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<1 n=1 n>1

Maior Montante Regime de capitalização simples Valores iguais Regime de capitalização composto

Convenção Linear e Convenção Exponencial

Um problema que pode ocorrer no cálculo de juros compostos é o período a ser calculado não ser um número inteiro. Exemplo: Calcular o montante de uma aplicação de R$ 1.000,00, a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês, por um período de 3 meses e meio. Como resolveríamos este problema? M = C.(1 + i)n M = 1000.(1 + 0,05)3,5

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M = 1000.(1,05)3,5 Como calcular (1,05)3,5 na “munheca”? Bom, nessas situações nós temos duas opções: Ou a questão informa o valor de (1,05)3,5 e nós realizamos o cálculo normalmente, ou utilizamos a convenção linear para encontrar um valor aproximado. Para utilizar a convenção linear, nós fazemos o seguinte: •

1ª Etapa: Separamos a parte inteira do período e a utilizamos para calcular os juros compostos

•

2ª Etapa: Utilizamos o montante obtido na primeira etapa e aplicamos a juros simples na mesma taxa pelo período correspondente à parte fracionária do período original.

Vamos ver como seria no nosso exemplo: 1ª Etapa M1 = C.(1 + i)n’ M1 = 1000.(1 + 0,05)3 M1 = 1000.(1,05)3 M1 = 1000.(1,157625) M1 = 1157,625 2ª Etapa M2 = M1.(1 + i.n’’) M2 = 1157,625.(1 + 0,05.0,5) M2 = 1157,625.(1 + 0,025) M2 = 1157,625.(1,025) M2 = 1186,565625 Bom, de teoria é isso. Vamos agora às questões!!! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 01 - (TRE/PI – 2002 / FCC) Um capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros simples, à taxa mensal de 3%, por um prazo de 1 ano e 3 meses, produzirá um montante no valor de (A) R$ 7.225,00 (B) R$ 7.250,00 (C) R$ 7.320,00 (D) R$ 7.500,00 (E) R$ 7.550,00 Solução: Nessa questão, vamos direto à equação do montante para juros simples: C = R$ 5.000,00 Taxa de juros simples = 3% ao mês Período = 1 ano e 3 meses = 12 meses + 3 meses = 15 meses Montante = ? M = C.(1 + i.n) M = 5000.(1 + 0,03.15) M = 5000.(1 + 0,45) M = 5000.(1,45) M = R$ 7.250,00 Resposta letra B.

02 - (BB – 2006 / FCC) Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes opções: I. R$ 5.000,00, à vista sem desconto. II. R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4.500,00 em 1 (um) mês após a data da compra. A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de (A) 30% (B) 25% (C) 20% (D) 15% (E) 12,5%

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Solução: Nessa questão, devemos entender que na segunda opção, o capital no qual irá incidir o juros é de apenas R$ 4.000,00, já que o comprador irá pagar R$ 1.000,00 de entrada. Assim, temos: C = R$ 4.000,00 Período = 1 mês Taxa de juros = ? Montante = R$ 4.500,00 Assim, temos: M = C.(1 + i.n) 4500 = 4000.(1 + i.1) 4500 = 4000 + 4000.i 4000.i = 4500 – 4000 4000.i = 500 i=

500 4000

i = 0,125 = 12,5%

Resposta letra E.

03 - (BB – 2010 / FCC) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a (A) R$ 17.853,75. (B) R$ 17.192,50. (C) R$ 16.531,25. (D) R$ 15.870,00. (E) R$ 15.606,50. Solução: Agora, primeiro nós vamos encontrar qual o capital aplicado e depois calcularemos o montante obtido na aplicação a juros compostos. Assim, temos: C=?

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Taxa de juros simples = 15% ao ano =

15% ao mês = 1,25% ao mês 12

Período = 8 meses Montante = R$ 13.200,00 Utilizando a equação do montante, temos: M = C.(1 + i.n) 13200 = C.(1 + 0,0125.8) 13200 = C.(1 + 0,1) 13200 = C.(1,1) C=

13200 1,1

C = R$ 12.000,00 Agora, vamos calcular quanto será o montante da aplicação destes R$ 12.000,00 a 15% ao ano de juros compostos por dois anos: C = R$ 12.000,00 Taxa de juros compostos = 15% ao ano Período = 2 anos Montante = ? M = C.(1 + i)n M = 12000.(1 + 0,15)2 M = 12000.(1,15)2 M = 12000.(1,3225) M = R$ 15.870,00

Resposta letra D.

04 - (BB – 2011 / FCC) Um capital de R$ 10.500,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11.725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? (A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias. Solução: Nessa questão, temos o seguinte: C = R$ 10.500,00 Taxa de juros simples = 42% ao ano =

42 % ao mês = 3,5% ao mês 12

Período = ? Montante = R$ 11.725,00 Assim, temos: M = C.(1 + i.n) 11725 = 10500.(1 + 0,035.n) 11725 = 10500 + 367,5.n 367,5.n = 11725 – 10500 367,5.n = 1225 n=

1225 367,5

n = 3,333... meses = 3 meses e 10 dias

Resposta letra C.

05 - (CEF – 2000 / FCC) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão (A) R$ 98,00 (B) R$ 101,00 (C) R$ 110,00 (D) R$ 114,00 (E) R$ 121,00 Solução: Nessa questão, temos: C = R$ 2.500,00

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M1 = C1.(1 + i)n1 M1 = 2000.(1 + 0,1)2 M1 = 2000.(1,1)2 M1 = 2000.(1,21) M1 = R$ 2.420,00 2ª Aplicação: C2 = R$ 3.000,00 Taxa de juros compostos = 10% ao trimestre Período2 = 1 trimestre Montante2 = ? M2 = C2.(1 + i)n2 M2 = 3000.(1 + 0,1)1 M2 = 3000.(1,1) M2 = R$ 3.300,00 Por fim, encontramos o montante final: Mfinal = M1 + M2 Mfinal = 2420 + 3300 Mfinal = R$ 5.720,00

Resposta letra E.

07 - (DNOCS – 2010 / FCC) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano, seria de (A) R$ 15.000,00. (B) R$ 15.500,00. (C) R$ 16.000,00. (D) R$ 17.360,00. (E) R$ 18.000,00.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 08 - (MPE/RS – 2008 / FCC) Se uma dívida, contraída a juros compostos e a uma taxa fixa, aumentou 125% em 2 anos, a taxa anual de juros cobrada foi de (A) 25% (B) 27,5% (C) 45% (D) 47,5% (E) 50% Solução: Nessa questão, temos o seguinte: Capital = C Taxa de juros compostos = ? Período = 2 anos Montante = C + 125% de C = C + 1,25.C = 2,25.C Assim, temos: M = C.(1 + i)n 2,25.C = C.(1 + i)2 2,25 = (1 + i)2 1 + i = 2,25 1 + i = 1,5 i = 1,5 – 1 i = 0,5 = 50% ao ano

Resposta letra E.

09 - (MPE/RS – 2010 / FCC) O extrato de uma aplicação financeira capitalizada anualmente no sistema de juros compostos é dado na tabela abaixo. Data 01/01/2008 01/01/2009 01/01/2010

Saldo (R$) 20.000,00 ????? 28.800,00

No período considerado, não houve depósitos nem retiradas. Se as taxas de juros referentes aos períodos de 01/01/2008 a 01/01/2009 e de 01/01/2009 a

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 01/01/2010 foram iguais, então o saldo da aplicação, em reais, em 01/01/2009 era de (A) 25.000,00. (B) 24.800,00. (C) 24.400,00. (D) 24.200,00. (E) 24.000,00. Solução: Nessa questão, primeiro vamos encontrar a taxa de juros nos dois anos de aplicação e em seguida o montante após o primeiro período. Assim: Capital = R$ 20.000,00 Taxa de juros compostos = ? Período = 2 anos Montante = R$ 28.800,00 Assim, temos: M = C.(1 + i)n 28800 = 20000.(1 + i)2 (1 + i)2 =

28800 20000

(1 + i)2 = 1,44 (1 + i) =

1,44

1 + i = 1,2 i = 1,2 – 1 i = 0,2 = 20% ao ano Agora, vamos encontrar o montante após o primeiro ano de aplicação: Capital = R$ 20.000,00 Taxa de juros compostos = 20% ao ano Período = 1 ano Montante = ? Assim, temos: M = C.(1 + i)n

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M = 20000.(1 + 0,2)1 M = 20000.(1,2) M = R$ 24.000,00

Resposta letra E.

10 - (ISS/SP – 2007 / FCC) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que: − daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto do prazo; − daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras. Nessas condições, o valor de C é igual a (A) R$ 3.654,00 (B) R$ 3.648,00 (C) R$ 3.640,00 (D) R$ 3.620,00 (E) R$ 3.600,00 Solução: Nessa questão, fica mais fácil começar pelo final. Primeiro, vamos encontrar o valor que aplicado nos últimos 2 meses resulta num montante de R$ 2.382,88. Assim: Capital = C2 Taxa de juros simples = 3,0% ao mês Período = 2 meses Montante = R$ 2.382,88 Assim, M = C.(1 + i.n) 2382,88 = C2.(1 + 0,03.2) 2382,88 = C2.(1 + 0,06) 2382,88 = C2.(1,06)

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Vamos começar calculando o capital empregado na segunda aplicação: C = C2 Taxa de juros simples = 1,5% ao mês Período = 12 meses Montante = R$ 28.933,60 Assim, temos: M = C.(1 + i.n) 28933,6 = C2.(1 + 0,015.12) 28933,6 = C2.(1 + 0,18) 28933,6 = C2.(1,18) C2 =

28933,6 1,18

C2 = R$ 24.520,00 Agora, vamos calcular o capital empregado na primeira aplicação: C = C1 Taxa de juros simples = 12% ao ano =

12% ao mês = 1% ao mês 12

Período = 6 meses Montante = R$ 20.000,00 + R$ 24.520,00 = R$ 44.520,00 Com isso, temos: M = C.(1 + i.n) 44520 = C1.(1 + 0,01.6) 44520 = C1.(1 + 0,06) 44520 = C1.(1,06) C1 =

44520 1,06

C1 = R$ 42.000,00 Agora, vamos calcular o juros total obtido nas duas aplicações. Vamos por partes:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Assim, temos: M = C.(1 + i.n) M = 18000.(1 + 0,015.8) M = 18000.(1 + 0,12) M = 18000.(1,12) M = R$ 20.160,00 Agora, vamos calcular o montante após a segunda aplicação: C = R$ 20.160,00 Taxa de juros compostos = 5% ao semestre Período = 2 semestres Montante = ? M = C.(1 + i)n M = 20160.(1 + 0,05)2 M = 20160.(1,05)2 M = 20160.(1,1025) M = R$ 22.226,40 Agora, vamos calcular o juros de cada aplicação:

1ª aplicação: J1 = M1 – C1 J1 = 20160 – 18000 J1 = R$ 2.160,00

2ª aplicação: J2 = M2 – C2 J2 = 22226,40 – 20160 J2 = R$ 2.066,40 Por fim, encontramos o juros total:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Jt = J1 + J2 Jt = 2160 + 2066,4 Jt = R$ 4.226,40

Resposta letra D.

