Cap16_sec9_2x4 58h23
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CÁLCULO VETORIAL
16.9 Cálculo Vetorial
Capítulo 16
O Teorema do Divergente
Nesta seção, aprenderemos sobre: O Teorema do Divergente para regiões sólidas simples e suas aplicações em campos elétricos e fluídos.
© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
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INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
Na Seção 16.5, reescrevemos o Teorema de Green na versão vetorial
Se quisermos estender esse teorema para campos vetoriais em R³, podemos conjecturar que
³
C
F ˜ n ds
³³ div F( x, y) dA D
onde C é a curva fronteira da região do plano D, orientada positivamente.
Equação 1
³³ F ˜ n dS ³³³ div F( x, y, z ) dV S
E
onde S é a superfície fronteira da região sólida E.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
TEOREMA DO DIVERGENTE
A Equação 1 é verdadeira sob hipóteses apropriadas e é chamada Teorema do Divergente.
Observe sua semelhança com os Teoremas de Green e de Stokes, pois ele relaciona a integral da derivada de uma função (div F, nesse caso) sobre uma região com a integral da função original F sobre a fronteira da região.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
Nesse estágio, você pode fazer uma revisão dos vários tipos de regiões sobre os quais calculamos integrais triplas na Seção 15.6.
Enunciaremos e demonstraremos o Teorema do Divergente para as regiões E que são simultaneamente dos tipos 1, 2 e 3, às quais chamaremos regiões sólidas simples. ƒ Por exemplo: regiões limitadas por elipsoides ou caixas retangulares são regiões sólidas simples.
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REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
TEOREMA DO DIVERGENTE
A fronteira de F é uma superfície fechada e usaremos a convenção, introduzida na Seção 16.7, de que a orientação positiva é para for a.
Seja: ƒ E uma região sólida simples ƒ S a superfície fronteira de E, orientada
positivamente (para fora). ƒ F um campo vetorial cujas funções componentes
Ou seja, o vetor normal unitário n apontará para fora de E.
tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. ƒ Então,
³³ F ˜ dS ³³³ div FdV S
E
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TEOREMA DO DIVERGENTE
TEOREMA DE GAUSS
Portanto, o Teorema do Divergente afirma que:
O Teorema do Divergente é às vezes
ƒ sob as condições dadas, o fluxo de F pela superfície fronteira de E é igual à integral tripla do divergente de F em E.
chamado Teorema de Gauss, em homenagem ao grande matemático alemão Karl Friedrich Gauss (1777 -1855). ƒ Ele descobriu esse teorema durante suas pesquisas sobre eletrostática.
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TEOREMA DE OSTROGRADSKY
TEOREMA DO DIVERGENTE
Em muitos países da Europa, o Teorema do
Seja F = P i + Q j + R k
Divergente é conhecido como Teorema de
ƒ Então,
Ostrogradsky, em homenagem ao matemático russo Mikhail Ostrogradsky (1801-1862). ƒ Ele publicou esse resultado em 1826.
div F
Demonstração
wP wQ wR wx wy wz
ƒ logo,
³³³ div F dV E
wP
wQ
wR
³³³ wx dV ³³³ wy dV ³³³ wz dV E
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E
E
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
TEOREMA DO DIVERGENTE
Equações 2 - 4
Se n é o vetor normal unitário para fora de S,
Portanto, para demonstrar o Teorema do
então a integral de superfície do lado
Divergente, é suficiente demonstrar as três
esquerdo do Teorema do Divergente é
seguintes equações: wP
³³ F ˜ dS ³³ F ˜ n dS S
³³ P i ˜ n dS ³³³ wx dV S
S
E
wQ
³³ P i Q j R k ˜ n dS
³³ Q j ˜ n dS ³³³ wy dV
³³ P i ˜ n dS ³³ Q j ˜ n dS ³³ R k ˜ n dS
³³ R k ˜ n dS ³³³ wz dV
S
S
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S
S
S
E
wR
S
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E
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
Para demonstrar a Equação 4, usamos o fato de que E é uma região do tipo 1:
E
^ x, y, z x, y D, u x, y d z d u 1
2
x, y `
onde D é a projeção de E sobre o plano xy.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Equação 5
Pela Equação 15.6.6, temos
Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
A superfície fronteira
Observe que sobre S3, temos k · n = 0,
S é formada por três
porque k é vertical e n é horizontal, e assim
partes:
³³ R k ˜ n dS
ƒ a superfície do fundo S1
S3
³³ 0 dS
ƒ a superfície do topo S2 ƒ possivelmente, uma superfície vertical S3, que está acima da curva fronteira de D (Pode acontecer de S3 não existir, como no caso da esfera.) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Equação 6
Logo, independentemente da existência de uma superfície vertical, podemos escrever
TEOREMA DO DIVERGENTE
S1
Demonstração
A equação de S2 é z = u2(x, y), (x, y)D, e o vetor normal que sai de n aponta para cima.
