a 2B: zf = 0,75 m:

Tabla 9.5. Propiedades del estrato. Estratoi Hi [m] 1 0,5 2 0,5 n

 i 1

I zi H i Ei

Izi 0,4450 0,6587

Izi Hi/Ei 0,011125 0,016468

 0,027593

Si = (0,95)(1)(1)(183)(0,027593) Si = 4,8 mm Finalmente, el asentamiento total en el centro de la fundación Stotal = Sarcilla + Sarena Stotal = 71,6 + 4,8 Stotal  76,4 mm

36

Capítulo 9 Asentamientos

PROBLEMA 4 Una zapata de 2,0 m x 2,0 m transmite una carga bruta de o de 700 kN al nivel de la fundación que se encuentra a 1,5 m de profundidad. El estudio geotécnico ejecutado contempló la realización de una perforación y un ensayo de penetración de cono. Los resultados indican que el subsuelo está conformado por un depósito de arena medianamente densa a densa, El peso unitario de la arena seca es de 16 kN/m3 y se estima que el peso unitario saturado de la misma, es de 18 kN/m3. El nivel freático se encuentra a 2,0 m de profundidad a partir de la superficie del terreno. El agua tiene un peso unitario de 9,81 kN/m3. La Figura 9.6 muestra la variación de la presión en la punta del cono de penetración con la profundidad. Se pide, determinar el asentamiento producido por la carga de fundación.

Figura 9.6 Resultados de la prueba T Solución . Para analizar el problema se procede a elaborar una tabla. Como se puede apreciar en la Figura 9.6, la profundidad de influencia fue dividida en cinco estratos según el valor promedio de presión en la punta del cono y según el índice de influencia. La carga neta transmitida por la estructura, el esfuerzo efectivo al nivel de fundación y al nivel del valor máximo de Iz, son:

qn 

700  (1,5)(16)  151 kPa (2)(2)

'vo = (1,5)(16) = 24 kPa 'vp = (2)(16) + (0,5)(18 – 9,81) = 36,1 kPa Entonces, el valor máximo del factor de influencia Iz y los factores de corrección C1, C2 y C3 son (Ecuaciones 8.2, 8.3, 8.4, 8.5):

37

Problemas resueltos de mecánica de suelos IZ = 0,5 + (0,1)(151 / 36,1)1/2  0,7 C1 = 1 – (0,5)(24 / 151) = 0,92 C2 = 1 C3 = 1,03–(0,03)(2,0 / 2,0) = 1 qc [MPa] promedio 1 0,50 0,25 0,2500 4 2 0,50 0,75 0,5500 7 3 1,00 1,50 0,5833 7 4 1,25 2,625 0,3208 4 5 0,75 3,625 0,0875 10 zi es la profundidad hasta el punto medio del estrato analizado Nota: El módulo Es = 2,5 qc (para condiciones axisimétricas, B/L=1) Estrato

Hi [m]

zi [m]

Izi

Es [MPa] Promedio 10 17,5 17,5 10 25

Izz/Es [m/MPa] 0,01250 0,01571 0,03333 0,04010 0,00263

(IzHi/Ei)

0,10427

Finalmente, el asentamiento de la estructura es igual a: S = (0,92)(151)(0,10427) = 14,5 mm S = 14,5 mm

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Capítulo 9 Asentamientos PROBLEMA 5 Una losa de fundación de 8,0 m x 12,0 m transmite una carga neta de 80 kPa. El nivel de fundación se encuentra a 2,0 m de profundidad. El estudio geotécnico ejecutado determinó el perfil presentado en la Figura 9.7 el cual está conformado por arcilla magra y arena limosa, sobre un lecho rocoso impermeable. El nivel freático se encuentra muy cerca a la superficie. Asumiendo que la fundación está dotada de un sistema de drenaje que permite el ingreso de agua en toda su área, y que la deformación de la arena es despreciable. Se pide determinar: a) El asentamiento total de la fundación a partir de los parámetros obtenidos. b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidación.

q n = 80 kPa 2.0 m 5.0 m

B x L = 8 x 12 m

1.5 m

A

Arcilla magra  = 20 kN/m3 Cc = 0.22 Cs = 0.09 eo = 0.6 Cv = 0.804 m2/año pc = 135 kPa

Arena limosa

1.0 m

3

 = 19 kN/m

Arcilla magra 2.5 m 5.0 m

B

 = 19 kN/m3 Cc = 0.30 Cs = 0.12 eo = 0.9 Cv = 0.432 m2/año pc = 95 kPa

Roca impermeable

Figura 9.7 Perfil de suelo Solución . a) El asentamiento total de la fundación a partir de los parámetros obtenidos. Para determinar el asentamiento total de la fundación, es necesario estimar el incremento de esfuerzo efectivo vertical debido a la carga neta transmitida por la fundación. Se analiza ¼ de fundación (ver figura).

6m 4m

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Problemas resueltos de mecánica de suelos A partir de las ecuaciones D-7, D-9, D-10 y la Tabla D.4 del Anexo D, se obtiene lo siguiente: Sea A el punto medio del estrato superior de arcilla magra (CL) Sea B el punto medio del estrato inferior de arcilla magra (CL) Para el punto A del estrato superior de arcilla:

pt = 80 kPa m = 4/1,5 = 2,666 n = 6/1,5 = 4 m = 4/4 = 1 n = 6/4 = 1



I3 = 0,2443



p m = 4 x 0,2443 x 80  78 kPa



I3 = 0,2178



p b = 4 x 0,2178 x 80  70 kPa

Entonces:

pAV(A) = 77 kPa Para el punto B del estrato inferior de arcilla: m = 4/4 = 1



I3 = 0,1934



p t = 4 x 0,1934 x 80  62 kPa



I3 = 0,1341



p m = 4 x 0,1341 x 80  43 kPa



I3 = 0,1069



p b = 4 x 0,1069 x 80  34 kPa

n = 6/4 = 1,5 m = 4 / 6,5 = 0,615 n = 6 / 6,5 = 0,923 m = 4/8 = 0,5 n = 6/8 = 0,75 Entonces:

pAV(B) = 45 kPa A continuación se determina el esfuerzo efectivo promedio en cada uno de los estratos de arcilla, antes de la construcción de la fundación. 'A = (3,5)(20 – 9,81) = 35,6 kPa 'A + pA = 113,6 kPa 'B = (5,0)(20–9,81)+(3,5)(19 – 9,81) = 83,1 kPa 'B + pB = 126,1 kPa