13 - (TRE/BA – 2003 / FCC) Para que ao final de 25 meses da aplicação um 4 capital produza juros simples iguais a de seu valor, ele deve ser investido 5 à taxa mensal de (A) 2,6% (B) 2,8% (C) 3,2% (D) 3,6% (E) 3,8% Solução: Nessa questão, vamos utilizar diretamente a equação do juros simples: Capital = C 4.C Juros = 5 Taxa de juros simples = ? Período = 25 meses J = C.i.n 4.C = C.i.25 5 4.C = 5.C.i.25 125.i = 4 i=

4 125

i = 0,032 = 3,2% ao mês

Resposta letra C.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 14 - (TRF 5ª Região – 2008 / FCC) Um técnico judiciário aplicou R$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, à taxa anual de 30%. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Dos valores abaixo, o que mais se aproxima do montante obtido na segunda aplicação é (A) R$ 333,00 (B) R$ 326,22 (C) R$ 334,18 (D) R$ 324,00 (E) R$ 315,00 Solução: Vamos começar calculando o montante obtido na primeira aplicação: C = R$ 300,00 Taxa de juros simples = 30% ao ano =

30% ao bimestre = 5% ao bimestre 6

Período = 1 bimestre Montante = ? Assim: M = C.(1 + i.n) M = 300.(1 + 0,05.1) M = 300.(1 + 0,05) M = 300.(1,05) M = R$ 315,00 Agora, podemos encontrar o montante obtido ao final da segunda aplicação: C = R$ 315,00 Taxa de juros compostos = 3% ao mês Período = 2 meses Montante = ? M = C.(1 + i)n M = 315.(1 + 0,03)2 M = 315.(1,03)2 M = 315.(1,0609)

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 16 - (TRT 8ª Região – 2001 / FCC) Ao fazer uma compra que totalizou R$ 50,00, João foi informado que poderia pagá-la com cheque pré-datado de 30 dias com juros simples de 4,2% ao mês. Caso aceite esta proposta, qual o valor do cheque que João á? (A) R$ 52,10 (B) R$ 54,20 (C) R$ 56,30 (D) R$ 58,50 (E) R$ 60,40 Solução: Nessa questão, para saber o valor do cheque devemos calcular o montante da aplicação do valor à vista com juros de 4,2% ao mês durante 1 mês. Vejamos: C = R$ 50,00 Taxa de juros simples = 4,2% ao mês Período = 1 mês Montante = ? Assim: M = C.(1 + i.n) M = 50.(1 + 0,042.1) M = 50.(1 + 0,042) M = 50.(1,042) M = R$ 52,10

Resposta letra A.

17 - (TRT 15ª Região – 2009 / FCC) Romualdo recebeu R$ 15.000,00, referentes a uma indenização trabalhista. Dessa quantia, retirou 20% para o pagamento dos honorários de seu advogado e o restante aplicou em um investimento a juros simples, à taxa anual de 18,75%. Quantos meses Romualdo deverá esperar até que possa retirar R$ 15.000,00 dessa aplicação? (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Solução: Nessa questão, temos: C = 80% de R$ 15.000,00 = 0,8 x 15000 = R$ 12.000,00 18,75% Taxa de juros simples = 18,75% ao ano = ao mês = 1,5625% ao mês 12 Período = ? Montante = R$ 15.000,00 Assim, temos: M = C.(1 + i.n) 15000 = 12000.(1 + 0,015625.n) 15000 = 12000 + 187,5.n 187,5.n = 15000 – 12000 187,5.n = 3000 n=

3000 187,5

n = 16 meses

Resposta letra A.

18 - (TRT 22ª Região – 2004 / FCC) Num mesmo dia, são aplicados a juros 2 simples: de um capital a 2,5% ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se, 5 decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era (A) R$ 12.500,00 (B) R$ 12.750,00 (C) R$ 14.000,00 (D) R$ 14.500,00 (E) R$ 14.750,00 Solução: Nessa questão, temos duas aplicações a juros simples, em que o juros resultante das duas aplicações é R$ 7.600,00. Assim, vamos calcular o juros de cada aplicação e depois somá-los e igualar a R$ 7.600,00:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 1ª Aplicação 2 .C 5 Taxa de juros simples = 2,5% ao mês Período = 2 anos e 8 meses = 24 meses + 8 meses = 32 meses Juros = ?

Capital =

Assim: J = C.i.n J1 =

2 .C.0,025.32 5

J1 =

2 .C.0,8 5

J1 =0,32.C

2ª Aplicação Capital = C –

2 3 .C = .C 5 5

Taxa de juros simples = 18% ao ano =

18% ao mês = 1,5% ao mês 12

Período = 32 meses Juros = ? Assim: J = C.i.n J2 =

M2 =

3 .C.0,015.32 5 3 .C.0,48 5

M2 =0,288.C Por fim, podemos encontrar o capital aplicado inicialmente: Jfinal = J1 + J2 7600 = 0,32.C + 0,288.C

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 7600 = 0,608.C C=

7600 0,608

C = R$ 12.500,00

Resposta letra A.

19 - (TRT 24ª Região – 2003 / FCC) Um capital foi aplicado a juros simples da 1 seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao mês por um bimestre, à taxa de 5 2% ao mês por um trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era (A) R$ 5.800,00 (B) R$ 8.300,00 (C) R$ 10.000,00 (D) R$ 10.200,00 (E) R$ 10.800,00 Solução: Essa questão é parecida com a anterior, só que agora temos 3 aplicações. Vejamos:

1ª Aplicação 1 .C 2 Taxa de juros simples = 1% ao mês Período = 1 bimestre = 2 meses Juros = ?

Capital =


1 .C.0,01.2 2

J1 =

1 .C.0,02 2

J1 =0,01.C

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 2ª Aplicação 1 .C 5 Taxa de juros simples = 2% ao mês Período = 1 trimestre = 3 meses Juros = ?

Capital =


1 .C.0,02.3 5

J2 =

1 .C.0,06 5

J2 = 0,012.C

3ª Aplicação 1 1 10.C − 5.C − 2.C 3 .C – .C = = .C 2 5 10 10 Taxa de juros simples = 3% ao mês Período = 1 quadrimestre = 4 meses Juros = ?

Capital = C –


3 .C.0,03.4 10

J3 =

3 .C.0,12 10

J3 = 0,036.C

Assim, sabendo que o juros total foi de R$ 580,00, temos: Jtotal = J1 + J2 + J3 580 = 0,01.C + 0,012.C + 0,036.C

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M = R$ 843,20 Agora, vamos calcular o período necessário para que o montante chegue a R$ 1.550,00. Utilizaremos a mesma equação: M = C.(1 + i.n) 1550 = 620.(1 + 0,015.n) 1550 = 620 + 9,3.n 9,3.n = 1550 – 620 9,3.n = 930 n=

930 9,3

n = 100 meses = 8 anos e 4 meses

Resposta letra E. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 – Taxas de juros nominal, efetiva, equivalente, proporcional, real e aparente

Taxas de Juros Proporcionais Vamos começar falando em taxas proporcionais: Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seus valores são diretamente proporcionais aos respectivos tempos, considerados numa mesma unidade.

Exemplo: As taxas de juros 5% ao mês e 30% ao semestre são diretamente proporcionais, pois: 5% 30% = 1 mês 6 meses

Taxas de Juros Equivalentes Agora, vejamos o conceito de taxas de juros equivalentes:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Entretanto, é comum encontrarmos também em problemas de juros compostos expressões como “juros de 15% ao ano, capitalizados mensalmente " ou "taxa de 12% ao ano com capitalização bimestral". Em tais situações encontramos o que se convencionou chamar de taxa nominal, que é aquela cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. A taxa nominal da forma como ela é apresentada pode ser entendida com uma taxa “enganosa”, geralmente dada com período em anos, que não devemos utilizar diretamente nos cálculos de juros compostos, pois não produzem resultados corretos. Em seu lugar devemos usar uma taxa efetiva. Mas como descobrir qual a taxa efetiva que representa a taxa nominal informada numa questão? A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização.

Exemplo: Uma aplicação de R$ 10.000,00 a uma taxa nominal de juros compostos de 12% ao ano capitalizada mensalmente. Qual o valor do montante ao final de 1 ano de aplicação? M = C.(1 + i)n M = 10000.(1 +

12% )12 12 meses

M = 10000.(1 + 0,01)12 M = 10000.(1,01)12 M = 10000.(1,126825) M = 11.268,25

Agora, qual seria o valor do montante se a capitalização fosse semestral? M = C.(1 + i)n M = 10000.(1 +

12% )2 2 semestres

M = 10000.(1 + 0,06)2

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M = 10000.(1,06)2 M = 10000.(1,1236) M = 11.236,00

E qual seria o valor do montante se a capitalização fosse anual? M = C.(1 + i)n M = 10000.(1 +

12% 1 ) 1 ano

M = 10000.(1 + 0,12) M = 10000.(1,12) M = 11.200,00 Perceba que os três resultados foram diferentes. O conceito de taxas de juros efetiva e nominal só faz sentido para regimes de capitalização composto, pois quando falamos de juros simples, as taxas efetiva e nominal são sempre equivalentes. Vejamos algumas questões de prova: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

21 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Considere que um investidor dispõe de R$ 1.000,00 para aplicar no mercado financeiro e está diante de duas opções: a primeira, um investimento de dois anos, com taxa de juros de 10,5% ao ano, não capitalizados, e a segunda, um investimento de um ano, com taxa de juros de 10% ao ano. Nessa situação hipotética, se o investidor optar pelo primeiro investimento ou aplicar no segundo, reinvestindo o total recebido por mais um ano, o resultado será o mesmo. Solução: O que a questão está nos dizendo é que o montante gerado numa aplicação a juros simples com taxa de 10,5% ao ano num período de dois anos é igual ao montante gerado numa aplicação a juros compostos com taxa de 10% ao ano por dois anos. Vejamos: M1 = C.(1 + 10,5%.2) M2 = C.(1 + 10%)2 Igualando M1 e M2, temos:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 C.(1 + 10,5%.2) = C.(1 + 10%)2 (1 + 0,105.2) = (1 + 0,1)2 1 + 0,21 = (1,1)2 1,21 = 1,21 Portanto, podemos concluir que o item está correto.

