Caderno De Apoio 5 Ano Texto Editora w2u60

NOVA EDIÇÃO: s Curriculares ta e M s a m o c o rd o De ac a de 2013. e o Novo Program

ELZA GOUVEIA DURÃO MARIA MARGARIDA BALDAQUE

Índice Capítulo

1 NÚMEROS NATURAIS

Capítulo 3

Saber fazer 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Ficha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Saber fazer 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Ficha 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Ficha 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Ficha 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Capítulo

2 POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

Saber fazer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

67

Problemas 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

9

Ficha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Ficha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Capítulo

Ficha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Saber fazer 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Ficha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Saber fazer 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Ficha 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3 SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES. PROPORCIONALIDADE DIRETA

7 NÚMEROS RACIONAIS

Ficha 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Ficha 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Problemas 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

8 ISOMETRIAS

Saber fazer 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Ficha 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Ficha 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Saber fazer 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Ficha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Ficha 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Problemas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Ficha 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Ficha 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Problemas 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Capítulo

4 FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS. PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

TEXTO

Ficha 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Saber fazer 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

6 VOLUMES

Saber fazer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo

DO PLANO

Capítulo

9 REPRESENTAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS

Saber fazer 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Saber fazer 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Saber fazer 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Ficha 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Ficha 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Ficha 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Ficha 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Ficha 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Ficha 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Ficha 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Problemas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Capítulo

5 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Saber fazer 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Ficha 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Ficha 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Ficha 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Ficha 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Problemas 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

A estudar também podes fazer amigos e divertires-te!

saber

fazer 1

NÚMEROS NATURAIS

Como saber se um número é primo? Um número natural maior do que 1 é primo se tem apenas dois divisores: o 1 e o próprio número. Por outro lado, um número natural maior do que 1 é composto se têm três ou mais divisores. Para saber se um número é primo ou composto, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, … até obter: • resto zero – dizendo, neste caso, que o número é composto

Exemplo: 107 não é divisível por 2, 3 e 5, e:

ou • quociente menor ou igual ao divisor – dizendo que o número é primo.

107 7 37 15 2

e

107 11 08 9

9 < 11 logo, 107 é número primo.

Como se decompõe um número composto em fatores primos?

Divisões sucessivas

Em árvore

Dividir o número dado por um divisor primo.

Escrever o número como produto de outros dois.

Proceder de igual modo com o quociente obtido até encontrar o quociente 1.

Continuar a escrever cada número como produto de outros dois até encontrar apenas números primos.

Turma

«Todo o número natural composto pode ser decomposto num produto de fatores primos, sendo essa decomposição única.» – Teorema fundamental da aritmética. Para decompor um número composto num produto de fatores primos podes recorrer a um dos seguintes processos:

Exemplo:

quocientes

TEXTO

3 × 25 3 × 5 × 5 fatores primos

75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 52

Pratica 1. Decompõe em fatores primos: 200, 242, 147 e 315 . 2. Será 149 um número primo? Explica. Nome


75

75 3 25 5 5 5 1

N.o

75 3 0 25 5 0 5 5 0 1

3

NÚMEROS NATURAIS

fazer 1

Cont.

saber

4

Como calcular o máximo divisor comum de dois números? Determinar o m.d.c. (96, 120) : Calculando os divisores

Decomposição em fatores primos 120 60 30 15 5 1

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 – divisores de 96 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 – divisores de 120 24 é o maior divisor comum a 96 e 120.

120 = 23 × 3 × 5

Pelo algoritmo de Euclides 120 96 24 1

96 48 24 12 6 3 1

2 2 2 3 5

2 2 2 2 2 3

96 = 25 × 3

Escolhem-se os fatores primos comuns com o menor expoente e efetua-se o seu produto.

96 24 00 4

m.d.c. (96, 120) = 23 × 3 = 24

24 é o m.d.c (96, 120)

Como calcular o mínimo múltiplo comum de dois números? Determinar o m.m.c. (10, 16) : Calculando os múltiplos naturais

Decomposição em fatores primos 16 2 10 2 8 2 5 5 4 2 1 2 2 1

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 … múltiplos de 10 16, 32, 48, 64, 80 … múltiplos de 16 80 é o menor número natural que é múltiplo de 10 e 16. Recorda: o produto de dois números naturais é igual ao produto do seu máximo divisor comum pelo seu mínimo múltiplo comum.

10 = 2 × 5

16 = 24

Escolhem-se os fatores primos comuns e não comuns com o maior expoente e efetua-se o seu produto. m.m.c. (10, 16) = 24 × 5 = 80

Pratica 3. Calcula o m.d.c. e o m.m.c. dos seguintes pares de números, utilizando a decomposição em fatores primos e calculando os divisores e os primeiros múltiplos naturais. 3.1

48 e 80

3.2

72 e 100

3.3

270 e 36

NÚMEROS NATURAIS

1.1

59

1.2

127

231

1.3

1.4

1207

2.4

4004

Págs. 10 a 21

1. Quais dos números seguintes são primos? Justifica com os cálculos necessários.

5

Manual (volume 1)

ficha ficha

11

Números primos e compostos. M.d.c. e m.m.c. de dois números

2.2

108

2.3

250

3. Utilizando a decomposição em fatores primos, determina todos os divisores de: 3.1

500

3.2

118

3.3

75

4. Utilizando a decomposição em fatores primos, simplifica as frações: 144 576

1024 768

512 384

4.2

4.3

Turma

4.1

Prof.

56

Avaliação

2.1

Enc. Educ.

2. Decompõe os seguintes números em fatores primos.

m.d.c. (72, 300)

5.3

m.d.c. (210, 408)

5.2

m.d.c. (306, 410)

5.4

m.d.c. (96, 112)

N.o

5.1

6. Pela decomposição em fatores primos, determina: 6.1

m.m.c. (60, 86)

6.2

m.m.c. (24, 360)

6.3

m.m.c. (96, 112)

6.4

m.m.c. (84, 240)

6.5

1 com 3 usando o m.m.c. (60, 86) . A soma de 60 86

Nome


TEXTO

5. Pela decomposição em fatores primos, determina:

6

NÚMEROS NATURAIS

ficha ficha

11

Cont.

7. Observa os seguintes números e a respetiva decomposição em fatores primos. A

= 22 × 32

B

= 33 × 52 × 7

7.1

Determina o m.d.c. (A, B) e o m.d.c. (B, C) .

7.2

Determina o m.m.c. (A, C) e o m.m.c. (B, C) .

C

= 34 × 52 × 72

8. Escreve dois números tais que o seu m.d.c. seja 140.

9. A Teresa tem dois rolos de fita para fazer laços, um com 154 cm e o outro com 374 cm. Pretende dividi-los em partes iguais, sendo o comprimento de cada parte o maior possível. Qual deve ser o comprimento de cada parte e em quantas partes fica dividido cada rolo de fita?

10.Dois aviões partem juntos do Funchal no mesmo dia. Determina quantos dias depois partem novamente juntos e quantas viagens faz cada um, sabendo que o primeiro avião sai de oito em oito dias e o segundo de 12 em 12 dias.

11. O chão de uma sala retangular tem 450 cm por 350 cm e vai ser pavimentada com mosaicos quadrados. Qual é o maior lado que pode ter cada mosaico, sabendo que só podem ser usados mosaicos inteiros?

12. O produto de dois números naturais é 5070. O m.d.c. desses números é 13. Qual é o m.m.c. desses números?

Como calcular uma potência de base racional e expoente natural? 2 2 Calcular 73 ; 104 ; ; 0,13 . 3 3 • 7 = 7 × 7 × 7 = 343

• 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

2 4 2 2 2 • =×= 3 3 3 9

saber

fazer 2

POTÊNCIAS DE EXPOENTE NATURAL

• 0,13 = 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,001

Calcular a quarta potência de um meio: 4

2 1

1 1 1 1 1 =×××= 2 2 2 2 16

Não confundas: O dobro de 6 é 2 × 6 = 12 O quadrado de 6 é 62 = 6 × 6 = 36

Atenção: O triplo de 4 é 3 × 4 = 12 O cubo de 4 é 43 = 4 × 4 × 4 = 64

Representar 36 como potência de base 6: 36 = 62 Atenção: 2

2 3

4 9

22 3

4 3

2 3

2

2 3

2 9

22 3

2 3

= ; = ; 2 2 = , logo

Como calcular uma soma ou uma diferença de potências? Calculam-se primeiro as potências. 2

1 72 1 71 =8– = – = 9 9 9 9

• 24 + 72 = 2 × 2 × 2 × 2 + 7 × 7 = = 16 + 49 = = 65

1 • 23 – 3

• 103 – 35 = 10 × 10 × 10 – 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = = 1000 – 243 = = 757

4 1 4 2 2 • 0,12 + = 0,01 + = += 5 25 100 25 (× 4) 17 = 100 Turma

Pratica 1. Calcula: 1.3 105

1.2 25

1.4 1100

33 2 1.6 2,12 1.5

N.o

1.1 52

3 2

2.1 o cubo de 1

2.3 o quadrado de

2.2 o triplo de 1

2.4 o dobro de

3 2

3. Liga cada expressão ao seu valor. 2

1 52 – 2

82 + 130 43 2

33 2

–

18,5 24,75 130 2

Nome


TEXTO

2. Calcula:

7


fazer 2

Cont.

saber

8

Como multiplicar potências com a mesma base? Escrever 124 × 123 na forma de uma única potência: 124 × 123 = 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 = 124 + 3 = 127 4 vezes

3 vezes

O produto de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base e com expoente igual à soma dos expoentes. am × an = am + n , com m e n números naturais e a número racional 5 3 5 2 5 3+2 5 5 Exemplos: × = = 3 3 3 3

0,17 × 0,12 = 0,17 + 2 = 0,19

Como dividir potências com a mesma base? Escrever 135 : 132 na forma de uma única potência: 13 × 13 × 13 × 13 × 13 135 : 132 = = 135 – 2 = 133 13 × 13 O quociente de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base e com expoente igual à diferença dos expoentes. am : an = am – n , com m e n números naturais, tais que m > n , e a número racional (a ≠ 0) 3 43 – 40 3 3 3 40 Exemplo: 1,543 : = = 2 2 2

3 Nota: = 1,5 2

Pratica 4. Liga as representações do mesmo número. 10

7 2

7 × 2

25

64 × 62

63 × 64

66

67

63 × 6 × 65

68

67 × 62 × 6

69

610

2

3

4 2

4 2

×

3,511

5. Completa: 5.1 87 : 82 = _______

___

5.4 0,110 : 0,17 = _______

5.2 1112 : 1110 = _______ 5.3 209 : 203 = _______

___

___

5.5 2,513 : 2,57 = _______ 9

___

___

4 : 0,25 = _______ 1

5.6

___

1 Nota: = 0,25 4

saber

fazer 3


Como multiplicar potências com o mesmo expoente? Escrever 24 × 34 na forma de uma única potência: 24 × 34 = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3) = = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = = (2 × 3)4 = 64 Logo: 24 × 34 = (2 × 3)4 = 64 O produto de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmo expoente e com base igual ao produto das bases. am × bm = (a × b)m , com a e b números racionais e m número natural 7 2 3 2 7 3 2 7 2 Exemplos: × = × = 3 2 3 2 2

7

7

4 × 4 = 4 × 4 = 1 1

7

1

7

Como dividir potências com o mesmo expoente? Escrever 122 : 62 na forma de uma única potência: 12 × 12 12 12 12 2 122 : 62 = = × = = 22 6 6 6 6×6

Logo: 122 : 62 = (12 : 6)2 = 22 O quociente de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmo expoente e com base igual ao quociente das bases.

7 3 7 3 3 1 7 3 7 Exemplos: : 27 = : 2 = × = 2 2 2 2 4

3,24 : 24 = (3,2 : 2)4 = 1,64

N.o

Pratica

Turma

am : bm = (a : b)m , com a e b números racionais (b ≠ 0) e m número natural

1.1 45 × 25 = 85

1.8

1.2 24 × 34 = 68

1 1.9 34 :

1.3 53 × 5 = 253

1.10

0,913 : 0,113 = 913

9 × 92 = 92

1.11

2,32 × 2,3 = 2,32

1.5 64 : 62 = 62

1.12

4,110 : 4,19 = 4,1

1.4

107 = 14 10

1.6 3 1.7

123 : 63 = 23

0,24 × 0,14 = 0,024 4

3 =1

10

5 3

1.13 1.14

4

: 0,63 = 0,67

1 11 = 0,52 0,513 : 2

Nome


TEXTO

1. Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas, corrigindo as falsas.

9

POTÊNCIAS DE

10 EXPOENTE NATURAL

saber

fazer 3

Cont.

Como calcular uma potência em que a base também é uma potência? Trata-se de calcular uma potência de potência. Por exemplo: (52) = 52 × 52 × 52 = 52 + 2 + 2 = 53 × 2 = 56 3

Para elevar uma potência a um novo expoente mantém-se a base e o expoente é igual ao produto dos expoentes: m

(an) = an × m , com a número racional e m e n números naturais Exemplo: (1,24) = 1,24 × 2 = 1,28 2

2

2

(23) 23 ou seja 26 29

Atenção:

potência em que o expoente é uma potência

potência de potência

Como calcular o valor de uma expressão que envolve + , – , × , : e ( ) ? 3

• Calcularam-se as potências. • Calcularam-se as expressões dentro de parênteses. • A multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a adição e a subtração. • Entre duas operações com a mesma prioridade, efetua-se primeiro a que aparece em primeiro lugar.

1 – 0,52 : (2 + 22 – 4) + 1100 = 4× 2 1 – 0,25 : (2 + 4 – 4) + 1 = = 4 × 8 1 = 4 × – 0,25 : 2 + 1 = 8 4 1 11 3 = – +1= +1= 8 8 8 8

Como ar de linguagem natural para linguagem simbólica? 2

• Quadrado do triplo de sete

7 3× 2 (3 × 7)2

• Diferença entre o quadrado de três e o quadrado de dois

32 – 22

• Quadrado da diferença entre três e uma décima

(3 – 0,1)2

• Triplo do quadrado de sete meios

Pratica 4 2

1 2. Aplica a potência de potência a ea . 2 3. Descobre os erros nas expressões seguintes e corrige-os. 3 (0,12)

3.1 3 × (5 + 1) = 3 × 5 + 1 = 16 3.2 17 – 2 × 5 = 15 × 5 = 75 3.3 12 : 6 : 2 = 12 : 3 = 4 3.4 Quadrado da soma de sete com dois:

72 + 22 = 53

4. Calcula o valor das expressões. 2

5 3

4.1 9 ×

2

– 52 : (2 + 32 : 3) + (0,12)

2

2 5

4.2 5 ×

2 2

1 : 0,4 + 2


11

1. Qual das amigas tem os cálculos corretos? Justifica a tua resposta.

Págs. 34 e 35

Manual (volume 1)

ficha

2

Potências de base racional e expoente natural

72 = 14 33 = 9 25 = 10

Enc. Educ.

72 = 49 33 = 27 25 = 32

Teresa

Prof.

Maria

2.3

dez milhões;

2.2

uma centena de milhar;

2.4

cem milhares de milhões.

3. Completa:

2

2 5

3.1 ________ =

1 3.2 = ___ 8

___

3.3

100 = ________

8 = ___ 27

3.4

___

___

4. Qual é menor: 57 ou 75 ?

0,01 = ________

9 = ___ 4

3.6

___

___

6. Escreve em linguagem simbólica e calcula: 6.1

o dobro de duas décimas;

6.2

o quadrado de um meio;

6.3

o triplo de dois terços;

6.4

o cubo de dois terços;

6.5

a quarta potência de dois quintos;

6.6

o quádruplo de dois quintos;

6.7

a quinta potência de três meios;

6.8

o quíntuplo de três meios.

Nome


TEXTO

5. Qual é a menor potência de 4 que é maior do que 104 ?

3.5

Turma

dez mil;

N.o

2.1

Avaliação

2. Representa como potência de base 10:

POTÊNCIAS DE

12 EXPOENTE NATURAL

7. Observa a representação de três cubos. C

ficha

2

Cont.

B

A

Aresta = 1,2 cm

Comprimento total das arestas = 48 cm

Representa por uma potência com base e expoente: 7.1

a medida da área da base do cubo A;

7.2

a medida do volume do cubo A;

7.3

a medida da área lateral do cubo B;

7.4

a medida do volume do cubo C;

7.5

a medida da área total do cubo C.

8. Calcula: 8.1 22 – 0,12 2

2 3

8.2 8.3

2

2 + 3

(5 – 2)3 + 0,52

8.4 199 + 82 – 1200 2

2 1 + + 04 3 3

8.5 2

9. Descobre o número misterioso. 9.1 23 + 1 = ?2 9.2 72 + 25 = 3? 9.3 29 – 73 = ?2 9.4 32 + 42 = ?2 9.5 ?3 + 62 = 102

Área de uma face = 36 cm2


1.1 72 × 74 = 76

106 = 103 × 102 3 5 5 5 5 1.3 × × = 2 2 2 2

Págs. 36 e 37

1. Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas, corrigindo as falsas.

13

Manual (volume 1)

ficha

3

Multiplicação e divisão de potências com a mesma base

1.2

4

5

2

7 7 : = 12 3 3 1.5 102 = 1015 : 1013 1.6

418 : 48 : 49 = 4

1.7

0,63 + 0,62 = 0,65

Enc. Educ.

1.4

1.8 63 – 6 = 62

2. Completa com uma potência ou um expoente, de forma a obteres afirmações verdadeiras.

2.2

7

= 45

× 74 = 710

2.3 57 : _______

___

2.4

___ 212 = _______ 210

2.5

11

2.6

_______

2.7

157 : _______

___

× 114 : 113 = 113

2.8 512 : 5

___

___

___

:

= 1,5 8

___

6 6 2.12 1,2 × = 5 5 16 4 2.13 : = 9 3 1 = 2 7 ___ 7 13 7 2.11 : = 3 3 3 2.10

= 52

13

3 2

2.9

0,56 ×

___

8

7

10

___

= 2516 : 2514 ___

× 152 = 156

Turma

___

___

Prof.

43 × _______

= 53

N.o

3.1 34 × 32 × 3

3.5

0,17 × 0,12 × 0,1

3.2 63 × 6 : 62

3.6

2,43 × 2,4 : 2,42

3.3 94 × 93 : 95

3.7

114 × 112 : 113

4

3

3 × 2 53 7 3.8 × 8

3 : 1,55 2 50 7 7 : 8 8

100

4. Escreve sob a forma de uma única potência de base 10 e calcula: 4.1

3 × 102 104 × 10 8 10

4.2

15 10 3 10 × 109 × 10

Nome


TEXTO

3. Escreve na forma de uma única potência.

3.4

Avaliação

2.1

POTÊNCIAS DE

14 EXPOENTE NATURAL

5. Observa os seguintes exemplos: • 3 × 23 = 3 × 2 × 2 × 2 = 24

ficha

3

Cont.

Calculam-se primeiro as potências.

• 24 : 23 = 24 : (2 × 2 × 2) = 3 Calcula: 5.1

5 × 23

5.2

3 × 42

2

24

5.3

160 :

5.4

54 : 32

5.5 102 × 23

5.7

3 3× 9

5.8

3 5: 2

5.9

1 0,13 × 2

3 2

5.6 23 × 9

5.10 2 × 0,4 10

2 6. Escreve 295 e 3

:

6.1

como um produto de potências com a mesma base;

6.2

como um quociente de potências com a mesma base.

7. Completa com os símbolos > , < ou = . 7.1

712 : 710 _______ 49

7.2

54 × 53 : 56 _______ 5

7.3

1217 : 1216 × 12 _______ 24

7.4

3310 : 339 × 334 _______ 11

7.5 1017 7.6

:

2

1015

×

104

_______

3 1,515 : 2

7.8

4 0,754 : 0,752 _______ 3

27 _______ 8 2

5

: 0,2 1 5

7.9

107

1817 × 1815 _______ 182 18

12

7.7

7.10

4

× 5 _______ 0,5

0,112 × 1012 _______ 1

8. Representa a tua idade por uma expressão numérica que inclua produtos e quocientes de potências com a mesma base.

9. Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras. ___

9.1

63 + 2 = ___

9.2

109 – 5 = ___

× ___

___

___

: ___

___

9.3

0,25 – 2 = ___

9.4

0,253 + 2 = ___

___

: ___ ___

___

× ___

___


43 × 23

1.2

102 × 32

1.3 74

×

1.9

0,42 × 0,12 2

×5 1 5

1.10

24

1.4 63 × 43

Págs. 38 a 41

Manual (volume 1)

1. Escreve na forma de uma única potência: 1.1

15

2

3

3

3 × 2

2 3

1.11

1.5

45 : 25

1.6

207 : 57

1.7

493 : 73

1.8

1012 : 212 × 212

5

8 3

: 45

1.12

1.13

Enc. Educ.

ficha

4

Multiplicação e divisão de potências com o mesmo expoente

7,53 : 0,53

204 = 24 × 10

1812 = 312 × ___

2.4

613 = 1213 : ___

2.5

254 : 54 = ___ :

93

= ___

0,54 × ___

2.8

1,45 = 1,43 × 1,4

= 24

___

2.3

2.6 903

___

2.7

___

___

___

___

___

7

= 8 × ___ 8 6

7

2.9

9

× ___ 5 4

2.10

___

___

=1

3. Indica se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifica a tua resposta. 3.1 23 × 53

representa um número com cinco algarismos.

3.2 65 : 25

representa o mesmo que 32 × 33 .

Avaliação

= 163

O produto do quadrado de dois pelo quadrado de três é o quadrado de seis.

3.4

0,117 : 0,115 é maior do que uma centésima.

3.5 53 × 18 × 23

3,22a

3.6 3,22b

é o mesmo que dezoito milhões.

= 3,22a + b sendo a > b . Nome


TEXTO

3.3

Turma

2.2

___

N.o

2.1 83 × ___

Prof.

2. Completa com uma potência ou um expoente, de forma a obteres afirmações verdadeiras.

POTÊNCIAS DE

16 EXPOENTE NATURAL

ficha

4

Cont.