³³ R k ˜ n dS ³³ R k ˜ n dS ³³ R k ˜ n dS S
0
S3
ƒ Da Equação 16.7.10 (com F substituído por R k), temos
S2
³³ R k ˜ n dS S2
³³ R x, y, u x, y dA 2
D
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TEOREMA DO DIVERGENTE
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Demonstração
Sobre S1, temos z = u1(x, y, mas aqui a normal n aponta para baixo, então multiplicamos por –1:
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
Portanto, a Equação 6 fica
³³ R k ˜ n dS S
³³ R k ˜ n dS S1
³³ ª¬ R x, y, u x, y R x, y, u x, y º¼ dA 2
D
³³ R x, y, u1 x, y dA D
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1
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
Comparando com a Equação 5, temos que
³³ R k ˜ n dS S
wR dV ³³³ w z E
TEOREMA DO DIVERGENTE
Observe que o método de demonstração do Teorema do Divergente é muito semelhante ao do Teorema de Green.
ƒ As Equações 2 e 3 são demonstradas de modo análogo, usando as expressões para E como uma região do tipo 2 ou do tipo 3.
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DIVERGENTE
EXEMPLO 1
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z i + y j + x k sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1
A esfera unitária S é a fronteira da bola unitária B dada por: x2 + y2 + z2 1
³³ F ˜ dS ³³³ div F dV ³³³ 1 dV S
B
4 3
S 1
3
4S 3
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DIVERGENTE
³³ F ˜ dS
B
V B
w w w z y x 1 wx wy wz
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Calcule
EXEMPLO 1
ƒ Então, o Teorema do Divergente dá o fluxo como
ƒ Primeiro calcularemos o divergente de F:
div F
DIVERGENTE
EXEMPLO 2
onde:
DIVERGENTE
EXEMPLO 2
Seria extremamente difícil calcular a integral da superfície dada diretamente.
S
2
ƒ F(x, y, z) = xy i + (y2 + exz ) j + sen(xy) k ƒ Teríamos de calcular quatro integrais de superfícies correspondentes às quatro partes de S.
ƒ S é a superfície da região E limitada pelo cilindro parabólico z = 1 – x2 e pelos planos z = 0, y = 0, y + z = 2
ƒ Além disso, o divergente de F é muito menos complicado que o próprio F:
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DIVERGENTE
EXEMPLO 2
Portanto, usamos o Teorema do Divergente para transformar a integral da superfície dada
DIVERGENTE
Assim, temos:
em uma integral tripla. ƒ O modo mais fácil de calcular a integral tripla é escrever E como uma região do tipo 3:
E
^ x, y, z 1 d x d 1, 0 d z d 1 x , 0 d y d 2 z` 2
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EXEMPLO 2
UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
Apesar de termos demonstrado o Teorema do Divergente somente para o caso de regiões sólidas simples, ele pode ser demonstrado para regiões que são a união finita de regiões sólidas simples.
Por exemplo, vamos considerar a região E
ƒ O procedimento é semelhante ao usado na Seção
que está entre as superfícies fechadas S1 e
S2, onde S1 está dentro de S2. ƒ Sejam n1 e n2 as normais apontando para fora de S1 e S2.
16.4 para estender o Teorema de Green.