22 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Duas taxas de juros são efetivas se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicação com uma ou com outra taxa. Solução: A questão traz o conceito de taxas de juros equivalentes no lugar de taxas de juros efetivas. Item errado.

23 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Diferentemente do regime de juros simples, no regime de juros compostos, os juros são capitalizados. Solução: A questão está correta, pois é justamente essa a diferença entre os dois regimes. No regime de juros simples a taxa de juros incide sempre sobre o capital investido e não contabiliza os juros do período anterior para seu cálculo, enquanto que no regime de juros compostos a taxa de juros incide sobre o capital acrescido dos juros que já incidiram no período anterior. Item correto.

24 - (Banco da Amazônia – 2009 / CESPE) Considerando 1,1 e 1,0489 como valores aproximados de 1,0128 e 1,0124, respectivamente, é correto afirmar que a taxa anual de juros equivalente à taxa de juros compostos de 1,2% ao mês é inferior a 15%. Solução: Nessa questão, vamos chamar de i1 a taxa de juros anual e de i2 a taxa de juros mensal. Assim, temos: C.(1 + i1)1 = C.(1 + i2)12 (1 + i1) = (1 + 1,2%)12 1 + i1 = (1 + 0,012)12

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 1 + i1 = (1,012)12 A questão não nos deu o valor de 1,01212, mas nos deu o valor de 1,0128 e 1,0124. Assim, temos: 1 + i1 = (1,012)12 1 + i1 = (1,012)8.(1,012)4 1 + i1 = (1,1).(1,0489) 1 + i1 = 1,15379 i1 = 1,15379 – 1 i1 = 0,15379 = 15,379% Portanto, o item está errado.

25 - (TRE/BA – 2009 / CESPE) Considere que um investidor tenha aplicado R$ 120.000,00 no prazo de seis meses e tenha recebido R$ 6.100,00 de juros pelo investimento. Supondo que a financeira remunere as aplicações a juros compostos capitalizados mensalmente a 8% e tomando 1,008 como valor aproximado de 6 1,05 é correto afirmar que a taxa de juros anual equivalente do investimento foi de 9,6%. Solução: Sabendo que M = C + J e que M = C.(1 + i)n, temos: C + J = C.(1 + i)n 120000 + 6100 = 120000.(1 + i)6 126100 = 120000.(1 + i)6 (1 + i)6 =

126100 120000

(1 + i)6 = 1,05 1+i=

6

1,05

1 + i = 1,008 i = 1,008 – 1

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 i = 0,008 = 0,8% Bom, agora devemos encontrar a taxa de juros anual equivalente a taxa de juros mensal de 0,8% ao mês: C.(1 + 0,8%)12 = C.(1 + i)1 (1 + 0,008)12 = (1 + i) (1,008)12 = (1 + i) Como a questão não nos informou o valor de 1,00812, podemos, sem precisar fazer esta conta, concluir que a questão está errada pois para a taxa de juros anual ser 9,6% deveríamos simplesmente multiplicar 0,8% por 12, mas não é isso que se deve fazer para encontrar a taxa equivalente, já que estamos no regime de capitalização composta. Portanto, o item está errado.

(Texto para as questões 26 e 27) Um capital de R$ 8.000,00, aplicado por 12 meses em uma instituição financeira que paga juros compostos mensais, rende, ao final desse período, R$ 400,00. Considerando essa situação e 1,004 como valor aproximado de 1,051/12, julgue os itens a seguir. 26 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa nominal anual paga pela instituição nessa aplicação é superior a 5%. Solução: Sabemos que o capital foi de R$ 8.000,00, o prazo foi de 12 meses e o juros foi de R$ 400,00. Assim, sabendo que M = C.(1 + i)n e que M = C + J, temos: C.(1 + i)n = C + J 8000.(1 + i)12 = 8000 + 400 8000.(1 + i)12 = 8400 (1 + i)12 =

8400 8000

(1 + i)12 = 1,05 1+i=

12

1,05

1 + i = (1,05) 1/12 1 + i = 1,004

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M1 = C.(1 + i1)n1 M2 = C.(1 + i2)n2 Sabendo que M1 = M2, temos: C.(1 + i1)n1 = C.(1 + i2)n2 (1 + i1)2 = (1 +

48% 12 ) 12

(1 + i1)2 = (1 + 4%)12 (1 + i1)2 = (1 + 0,04)12 (1 + i1)2 = (1,04)12 (1 + i1)2 = 1,6 1 + i1 =

1,6

1 + i1 = 1,61/2 1 + i1 = 1,265 i1 = 1,265 – 1 i1 = 0,265 = 26,5% ao semestre de taxa efetiva, ou 2 x 26,5% = 53% ao ano de taxa nominal capitalizada semestralmente. Portanto, item errado.

(Texto para a questão 29) Um investidor aplicou R$ 20.000,00, por doze meses, em uma instituição financeira que pratica a taxa nominal anual de juros de 24%. Nessa situação, sabendo que a capitalização foi mensal e no sistema de juros compostos, e considerando 1,2682 como valor aproximado para 1,0212, julgue o item subsequente. 29 - (STM – 2010 / CESPE) O capital renderia o mesmo montante, no mesmo período, se fosse aplicado a uma taxa de juros simples mensais inferior a 2,2%. Solução: Primeiramente, vamos calcular o montante resultante da aplicação a juros compostos. Sabendo que a taxa nominal anual foi de 24% e que a capitalização foi mensal, podemos chegar a conclusão que sua taxa de juros efetiva mensal foi 24% de = 2% ao mês. 12 M = C.(1 + i)n Prof. Marcos Piñon


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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M = C.(1 + 0,02)12 M = C.(1,02)12 M = C.(1,2682) M = 1,2682.C Bom, agora resta calcular qual a taxa de juros simples mensal que resulta nesse montante: M = C.(1 + i.n) 1,2682.C = C.(1 + i.12) 1,2682 = 1 + 12.i 12.i = 1,2682 – 1 12.i = 0,2682 i=

0,2682 12

i = 0,02235 = 2,235 % Portanto, o item está errado.

30 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Tomando 1,05 como valor aproximado de 1 12

1,8 , então a taxa efetiva de 80% ao ano corresponde a uma taxa nominal anual de 64% com capitalização mensal. Solução: Nessa questão devemos verificar se uma taxa de juros efetiva de 80% ao ano corresponde a uma taxa nominal de 64% ao ano com capitalização mensal. Assim, podemos encontrar a taxa mensal que corresponde aos 64% ao ano de taxa nominal e em seguida verificar se essa taxa corresponde a 80% de taxa anual efetiva. Taxa mensal =

M1 = C.(1 +

64% 16 = % 12 3

16 12 %) 3

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M2 = C.(1 + 80%)1 Fazendo M1 = M2, temos: 16 12 %) = C.(1 + 80%)1 3 16 12 (1 + %) = (1,8) 3

C.(1 +

1+

16 %= 3

1+

16 % = 1,8 12 3

1+

16 % = 1,05 3

12

1,8 1

16 % = 1,05 – 1 3 16 % = 0,05 3 16% = 0,15 16% = 15% Portanto, o item está errado. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Taxa de Juros Real e Aparente Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada aplicação pagando uma taxa efetiva de 10% ao ano. Se no mesmo período for registrada uma inflação da ordem de 6% ao ano, então diremos que a taxa de 10% ao ano oferecida pelo banco não foi a taxa real de remuneração do investimento, mas uma taxa aparente, pois os preços, no mesmo período, tiveram um aumento de 6%. Vamos imaginar o seguinte, João possui R$ 1.000,00 aplicado num banco que promete pagar 10% de juros efetivos num período de um ano. No momento da aplicação a mensalidade da academia de João custava R$ 100,00, o que daria para João pagar 10 mensalidades com o dinheiro que foi investido. Ao final de um ano João poderá resgatar seu investimento acrescido dos juros pago pelo banco:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 ir = 0,0377 ir = 3,77 % Bom, vamos ver umas questões para praticar: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

31 - (TRE/BA – 2009 / CESPE) Em um ano em que a taxa de inflação foi de 6,2% ao ano, para ganhar 11% de juros reais, uma financeira deve cobrar a taxa nominal anual de 17,2% ao ano. Solução: Nessa questão, vamos aplicar diretamente a equação do juros real: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) 1 + iap = (1 + 6,2%) x (1 + 11%) 1 + iap = (1 + 0,062) x (1 + 0,11) 1 + iap = (1,062) x (1,11) 1 + iap = (1,062) x (1,11) 1 + iap = 1,17882 iap = 1,17882 – 1 iap = 0,17882 = 17,882% Portanto, o item está errado.

(Texto para a questão 32) Uma dívida de R$ 5.000,00 é paga, com juros reais acrescidos da taxa de inflação do período, por R$ 5.670,00. Nessa situação, sabendo que o produto das taxas de juros reais e de inflação é 0,004, julgue o item que se segue. 32 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A soma da taxa de juros reais com a taxa de inflação é inferior a 13,1%. Solução: Sabemos que: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 1 + iap = (1,04)4 1 + iap = 1,17 iap = 1,17 – 1 iap = 0,17 Com isso, temos: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) (1 + 0,17) = (1 + 0,03) x (1 + ir) 1,17 = (1,03) x (1 + ir) 1,17 = 1,03 + 1,03.ir 1,17 – 1,03 = 1,03.ir 1,03.ir = 0,14 ir =

0,14 1,03

ir = 0,1359 = 13,59% Portanto, o item está errado.

