Cocientes Notables Algebra 536t2j

CEPRE ARQUIMEDES – AZANGARO

ALGEBRA se está dividiviendo un polinomio de grado n entre uno de primer grado, el cociente resultante será de grado (n – 1) Entonces:

x n  a n = xn–1 + xn–2a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 ……+ a n – 1 xa

Lic. Edwin Mamani Hancco

COCIENTES NOTABLES DEFINICIÓN Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmos correspondientes, o sea sin necesidad de efectuar la operación. Estos casos especiales son de la forma general:

1)

xn  an xa

2)

Donde: x, a son las bases y n  N * Condiciones que deben cumplir: A) Deben tener las bases iguales. B) Deben tener los exponentes iguales Así:

xa

xa

xn  an xa

;

xn  an

xa

xa

n = xn–1 + xn–2a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 +……+ a n – 1 + 2a

xa

Para cualquier valor de “n”. Importante:

xn  an

Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta en consecuencia NO ES UN COCIENTE NOTABLE.

xa

b)

a) Calculo del resto x–a=0 x=a R = an + an R = 2an  0 Veamos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto. b) Calculo del cociente Análogamente aplicando la regla de Ruffini: Q(x) = xn + 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 + xn – 4a3 + … + an – 1 R = 2an Luego el cociente completo es:

xn  an

PRIMER CASO:

a)

= (2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 + 6xy + 9y2

(NO ES COCIENTE NOTABLE)

ESTUDIO DE LOS CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:

;

2 x  3y

xa

x10  a10 xa

xn  an

= x3 + x2 a + x a2 +a3

xa 8x 3  27 y 3

xn  an

Numéricamente

;

x4  a4

SEGUNDO CASO

xn  an xa

xn  an

Para cualquier valor de “n” Ejemplos: Calcular el cociente en forma directa de:

Calculo del resto Por el teorema del resto: x – a = 0  x = a R = an – an = 0 R=0

TERCER CASO

Esto indica que para cualquier valor entero de “n”, será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.

a)

Calculo del resto: x + a = 0  x = –a R = (–a)n + an Si: n = # par  R = an + an = 2an  0  cociente completo Si: n = # impar  R = – an + an = 0  cociente exacto

b)

Calculo del cociente: Aplicando el método de Ruffini se obtiene: 1) Para n = # Par: n-1 n-2 n-3 2

xn  an

Calculo del cociente Efectuando la división por el Método de Ruffini, donde previamente en el dividendo tendrá que completarse con ceros como términos falten. 1

+

0

+

0

+

0

+ ……………… 0

–a

n

xa

Q(x) = x

a

a 1

a

a

2

a2

a

…………… a

3

a3

………… a

n–1

n–1

a

-x

a+x

n

0 RESIDUO

a -x n-4 a 3 +......- a n-1

n términos

R = 2an  0 Luego el cociente completo es: n = # par x n  a n = xn–1 – xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……–a n – 1 + 2a n xa xa

2) Para n = # impar: n-1 n-2

Q(x)= x

-x

a + x n-3a 2 -x n-4 a 3 +......  a n-1

En general

n términos

x n – k ak – 1

Tk =

R= 0

; (1  k  n)

Signo Luego el cociente exacto es: n = # impar xn  an xa

CÁLCULO DEL TÉRMINO CENTRAL a) Cuando n es impar Hay un término central

= xn–1 –xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……+ a n – 1

n 1

n 1

TC  Tn 1  signo x 2 .a 2 2

CUARTO CASO:

b) Cuando n es par Hay dos términos centrales

xn  an

n n 2  signo x 2 .a 2

TC1  Tn

xa

2 n 2

a) Calculo del resto: x+a=0  x=–a R = (–a)n – an Sí : n = # par  R = an – an = 0 [Cociente exacto] Sí : n = # impar  R = – an – an = – 2an  0 [ cociente completo] b) Calculo del cociente: Aplicando el método de Ruffini, se obtiene: 1) Para n = # par Aplicando el método de Ruffini se obtiene:

n

TC2  Tn  2  signo x 2 .a 2 2

* Donde K es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador. “Ósea el exponente de x es igual al exponente común de las bases menos, el lugar que ocupa y el de a el lugar que ocupa disminuido en 1” * Regla para el SIGNO

Lugar par

A) Cuando el divisor es de la forma (x – a)

Q(x)= x n-1 -x n-2 a + x n-3a 2 -x n-4 a 3 +......  a n-1 n términos

Todos son positivos (+) B) Cuando el divisor es de la forma (x + A)

R= 0

K = # impar  (Positivo +) K = # par  (Negativo – )

Luego el cociente exacto es: n = # par Ejemplos:

xn  an xa 2)

= xn–1–xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……–a n – 1 3)

Lugar par n-1

-x

n-2

a+x

n-3 2

a -x

a +......  a

n-4 3

R = –2an  O Luego el cociente completo es: N = # impar

x n  a n = xn–1–xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……+a n – 1– xa

2a n

= x5 – a x 4 + a2 x3 – a3 x2 + a4 x – a5

Solución: * Dando la forma de un cociente notable:

x155  a 93 x5  a3

x 5 31  a 3 31 x5  a3

Como el divisor es de la forma (x + A) y el término a buscar es par (k) tendrá signo negativo (–)  T22 = – (x5)31 – 22 (a3) 22 – 1 T22 = –(x5)9 (a3)21  T22 = – x45 a63 LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE