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UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
Então, a superfície fronteira de E é:
Aplicando o Teorema do Divergente a S, obtemos
S = S 1 S2
Eq. 7
³³³ div F dV ³³ F ˜ dS
e sua normal n é dada por:
E
n = –n1 sobre S1
S
³³ F ˜ n dS
n = n2 sobre S2
S
³³ F ˜ n dS ³³ F ˜ n 1
S1
2
dS
S2
³³ F ˜ dS ³³ F ˜ dS S1
S2
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APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
Vamos aplicar isso ao campo elétrico (veja o
Você pode verificar que div E = 0 (Exercício 23).
Exemplo 5 na Seção 16.1):
E x
HQ x
3
Portanto, da Equação 7 vem
x
³³ E ˜ dS ³³ E ˜ dS ³³³ div E dV S2
onde S1 é uma pequena esfera com raio a e
S1
E
³³ E ˜ dS
centro na origem.
S1
³³ E ˜ n dS S2
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APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
O ponto importante nesse cálculo é que podemos calcular a integral de superfície
Portanto,
sobre S1 porque S1 é uma esfera. O vetor normal em x é x/|x|.
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E˜n
§x· x ˜ ¨¨ ¸¸ x ©x¹
HQ
HQ
3
4
x
x˜x
HQ x
já que a equação de S1 é |x| = a.
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2
HQ a
2
APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
Assim, temos
Isso mostra que o fluxo elétrico de E é 4S Q através de qualquer superfície fechada S2 que contenha a origem.
³³ E ˜ dS ³³ E ˜ n dS S2
S1
HQ a2
³³ dS S1
HQ
A S1 a2 HQ 4S a 2 2 a 4SH Q
ƒ Esse é um caso especial da Lei de Gauss (Equação 16.7.11) para uma única carga. ƒ A relação entre e 0 é = 1/4S 0.
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APLICAÇÕES—FLUIDOS
APLICAÇÕES—FLUIDOS
Outra aplicação do Teorema do Divergente
Se P0(x0, y0, z0) é um ponto no fluido e Ba é uma bola com centro em P0 e raio muito pequeno a.
aparece no escoamento de fluidos. ƒ Seja v(x, y, z) o campo de velocidade de um fluido com densidade constante .
ƒ Então, div F(P) div F(P0) para todos os pontos de Ba , uma vez que div F é contínuo.
ƒ Então, a vazão do fluido por unidade de área é F = v.
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APLICAÇÕES—FLUIDOS
APLICAÇÕES—FLUIDOS
Aproximamos o fluxo sobre a fronteira
Essa aproximação se torna melhor à medida
esférica Sa como segue:
que a 0 e sugere que:
1 F ˜ dS a o 0 V B ³³ a Sa
div F P0 lim
³³ F ˜ dS ³³³ div F dV Sa
Equação 8
Ba
³³³ div F P dV 0
Ba
div F P0 V Ba © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
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FONTE E SORVEDOURO
FONTE
A Equação 8 nos diz que div F(P0) é a vazão total por unidade de volume que sai de P0.
Para o campo vetorial da Figura 4, parece que os vetores que terminam próximo de P1 são menores que os vetores que iniciam perto do mesmo ponto P1.
(essa é a razão para o nome divergente). ƒ Se div F(P) > 0, o escoamento total perto de P é
para fora e P é chamado fonte. ƒ Se div F(P) < 0, o escoamento total perto de P é
para dentro e P é denominado sorvedouro.
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ƒ Então, o fluxo total é para fora perto de P1. ƒ Assim, div F(P1) > 0 e P1 é uma fonte.
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SORVEDOURO
FONTE E SORVEDOURO
Por outro lado, perto de P2, os vetores que chegam são maiores que os que saem.
Podemos usar a fórmula para F para confirmar essa impressão.
ƒ Aqui o fluxo total é para dentro. ƒ Assim, div F(P2) < 0 e P2 é um sorvedouro.
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ƒ Como F = x2 i + y2 j, temos div F = 2x + 2y, que é positivo quando y > –x. ƒ Assim os pontos acima da reta y = –x são fontes e os pontos abaixo da reta são sorvedouros.