(Texto para as questões 34 e 35) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado em uma instituição financeira que paga além dos juros reais, a taxa de inflação do período, as quais somaram 45%, sendo que a taxa de juros reais foi superior à taxa de inflação. Sabendo que o montante ao final do período de aplicação foi de R$ 12.000,00, julgue os itens subsequentes. 34 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de juros reais paga no período da aplicação foi superior a 24%. Solução: Bom, podemos inicialmente encontrar a taxa de juros aparente: M = C.(1 + iap)n 12000 = 8000.(1 + iap)1

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 (1 + iap) =

12000 8000

1 + iap = 1,5 iap = 1,5 – 1 iap = 0,5 = 50% Também foi dito na questão que a taxa de juros real e a taxa de inflação somaram 45%: ir + ii = 45% ii = 0,45 – ir Por fim, sabemos que: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) (1 + 0,5) = (1 + 0,45 – ir) x (1 + ir) 1,5 = (1,45 – ir) x (1 + ir) 1,5 = 1,45 + 1,45.ir – ir – ir2 1,5 – 1,45 = 0,45.ir – ir2 ir2 – 0,45.ir + 0,05 = 0 Resolvendo a equação dos segundo grau, temos:

− ( −0,45) ± ( −0,45) 2 − 4.(1).(0,05) ir = 2.(1)

ir =

0,45 ± (0,2025 − 0,2) 2

ir =

0,45 ± (0,0025) 2

ir =

0,45 ± 0,05 2

ir =

0,45 + 0,05 0,5 = = 0,25 = 25% 2 2

ou

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 ir =

0,45 − 0,05 0,4 = = 0,2 = 20% 2 2

Para ir = 0,25, temos: ii = 0,45 – ir ii = 0,45 – 0,25 ii = 0,2 Para ir = 0,2, temos: ii = 0,45 – ir ii = 0,45 – 0,2 ii = 0,25 Como foi dito que a taxa real de juros pagos pela instituição foi superior a taxa de inflação, concluímos que a taxa de juros real foi de 0,25 ou 25% e a taxa de inflação foi de 0,2 ou 20%. Item correto.

35 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de inflação no período foi inferior a 18%. Solução: Vimos na questão anterior que a taxa de inflação foi de 20%. Portanto, o item está errado.

36 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Considerando que, em certo período, uma instituição financeira pagou taxas de juros reais que, somados à taxa de inflação do período, deram um total de 50%, se um capital de R$ 1.000,00 aplicado nessa instituição, nesse período, resultou em um montante de R$ 1.560,00 e se, nesse período, a taxa de inflação foi inferior à taxa real de juros pagos pela instituição, então a taxa de inflação do período foi superior a 18%. Solução: Foi dito na questão que:

taxas de juros reais que, somados à taxa de inflação do período, deram um total de 50% ir + ii = 50%

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 ir = ou ir =

0,5 + 0,1 0,6 = = 0,3 2 2 0,5 − 0,1 0,4 = = 0,2 2 2

Para ir = 0,3, temos: ii = 0,5 – ir ii = 0,5 – 0,3 ii = 0,2 Para ir = 0,2, temos: ii = 0,5 – ir ii = 0,5 – 0,2 ii = 0,3 Como foi dito que a taxa de inflação foi inferior à taxa real de juros pagos pela instituição, concluímos que a taxa de juros real foi de 0,3 ou 30% e a taxa de inflação foi de 0,2 ou 20%. Item correto.

(Texto para as questões 37 e 38) Considere que R$ 4.000,00 sejam investidos em uma instituição financeira, por determinado período, no qual a taxa de inflação seja de 25%. Em face dessas considerações, julgue os itens a seguir. 37 - (STF – 2008 / CESPE) Se o montante obtido com esse investimento, ao final do período, for de R$ 6.000,00, então a instituição financeira pagará, nesse período, juros reais superiores a 24%. Solução:

Vamos primeiramente calcular a taxa de juros aparente: M = C.(1 + iap)n 6000 = 4000.(1 + iap)1 (1 + iap) =

6000 4000

1 + iap = 1,5

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 iap = 1,5 – 1 iap = 0,5 = 50% Assim, resta calcular a taxa de juros real: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) (1 + 0,5) = (1 + 0,25) x (1 + ir) (1,5) = (1,25) x (1 + ir) (1 + ir) =

1,5 1,25

1 + ir = 1,2 ir = 1,2 – 1 ir = 0,2 = 20% Portanto, o item está errado.

38 - (STF – 2008 / CESPE) Se a instituição financeira pagar juros reais de 30% no período considerado, então o montante, ao final desse período, será inferior a R$ 6.400,00. Solução:

Agora nós temos a taxa de inflação e a taxa de juros real. Vamos primeiramente calcular a taxa de juros aparente: (1 + iap) = (1 + 0,25) x (1 + 0,3) (1 + iap) = (1,25) x (1,3) 1 + iap = 1,625 iap = 1,625 – 1 iap = 0,625 Bom, agora podemos calcular o montante: M = C.(1 + iap)n M = 4000.(1 + 0,625)1

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 M = 4000.(1,625) M = R$ 6.500,00 Portanto, o item está errado.

39 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, a inflação medida pelo índice de preços ao consumidor amplo fechou 2008 com alta de 5,9%. Se, ao final desse ano, as empresas de transporte hidroviário tivessem reajustado seus preços em 10%, na média, poder-se-ia dizer que o setor obteve, no período, um ganho real inferior a 4%. Solução:

Nessa questão nós temos a taxa de inflação de 5,9%, a taxa aparente de 10% e queremos saber a taxa real: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) (1 + 10%) = (1 + 5,9%) x (1 + ir) 1 + 0,1 = (1 + 0,059) x (1 + ir) 1,1 = (1,059) x (1 + ir) 1 + ir =

1,1 1,059

1 + ir = 1,0387 ir = 1,0387 – 1 ir = 0,0387 ir = 3,87% Portanto, o item está correto.

40 - (MPU – 2010 / CESPE) Se a expectativa de inflação for de 4,5% ao ano e se os agentes do mercado exigem uma taxa de juros reais de 4% ao ano, então, a taxa aparente de juros deverá ser de 8,68% ao ano. Solução:

Nessa questão, temos:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) (1 + iap) = (1 + 4,5%) x (1 + 4%) (1 + iap) = (1 + 0,045) x (1 + 0,04) 1 + iap = (1,045) x (1,04) 1 + iap = 1,0868 iap = 1,0868 – 1 iap = 0,0868 iap = 8,68% Portanto, o item está correto.

41 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que uma aplicação financeira de R$ 70.000,00 tenha sido resgatada no montante de R$ 77.000,00 após 30 dias. Supondo-se que a inflação tenha atingido a taxa de 2% nesse período, conclui-se, então, que a taxa de juros reais foi superior a 8% no referido período. Solução:

Primeiramente, vamos calcular a taxa de juros aparente: M = C.(1 + iap)n 77000 = 70000.(1 + iap) 1 + iap =

77000 70000

1 + iap = 1,1 iap = 1,1 – 1 iap = 0,1 = 10% Assim, podemos calcular a taxa de juros real sabendo que a inflação foi de 2%: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) (1 + 0,1) = (1 + 0,02) x (1 + ir) (1,1) = (1,02) x (1 + ir)

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 (1 + ir) =

1,1 1,02

1 + ir = 1,0784 ir = 1,0784 – 1 ir = 0,0784 = 7,84% Portanto, o item está errado.

42 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que em uma operação contratada por 30 dias, a taxa aparente de juros foi de 3% no período, e a inflação atingiu, no mesmo período, 0,6%. Nessa situação, para se calcular a taxa de juros reais dessa operação, subtrai-se a taxa de inflação da taxa aparente de juros, o que resulta em exatos 2,4% de juros reais no referido período. Solução:

Nessa questão nós não precisamos fazer conta alguma, pois sabemos que a relação entre estas taxas de juros não é tão simples assim. De qualquer forma, vamos calcular a taxa real de juros: (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir) (1 + 0,03) = (1 + 0,006) x (1 + ir) (1,03) = (1,006) x (1 + ir) (1 + ir) =

1,03 1,006

1 + ir = 1,0238 ir = 1,0238 – 1 ir = 0,0238 = 2,38% Portanto, o item está errado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 – Descontos

Desconto é o abatimento que se obtém no valor de uma dívida quando ela é paga antes da data do seu vencimento. Vamos começar estudando o desconto simples.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Bom, inicialmente vamos calcular os dois descontos e verificar qual o maior deles. Comecemos com o desconto comercial simples. Vimos que este desconto é calculado com base no valor nominal do título. Assim, temos: D = Vn.i.n, onde Vn é o valor nominal do título D = 1000 × 2% × 2 D = 1000 × 0,02 × 2 D = 1000 × 0,04 D = R$ 40,00 Agora, vamos calcular o desconto racional simples: D = Vl.i.n, onde Vl é o valor líquido do título O problema aqui é que temos que calcular primeiro o valor líquido do título. Este valor equivale ao capital que aplicado a taxa de juros do empréstimo resulta no montante equivalente ao valor nominal do título: Vn = Vl.(1 + i.n) Vl =

Vn (1 + i.n)

Assim, podemos calcular o desconto racional simples: D = Vl.i.n D=

Vn .i.n (1 + i.n)

D=

1000 × 2% × 2 (1 + 2% × 2)

D=

1000 × 0,02 × 2 (1 + 0,02 × 2)

D=

1000 × 0,04 (1 + 0,04)

D=

1000 × 0,04 (1,04)

D = R$ 38,46

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Portanto, o desconto comercial simples produz um valor maior do que o desconto racional simples. Com isso, podemos resumir esses dois tipos de desconto simples:

Dracional simples = Vl.i.n, onde Vl é o valor líquido do título Dcomercial simples = Vn.i.n, onde Vn é o valor nominal do título D = Vn – Vl (aqui vale para os dois tipos de desconto) Vn = Vl.(1 + i.n) (Vale apenas para desconto racional simples) Vl = Vn.(1 − i.n) (Vale apenas para desconto comercial simples)

Desconto composto O desconto composto se refere ao desconto calculado com base no regime de capitalização composta, ou seja, utilizando juros compostos. Basicamente existem dois tipos de desconto composto: o desconto comercial composto e o desconto racional composto. Aqui os conceitos são bastante semelhantes aos conceitos vistos no regime de capitalização simples. A diferença básica é o próprio regime de capitalização. •

Desconto comercial composto – É o desconto calculado com base no valor nominal do título de crédito no regime de juros compostos

•

Desconto racional composto – É o desconto calculado com base no valor líquido do título de crédito no regime de juros compostos

Vamos ver um exemplo para entendermos melhor a diferença entre os dois tipos de desconto: Exemplo2: Marcos tomou uma quantia emprestada no banco para ser paga daqui a três meses. O valor a ser pago era de R$ 1.000,00. Acontece que Marcos conseguiu um trabalho extra e um mês após contrair a dívida ele já dispunha dos R$ 1.000,00 que devia ao banco. Assim, Marcos se dirigiu ao banco e propôs saldar sua dívida com desconto. O banco aceitou e ainda deu a Marcos a opção de escolher entre o desconto racional composto e o desconto comercial composto. Qual desconto Marcos deve optar sabendo que a taxa de juros fixada no empréstimo era de 2% ao mês?