< Pc = 135 kPa < Pc = 135 kPa < Pc = 95 kPa > Pc = 95 kPa

   

SC SC SC NC

Como se puede observar, inicialmente ambas arcillas están sobre consolidadas. Después de la carga la arcilla superior se mantiene sobre consolidada, mientras que la arcilla inferior cambia de estado a normalmente consolidada. A continuación, los asentamientos de los estratos de arcilla superior (SA) e inferior (SB) son calculados, según las ecuaciones B-7 y B-8 del Anexo B respectivamente. 40

Capítulo 9 Asentamientos

SA 

0,09(3000)  35,6  77  log   84,4 mm 1  0,6  35,6 

SB 

0,12(5000)  95  0,30(5000)  83,1  45  log log    121mm 1  0,9 1  0,9  95   83,1 

STOTAL  84,4  121 Stotal = 205,4 mm b) El tiempo que debe transcurrir para el desarrollo del 80 % de la consolidación. El grado de consolidación de 80% está referido al asentamiento total, por lo tanto: U = 80%



S80 = 0,80 x 205,4 = 164,32 mm

Para un tiempo t en el estrato superior de arcilla se tiene:

Tv A 

Cv A t H dr A 2

Para un tiempo t en el estrato inferior de arcilla se tiene:

Tv B 

Cv B t H dr B 2

Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene: 2 Tv A Cv A  H dr B  0,804  5 2     20,68   2  0,432  1,5 2  Tv B Cv B  H dr A 

Tv A  20,68(Tv B ) Nótese que la altura de drenaje para la arcilla superior es de 1,5 m debido a que puede expulsar el agua hacia la fundación y hacia el estrato de arena. La altura de drenaje para la arcilla inferior es igual a su espesor debido a que solamente puede drenar hacia la arena. La siguiente ecuación muestra el desarrollo del asentamiento total de la fundación en función del tiempo.

S (t )  U A (t ) S A  U B (t ) S B Donde: S(t) Asentamiento total de la fundación en función del tiempo. UA(t), UB(t) Grado de consolidación en función del tiempo. SA, SB Asentamiento total por consolidación en cada estrato. Se requiere determinar un tiempo t en el que S(t) = 164,32 mm.

41

Problemas resueltos de mecánica de suelos A continuación se sigue un proceso indirecto para calcular t: Suponemos primeramente un 90% de consolidación para la arcilla superior, ¿cuanto será el asentamiento total? UA = 90%  TvA = 0,848 (de la Tabla B.1, Anexo B) TvB = 0,848 / 20,68 = 0,0410  UB = 23%

(de la Tabla B.1, Anexo B)

Entonces el asentamiento total es: (0,90)(84,4) + (0,23)(121) = 104 mm

t

Tv A ( H dr A ) 2 0,848(1,5) 2   2,3 años Cv A 0,804

Esto significa que transcurridos aproximadamente 2,3 años después de la aplicación de la carga, el asentamiento ha alcanzado una magnitud de 104 mm para un grado de consolidación de 90% y 23% de los estratos de arcilla superior e inferior respectivamente. El valor calculado aún está alejado de los 164,32 mm (correspondientes al 80% del asentamiento total) que se requieren alcanzar, lo cual significa que el estrato superior se consolida totalmente antes de alcanzar el asentamiento total de 164,32 mm, quedando el estrato inferior como el limitante o el crítico para este análisis. El problema ahora, se reduce a hallar el tiempo en que el estrato inferior de arcilla alcance una deformación igual a la diferencia de la deformación total requerida y la deformación total del estrato superior. El asentamiento del estrato B en el tiempo t requerido es SB(t) = 164,32 – 84,4 = 79,92 mm UB = 79,92 / 121 = 66,05%

 TvB = 0,352

TvA = (0,352)(20,68) = 7,3  UA = 100%

CUMPLE!

(de la Tabla E.1, Anexo E) (de la Tabla E.1, Anexo E)

Entonces el asentamiento total es: (1,00)(84,4) + (0,66)(121) = 164,32 mm Finalmente, el tiempo es:

t

Tv B ( H dr B ) 2 0,352(5) 2  CvB 0,432

t = 20,4 años

42

Capítulo 9 Asentamientos PROBLEMA 6 Se desea construir una zapata flexible sobre una arcilla saturada con las dimensiones que se muestran en la Figura 9.7. Considere que los parámetros de deformación de la arcilla son cc = 0,22, cs = 0,05. El índice de vacíos varia desde la superficie según la ecuación e = 0,80 – 0,05H, donde H es la profundidad en metros, el límite inferior de e es 0,50. Asimismo se sabe que la presión de preconsolidación en la superficie es 170 kPa y disminuye según la siguiente ecuación: pc = 170 – 8H2 a) Calcule la magnitud del asentamiento producida por una carga segura igual a 150 kPa. b) Calcule el coeficiente de consolidación promedio del estrato si el tiempo para que se produzca el 50% del inciso a) es 1 año.

Figura 9.8. Fundación. Solución. a) Calcule la magnitud del asentamiento producido por una carga segura. La carga segura es una carga bruta al nivel de fundación, pero para el cálculo de los asentamientos necesitamos un incremento neto al nivel de fundación; por lo tanto para obtener este incremento, se puede proceder de la siguiente manera:

qn  q s   D f

qn  150  (1,5)20  120 kPa Los siguientes gráficos corresponden al esfuerzo efectivo inicial y carga de preconsolidación, y a el incremento de esfuerzos, respectivamente:

43

Problemas resueltos de mecánica de suelos

0

1

152 Carga de preconsolidación

2

25

120

3

35

72

42 4

8

45

5

55 Esfuerzo efectivo inicial 6

65

0

1 120 2 79 3 37 27 4

20

5

6

Incremento de esfuerzos

12

8

Figura 9.9. Trayectorias de esfuerzo. A partir de una profundidad 5,5 m el incremento de esfuerzos se hace menor al 10% del incremento al nivel de fundación, por lo cual el análisis se realizará sólo hasta esta profundidad.

