Cap. 10 2m4666

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CAPÍTULO

10

MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS:

ESTÁTICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.

Método do Trabalho Virtual

Notas de Aula: J. Walt Oler Texas Tech University

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Conteúdo Introdução Trabalho de uma Força Trabalho de um Binário Princípio do Trabalho Virtual Aplicações do Princípio do Trabalho Virtual Máquinas Reais. Eficiência Mecânica Problema Resolvido 10.1 Problema Resolvido 10.2 Problema Resolvido 10.3 Trabalho de uma Força Durante um Deslocamento Finito Energia Potencial Energia Potencial e Equilíbrio Estabilidade do Equilíbrio Problema Resolvidos 10.4 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Introdução • Princípio dos Trabalhos Virtuais – se uma partícula, um corpo rígido, ou um sistema de corpos rígidos que está em equilíbrio sob a ação de várias forças sofre um deslocamento virtual, o trabalho total efetuado pelas forças externas durante o deslocamento é nulo. • O princípio dos trabalhos virtuais é particularmente eficaz quando aplicado à solução de problemas que envolvem o equilíbrio de máquinas ou mecanismos que consistam em vários elementos ligados entre si. • Se uma partícula, um corpo rígido, ou um sistema de corpos rígidos está em equilíbrio, então a derivada de sua energia potencial em relação a uma variável que define sua posição deve ser zero. • A estabilidade de uma posição de equilíbrio pode ser determinada utilizando-se a segunda derivada da energia potencial em relação a uma variável de posição. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de uma Força    dU  F  dr = trabalho da força F correspondente ao  deslocamento dr. dU  F ds cos

  0, dU   F ds

   , dU   F ds

  2 , dU  0

dU  Wdy

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de uma Força Forças que não realizam trabalho: • reação em um pino sem atrito quando o corpo ado gira em torno do pino; • reação em uma superfície sem atrito quando o corpo em contato se move ao longo da superfície; • peso de um corpo cujo centro de gravidade se move horizontalmente; • força de atrito que atua em uma roda que rola sem escorregar. Em certos casos, a soma dos trabalhos realizados por várias forças é igual a zero, por exemplo: • para dois corpos unidos por um pino sem atrito;

• para dois blocos unidos por uma corda inextensível; • as forças externas que mantêm unidas as partes de um corpo rígido. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de um Binário Qualquer pequeno deslocamento do corpo rígido que leve A e B respectivamente até A’ e B’’ pode ser dividido em duas partes a saber: • translação para A’B’

• rotação de B’ para B” em relação a A’.      W   F  dr1  F  dr1  dr2     F  dr2  F ds2  F rd  M d

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Princípio dos Trabalhos Virtuais • Imaginemos um pequeno deslocamento virtual sofrido por uma partícula submetida à ação de várias forças.

• O trabalho virtual correspondente é,           U  F1  r  F2  r  F3  r  F1  F2  F3  r    R  r Princípio dos Trabalhos Virtuais: • Se uma partícula está em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças que atuam sobre ela deve ser zero para qualquer deslocamento virtual. • Se um corpo rígido está em equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que atuam sobre ele é zero para qualquer deslocamento virtual desse corpo. • Se um sistema corpos rígidos ligados entre si permanece conectado durante o deslocamento virtual, somente o trabalho das forças externas ao sistema precisa ser considerado. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Aplicações do Princípio do Trabalhos Virtual • Desejamos determinar a força exercida pela alavanca sobre o bloco para uma dada força P. • Consideremos o trabalho realizado pelas forças externas para um deslocamento virtual . Apenas as forças P e Q realizam trabalho não nulo.

U  0  U Q  U P  Q xB  P yC xB  2l sen 

xB  2l cos  

yC  l cos 

yC  l sen 

0  2Ql cos    Pl sen   Q  12 P tg 

• Se o deslocamento virtual é consistente com as restrições impostas pelos apoios e conexões, apenas o trabalho das cargas, das forças aplicadas e das forças de atrito precisa ser considerado. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Máquinas Reais. Eficiência Mecânica   eficiência mecânica trabalho produzido  trabalho recebido

trabalho produzido trabalho recebido 2Ql cos   Pl sen   1   cot 

 • Para uma máquina ideal sem atrito, o trabalho produzido é igual ao trabalho recebido.

• Quando o efeito do atrito é considerado, o trabalho produzido diminui.

U  QxB  PyC  FxB  0 0  2Ql cos   Pl sen   Pl cos  Q  12 Ptg     © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.1 Determine a intensidade do binário M necessária para se manter o equilíbrio do mecanismo mostrado na figura. SOLUÇÃO: • Aplicando o princípio do trabalho virtual temos: U  0  U M  U P 0  M  PxD

xD  3l cos 

xD  3l sen  0  M  P 3l sen  

M  3Pl sen 

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.2 Determine as expressões para  e para a tração na mola que correspondem à posição de equilíbrio do mecanismo. O comprimento indeformado da mola é h, e a constante da mola é k. Despreze o peso do mecanismo. SOLUÇÃO: • Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais temos:

U  U B  U F  0 0  PyB  FyC

y B  l sen 

y B  l cos 

yC  2l sen 

yC  2l cos 

F  ks

 k  yC  h 

 k 2l sen   h 

0  Pl cos   k 2l sen   h2l cos 

P  2kh sen   4kl F  12 P © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.3 SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre para a plataforma juntamente com o sistema articulado.