Vamos começar calculando o desconto comercial composto

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 D = Vn – Vl (esta equação vale para qualquer tipo de desconto) Como o regime é de juros compostos, o valor de Vl é dado pelo valor de Vn reduzido da taxa de juros nesse período: Vl = Vn.(1 – i)n Assim, podemos calcular o desconto comercial composto: D = Vn – Vl D = Vn – Vn.(1 – i)n D = 1000 – 1000.(1 – 2%)2 D = 1000 – 1000.(1 – 0,02)2 D = 1000 – 1000.(0,98)2 D = 1000 – 1000.(0,9604) D = 1000 – 960,4 D = R$ 39,60 Agora, vamos calcular o desconto racional composto: D = Vn – Vl (esta equação vale para qualquer tipo de desconto) Bom, como o desconto é racional, podemos entender que o valor atual é equivalente ao capital aplicado a juros compostos que resultaria no montante equivalente ao valor nominal: Vn = Vl.(1 + i)n Vl =

Vn (1 + i)n

Assim, podemos calcular o desconto racional composto: D = Vn – Vl D = Vn –

Vn (1 + i)n

D = 1000 –

1000 (1 + 2%) 2

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 D = 1000 –

1000 (1 + 0,02) 2

D = 1000 –

1000 (1,02) 2

D = 1000 –

1000 (1,0404)

D = 1000 – 961,17 D = R$ 38,83 Portanto, o desconto comercial composto foi maior que o desconto racional composto. Vamos resumir o que vimos para desconto composto:

D = Vn – Vl (vale para todos os tipos de desconto) Vl =

Vn (vale apenas para desconto racional composto) (1 + i)n

Vl = Vn.(1 – i)n (vale apenas para desconto comercial composto)

Bom, de teoria por hoje é só isso mesmo. Vamos ver mais algumas questões: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------(Texto para as questões 43 a 47) Um título de valor nominal igual a R$ 24.000 foi descontado 4 meses antes do vencimento, à taxa de desconto de 5% ao mês. itindo-se que (1 – 0,05)4 = 0,81 e que

24.000 = 19.744,86, é correto 1,05 4

afirmar que, se for usado o desconto 43 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) racional simples (por dentro), então o valor do desconto será superior a R$ 4.200. Solução:

Para calcular o desconto racional simples, vamos primeiro encontrar o valor líquido do título:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Vn = Vl.(1 + i.n) 24000 = Vl.(1 + 0,05 × 4) 24000 = Vl.(1 + 0,2) 24000 = Vl.(1,2) Vl =

24000 1,2

Vl = R$ 20.000,00 Assim, o desconto racional simples fica: D = Vl.i.n D = 20000 × 0,05 × 4 D = R$ 4.000,00 Portanto, o item está errado.

44 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples (por fora), então o valor do desconto será inferior a R$ 4.700. Solução:

Bom, o desconto comercial simples incide diretamente sobre o valor nominal do título. Assim: D = Vn.i.n D = 24000 × 0,05 × 4 D = R$ 4.800,00 Portanto, o item está errado.

45 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples, então a taxa efetiva da operação será superior a 6%. Solução:

Vimos que o desconto comercial simples foi de R$ 4.800,00. Assim, podemos encontrar o valor líquido do título:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 D = 24000 – 19744,86 D = R$ 4.255,14 Portanto, o item está errado.

47 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial composto, então o valor do desconto será superior a R$ 4.500. Solução:

Agora, calculamos o desconto comercial composto: D = Vn – Vl D = Vn – Vn.(1 – i)n D = 24000 – 24000.(1 – 0,05)4 D = 24000 – 24000.(0,81) D = 24000 – 19440 D = R$ 4.560,00 Portanto, o item está correto.

48 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Desconto racional é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento. Solução:

Vimos que o desconto racional é baseado no valor líquido (ou valor atual) do título, e não no valor nominal do título. Item errado.

(Texto para as questões 49 e 50) Um comerciante dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que usa taxa de juros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, para remuneração de um fundo de investimentos próprio. O valor nominal do referido título é de R$ 11.025,00, com vencimento daqui a 4 meses. Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, tomando 1,2155 como valor aproximado para 1,054.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 D = 11025 × 0,2 D = R$ 2.205,00 Portanto, o item está correto.

(Texto para as questões 51 a 55) A respeito de descontos, julgue os itens que se seguem. 51 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um título no valor de R$ 1.157.625,00 será descontado (desconto racional composto) três meses antes do seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Nessa situação, esse desconto será superior a R$ 180.000,00. Solução:

Temos um desconto racional composto. Assim: D = Vn – Vl D = Vn –

Vn (1 + i)n

D = 1157625 –

1157625 (1 + 5%) 3

D = 1157625 –

1157625 (1 + 0,05) 3

D = 1157625 –

1157625 (1,05) 3

D = 1157625 –

1157625 1,157625

D = 1157625 – 1000000 D = R$ 157.625,00 Portanto, o item está errado.

52 - (MPU – 2009 / CESPE) O desconto racional composto de um título com um mês para o vencimento, obtido com a utilização da taxa de 5% ao mês, é metade do valor daquele que se obtém ao se aplicar, para o mesmo título, a taxa de 10% ao mês.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Solução:

Bom, agora devemos comparar o desconto racional composto a uma taxa de 5% ao mês e outro desconto racional composto a taxa de 10 % ao mês. Vejamos: D1 = Vn – Vl1 = Vn –

Vn (1 + i1 )n

D2 = Vn – Vl2 = Vn –

Vn (1 + i 2 )n

Queremos saber se para i1 = 5% e i2 = 10%, D2 = 2.D1. 2.[Vn –

Vn Vn ] = Vn – n (1 + i1 ) (1 + i 2 )n

2.Vn – 2.

Vn Vn = Vn – 1 (1 + 0,05) (1 + 0,1)1

2.Vn – 2.

Vn Vn = Vn – (1,05) (1,1)

2.Vn – Vn = 2.

Vn = Vn.(

Vn Vn – (1,05) (1,1)

2 1 – ) (1,05) (1,1)

1=

2 1 – (1,05) (1,1)

1=

2,2 − 1,05 1,155

1=

1,15 1,155

1 = 0,99567 Portanto, o item está errado.

53 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um desconto simples de 25% tenha sido aplicado sobre o valor de uma duplicata com prazo de um ano para o

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 vencimento. Nessa situação, a taxa de juros efetiva dessa operação foi superior a 30% ao ano. Solução:

Nessa questão, devemos calcular o valor do desconto comercial simples de 25% aplicado sobre o valor nominal do título e em seguida calcular qual a taxa de juros que aplicada ao valor presente resulta no valor nominal do título: D = Vn.i.n D = Vn.0,25.1 D = 0,25.Vn Agora, calculamos o valor líquido do título: D = Vn – Vl 0,25.Vn = Vn – Vl Vl = Vn – 0,25.Vn Vl = 0,75.Vn Por fim, devemos calcular qual a taxa de juros que aplicada ao capital 0,75.Vn resulta em Vn: M = C.(1 + i.n) Vn = 0,75.Vn.(1 + i.1) 1+i=

Vn 0,75.Vn

1 + i = 1,333 i = 1,333 – 1 i = 0,333 = 33,3% ao ano Portanto, o item está correto.

54 - (MPU – 2009 / CESPE) Para cobrar juros de 100% efetivos no período, basta aplicar um desconto simples de 50% sobre o valor do título. Solução:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Essa questão é semelhante à anterior. Vamos checar: D = Vn.i.n D = Vn × 0,5 × 1 D = 0,5.Vn Agora, calculamos o valor líquido do título: D = Vn – Vl 0,5.Vn = Vn – Vl Vl = Vn – 0,5.Vn Vl = 0,5.Vn Por fim, devemos calcular qual a taxa de juros que aplicada ao capital 0,5.Vn resulta em Vn: M = C.(1 + i.n) Vn = 0,5.Vn.(1 + i.1) 1+i=

Vn 0,5.Vn

1+i=2 i=2–1 i = 1 = 100,0% Portanto, o item está correto.

55 - (MPU – 2009 / CESPE) Para um tomador de crédito que possui um título com um ano para o vencimento, um desconto simples à taxa de 20% ao ano é mais oneroso que um desconto racional à taxa de 20% ao ano. Solução:

Aqui devemos comparar o desconto comercial simples (que o Cespe chamou simplesmente de desconto simples) e o desconto racional simples (que o Cespe chamou simplesmente de desconto racional). Vejamos: Dracional simples = Vl.i.n

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Dracional simples =

Vn .i.n (1 + i.n)

Dracional simples =

Vn .0,2.1 (1 + 0,2.1)

Dracional simples = 0,2.

Vn (1,2)

Dracional simples = 0,1667.Vn

Agora, vamnos calcular o desconto comercial simples: Dcomercial simples = Vn.i.n Dcomercial simples = Vn.0,2.1 Dcomercial simples = 0,2.Vn

Assim, o maior desconto é o desconto comercial simples (já tínhamos visto isso em nosso exemplo na parte teórica). Porém, na questão a pessoa possui um título com vencimento em um ano, mas deseja receber o valor antecipadamente com desconto. Nesse caso, o desconto mais oneroso é o maior desconto, que é o desconto comercial simples. Item correto.

56 - (SEFAZ/ES – 2010 / CESPE) A secretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte o pagamento do valor do IPVA em parcela única ou em três prestações mensais com valores iguais, sem cobrança de juros, sendo que a primeira prestação vence no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois meses consecutivos. Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$ 1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeira parcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentes às outras duas prestações. No início de julho de 2009, esse contribuinte negociou a dívida com a secretaria de fazenda, a qual reajustou o valor de cada prestação, a partir de seus vencimentos, a uma taxa de juros simples, de modo que os novos valores da segunda e da terceira prestações atrasadas, cujo vencimento ou a ser no dia 14/10/2009, foram iguais, respectivamente, a R$ 520,00 e R$ 500,00. Assim, considerando que, de posse dos boletos bancários nos valores de R$ 500,00 e R$ 520,00 para pagamento no dia 14/10/2009, o contribuinte tenha resolvido antecipar o pagamento para 14/8/2009, e que a secretaria de fazenda tivesse adotado o sistema de desconto racional simples a uma taxa de 4% ao mês para desconto de antecipações dessa natureza, o valor total pago por esse contribuinte, em 14/8/2009, seria superior a R$ 950,00. Solução:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 i = 25% ao ano =

25 % ao mês 12

Assim, podemos calcular o valor líquido: D = Vl.i.n Vn − Vl = Vl.i.n Vn = Vl + Vl.i.n Vn = Vl.(1 + i.n) 77000 = Vl.(1 +

25 % × 4,8) 12

77000 = Vl.(1 + 25% × 0,4) 77000 = Vl.(1 + 0,25 × 0,4) 77000 = Vl.(1 + 0,1) 77000 = Vl.(1,1) Vl =

77000 1,1

Vl = R$ 70.000 Portanto, o valor na data do desconto (valor descontado) foi inferior a R$ 71.000,00. Item correto.