44

Capítulo 9 Asentamientos Cuando z = 4,0 se produce una intersección formada por las curvas de carga q, y carga de preconsolidación pc ( suponemos que los valores 40 y 42 son demasiado próximos); a partir de esta intersección la curva se encuentra a la izquierda de la curva q, lo cual no es posible en ninguna circunstancia debido a la concepto mismo de carga de preconsolidación, por lo cual se deduce que a partir de una profundidad igual a 5,5 m nos encontramos con una arcilla. Normalmente consolidada. Por el contrario, hasta una profundidad de 4,0 m la curva pc se encuentra a la derecha de la curva q, es decir para un punto dado pc > q, lo cual significa que estamos en presencia de una arcilla sobre consolidada. 1,5  z  4,0 4,0  z  5,5

En resumen:

SOBRECONSOLIDADA NORMALMENTE

CONSOLIDADA A partir de estas conclusiones, podemos hacer el análisis tratando a nuestra arcilla como si se tratase de dos diferentes estratos. De esta manera, realizamos el cálculo del índice de vacíos, esfuerzo inicial e incremento promedio en el centro de cada estrato.

eo = 0,8 –(0,05)(2,75) = 0,6625 Arcilla sobre consolidada 2,75 m Pc = 109,5 kPa 'o = 27,5 kPa

pav 

120  (4)(66)  27  68,5 kPa 6

4,0 m eo = 0,8 – (0,05)(4,75) = 0,5625 Arcilla normalmente consolidada 'o = 47,5 kPa

4,75 m

pav 

27  (4)(17)  12  17,83 kPa 6

En la arcilla sobre consolidada 'o + ∆pav < Pc, por lo tanto el asentamiento estará dado por:

S oed 

cs H  '  p log o ' av 1  eo o

Para arcillas sobre consolidadas, el asentamiento total es igual al edométrico:

St  Soed  40,8 mm

45

Problemas resueltos de mecánica de suelos De la misma manera: que será:

S oed 

cc H  '  p log o ' av 1  eo o

(0,22)(1500) 47,25  17,83 log  29,36 mm 1  0,5625 47,25 En las arcillas normalmente consolidadas, el asentamiento total es el siguiente: S oed 

St  1,1 Soed  32,3 mm Por último, el asentamiento total en la arcilla será:

S total  40,8  32,3 Stotal = 73 mm b) Calcule el coeficiente de consolidación promedio del estrato. De la relación:

Tv H dr 2 t cv El valor de Tv correspondiente al 50% de grado de consolidación es 0,197.

cv 

Tv H dr 2 (0,197)(4) 2  t 1

c v = 3,152 m2/año

46

Capítulo 9 Asentamientos PROBLEMA 7 Se ha realizado la exploración geotécnica de un sitio, la Figura 9.8 muestra el perfil de suelo encontrado y sus propiedades. Se va construir una zapata flexible y rectangular a 2 m de profundidad, con las dimensiones que se presentan en el esquema. Considere que la zapata a se construye en un instante de tiempo, en el que adicionalmente el nivel freático desciende al nivel de fundación y permanece en esa posición por tiempo indefinido. El peso unitario de la arena en la parte no saturada es el 90 % del valor en el sector saturado. Asimismo, considere que no existe asentamiento secundario en la arcilla y que el asentamiento inmediato es el 50% del total. Se pide: a) Determinar el asentamiento total de la zapata. b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total. P = 1500 kN

0.30x0.30m

3m

2m

E (MN/m2) 35

arena = 20 kN/m3 Dr = 60%

B= 2.0m L= 6.0m

muestra 1 45 3m

arcilla = 19 kN/m3

2m

muestra 2

E (MN/m2) 40

arena = 20 kN/m3 muestra 3

Figura 9.10. Zapata. De la muestra 2: eo = 0,75; cc = 0,2; cs =0,03 Pc = 85 kPa ( método Casagrande)

Presión

25

cv(cm2 /min) 0,0194

50

100

200

400

800

0,009

0,006

0,008

0,011

0,018

47

Problemas resueltos de mecánica de suelos Solución: a) Determinar el asentamiento total de la zapata. En primera instancia calculamos el incremento de carga neta al nivel de fundación, que es la diferencia entre las cargas efectivas antes y después de la construcción. La carga inicial efectiva al nivel de fundación qo es la siguiente: qo = (2)(20 – 9,8) = 20,4 kPa La fuerza total al nivel de fundación Ft, después de la construcción, debe incluir el peso propio de la zapata y el peso del suelo, además de la carga transmitida por la columna. Ft = 1500 + (24)[(0,3)(2)(6)+(0,3)2(1,7)] + (0,9)(20)[(2)(6)–0,32)](1,7) = 1954,52 kN

q

Ft 1954,52   162,88 kPa A (6)(2)

Por lo tanto: qn = q – qo = 162,88– 20,4 = 142,48 kPa Cálculo de asentamientos en la arena (Según Schmertmann) El método de Schmertmann fue propuesto para zapatas axisimétricas y corridas (L / B >10), por lo cual en una zapata como la que se trata en este problema se debe realizar una interpolación de valores, entre valores obtenidos considerando a la zapata como cuadrada y los valores obtenidos considerándola corrida. Análisis como una zapata cuadrada

q ´vp ´vp = 3(20–9,8)=30,6 142,48 Iz  0,5  (0,1)  0,716 30,6 Iz  0,5  (0,1)

0

1

0.418 2

C1  1  (0,5)

0.1 0.716

 vo  20,4   1  (0,5)  =0,928 qn  142,48 

C2 = 1

L  0,73 B 6 C3  1,03  (0,03)   0,94 2 C3  1,03  0,03 

3

4

0.477

5

0.239 6

48

Capítulo 9 Asentamientos

 0,408  0,477   (2) (1000) S1  (0,928)(1)(0,94)(142,48) (1)   3 3   (40)(10)   (43)(10)    S1 = 4,025 mm Considerado como una zapata corrida

q  ´vp vp = 4(20–9,8) = 40,8 Izp = 0,687 Los coeficientes C1, C2, C3, se mantienen constantes, 1° estrato I zp  0,5  (0,1)