4. Transforma cada expressão numa única potência. 4.1

42 × 43 : 25

4.4

410 : 210 × 24

4.2

44 : 41 × 23

4.5

93 × 23 : 93

4.3

156 : 56 : 33

4.6

113 × 23 : (2 × 22)

11

2 5. Escreve 249 e 3

:

5.1

como um produto de potências com o mesmo expoente;

5.2

como um quociente de potências com o mesmo expoente.

6. Lê o seguinte texto.

Eu tenho 45 × 35 : 124 anos.

Diogo

Eu tenho 217 : 215 × 22 anos.

Eu tenho, em anos, o dobro do cubo de dois.

João

Pedro

Quem é o mais novo? Justifica a tua resposta.

7. Escreve na forma de uma única potência com base e expoente. 3

7.1 (0,12)

3

7.4

0,12

7.5

23

7.6

0,25

2 2

7.2

7.3

(0,25)

2 3

2

2

16 8. Escreve uma potência de potência que represente . 81

2


1.2 23 × 22 – 423 : 422

1.3 52 + 202 : 42

617

:

616)

+

213

1.5

(2 +

:

1.6

326 : 166 – 213 : 212 × 2

20

7 –1 4

5 : 2– 4

3 16

14

14

5 –1 3

1.10

211

20

1.9

1.4 64 : 34 – 152 : 52

10

1 32 + 0,511 : 2 20 5 1 1.8 + 2 : 2 3 1.7

Págs. 42 e 43

Manual (volume 1)

1. Calcula: 1.1 22 + 317 : 315

17

3 × 2 2

1 3 × 3 4

1.11 :

15

2

3 : 4

+ 2 × 0,12 Enc. Educ.

ficha

5

Prioridade das operações. Regras operatórias

+ 0,3 × 22

105 × 19 × 103 = 19 × 108

_______________________________________________________________

2.2

2 × 37 + 5 × 37 = (2 + 5) × 37

_______________________________________________________________

2.3 33 × 64 × 32 × 6 = 35 × 65

_______________________________________________________________

3. Coloca, por ordem decrescente, os números representados em cada cartão. A cada número faz corresponder a respetiva letra. Se as colocares corretamente, obterás o nome de um português célebre. Quem foi e por que motivo se celebrizou?

C 2 + 23 22

M 22 23 : 2

O (22 + 23) : 2

5. Calcula o valor da expressão. 8

5

3 1 1 2× + : – 1 + 2 × 0,12 23 2 2

Nome


TEXTO

4. Sabe-se que num milímetro cúbico de sangue há cerca de cinco milhões de glóbulos vermelhos. Quantos glóbulos vermelhos há em 2 litros de sangue? Apresenta a resposta como potência de base 10.

N.o

Turma

+

S 23 : 22 : 2

+

+

A 23 22 - 2

+

E 2 23 : 22

Avaliação

2.1

Prof.

2. Que propriedades da multiplicação se aplicaram nas igualdades seguintes?

POTÊNCIAS DE

18 EXPOENTE NATURAL

ficha

5

Cont.

6. Para calcular a medida da área do roseiral, que vês representado, três amigos escreveram: Nuno: 35 × 15 – 152

Rui: 35 – 152

35 m

Jorge: (35 – 15) × 15

Quem se enganou? Explica os cálculos efetuados pelos outros dois amigos.

Horta

15 m

Roseiral

15 m

7. Verdadeiro ou falso? 7.1

24 = 2 × 4

7.4

O produto de quatro pelo quadrado da soma de um meio com um quarto é o quadrado de quinze décimas.

7.2

0,22 = 0,2 × 2

7.3

154 : 54 = 38

8. A figura ao lado é formada por um triângulo e por um quadrado. Para esta figura, o que representa a expressão 82 + 82 : 2 ? Calcula-a.

8m

16 m

9. Qual é o valor de a ? 9.1

63 × a3 = 423

9.3

(22)a = 224

9.2

154 : a4 = 34

9.4

(514 : 52)a : (514 × 53) = 57

10. Observa as figuras A e B. Os cubos são congruentes. Escreve uma expressão numérica onde uses potências e que represente: 10.1

a medida do volume do paralelepípedo A;

10.2

a medida do volume do cubo B.

A

45 cm

B

11. Observa os cálculos: 45 cm

5 5 + 5 + = 11 5

5+5 5 – = 3 5

Em cada expressão, o número 5 entra quatro vezes. Usando quatro vezes o número 5, escreve três expressões com resultados diferentes.

saber

fazer 4

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES. PROPORCIONALIDADE DIRETA

Como determinar termos, ordens e lei de formação de uma sequência? Exemplo: 9, 18, 27, 36, 45, … → é a sequência dos múltiplos naturais de 9: • 9 é o primeiro termo desta sequência ou termo de ordem 1 e 36 é o quarto termo ou termo de ordem 4. • 9 × n ou 9n é a lei de formação ou termo geral desta sequência, sendo n número natural. Como descobrir termos de uma sequência? Exemplo:

1.o termo

2.o termo

3.o termo

•••

itindo que a regularidade se mantém, deves observar e descobrir essa regularidade: neste caso, cada termo tem mais dois quadrados do que o termo anterior.

Assim: A sequência numérica correspondente é 1, 3, 5, 7, 9, … 4.o termo

5.o termo

Como determinar termos de uma sequência conhecida a sua lei de formação? 1 Exemplo: Determinar os dois primeiros termos da sequência cuja lei de formação é + 2n2 . 3 1 1 7 1 1 25 Para n = 1 , vem + 2 × 12 = + 2 = Para n = 2 , vem + 2 × 22 = + 8 = 3 3 3 3 3 3

Exemplo: 4, 7, 10, 13, 16, … • O 1.o termo é 4 e cada termo é a soma do termo anterior com 3.

Turma

Como formular em linguagem natural a lei de formação compatível com uma sequência parcialmente conhecida?

N.o

• Simbolicamente, a expressão geradora desta sequência é 3n + 1 .

Pratica

1.1

…

1.2

1 1 1 , , … 3 6 9

2 e cada termo seguinte é metade do ante2. O primeiro termo de uma sequência é 3 rior. Escreve os quatro primeiros termos da sequência. 3. Escreve os três primeiros termos da sequência cuja lei de formação é: 1 3.1 3 + 5n2 3.2 + 2n2 7

Nome


TEXTO

1. Observa cada uma das seguintes sequências. Descobre uma regularidade e determina os três termos seguintes.

19

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.

20 PROPORCIONALIDADE DIRETA

saber

fazer 4

Cont.

O que é uma razão? E uma proporção? Exemplo: 3 A razão entre o número de círculos e o número de triângulos é . 2 3 A razão é um quociente («três para dois») ou 3 : 2 ; 2 3 é o antecedente e 2 é o consequente. 3 12 Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Em = , 8 2 3 12 Exemplo: = 3 × 8 = 2 × 12 8 2 • 3 e 8 são os 1.o e 4.o termos da proporção: são os extremos. • 2 e 12 são os 2.o e 3.o termos da proporção: são os meios. Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Como averiguar se duas grandezas são diretamente proporcionais? Duas grandezas são diretamente proporcionais se é constante o quociente entre os valores correspondentes das duas grandezas, tomadas na mesma ordem. Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade. ×5

Exemplo: ×3 Número de latas de sumo

1

3

5

Preço (euros)

0,80

2,40

4,00

×3 ×5

0,8 = 0,8 1

2,4 = 0,8 3

4 = 0,8 5

× 0,8

É a constante de proporcionalidade e representa o preço de uma lata de sumo.

O preço é assim diretamente proporcional ao número de latas de sumo. Também o número de latas de sumo é diretamente proporcional ao preço. As duas constantes de proporcionalidade são inversas uma da outra. Qual o significado de «A escala de um mapa é 1 : 5000 »? Significa que, por exemplo, 1 cm no mapa corresponde a 5000 cm na realidade. O que é uma percentagem? 5 É uma razão em que o consequente é 100. Exemplo: = 5% 100

Pratica 4. Escreve a razão entre a parte colorida e a parte branca da figura ao lado. 5. Escreve proporções cujos termos sejam 2, 3, 8 e 12. 6. Serão diretamente proporcionais as duas grandezas da tabela? Justifica a tua resposta.

Tempo de estacionamento (horas)

1

2

3

4

Preço (euros)

0,90

1,80

2,50

3,00


21

Págs. 58 a 61

1. Mantendo-se a regularidade em cada uma das sequências abaixo, descobre os dois termos seguintes. 1, 1, 1 ,… 1.1 100, 94, 88, … 1.3 2 4 8 1.2 53; 58,5; 64, … 1.4 1, 4, 9, 16, …

Manual (volume 1)

ficha

6

Sequências e regularidades

Enc. Educ.

2. Escreve em linguagem natural a lei de formação de cada uma das sequências do exercício anterior.

A. 6n + 1

B. n + 6

C. 2n + 5

Prof.

3. Qual das seguintes é a expressão geradora da sequência 7, 9, 11, 13, …, itindo que a regularidade se mantém? D. 4n + 3

4. Descobre a expressão geradora de cada uma das sequências e o respetivo décimo termo. 6, 11, 16, 21, …

4.2

2, 5, 8, 11, 14, … Avaliação

4.1

5. Dada a sequência 1, 8, 27, 64, … : Averigua se 120 pode ser termo desta sequência. Justifica.

5.2

Qual é a ordem do termo 343 na sequência?

Turma

5.1

6.1

Supondo que há uma regularidade que se mantém, desenha a figura seguinte da sequência.

6.2

Completa a tabela.

6.3

Escreve a expressão geradora desta sequência.

6.4

Número de hexágonos

1

2

Perímetro

6

10

3

6 18

Algum termo da sequência pode ter 81 fósforos? Justifica. Nome


TEXTO

N.o

6. A Ana construiu as figuras seguintes utilizando fósforos.



ficha

6

Cont.

7. itindo que a regularidade se mantém, descobre a expressão geradora de cada sequência 7.1

1, 2, 3, 4, 5 ,… 2 3 4 5 6

7.2

3 , 1, 3, 3 ,… 3, 2 4 5

8. Escreve o quarto e o décimo termo das sequências, cujas expressões geradoras são: 8.1

2 n

8.2

2n n+1

8.3

1 + 4n2 2

9. O João desenhou as figuras seguintes.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

9.1

Supondo que há uma regularidade que se mantém, desenha, no quadriculado acima, a figura 6.

9.2

Prevê o número de triângulos e o número de quadrados necessários para desenhar a figura 10.

9.3

Escreve uma regra que te permita obter o número total de triângulos e quadrados necessários para desenhar uma figura qualquer desta sequência.

1 3 Escreve os cinco primeiros termos dessa sequência.

10. Numa sequência, o primeiro termo é e cada termo seguinte é metade do anterior.

11. Supondo que há uma regularidade que se mantém, escreve os três termos seguintes da

sequência que se apresenta. 22 – 1 ; 32 – 2 ; 42 – 3 ; ________________ ; ________________ ; ________________

12. Qual das expressões: A. n + 6

B. 6 × n + 1

C. 4 × n + 3

te permite determinar um termo qualquer da sequência 7, 11, 15, 19, 23, 27, …? Qual é o vigésimo termo desta sequência?


23

Págs. 62 a 67

1. Num recreio de uma escola, estão 11 professores e 440 alunos. Escreve a razão, na forma simplificada, entre o número de professores e o número de alunos.

Manual (volume 1)

ficha

7

Razão. Proporção. Propriedade fundamental das proporções

Enc. Educ.

2. Para fazer um fato de carnaval, o Samuel usou 1,5 m de tecido vermelho e 3 m de tecido amarelo. Escreve, na forma simplificada, a razão entre o comprimento do tecido amarelo e o comprimento do tecido vermelho.

3.1

Indica os meios e os extremos.

3.2

Faz a sua leitura.

Turma

4. Descobre dois números naturais cuja soma seja 24 e cuja razão seja 1 para 2.

5. Escreve proporções com os números: 3; 4; 6 e 4,5

5.2

1 ; 0,9; 10 e 27 3 N.o

5.1

Avaliação

Prof.

1 2 3. Observa a proporção: = 3 6

6. Descobre o termo que falta em cada proporção. 1 2 = 7 ?

6.2

2 ? = 24 3

6.3

10 4 = 2,5 ?

7. Escreve em linguagem simbólica: «Quinze décimas está para cinco, assim como três está para dez.»

8. Uma receita de batido de morango leva 80 gramas de morango por cada 0,5 litros de leite. O Maciel gastou 240 gramas de morangos e 2 litros de leite. Será que usou os morangos e o leite na proporção indicada na receita? Justifica a tua resposta. Nome


TEXTO

6.1



ficha

7

Cont.

9. Sabe-se que, em cada cinco adultos, dois têm tensão arterial alta. Mantendo-se a mesma proporção, quantos adultos com tensão alta se espera que existam num grupo constituído por 25 adultos?

10. Num grupo constituído por 120 pessoas, seis ainda são fumadoras. Qual é a percentagem de fumadores nesse grupo?

11. Pretende-se construir uma horta, retangular, em que a razão entre o comprimento e a largura seja 7 : 4 . 11.1

Se a horta tem 8 metros de largura, qual é o seu comprimento?

11.2

Determina a área da horta.

12. Num infantário, quatro em cada cinco crianças não têm olhos azuis. Qual é a percentagem de crianças que não tem olhos azuis?

13. Qual é o melhor preço, em cada caso? Justifica a tua resposta. 5 kg 5,25 €

60 bombons 5,15 €

3 kg 3,30 €

30 bombons 2,60 €

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________


25

2 croissants: 1,60 € 3 croissants: 2,40 € 5 croissants: 4,00 € 6 croissants: 4,80 € 3 lápis 1,95 €

4 lápis 2,60 €

Págs. 68 a 71

Manual (volume 1)

1. Observa.

ficha

6 lápis 3,50 €

1.1

Haverá proporcionalidade direta entre o preço e o número de croissants? Em caso afirmativo, qual é a constante de proporcionalidade e o que representa?

1.2

Haverá proporcionalidade direta entre o preço de cada embalagem de lápis e o número de lápis? Justifica a tua resposta.

Prof.

Enc. Educ.

8

Proporcionalidade direta. Escalas e percentagens

2.1

Completa-as.

2.2

Será o perímetro do triângulo equilátero diretamente proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.

Triângulos equiláteros Lado (cm)

0,5

3,5

2,25

5

Avaliação

2. Observa as tabelas ao lado.

Perímetro (cm)

2.3 Será

o perímetro do quadrado diretamente proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.

Lado (cm)

0,3

3

1,5

Turma

Quadrados

Perímetro (cm)

N.o

Área (cm2)


A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade.

3.2 O

ordenado de um farmacêutico é diretamente proporcional ao número de medicamentos que vende.

3.3

Um jardineiro é pago a 8 € à hora. O seu ordenado é diretamente proporcional ao número de horas que trabalha.

Nome


TEXTO

2.4 Será a área do quadrado diretamente proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.



ficha

8

Cont.

4. Na tabela, a distância percorrida por um automóvel, em quilómetros, é diretamente proporcional ao tempo, em minutos.

Tempo (min.)

24

80

Distância (km)

30

100

90 200

4.1 Calcula a distância percorrida em 1,5 horas.

4.2 Quantos minutos demora o automóvel a percorrer 200 km, mantendo a mesma velocidade?

E a percorrer 187,5 km?

5. No talho Avenida, o preço é diretamente proporcional à massa de carne. 5.1

Calcula o preço de 2,5 kg de lombo de porco.

5.2

Que massa tem um frango que custou 3,60 €?

0,8 kg 6,80 €

1,1 kg 2,64 €

6. Quatro cedros iguais custaram 36 €. 6.1

Sabendo que o preço e o número de cedros são grandezas diretamente proporcionais, quanto custam nove cedros iguais?

6.2

Com 180 €, quantos cedros posso comprar? Cedros

7. Observa o anúncio.

25% de entrada

32 800 €

e o restante em 12 prestações mensais iguais.

7.1

Quanto tenho de dar de entrada para comprar o automóvel?

7.2

E quanto tenho de pagar mensalmente?

8. Uma avenida com 3 km de comprimento é representada por 6 cm num desenho feito à escala.

Qual é a escala do desenho?

1.1 Se paguei 2,34 € por 1,30 m de fita, quanto vou pagar por 2,5 m da mesma fita?

Págs. 72 e 73

1 O custo, em euros, de uma fita de seda é diretamente proporcional ao seu comprimento, em metros.

27

Manual (volume 1)

problemas

1


1.2 Quanto vou gastar, em euros, para debruar com esta fita uma toalha retangular de 2 m de com-

primento por 1,5 m de largura?

Enc. Educ.

2 Uma confeitaria fabrica queques de cenoura e queques de amêndoa na razão de 2 para 3. 2.1 Numa fornada de 300 queques, quantos são de cenoura? 2.2 E de amêndoa?

3 Num supermercado, a quantidade de açúcar que se pode comprar com uma certa quantia em Prof.

dinheiro é-lhe diretamente proporcional. 3.1 Completa a tabela ao lado. 3.2 Qual é a constante de proporcionalidade

Açúcar

4 kg

Preço

4,40 €

8000 g

4 hg

Avaliação

e o seu significado?

4.1 Qual é a marca mais vendida nos dois anos considerados?

Os cincos maiores vendedores Viaturas vendidas

2009

2010 18 657

A B C

4.2 Qual é o aumento, em percentagem, da marca D?

D E

26 197 13 727

Turma

em Portugal, e o gráfico ao lado refere-se às marcas (A, B, C, D e E) mais vendidas em 2009 e 2010, no país.

18 828 11 476 18 048 10 041

N.o

4 Em 2010, comercializaram-se 223 491 automóveis ligeiros,

17 257 13 189 15 387

5 O Tomás vai a Londres e a Manuela chegou dos Estados Unidos da América. No dia 04/01/2011, ambos se deslocaram a um banco: o Tomás para trocar 1000 euros em libras e a Manuela para trocar 267,5 dólares em euros. 5.1 Quantas libras vai receber o Tomás?

Divisas Euro/Dólar

1,3375

Euro/Libra

0,8633

Em 04/01/2011

5.2 E quantos euros recebe a Manuela? Nome


TEXTO

Adaptado de Público, 04/01/2011



problemas

1

Cont.

6 Observa a planta da casa da Sónia, desenhada à escala de 1 : 200 . 6.1 Qual é a área ocupada pela casa?

Quarto 6.2 Quais são o comprimento e a largura reais da sala?

Casa de Banho

Sala 6.3 A casa custava 154 000 €, mas teve um descon-

to e ficou por 123 200 €. Qual foi o desconto, em percentagem?

Entrada Cozinha

7 O Francisco recebia 1650 € de ordenado. Em 2011, ano da crise económica em Portugal, viu o seu ordenado diminuído em 4%. Qual ou a ser o ordenado do Francisco?

8 A miniatura representada ao lado tem 23,5 cm de comprimento, enquanto, na realidade, este automóvel tem 4,23 m de comprimento. A que escala está construída a miniatura?

9 O João é sócio de um clube de ténis, onde paga 8 € de mensalidade. Por cada partida que joga acresce o valor de 2 €. 9.1 Completa a seguinte tabela, referente ao que o João pagou nos meses de outubro, novembro e

dezembro, de acordo com o número de partidas que jogou.

N.o de partidas

Outubro

Novembro

Dezembro

7

4

0

Pagamento (euros)

9.2 Trata-se de uma situação de proporcionalidade direta?

Justifica a tua resposta.

saber

fazer 5

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS. PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 29

Como reconhecer um ângulo ao centro numa circunferência? E um setor circular? Ângulo ao centro tem o vértice no centro da circunferência.

Ângulo ao centro convexo

Setor circular é a interseção de um círculo com um ângulo ao centro.

Ângulo ao centro côncavo

O

setor circular

O

O

Como reconhecer um polígono inscrito numa circunferência? Num polígono inscrito numa circunferência, todos os seus vértices são pontos da circunferência. O que é o apótema de um polígono regular? É o segmento da perpendicular baixada do centro do polígono para um lado. Num polígono regular, os apótemas são todos iguais.

apótema

Qual é a posição relativa de uma reta e de uma circunferência?

O

raio T

O

r

r A reta r é tangente à circunferência. O raio é perpendicular à reta r no ponto de tangência T .

A reta r é exterior à circunferência.

Turma

A reta r é secante à circunferência.

Como reconhecer um polígono circunscrito a uma circunferência?

apótema

Pratica 1. Desenha uma circunferência de raio 2,5 cm e constrói um ângulo ao centro de amplitude 45o. 2. Que nome dás à região colorida da figura ao lado? a e da circunferência? Qual é a posição relativa da reta b e da circunferência?

a

O

2.1 Qual é a posição relativa da reta

b

3. Desenha uma circunferência de raio à tua escolha e traça dois polígonos de quatro lados: um inscrito na circunferência e o outro circunscrito a esta.

Nome


TEXTO

Um polígono diz-se circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes à circunferência. Num polígono regular circunscrito a uma circunferência, o apótema é igual ao raio.

N.o

O

r

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.

30 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

saber

fazer 5

Cont.

Como calcular o perímetro do círculo por aproximação de perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência? O perímetro do polígono regular inscrito é um valor aproximado por defeito do perímetro do círculo, enquanto o perímetro do polígono regular circunscrito é uma aproximação por excesso do perímetro desse círculo.

Como calcular o perímetro de um círculo ou o comprimento de uma circunferência usando uma fórmula? Calcula o comprimento de uma circunferência com 2,5 m de raio. A fórmula para calcular a medida do perímetro do círculo é P䉺 = 2 × π × r ou P䉺 = π × d Valor exato: P䉺 = 2 × π × 2,5 O valor exato do perímetro é 5 × π m.

2,5 m

Valor aproximado: usando 3,1416 como valor aproximado de π , vem: P䉺 ≈ 2 × 3,1416 × 2,5 O perímetro do círculo é, aproximadamente, 15,708 m.

Como calcular o diâmetro de um círculo conhecido o seu perímetro? É preciso desenhar um círculo com 12,5664 cm de perímetro. Que diâmetro deve ter esse círculo? (usa π ≈ 3,1416 ) diâmetro = perímetro do círculo : π d = 12,5664 : 3,1416 d=4

O círculo deve ter 4 cm de diâmetro.