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16.9 Cálculo Vetorial
Capítulo 16
O Teorema do Divergente
Nesta seção, aprenderemos sobre: O Teorema do Divergente para regiões sólidas simples e suas aplicações em campos elétricos e fluídos.
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INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
Na Seção 16.5, reescrevemos o Teorema de Green na versão vetorial
Se quisermos estender esse teorema para campos vetoriais em R³, podemos conjecturar que
³
C
F ˜ n ds
³³ div F( x, y) dA D
onde C é a curva fronteira da região do plano D, orientada positivamente.
Equação 1
³³ F ˜ n dS ³³³ div F( x, y, z ) dV S
E
onde S é a superfície fronteira da região sólida E.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
TEOREMA DO DIVERGENTE
A Equação 1 é verdadeira sob hipóteses apropriadas e é chamada Teorema do Divergente.
Observe sua semelhança com os Teoremas de Green e de Stokes, pois ele relaciona a integral da derivada de uma função (div F, nesse caso) sobre uma região com a integral da função original F sobre a fronteira da região.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
Nesse estágio, você pode fazer uma revisão dos vários tipos de regiões sobre os quais calculamos integrais triplas na Seção 15.6.
Enunciaremos e demonstraremos o Teorema do Divergente para as regiões E que são simultaneamente dos tipos 1, 2 e 3, às quais chamaremos regiões sólidas simples. ƒ Por exemplo: regiões limitadas por elipsoides ou caixas retangulares são regiões sólidas simples.
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REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
TEOREMA DO DIVERGENTE
A fronteira de F é uma superfície fechada e usaremos a convenção, introduzida na Seção 16.7, de que a orientação positiva é para for a.
Seja: ƒ E uma região sólida simples ƒ S a superfície fronteira de E, orientada
positivamente (para fora). ƒ F um campo vetorial cujas funções componentes
Ou seja, o vetor normal unitário n apontará para fora de E.
tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. ƒ Então,
³³ F ˜ dS ³³³ div FdV S
E
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TEOREMA DO DIVERGENTE
TEOREMA DE GAUSS
Portanto, o Teorema do Divergente afirma que:
O Teorema do Divergente é às vezes
ƒ sob as condições dadas, o fluxo de F pela superfície fronteira de E é igual à integral tripla do divergente de F em E.
chamado Teorema de Gauss, em homenagem ao grande matemático alemão Karl Friedrich Gauss (1777 -1855). ƒ Ele descobriu esse teorema durante suas pesquisas sobre eletrostática.
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TEOREMA DE OSTROGRADSKY
TEOREMA DO DIVERGENTE
Em muitos países da Europa, o Teorema do
Seja F = P i + Q j + R k
Divergente é conhecido como Teorema de
ƒ Então,
Ostrogradsky, em homenagem ao matemático russo Mikhail Ostrogradsky (1801-1862). ƒ Ele publicou esse resultado em 1826.
div F
Demonstração
wP wQ wR wx wy wz
ƒ logo,
³³³ div F dV E
wP
wQ
wR
³³³ wx dV ³³³ wy dV ³³³ wz dV E
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E
E
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
TEOREMA DO DIVERGENTE
Equações 2 - 4
Se n é o vetor normal unitário para fora de S,
Portanto, para demonstrar o Teorema do
então a integral de superfície do lado
Divergente, é suficiente demonstrar as três
esquerdo do Teorema do Divergente é
seguintes equações: wP
³³ F ˜ dS ³³ F ˜ n dS S
³³ P i ˜ n dS ³³³ wx dV S
S
E
wQ
³³ P i Q j R k ˜ n dS
³³ Q j ˜ n dS ³³³ wy dV
³³ P i ˜ n dS ³³ Q j ˜ n dS ³³ R k ˜ n dS
³³ R k ˜ n dS ³³³ wz dV
S
S
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S
S
S
E
wR
S
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E
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
Para demonstrar a Equação 4, usamos o fato de que E é uma região do tipo 1:
E
^ x, y, z x, y D, u x, y d z d u 1
2
x, y `
onde D é a projeção de E sobre o plano xy.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Equação 5
Pela Equação 15.6.6, temos
Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
A superfície fronteira
Observe que sobre S3, temos k · n = 0,
S é formada por três
porque k é vertical e n é horizontal, e assim
partes:
³³ R k ˜ n dS
ƒ a superfície do fundo S1
S3
³³ 0 dS
ƒ a superfície do topo S2 ƒ possivelmente, uma superfície vertical S3, que está acima da curva fronteira de D (Pode acontecer de S3 não existir, como no caso da esfera.) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
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TEOREMA DO DIVERGENTE
Equação 6
Logo, independentemente da existência de uma superfície vertical, podemos escrever
TEOREMA DO DIVERGENTE
S1
Demonstração
A equação de S2 é z = u2(x, y), (x, y)D, e o vetor normal que sai de n aponta para cima.