0 1 0.2

2

0.443

3

0.687 4 0.630 5

0.572

6 7 8 9

0.229 0.114

10

0,630   0,443 S 2  (0,928)(1)(0,94)(142,48) (2)  (1)  44000   41000 S2 = 4,465mm 2° estrato

 0,114  S 3  (0,928)(0,94)(1)(142,48) (2)  40000   S3 = 0,709mm A partir de los valores obtenidos para los casos anteriores, se debe realizar la correspondiente interpolación para la zapata de 6m x 2m en análisis. Interpolando valores:

49

Problemas resueltos de mecánica de suelos  4,465  4,025  S i  4,025   (2)   4,123mm 9   2 2° estrato  S i  (0,709)   0,158mm 9 El asentamiento total en las arenas es la sumatoria de los asentamientos en los dos estratos de arena, será: Si arenas = 4,28 mm 1° estrato 

Cálculo de asentamientos en la arcilla: La arcilla se encuentra a una profundidad de 5 m. y tiene un espesor de 3 m., en consecuencia el incremento promedio en el estrato se calcula de la siguiente manera:

pt (5m) = 49,60 pm (6,5m) = 29,03 pb (8m) = 18,53 pt  4pm  pb  30,707 6

pav 

Po=(5)(20) + (1,5)(19) – (6,5)(9,8)=64,8kN/m2

Soed 

S oed 

Cs H P C H P  Pav log c  c log o 1  eo Po 1  eo Pc

(0,03)(3) 85 (0,2)(3)  64,8  30,707  log  log   23,41mm 1  0,75 64,8 1  0,75  85 

En arcillas sobre consolidadas: St = Soed Finalmente, el asentamiento total en los estratos se obtiene de la sumatoria de los asentamientos correspondientes a la arena y la arcilla. ST = 23,41+ 4,28=27,70 mm b) Determinar el tiempo que toma para que se de el 50% del asentamiento total. El asentamiento total para un tiempo dado, estará en función del grado de consolidación que la arcilla haya alcanzado. St (t) = Si Arcilla + Si arena +Sc Arcilla (U%) Además sabemos que la arcilla tiene un 50% de asentamiento inmediato, por lo tanto el 50% restante será una sentamiento por consolidación. Sc Arcilla = 0,5(St arcilla) y Si Arcilla = 0,5(St_arcilla) 50

Capítulo 9 Asentamientos

Combinando las anteriores igualdades, para un tiempo cero: St (0) = Si = 0,5 St_arcilla +Si arena + 0,5 Soed (0) = 0,5 St_arcilla + Si arena Como: 0,5 St_arcilla + Si arena > Sc Arcilla = 0,5 St_arcilla Deducidos que el asentamiento inmediato supera el 50%.

51

Problemas resueltos de mecánica de suelos

PROBLEMA 8 A continuación se presentan los resultados de un ensayo de consolidación practicados en una muestra obtenida en la parte media del estrato de arcilla mostrado en la Figura 9.9. Peso seco del espécimen = 116,74 g Altura del espécimen al inicio del ensayo = 25,4 mm Diámetro del espécimen = 63,5 mm Gs = 2,72

0,00

Altura final de la muestra al final de la consolidación, mm 25,400

47,88

25,189

95,76

25,004

191,52

24,287

383,04

23,218

766,08

22,062

Presión kPa

Se pide: a) Determine la presión de preconsolidación. b) Determinar la curva de compresión en campo. c) Determinar los coeficientes de compresión y expansión. d) Calcular el tiempo que toma el estrato de arcilla el alcanzar 95% de consolidación, Asumir el valor de coeficiente de consolidación encontrado a partir de los siguientes datos: Altura del espécimen antes del ensayo: 25.4 mm Deformación de la muestra, mm 0,170 0,174 0,180 0,196 0,211 0,241 0,274 0,305 0,335 0,364 0,386 0,401 0,406 0,411 0,412

Tiempo, min 0,1 0,25 0,5 1 2 4 8 15 30 60 120 240 480 1440 1900

52

Capítulo 9 Asentamientos

8

3 Arena = 21 kN/m

4

e) En caso de que el valor del coeficiente de consolidación en el inciso d) no sea asumido, indicar la forma correcta de obtenerlo.

3

4

Arena sat= 22 kN/m3

3 Arcilla = 20 kN/m

Arena

Figura 9.11. Características de los estratos de suelo. Solución . Para poder obtener la carga de preconsolidación Casagrande sugirió un método gráfico basado en la curva e - log p obtenida en laboratorio. Por lo cual debemos encontrar, a partir de las alturas obtenidas en el ensayo de consolidación, la variación del índice de vacíos con las diferentes cargas. El cálculo del índice de vacíos se lo puede resumir de la siguiente manera: 1. Calcular la altura de sólidos, Hs, en la muestra de sólidos:

Hs 

Ws  13,55mm ( A)(Gs )( w )

donde: Ws: peso seco de la muestra. A: área de la muestra. Gs: gravedad específica de los sólidos. w: peso unitario del agua. 2. Calcular la altura inicial de vacíos, Hv: Hv = H – Hs = 11,85 mm donde H: Altura inicial de la muestra, 3. Calcular el índice de vacíos inicial, eo, de la muestra:

53

Problemas resueltos de mecánica de suelos eo 

H v 11,85   0,874 H s 13,55

4. Para el primer incremento de carga, p1, el cual provoca una deformación H1, calcular el cambio en el índice de vacíos e1:

e1 

H 1  0,0156 Hs

H1 es obtenido de la diferencia entre lecturas inicial y final para la carga. 5. Calcular el nuevo índice de vacíos, e1, después de la consolidación causada por el incremento de presión p1: e1 = e0 – e1 = 0,8586