Pratica 4. Considerando π ≈ 3,1416 , calcula o valor exato e o valor aproximado do comprimento de uma circunferência com: 4.1 2,4 dm de diâmetro;

4.2 2,4 dm de raio.

5. Desenha, no teu caderno, um círculo com 5,024 cm de perímetro (usa π ≈ 3,14 ). 6. Um polígono regular com 200 lados está inscrito numa circunferência e tem de lado 2,5 mm. Determina um valor aproximado por defeito do comprimento da circunferência onde esse polígono está inscrito.

saber

fazer 6

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS. PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

Como calcular a área de um polígono regular? Vamos calcular a área do pentágono regular da figura ao lado. Unindo o centro do polígono com cada vértice, o polígono fica decomposto em cinco triângulos isósceles congruentes (tantos triângulos quanto o número de lados do polígono). Qualquer um dos triângulos tem por base l , lado do pentágono, e por altura o apótema ap . Então:

ap l

× ap Apentágono = 5 × A⌬ = 5 × l᎑᎑ 2

P᎑ ×᎑ ap Mas 5 × l é a medida do perímetro, P , do pentágono, logo: Apentágono = ᎑ 2 De um modo geral, podemos afirmar: A medida da área de um polígono regular é igual ao produto do semiperímetro pela medida do comprimento do apótema. P × ap A= ᎑ 2

P – medida do perímetro do polígono regular ap – medida do comprimento do apótema

Exemplo: Um pentágono regular tem 85 cm de lado e 58,48 cm de apótema. Calcula a sua área.

Turma

A área é 12 427 cm2.

Pratica

Decompõe o hexágono em seis triângulos geometricamente iguais e com um vértice comum.

1.2

Mostra que os seis triângulos são equiláteros. Determina por dois processos a área do hexágono.

O 2,598 cm

2. Determina a área de um octógono regular com 1,2 cm de lado e apótema aproximadamente 1,45 cm.

Nome


TEXTO

1.1

m 3c

1. O hexágono regular da figura está inscrito numa circunferência de centro O e raio 3 cm.

N.o

5᎑ ×᎑ 85 × 58,48 = 12 427 P × ap = ᎑ A= ᎑ 2 2

31



saber

fazer 6

Cont.

Como calcular a área de um círculo? Quando o número de lados do polígono inscrito na circunferência for muito grande, então a medida do perímetro do polígono tende a igualar a medida do perímetro do círculo e o apótema do perímetro, ap , tende a ser igual ao raio r do círculo. Então, como a área do polígono regular inscrito é: P × ap A= ᎑ 2 se se substituir P pelo P䉺 = 2 × π × r e ap por r , obtém-se a área do círculo: A䉺 = 2 ᎑× ᎑π ᎑× ᎑r × r = π × r2 2

r – medida do raio π (pi) = 3,141592…

Concluímos, assim, que a medida da área do círculo é igual ao produto de π pelo quadrado da medida do seu raio. Exemplo: Calcular a área do círculo da figura. Valor exato: A䉺 = π × r2 A = π × 1,5 × 1,5 , isto é, 2,25 × π cm2 Valor aproximado: tomando 3,1416 para valor aproximado de π :

raio 1,5 cm

A䉺 ≈ 3,1416 × r2 ≈ 3,1416 × 1,52 A área é, aproximadamente, 7,0686 cm2.

Pratica 3. Calcula o valor exato e o valor aproximado da área de cada círculo. Apresenta os resultados em cm2 e usa 3,1416 para valor aproximado de π . 3.1

r = 6,5 cm

3.2

d = 0,3 dam

4. Calcula a área e o perímetro de cada figura (usa π ≈ 3,1 ). 0,5 cm C

A B


Um polígono inscrito na circunferência de centro O .

1.2

Um polígono circunscrito à circunferência de centro O .

1.3

Um ângulo ao centro convexo.

1.4

Um apótema do polígono inscrito na circunferência e um apótema do polígono circunscrito à circunferência.

E H

C

Págs. 92 a 95

1.1

D

Manual (volume 1)

1. Observa a figura ao lado. Usando letras da figura, assinala:

O

F

G

A

B Enc. Educ.

ficha

9

Ângulo ao centro. Setor circular. Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência

2. Que nome tem a região colorida da figura do exercício 1?

• Num polígono regular, os apótemas são todos iguais. • Num polígono regular circunscrito a uma circunferência, o apótema do polígono é maior do que o raio.

Prof.

3. Verdadeiro ou falso?

• A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. b

a

Avaliação

• O lado do hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio.

4. Observa a figura ao lado.

4.2

Qual a posição das retas a , b e c relativamente à circunferência?

O

Turma

4.1

Usa a régua e indica a distância do ponto O a cada uma das retas a , b e c .

N.o

c

5. Na figura, [AC] e [BD] são diâmetros da circunferência de cen5.1

Determina, justificando, as amplitudes dos ângulos ao centro desconhecidos.

A 60° 37'

D

? O ?

B ? C

Os triângulos [OAD] e [BOC] são iguais? Porquê?

5.2

Supõe que o triângulo [OBC] tem 27 cm de perímetro, sendo as medidas dos lados três números naturais consecutivos. Qual seria o comprimento de cada lado do triângulo? Nome


TEXTO

tro O .



ficha

9

Cont.

6. Desenha uma circunferência de centro O e de raio 3 cm. 6.1

6.2

Por um ponto A , cuja distância ao centro O é 5 cm, traça uma tangente à circunferência e designa o ponto de tangência por T . Classifica o triângulo [TAO] quanto aos ângulos e quanto aos lados. —– Se TA = 4 cm , determina a área do triângulo [TAO] .

7. Desenha um quadrado de área 9 cm2 circunscrito a uma circunferência e explica como procedeste.

A

8. Observa a figura ao lado, onde estão inscritos na circunferência de centro O dois polígonos regulares. Sabendo que o lado do hexágono regular inscrito na circunferência é igual ao raio, mostra que a área do hexágono é o dobro da área do triângulo.

B

F O E

C D

I

9. Na figura ao lado está representado um heptágono regular inscrito na circunferência de centro O . O ponto I é o pé da perpendicular tirada de O para [AB] e o ponto J é o pé da perpendicular tirada de O para [EF] .

B C

A O G

D F

E

9.1

—– —– —– —– —– Justifica que OA = OB = OC = OD = OE .

9.2

Justifica que os triângulos [OAB] e [OEF] são iguais.

9.3

Justifica que os apótemas de um polígono regular são todos iguais.

9.4

—– Se a área do triângulo [OEF] for 4,65 cm2 e OJ = 3,1 cm , qual é o perímetro do heptágono regular?

J


Círculo

Diâmetro (cm)

Perímetro do círculo (cm)

A

5

15,708

B

7

21,9912

C

10

31,416

Págs. 96 a 99

Manual (volume 1)

1. Observa o quadro seguinte, onde se registaram os diâmetros e perímetros dos círculos A, B e C, não geometricamente iguais.

Enc. Educ.

ficha

10

Perímetro do círculo

2.1 Se o diâmetro da circunferência anterior ar a um quarto, o que acontece ao perímetro do

C D

N.o

3. Determina o valor aproximado do perímetro da figura ao lado, que é formada por dois semicírculos congruentes com 2 cm de diâmetro (usa π ≈ 3,14 ).

Turma

novo círculo? Justifica.

Avaliação

2. Determina o valor exato e o valor aproximado do comprimento de uma circunferência com 14 cm de raio (usa π ≈ 3,1416 ).

Prof.

Calcula o quociente entre a medida do perímetro de cada círculo e a medida do diâmetro. O que observas?

C

1,5 cm

5. Calcula o perímetro em centímetros (usa π ≈ 3,1416 ): 5.1 de um círculo com 10 cm de diâmetro. 5.2 de um círculo com 10 cm de raio. 5.3 de um círculo com

1 3 ᎑ cm de raio. 2

Nome


TEXTO

4. Determina o valor aproximado do perímetro da figura ao lado, que é formada por um quadrado e um semicírculo de centro C (usa π ≈ 3,14 ).



ficha

10

Cont.

6. Calcula o valor exato e o valor aproximado dos perímetros dos círculos representados Usa π ≈ 3,1416 e apresenta os resultados arredondados às décimas. 6.1

6.2

5

1,4 m

1m 2

7. Quantos metros de rede são necessários, aproximadamente, para vedar cada um dos canteiros representados? Um dos canteiros é um semicírculo e o outro é um quarto de círculo. Usa 3,1416 como valor aproximado de π e apresenta o resultado arredondado às décimas.

A 20 m

B 10 m

8. O João empurrou um aro circular com 40 cm de diâmetro e contou 100 voltas completas. Quantos metros percorreu (usa 3,14 como valor aproximado de π )?

9. O quintal da Rosa tem a forma de um quadrado com um lago circular inscrito, como a figura ao lado representa. 9.1 O diâmetro do lago é 1 dam. Qual é o perímetro do quintal da Rosa?

Lago

9.2 Que distância percorre a Rosa se der três voltas completas ao lago

(usa 3,1 como valor aproximado de π )?

2 cm

10. Calcula o valor aproximado do perímetro da figura ao lado, que é formada por cinco semicírculos (usa π ≈ 3,1 ).

2 cm 2 cm

11. Um polígono regular está circunscrito a uma circunferência e tem 3,2 cm de apótema. Determina um valor arredondado às centésimas do perímetro do círculo (usa π ≈ 3,1416 ).

2 cm


Págs. 100 e 101

1. Desenha, no teu caderno, uma circunferência com 8,16816 cm de perímetro (usa π ≈ 3,1416 ). Explica como resolveste o problema.

Manual (volume 1)

ficha

11

Do perímetro do círculo ao diâmetro

2. Sabendo que o perímetro de um círculo é 37,68 cm, calcula (usa π ≈ 3,14 ): 2.1 o diâmetro;

Enc. Educ.

2.2 o raio.

3. Usa 3,1 para valor aproximado de π e calcula o raio de um círculo cujo perímetro é: 37,2 mm

3.2 31 cm

3.3 217 m

Prof.

3.1

A 29,83 cm

C

6. Uma mangueira com 47,10 m está enrolada à volta de um cilindro, dando 10 voltas completas. Calcula o diâmetro do cilindro (usa π ≈ 3,14 ).

Nome


TEXTO

O

N.o

5. A figura ao lado representa a quarta parte de um círculo. Calcula a soma do comprimento do segmento de reta [OA] com o comprimento do segmento de reta [OC] (usa π ≈ 3,14 ).

Turma

Avaliação

4. Um automóvel deu três voltas completas a uma rotunda circular, percorrendo 226,08 m. Calcula o diâmetro da rotunda (usa π ≈ 3,14 ).



ficha

11

Cont.

7. Um canteiro está dividido em duas partes. Uma parte é um semicírculo de centro C e tem flores. A outra parte é um retângulo e está relvada. Se quisesses vedar com uma rede a parte relvada, de quantos metros de rede precisarias (usa π ≈ 3,14 )?

110,99 0,99 m

C 3,5 m

8. O arco AB mede um terço do comprimento da circunferência de centro C . Calcula o raio da circunferência e o perímetro da figura (usa π ≈ 3,14 ).

C

B

120o

A 6,28 cm

9. Pretende-se fabricar uma caixa que leve à justa três latas cilíndricas iguais às que vês na figura. O perímetro da base de cada lata é 18,84 cm e a altura é 8 cm. Quais são as dimensões da caixa (usa π ≈ 3,14 )?

10. Com 60,288 cm de arame fizeram-se seis circunferências iguais, que vês representadas na figura ao lado. Qual é o perímetro do triângulo (usa π ≈ 3,14 )?

11. O João desenhou um octógono regular com 7,85 cm de lado, inscrito numa circunferência. 11.1 Calcula o perímetro do octógono.

11.2 Toma

o perímetro do octógono como valor aproximado do perímetro do círculo e determina um valor aproximado do raio (usa π ≈ 3,14 ).


1.1 Pentágono,

em que o apótema é aproximadamente 20,7 cm. Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Págs. 102 e 103

1. Calcula a área dos seguintes polígonos regulares com 30 cm de lado:

Manual (volume 1)

ficha

12

Área de polígonos regulares

Enc. Educ.

1.2 Hexágono, em que o apótema é aproximadamente 26 cm.

Prof.

1.3 Decágono (polígono com 10 lados), em que o apótema é aproximadamente 46,2 cm.

5. Um polígono tem de área 624 cm2 e está circunscrito a uma circunferência com 4 cm de raio. Calcula o perímetro do polígono e o comprimento da circunferência (usa π ≈ 3,1416 ).

Nome


TEXTO

4. Um polígono está circunscrito a uma circunferência com 38 cm de raio. Calcula a área do polígono, sabendo que o seu perímetro é 84 dm.

N.o

3. Um quadrado está circunscrito a uma circunferência. O perímetro do quadrado é 68 cm. Determina a área do círculo (usa π ≈ 3,1416 ).

Turma

Avaliação

2. Determina a área da parte colorida do octógono regular, sabendo que tem 16 cm de perímetro e aproximadamente 2,4 cm de apótema.



ficha

12

Cont.

6. Calcula a área da parte colorida da figura, sabendo que é formada por um quadrado, com 17,5 m de apótema, e por um hexágono regular, com 16 m de lado e 13,9 m, aproximadamente, de apótema.

7. Um polígono regular com 240 cm de perímetro está circunscrito a uma circunferência cujo diâmetro é 32 cm. Qual é a área do polígono?

8. Calcula a área de um pentágono regular, cujo perímetro é igual ao de um retângulo com 43 dm de comprimento e 3354 dm2 de área. Sabe-se ainda que o pentágono tem 33,3 dm de apótema.

9. O hexágono regular representado está dividido em dois quadriláteros —– congruentes. Um dos quadriláteros tem 120 cm de perímetro e OH é aproximadamente 21 cm. Determina a área do hexágono.

H O

10. Observa o pentágono regular inscrito na circunferência de centro O . 10.1 Mostra que o triângulo

D

[OBC] é isósceles.

C

E

10.2 Calcula a amplitude dos ângulos desconhecidos.

O

a área do triângulo [OBC] é 15 m2, qual é a área do pentágono?

10.3 Se

? F

? A

?

72° ?

B

11. Num cartão quadrado com 142,4 cm de perímetro desenhou-se uma circunferência com o maior raio possível. Qual é a área de cartão não ocupada pelo círculo? Apresenta o resultado arredondado às unidades (usa π ≈ 3,1416 ).


41

1. Observa as figuras desenhadas em quadriculado de 1 cm de lado. Calcula o valor exato e o valor aproximado da área de cada círculo (usa π ≈ 3,1416 ).

Págs. 104 e 105

Manual (volume 1)

ficha

13

Área do círculo

Enc. Educ.

1 cm

2. Uma circunferência tem 6 cm de diâmetro.

2.2 Sabendo

que o lado do hexágono regular inscrito na circunferência é igual ao raio, determina a área desse hexágono, cujo apótema é 4,128 cm.

π ≈ 3,14 ).

Avaliação

2.3 Calcula o valor exato e o valor aproximado da área do círculo (usa

Prof.

2.1 Determina o seu raio.

A

B

Turma

3. Determina a área de cada uma das figuras coloridas (usa π ≈ 3,14 ).

C

2,5 cm

10 cm 12,4 cm

4. Uma praça circular tem de perímetro 62,8 m. Calcula a área ocupada pela praça (usa π ≈ 3,14 ).

Nome


TEXTO

semicírculo

N.o

12,4 cm



ficha

13

Cont.

5. O comprimento da linha verde representada é 12,56 m. Calcula a área da figura colorida, formada por semicírculos congruentes (usa π ≈ 3,14 ).

D

6. Calcula a área do coração, formado por um quadrado com 8 cm de perímetro e por dois semicírculos geometricamente iguais (usa π ≈ 3,14 ). A

C

B

7. A avó Francisca fez um sorvete de morango numa forma circular de 10 cm de raio. Dividiu-o em quatro partes, como vês na figura, e deu uma parte a cada neto. Sabendo que o Luís comeu o mesmo que a Filipa, quem comeu mais, o Luís ou a Maria? Explica.

José Luís

Filipa

Maria

8. C é um círculo de raio 5 cm e D é um círculo de raio 10 cm. Que relação existe entre a medida da área de D e a medida da área de C?

Qual é o perímetro do canteiro das rosas, sabendo que o canteiro dos cravos é um semicírculo de centro C e que o canteiro dos cravos em conjunto com o canteiro das rosas forma o quarto do círculo de centro O (usa π ≈ 3,1 )?

Págs. 106 e 107

1 O perímetro do canteiro retangular que vês representado é 20 metros.

Manual (volume 1)

problemas

2


Cravos

Túlipas

Rosas

4m O

Enc. Educ.

C

2 A figura representa o tampo de uma mesa com abas, formada por dois semicírculos iguais e um Prof.

quarto de círculo. Calcula o perímetro da mesa (usa π ≈ 3,1 ).

Avaliação

1,2 m

3 De uma folha quadrada com 21 cm de lado cortou-se um quarto de círculo, como vês na figura.

4 Um polígono regular está circunscrito a uma circunferência. O polígono tem 9000 cm2 de área e 500 cm de perímetro. Calcula o raio da circunferência.

Nome


TEXTO

18 cm

N.o

Turma

Calcula o perímetro da parte colorida da folha (usa π ≈ 3,1 ).



5 O tampo de uma mesa é formado por um quadrado e por um semicírculo de vidro. Se o metro quadrado foi 18,50 €, quanto custou o vidro (usa π ≈ 3,1 )?

1,30 m

6 Calcula o valor aproximado das áreas das figuras (usa π ≈ 3,14 ). 6.1

6.2

cm

C

C

cm

3 cm

2

C

6.3

2

problemas

2

Cont.

3 cm

7 Uma chapa metálica é formada por um triângulo e por um semicírculo.

C

6 cm

10 m

Calcula a área da chapa (usa π ≈ 3,14 ). Apresenta o resultado arredondado às décimas.

12 m

8 Determina a área da parte colorida da figura, sabendo que o diâmetro do círculo é 4 cm (usa π ≈ 3,14 ). Que percentagem da área do círculo está colorida? C

9 Um polígono circunscrito a uma circunferência de raio 18 cm tem de área 234 cm2. Calcula o perímetro do polígono.

Como descrever e identificar um sólido geométrico? • É poliedro (convexo), porque é limitado apenas por superfícies planas. • Tem sete faces: seis faces laterais triangulares e uma base que é um hexágono. • Tem sete vértices e 12 arestas. • É uma pirâmide hexagonal.

saber

fazer 7

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 45

• É não poliedro, porque é limitado por superfícies planas e curvas. • Tem duas bases congruentes, que são círculos. • Tem superfície lateral curva. • É um cilindro de revolução.

Quais das figuras planas seguintes são polígonos?

A

B

C

D

E

F

Pratica

N.o

1. Descreve o modelo do sólido representado ao lado. Verifica a igualdade de Euler.

Turma

Um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada. Cada um dos segmentos de reta que constitui essa linha chama-se lado do polígono, assim como o respetivo comprimento. As figuras B, C, E e F são polígonos.

3. Qual é o nome de um poliedro com 21 arestas e nove faces?

Nome


TEXTO

2. Desenha um poligono com seis lados. Que nome tem?


saber

fazer 7

Cont.

Como distinguir prismas e pirâmides? Prismas – Têm duas bases congruentes, situadas em dois planos paralelos, e três ou mais faces laterais, que são paralelogramos. O número de arestas é o triplo do número de lados do polígono da base. Quando o prisma é reto, as faces laterais são retângulos. Caso as bases sejam polígonos regulares, o prisma diz-se regular. Pirâmides – Têm uma base e três ou mais faces laterais, que são triângulos, tendo todos estes triângulos um vértice comum. O número de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base. Uma pirâmide é regular quando a sua base é um polígono regular e as arestas laterais são iguais. Como descobrir o nome de um poliedro (prisma ou pirâmide) conhecendo alguns dos seus elementos? Qual é o nome do poliedro que tem 14 arestas e oito vértices? 14 arestas – não é múltiplo de 3, logo não é prisma; mas é múltiplo de 2, logo é pirâmide. 8 vértices – se é pirâmide, tem sete vértices na base. É uma pirâmide heptagonal. Como completar esta planificação da superfície de um paralelepípedo retângulo? Sabes que as faces opostas do paralelepípedo retângulo são retângulos congruentes. Na planificação dada faltam duas faces, uma congruente com a face colorida e a outra congruente com uma das faces brancas. Imagina o sólido construído. Uma das planificações possíveis encontra-se representada na segunda figura.

Pratica 4. Um prisma pode ter 14 arestas? E uma pirâmide? Quantas arestas tem um prisma hexagonal? E uma pirâmide hexagonal?

5. No teu caderno, desenha uma planificação da superfície de um paralelepípedo retângulo, com 4 cm, por 3 cm, por 2 cm, e uma planificação da superfície de um cilindro, com 3 cm de altura e 3 cm de diâmetro da base.


1. Liga corretamente cada objeto ao modelo de sólido respetivo. 1.1

•

•

•

•

•

•

Págs. 122 a 125

Manual (volume 1)

ficha

14

Poliedros e não poliedros

1.3

1.4

Enc. Educ.

1.2

•

1.5

Prof.

• •

1.7

•

•

•

•

Turma

1.6

Avaliação

•

N.o

2. Dos sólidos representados, assinala os que são poliedros e justifica as tuas opções.

A

B

C

D

Número de:

Número de:

Número de:

Número de:

Faces: _______________

Faces: _______________

Faces: _______________

Faces: _______________

Arestas: ____________

Arestas: ____________

Arestas: ____________

Arestas: ____________

Vértices: ____________

Vértices: ____________

Vértices: ____________

Vértices: ____________

_______________________

_______________________

_______________________

_______________________

Nome


TEXTO

3. Completa, e diz se é pirâmide ou prisma.


ficha

14

Cont.

