Clase 4 2mq61

Valor Esperado de una variable aleatoria Definición 1. Ejemplo 1. Un inspector de calidad obtiene una muestra de un lote que contiene 7 componentes; el lote contiene 4 componentes buenos y 3 defectuosos. El inspector toma una muestra de 3 componentes. Calcule el valor esperado del número de componentes buenos en esta muestra. Ejemplo 2. Sea la variable aleatoria que denota la vida en horas de cierto dispositivo electrónico. La función de densidad de probabilidad es ( )

{

Teorema 1. Ejemplo 3. Suponga que el número de automóviles que pasa por un local de lavado de autos entre las 4:00 P.M. y las 5:00 P.M. de cualquier viernes soleado tiene la siguiente distribución de probabilidad: 4 (

5

6 7 8 9

)

Sea ( ) la cantidad de dinero en dólares que el paga al operador. Calcule las ganancias esperadas del operador en este periodo específico. Ejemplo 4. Sea

una variable aleatoria con función de densidad ( )

{

Calcule el valor esperado de ( ) Definición 2. Ejemplo 5. Sean y variables aleatorias con la distribución de probabilidad conjunta que ) se indica en la tabla. Calcule el valor esperado de ( . (

) 0 1 2

0 3/28 3/14 1/28

1 9/28 3/14 0 1

2 3/28 0 0

Totales por renglón 15/28 3/7 1/28

Totales por columna

Ejemplo 6. Calcule

5/14

15/28

3/28

1

( ) para la siguiente función de densidad (

)

{

(

)

Varianza de una variable aleatoria Definición 3. Ejemplo 7: sea que la variable aleatoria Y represente el número de automóviles que se utilizan para propósitos de negocios en un día cualquiera de trabajo. La distribución de probabilidad para la compañía A esta dada por: 1 2 3 ( ) 0.3 0.4 0.3 Y para la compañía B es: 0 1 2 3 4 ( ) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 Demuestre que la varianza de la distribución de probabilidad para la compañía B es mayor que la compañía A. Teorema 2. Ejercicio: Demuestre el teorema. Ejemplo 8. Sea la variable aleatoria Y que represente el número de partes defectuosas de una máquina cuando tres de ellas se seleccionan de una línea de producción y se prueban. La siguiente es la distribución de probabilidad de Y.

Use el Teorema 2 y Calcule

0 1 2 3 ( ) 0.51 0.38 0.10 0.01 .

Ejemplo 9. La demanda semanal de una bebida para una cadena local de tiendas de abarrotes, en miles de litros, es una variable aleatoria continua que tiene la siguiente densidad de probabilidad ( )

{

(

)

2

Calcule la media y la varianza de . Teorema 3. Teorema 4. Ejemplo 10. La demanda semanal de una bebida para una cadena local de tiendas de abarrotes, en miles de litros, es una variable aleatoria continua ( ) , donde tiene la siguiente función de densidad ( )

{

(

)

Calcule el valor esperado para la demanda semanal de la bebida. Ejemplo 11. El gerente de una compañía petrolera planea adquirir una nueva máquina del tipo A o B. Si denota el número de horas de funcionamiento diario, el número de reparaciones diarias que se tienen que hacer a una máquina del tipo A es una variable aleatoria con una media y una varianza iguales a . La cantidad de reparaciones diarias que requiere una máquina del tipo B constituye una variable aleatoria con una media y una varianza iguales a . El costo diario de operación de la máquina tipo A es de ( ) ( ) , y para la de tipo B es de . Suponga que las reparaciones toman un mínimo de tiempo, y que cada noche las máquinas se alternan de tal manera que funcionen como nuevas al comienzo del siguiente día. ¿Cuál de ellas reduce al mínimo el costo diario esperado si un día laboral consta de a) 10 horas y b) 20 horas? Ejercicios. 1. La variable aleatoria , que representa el número de pedacitos de chocolate en un pastel, tiene la siguiente distribución de probabilidad:

( )

2 0.01

3 0.25

4 0.4

5 0.3

6 0.04

Encuentre la varianza de . 2. El periodo de tiempo, en minutos, que un aeroplano espera vía libre para aterrizar en un cierto aeropuerto es una variable aleatoria ( ) , donde X tiene la función de densidad ( )

{

Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria.

3

3. Si Y es una variable aleatoria cuya ( )

( )

(

( ) aparece en la tabla adjunta, encuentre

) y ( ). 1 2 3 4 ( ) 0.4 0.3 0.2 0.1

4. Y tiene la función de densidad ( )

{

( )(

)

Calcule la media y la varianza de Y. 5. En ciertas muestras minerales, la proporción de impurezas por muestra, Y, es una variable aleatoria cuya función de densidad es ( )

{

( )

Cada muestra tiene un valor en dólares de varianza de .

. Calcule la media y la

6. La temperatura Y a la que un interruptor eléctrico controlado por un termostato enciende, tiene una función de densidad de probabilidad dada por ( )

{

Encuentre ( ) y ( ). 7. La proporción de tiempo Y que un robot industrial funciona en una jornada laboral de 40 horas es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es ( )

{

a) Encuentre ( ) y ( ) b) En el caso del robot que se está estudiando, el rendimiento semanal X está dado por la expresión . Determine ( ) y ( ). 8. La radiación solar total diaria que incide en una zona específica en el mes de octubre tiene una función de densidad de probabilidad dada por ( )

{

(

)(

)(

)

Cuyas medidas se expresan en cientos de calorías. Determine la radiación solar esperada para octubre. 4

9. El pH de unas muestras de agua de cierto lago es una variable aleatoria Y cuya función de densidad de probabilidad está dada por ( )

{

( )(

)

Encuentre ( ) y ( ). 10. Calcule la varianza de ( ) distribución de probabilidad

, donde Y es una variable aleatoria con

0 1 2 3 ( )

11. El número de repuestos azules y el número de repuestos rojos , cuando dos de ellos se seleccionan aleatoriamente de una cierta caja, se indica por la siguiente distribución de probabilidad conjunta: (

)

0

1

2

( )

0 1 2 ( ) Encuentre la covarianza de

1

y .

5