Para la siguiente presión p2, el nuevo índice de vacíos e2, puede ser calculado como:

e2  e1 

H 2 Hs

Donde H2, es la deformación adicional causada por el incremento de presión. Siguiendo este procedimiento, se puede encontrar la variación del índice de vacíos correspondiente a las diferentes presiones a las que se somete la muestra durante el ensayo, y por lo tanto la curva e - log p. La siguiente tabla resume el cálculo efectuado para obtener la variación del índice de vacíos: Presión,

h, mm

h

e

e

0,00

25,400

-

-

0,8742

47,88

25,189

0,211

0,0156

0,8586

95,76

25,004

0,185

0,0137

0,8450

191,52

24,287

0,717

0,0529

0,7921

383,04

23,218

1,069

0,0789

0,7132

766,08

22,062

1,156

0,0853

0,6279

kPa

54

Capítulo 9 Asentamientos Obtenida la curva de laboratorio e - log p, pasamos a desarrollar el procedimiento sugerido por Casagrande: 1. Por simple observación, establecer un punto a, en el cual la curva e - log p tiene un radio de curvatura mínimo. 2. A partir de este punto trazar una línea horizontal ab. 3. Dibujar una línea ac tangente a la curva en el punto a. 4. Dibujar la línea ad, la cual es bisectriz del ángulo bac. 5. Proyectar la parte recta gh de la curva hacia atrás hasta intersecar a la línea ad en el punto f. La abscisa del punto f es la carga de preconsolidación, pc.

0.9

a

b

0.85

f d

Indice de vacíos

0.8

g c

0.75

0.7

0.65 h 0.6 10

100

pc

1000

Presión, kPa

En el anterior gráfico podemos apreciar la carga de preconsolidación, en aproximadamente 138 kPa.

55

Problemas resueltos de mecánica de suelos b) El procedimiento para determinar la curva de compresión en campo depende de si el estrato se encuentra sobre consolidado o no, por lo tanto debemos verificar en que estado se encuentra nuestro estrato: po = 4(21) + 4(22 – 9,81) + 2(20– 9,81) = 153,14 kPa Se puede ver claramente que la carga po, a la que está sometida la parte central del estrato es mayor a la carga de preconsolidación, cosa que teóricamente es imposible, por lo cual debemos asumir que se trata de una arcilla normalmente consolidada. El procedimiento que se sigue en arcillas normalmente consolidadas es el siguiente: - Determinar la carga de preconsolidación pc = po, Conociendo esta dibujar una línea vertical ab. - Calcular el índice de vacíos en campo, eo, Dibujar la línea horizontal cd. - Calcular 0,4eo y dibujar la línea horizontal ef, ( Nota: f es el punto de intersección de la línea con la curva, o con la proyección lineal de esta,) -

Unir los puntos f y g, Note que g es el punto de intersección de las líneas ab y cd. Esta es la curva de compresión virgen.

0.9000

g

a

eo = 0.8742 c

d

0.8000

Indice de vacíos

0.7000

0.6000

0.5000

f 0.4000

e

0.4eo = 0.35 b 0.3000 10.00

100.00

153.14

1000.00

10000.00

Presión, kPa

56

Capítulo 9 Asentamientos c) Como nuestra arcilla es normalmente consolidada, solo contamos con un coeficiente de compresión, y no así con uno de expansión. Por otra parte, conocemos 2 puntos que pertenecen a la curva virgen de consolidación, el punto (eo, po) y el punto de intersección de la proyección de la curva e - log p con la línea horizontal 0,4eo, Tomando estos puntos para definir el coeficiente de compresión tenemos:

e 0,8742 0,35  log po  p   log p o log7200  log153,14

Cc 

cc = 0,313

d) Para calcular el coeficiente de consolidación se dispone de varios métodos, de los cuales tomaremos el método del logaritmo del tiempo, el cual indica los siguientes pasos: Extender las porciones rectas de las consolidaciones primaria y secundaria hasta intersecarlas en A. La ordenada de A es representada por d100 - que es, la deformación en el fin de 100% de consolidación primaria. Elegir dos tiempos t1 y t2, sobre la porción de la curva inicial tal que t2 = 4t1. De la gráfica se eligen: t2 = 4, t1 =1. Sea la diferencia de la deformación de la muestra durante el tiempo (t2 – t1) igual a x = 0,045. Trazar una línea horizontal DE tal que la distancia vertical BD sea igual a x = 0,045, La deformación correspondiente a la línea DE es do ( que es, la deformación en 0% de consolidación). La ordenada del punto F sobre la curva de consolidación representa la deformación a 50% de consolidación, y su abscisa representa el correspondiente tiempo (t50). Para un 50% de grado de consolidación Tv = 0,197, entonces:

T50 

cv t50 H 2 dr

ó

cv 

0,197H 2 dr t50

 (2,54  0,0412)  (0,197)  2    (8)(60)

2

cv = 6,41(10–4) cm2/s

57

Problemas resueltos de mecánica de suelos donde Hdr = distancia de drenaje promedio más larga durante la consolidación.

Figura 9.12. Gráfico deformación versus tiempo. Obtenido ya el valor del coeficiente de consolidación, podemos hallar el tiempo para un 95 % de consolidación de la siguiente manera:

T95 

cv t95 H 2 dr

t95 

H 2 dr T95 cv

de donde:

para un 95% de consolidación el factor T95 correspondiente es 1,129, por lo tanto: 2

 400    (1,129) 2   t95  (6,41)(10) 4 t95 = 2,23 años 58

Capítulo 9 Asentamientos

e) Un buen valor de cv debe haber sido obtenido a partir de un ensayo en el que se ha sometido la muestra a un rango de cargas al cual pertenece la carga en análisis. En caso de no contar con un cv de estas características, se procede a ponderar el valor requerido en base a coeficientes obtenidos para otros rangos de cargas.

59

Problemas resueltos de mecánica de suelos

PROBLEMA 9 Para la Figura 9.10, calcular el asentamiento total en el suelo (en el centro de la fundación). P = 4000 kN 0,4m x 0,4m

0.

Arena

 = 20 kN/m 3

1.

 = 16 kN/ m 3

Posición Inicial

2.

Arena

Posición Final

0,40m

3. B = 4m x L = 4m

4.

2

E1 = 22 MN/m

Arena

2

5. 6.

E2 = 40 MN/m

LEYENDA Fundación Flexible  = Peso unitario C = Peso unitario del concreto C = 24 kN/m3 B = Ancho de la zapata L = Largo de la zapata P = Carga puntual E = Módulo de elasticidad

2

E3 = 60 MN/m

7. 8.