4. Completa o texto com as palavras da lista ao lado. • círculos • curva • congruentes • não poliedros • esfera • círculo • prisma

4.1 Um cilindro reto tem duas bases que são ________________. 4.2 As bases do cilindro reto são ________________. 4.3 A superfície lateral de um cilindro reto é ________________. 4.4 Um cone tem uma só base, que é um ________________. 4.5 O cubo é um ________________. 4.6 O cone, o cilindro e a ________________ são ________________.

5. Desenha: 5.1 um cone;

5.2 um cilindro reto.

6. De entre as seguintes expressões: • sólido geométrico • poliedro • esfera • pirâmide

• prisma • não poliedro • cilindro • cone

• quadrado • paralelepípedo retângulo • círculo

escolhe o máximo de nomes para caracterizar cada um dos modelos de sólidos geométricos seguintes. 6.1

6.2

6.3

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

7. Observa os seguintes modelos de sólidos geométricos.

A

B

C

7.1 Qual dos sólidos é o intruso? Justifica.

7.2 Para cada um dos poliedros, verifica a igualdade

F+V=A+2.

D


________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

Págs. 126 e 127

Enc. Educ.

________________________

Manual (volume 1)

1. Classifica os polígonos seguintes quanto ao número de lados e indica os que são regulares.

ficha

15

Polígonos. Classificação de prismas e pirâmides

«Um polígono diz-se regular quando tem _________________________________________________ ;

Prof.

2. Completa a frase e dá um exemplo.

por exemplo, ______________________________ .»

C

Não é poligono D

Quadrilátero

H

B

Triângulo

Pentágono

Turma

A

Avaliação

3. Completa o quadro com as letras das figuras.

Hexágono F

G

4. Desenha, no papel ponteado ao lado, um triângulo não regular, um quadrilátero regular e um quadrilátero não regular.

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

5. Quem é quem? 5.1

É o polígono das bases de uma pirâmide com 14 arestas. Quem é? _______________________

5.2 É o polígono das faces de um sólido com seis faces iguais. Quem é? _______________________ 5.3

É o polígono das bases de um prisma com 24 arestas. Quem é? __________________________

5.4

É o polígono das faces laterais de todas as pirâmides. Quem é? __________________________

Nome


TEXTO

N.o

E

I


6. Observa os sólidos geométricos representados a seguir.

ficha

15

Cont.

A

B

C

D

E

F

6.1 Que polígonos são as faces laterais dos poliedros…? A __________________

B __________________

6.2 Que polígonos são as bases dos poliedros…?

C __________________________________ D __________________________________ E

__________________________________

6.3 Escreve os nomes de cada um dos sólidos acima representados.

A __________________________________ B __________________________________ C __________________________________ D __________________________________ E 6.4

__________________________________

F

__________________________________

Qual dos sólidos acima é poliedro não convexo? _____________________________________________________

7. Descreve cada um dos sólidos representados. 7.1

7.2

8. Responde às seguintes questões. 8.1 Num

prisma, que relação existe entre o número total de arestas e o número de lados do polígono da base? E numa pirâmide?

8.2 Uma pirâmide pode ter nove arestas? E um prisma? Justifica. 8.3 Um prisma pode ter 11 vértices? E uma pirâmide? Justifica. 8.4 Imagina

um prisma em que o polígono da base tem 120 vértices. Qual é o número de arestas laterais e totais do prisma?

9. Qual é o nome do poliedro (prisma ou pirâmide) que tem: 9.1 oito faces laterais triangulares?

9.2 18 arestas e seis faces laterais?

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1 cm

1.1 Dá todos os nomes possíveis ao sólido representado. 1 cm

Págs. 128 a 131

1 cm

1. Observa o sólido geométrico ao lado.

Manual (volume 1)

ficha

16

Planificação e construção de modelos de sólidos

51

das figuras seguintes são planificações da superfície do sólido geométrico representado? Assinala com .

B

C

D

2. Dá todos os nomes possíveis a cada um dos sólidos geométricos representados e assinala com as figuras que não são planificações da superfície desses mesmos sólidos.

Avaliação

Prof.

A

Enc. Educ.

1.2 Quais

Turma

2.1

Nomes: ________________________________________ ________________________________________

A

B

C

N.o

________________________________________

TEXTO

2.2

________________________________________ ________________________________________ ________________________________________

A

B

C

3. Planifica, no teu caderno, um cilindro com 4 cm de altura e 2 cm de diâmetro da base.

Nome


Nomes:


ficha

16

Cont.

4. Na figura está representada a planificação da superfície lateral de um poliedro. 4.1 Que nome dás ao polígono da base deste poliedro?

4.2 E ao poliedro?

5. Observa o sólido geométrico ao lado. 5.1 Descreve o sólido representado e identifica-o.

5.2 Para construir o modelo de sólido geométrico representado acima, que planificação escolhes?

Explica por que razão as outras planificações não servem.

A

B

C

6. Observa as figuras A e B.

A

B

6.1 Completa

ou corrige cada uma das figuras, de modo a obteres planificações da superfície de prismas. Copia as planificações obtidas para uma cartolina, constrói-as e identifica cada um dos modelos de prismas. A ______________________________________

B ______________________________________

Enc. Educ.

Págs. 132 e 133

1. Completa as figuras de modo a obteres, em perspetiva, um cubo e um paralelepípedo retângulo.

ficha

17

Perspetiva e vistas de um sólido

Manual (volume 1)


2. Considera um cubo com 1 cm de aresta.

Prof.

2.1 Desenha uma planificação da superfície desse cubo.

Avaliação

2.2 O que podes dizer acerca das vistas de topo, frontal e lateral de um cubo?

Turma

3. Observa o sólido representado, construído com cubos congruentes, e as suas vistas A e B.

A

Frontal

B

C

Lateral direita

3.1 Qual das vistas é a frontal? E a de topo?

3.2 Desenha no quadriculado, em (C), a vista lateral direita. 3.3 Qual é o menor número de cubos congruentes que é preciso juntar ao sólido desenhado para

obter um cubo?

Nome


TEXTO

N.o

Topo


4. Usa cubos de 1 cm de aresta e constrói o sólido geométrico cujas vistas são as seguintes:

ficha

17

Cont.

Frontal

Topo

Lateral direita

5. Desenha as vistas frontal, de topo e lateral do seguinte sólido geométrico representado. Depois, usa cubos congruentes e constrói o modelo de sólido. Topo

Frontal

Lateral direita

6. Para cobrir exatamente as arestas de um cubo, sem sobreposição, a Helena utilizou 180 cm de fita-cola. Qual é o comprimento da aresta desse cubo? 7. Completa a planificação do paralelepípedo retângulo e calcula o comprimento de fita necessária para cobrir todas as arestas sem sobreposição. 0,5 cm

Base

8. Escreve um pequeno texto com o título: «Os sólidos geométricos no meu dia a dia.»

é o prisma que tem um número de faces igual ao número de vértices de uma pirâmide quadrangular?

arestas laterais e totais tem uma piâmide em que o polígono da base tem 110 lados?

2 Descobre o sólido que está na pasta do José, através das seguintes pistas: • é poliedro; • o número de vértices é ímpar; • o número de faces é ímpar e menor do que 7; • o número de arestas é par e menor do que 10.

3 O Tomé está a planear construir um aquário de vidro, que terá as dimensões e a forma de um

Enc. Educ.

1.2 Quantas

Págs. 134 e 135

1.1 Qual

Manual (volume 1)

1 Responde às seguintes questões.

Prof.

problemas

3


15 cm

18 cm

Avaliação

paralelepípedo retângulo, sem tampa, como sugere a figura seguinte.

1 m2 da placa de vidro custar 5 €, quanto custará o vidro para o aquário?

3.2 Se

as arestas forem reforçadas com fita metálica que custe 2 € por metro, quanto custará a fita? N.o

3.1 Se

Turma

25 cm

Quanto vai gastar o Tomé no aquário?

4 Enfeitou-se um prisma hexagonal com estrelas autocolantes, que se vendem em páginas de 12 estrelas. Em cada base colou-se um número de estrelas igual ao m.d.c. (2, 6) e em cada face lateral um número de estrelas igual ao m.m.c. (2, 6) . Quantas páginas de estrelas autocolantes foi preciso comprar?

Nome


TEXTO

3.3


problemas

3

Cont.

5 Observa a figura ao lado. 5.1 Qual

é o menor número de cubos congruentes, como os da figura, que é necessário juntar à construção para obter um paralelepípedo retângulo?

Frontal 5.2 Desenha,

no teu caderno, a vista frontal do sólido geométrico representado.

6 Escreve uma expressão que permita determinar o número de faces de uma pirâmide com um número n de lados no polígono da base.

7 Colou-se em cada face de um cubo um autocolante quadrado na posição que vês na figura ao lado. Sabe-se que o perímetro da face do cubo excede o perímetro do respetivo autocolante em 20 cm. De acordo com a figura, determina x .

x

x

x x

x x

8 Observa a pirâmide quadrangular regular da figura ao lado. 8.1 Sabe-se

que o perímetro da base desta pirâmide é 30 cm e que a altura de uma face lateral é 10 cm. Calcula a área total da pirâmide.

8.2 Verdadeiro

ou falso? Justifica. «A área da base desta pirâmide é 38% da sua área lateral.»

x

x

Como reconhecer sólidos equivalentes? Observa os modelos de sólidos feitos com cubos congruentes.

saber

fazer 8

VOLUMES 57

B

A

C

Cada um dos modelos de sólidos A e B foram construídos com oito cubos congruentes, ocupando igual porção de espaço – são sólidos equivalentes. Dois sólidos equivalentes têm o mesmo volume. O modelo de sólido C, construído com seis cubos congruentes, não é equivalente a A nem a B. Como determinar a medida do volume de um sólido, conhecida a unidade de volume? Tomando

para unidade de volume, a medida do volume de D é 8.

D

Turma

para unidade de volume, a medida do volume de D é 2.

Tomando

A medida do volume depende da unidade escolhida.

A

B

C

1.1 Existem sólidos equivalentes? Justifica a tua resposta.

1.2 Qual é a medida do volume de B e de C, tomando A como unidade de volume? Nome


TEXTO

1. Os seguintes modelos de sólidos foram construídos com cubos congruentes. Observa-os.

N.o

Pratica

58 VOLUMES

saber

fazer 8

Cont.

Quais são as unidades de medida de volume do Sistema Internacional (SI)? Como se relacionam? Unidades de medida de volume

km3

hm3

quilómetro hectómetro decâmetro cúbico cúbico cúbico

Converter: 15 m3 em dm3 7,2 cm3 em m3

m3

dm3

cm3

mm3

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

dam3

15 000 dm3 0,000 007 2 m3

Para medir volumes de líquidos usam-se unidades de medida de capacidade. Unidades de medida de capacidade

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

quilolitro

hectolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

mililitro

Converter: 12 hl em litros 0,4 ml em dal

1200 l 0,000 04 dal

1 dm3 = 1 litro

Como calcular o volume de um cubo? Vcubo = a × a × a

ou

Vcubo = a3

a – medida da aresta 0,8 m

A medida de volume da figura ao lado é: V = 0,8 × 0,8 × 0,8 V = 0,64 × 0,8 V = 0,512

0,8 m 0,8 m

O volume deste cubo é 0,512 m3.

Pratica 2. Converte: 2.1 1 m3

em mm3 _______________

2.2 5 dm3 2.3 0,6 l

em

m3 _______________

2.4 4 dl

em cl __________________

2.5 32,5 l

em m3 _______________

em dm3 ________________

3. Quantos litros de sumo leva a lata representada ao lado?

33 cl 4. Calcula o volume de um cubo com 0,5 dm de aresta.

saber

fazer 9

VOLUMES 59

Como calcular o volume de um paralelepípedo retângulo? Vparalelepípedo = c × l × h

c – medida do comprimento l – medida da largura h – medida da altura

Área da base

3 cm

A medida de volume da figura ao lado é: V = 2,5 × 2 × 3 V = 15

2 cm

O volume deste paralelepípedo é 15

cm3.

2,5 cm

Como calcular o volume de um prisma reto? h – medida da altura Abase – medida da área da base

Vprisma = Abase × h

A medida do volume do prisma triangular A é: 4×3 V = ᎏᎏ × 7 2 V = 42

3 cm

4 cm

A medida do volume do prisma hexagonal regular B é: 2 cm

6×2 V = ᎏᎏ × 1,7 × 8 2 A

V = 81,6

7 cm

O volume é 42 cm3.

1,7 cm

8 cm

B

O volume é 81,6 cm3.

Pratica

O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas.

1. Calcula os volumes dos seguintes prismas retos. 1.3

1.2

Turma

1.1

10 m 3m 7m

4 cm 11 cm

5m

3m

N.o

3 cm

3m

2.1

2.2

10 cm 8 cm

2,4 cm

lado do pentágono = 4 cm apótema da base = 2,75 cm altura = 7,5 cm

3 3. O perímetro da base de um prisma quadrangular é 20 cm e a altura é ᎏ da aresta 2 da base. Determina o volume do prisma.

Nome


TEXTO

2. Calcula os volumes dos seguintes prismas regulares.

60 VOLUMES

Como descobrir a altura de um paralelepípedo conhecidos o comprimento, a largura e o volume? V=c×l×h

Volume = 12 cm3 Altura = ? 3 cm

12 = 1 × 3 × h 12 = 3 × h h = 12 : 3 h=4

Divisão como operação inversa da multiplicação.

A altura é 4 cm.

1 cm

Como construir uma planificação da superfície de um cilindro reto?

1 cm

␲

d 3,1 1

O comprimento do retângulo é igual ao perímetro do círculo da base do cilindro.

+

1 cm

+

saber

fazer 9

Cont.

A largura do retângulo é igual à altura do cilindro.

0,5 cm

Como calcular o volume de um cilindro reto? V = π ×r2 ×h

r – medida do raio da base

Área da base 1m

A medida de volume do cilindro representado ao lado é: V = π × 0,52 × 3 V = π × 0,25 × 3 V = 0,75 × π

3m Valor exato

Considerando π 3,1416 , vem V 0,75 × 3,1416 . O volume deste cilindro é aproximadamente 2,36 m3.

Pratica 4. Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com 12 cm2 de área da base e com 84 cm3 de volume. Que altura tem a caixa?

5. Qual será o volume de uma lata como a que vês representada? Faz uma planificação desta lata cilíndrica (usa π 3,1416 ). 2 dm

2 dm

VOLUMES

1.1

B

C

Tomando como unidade de volume

D

Págs. 8 a 13

Manual (volume 2)

, completa:

• a medida do volume de A é _______________________ • a medida do volume de B é _______________________

Prof.

A

61

Enc. Educ.

1. Observa os seguintes modelos de sólidos representados, constituídos por cubos congruentes.

ficha

18

Sólidos equivalentes. Volume. Medição de volumes. Unidades de medida de volume

• a medida do volume de C é _______________________

1.2

Escolhe uma unidade de volume, de forma que: • a medida do volume de B seja 2

_________________

• a medida do volume de D seja 4 __________________ Alguns dos modelos de sólidos A, B, C e D são equivalentes? Justifica a tua resposta.

2.1

3 dm3 = ___________________ cm3 = ___________________ mm3

2.2

0,7 cm3 = 0,0007 ___________________ = 700 ___________________

2.3

0,9 l = 90 ___________________ = 900 ___________________

2.4

0,6 m3 = ___________________ dm3 = ___________________ l

2.5

3 kl = ___________________ l = ___________________ dl

3. Quantos copos iguais, com a capacidade de 25 cl, se podem encher com 2,5 l de groselha?

Nome


TEXTO

2. Completa:

N.o

Turma

1.3

Avaliação

• a medida do volume de D é _______________________

62 VOLUMES

ficha

18

Cont.

4. Arquimedes verificou que, quando entrava na banheira para tomar banho, a água subia e, quando saía da banheira, a água descia. Por isso, gritou «Eureka!» O que terá descoberto Arquimedes? Como podes determinar o volume de alguns sólidos?

5. Observa atentamente as figuras 1 e 2 ao lado. Qual será, em cm3, o volume de cada um dos berlindes, sabendo que são iguais?

120 ml

120 ml

60 ml

60 ml

Fig. 1

Fig. 2

6. Os modelos de sólidos abaixo representados são formados por cubos congruentes. Cada um desses cubos tem 1 cm3 de volume.

A

B

C

6.1 Qual é o volume dos sólidos A, B e C? 6.2 Desenha a vista de cima de cada um dos sólidos.

7. Uma torneira avariada perde 1,2 dl de água em cada meia hora. Quantos litros de água perde ao fim de 18 horas?

8. Um depósito de água tem a forma de um cubo com 3 m de aresta. Quando cheio, pode levar 30 000 litros de água?

VOLUMES 63

1.1

Determina o volume de cada caixa.

André

A caixa que leva mais cartão é a do Paulo.

Págs. 14 e 15

1. Observa as caixas em cartão, construídas por três amigos.

Manual (volume 2)

ficha

19

Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo

Enc. Educ.

Manuel

Paulo 12 cm

Prof.

10 cm

20 cm

8 cm

0,5 dm 20 cm

8 cm

Comenta a afirmação do André, tendo em conta que cada caixa completa inclui a respetiva tampa.

Turma

1.2

15 cm Avaliação

8 cm

2. Serão equivalentes os sólidos representados? Justifica a tua resposta.

8 cm N.o

4 cm 8 cm

8 cm 16 cm

3. Observa a figura ao lado. Qual será a altura do contentor do camião se o seu volume é 12 m3?

2m

3m

Nome


TEXTO

8 cm

64 VOLUMES

ficha

19

Cont.

4. Lê o seguinte diálogo entre o António e a Fernanda.

A minha caixa também é cúbica e tem 10 cm de aresta, logo tem metade do volume da tua.

A minha caixa cúbica tem 20 cm de aresta.

Comenta a afirmação da Fernanda.

5. Um cubo tem 3 cm de aresta. Indica as dimensões possíveis de um paralelepípedo retângulo cujo volume seja igual ao do cubo.

6. Abriu-se um pacote de sumo de fruta e encheu-se completamente um copo. A altura do sumo no pacote baixou 4 cm. 6.1 Qual é a capacidade do copo?

16 cm

6.2 O pacote de sumo custava 1,80 €, mas agora tem 20%

de desconto. Qual é o seu preço atual? 6 cm 9,5 cm

7. Quanto deverá ter de aresta um cubo que é equivalente a um paralelepípedo retângulo com 0,5 dm por 16 dm por 1 dm?

8. Uma empresa de limpeza compra detergente em pó em caixas, como vês na figura ao lado. 8.1 Qual é a altura da caixa, se o seu volume é 8640 cm3?

8.2 Com o pó da caixa enchem-se caixas cúbicas com 12 cm de aresta.

Quantas caixas se enchem? 10 cm 28,8 cm

Manual (volume 2)

ficha

20

Volume do prisma reto 1. O prisma quadrangular regular representado ao lado está dividido em dois prismas triangulares. Determina, por dois processos, o volume de cada prisma triangular:

Págs. 16 e 17

VOLUMES 65

10 cm

• tendo em conta a decomposição em prismas triangulares; • utilizando uma fórmula.

4,5 cm Enc. Educ.

4,5 cm

Prof.

2. Determina o volume de um prisma hexagonal regular, em que a aresta tem 8 dm, o apótema da base tem aproximadamente 6,9 dm e uma das arestas laterais mede 11 dm.

5. Calcula o volume de um prisma reto com 22 cm de altura e cuja base é o paralelogramo representado na figura ao lado.

3 cm

5 3,2

cm

3,5 cm

Nome


TEXTO

N.o

4. Um prisma hexagonal regular está decomposto em prismas triangulares iguais. A aresta da base do prisma hexagonal é 2 dm, o apótema da base é 1,73 dm e a altura é 5 dm. Calcula o volume de cada prisma triangular.

Turma

Avaliação

3. Um prisma triangular regular é equivalente a um cubo de aresta 12 cm. Determina a área da base do prisma, sabendo que a altura é 48 cm.

66 VOLUMES

ficha

20

Cont.

6. Determina o volume e a área lateral de um prisma triangular regular, sabendo que: • o perímetro da base é 31,14 cm; • a altura da base é 9 cm; 5 da altura da base. • a altura do prisma é ᎏ 3

7. Completa a seguinte tabela, que se refere a prismas retos equivalentes, com 360 cm3 de volume.

Área da base (cm2) Altura do prisma (cm)

28,8

36

12

2,5

8. Uma jarra tem a forma de um prisma pentagonal regular e 1,5 l de capacidade. A área da 3 da sua altura. base é 75 cm2. Deitou-se água na jarra até ᎏ 4 Que quantidade de água ficou na jarra, em litros?

9. Observa o prisma triangular reto ao lado.

D

9.1 Verdadeiro ou falso? Justifica as afirmações falsas.

—– • O prisma tem por altura AB . —– —– —– • O volume é igual a AB × CA × CD . • O prisma tem seis vértices e nove arestas.

C

A

E

F

B

que o prisma tem 120 cm3 de volume e é equivalente a um prisma quadrangular regular com 4 cm de aresta da base. Determina a altura do prisma quadrangular.

9.2 Supõe

VOLUMES 67

1. A lata representada ao lado leva, quando cheia, meio litro de diluente. Concordas com esta afirmação? Justifica a tua resposta (usa π 3,1416 ).

Págs. 18 e 19

Manual (volume 2)

ficha

21

Volume do cilindro reto

Enc. Educ.

12 cm

4 cm

2. Calcula a razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A (usa π 3,1 ). A

2 cm 8 cm

Prof.

B

4 cm

4 cm

Avaliação

3. Fez-se sumo de laranja e encheu-se um recipiente cilíndrico com 20 cm de diâmetro e 30 cm de altura. Quantas canecas, iguais à que vês representada na figura ao lado, se podem encher de sumo (usa π 3,1 )?

Turma

10 cm

4. Um depósito para combustível tem uma capacidade de 1130 l e uma altura de 1 m. Qual é a área da base do depósito?

5. Um reservatório de água cilíndrico tem 4 m de diâmetro e 1,35 m de profundidade. Deitou-se 10 m3 de água no depósito que estava vazio. Que altura atingiu a água (usa π 3,1416 )?

Nome


TEXTO

N.o

6 cm

68 VOLUMES

ficha

21

Cont.