³³ R k ˜ n dS ³³ R k ˜ n dS ³³ R k ˜ n dS S
0
S3
ƒ Da Equação 16.7.10 (com F substituído por R k), temos
S2
³³ R k ˜ n dS S2
³³ R x, y, u x, y dA 2
D
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TEOREMA DO DIVERGENTE
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Demonstração
Sobre S1, temos z = u1(x, y, mas aqui a normal n aponta para baixo, então multiplicamos por –1:
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
Portanto, a Equação 6 fica
³³ R k ˜ n dS S
³³ R k ˜ n dS S1
³³ ª¬ R x, y, u x, y R x, y, u x, y º¼ dA 2
D
³³ R x, y, u1 x, y dA D
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1
TEOREMA DO DIVERGENTE
Demonstração
Comparando com a Equação 5, temos que
³³ R k ˜ n dS S
wR dV ³³³ w z E
TEOREMA DO DIVERGENTE
Observe que o método de demonstração do Teorema do Divergente é muito semelhante ao do Teorema de Green.
ƒ As Equações 2 e 3 são demonstradas de modo análogo, usando as expressões para E como uma região do tipo 2 ou do tipo 3.
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DIVERGENTE
EXEMPLO 1
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z i + y j + x k sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1
A esfera unitária S é a fronteira da bola unitária B dada por: x2 + y2 + z2 1
³³ F ˜ dS ³³³ div F dV ³³³ 1 dV S
B
4 3
S 1
3
4S 3
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DIVERGENTE
³³ F ˜ dS
B
V B
w w w z y x 1 wx wy wz
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Calcule
EXEMPLO 1
ƒ Então, o Teorema do Divergente dá o fluxo como
ƒ Primeiro calcularemos o divergente de F:
div F
DIVERGENTE
EXEMPLO 2
onde:
DIVERGENTE
EXEMPLO 2
Seria extremamente difícil calcular a integral da superfície dada diretamente.
S
2
ƒ F(x, y, z) = xy i + (y2 + exz ) j + sen(xy) k ƒ Teríamos de calcular quatro integrais de superfícies correspondentes às quatro partes de S.
ƒ S é a superfície da região E limitada pelo cilindro parabólico z = 1 – x2 e pelos planos z = 0, y = 0, y + z = 2
ƒ Além disso, o divergente de F é muito menos complicado que o próprio F:
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DIVERGENTE
EXEMPLO 2
Portanto, usamos o Teorema do Divergente para transformar a integral da superfície dada
DIVERGENTE
Assim, temos:
em uma integral tripla. ƒ O modo mais fácil de calcular a integral tripla é escrever E como uma região do tipo 3:
E
^ x, y, z 1 d x d 1, 0 d z d 1 x , 0 d y d 2 z` 2
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EXEMPLO 2
UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
Apesar de termos demonstrado o Teorema do Divergente somente para o caso de regiões sólidas simples, ele pode ser demonstrado para regiões que são a união finita de regiões sólidas simples.
Por exemplo, vamos considerar a região E
ƒ O procedimento é semelhante ao usado na Seção
que está entre as superfícies fechadas S1 e
S2, onde S1 está dentro de S2. ƒ Sejam n1 e n2 as normais apontando para fora de S1 e S2.
16.4 para estender o Teorema de Green.