58 - (MPS – 2010 / CESPE) Um fundo de pensão emitiu uma duplicata de R$ 120.000,00 e, em 20/9/2010, descontou a duplicata em um banco à taxa de desconto comercial simples (por fora) de 1,8% ao mês. O valor líquido recebido no momento da operação de desconto foi de R$ 110.280,00. Nessa situação, é correto afirmar que a duplicata foi emitida em 10/4/2010. Solução:

Nessa questão, temos Vn = R$ 120.000,00 Vl = R$ 110.280,00 i = 1,8% ao mês n = ???

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Assim, sabendo que foi utilizado o desconto comercial simples, temos: D = Vn.i.n Vn − Vl = Vn.i.n 120.000 − 110.280 = 120.000 × 0,018 × n 9720 = 2160 × n n=

9720 2160

n = 4,5 meses = 4 meses e 15 dias Assim, se o vencimento era 20/09/2010, a duplicata foi emitida 4 meses e 15 dias antes, ou seja, 05/05/2010. Item errado.

59 - (PM/CE – 2008 / CESPE) Caso um título de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. Solução:

Essa questão é aplicação direta da equação do desconto racional simples. A única observação, é que devemos transformar a taxa de juros anual para mensal antes de fazer as contas. Como estamos no sistema de juros simples, temos: i = 12% ao ano =


Assim, temos: D = Vl.i.n D=

Vn .i.n 1 + i.n

D=

15000 × 0,01 × 3 1 + 0,01.3

D=

15000 × 0,03 1 + 0,03

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 D=

15000 × 0,03 1,03

D=

450 1,03

Aqui nós nem precisaríamos fazer a conta, já que foi dito na questão que o 450 é menor que 450, concluímos que desconto foi superior a R$ 450,00. Como 1,03 a questão está errada. De qualquer forma, o resultado seria: D=

450 = R$ 436,89 1,03

60 - (PM/CE – 2008 / CESPE) Considerando-se 0,94 como valor aproximando para 1,03−2, é correto afirmar que o valor do desconto racional obtido ao se quitar um título de R$ 12.000,00, 4 meses antes do vencimento e à taxa de juros de 3% ao mês, no regime de juros compostos, será superior a R$ 1.300,00. Solução:

Agora, temos o desconto racional composto. Assim, como já sabemos quem é Vn, resta calcularmos Vl: Vl =

Vn (1 + i)n

Vl =

12000 (1 + 0,03) 4

Vl =

12000 (1,03) 4

Vl = 12000 × 1,03−4 Vl = 12000 × 1,03−2 × 1,03−2 Vl = 12000 × 0,94 × 0,94 Vl = R$ 10.603,20 Assim, podemos encontrar o desconto: D = Vn − Vl

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Solução:

Nessa questão, devemos encontra Vl para um desconto racional simples. Assim: Vn = R$ 7.800,00 i = 60% ao ano =


n = 4 meses Vl = ??? Com isso, podemos fazer o seguinte: Vn = Vl.(1 + i.n) 7800 = Vl.(1 + 0,05 × 4) 7800 = Vl.(1 + 0,2) 7800 = 1,2.Vl Vl =

7800 1,2

Vl = R$ 6.500,00 Portanto, o item está errado.

63 - (IMETRO – 2010 / CESPE) Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ 10.000,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será inferior a R$ 900,00. Solução:

Nessa questão, devemos calcular o próprio desconto racional simples. Assim, temos: Vn = R$ 10.000,00 30% i = 30% ao ano = ao mês = 2,5% ao mês 12 n = 4 meses D = ??? D = Vl.i.n D=

Vn .i.n 1 + i.n

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Vl = 1000.(0,964) Vl = R$ 964,00 Portanto, item errado.

65 - (BB – 2007 / CESPE) Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No vencimento, o valor total a ser pago é de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois meses antes do prazo. Nessa situação, de acordo apenas com as regras de matemática financeira, o credor deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00. Solução:

Nessa questão, ficou faltando a questão informar se o desconto era comercial ou racional. Nesse tipo de questão, calculamos utilizando o desconto racional composto: Vn = R$ 30.000,00 i = 2% ao mês n = 2 meses D = ??? Lembrando a equação do desconto: D = Vn − Vl Falta, então, encontrarmos o Vl: Vl =

Vn (1 + i)n

Vl =

30000 (1 + 0,02) 2

Vl =

30000 (1,02) 2

Vl =

30000 = R$ 28.835,06 1,0404

Com isso, podemos encontrar o valor do desconto: D = Vn − Vl

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 D = 30000 − 28835,06 = R$ 1.164,94 Portanto, o item está errado. Agora, como treino, vamos calcular o Desconto Comercial Composto: Novamente, utilizamos a mesma equação para o desconto: D = Vn − Vl O que muda é o valor de Vl. Para o desconto comercial composto, o Vl é dado pela seguinte equação: Vl = Vn.(1 – i)n Vl = 30000.(1 – 0,02)2 Vl = 30000.(0,98)2 Vl = 30000 × 0,9604 Vl = R$ 28.812,00 Assim, podemos encontrar o desconto: D = Vn − Vl D = 30000 − 28812 = R$ 1.188,00 De qualquer forma, o valor do desconto foi inferior a R$ 2.000,00, o que torna o item errado.

66 - (SEFAZ/ES – 2007 / CESPE) Se uma dívida a ser saldada em 4 meses, contratada a juros compostos de 1% a.m., foi quitada com 2 meses de antecipação por R$ 1.020.100,00, então, na data original do vencimento, ela seria quitada por mais de R$ 1.050.000,00. Solução:

Mais uma questão que não especifica se o desconto dado foi racional ou comercial. Numa situação com essa, utilizamos para o cálculo o desconto racional composto (por dentro): Vl = R$ 1.020.100,00 i = 1% ao mês n = 2 meses Vn = ??? Assim, utilizando o desconto racional composto, temos:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Vl =

Vn (1 + i)n

Vn = Vl.(1 + i)n Vn = 1020100.(1 + 0,01)2 Vn = 1020100.(1,01)2 Vn = 1020100 × 1,0201 Vn = R$ 1.040.604,01

Portanto, item errado. Agora, como treino, vamos calcular utilizando o desconto comercial composto: Vl = Vn.(1 – i)n Vn =

Vl (1 − i)n

Vn =

1020100 (1 − 0,01) 2

Vn =

1020100 (1 − 0,01) 2

Vn =

1020100 (0,99) 2

Vn =

1020100 0,9801

Vn = 1.040.812,16

De qualquer forma, os dois tipos de desconto tornam a questão errada.

67 - (PETROBRÀS – 2004 / CESPE) Se um título com valor nominal de R$ 9.860,00 é resgatado 5 meses antes de seu vencimento, com desconto racional composto (por dentro) à taxa de 3% a.m., supondo que (1,03)5 = 1,16, então o valor do desconto é superior a R$ 1.200,00. Solução:

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Nessa questão, devemos calcular o desconto racional composto. Para isso nós temos as seguintes informações: Vn = R$ 9.860,00 i = 3% ao mês n = 5 meses D = ??? Primeiro, vamos calcular o Vl: Vl =

Vn (1 + i)n

Vl =

9860 (1 + 0,03) 5

Vl =

9860 (1,03) 5

Vl =

9860 1,16

Vl = R$ 8.500,00 Por fim, encontramos o desconto racional composto: D = Vn − Vl D = 9860 − 8500 = R$ 1.360,00 Item correto.

(Texto para a questão 68) Julgue o item a seguir, relacionado a empréstimos e financiamentos, considerando, em todas as situações apresentadas, que o regime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,0212. 68 - (BB – 2008 / CESPE) Se o pagamento de um empréstimo que seria quitado em uma única prestação de R$ 26.000,00 ao final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a R$ 19.800,00. Solução:

Aqui devemos encontrar o valor atual de um título de R$ 26.000,00, para um pagamento com 12 meses de antecedência a uma taxa de 2% ao mês de juros compostos. Não foi dito se seria desconto racional ou desconto comercial

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 composto. Assim, numa situação como essa, consideramos o desconto como sendo desconto racional composto (por dentro): Vl =

Vn (1 + i)n

Vl =

26000 (1 + 0,02)12

Vl =

26000 (1,02)12

Vl =

26000 1,3

Vl = R$ 20.000,00 Portanto, o item está correto.

69 - (FINEP – 2009 / CESPE - ADAPTADA) Frente ao contexto econômico atual do país, um indivíduo analisa as alternativas para melhorar os ganhos com os rendimentos de um título de valor nominal de R$ 120.000,00, que, atualmente, está aplicado e tem vencimento para daqui a 2 meses. Nessa situação, o desconto que permitirá ao investidor obter, hoje, o maior valor líquido é o desconto composto comercial, à taxa de desconto composto comercial de 2% ao mês em comparação ao composto racional, à taxa de desconto composto racional de 3% ao mês. Solução:

Nessa questão, devemos calcular o valor atual do título para cada um dos dois descontos e compará-los. Primeiro, vamos calcular o valor atual para o desconto comercial composto: Vn = R$ 120.000,00 i = 2% ao mês n = 2 meses Vl = ??? Assim, temos: Vl = Vn.(1 – i)n Vl = 120000.(1 – 0,02)2 Vl = 120000.(0,98)2

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 Vn = R$ 1.000,00 i = 6,4% ao mês n = 8 meses Vl = ??? Com isso, temos: Vl = Vn.(1 − i.n) Vl = 1000.(1 − 0,064.8) Vl = 1000.(1 − 0,512) Vl = 1000 × 0,488 Vl = R$ 488,00 Assim: D = Vn − Vl D = 1000 − 488 D = R$ 512,00 Agora, vamos calcular a taxa que aplicada a este capital de R$ 512,00 por 3 meses gera um montante igual a R$ 1.000,00: M = C.(1 + i)n 1000 = 512.(1 + i)3 (1 + i)3 =

1000 512

(1 + i)3 =

10 3 83

(1 + i) =

10 8

1 + i = 1,25 i = 1,25 − 1 = 0,25 = 25% Portanto, item correto.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 71 - (Caixa – 2010 / CESPE) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a 8%. Solução:

Nessa questão temos: Vl = R$ 4.200,00 Vn = R$ 5.000,00 n = 2 meses i = ??? Sabendo que foi utilizado o desconto comercial simples, temos: Vl = Vn.(1 − i.n) 4200 = 5000.(1 − i.2) 4200 = 1 − 2.i 5000 0,84 = 1 − 2.i 2.i = 1 − 0,84 2.i = 0,16 i=

0,16 = 0,08 = 8% 2

Portanto, item correto.