6. Um cilindro reto tem 4 cm de raio e 6 cm de altura. Para este cilindro, calcula (usa π 3,1 ): 6.1 a área da base;

6.2 o perímetro da base;

6.3 a área lateral;

6.4 a área total;

6.5 o volume.

7. Observa a planificação de uma lata de metal.

2,4 cm

2 cm

7.1 Calcula o volume da lata (usa

π 3,14 ).

7.2 Calcula a área lateral da lata (usa

π 3,14 ).

1 Um aquário, com a forma de paralelepípedo retângulo, tem 60 cm de comprimento e 40 cm de largura, e contém água até 10 cm da sua altura. Retirou-se 6 l de água do aquário. A que altura ficou a água no aquário? 10 cm

Págs. 20 e 21

Manual (volume 2)

problemas

4

VOLUMES 69

40 cm 60 cm

2.1 Qual

Enc. Educ.

2 Um poço cilíndrico tem 4 m de diâmetro e 2,40 m de profundidade. é a capacidade, em litros, do poço quando cheio de água (usa π 3,1 )?

o poço vazio, despejou-se 24,8 m3 de água para o seu interior. Que altura atingiu a água no poço (usa π 3,1 )?

3 O retângulo ao lado é a planificação da superfície lateral de

6,28 cm

um cilindro reto. Com este retângulo podem construir-se dois cilindros com a mesma área lateral, mas com volumes diferentes. Observa-os:

3,14 cm

3.2

Perímetro da base = 3,14 cm

6,28 cm

para cada cilindro, o raio da base e a altura (usa π 3,14 ).

Calcula o volume de cada cilindro.

Turma

3.1 Indica,

B

N.o

Perímetro da base = 6,28 cm

Avaliação

A

3,14 cm

Prof.

2.2 Com

cuja aresta de cada um tem 2 cm. 4.1 Qual

4.2

é o volume do sólido representado?

Qual é o número mínimo de cubos congruentes que é necessário acrescentar a esta construção para obter um paralelepípedo retângulo? Qual é o volume desse paralelepípedo?

Nome


TEXTO

4 Observa a figura ao lado, formada por cubos congruentes,

70 VOLUMES

problemas

4

Cont.

5 Observa uma planificação de um cilindro reto. 5.1

Qual é o perímetro de cada um dos círculos das bases do cilindro?

3,1 cm

5 cm 5.2

Calcula o raio da base deste cilindro (usa π 3,1 ).

5.3

Calcula o volume deste cilindro (usa π 3,1 ).

6 Um depósito cilíndrico com 40 cm de diâmetro e 48 cm de altura tem água até 14 cm de altura. Colocou-se uma pedra dentro da água e a

2 3

altura da água ou a ser ᎏ da altura do depósito.

48 cm

Determina o volume da pedra (usa π ≈ 3,1416 ). 40 cm

7 Num paralelepípedo retângulo de madeira fez-

18 cm

-se, ao centro, um furo cilíndrico com a mesma altura do paralelepípedo e obteve-se a peça que vês representada ao lado. Calcula o volume de madeira da peça (usa π 3,14 ).

45 mm

12 cm 60 mm

8 Observa a figura ao lado, onde está representado um cilindro reto com um prisma triangular regular no seu interior. Sabe-se que a área lateral do prisma é 135 cm2, a aresta da base do prisma tem 3 cm e o diâmetro da base do cilindro é 3,46 cm. Determina o volume do cilindro aproximado às unidades (usa π ≈ 3,1416 ).

saber

fazer 10

NÚMEROS RACIONAIS

O que é um número racional?

Quais são os números inteiros?

Por exemplo, os números –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3 são números inteiros.

Um número que se pode representar por uma fração é um número racional. O conjunto formado pelos números racionais positivos, números racionais negativos e o zero chama-se conjunto dos números racionais, e representa-se por Q I .

O conjunto formado pelos números inteiros positivos, números inteiros negativos e o zero chama-se conjunto dos números inteiros ou números inteiros relativos, e designa-se por ZZ .

Os números racionais podem ser representados na reta numérica: T

R

S

-6 -5 -4 -3 -2

1 2

-1

• A abcissa do ponto P é +3 : P +3

Números positivos

P

• A abcissa do ponto R é –2 : R –2

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Origem

1 : • A abcissa do ponto S é – ᎑ 2 1 S–᎑ 2

1 : • A abcissa do ponto T é –3 ᎑ 2 1 T –3 ᎑ 2

O que é o módulo ou valor absoluto da abcissa de um ponto? É a medida da distância desse ponto à origem. 5 e |–0,1| = 0,1 5 =᎑ Exemplos: |+3| = 3 , |–2| = 2 , |0| = 0 , – ᎑ 4 4

冷

«| |» lê-se «modulo ou valor absoluto».

冷

Turma

Números negativos

Qual é o número simétrico de –2? E de 1,2? O simétrico de zero é zero.

N.o

O simétrico de –2 é +2. O simétrico de 1,2 é –1,2. Dois números simétricos têm sinais contrários e o mesmo valor absoluto.

1. Observa a reta numérica.

T Q

N

S 0

M

P

1

1.1 Completa com as abcissas dos pontos:

Q __________ N __________

M __________ P __________

1.2 Qual é o valor absoluto das abcissas dos pontos

S __________ T __________ N, M, P, Q, S e T?

7 ? E de –0,5? 1.3 Qual é o simétrico de +8? E de – ᎑ 3

Nome


TEXTO

Pratica

71


saber

fazer 10

Cont.

Como comparar e ordenar números racionais? Uma reta numérica facilita a comparação e ordenação de números racionais. Um número é tanto maior quanto mais à direita se encontrar na reta.

Ordem crescente

-5 -4 -3 - 52 -2

-1

3 4

0

1

2

3

4 4,5 5

3 < 2 < 3 < 4,5 . 5 < –1 < 0 < ᎑ Assim, – ᎑ 2 4 O que são segmentos orientados? Quando a um segmento de reta se atribui um sentido, obtém-se um segmento de reta orientado. A 0

D

B

1

2

0

3

[A, B] é um segmento de reta orientado positivamente.

1

C 2

3

4

5

[C, D] é um segmento de reta orientado negativamente.

Como adicionar números racionais usando a reta numérica? • (+2) + (–1) é 1 Assinalam-se os pontos de abcissas A +2 e B –1 . Traça-se [O, B] . Com origem em A , desenha-se o segmento com o mesmo comprimento e orientação de [O, B] e obtém-se o ponto S , cuja abcissa é (+2) + (–1) , isto é, 1.

S

B -4

-2

A

0 S

B

-4 A -2

• (–3) + (+2) é –1

S

1 + (–1) é – ᎑ 4 • –᎑ 3 3

-2

-4 3

B

4

0 A 0

-1 3

2

1

Pratica 7 e menores do que 2,5? 2. Quais são os números inteiros maiores do que – ᎑ 2

冷

冨

3 ; –4 ; 1,2 ; –2 ; – ᎑ 1 ;᎑ 7 3. Coloca por ordem crescente: – ᎑ 2 2 4 4. Utiliza segmentos orientados para calcular: • +3 + (–2)

1 + (–1) • –᎑ 2

• +1 + (–5)

5. Identifica a adição que cada figura traduz e indica a soma. 5.1

5.2

-7

-5

-2

0

2

5

-3 - 2

0

1

saber

fazer 11

NÚMEROS RACIONAIS 73

Como calcular a soma de dois números racionais? A soma de dois números positivos é um número positivo cujo valor absoluto é a soma dos valores absolutos das parcelas.

A soma de dois números negativos é um número negativo cujo valor absoluto é a soma dos valores absolutos das parcelas.

Exemplo:

Exemplos:

• (+9) + (+4) = +13

• (–6) + (–2) = –8 1 + –᎑ 4 =– ᎑ 1 +᎑ 4 = –᎑ 5 1 + (–2) = – ᎑ • –᎑ 2 2 2 2 2 2

冢冣冢冣冢

冣

A soma de dois números de sinais contrários é um número cujo sinal é o da parcela de maior valor absoluto e cujo valor absoluto é a diferença dos valores absolutos das parcelas.

A soma de dois números simétricos é zero.

Exemplos:

• (–1,5) + (+1,5) = 0

Exemplos:

• (+5) + (–5) = 0

• (–9) + (+3) = –6 • (+12) + (–5) = +7 • (–2,1) + (+1,7) = –(2,1 – 1,7) = –0,4 Observa mais exemplos:

冢

冢

冣

冢

冢

冣冢

冣

冢

冢

冣

冣

7 + –᎑ 1 =– ᎑ 7 +᎑ 1 =–᎑ 8 = –4 • –᎑ 2 2冣 2 2 2 7 + +᎑ 1 =– ᎑ 7 –᎑ 1 =– ᎑ 7 –᎑ 2 = –᎑ 5 porque ᎑ 1 7 >᎑ • –᎑ 8 4冣 8 4 8 8 8 8 4

冢

Turma

13 = + ᎑ 1 =+ ᎑ 13 – ᎑ 2 =+ ᎑ 11 porque ᎑ 1 13 – ᎑ 1 + +᎑ 13 > ᎑ • –᎑ 冣 3 6 6 3 6 6 6 6 3

N.o

Pratica 1. Calcula:

冢+ ᎑21 冣

1.2 –3 + (–5,1)

1.3

冢– ᎑45 冣 + (+1,8)

1.4 (–1) +

冢–1 ᎑51 冣

冢冣

18 + +9 2

1.5 – ᎑

冢

13 + + ᎑ 1 9 18

1.6 – ᎑

冣

2. Escreve em linguagem simbólica matemática e calcula: 2.1 a soma de duas décimas com o simétrico de três quintos; 2.2 a soma de vinte e uma décimas com menos um quarto.

3. Descobre os sinais que estão em falta. • (+18) + (…24) = –6

• (…2,8) + (…2,2) = –0,6

4. Indica dois números cuja soma seja –0,8 .

Nome


TEXTO

1.1 1,2 +


saber

fazer 11

Cont.

Como subtrair números racionais usando a reta numérica? Exemplo: 4 – (–1) D

Assinalam-se na reta A 4 e B –1 e traça-se o segmento orientado [B, A] . Com origem em O , traça-se o segmento com o mesmo comprimento e orientação de [B, A] . A abcissa da extremidade D desse segmento orientado é 4 – (–1) , isto é, 5.

冢

-1 B

0

1

2

3

4 A

5

D

冣

1 = –3,5 Exemplo: –3 – + ᎑ 2

-4 -3,5-3

-2

-1

0

1 2

1

2

3

Nota: a diferença entre dois números racionais equivale à soma do aditivo com o simétrico do subtrativo: a – b = a + (–b) . 4 – (–1) = 4 + (+1) = 5

e

冢

冣

冢冣

1 = –3 + – ᎑ 1 = –3,5 –3 – + ᎑ 2 2

Observa mais exemplos: • 12 – (+7) = 12 + (–7) = 5

冢冣

冢

冣

冢

冣冢

冣

1 = –᎑ 9 + +᎑ 1 = –᎑ 18 + + ᎑ 1 =– ᎑ 18 – ᎑ 1 = –᎑ 17 pois ᎑ 18 > ᎑ 1 9 – –᎑ •–᎑ 5 10 5 10 10 10 10 10 10 10 10 Como calcular a distância entre os pontos de abcissas A – 4 e B –6 ? A medida da distância entre os pontos de abcissas –4 e –6 é igual ao módulo da respetiva diferença:

B

⎜–4 –(–6)⎢= ⎜–6 – (–4)⎜ = 2

-6

A -5

-4

-3

-2

-1

0

Pratica 5. Constrói, na reta numérica, os pontos que representam as seguintes diferenças: 1 3 5.1 –4 –(–2) 5.2 – ᎑ – + ᎑ 3 2

冢

0 1

冣

0

1

6. Calcula: 6.1 –8 – (–5) 6.2 +26 – (+21)

冢冢

7 3 – +᎑ 4 4 3 3 6.4 – ᎑ – + ᎑ 4 8 6.3 – ᎑

冣冣

冢冣冢冣

2 – –᎑ 3 ᎑ 5 4 7 2 6.6 – ᎑ – + ᎑ 5 3 6.5

7 eC 3 ,B 7. Sendo A – ᎑ +᎑ –0,5 , determina a distância de A a B e de A a C . 2 5 8. Escreve em linguagem simbólica e calcula a diferença entre onze terços e o simétrico de nove meios.

Um prejuízo de 2000 €.

Págs. 36 a 41

1. Representa por um número racional cada uma das seguintes situações. 1.1

75

Manual (volume 2)

ficha

22

NÚMEROS RACIONAIS Representação na reta numérica. Valor absoluto e simétrico de um número. Comparação e ordenação

1.2 Um lucro de 5000 €. 1.3 Uma temperatura de 5,5 oC abaixo de zero.

5 ; ᎑ 4 ; –3 ; 0 ; ᎑ 6 ; 7 ; –33 ; –19 ; – ᎑ 24 ; 0,02 8 ; 1,3 ; ᎑ –2,75 ; – ᎑ 8 4 2 2 4

Enc. Educ.

2. Dos números racionais abaixo representados, indica os números inteiros.

3. Observa a seguinte reta numérica. 0 +1

A

B

C

D

E

F

Abcissa Distância à origem

4. Coloca por ordem crescente: 4.1

1 –1 ; –100 ; – ᎑ 2

5 ; –0,5 2 ; –᎑ 2

4.3

1 ; –᎑ 1 ; –1,5 1᎑ 3 6

5.2

–9 oC ou –8 oC

5.3

–3 oC ou 2 oC

6.2

São dois números inteiros que distam 20 da origem. São __________________

6.3

É um número inteiro maior do que –11 e menor do que –9. É _____________________

4.2

Avaliação

Ponto

F –1,5

Turma

Assinala, na reta numérica, as abcissas dos seguintes pontos. 4 2 1 A –3 B 0 C –᎑ D –᎑ E 1᎑ 3 3 3 3.2 Completa a seguinte tabela. 3.1

Prof.

1

6. Adivinhas! 6.1


–17 oC ou –20 oC

É número inteiro. O seu simétrico é 9. É ___________________

2 ? 1 ?E ᎑ 7. Quais são os números racionais cujo valor absoluto é 1 ᎑ 2 5 Nome

TEXTO

5.1

N.o

5. Qual é a temperatura mais baixa?


8. Indica o simétrico de:

ficha

22

Cont.

–6 ____________

3 –᎑ 7

____________

17 +᎑ ᎑

9. Verdadeiro ou falso? 9 9.1 – ᎏᎏ representa o número inteiro –3. 3

5

____________

0 ____________

9,5 ____________

9.4

–100 > –2

9.7

–5 ∉ ZZ

9.2

Zero não é número positivo.

9.5

|7| = |–7| = –7

9.8

–5 ∈ Q I

9.3

2 ᎏᎏ representa um número inteiro. 3

9.6

O simétrico de zero é zero.

9.9

7 ∉ ZZ –᎑ 7

Início

10. O coelho só pode deslocar-se nas linhas indicadas e sempre para um número maior. Que trajeto tem de seguir para chegar à cenoura? Assinala a sequência de números que corresponde a esse trajeto.

- 19 2

-12

- 100 4

- 30 5

-4,5

-5 1 2

-8

-1 1 3

-7 5

11. Completa com os sinais > , < ou = , de modo a obteres afirmações verdadeiras. 11.1

–16 _______ –13

11.2

0 _______ |+4|

11.3

|–12| _______ |12|

65 –38 _______ –᎑ 5 1 11.5 –19 _______ –9 ᎑ 2 11.4

11.6

11.7

1 –7 ᎑ 2

_______ –8,5

1 2,25 _______ 1 ᎑ 4 25 1 11.9 –3 ᎑ _______ – ᎑ 8 8

11.8

–1,8 _______ +1,8

12. Coloca os pontos O 0 , P –1 , Q 6,5 e R –2,5 na seguinte a reta numérica. -2

6

13. Qual é o número inteiro cujo simétrico está entre 8,5 e 9,5?

14.

Pensei num número inteiro maior do que –15 e menor do que –11, cujo simétrico é número primo. Descobre em que número pensei.

15. Escreve dois números racionais maiores 3. do que –1,57 e menores do que – ᎑ 2

16. Escreve um número racional maior do 5 . 2 e menor do que – ᎑ que – ᎑ 3 12

Manual (volume 2)

1. Utiliza segmentos orientados para calcular: 1.1 (+3) + (–7)

1.3

-8 -6 -4 -2

0

2

4

6

(–5) + (+8)

8

1.2 (–2) + (–6)

-8 -6 -4 -2

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

1.4 (+6) + (–5)

-8 -6 -4 -2

0

2

4

6

8

-8 -6 -4 -2

Enc. Educ.

ficha

23

Adição de números racionais

Págs. 42 a 45


2. Calcula: 2.5

(+8) + (–8)

2.9

(–24) + (–4)

2.2

(–30) + (–20)

2.6

(+11) + (–15)

2.10

(–30) + (+40)

2.3

(–30) + (+20)

2.7

(–5) + 0

2.11

(–19) + (+19)

2.4

(+30) + (–20)

2.8

0 + (–18)

2.12

(–43) + (–3)

Prof.

(+30) + (+20)

Avaliação

2.1

3.1

… Paris era –6 oC. Aumentou 12 oC. Agora é ____________________________

3.2

… Oslo era –8 oC. Desceu 7 oC. Agora é __________________________________

3.3

… Moscovo era –18 oC. Desceu 9 oC. Agora é ____________________________

Turma

3. A temperatura em…

4. Escreve dois números inteiros cuja soma seja: –11

4.2

7

4.3

Zero N.o

4.1

5. Perderam-se os sinais! Descobre-os e completa as seguintes expressões. (–6) + (

1) = –7

5.2

(

5) + (–2) = 3

5.3

(

5) + (

5) = 0

6. Qual é o número inteiro que adicionado com –12 dá –30?


a soma de menos nove com o simétrico de dezoito;

7.2 o simétrico da soma de 12 com o simétrico de menos um.

Nome


TEXTO

5.1


ficha

23

Cont.

8. Utiliza segmentos orientados para calcular: 1 1 8.1 – ᎑ + + ᎑ 2 3

冢冣

-1

0

1

冢冣

5 1 + –᎑ 8 4

8.2 – ᎑

2

-1

0

1

9. Identifica a adição que cada figura traduz e indica a sua soma. 9.1

9.2

S -2

-1

0

1

S 2

-3

3

-2

-1

0

1

10. Calcula:

冢冣

10.4

+0,15 + (–0,2)

10.7

11 2 + –᎑ –᎑ 12 3

冢冣

10.5

2 – ᎑ + (–0,4) 5

10.8

1 + (+0,1) –3 ᎑ 5

冢冣

10.6

1 –3 + 2 ᎑ 2

10.9

7 5 + –᎑ –᎑ 10 4

11.3

–2,8 + (+5,8)

10.1

5 3 –᎑ + –᎑ 4 2

10.2

5 7 +᎑ + –᎑ 3 6

10.3

1 2 –᎑ + +᎑ 7 14

冢冣

冢冣

11. Calcula e indica se o resultado pertence a ZZ . 4 2

11.1 – ᎑ + (–6)

4 5

11.2 –᎑+ (+1,8)


a soma de três décimas com o simétrico de dois terços;

12.2 o módulo da soma de doze décimas com menos um meio.


冢冣

13.3

1 1,5 + –1 ᎑ = 0 2

冢冣

13.4

1 –2,5 + – ᎑ ∉ ZZ 2

1 1 3 – ᎑ + – ᎑ > –1 ᎑ 4 2 4

1 5 7 + –1 ᎑ < ᎑ 3 6 5

13.2 ᎑

冢冣

冢冣

2

3

4

Manual (volume 2)

1. Utiliza segmentos orientados para calcular: 1.1

–2 – (–4)

-3 -2 -1

1.2

0

1

2

–1 – (+1)

-2

3 4

-1

0

1

2

3

Enc. Educ.

ficha

24

Subtração de números racionais

2. Identifica a subtração que cada figura traduz e indica a diferença. 2.1

2.2

D

Págs. 46 a 49


D

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Prof.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3. Calcula, sabendo que a diferença entre dois números racionais equivale à soma do aditivo com o simétrico do subtrativo. 3.5

(–7) – (–11)

3.9

(–18) – (+8)

3.2

(+15) – (–13)

3.6

(–18) – (+17)

3.10

(+29) – (–14)

3.3

(–8) – (+1)

3.7

(–27) – (–27)

3.11

(+100) – (–100)

3.4

(–13) – (–6)

3.8

(–13) – (+9)

3.12

5 – (+16)

Avaliação

(+12) – (+20)

Turma

3.1

4. Num determinado dia, as temperaturas médias em quatro cidades foram: –3 oC

–5 oC

–2 oC


a diferença entre sete e o simétrico de menos três;

5.2

o valor absoluto da diferença entre menos nove e menos treze.

Nome


TEXTO

Calcula a diferença entre a temperatura média mais alta e a temperatura média mais baixa.

N.o

–6 oC


ficha

24

Cont.

6. Utiliza segmentos orientados para calcular: 4 6.1 –1 – + ᎑ 3

冢冣

-3

-2

-1

0

1

2

6.2

冢冣

5 2 – –᎑ 2

-4 -3 -2 -1

3

0

1

2

3

4

7. Calcula, depois de observares o exercício resolvido.

冢冣

冢冣冢

冣

3 5 5 5 1 + –᎑ 8 1 – +᎑ –᎑ = –᎑ = – ᎑ + ᎑ = –᎑ 9 9 9 9 3 3 9 7.1

冢冣

1 –4 – + ᎑ 2

1 –1 ᎑ – (+3) 7

7.7

1 2 – +᎑ ᎑ 4 3

5 1 – –᎑ 4 2

冢冣

7.5

1 –2,8 – + ᎑ 2

冢冣

7.8

1 9 – +᎑ –᎑ 5 4

2,5 – (+1,5)

7.6

1 3 – –᎑ –᎑ 4 2

冢冣

7.9

1 1 – –᎑ –3 ᎑ 4 6

7.2 ᎑

7.3

冢冣

7.4

冢冣冢冣

1 e B 8. Recorrendo à reta numérica, calcula a distância entre os pontos A – ᎑ –2 . 3 9. Verdadeiro ou falso? 9.1

⎜5 – 3⎢ = ⎜3 + (–5)⎢

9.2

1 – 2 – +᎑ 2

⎢ 冢冣⎢ > ⎜–2⎢

冢冣

9.3

5 1 –5 – – ᎑ < – ᎑ + (–1) 7 7

9.4

200 –1 – (+1000) > – ᎑ ᎑ 2

10. A diferença entre duas temperaturas é 22 oC. Se uma das temperaturas é 14,5 oC, qual pode ser a outra? Justifica a tua resposta.