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UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
UNIÃO DE REGIÕES SÓLIDAS SIMPLES
Então, a superfície fronteira de E é:
Aplicando o Teorema do Divergente a S, obtemos
S = S 1 S2
Eq. 7
³³³ div F dV ³³ F ˜ dS
e sua normal n é dada por:
E
n = –n1 sobre S1
S
³³ F ˜ n dS
n = n2 sobre S2
S
³³ F ˜ n dS ³³ F ˜ n 1
S1
2
dS
S2
³³ F ˜ dS ³³ F ˜ dS S1
S2
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APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
Vamos aplicar isso ao campo elétrico (veja o
Você pode verificar que div E = 0 (Exercício 23).
Exemplo 5 na Seção 16.1):
E x
HQ x
3
Portanto, da Equação 7 vem
x
³³ E ˜ dS ³³ E ˜ dS ³³³ div E dV S2
onde S1 é uma pequena esfera com raio a e
S1
E
³³ E ˜ dS
centro na origem.
S1
³³ E ˜ n dS S2
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APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
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O ponto importante nesse cálculo é que podemos calcular a integral de superfície
Portanto,
sobre S1 porque S1 é uma esfera. O vetor normal em x é x/|x|.
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E˜n
§x· x ˜ ¨¨ ¸¸ x ©x¹
HQ
HQ
3
4
x
x˜x
HQ x
já que a equação de S1 é |x| = a.
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2
HQ a
2
APLICAÇÕES—CAMPOS ELÉTRICOS
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Assim, temos
Isso mostra que o fluxo elétrico de E é 4S Q através de qualquer superfície fechada S2 que contenha a origem.
³³ E ˜ dS ³³ E ˜ n dS S2
S1
HQ a2
³³ dS S1
HQ
A S1 a2 HQ 4S a 2 2 a 4SH Q
ƒ Esse é um caso especial da Lei de Gauss (Equação 16.7.11) para uma única carga. ƒ A relação entre e 0 é = 1/4S 0.
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APLICAÇÕES—FLUIDOS
APLICAÇÕES—FLUIDOS
Outra aplicação do Teorema do Divergente
Se P0(x0, y0, z0) é um ponto no fluido e Ba é uma bola com centro em P0 e raio muito pequeno a.
aparece no escoamento de fluidos. ƒ Seja v(x, y, z) o campo de velocidade de um fluido com densidade constante .
ƒ Então, div F(P) div F(P0) para todos os pontos de Ba , uma vez que div F é contínuo.
ƒ Então, a vazão do fluido por unidade de área é F = v.
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APLICAÇÕES—FLUIDOS
APLICAÇÕES—FLUIDOS
Aproximamos o fluxo sobre a fronteira
Essa aproximação se torna melhor à medida
esférica Sa como segue:
que a 0 e sugere que:
1 F ˜ dS a o 0 V B ³³ a Sa
div F P0 lim
³³ F ˜ dS ³³³ div F dV Sa
Equação 8
Ba
³³³ div F P dV 0
Ba
div F P0 V Ba © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
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FONTE E SORVEDOURO
FONTE
A Equação 8 nos diz que div F(P0) é a vazão total por unidade de volume que sai de P0.
Para o campo vetorial da Figura 4, parece que os vetores que terminam próximo de P1 são menores que os vetores que iniciam perto do mesmo ponto P1.
(essa é a razão para o nome divergente). ƒ Se div F(P) > 0, o escoamento total perto de P é
para fora e P é chamado fonte. ƒ Se div F(P) < 0, o escoamento total perto de P é
para dentro e P é denominado sorvedouro.
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ƒ Então, o fluxo total é para fora perto de P1. ƒ Assim, div F(P1) > 0 e P1 é uma fonte.
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SORVEDOURO
FONTE E SORVEDOURO
Por outro lado, perto de P2, os vetores que chegam são maiores que os que saem.
Podemos usar a fórmula para F para confirmar essa impressão.
ƒ Aqui o fluxo total é para dentro. ƒ Assim, div F(P2) < 0 e P2 é um sorvedouro.
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ƒ Como F = x2 i + y2 j, temos div F = 2x + 2y, que é positivo quando y > –x. ƒ Assim os pontos acima da reta y = –x são fontes e os pontos abaixo da reta são sorvedouros.
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