Uma mesa de elevação hidráulica é usada para erguer um engradado de 1.000 Kg. A mesa consiste em uma plataforma, dois sistemas articulados idênticos e cilindros hidráulicos. Os elementos EDB e CG têm, cada um, comprimento 2a, e o elemento AD está preso por um pino ao ponto médio de EDB.

Determine a força exercida por cada cilindro na elevação do engradado para  = 60o, a = 0,70 m, e L = 3,20 m.

• Aplicamos o princípio dos trabalhos virtuais para um deslocamento virtual  observando que apenas o peso e a força exercida pelo cilindro hidráulico realizam trabalho.

U  0  QW  QF

DH

• Considerando a geometria do problema, substituímos os deslocamentos virtuais na expressão acima e a resolvemos para obter a força no cilindro hidráulico.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.3 SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre para a plataforma. • Aplicamos o princípio dos trabalhos virtuais para um deslocamento virtual . U  0  QW  QFDH 0   12 Wy  FDH s

• Considerando a geometria do problema, substituímos os deslocamentos virtuais na expressão acima e a resolvemos para obter a força no cilindro hidráulico. y  2a sen  y  2a cos 

s 2  a 2  L2  2aL cos  2 ss  2aL sen   aL sen  s   s

0   12 W 2a cos   FDH FDH  W © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

s cot  L

aL sen   s

FDH  5,15 kN 10 - 13

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de uma Força Durante um Deslocamento Finito • O trabalho de uma força correspondente a um deslocamento infinitesimal é   dU  F  dr  F ds cos • O trabalho de uma força correspondente a um deslocamento finito é s2

U12   F cos ds s1

• De maneira similar, para o trabalho de um binário temos: dU  Md U12  M  2  1  © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de uma Força Durante um Deslocamento Finito

Trabalho de um peso: dU  Wdy y2

U12    Wdy y1

 Wy1  Wy 2  Wy

Trabalho da força exercida por uma mola:

dU   Fdx  kx dx

U12   12  F1  F2 x

x2

U12    kx dx x1

 12 kx12  12 kx22

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Energia Potencial • Trabalho de um peso: U12  Wy1  Wy 2 O trabalho é independente do caminho e depende apenas de

Wy  Vg  energia potencial do corpo com relação à força da gravidade W

 1  Vg 2

U12  V g

• Trabalho da força exercida por uma mola: U12  12 kx12  12 kx22  Ve 1  Ve 2

Ve  energia potencial do corpo  com relação à força elástica F © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Energia Potencial • Quando o trabalho elementar de uma força considerada for um diferencial exato,

dU  dV U12  V1  V2  menos a mudança na energia pot encial • As forças para as quais o trabalho pode ser calculado a partir de uma mudança na energia potencial são forças conservativas.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Energia Potencial e Equilíbrio • Quando a energia potencial de um sistema é conhecida, o princípio dos trabalhos virtuais pode ser expresso da seguinte forma: dV U  0  V    d dV 0 d • Para a estrutura mostrada, V  Ve  Vg  12 kxB2  WyC  12 k 2l sen    W l cos   2

• Na posição de equilíbrio, dV  0  l sen  4kl cos   W  d o que indica que há duas posições de equilíbrio. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Estabilidade do Equilíbrio

dV 0 d

d 2V d

2

0

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d 2V 0 d 2

É necessário examinar derivadas de ordens mais altas. 10 - 19

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.4 SOLUÇÃO: • Obtemos um expressão para a energia potencial total do sistema. V  Ve  Vg • Determinamos as posições de equilíbrio igualando a derivada da energia potencial a zero.

dV 0 d

Sabendo que a mola BC está indeformada quando  = 0, determine a posição ou as posições de equilíbrio e determine se o equilíbrio é estável, instável ou neutro.

• Avaliamos a estabilidade das posições de equilíbrio determinando o sinal da segunda derivada da energia potencial.

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d 2V ?  0 2 d

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.4 SOLUÇÃO: • Obtemos um expressão para a energia potencial total do sistema. V  Ve  Vg

 12 ks 2  mgy  12 k a 2  mg b cos  • Determinamos as posições de equilíbrio igualando a derivada da energia potencial a zero. dV  0  ka2  mgb sen  d 2  ka2 4 kN m 0,08m  sen     10kg  9,81 m s 2 0,3m  mgb  0,8699 



 0 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



  0,902 rad  51,7 10 - 21

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.4 • Avaliamos a estabilidade das posições de equilíbrio determinando o sinal da segunda derivada da energia potencial.

V  12 k a 2  mg b cos  dV  ka2  mgb sen  d d 2V  ka2  mgb cos  2 d 2  4 kN m 0,08m   10kg  9,81 m s 2 0,3m  cos 





 25,6  29,43 cos 

para  = 0:

d 2V  3,83  0 d 2

instável

para  = 51.7o:

d 2V  7,36  0 2 d

estável

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