11. Um submarino está a 64 metros de profundidade (–64) e um tubarão está 15 metros acima

dele. Se o submarino subir 12 metros e o tubarão 10 metros, a que profundidade se encontra cada um deles? Qual é agora a distância entre eles?

12. Usando a noção de distância entre dois pontos, explica o significado de ⎜5 – (–3)⎢ .

13. Completa a tabela. + –3

–8

+7 –1 +5

–6 –10

0

Em que ano morreu?

Págs. 50 e 51

1 Um sábio nasceu no ano 287 a.C. e morreu com 58 anos.

81

Manual (volume 2)

problemas

5

NÚMEROS RACIONAIS

1 2 Numa reta numérica, a abcissa do ponto A é – ᎑ . 2

3 Descobre o sinal em falta nas igualdades seguintes.

冢

1 5

冣

3 3

᎑ =᎑

3.1

1,2 +

3.2

冢

3.3

1᎑ –

3.4

–᎑

1 4

冣冢 2冣 1

4 8

冣

4 2

᎑ =᎑

冢– ᎑2 冣 = –0,25 1

Avaliação

3 4

冢

Prof.

᎑ + – ᎑ = –0,25

1 2

Enc. Educ.

Quais são as abcissas dos pontos cuja distância ao ponto A é 2?

4 Observa as sequências seguintes. itindo que há uma regularidade que se mantém, determina, em cada uma, o termo seguinte. 5 , 1 , –3 , –7 , –11 , …

4.2

–2,5 ; –3 ; –3,5 ; –4 ; –4,5 ; …

N.o

Turma

4.1

6 Coloca por ordem decrescente: –2,93 ; –29,3 ; –0,293 ; 2,93 ; –2,39

Nome


TEXTO

5 Escreve dois números racionais compreendidos entre –8 e –8,1 .


problemas

5

Cont.

7 Na reta numérica marca os pontos A , B , C e D , cujas abcissas são respetivamente: 1 1 4 2 – ᎑ ; – ᎑ ; 1 ᎑; ᎑ 3 6 2 3

2 8 O número de operários numa fábrica é ᎑ do número de operárias.

3 Se o total de trabalhadores é 75, quantos são os operários e as operárias?

9 Numa caixa estão berlindes vermelhos, amarelos e azuis: 20% dos berlindes são vermelhos, 40% são amarelos e o número de berlindes azuis é 80. Quantos berlindes há na caixa?

10 Escreve em linguagem simbólica e calcula: 10.1

a diferença entre cento e vinte e cinco centésimas e o simétrico de três quartos;

10.2

o simétrico da soma de menos um sétimo com menos um terço;

10.3

três quartos da soma de uma centésima com vinte e três centésimas.

11 Verdadeiro ou falso? •

3 – ᎑ ∈ ZZ 5

•

0 ∉ IN

•

12 – ᎑ ∉ ZZ 3

•

IN ⊂ ZZ

12 O João pratica natação num clube. O clube oferece as seguintes condições: A: pagar 30 € por ano e 1,5 € por cada entrada. B: pagar 3,5 € por cada entrada. Se, num ano, o João vai à piscina pelo menos duas vezes por mês, qual é a opção que deve escolher? Mostra como chegaste à tua resposta.

saber

fazer 12

ISOMETRIAS DO PLANO 83

Como saber se dois triângulos são iguais? Têm de obedecer a um dos três critérios seguintes: • Os três lados de um serem respetivamente iguais aos três lados do outro – LLL. • Terem, de um para o outro, dois lados iguais e o ângulo por eles formado também igual – LAL. • Terem, de um para o outro, um lado igual e os dois ângulos adjacentes a esse lado iguais – ALA. Em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

Como reconhecer e caracterizar uma reflexão central, uma reflexão axial e uma rotação?

M'

= O' O=

A

A'

P' R'

C B

r

Rotação de centro O e amplitude de rotação α é uma transformação geométrica que a cada ponto P faz corresponder a sua imagem, ponto P’, tal —– o—– que: OP = OP’ e P’ÔP = α .

B'

α

P C'

O

+

Turma

M

Reflexão axial de eixo r é uma transformação geométrica em que cada ponto e a sua imagem estão à mesma distância da reta, ou eixo de reflexão r , e o segmento de reta que une o ponto à sua imagem é perpendicular a r .

R

Pratica A

1. Observa o triângulo [ABC] e constrói as imagens A’ , B’ e C’ dos pontos A , B e C , respetivamente, pela reflexão central de centro B . Justifica que os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são iguais.

C B M

2. Observa o triângulo [MNP] e o eixo r . Constrói as imagens M’ , N’ e P’ dos pontos M , N e P , respetivamente, pela reflexão axial de eixo r . Mostra que os triângulos [MNP] e [M’N’P’] são iguais.

r

N P

Nome


TEXTO

A reflexão central, a reflexão axial e a rotação são isometrias. Conservam os comprimentos e conservam as amplitudes dos ângulos.

N.o

Reflexão central de centro O é uma transformação geométrica que a cada ponto M do plano associa o ponto M’ , imagem de M , tal que: • os pontos M , O e M’ pertencem à mesma reta; • o ponto O é o ponto médio do segmento de reta —–– —–– [MM’] , isto é, MO = M’O .

84 ISOMETRIAS DO PLANO

45˚ A O A’ é a imagem de A pela rotação de centro O , sentido positivo e amplitude 45o.

triz

Para obteres a imagem do ponto A pela rotação de centro O , sentido positivo e amplitude 45o , tens de: • unir o ponto O com o ponto A ; • colocar o transferidor com centro em O e o zero alinhado com o ponto A , e marcar o ângulo de 45o; —– • com o como com centro em O e raio OA , desenhar o arco AA’ .

+

A'

Como construir a imagem de um ponto por rotação?

Como construir a mediatriz de um segmento de reta? Mediatriz de um segmento de reta num dado plano é a reta perpendicular a esse segmento no ponto médio. Os pontos da mediatriz de um segmento de reta são equidistantes dos extremos desse segmento de reta.

me dia

saber

fazer 12

Cont.

A M B

Como construir a bissetriz de um ângulo? A O B

P

Com o como com centro no ponto O , traça-se o arco AB ; com centro em A e em B , e com a mesma abertura do como, • traçam-se dois arcos que se cruzam em P . Traça-se O P , que é a bissetriz do ângulo BOA .

Quando é que uma reta r é eixo de simetria de uma figura plana? Quando as imagens dos pontos da figura pela reflexão de eixo r formam a mesma figura.

Que tipos de simetria podemos observar na figura? O quadrado tem simetria de reflexão, ou axial: ite quatro eixos de simetria. O quadrado tem simetria de rotação, ou rotacional, de ordem 4 (90o, 180o, 270o e 360o), isto é, coincide com ele próprio quatro vezes durante uma volta completa.

O

Pratica

A

3. Constrói a imagem A’ do ponto A pela rotação de centro O , sentido negativo e amplitude 60o.

O

4. Constrói a mediatriz do segmento de reta [BC] . 5. Constrói o ângulo AÔD = 80 o e traça a bissetriz desse ângulo.

C B


Págs.66 a 79

Manual (volume 2)

1. Observa o triângulo [MNP] representado na figura seguinte.

ficha

25

Isometrias

P

M

Constrói os transformados M’ , N’ e P’ dos pontos M , N e P , respetivamente, pela reflexão central de centro P .

1.2

Justifica que o triângulo [M’N’P’] obtido em 1.1 é congruente com o triângulo [MNP] .

1.3

Mostra que a reflexão central de centro em P conserva a distância entre os pontos M e N . Prof.

1.1

Enc. Educ.

N

B

Avaliação

2. Na figura estão representados o triângulo [ABC] e a reta r .

r C

Turma

A

Constrói os transformados A’ , B’ e C’ dos vértices A , B e C do triângulo, respetivamente, pela reflexão axial de eixo r .

2.2

Prova que os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são congruentes.

3. O polígono [A’B’C’D’E’] é imagem do polígono [ABCDE] por uma reflexão central. Descobre o centro dessa reflexão central.

B

A D E C' B'

C E'

D' A'

Nome


TEXTO

N.o

2.1


ficha

25

Cont.

4. A figura ao lado é formada pelo triângulo [ABC] e pelo semicírculo de diâmetro [AB] . 4.1

Constrói a imagem da figura pela reflexão central de centro O .

4.2

—– —– —– Sendo AB = 2 cm , BC = 1,5 cm e AC = 2,5 cm , determina a área e o perímetro da figura (usa π ≈ 3,1416 ).

4.3

Qual é a área e o perímetro da imagem da figura que obtiveste em 4.1? Justifica a tua resposta.

A

O

B

C

5. Desenha a imagem de cada figura por reflexão axial. de eixo r

de eixo s

de eixo t

r

t

s

—– —– 6. Constrói o triângulo [ABC] , tal que AB = 2 cm , BC = 3,5 cm e ABˆ C = 120o . Determina o ponto médio de um dos lados e designa-o por M . Constrói o transformado de cada um dos vértices do triângulo pela reflexão central de centro M e designa a imagem de B por D . Prova que o quadrilátero [ABCD] é um paralelogramo.

7. Comenta a afirmação, justificando: «A figura B é transformada da figura A por uma reflexão central de centro O .» O A

8. Constrói a imagem do triângulo [MNP] pela reflexão axial de eixo r .

B

M

N

r P


2. Na figura seguinte está representado o quadrilátero [ABCD] e o ponto B’ , imagem do ponto B por uma rotação de centro A . Constrói as imagens dos restantes vértices do quadrilátero por essa rotação. B

Págs. 66 a 79

Manual (volume 2)

1. Constrói um triângulo equilátero de perímetro 7,5 cm. Designa-o por [RST] . Constrói as imagens R’ , S’ e T’ dos pontos R , S e T , respetivamente, pela rotação de centro O (ponto exterior ao triângulo), sentido positivo e amplitude 80o. Justifica que o triângulo [R’S’T’] é equilátero.

Enc. Educ.

ficha

26

Isometrias

C

A

Prof.

B' D

Avaliação

3. Na figura seguinte estão representados: • o segmento de reta [CD] ; • o ponto M , ponto médio do segmento de reta [CD] ;

r

M

D

N.o

Turma

• a reta r , perpendicular a [CD] no ponto médio M .

3.1

Que nomes dás à reta r relativamente a [CD] ?

3.2

Assinala um ponto P na reta r não pertencente a [CD] e traça os segmentos de reta [PC] e [PD] . Justifica que os triângulos [PCM] e [PMD] são iguais. Nome


TEXTO

C


ficha

26

Cont.

4. Na figura ao lado, os pontos A’ , B’ e C’ são imagens dos pontos A , B e C por uma reflexão axial de eixo r . Traça na figura o eixo de reflexão r .

A

A' B

B'

C

C'

5. Desenha um ângulo de amplitude 120o e traça a respetiva bissetriz.

6. Constrói um retângulo com 12 cm de perímetro e 2 cm de largura. Traça os respetivos eixos de simetria do retângulo. Calcula a área do retângulo.

7. Completa a figura ao lado de modo que a linha a azul seja eixo de simetria da figura.

8. Qual é a imagem do triângulo B por uma rotação de centro O ? Qual é o ângulo e o sentido da rotação?

A B

O C

9. Desenha uma figura que tenha um centro de simetria, mas que não tenha eixo de simetria. Justifica.

10. Se o triângulo [A’B’C’] é imagem do triângulo [ABC] por uma reflexão axial, traça o eixo de reflexão.

C B B'

A

C'

A'

Págs. 80 a 85

27 ficha

1. Averigua se os polígonos seguintes item simetria de reflexão e simetria de rotação. Em caso afirmativo, desenha o(s) eixo(s) de simetria e identifica a ordem de rotação.

Manual (volume 2)


Simetria de reflexão. Simetria de rotação. Construção de frisos. Construção de rosáceas

Retângulo Triângulo equilátero

Quadrado Enc. Educ.

Quadrilátero

Paralelogramo Pentágono regular

Octógono regular

2. Observa as seguintes figuras.

A

B

C

D

Turma

Avaliação

Prof.

Triângulo isósceles

3. Completa a figura ao lado de modo que a linha a tracejado seja eixo de simetria da figura. A figura que obtiveste ite simetria de rotação? Se sim, de que ordem?

Nome


TEXTO

N.o

Descreve as simetrias que cada uma das figuras ite.


4. Descreve as simetrias que observas em cada rosácea.

ficha

27

Cont.

A

B

5. Observa os seguintes frisos (bandas decoradas com um motivo que se repete infinitamente).

A

B

5.1

Que tipo de transformações geométricas observas em cada friso?

5.2

Constrói um friso, partindo de um motivo a teu gosto, e completa a seguinte rosácea de modo a itir simetria de rotação de grau 6.

6. Observa as figuras e completa.

3 1

2

6.1 A figura que não tem simetria de reflexão é a figura número ____________ . 6.2 A figura que tem simetria de reflexão e de rotação é a figura número ____________ . 6.3 A figura que não tem simetria de rotação é a figura número ____________ .

vértices do triângulo [A’B’C’] .

Págs. 86 e 87

1 Constrói a imagem do triângulo [ABC] pela reflexão axial de eixo Ox . Indica as coordenadas dos

91

Manual (volume 2)

problemas

6

ISOMETRIAS DO PLANO

y

4 2 2

4

A

x

C

B

Enc. Educ.

0

2 Na figura seguinte estão representados um quadrilátero e a sua imagem por uma reflexão axial. Prof.

Traça o eixo de reflexão ( A’ é a imagem do ponto A ).

A'

Avaliação

A

4 Desenha uma circunferência de centro C com 2 cm de diâmetro. Assinala sobre essa circunferência um ponto P e constrói a imagem da circunferência que traçaste na reflexão central de centro P. Qual é a área de cada uma dessas duas figuras? Justifica (usa π ≈ 3,1416 ).

Nome


TEXTO

N.o

Turma

3 Qual é a ordem da simetria de rotação da seguinte figura?


problemas

6

Cont.

5 Completa a figura de modo que ita simetria rotacional de ordem 4.

6 Completa a figura de modo que ita simetria rotacional de ordem 2.

7 O triângulo [A’B’C’] é imagem do triângulo [ABC] por uma rotação. Determina o centro da rotação. B C' B'

C A'

A

8 Descreve as simetrias que observas em cada uma das figuras. 8.1

8.2

9 Observa a figura ao lado. Qual é o triângulo que é imagem do triângulo 2 por rotação de centro O e ângulo de amplitude 270o no sentido dos ponteiros do relógio? A figura ite simetria de reflexão? E de rotação? Calcula a área da figura.

1 O

2

4 3 0,5 cm

Como distinguir dados quantitativos de dados qualitativos? Exemplos: O número de alunos das turmas da minha escola é um dado quantitativo.

Porque se pode contar e toma valores isolados: 25; 30; 28…

A temperatura do meu corpo é um dado quantitativo.

Porque se pode medir e pode tomar todos os valores num certo intervalo: 36,7o; 37,5o…

A qualidade das refeições, na minha escola, às vezes é boa, outras é má e outras razoável – é um dado qualitativo.

Como interpretar um gráfico circular?

Porque não se pode medir nem contar.

Despesas mensais

Exemplo: despesa mensal de uma família que recebe 1575 € por mês. Saúde 10% O círculo corresponde a 100%, logo as «Outras despesas», em percentagem, correspondem a: Alimentação 30% Outras 100% – (32% + 30% + 10% + 5%) = 23% despesas ... Sendo assim, «Outras despesas», em euros, é: 23% × 1575 = 362,25 Renda de casa A maior despesa é com a «Renda da casa» que é, em euros: 32% Educação 32% × 1575 = 504 5%

Turma

saber

fazer 13

REPRESENTAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS 93

1. Classifica os dados: «cor dos olhos»; «tempo que demoras a chegar à escola»; «número de chamadas telefónicas feitas num dia, na tua escola»; «duração de uma chamada telefónica», «tempo de espera num consultório médico», «qualidade do atendimento na loja do cidadão». Desporto favorito

TEXTO

2. Observa o gráfico circular que se refere ao desporto favorito de 400 estudantes. 2.1 Qual é o desporto mais popular?

Futebol 35%

2.2 Que percentagem de alunos prefere basquetebol?

2.3 Quantos alunos preferem natação?

Voleibol 30%

Basquetebol Natação 20%

?

Nome


N.o

Pratica

REPRESENTAÇÃO

94 E TRATAMENTO DE DADOS

saber

fazer 13

Cont.

Como construir um gráfico circular? Representamos, num círculo, a distribuição das frequências relativas usando setores circulares. Para obter a amplitude, em graus, do ângulo de cada setor, multiplica-se a frequência relativa por 360o.

Setor circular

Exemplo: numa turma com 20 alunos registou-se, no final de uma semana, o número de horas que cada aluno ou na Internet. Número de horas

Frequência absoluta

2

2

2 : 20 = 0,1

10%

0,1 × 360o = 36o

3

5

5 : 20 = 0,25

25%

0,25 × 360o = 90o

4

8

8 : 20 = 0,4

40%

0,4 × 360o = 144o

5

5

5 : 20 = 0,25

25%

0,25 × 360o = 90o

Total

20

100%

360o

Frequência relativa (%)

1 ou

Amplitude do ângulo do setor

Número de horas na Internet

Utilizando um transferidor, marcaram-se os ângulos, de modo a obter-se o gráfico circular representado ao lado.

4 horas 40% 144°

5 horas 25%

36°

2 horas 10%

3 horas 25%

Como determinar a moda, a média aritmética, os extremos e a amplitude de um conjunto de dados? Tendo em conta o exemplo anterior: Moda: 4 – dado que ocorre com mais frequência. 2×2+3×5+4×8+5×5 Média aritmética: = 3,8 20

Extremos: valor mínimo e valor máximo do conjunto de dados numéricos: 2 e 5, respetivamente. Amplitude: diferença entre o valor máximo e o valor mínimo: 5 – 2 = 3

Pratica 3. A tabela refere-se ao número de irmãos de 200 alunos. Número de irmãos

0

Frequência absoluta 40

1

2

3

4

80

54

20

6

Constrói o gráfico circular e determina a moda, a média aritmética, os extremos e a amplitude deste conjunto de dados.

1.2

Formula duas questões que possam ser incluídas nesse estudo.

1.3

Qual é a unidade estatística?

2. Formula quatro questões para as quais obtenhas resposta no gráfico ao lado.


Idades dos alunos de uma turma

Págs. 102 a 105

Enc. Educ.

1. O computador está presente em grande parte das casas dos 600 alunos de uma escola. Para a realização de um estudo estatístico, escolheram-se 80 alunos dessa escola e inquiriram-se sobre o uso do computador. 1.1 Indica, para este conjunto de dados, a população e a amostra.

8 6 4 2 0

8

9

10

11

Idade em anos

Prof.

ficha

28

Formulação de questões. Natureza dos dados. Gráficos circulares

Manual (volume 2)


3.1

Número de cartas numa caixa do correio.

3.2

Estado civil de um indivíduo.

3.3

Número de ageiros no autocarro da escola.

3.4

Tamanho de sapato.

3.5

Altura das pessoas presentes num cinema.

3.6

Profissão de um indivíduo.

Avaliação

3. Classifica os seguintes dados em quantitativos e qualitativos.

Turma

4. Dá dois exemplos de dados qualitativos.

Fonte: Público, 01/12/1010

4% 5% 18%

2% 28%

Balança alimentar portuguesa 1%

Cereais e tubérculos Hortícolas

6%

16%

Frutos

30%

Laticínios Carne, ovos e pescado

20%

23%

20%

13% 14%

Leguminosas Óleos e gorduras

Compara os dados fornecidos pelos dois gráficos circulares e faz um registo escrito de modo a tirar conclusões sobre a dieta portuguesa. Nome


TEXTO

Roda dos alimentos

N.o

5. Observa a roda dos alimentos e o gráfico circular que o INE (Instituto Nacional de Estatística) divulgou sobre os hábitos alimentares dos portugueses.

REPRESENTAÇÃO


ficha

28

Cont.

6. Observa o gráfico circular ao lado, que mostra a distribuição dos vários nutrientes num pacote de cereais. 6.1

6.2

Nutrientes num pacote de cereais

Que fração dos nutrientes corresponde às gorduras? E às fibras?

Gorduras Hidratos de carbono

36° 108°

Qual é a percentagem de cada um dos nutrientes?

Fibra

108°

Proteínas 6.3

Quantos gramas destes nutrientes há em 50 g destes cereais?

7. Observa o gráfico ao lado. 7.1

Dieta ideal de um desportista

Quais os alimentos que devem ser consumidos em menor quantidade por um desportista?

Vegetais, batata e fruta

5% 8%

Doces e marmeladas

9%

7.2

Em que percentagem os laticínios devem entrar na dieta?

Leite e queijos Carnes e enchidos

?

35%

Ovos Peixe

13% 7.3

5%

Comenta a seguinte afirmação: «A alimentação de um desportista deve ser pobre em pão, massa, arroz e carne.»

8. Perguntou-se a idade a 36 alunos de uma escola. Observa ao lado os resultados da recolha de dados.

Pão, massa e arroz

13%

Álcool

11

12

13

12

11

13

12

12

11

12

12

13

12

13

11

13

13

12

14

12

14

12

14

12

12

13

13

12

13

12

11

14

12

14

11

14

8.1

Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas e relativas.

8.2

Constrói um gráfico de barras e um gráfico circular desta distribuição de dados.

8.3

Calcula a média, a moda e a mediana desta distribuição.