2

E4 = 15 MN/m

9. 2

10.

E5 = 10 MN/m

Figura 9.13. Fundación en una excavación.

60

Capítulo 9 Asentamientos Solución . P = 4000 kN 0,4m x 0,4m

B = 3m x L = 6m

0.

Arena

 = 20 kN/m 3

1.

 = 16 kN/m 3

Posición Inicial

2.

Arena

Posición Final

0.1

3.

0.2

0.4

Iz

0.6

0.260

z1 = 1

0.419

4.

0.578

z2 = 1

zp

5. 6.

z3 = 2

Arena

0.614

7. 8.

0.369

z3 = 2

9. 10.

z4 = 2

0.260

11.

z Figura 9.14. Esfuerzos bajo la fundación. Se procede a calcular los factores de influencia para una zapata cuadrada que están mostradas en la grafica

I zp  0.5  0.1

qn



' v0

 0.5  0.1

271.5  0.737 16x2  19  9.8x2

Donde qn carga neta a nivel de fundación y ’vo esfuerzo efectivo inicial A continuación se calcula los factores por corrección que son los siguientes,

C1  1  0.5

 v' 0 qn

 0.5  1  0.5

16x 2  18  9.8x1  0.926 271.5

C2  1

C3  1.03  0.03

L  1.00 B

61

Problemas resueltos de mecánica de suelos Entonces la ecuación de asentamiento inmediato es el siguiente;

Si  C1C2C3qn



I z z E

Reemplazando valores calculados se tiene;

 0.26x1 0.578x1 0.614x 2 0.369x 2 0.123x 2  Si  0.926x1x1x 271.5 x      40 60 15 10   22

Si  0.926x271.5x0.121 Si  30 mm

62

Capítulo 9 Asentamientos PROBLEMA 10 Para la Figura 9.11, se pide calcular: a) Carga neta b) Incremento de esfuerzos en el centro de la fundación, en función de la profundidad c) Asentamiento total en el centro de la fundación. d) Tiempo de consolidación total

LEYENDA P = 2900 kN 0,35m x 0,35m

0. 1.

Arcilla  = 18 kN/ m 3

2.

0,40m

3. B = 3m x L = 6m

4. 5.

cu = 59 kPa c' = 5 kPa '= 30º

pc = 108 kPa eo = 0,8 cc = 0,23 cs = 0,08

6. 7.

Fundación Flexible P = Carga rápida  = Peso unitario C = Peso unitario del concreto C = 24 kN/m3 Pc = Presión de pre-consolidación Pc = Igual en todo el estrato B = Ancho de la zapata L = Largo de la zapata E = Módulo de elasticidad Presión 0-5 25-50 50-100 100-200 200-400 400-800

Cv ( m^2/s) 5,0*10-9 6,0*10-8 9,9*10-7 8,1*10-8 7,9*10-8 7,5*10-7

8. 9.

Estrato incompresible, impermeble y rugoso

Figura 9.10

Figura 9.15. Dimensiones de la fundación.

63

Problemas resueltos de mecánica de suelos Solución . P = 2900 kN 0,35m x 0,35m

0. 1.

Arcilla 3 20 kN/ KN/m m3  = 18

2.

0,40m

3. B = 3m x L = 6m

4.

pc = 108 kPa eo = 0,8 cc = 0,23 cs = 0,08

cu = 59 kPa c' = 5 kPa '= 30º

5. 6. 7. 8.

Estrato incompresible, impermeble y rugoso

9.

a) Carga neta

Como el nivel freático no varia, entonces la carga neta es, qn  q '  q0'  q  q0



q

F A

f



  0 en este caso

; q0  xD  20x3  60 KPa

 F  2900 24x(3x6 x0.4  0.35x0.35x2.6)  20x(3x6  0.35x0.35) x 2.6  4010.07 KPa

 KN  q  222.78  3  m  qn  162.79 KPa

64

Capítulo 9 Asentamientos b) Incremento de esfuerzo Opción 1 Boussinesq que asume las siguientes hipótesis del suelo P = 2900 kN

Hipótesis: Estrato de suelo Semi infinito Homogéneo Isotropito

0,35m x 0,35m

0. 1.

Arcilla  = 20 kN/ m 3

2.

50 100 150 200 162.78

3. 4.

P [KPa]

Nota: No cumple especialmente con la Hipótesis de espacio semi infinito

148.60 cu = 59 kPa c' = 5 kPa '= 30º

5.

110.75

93.17

6.

78.25

7.

55.87 40.98

8.

z [m]

9.

Figura 9.16. Incremento de esfuerzos verticales. Opción 2 Milovic & Tournier (Base rígida rugosa) Utilizando esta opción se considera un estrato finito. Se procede a calcular el incremento de esfuerzos a diferentes profundidades, realizando interpolaciones para, H1 = 5 m

;

B=3m

;

L/B = 6/3 = 2 ;

H1/B = 5/3 = 1.667

A 1m

H1 1 ; B H1 2 ; B H1  1.667 B

 z z  0.333   0.942 B qs  z z  0.333   0.906 B qs  z   0.918 qs

 P  0.918x162.78  149.43 KPa

65

Problemas resueltos de mecánica de suelos H1 5   1.667 B 3 z 1   0.333 B 3 L 6   2.00 B 3

A 2m

H1 5   1.667 B 3 z 2   0.667 B 3 L 6   2.00 B 3

A 3m

H1 5   1.667 B 3 z 3   1.00 B 3 L 6   2.00 B 3

A 4m

H1 5   1.667 B 3 z 4   1.333 B 3 L 6   2.00 B 3

H1 1 B

;

 z z  0.667   0.796 B qs  z z

H1 2 ;  0.667   0.706 B B qs H1  z  1.667   0.736 B qs  P  0.736x162.78  119.81KPa

H1 1 B

;

 z z  1.00   0.638 B qs

H1  z z 2 ;  1.00   0.530 B B qs H1  z  1.667   0.566 B qs  P  92.13 KPa

H1  z z 1 ;  1.333   0.478 B B qs H1  z z 2 ;  1.333   0.407 B B qs H1  z  1.667   0.431 B qs  P  70.16 KPa

66

Capítulo 9 Asentamientos A 5m

H1 5   1.667 B 3 z 5   1.667 B 3 L 6   2.00 B 3

H1  z z 1 ;  1.667   0.318 B B qs H1  z z 2 ;  1.667   0.328 B B qs H1  z  1.667   0.321 B qs

 P  52.25 KPa A continuación se calcula el incremento de esfuerzos promedio

P = 2900 kN 0,35m x 0,35m

Pav 

0. 1.

