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Cadenas de Markov (Ejercicios Resueltos)
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Cadenas de Markov (Ejercicios Resueltos) por GEO Tutoriales el 31/08/2015 en Cadenas de Markov
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Un proceso estocástico en tiempo discreto se denomina una Cadena de Markov en tiempo discreto si y solo sí se satisface la Propiedad Markoviana (esto es básicamente que el futuro t=n+1 es independiente del pasado dado el presente t=n) y Propiedad Estacionaria (la probabilidad de pasar de un estado
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i a un estado j al cabo de una etapa no depende de la etapa n). A continuación presentamos un conjunto de problemas resueltos de Cadenas de Markov que sirvan de complemento para los estudios de nuestros s.
Ejercicios Resueltos de Cadenas de Markov Ejercicio N°1: Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los s por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes: BÚSQUEDAS PATROCINADAS
ejemplo de plan de empresa
analisis de estudio de mercado
aplicacion para ventas
ecuaciones problemas resueltos
Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?. En primer lugar definimos la variable aleatoria
que representa la marca que adquiere un cliente
cualquiera en el mes n. Dicha variable aleatoria puede adoptar los valores 1,2,3 en el mes n=0,1,2,3,.. https://www.gestiondeoperaciones.net/cadenas-de-markov/cadenas-de-markov-ejercicios-resueltos/
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Adicionalmente conocemos cuál es la distribución inicial y la matriz de probabilidades de transición en una etapa tal como se observa a continuación:
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Luego para conocer la distribución de las participaciones de mercado al cabo de 2 meses (2 etapas) podemos utilizar la fórmula
:
Se concluye que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente. Ejercicio N°2: ¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas descritas en el Ejercicio N°1?. La Cadena de Markov del Ejercicio N°1 es irreducible (es decir todos los estados se comunican entre sí) con estados recurrentes positivos y aperiódicos. Lo anterior se concluye luego de la Clasificación de Estados de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto. Verificado lo anterior podemos obtener la Distribución Límite de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto a través del siguiente sistema de ecuaciones:
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La
solución
del
sistema
corresponde
a:
y
,
,
que
representan las cuotas de mercado en el largo plazo para las marcas 1,2 y 3, respectivamente. Notar que las actuales participaciones de mercado difieren significativamente de las cuotas obtenidas en el largo plazo lo cual sugiere que de alguna manera deban ser corregidas las probabilidades de transición. Ejercicio N°3: En una Unidad de Cuidados Intensivos en un determinado hospital, cada paciente es clasificado de acuerdo a un estado crítico, serio o estable. Estas clasificaciones son actualizadas cada mañana por un médico internista, de acuerdo a la evaluación experimentada por el paciente. Las probabilidades con las cuales cada paciente se mueve de un estado a otro se resumen en la tabla que sigue:
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¿Cuál es la probabilidad que un paciente en estado crítico un día Jueves esté estable el día Sábado?.
Sea
la variable aleatoria que indica el estado que se
encuentra un paciente cualquiera en el hospital en el día n. Los valores posibles para dicha variable son C, S y E, representando los estados crítico, serio y estable, respectivamente. Un grafo que representa dicho proceso estocástico dada la tabla anterior es:
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La probabilidad de que un paciente esté en estado crítico el día Jueves y que el día Sábado esté
estable, esta dado por:
, es decir, la probabilidad de
pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas (días).
Notar
que
de
forma
equivalente
se
pueden
utilizar
las
ecuaciones
matriciales
:
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Se comprueba que la probabilidad de pasar del estado crítico al estado estable al cabo de 2 etapas es de un 17%. ¿Cuál es la probabilidad que un paciente que está en estado estable el Lunes experimente alguna complicación y no esté estable nuevamente el Miércoles?. 189 En este caso cambia la distribución inicial respecto al escenario anterior (ahora el paciente está en estado estable), no obstante, también resulta de nuestro interés analizar qué sucede al cabo de 2 46 etapas.
Con color verde se marca la probabilidad de que comenzando en un estado estable al cabo de 2 días un paciente se encuentre en estado crítico o serio. La suma de dichas probabilidades es un 66% que da respuesta a la interrogante anterior. ¿Qué porcentaje de la Unidad de Cuidados Intensivos usted diseñaría y equiparía para pacientes en estado crítico?. Naturalmente se desea estimar la probabilidades de estado en el largo plazo independiente de la distribución inicial. La cadena es irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos. Utilizando las ecuaciones de estado estable presentadas en el Ejercicio N°2 se obtiene que
,
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y
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, que representan la probabilidad de que un individuo se
encuentre en estado crítico, serio y estable, respectivamente. El software Interactive Operations Research Tutorial (IORTutorial) permite estimar las probabilidades de largo plazo luego de ingresar la matriz de probabilidades de transición según se 189 muestra a continuación:
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Comentarios: En el Blog hemos desarrollado otros ejercicios resueltos que recomendamos revisar, entre ellos uno que aborda una Política de Gestión de Inventarios a través de Cadenas de Markov en Tiempo Discreto y Ejemplo de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto. Adicionalmente en la categoría de contenidos de Cadenas de Markov periódicamente estamos publicando nuevo material didáctico sobre dicha materia. Esperamos que este material sea de utilidad para tus estudios y te agradecemos puedas ayudarnos a difundir éste a través de las redes sociales.
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Cadenas de Markov, distribución estacionaria, distribución inicial, estados, IORTutorial, matriz de transición, variable aleatoria
Problema de Producción y Mezcla de Café en Programación Lineal Ejemplo Resuelto MRP (Plan de Requerimiento de Materiales)
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Un Comentario para Cadenas de Markov (Ejercicios Resueltos) Sandra Teresa Paterno
25/08/2017 en 4:54 #
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Me ayudó la explicación. Mi trabajo se enfoca en un estudio sobre cantidad de trabajadores y juicios presentados. Saludos.
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procesos producción programación de trabajos programación
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Ejercicios Resueltos de Cadenas de Markov Ejercicio N°1: Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los s por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes: BÚSQUEDAS PATROCINADAS
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Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?. En primer lugar definimos la variable aleatoria
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Luego para conocer la distribución de las participaciones de mercado al cabo de 2 meses (2 etapas) podemos utilizar la fórmula
:
Se concluye que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente. Ejercicio N°2: ¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas descritas en el Ejercicio N°1?. La Cadena de Markov del Ejercicio N°1 es irreducible (es decir todos los estados se comunican entre sí) con estados recurrentes positivos y aperiódicos. Lo anterior se concluye luego de la Clasificación de Estados de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto. Verificado lo anterior podemos obtener la Distribución Límite de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto a través del siguiente sistema de ecuaciones:
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