1. O número de veículos estacionados num parque de estacionamento de uma autoestrada é distribuído da seguinte maneira: • Motorizadas – 40

• Camiões – 50

• Autocarros – 30

• Automóveis – 80

Págs. 106 e 107

ficha

29

Extremos e amplitude. Média e moda

Manual (volume 2)


Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas e relativas e num gráfico circular.

• Ilhas – Marítimo; Nacional • Sul – Portimonense; Olhanense; V. Setúbal

Distribuição por zonas das equipas do campeonato de 2010/2011

• Grande Lisboa – Benfica; Sporting

Enc. Educ.

2. A distribuição por zonas das 16 equipas do Campeonato de Futebol de 2010/2011 é a seguinte:

• Centro – Académica; Beira-Mar; União de Leiria; Naval • Norte – Sp. Braga; V. Guimarães

SUL Portimonense Olhanense V. Setúbal 67,5° 3

Prof.

• Grande Porto – F.C. Porto; P. Ferreira; Rio Ave

Com esta informação, faz os cálculos necessários e completa o gráfico ao lado.

Avaliação

3. A média de três números é 15,2. Qual é a soma dos números?

5. A professora registou no quadro o conjunto de dados representado ao lado.

6. O Zé comprou cerejas nas frutarias A, B e C: na A, 1 kg por 2,70 €; na B, 2 kg por 5 €; e na C, 5 kg por 7,50 € . Calcula o preço médio, em euros, do quilograma de cerejas, tendo em conta o número total de quilogramas de cerejas.

Nome


TEXTO

O Rodrigo afirmou: «Os extremos são 29 e 23.» A Maria disse: «Então, a amplitude é 6.» O João acrescentou: «A média é igual à moda.» Comenta as afirmações dos três alunos, justificando.

29 23 21 29 23

N.o

Turma

4. A média de sete números é 8. Retirou-se um número e a média dos seis números restantes é 9. Que número se retirou? Explica o teu raciocínio.

REPRESENTAÇÃO


7. Na turma 5.o A, todos os alunos estudam música. A tabela ao lado mostra o número de horas que cada aluno dedica diariamente à música.

7.1

Completa o gráfico de barra dupla, a partir da tabela.

7.2

Representa, num gráfico circular, a informação relativa ao número de horas dedicadas à música, por dia, pelas raparigas da turma.

7.3

Número de horas 2 3 4

Rapazes

Raparigas

3 5 1

2 8 6

Horas dedicadas à música por dia Número de alunos

ficha

29

Cont.

Com os dados da tabela, indica a moda e a média aritmética do número de horas dedicadas à música pelos rapazes da turma.

Rapazes Raparigas

8 6 4 2 0

2 horas

Números de horas

8. O gráfico circular representado ao lado apresenta os resultados de 24 equipas de hóquei em patins, num fim de semana. Cada equipa jogou uma única vez. 8.1

Quantas equipas ganharam?

8.2

Quantas equipas empataram?

Vitórias

Derrotas Empates

8.3

Por que razão a amplitude do ângulo do setor das vitórias é a mesma da do ângulo do setor das derrotas?

9. Observa a tabela seguinte, que mostra a altura de uma planta ao longo de oito semanas à medida que foi regada. Semanas

1

2

3

4

5

6

7

8

Altura (cm)

2

3

6

7

10

11

13

15

O Zé inseriu os dados no computador e está hesitante entre o gráfico que deve traçar: gráfico de linhas ou gráfico circular. Qual parece ser, nesta situação, o gráfico mais vantajoso? Porquê?

SOLUÇÕES 99

Soluções capítulo 1 NÚMEROS NATURAIS Saber fazer 1 Págs. 3 e 4 1. 200 = 23 × 52 ; 242 = 112 × 2 ;

63 × 6 × 65 = 69 67 × 62 × 6 = 610 2 3 42 × 42 = 25

冢冣冢冣 5.1 85 5.2 112

147 = 3 × 72 ; 315 = 32 × 5 × 7

7.1 = 7.2 =

5.3 206 5.4 0,13

3.1 m.d.c. (48, 80) = 16 ; m.m.c. (48, 80) = 240 3.2 m.d.c. (72, 100) = 4 m.m.c. (72, 100) = 1800 3.3 m.d.c. (36, 270) = 18 ; m.m.c. (36, 270) = 540 Ficha 1 Págs. 5 e 6 1.1 É primo, porque não é divisível por 2,

3, 5, 7, 11 e 59 11 5 < 11 04 5 1.2 É primo, porque 127 não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11 e 127 13 9 < 13 10 9 1.3 Não é primo, porque é divisível por 3, 7 e 11. 1.4 Não é primo, porque é divisível por 17. 2.1 56 = 23 × 7 2.3 250 = 2 × 53 2.2 108 = 22 × 33 2.4 4004 = 22 × 7 × 11 × 13 3.1 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500 3.2 1, 2, 59, 118 3.3 1, 3, 5, 15, 25, 75

4 128 1 4.1 , 4.2 , 4.3 3 4 95 5.1 12

5.2 2

5.3 6

6.1 2580

6.2 360

6.4 1680

133 6.5 2580

7.1 9 e 4725

5.4 16 6.3 672

7.2 396 900; 33 075

8. Por exemplo: 22 × 52 × 7 e 23 × 5 × 72 . 9. 22 cm; 7 e 17

Saber fazer 3 Págs. 9 e 10 1.6 F; 104. 1.7 V 1.8 V 1.9 F; 94. 1.10 V

1.1 V 1.2 F; 64. 1.3 F; 54. 1.4 F; 93. 1.5 V 2. 0,16 ;

1.11 F; 2,33. 1.12 V 1.13 V 1.14 V

冢冣

4.1 20,0001

TEXTO MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –

1.1 25

1.2 32

1.4 1

1.5

2.1 1 3. 52 –

2.2 3 2

冢2 冣 = 24,75 1

82 + 130 =

4.

27 2

130 2

1.3 100 000 1.6 4,41

9 2.3 4 3

2.4 3

4 25 1 3.2 2 4. 75

3.3 102

冢冣

3

3.4

3.5 0,12

冢3 冣 2

3

2

6.5

冢2 冣 = 4 1

1

3

3

63 × 64 = 67 64 × 62 = 66

1.8 1012

1.6 47

1.9 0,042

1.3 144

1.7 73

1.10 12

2.4 213 2.5 54 2.6 103

2.7 44 2.8 2

1.1

1.11 13

5

2 1.12 冢 3冣 1.13 153

8

1 32 ; 31 ; 61 ; 12

2.

9.2 4

1.2 F; 105

1.5 V

1.6 V

52 = 85

3.4 F; é igual

1.7 F; 0,576.

1.4 25, 36

7.5 29 7.6 0,225

冢2 冣 1 2.10 冢2冣

3.1 37

3.3 92

3.5 0,110

3.2 62

3.4 113

3.6 2,42

3

2

1.4 7 1.5 12 1.6 60

1.10 1,02 1.11 4,2

6

冢冣冢冣

3. C 4.1 5n + 1 ; 51

4.2 3n – 1 ; 29

3.7 1,52 3

冢冣

5.1 Não; 120 não é cubo de nenhum

79 200

número natural.

Nuno → calculou a medida da área total e subtraiu a medida da área da horta. Jorge → determinou a medida do comprimento do roseiral e achou a medida da área do roseiral.

8. A medida da área total da figura; 96. 9.1 7

5.2 Ordem 7. 6.1

6.2

7.1 F 7.2 F 7.3 F 7.4 V

9.2 5

9.3 12

10.1 4 × 453 10.2 (45 × 4)3 ou 453 × 43

6.1 Por exemplo:

2 × 2 293 × 292 ; 3 3

5

冢3 冣 4

5.

6. Rui;

2.11 14 2.12 2

5.9 0,0005 5.10 0,3

3

冢4 冣

1.9 3 20

冢冣

1.8 3 2

termos seguintes é a diferença entre o termo anterior e 6. O primeiro termo é 53 e cada um dos termos seguintes é a soma do termo anterior com 5,5. 1 O primeiro termo é e cada um dos 2 termos seguintes é metade do termo anterior. É a sequência dos quadrados dos números naturais.

escreveu Os Lusíadas.

7 3.8 8 4.2 102 = 100

5.4 6 5.7 3 20 5.5 800 5.8 5.6 72 9

1.7 9,5

3. CAMÕES; maior poeta português, que

7 冢3 冣

2.13

1 1 16 32

2. O primeiro termo é 100 e cada um dos

2

2 冤冢3 冣冥

(33 × 32) × (64 × 6)

1.8 F; 210.

2.5 2 2.6 252 2.7 153 2.8 9

3 logo ou 3 : 5 . 5 2 8 12 8 5. Por exemplo: = ; = 3 12 3 2 0,90 1,80 6. Não, porque = mas 1 2 2,5 diferente de . 3

1.2 69,5; 75

7.3 0,210 7.4 0,18

19 × (105 × 103)

12

2.1 42 2.2 6 2.3 55 2.4 22

1

2.2 Distributiva em relação à adição. 2.3 Comutativa e associativa;

31

15 57 127 ; ; 7 7 7

1.3 ,

4. 1013 1.4 F;

11

冢3 冣

2.1 Comutativa e associativa;

2

4.1 101 = 10

3.5 F; 18 000 3.6 F; 3,22a – b

Ficha 5 Págs. 17 e 18

9.4 5 9.5 4

1.3 V

4

3.3 V; 36 = 62

3.2

4. Há 3 partes coloridas para 5 brancas,

7

冢6 冣 1

3.1 8, 23, 48

1.1 82, 76

1.1 13 1.2 28 1.3 50

15 32 = 2

8.3 27,25 8.4 64 8.5

2.9

4


8.

7.4 63 7.5 63

9.3 13

9

冢5 冣

6. É o Diogo, porque 12 < 16 .

2

冢冣

6.8 5 ×

16 9

2.9

2.10

1 ; 1 ; 1 12 15 18

1.2

5.2 Por exemplo: 489 : 29 ; 211 : 311

冢3 冣

冢冣

1.1 V

5.1 40 5.2 48 5.3 10

1.5 25

1.2 302

7.1 0,16 4 2 7.2

5 243 3 6.7 = 32 2

冢3 冣 = 27 2

冢2 冣

2

4 16 52 = 625

6.6 4 ×

2 6.3 3 × = 2 3 6.4

1.1 83

5. 47

6.1 2 × 0,2 = 0,4 6.2

3.6

10

7 7 冢2 冣 × 2 = 3,511

Saber fazer 4 Págs. 19 e 20 2

冢冣冢冣

5.1 Por exemplo: 29 × 129 ; 211 ×

2.1 104 2.2 105 2.3 107 2.4 1011

3

42 – 32 = 18,5

9.2 109 : 105

1 1 9.4 0,253 + 2 = × 4 4

4.1 25 4.2 83 4.3 33 4.4 214 4.5 23 4.6 113

33 = 3 × 3 × 3 e 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2


Saber fazer 2 Págs. 7 e 8

9.3 0,25 – 2 = 0,25 : 0,22

3.1 F; 1000 3.2 V; 35

Ficha 2 Págs. 11 e 12 1. A Maria, porque 72 = 7 × 7 ,

9.1 3


9.1 63 × 62

2.1 23 2.2 4 2.3 612

33 16

4.2

3.1


7.9 > 7.10 =

1.4 243

3.1 3 × (5 + 1) = 3 × 5 + 3 × 1 = 18 3.2 17 – 10 = 7 3.3 2 : 2 = 1 3.4 (7 + 2)2 = 81

8.1 3,99 8.2

capítulo 2

7.7 = 7.8 <

capítulo 3


8

21

7.1 1,22 7.2 1,23 7.3 43 12. 390

7.5 < 7.6 >

8

2

3

10. 24 dias depois; 3 viagens e 2 viagens. 11. 50 cm

2

8. Por exemplo, 12 = 23 × 21 – 43 : 42

5.5 2,56 5.6 0,258

2. É primo, porque não é divisível por 2,

3, 5, 7, 11 e 149 13 como 11 < 13 , 019 11 6 então posso afirmar que 149 é primo.

7.3 > 7.4 >

18

冢3 冣 : 冢3 冣

6.2 Por exemplo: 297 × 292 ;

9.4 2

4

5

6

18

22

26

6.3 4n + 2 6.4 Não, porque 81 não é a soma de um

múltiplo de 4 com 2. 7.1

n n+1

8.1

2 42 ; 10

11. Por exemplo: 5 × 5 + 5 : 5 = 26

5 + 5 + 5 – 5 = 10 5:5+5:5=2

3 14

7.2

8.2

20 85 ; 11

n3 8.3 64,5 ; 400,5

100 SOLUÇÕES 3.2 A constante é 1,10 € e representa o

preço de 1 kg de açúcar.

9.1

4.2 艐72%

4.1 A marca A.

1 2 9.2 10 triângulos e 20 quadrados 9.3 3 × n , sendo n a ordem do termo

1 1 1 1 1 3 6 12 24 48

11. 52 – 4 , 62 – 5 , 72 – 6

12. C; 83

5.1 119o 23’; 60o 37’; 119o 23’

6.1 140 m2 6.2 10 m de comprimento por 6 m de

5.2 8 cm; 9 cm; 10 cm

11 1 1. = 440 40

2 2. 1

3. Meios: 3 e 2

Extremos: 1 e 6 Um está para três, assim como dois está para seis.

B: ≈78,5 cm2; C: ≈ 120,7016 cm2

4. 314 m2

Sim, pelo critério LAL.

5. 6,28 m2

6. 7,14 cm2

7. Comeram igual;

314 – (78,5 + 78,5) = 157; 157 : 2 = 78,5

6.1 Triângulo retângulo e escaleno. 6.2 6 cm2

8. A medida da área do círculo D é o

quádruplo da medida da área do círculo C.

7. A circunferência tem centro no cen-

7. 1584 €

1 18 9.1 Outubro: 22 €; Novembro: 16 € Dezembro: 8 € 22 16 9.2 Não; ≠ 7 4 8.


4.1 a – exterior; b – tangente; c – secante 4.2 2 cm; 1,5 cm; 0,9 cm

5.1 863,3 libras 5.2 200 €

largura. 6.3 20%

10. , , , ,

3. A: ≈ 9,8125 cm2

2. Setor circular. 3. V; F; V; V

tro do quadrado e raio 1,5 cm. 8. [AOC ] é igual a [ABC ] por LLL.

Ahexágono = 6 × A[ABC ] ; A[AEC ] = 3 × A[ABC ] 9.1 Porque são raios da circunferência. 9.2 Por LLL. 9.3 Porque são alturas relativas a bases

iguais em triângulos iguais. 9.4 21 cm

Problemas 2 Págs. 43 e 44 1. ≈ 24,6 m 2. ≈ 5,58 m 3. ≈ 75,9 cm 4. 36 cm 5. 43,31 € 6.1 28,26 cm2 6.2 6,28 cm2 6.3 54 cm2

4. 8 e 16 Ficha 10 Págs. 35 e 36

3 4 4,5 6 1 10 3 5.2 Por exemplo: = 0,9 27 5.1 Por exemplo: =

6.1 14

6.2 16

capítulo 4

6.3 1

1, 5 3 7. = 5 10

1.1 3,1416 → todos os quocientes são

constantes e são valores aproximados de π . O perímetro do círculo é diretamente proporcional ao diâmetro.


2. 28π cm ; 87,9648 cm


2.1 O novo círculo terá

1.

8. Não, para 240 g de morangos devia 9. 10

10. 5%

11.1 14 m

11.2 112 m2

de cada croissant. 1,95 3,5 1.2 Não; ≠ 3 6 2.1 Triângulos equiláteros Perímetro (cm): 1,5; 10,5; 6,75; 15 Quadrados Perímetro (cm): 1,2; 12; 6 Área (cm2): 0,09; 9; 2,25 15 5

capítulo 5 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Saber fazer 7 Págs. 45 e 46 1. É poliedro, tem 2 bases congruentes

que são triângulos e 3 faces laterais que são paralelogramos. Tem 6 vértices, 9 arestas e 5 faces. É prisma triangular. F+V=A+2 5+6=9+2

3.

7. ≈51,4 m ; ≈35,7 m

8. ≈125,6 m

2. Hexágono.

9.1 4 dam

9.2 93 m

3. Prisma heptagonal.

10. 24,8 cm

11. 20,11 cm

4. Não. Sim; 18 arestas; 12 arestas.

polígono circunscrito polígono inscrito

4.1 P = 2,4 × π dm ; ≈7,53984 dm 4.2 P = 4,8 × π dm ; ≈15,07968 dm 5. Deves desenhar um círculo com raio

0,8 cm. 6. 500 mm

2.2 Sim, = = = = 3 Saber fazer 6 Págs. 31 e 32

5. Por exemplo:

Ficha 11 Págs. 37 e 38 1. d = 8,16816 : 3,1416 = 2,6 cm ; r = 1,3 cm 2.1 12 cm

2.2 6 cm

2 cm

3.1 6 mm

3.2 5 cm

3.3 35 m

4. 24 m

5. 38 cm

6. 1,5 m

7. 21 m

8. 3 cm; 12,28 cm

3 cm 4 cm

1,5 cm

9. c = 18 cm ; l = 6 cm ; a = 8 cm

1.1

10. 19,2 cm

9 3

11.1 62,8 cm

11.2 10 cm

2.4 Não, ≠

␲ × 3 cm

3 cm


3.2 F

2,598 cm

3.1 F

9. 26 cm

6.1 1,4 × π m ; 4,4 m 6.2 11 × π m ; 34,6 m

1.1 Sim; 0,80 €, que representa o preço

0,09 0,3

4. 10,71 cm

8. 2,28 cm2; ≈ 18%

2. Setor circular. 2.1 a – secante; b – tangente


6,75 10,5 2,25 3,5 12 1,2 6 2.3 Sim, = = = 4 3 0,3 1,5

3. 8,28 cm

5.1 31,416 cm 5.2 62,832 cm 5.3 21,9912 cm

12. 80% 13. Bombons: 2,6 €; Cenouras: 5,25€

1,5 0,5

círculo anterior porque P e d são diretamente proporcionais.

2,5 cm 45°

usar 1,5 l de leite.

41 do perímetro do

7. 99,3 m2

3.3 V

4.1 112,5 km 4.2 160 min ou 2 h e 40 min

150 min ou 2 h e 30 min 5.1 21,25 €

5.2 1,5 kg

6.1 81 €

6.2 20 cedros

7.1 8200 €

7.2 2050 €

8. Escala 1 : 50 000

3 cm 1.2 A = 6 × A䉭

= 23, 382 cm2

P ou A = × ap= 23,382 cm2 2 2. 6,96 c 2 3.1 A = 42,25π cm2 ; ≈132,7326 cm2 3.2 A = 22 500π cm2 ; ≈70 686 cm2

Problemas 1 Págs. 27 e 28 1.1 4,50 €

1.2 12,60 €

2.1 120

2.2 180

4. A → 0,775 cm2 ; 3,1 cm

1.1 ≈1553 cm2 1.2 ≈2340 cm2

1.3 ≈6930 cm2

2. 7,2 cm2 3. 226,9806 cm2 4. 15 960 cm2 5. 312 cm ; 25,1328 cm

6. 557,8 cm2

7. 1920 cm2 8. 4029,3 dm2 9. 1512 cm2

—–– —––

10.1 OB = OC = raio 10.2 CBˆO = OCˆB = 54o ;

BAˆE = 108o ; EAˆF = 72o 10.3 75 m2 11. 272 cm2

B → 2,25 cm2 ; 8 cm

C → 1,8875 cm2 ; 5,55 cm

Ficha 13 Págs. 41 e 42 1. Valor exato: π cm2; 4 × π cm2.

3.1


4 kg

8 kg

0,4 kg

4,40 €

8,80 €

0,44 €

1.2 [ABCD] 1.1 [FEG] 1.3 Por exemplo, ângulo FOG . 1.4 [OH] ; [OE]

Valor aproximado: 3,1416 cm2; 12,5664 cm2. 2.1 r = 3 cm 2.2 ≈37,152 cm2 2.3 9 × π cm2; ≈28,26 cm2

Ficha 14 Págs. 47 e 48 1.1 Lente 1.2 Dado 1.3 Gelado 1.4 Caixa

1.5 Bola 1.6 Pisa-papéis 1.7 Chocolate

2. O cubo; o paralelepípedo; pirâmide

quadrangular; prisma triangular; são todos sólidos geométricos limitados só por superfícies planas. 3. A – prisma. 6; 12; 8.

B – pirâmide. 4; 6; 4. C – prisma. 7; 15; 10. D – cubo. 6; 12; 8. 4.1 círculos 4.2 congruentes 4.3 curva

4.4 círculo 4.5 prisma 4.6 esfera;

não poliedros

SOLUÇÕES 101 5.

2.1 1 000 000 000 mm3 2.3 0,6 dm3 2.4 40 cl

3.2

Ficha 16 Págs. 51 e 52 1.1 Sólido geométrico; poliedro; prisma; cubo. 1.2 B; D

cilindro de revolução. A; B.

cilindro 6.2 sólido geométrico; não poliedro; cone 6.3 sólido geométrico; não poliedro;

B

Saber fazer 9 Págs. 59 e 60 1.2 350 m3 1.1 132 cm3 2.1 96 cm3

2.2 206,25 cm3

4. 7 cm C

3.3 55.

5. 艐6,2832 dm3

4.

1 dm

2

2 dm

+

esfera 7.1 B. São todos prismas, exceto o B que

é uma pirâmide.

4.1 Pentágono. 4.2 Pirâmide pentagonal.

1 dm

5.1 É poliedro; Tem 4 faces, 4 vértices e

7.2 6 + 8 = 12 + 2; 7 + 7 = 12 + 2; 6 + 8 = 12 + 2;

7 + 10 = 15 + 2 Ficha 15 Págs. 49 e 50 1. Heptágono (regular); octógono;

eneágono; decágono. Triângulo (regular); quadrilátero; pentágono; hexágono (regular).

6 arestas. As faces laterais e a base são triângulos. É pirâmide triangular. 5.2 B; A não serve porque as faces laterais não se unem no vértice da pirâmide. C não serve porque apresenta apenas 3 faces: a base e duas faces laterais.