72 - (TCE/RN – 2009 / CESPE) Considerando 1,26 e 1,19 como valores aproximados de 1,064 e 1,063, respectivamente, é correto afirmar que o valor de resgate de um título de R$ 20.500,00, vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 26% a.a., capitalizados trimestralmente, é superior a R$ 17.250,00. Solução:

A primeira coisa a se fazer nessa questão, é perceber que a taxa de juros composto é capitalizada trimestralmente. Assim, temos: Vn = R$ 20.500,00 n = 9 meses = 3 trimestres

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 i = 26% ao ano =

26% ao trimestre = 6,5% ao trimestre 4

Vl = ??? Assim, utilizando o desconto racional composto, temos: Vl =

Vn (1 + i)n

Vl =

20500 (1 + 0,065) 3

Vl =

20500 (1,065)3

Aqui temos uma conta nada agradável, já que o enunciado informou apenas o valor de 1,063. E então? Será que realmente precisamos fazer essa conta? 20500 20500 20500 Percebam que é um número menor do que . Assim, se for 3 3 (1,065) (1,06) (1,06) 3 20500 também será menor que R$ 17.250,00. menor que R$ 17.250,00 então (1,065)3 20500 Vamos, então, calcular o valor de : (1,06) 3 20500 20500 = = R$ 17.226,89, que é menor que R$ 17.250,00. 3 1,19 (1,06) Com isso, concluímos que Vl é inferior a R$ 17.250,00 e o item está errado.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 (A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias.

05 - (CEF – 2000 / FCC) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão (A) R$ 98,00 (B) R$ 101,00 (C) R$ 110,00 (D) R$ 114,00 (E) R$ 121,00

06 - (CEF – 2000 / FCC) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de (A) R$ 5.320,00 (B) R$ 5.480,00 (C) R$ 5.620,00 (D) R$ 5.680,00 (E) R$ 5.720,00

07 - (DNOCS – 2010 / FCC) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano, seria de (A) R$ 15.000,00. (B) R$ 15.500,00. (C) R$ 16.000,00. (D) R$ 17.360,00. (E) R$ 18.000,00.

08 - (MPE/RS – 2008 / FCC) Se uma dívida, contraída a juros compostos e a uma taxa fixa, aumentou 125% em 2 anos, a taxa anual de juros cobrada foi de (A) 25% (B) 27,5%

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 (C) 45% (D) 47,5% (E) 50%

09 - (MPE/RS – 2010 / FCC) O extrato de uma aplicação financeira capitalizada anualmente no sistema de juros compostos é dado na tabela abaixo. Data 01/01/2008 01/01/2009 01/01/2010

Saldo (R$) 20.000,00 ????? 28.800,00

No período considerado, não houve depósitos nem retiradas. Se as taxas de juros referentes aos períodos de 01/01/2008 a 01/01/2009 e de 01/01/2009 a 01/01/2010 foram iguais, então o saldo da aplicação, em reais, em 01/01/2009 era de (A) 25.000,00. (B) 24.800,00. (C) 24.400,00. (D) 24.200,00. (E) 24.000,00.

10 - (ISS/SP – 2007 / FCC) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que: − daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto do prazo; − daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras. Nessas condições, o valor de C é igual a (A) R$ 3.654,00 (B) R$ 3.648,00 (C) R$ 3.640,00 (D) R$ 3.620,00 (E) R$ 3.600,00

11 - (ICMS/SP – 2009 / FCC) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ 10.080,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00

12 - (TCE/PR – 2011 / FCC) Um capital no valor de R$ 18.000,00 é aplicado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ 4.012,30. (B) R$ 4.026,40. (C) R$ 4.176,00. (D) R$ 4.226,40. (E) R$ 5.417,10.

13 - (TRE/BA – 2003 / FCC) Para que ao final de 25 meses da aplicação um 4 de seu valor, ele deve ser investido à taxa capital produza juros simples iguais a 5 mensal de (A) 2,6% (B) 2,8% (C) 3,2% (D) 3,6% (E) 3,8%

14 - (TRF 5ª Região – 2008 / FCC) Um técnico judiciário aplicou R$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, à taxa anual de 30%. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Dos valores abaixo, o que mais se aproxima do montante obtido na segunda aplicação é (A) R$ 333,00 (B) R$ 326,22 (C) R$ 334,18 (D) R$ 324,00 (E) R$ 315,00

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 15 - (TRT 5ª Região – 2003 / FCC) Um capital produzirá juros simples 3 correspondentes a de seu valor se for aplicado, durante 9 meses, à taxa anual 16 de (A) 25% (B) 24% (C) 20% (D) 18% (E) 15%

16 - (TRT 8ª Região – 2001 / FCC) Ao fazer uma compra que totalizou R$ 50,00, João foi informado que poderia pagá-la com cheque pré-datado de 30 dias com juros simples de 4,2% ao mês. Caso aceite esta proposta, qual o valor do cheque que João á? (A) R$ 52,10 (B) R$ 54,20 (C) R$ 56,30 (D) R$ 58,50 (E) R$ 60,40

17 - (TRT 15ª Região – 2009 / FCC) Romualdo recebeu R$ 15.000,00, referentes a uma indenização trabalhista. Dessa quantia, retirou 20% para o pagamento dos honorários de seu advogado e o restante aplicou em um investimento a juros simples, à taxa anual de 18,75%. Quantos meses Romualdo deverá esperar até que possa retirar R$ 15.000,00 dessa aplicação? (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12

18 - (TRT 22ª Região – 2004 / FCC) Num mesmo dia, são aplicados a juros 2 simples: de um capital a 2,5% ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se, 5 decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era (A) R$ 12.500,00 (B) R$ 12.750,00 (C) R$ 14.000,00 (D) R$ 14.500,00 (E) R$ 14.750,00

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 19 - (TRT 24ª Região – 2003 / FCC) Um capital foi aplicado a juros simples da 1 seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao mês por um bimestre, à taxa de 2% 5 ao mês por um trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era (A) R$ 5.800,00 (B) R$ 8.300,00 (C) R$ 10.000,00 (D) R$ 10.200,00 (E) R$ 10.800,00

20 - (IFB/RO – 2013 / Makiyama) Uma aplicação em determinado banco rende 1,5% ao mês em regime de juros simples, e José aplicou R$ 620,00 nessa instituição. Qual o montante gerado por essa aplicação após dois anos? Por quanto tempo José deveria manter tal aplicação, se desejasse usar todo o montante gerado para dar entrada em uma moto, no valor de R$1.550,00? (A) Em dois anos, são gerados R$ 843,20 de montante, e seriam necessários 4 anos e 2 meses para chegar aos R$ 1.550,00. (B) Em dois anos, são gerados R$ 223,20 de montante, e seriam necessários 4 anos e 2 meses para chegar aos R$ 1.550,00. (C) Em dois anos, são gerados R$ 223,20 de montante, e seriam necessários 13 anos e 5 meses para chegar aos R$ 1.550,00. (D) Em dois anos, são gerados R$ 223,20 de montante, e seriam necessários 8 anos e 4 meses para chegar aos R$ 1.550,00. (E) Em dois anos, são gerados R$ 843,20 de montante, e seriam necessários 8 anos e 4 meses para chegar aos R$ 1.550,00.

21 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Considere que um investidor dispõe de R$ 1.000,00 para aplicar no mercado financeiro e está diante de duas opções: a primeira, um investimento de dois anos, com taxa de juros de 10,5% ao ano, não capitalizados, e a segunda, um investimento de um ano, com taxa de juros de 10% ao ano. Nessa situação hipotética, se o investidor optar pelo primeiro investimento ou aplicar no segundo, reinvestindo o total recebido por mais um ano, o resultado será o mesmo.

22 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Duas taxas de juros são efetivas se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicação com uma ou com outra taxa.

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30 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Tomando 1,05 como valor aproximado de 1,8 12 , então a taxa efetiva de 80% ao ano corresponde a uma taxa nominal anual de 64% com capitalização mensal.

31 - (TRE/BA – 2009 / CESPE) Em um ano em que a taxa de inflação foi de 6,2% ao ano, para ganhar 11% de juros reais, uma financeira deve cobrar a taxa nominal anual de 17,2% ao ano.

(Texto para a questão 32) Uma dívida de R$ 5.000,00 é paga, com juros reais acrescidos da taxa de inflação do período, por R$ 5.670,00. Nessa situação, sabendo que o produto das taxas de juros reais e de inflação é 0,004, julgue o item que se segue. 32 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A soma da taxa de juros reais com a taxa de inflação é inferior a 13,1%.

(Texto para a questão 33) Considerando que determinado agente financeiro ofereça empréstimos à taxa de juros compostos de 4% ao mês e que 1,17 seja valor aproximado para 1,044, julgue o item a seguir. 33 - (TCE/ES – 2012 / CESPE) Se a taxa de inflação acumulada de janeiro a abril de determinado ano for de 3%, um empréstimo tomado no início de janeiro para ser liquidado no final de abril desse ano estará sujeito a uma taxa de juros real superior a 14%.

(Texto para as questões 34 e 35) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado em uma instituição financeira que paga além dos juros reais, a taxa de inflação do período, as quais somaram 45%, sendo que a taxa de juros reais foi superior à taxa de inflação. Sabendo que o montante ao final do período de aplicação foi de R$ 12.000,00, julgue os itens subsequentes. 34 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de juros reais paga no período da aplicação foi superior a 24%.

35 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de inflação no período foi inferior a 18%.

36 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Considerando que, em certo período, uma instituição financeira pagou taxas de juros reais que, somados à taxa de inflação do período, deram um total de 50%, se um capital de R$ 1.000,00 aplicado nessa instituição, nesse período, resultou em um montante de

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 R$ 1.560,00 e se, nesse período, a taxa de inflação foi inferior à taxa real de juros pagos pela instituição, então a taxa de inflação do período foi superior a 18%.

(Texto para as questões 37 e 38) Considere que R$ 4.000,00 sejam investidos em uma instituição financeira, por determinado período, no qual a taxa de inflação seja de 25%. Em face dessas considerações, julgue os itens a seguir. 37 - (STF – 2008 / CESPE) Se o montante obtido com esse investimento, ao final do período, for de R$ 6.000,00, então a instituição financeira pagará, nesse período, juros reais superiores a 24%.

38 - (STF – 2008 / CESPE) Se a instituição financeira pagar juros reais de 30% no período considerado, então o montante, ao final desse período, será inferior a R$ 6.400,00.