Arcilla

50 100 150 200 162.78

3. 4. 5.

149.43 cu = 59 kPa c' = 5 kPa '= 30º

119.81

6. 7. 8. 9.

Pav  106.55 KPa

 = 20 kN/ m 3

2.

90.13 70.16

162.78  4 x106  52.52 6

106

P [KPa]

Hipótesis:  = 0.3 Se puede interpolar y extrapolar. Considerando que el rango del coeficiente de poisson para una arcilla está entre 0.2 y 0.4 entonces se puede utilizar 0.3, que es un valor razonable. Por lo tanto la opción 2 es la más adecuada

52.52 z [m]

Figura 9.17. Incremento de esfuerzos bajo la zapata. c) Asentamiento Total Para calcular el asentamiento en el estrato de arcilla se tiene que calcular el índice de vacíos que corresponde al punto medio del estrato.

67

Problemas resueltos de mecánica de suelos

e Cs

e1 eo ec

Cc

p1

pc

p0

log '

Figura 9.18. Trayectoria e versus log ´. Entonces de la grafica e vs. log’ para una arcilla sobre consolidada se puede observar que utilizando la ecuación de la pendiente cs (índice de expansión), se calcula el nuevo índice de vacíos a la profundidad que deseamos . Esfuerzo efectivo inicial a la profundad que se estrajo la muestra

p1  4 x20  9.8  40.8

KPa

El esfuerzo efectivo inicial en la parte central del estrato de arcilla

p0  5.5x20  9.8  26.1

KPa

La ecuación de la pendiente cs (índice de expansión) es,

cs 

e1  e0 p  log 0   p1 

Despejando índice de vacíos inicial se tiene,

p   e0  e1  cs log 0   p1  68

Capítulo 9 Asentamientos Reemplazando valores se obtiene;

 56.1  e0  0.800  0.08x log   40.8  e0  0.789  Arcilla S.C

p0  pc

Como se trata de una arcilla sobre consolidada se tiene que sumar el incremento de esfuerzo efectivo promedio para saber que ecuación utilizar.

p0  p  56.1  106.55  162.65

KPa

La ecuación para calcular asentamiento de consolidación del edometro es:

 S oed 

cs H p cH p  p log c  c log 0 1  e0 p0 1  e0 pc

Reemplazando valores se tiene;

Soed 

3 0.08x5x103 56.1  106.55  108  0.23x5x10 log log  1.789 1.789 108  56.1 

Soed  63.6  114.3  177.9 Para calcular el asentamiento total se debe utilizar el criterio de burland que dice. Para una arcilla sobre consolidada el asentamiento total es igual al asentamiento del edometro, entonces se tiene; Arcilla rígida  ST  Soed  178

mm

Nota: Si alguien supone que la arcilla es blanda

 ST  1.1x177.9  196

mm , lo cual es también correcto

d) Tiempo de consolidación 0

50

100

200 162.78

0. 1. 2. Hdr=5 m

 rp 

3.

162.78  3.10 52.52

4. 5.

52.52

U  100 %  Tv  1.2

Figura 9.19. Tiempo de consolidación 69

Problemas resueltos de mecánica de suelos Incremento de esfuerzo de 56.1 a 162.65 Los coeficientes de consolidación están ubicados en dos rangos

 cv50100  9.9 x107

2  m2  8  m    ; cv100 200  8.1x10    seg   seg 

Obteniendo la media ponderada, se pude obtener un coeficiente de consolidación aceptable









62.65  43.9  cv   9.9 x107  8.1x108  106 . 55 106 . 55  

cv  4.555x107

 m2     seg 

Despejando tiempo de consolidación se tiene; ct T H2 Tv  v2  t  v dr cv H dr Reemplazando valores se tiene.

t

1.2 x52  65861690 seg 4.555x107

t  18294.9

hr

t  762

días

t  2.09

años

70

Capítulo 9 Asentamientos

PROBLEMA 11 Demostrar la ecuación de la teoría de consolidación de Terzagui.

u  2u  cv 2 t z Donde: u = exceso de presión de poros causado por el incremento de esfuerzos, t = tiempo, cv = coeficiente de consolidación, z = distancia de la parte superior del estrato al punto en consideración.

Solución .

En un perfil de suelo se considera un elemento diferencial en el punto A : Arena

A

Arcilla

En donde se tiene el caudal de entrada y salida en el elemento diferencial v   Q f   v z  z dz dxdy  z  

dz

Arena

Figura 9.20. Característica del perfil de suelo.

dy dx v z dxdy  Qi Figura 9.21. Elemento diferencial.

El cambio del caudal está definido a continuación como la razón entre el cambio de volumen y el cambio del tiempo en la dirección del eje z.