5.

Frontal

Topo

6.1

Ficha 18 Págs. 61 e 62 1.1 A: 16; B: 4; C: 3; D: 12 1.2 Por exemplo:

Lateral direita

2. todos os lados congruentes e todos

;

os ângulos congruentes; o quadrado. 3.

1.3 27 m3

3. 187,5 cm3

␲ × 2 cm

1 cm 6.1 sólido geométrico; não poliedro;

A

4 cm

3.

4. 0,125 dm3

3. 0,33 l

2.1 Poliedro; prisma; paralelepípedo retângulo. A; C. 2.2 Não poliedro;

2.2 0,005 m3 2.5 0,0325 m3

1.3 Não, porque não há sólidos

6. 15 cm.

Não é poligono Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono

D, E B, I A, H, G C F

formados pelo mesmo número de cubos congruentes, isto é, não têm o mesmo volume.

7. Por exemplo:

2.1 3 dm3 = 3000 cm3 = 3 000 000 mm3 2.2 0,7 cm3 = 0,0007 dm3 = 700 mm3 2.3 0,9 l = 90 cl = 900 ml 2.4 0,6 m3 = 600 dm3 = 600 l 2.5 3 kl = 3000 l = 30 000 dl

A

4.

3. 10 copos. 4. Arquimedes descobriu que o volume

5.1 Heptágono 5.3 Octógono 6.1 A – Quadrilátero 6.2 C – Hexágono

5.2 Quadrado 5.4 Triângulo

E – Octógono 6.3 A – Paralelepípedo retângulo

B – Pirâmide triangular C – Pirâmide hexagonal D – Prisma triangular E – Pirâmide octogonal 6.4 F

A – Prisma quadrangular B – Prisma triangular Ficha 17 Págs. 53 e 54 1.

TEXTO

4. 4 páginas e vão sobrar 8 estrelas.

6.1 A: 7 cm3; B: 6 cm3; C: 11 cm3 6.2

A

B

2 cm

2 cm 3 cm

2 cm

C 2 cm

5.1 9

5.2

6. n + 1

4 cm 7. 4,32 l

8. Não, só leva 27 000 litros.

7. x = 2,5 cm

8.1 O número total de arestas é o triplo

9.1 Pirâmide octogonal. 9.2 Prisma hexagonal.

Problemas 3 Págs. 55 e 56 1.1 Prisma triangular. 1.2 110 arestas laterais; 220 arestas totais

3.1 0,87 € 3.2 4,64 € 3.3 5,51 €

e 9 arestas. As faces laterais são paralelogramos e as bases são triângulos. É prisma triangular. 7.2 É poliedro; Tem 5 faces, 5 vértices e 8 arestas. As faces laterais são triângulos e a base é um quadrado. É pirâmide quadrangular. do número de lados do polígono da base; numa pirâmide é o dobro. 8.2 Não, porque numa pirâmide o número de arestas é par. Sim, porque 9 é triplo de 3. 8.3 Não, porque num prisma o número de vértices é número par. Pode. Neste caso é uma pirâmide em que o polígono da base tem 10 vértices (decágono). 8.4 120; 360

5. 12 cm3

2. Pirâmide quadrangular.

7.1 É poliedro. Tem 5 faces, 6 vértices


Base

B

B – Triângulos D – Triângulo

de água deslocada era igual ao volume do corpo mergulhado. Posso determinar o volume de, por exemplo, um pequeno objeto, mergulhando-o num recipiente graduado com água e medindo o volume de água deslocada pelo objeto.

2.1

8.1 206,25 cm2 8.2 V, porque 0,38 × 150 = 56,25

Ficha 19 Págs. 63 e 64 1.1 512 cm3; 2400 cm3; 1500 cm3 1.2 Não, é a do André, que tem 1120 cm2

de cartão, enquanto a do Paulo tem 384 cm2 e a do Manuel tem 950 cm2. 2. São, ambos têm o mesmo volume,

capítulo 6

2.2 São todas quadrados congruentes. 3.1 B; A.

que é 512 cm3.

VOLUMES

3. 2 m

Saber fazer 8 Págs. 57 e 58 1.1 Não, porque não foram construídos com

4. Falsa, porque a caixa do António tem

igual número de cubos congruentes. 1.2 B: 2,5; C: 4,5

8000 cm3 de volume, enquanto a da Fernanda tem 1000 cm3 (oito vezes menos).

102 SOLUÇÕES 5. Por exemplo: 1 cm, 1 cm e 27 cm. 6.1 228 ml

⎢ ⎢

21

3. –4 < –2 < –

6.2 1,44 €

3 7 < 1,2 < – < 2 4

4. +3 + (–2) = 1

7. 2 dm 8.1 30 cm

B

C

D

E

–3

0

–

1 3 31

–

4 3 4 3

1

3 -2

× 4,5 × 10 = 101,25 cm3 ou 4,5 2

0 1

0 1

6.1 –9

3 1 – + (–1) = – 2 2

6. 700,65 cm3 ; 467,1 cm2

30

36

144

28,8

12

10

2,5

12,5

S

8. 1,125 l

—— —– —– —— AB × CA ×CD • Falsa; é 2 • Verdadeira.

7. –1

-1 - 1 0 2

5.1 –5 + (–2) = –7

1

5.2 –3 +

21 = – 52

Ficha 21 Págs. 67 e 68 1. Não, leva aproximadamente 0,6 l de

diluente. 1 2. 8 3. Posso encher 33 canecas e ainda sobra. 4. 113 dm2

5. 艐80 cm

6.1 艐49,6 cm2 6.3 艐148,8 cm2 6.5 艐297,6 cm3

6.2 艐24,8 cm 6.4 艐248 cm2

7.1 9,0432 cm3

7.2 15,072 cm2

1.4 –

1.2 –8,1

1.5 0

-2

41 = 1,85

e h = 3,14 cm B: r = 0,5 cm e h = 6,28 cm 3.2 VA = 9,8596 cm3 VB = 4,9298 cm3

16. –

D -4

5.3 3,875 cm3

6. 22619,52 cm3

-2

-1

6.4 –

89

6.5

1

S

3 2

5 6.3 – 2 31 6.6 – 15

23 20

capítulo 7 NÚMEROS RACIONAIS Saber fazer 10 Págs. 71 e 72

3 1.1 Q → –2 ; M → 2 ; S → ; 4 N → –1 ; P → 5 ; T → –2,5 1.2 Q → 2 ; M → 2 ; S →

P → 5 ; T → 2,5 7 1.3 –8; ; 0,5 3 2. –3; –2; –1; 0; 1; 2

43 ; N → 1 ;

S

B

CB -1

0

E 1

1

2

B

3.1 +6 oC

2.2 –3 – (+1) = –4

3.1 –8 3.2 28 3.3 –9

3.7 0 3.8 –22 3.9 –26

3.4 –7 3.5 4 3.6 –35

冢 3 冣 = – 3

D

-1 0 1

-

S

7

A

B

7 3

0

1

冢 2 冣 = 2

B

6.2 2 – –

9

5

D B

S

A 0

1

7.4 –

29 7

A 7.1 – 2.7 –5 2.8 –18 2.9 –28

3.2 –15 oC

2.10 10 2.11 0 2.12 –46 3.3 –27 oC

4. Por exemplo: 4.1 –4 + (–7) 4.2 +10 + (–3) 4.3 –5 + (+5) 5.3 –5 + (+5)

6. –18 7.1 –9 + (–18) = –27

3.10 43 3.11 200 3.12 –11

5.1 7 – (+3) = 4 5.2 |–9 – (–13)| = 4

A

5.2 +5

1

2.1 3 – (–2) = 5

6.1 –1 – + 4

2.4 +10 2.5 0 2.6 –4

B 0

4. 4 oC

A

A

5.1 –1

-2

D

A

A

-1 0 1

3.1

13.4 F

Ficha 24 Págs. 79 e 80 1.1 –2 – (–4) = 2

1.3 –5 + (+8) = +3

2.1 +50 2.2 –50 2.3 –10

8 4 6 24 2. – ; ; –3 ; 0 ; ; 7 ; –33 ; –19 ; – 8 2 2 4

11.3 3 ∈ ZZ

冢冣冷冢冣冷

-2

-1 0 1

-8

B

Ficha 22 Págs. 75 e 76 1.1 –2000 € 1.2 +5000 € 1.3 –5,5 oC

FD

10.9 –1,95

11.2 1 ∈ ZZ 11 2 12.1 0,3 + – = – 3 30 1 12.2 1,2 + – = 0,7 2 13.1 F 13.2 F 13.3 V

1.4 +6 + (–5) = 1

11 9 49 – – = 3 冢 2冣 6

A

10.6 –0,5

11.1 –8 ∈ ZZ

-1 0 1 3

–— 29 –— 7. AB = ; AC = 1 10 8.

10.8 –3,1

D

-4

6.2 5

10.5 –0,8

1.2 –1 – (+1) = –2

B

-1 0 3

10.7 –

0

1.2 –2 + (–6) = –8

6.1 –3

8. 141 cm3

3 14

6

Ficha 23 Págs. 77 e 78 1.1 +3 + (–7) = –4

0 1

D

7. 844,83 cm3

4

21 , por exemplo.

11 31 – 冢+ 32 冣 = – 6

- 11 6

10.3 –

19 12

10.4 –0,05

15. –1,51 e –1,54, por exemplo.

4.2 8 cubos; 160 cm3 5.2 0,5 cm

2

1

7

5

14. –13

5.1 –4 – (–2) = –2

5.2 –

0

13 4

Q

0

13. –9

4. Por exemplo: –0,2 + (–0,6)

3.1 A: r = 1 cm

4.1 96 cm3

R PO

3. –; –; +

2.2 2 m

11.7 > 11.8 > 11.9 =

12.

冢冣

2.2 2,1 + –

冷 5 冷

3

11.4 < 11.5 < 11.6 <

冢冣

A

32

10.2 9.7 F 9.8 V 9.9 F

2 5

1

冢 4 冣 = 4 6 11 5 9.2 – + + = = 2 3 冢 3冣 3 10.1 –

9.4 F 9.5 F 9.6 V

11.1 < 11.2 < 11.3 =

25 1.3 1 1.6 – 18 3 4 2.1 0,2 + – = – = – 0,4 5 10

Problemas 4 Págs. 69 e 70 1. 7,5 cm 2.1 29 760 l

11 5

1.1 1,7

6.3 –10

10. – 19 ; – 30 ; –4,5 ; –1 1 ; – 7


9.2 7,5 cm

B

9.1 3 + –

1 2 2 e + 1 ; e – 2 5 5

9.1 V 9.2 V 9.3 F

B

1 6

41 + 冢– 85 冣 = – 87

-1- 87

17 ; 0 ; –9,5 37 ; – 5

8. 6 ; +

-3 2

9.1 •Falsa; a altura é CD .

21

A 0

1,5

S

6.2 –20 e 20

冢冣

3 1 + + = 6 6

S -1

5.1 –20 oC 5.2 –9 oC 5.3 –3 oC

5. 214,5 cm3

31 + 冢+ 21 冣 = – 62

–1,5

8.2 –

3. 36 cm2

-5 -4

2 3 2 1 3

F

1 4.1 –100 < –1 < – 2 5 4.2 – < –0,5 < 2 2 1 1 4.3 –1,5 < – < 1 6 3

S

4. 8,65 cm3

0

3

(+1) + (–5) = –4

2. 1821,6 dm3

5.1 3,1 cm

A

S

8.2 5 caixas.

Ficha 20 Págs. 65 e 66 1. 202,5 : 2 = 101,25 cm3

7.

8.1 –

3.2

7.2

92

47

7.7

7.6 –

7.3 1

8. Distância =

49 20 35 7.9 – 12

45

53

B

A -1

5 12

7.8 –

7.5 –3,3

-2 7.2 –(12 + 1) = –13

9 2

-1 3

0

SOLUÇÕES 103 9.1 V

9.2 F

9.3 V

9.4 F

C = A'

11. Submarino: –52 (52 metros de

5.

M

+

+2

+7

+10

–8

–3

–1

+4

+7

–11

–5

–3

+2

+5

–13

+2

+4

+9

+12

–6

–10

–8

–3

0

–18

7. Falso, porque a figura B não é

congruente com a figura A e a reflexão central é uma isometria.

D

P'

P = P'

M'

N

iguais opõem-se lados iguais. 3.3 –

3.4 – 2.1

4.1 –15 4.2 –5

N'

B

T O

B'

2,5 cm

R

2.2 LAL

7.

DC 1

2

C

D

8. Operários: 30; operárias: 45.

3

A

O

B

C

P

de simetria; simetria de rotação de ordem 3. B: simetria de reflexão com seis eixos de simetria; simetria de rotação de ordem 6. 5.1 A: reflexão de eixo vertical e translação.

B: rotação de ângulo de amplitude 180o e translação. 5.2 Por exemplo:

D

M

A’

A figura ite simetria de rotação de ordem 2. 4. A: simetria de reflexão com três eixos

D

B’

C’

43 × (0,01 + 0,23) = 0,18

12. A, porque: 30 + 1,5 × 24 < 3,5 × 24

C

3.1 Mediatriz do segmento de reta [CD] . 3.2 Pelo critério LLL. r

4.1

11. F; V; F; V

A = A'

A'

10

1

B

B'

B'

冤 7 + 冢– 3 冣冥 = 21

S

2,5 cm

D'

D'

C'

冢 4 冣 = 2

C'

2.

E'

E

9. 200 berlindes.

1

B

A

3.

2,5 cm

[R’S’T’] é triângulo equilátero porque é imagem do triângulo [RST] por uma rotação; logo, é uma isometria.

3.

Simetria de rotação de ordem 2

B: simetria de rotação de ordem 3. C: simetria de rotação de ordem 4 e simetria de reflexão com quatro eixos de simetria. D: simetria de rotação de ordem 2.

R'

C= =C'


2. A: simetria de rotação de ordem 4.

S'

T'

r

6. 2,93 > –0,293 > –2,39 > –2,93 > –29,3

B


Ficha 26 Págs. 87 e 88 1.

= A=A'

5. Por exemplo, –8,02 e –8,03.

10.2 – –



M'

1.2 LAL 1.3 Porque em triângulos iguais, a ângulos

5 3 2. – e 2 2

10.1 1,25 – –


P

N

1. 229 a.C.

0

1.

r

M

Problemas 5 Págs. 81 e 82

-1


8. Ficha 25 Págs. 85 e 86 1.1 N' M

A

Tem centro de simetria C. 10. Eixo de reflexão é a mediatriz de [AA’ ] .

80°

O

13.

C

A = C'

É paralelogramo porque os lados opostos são paralelos e iguais.

A

abcissas +5 e –3.

3.2 +

sentido negativo. 9.

B

12. Distância entre os pontos de

10.3

D

C

M

B

profundidade); tubarão: –39 (39 metros de profundidade). d = 13 m

3.1 –

8. É o triângulo C. Rotação de 90o no

6.

4.

10. –7,5 oC ou 36,5 oC.

C 4. O eixo r é a mediatriz de [BB’] .

r

A 4.2 A = 3,0708

capítulo 8


TEXTO

ISOMETRIAS DO PLANO Saber fazer 12 Págs. 83 e 84 1. LAL A

; P = 7,1416 cm 4.3 A = 3,0708 cm2 ; P = 7,1416 cm Porque se trata de uma isometria. 5.

C

cm 2

B

A' B'

C

C'

r

6.1 2

B = B'

120°

A' M

r M'

N

6. A = 4 × 2 = 8 cm2

s

N'

y 4 4 cm 2 cm

t

A

3.

O

60° A'

0

4 cm

P'

B'

2 A'

2 cm P

6.3 1

Problemas 6 Págs. 91 e 92 1.

C' 2. LLL

6.2 3

5.

C' 2

A

4 x C B

7.

A’ (1, 2) ; B’ (4, 3) ; C’ (5, 1)

104 SOLUÇÕES

3. Ordem 4. 4.


8.2

amostra: 80 alunos da escola de entre os 600. 1.2 Por exemplo: A. Quanto tempo por dia usas o computador?

C'

ⵧ menos de 1 hora

P

tral é uma isometria, os dois círculos têm áreas iguais.

9

soma dos sete números = 8 7

6

soma dos 7 números = 7 × 8 = 56

12

0

ⵧ mais de 2 horas

A ≈ 3,1416 cm2 . Como a reflexão cen-

4. Retirou-se o 2 porque:

15

3

ⵧ entre 1 a 2 horas

C

11

B. Usas o computador de preferência para:

12

ⵧ jogar?

turma?»; «Qual a moda das idades?»; «Quantos alunos têm 10 ou mais anos?»; «Qual a média das idades dos alunos da turma?»

8.1 Simetria rotacional de ordem 2.

Simetria de reflexão: dois eixos de simetria. 8.2 Simetria rotacional de ordem 4. Simetria de reflexão: quatro eixos de simetria. 9. É o triângulo 1; não; sim; A = 3 cm2

capítulo 9 REPRESENTAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS Saber fazer 13 Págs. 93 e 94 1. «cor dos olhos» - qualitativo; «tempo

que demoras a chegar à escola» – quantitativo; «número de chamadas telefónicas feitas num dia, na tua escola» – quantitativo; «duração de uma chamada telefónica» – quantitativo; «tempo de espera num consultório médico» – quantitativo; «qualidade do atendimento na loja do cidadão» – qualitativo. 2.1 Futebol.

2.2 15%

2.3 80 alunos.

3.

Número de irmãos

0 irmãos 20% 3 irmãos 36° 10%

72°

2 irmãos 27%

11°

5. Os portugueses consomem gorduras

em excesso e consomem frutas, hortícolas e leguminosas a menos. O grupo da carne, ovos e pescado está 11 pontos percentuais (16% – 5%) acima do recomendado na roda dos alimentos. Em contrapartida, o consumo de hortícolas, que deveria ser de 23%, é apenas de 13%. Também nas leguminosas há um défice de 3 pontos percentuais (4% – 1%), bem como no consumo de frutos, que deveria ser de 20% e é de 14%. Concluindo, a dieta portuguesa tem de melhorar! 1 3 10 10

6.1 ; 6.2 Gorduras: 10%; Fibras: 30%;

Proteínas: 30%; Hidratos de carbono: 30% 6.3 5 g de gorduras; 15 g de fibras; 15 g de proteínas; 15 g de hidratos de carbono. 7.1 Peixe e álcool. 7.2 12% 7.3 É falsa porque um desportista deve

8.1

4 irmãos 3%

Moda: 1 irmão

Média: 艐1,4 irmãos

Extremos: 0 e 4

Amplitude: 4 – 0 = 4

Frequência Frequência absoluta relativa

11

6

17%

12

15

41%

13

9

25%

14

6

17%

Total: 36

Mediana: 12 anos

Logo, a média não é igual à moda. 6. 1,90 €

Frequência Frequência absoluta relativa Motorizadas 40 20% Camiões

50

25%

Autocarros

30

15%

80

40%

Total: 200

100%

Automóveis

e «grupo sanguíneo».

Idade

29 + 23 + 21 + 29 + 23 5

• a média é = 25

Ficha 29 Págs. 97 e 98 1.

4. Por exemplo: «nacionalidade»

144° 97°

17%

Veículos

3.1 Quantitativo. 3.2 Qualitativo. 3.3 Quantitativo. 3.4 Quantitativo. 3.5 Quantitativo. 3.6 Qualitativo.

ter uma alimentação rica em pão, massas, arroz e carne. 1 irmão 40%

29 (valor máximo)

8.3 Média: ≈12,4 anos

Moda: 12 anos

soma dos seis números = 9 × 6 = 54 e 56 – 54 = 2

• a amplitude é 29 – 21 = 8 • a moda é 23

11 anos

17%

2. Por exemplo: «Quantos alunos tem a

soma dos seis números = 9 6

5. As três afirmações são falsas porque: • os extremos são 21 (valor mínimo) e

41% 14 anos

1.3 Cada aluno.

exemplo, a mediatriz de [AA’ ] e de [CC’ ] ; o ponto de encontro dessas duas mediatrizes é o centro da rotação.

Idade

25%

12 anos

ⵧ realizar trabalhos?

7. Deves traçar duas mediatrizes: por

14

13 anos

ⵧ comunicar com os amigos?

6.

13

Idades dos alunos

ⵧ pesquisar?

5.

3. É 15,2 × 3 = 45,6

Idade dos alunos

1.1 População: 600 alunos da escola;

7.1

Horas dedicadas por dia à música Número de alunos

e traçar a mediatriz de [AA’ ] , que é o eixo de reflexão.


2. Deves unir o ponto A com o ponto A’

8 6 4 2

Veículos num parque de estacionamento

0

2 horas 3 horas

4 horas

Números de horas

7.2

Motorizadas 20%

Automóveis 40%

72°

Camiões 25%

Rapazes Raparigas

Horas dedicadas à música por dia pelas raparigas

144°

90°

2 horas 12,5%

54°

Autocarros 15%

2 16 3 Sul: = 0,1875 = 18,75% ; 16 2 Grande Lisboa: = 0,125 = 12,5% ; 16 1 Centro: = 0,25 = 25% ; 4 3 Grande Porto: = 0,1875 = 18,75% ; 16 2 Norte: = 0,125 = 12,5% 16

3 horas 50%

2. Ilhas: = 0,125 = 12,5% ;

4 horas 37,5%

7.3 Moda: 3 horas; Média: 艐2,8 horas 8.1 9 equipas. 8.2 6 equipas. 8.3 Porque para cada equipa vencedora

há uma derrotada. 9. O gráfico de linhas porque evidencia

Distribuição por zonas das equipas do campeonato de 2010/2011 ILHAS G. LISBOA Marítimo Benfia Nacional Sporting 2 2 SUL Portimonense Olhanense V. Setúbal 3 G. PORTO F.C. Porto P. Ferreira Rio Ave 3

CENTRO Académica Beira-Mar U. Leiria Naval 4 NORTE S. Braga V. Guimarães 2

melhor a evolução do crescimento da planta ao longo das oito semanas.

ISBN 978-972-47-4877-1

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Caderno De Apoio 5 Ano Texto Editora w2u60

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