39 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, a inflação medida pelo índice de preços ao consumidor amplo fechou 2008 com alta de 5,9%. Se, ao final desse ano, as empresas de transporte hidroviário tivessem reajustado seus preços em 10%, na média, poder-se-ia dizer que o setor obteve, no período, um ganho real inferior a 4%.

40 - (MPU – 2010 / CESPE) Se a expectativa de inflação for de 4,5% ao ano e se os agentes do mercado exigem uma taxa de juros reais de 4% ao ano, então, a taxa aparente de juros deverá ser de 8,68% ao ano.

41 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que uma aplicação financeira de R$ 70.000,00 tenha sido resgatada no montante de R$ 77.000,00 após 30 dias. Supondo-se que a inflação tenha atingido a taxa de 2% nesse período, conclui-se, então, que a taxa de juros reais foi superior a 8% no referido período.

42 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que em uma operação contratada por 30 dias, a taxa aparente de juros foi de 3% no período, e a inflação atingiu, no mesmo período, 0,6%. Nessa situação, para se calcular a taxa de juros reais dessa operação, subtrai-se a taxa de inflação da taxa aparente de juros, o que resulta em exatos 2,4% de juros reais no referido período.

(Texto para as questões 43 a 47) Um título de valor nominal igual a R$ 24.000 foi descontado 4 meses antes do vencimento, à taxa de desconto de 5% ao mês.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 itindo-se que (1 – 0,05)4 = 0,81 e que

24.000 = 19.744,86, é correto afirmar 1,05 4

que, se for usado o desconto 43 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) racional simples (por dentro), então o valor do desconto será superior a R$ 4.200.

44 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples (por fora), então o valor do desconto será inferior a R$ 4.700.

45 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples, então a taxa efetiva da operação será superior a 6%.

46 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) racional composto, então o valor do desconto será superior a R$ 4.300.

47 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial composto, então o valor do desconto será superior a R$ 4.500.

48 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Desconto racional é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.

(Texto para as questões 49 e 50) Um comerciante dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que usa taxa de juros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, para remuneração de um fundo de investimentos próprio. O valor nominal do referido título é de R$ 11.025,00, com vencimento daqui a 4 meses. Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, tomando 1,2155 como valor aproximado para 1,054.

49 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Os R$ 10.000,00 em posse do comerciante não são suficientes para o pagamento do título hoje.

50 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Se fosse adotado pelo banco o desconto comercial simples, então o título poderia ser pago hoje com desconto maior que R$ 2.000,00.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 (Texto para as questões 51 a 55) A respeito de descontos, julgue os itens que se seguem. 51 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um título no valor de R$ 1.157.625,00 será descontado (desconto racional composto) três meses antes do seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Nessa situação, esse desconto será superior a R$ 180.000,00.

52 - (MPU – 2009 / CESPE) O desconto racional composto de um título com um mês para o vencimento, obtido com a utilização da taxa de 5% ao mês, é metade do valor daquele que se obtém ao se aplicar, para o mesmo título, a taxa de 10% ao mês.

53 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um desconto simples de 25% tenha sido aplicado sobre o valor de uma duplicata com prazo de um ano para o vencimento. Nessa situação, a taxa de juros efetiva dessa operação foi superior a 30% ao ano.

54 - (MPU – 2009 / CESPE) Para cobrar juros de 100% efetivos no período, basta aplicar um desconto simples de 50% sobre o valor do título.

55 - (MPU – 2009 / CESPE) Para um tomador de crédito que possui um título com um ano para o vencimento, um desconto simples à taxa de 20% ao ano é mais oneroso que um desconto racional à taxa de 20% ao ano.

56 - (SEFAZ/ES – 2010 / CESPE) A secretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte o pagamento do valor do IPVA em parcela única ou em três prestações mensais com valores iguais, sem cobrança de juros, sendo que a primeira prestação vence no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois meses consecutivos. Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$ 1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeira parcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentes às outras duas prestações. No início de julho de 2009, esse contribuinte negociou a dívida com a secretaria de fazenda, a qual reajustou o valor de cada prestação, a partir de seus vencimentos, a uma taxa de juros simples, de modo que os novos valores da segunda e da terceira prestações atrasadas, cujo vencimento ou a ser no dia 14/10/2009, foram iguais, respectivamente, a R$ 520,00 e R$ 500,00. Assim, considerando que, de posse dos boletos bancários nos valores de R$ 500,00 e R$ 520,00 para pagamento no dia 14/10/2009, o contribuinte tenha resolvido antecipar o pagamento para 14/8/2009, e que a secretaria de fazenda tivesse adotado o sistema de desconto racional simples a uma taxa de 4% ao mês para desconto de antecipações dessa natureza, o valor total pago por esse contribuinte, em 14/8/2009, seria superior a R$ 950,00.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 57 - (MPS – 2010 / CESPE) Um título de valor nominal de R$ 77.000,00 foi descontado 4 meses e 24 dias antes do seu vencimento. Nessa situação, caso tenha sido adotado o desconto racional simples à taxa anual de 25%, o valor na data do desconto (valor descontado) foi inferior a R$ 71.000,00

58 - (MPS – 2010 / CESPE) Um fundo de pensão emitiu uma duplicata de R$ 120.000,00 e, em 20/9/2010, descontou a duplicata em um banco à taxa de desconto comercial simples (por fora) de 1,8% ao mês. O valor líquido recebido no momento da operação de desconto foi de R$ 110.280,00. Nessa situação, é correto afirmar que a duplicata foi emitida em 10/4/2010.

59 - (PM/CE – 2008 / CESPE) Caso um título de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00.

60 - (PM/CE – 2008 / CESPE) Considerando-se 0,94 como valor aproximando para 1,03−2, é correto afirmar que o valor do desconto racional obtido ao se quitar um título de R$ 12.000,00, 4 meses antes do vencimento e à taxa de juros de 3% ao mês, no regime de juros compostos, será superior a R$ 1.300,00.

61 - (IBRAM – 2009 / CESPE) Considere que um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples correntes é de 36% ao ano e se o desconto considerado é o racional (ou por dentro), então a quantia que o devedor está deixando de pagar por liquidar o título antecipadamente é inferior a R$ 290,00.

62 - (Pref. de Vitória/ES – 2007 / CESPE) Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, um título de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o desconto racional simples à taxa de 60% ao ano, a pessoa deve pagar menos de R$ 6.300,00.

63 - (IMETRO – 2010 / CESPE) Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ 10.000,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será inferior a R$ 900,00.

64 - (Banco da Amazônia – 2010 / CESPE) Considerando que a instituição financeira X ofereça aos clientes a taxa de desconto de 2,4% ao mês para desconto de títulos, e que a instituição concorrente Y ofereça uma redução de

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 25% na taxa praticada pela X, para descontos dos títulos com vencimentos em até 90 dias, então o valor atual, com desconto simples por fora, pago pela Y para um título com valor de face de R$ 1.000,00 e que vence em 2 meses é inferior a R$ 960,00.

65 - (BB – 2007 / CESPE) Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No vencimento, o valor total a ser pago é de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois meses antes do prazo. Nessa situação, de acordo apenas com as regras de matemática financeira, o credor deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00.

66 - (SEFAZ/ES – 2007 / CESPE) Se uma dívida a ser saldada em 4 meses, contratada a juros compostos de 1% a.m., foi quitada com 2 meses de antecipação por R$ 1.020.100,00, então, na data original do vencimento, ela seria quitada por mais de R$ 1.050.000,00.

67 - (PETROBRÀS – 2004 / CESPE) Se um título com valor nominal de R$ 9.860,00 é resgatado 5 meses antes de seu vencimento, com desconto racional composto (por dentro) à taxa de 3% a.m., supondo que (1,03)5 = 1,16, então o valor do desconto é superior a R$ 1.200,00.

(Texto para a questão 68) Julgue o item a seguir, relacionado a empréstimos e financiamentos, considerando, em todas as situações apresentadas, que o regime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,0212. 68 - (BB – 2008 / CESPE) Se o pagamento de um empréstimo que seria quitado em uma única prestação de R$ 26.000,00 ao final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a R$ 19.800,00.

69 - (FINEP – 2009 / CESPE - ADAPTADA) Frente ao contexto econômico atual do país, um indivíduo analisa as alternativas para melhorar os ganhos com os rendimentos de um título de valor nominal de R$ 120.000,00, que, atualmente, está aplicado e tem vencimento para daqui a 2 meses. Nessa situação, o desconto que permitirá ao investidor obter, hoje, o maior valor líquido é o desconto composto comercial, à taxa de desconto composto comercial de 2% ao mês em comparação ao composto racional, à taxa de desconto composto racional de 3% ao mês.

70 - (TCE/AC – 2009 / CESPE - ADAPTADA) Um título com valor nominal de R$ 1.000,00 foi resgatado 8 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 comercial simples de 6,4% ao mês. O valor do desconto obtido foi aplicado em um fundo de investimentos, remunerado sob uma taxa de juros compostos, capitalizados mensalmente, de modo que, 3 meses após a aplicação, o montante igualou-se ao valor nominal do título. Nessa situação, sabendo-se que 83 = 512, é correto afirmar que a taxa mensal de juros usada pelo fundo de investimentos foi igual a 25%.

71 - (Caixa – 2010 / CESPE) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a 8%.

72 - (TCE/RN – 2009 / CESPE) Considerando 1,26 e 1,19 como valores aproximados de 1,064 e 1,063, respectivamente, é correto afirmar que o valor de resgate de um título de R$ 20.500,00, vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 26% a.a., capitalizados trimestralmente, é superior a R$ 17.250,00.

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Matemática p/ TJ-PR Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 11 3 - Gabaritos

01 - B 02 - E 03 - D 04 - C 05 - B 06 - E 07 - B 08 - E 09 - E 10 - E 11 - D 12 - D 13 - C 14 - C 15 - A 16 - A 17 - A 18 - A 19 - C 20 - E 21 - C 22 - E 23 - C 24 - E 25 - E 26 - E 27 - C 28 - E 29 - E 30 - E 31 - E 32 - C 33 - E 34 - C 35 - E 36 - C

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37 - E 38 - E 39 - C 40 - C 41 - E 42 - E 43 - E 44 - E 45 - C 46 - E 47 - C 48 - E 49 - E 50 - C 51 - E 52 - E 53 - C 54 - C 55 - C 56 - E 57 - C 58 - E 59 - E 60 - C 61 - C 62 - E 63 - E 64 - E 65 - E 66 - E 67 - C 68 - C 69 - C 70 - C 71 - C 72 - E


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