Q 

V t

El caudal también puede ser definido como el producto de la velocidad por el área, entonces tenemos;ç

v V    vz  z dz dxdy  vz dxdy  z  t  71

Problemas resueltos de mecánica de suelos

Donde: Área en la dirección z; A  dxdy Velocidad de entrada del flujo en la dirección z; v z Velocidad de salida del flujo en la dirección z; v z 

v z dz z

Realizando operaciones aritméticas se tiene la siguiente expresión;

vz dxdy 

vz V dzdx dy  vz dxdy  z t

Simplificando la expresión se tiene lo siguiente;

v z V dxdydz  z t

(1)

La ley de Darcy dice que la velocidad ( v ) es igual al producto de el gradiente hidráulico (k) por el coeficiente de permeabilidad ( i ); v z  ki h En la base del elemento diferencial A, el gradiente hidráulico esta definido como iz  z El exceso de presión de poros ( u ) ocasionado por el incremento de esfuerzos, es igual al producto de la altura piezométrica ( h ) por el peso unitario del agua constante ( w ), despejando se tiene; h p 

u

w

v z  ki  k

vz  

, entonces desarrollando las ecuaciones se obtendrá;

h p z

k u



k u  w z (2)

 w z

Reemplazando la ecuación (2) en (1), y despejando se obtiene

(2) en (1)



k  2u 1 V  2  w z dxdydz t

(3)

Durante la consolidación, la razón de cambio de volumen del elemento del suelo es igual a la razón de cambio en el volumen de vacíos

V Vv  t t

72

Capítulo 9 Asentamientos Además se sabe que el volumen total es igual a la sumatoria del volumen de sólidos del suelo y el volumen de vacíos V  Vs  Vv El índice de vacíos esta definido como la razón de el volumen de vacíos y el volumen de

Vv , despejando se tiene Vv  eVs Vs

sólidos del suelo e 

Reemplazando y realizando operaciones aritméticas se tiene,

V V Vv Vs  eVs  Vs e     Vs e s t t t t t t

(4)

Suponiendo que los sólidos del suelo son incompresibles, Se asume

Vs 0 t

(5)

Además el volumen ( V )del elemento diferencial A es igual a dx dy dz y el volumen de sólidos ( Vs) es igual a

Vs 

V reemplazando se tiene; 1  e0

V dxdydz  1  e0 1  e0

(6)

La ecuación (5) y (6) se reemplaza en (4) para obtener la siguiente expresión;

V dxdydz e  t 1  e0 t

(7)

Se define

av 

e p'

El cambio de la relación de vacíos es causado por el incremento en el esfuerzo efectivo (es decir, el incremento de la presión de poro del agua en exceso). Suponiendo que esos valores están linealmente relacionados, se tiene

como p  u 

 

e  av   '  av u

(8)

donde

 

  ' = cambio de presión efectiva

a v = Coeficiente de compresibilidad ( a v se considera constante para un rango estrecho de

incremento de la presión) 73

Problemas resueltos de mecánica de suelos Combinando las ecuaciones (8) y (7) se tiene



a u k  2u  v 2  w z 1  e0 t

(9)

Se define:

mv  donde

av 1  e0

(10)

mv = Coeficiente de compresibilidad del volumen

Reemplazando la ecuación (10) en (9) se tiene



k  2u u  mv 2  w z t

(11)

Se define el coeficiente de consolidación como:

cv 

k  w mv

(12)

Entonces combinando las ecuaciones (12) en (11) se obtendrá la ecuación diferencial básica de la teoría de consolidación de Terzaghi

u  2u  cv 2 t z Esta ecuación se puede resolver con las siguientes condiciones de borde:

z 0,

u0

z  2 H dr ,

u0

t 0,

u  u0

74

Capítulo 9 Asentamientos PROBLEMA 12 Demostrar la siguiente ecuación:

S

cs H p cH p  p log c  c log o 1  e0 p0 1  e0 pc

Donde Sc = asentamiento de consolidación a partir del ensayo del edómetro, Cs = coeficiente de expansión, eo = índice de vacíos inicial, pc = presión de preconsolidación, po =presión efectiva antes de la carga, H = espesor del estrato, ppr = incremento de carga promedio en el estrato Solución Se considera un estrato de arcilla saturada de espesor H y área de la sección transversal A bajo una presión de sobrecarga efectiva promedio. Debido a un incremento de presión , sea el asentamiento primario igual a S. Al final de la consolidación,  = ’. Entonces. El cambio de volumen es

Figura 9.22. Variación del volumen en el asentamiento.

V  V0  V1  H A  H  S A  S A

1

Donde V0 y V1 son los volúmenes inicial y final, respectivamente. Sin embargo, el cambio en el volumen total es igual al cambio en el volumen de vacíos Vv. por lo tanto el cambio de volumen solo se da en los vacíos. Entonces,

V  Vv

2

V  S A  Vv 0  Vv1  Vv 75

Problemas resueltos de mecánica de suelos

Donde Vv0 y Vv1 son los volúmenes de vacíos inicial y final, respectivamente. De la definición de relación de índice de vacíos. Despejando se tiene

e

Vv Vs

 e 

Vv Vs

3

 Vv  eVs

Además:

e0 

Vv 0 V0  Vs V0   1 Vs Vs Vs

Donde e0 es la relación de vacíos inicial en el volumen V0, despejando volumen de sólidos se tiene

 e0  1 

V0 Vs

 Vs 

V0 1  e0

4

Entonces reemplazando la ecuación (4) en (3) y (2) en (1), se obtiene

e

V0 SA 1  e0

Despajando asentamiento se tiene

e H 1  e0 H = Altura inicial del estrato a comprimirse  S

5

En las arcillas sobre consolidadas, para ’0 + ’ ’c la variación de índice de vacíos y logaritmo de esfuerzo efectivo e-log(’) esta definida por dos pendientes. La pendiente de la curva de expansión cs se denomina índice de expansión, por lo que se tiene

e  cs log pc  log p0  Desarrollando y despejando índice de expansión

cs 

e e e1  0 c pc p log log c po p0

76

Capítulo 9 Asentamientos

e

 ec  e0  cs log

Cs eo e1

ec

cc  Cc

e2

 log 

6

pc p0

ec  e f e2   p  p  p0  p   log 0  pc   pc 

 p  p    ec  e f  cc log 0  pc 

ef

pc

p0

7

log '

p0 + p

Figura 9.23. Curva de e versus log ´. Donde pc es la pre consolidación y p0 es el esfuerzo efectivo inicial. Igualando la ecuación (6) = (7) entonces se obtiene

e0  cs log

 p  p  pc   e f  cc log 0 p0  pc 

Entonces el incremento de índice de vacíos es e,

e  e0  e f  cs log

 p  p  pc   cc log 0 po  pc 

8

Reemplazando la ecuación (8) en (5), se obtiene,

 S

e H H 1  e0 1  e0

  p0  p  pc  cs log  cc log p0   pc 

Por lo tanto la ecuación es:

S

cs H p cH p  p log c  c log o 1  e0 p0 1  e0 pc

77