El signo x  adel último término del cociente varía por estar ocupando diferente lugar. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES. Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás: Sabemos que:

xa

xa

n-1

n términos

xn  an

x6  a6

2) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo:

Para n = # impar

Q(x)= x

1)

= xn–1 + xn–2a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 ……+ xa n – 2 + an –1 T1

T1

T1

T1

1) Si la división tiene la forma que origina un cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el número de términos del cociente. Ejemplo:



x100 x

100



y100



y



# de términos del cociente =

CEPRE ARQUIMEDES – AZANGARO



x 200  y200



x4

x 4  y6

   50

 y6

50

ALGEBRA 2.

 # términos del

A)

x 4  y6

2) El cociente se caracteriza por ser completo, y ordenado respecto a sus bases además de ser homogéneo respecto a las mismas. 3) El primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor. 4) Apartir del segundo término los exponentes de la primera base disminuyen de uno a uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno. 5) Si el divisor es un binomio diferente (x – A) todos los términos del cociente serán positivos; pero si en un binomio suma (x +A) los términos del cociente serán alternados ( los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos). 6) Solo cuando “ n ” es impar, las bases del término central tendrán igual exponente.

3.

4.

5.

ax

xy

¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252? x160  y 280 B) 23 E) 34

C) 30

x a  ya

x 3  y3 contiene un “x” cuyo grado relativo es 0. Hallar la suma de coeficientes de dicho cociente: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 x 2  y2 n un “x” cuyo grado relativo es:   . Hallar el número de términos del  2

B) 20 E) 16

C) 15

x m  yn

El cociente de

. Tiene 12 términos. Si el 4to término x a  yb contiene un “x” de grado 16. y a + b = 5. Hallar “n” A) 24 B) 36 C) 18 D) 42 E) 48

9.

Simplificar la expresión: x 6n 3  x 6n 6  6n 9 ......  x9  x 6  x3  1

E

q

x3n 3  x3n 6  x3n 9  ....  x9  x 6  x3  1 A) x B) x3n  1 C) x3n  1

m n número de términos.   p q

3n

D) 1

Ejemplo:

n 1  y 200 Sí: x Origina un cociente notable, calcular el valor de “n” x 2  y4

E) 2

10. Hallar “n” si el cociente es notable: x5n 3  y5n 6 A) 1 D) 4

Solución: * Como origina un cociente notable:

B) 2 E) 5

x n 1  yn  2 C) 3

5n3  y5n6 11. Calcular “n” si el cociente es notable: x x n 1  y n2

n  1 200  n + 1 = (50)(2)  2 4 n = 100 – 1  n = 99

PROBLEMAS

Hallar el octavo término del desarrollo de: B) 6 E) 5

C) x 9 y14

B) x14 y E) 1

8.

T35 = a86 x34 O también T35 = x34 a86

A) 4 D) 2

24 24 Hallar el término 10mo del desarrollo de: x  y

cociente: A) 10 D) 12

T35 = a121 – 35 x35 –1

1.

, es

n n Si el término que ocupa el lugar 10 del cociente de: x  y tiene

*Luego:

m n 8) Sí: x  a , Origina un cociente notable. p q x a Entonces se cumple: m  n Además:

x3 1

7. 121  x121

Izquierda Derecha

xn 1

El término de lugar 4 del cociente de:

Solución: * Intercambiamos las bases de la siguiente manera: a

Si el grado del octavo término del cociente notable:

6.

x121  a121

p

E) xy  1

x 4  y7 A) 32 D) 36

Ejemplo: Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo de: xa

C) x 3 y3

B) xy

A) x14y9 D) xy

= x6 + x5 a + x 4 a2 + x3 a3 + x2 a4 + xa5 +a6

7) Para calcular un término cualquiera contando de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general.

xy

12, hallar el número de términos de su desarrollo. A) 30 B) 26 C) 40 D) 36 E) 20

Ejemplo

xa

x 2y2

D) x 2 y 7

cociente = 50

x7  a7

Hallar el término octavo del desarrollo de:

x10  y10

C) 8

x 60  y 72 x 5  y6

A) 3 D) 7

B) 5 E) N.A.

C) 6

x a  y 24

12. Siendo el octavo término delx 60 C.N.  y 72 b

x  yc

el monomio:

x 5  y6 x a 96 y14 . Hallar la suma de los exponentes de los términos centrales. A) 151 B) 152 C) 158 D) 154 E) 155

13. Calcular que el t(5)

a b 4x

a5

y

9

del

siguiente

Cociente

Notable:

4x

 b5

y

9

es:

B) 18 E) 12

grado absoluto del t k  2 contar a partir del primero. A) 22 B) 52 C) 42 D) 32 E) 62

C) 16

14. Sabiendo que el siguiente cociente notable:

x

y

m

x y 2

m 2  ym 2 es 24. Si el vigésimo término del cociente notable x

p

x 2 y38 , el valor de E = m + n es: A) 12 D) 42

( x  y)100  ( x  y)100 para x = 3; y = 2 2 8xy ( x 2  y 2 )

C)

x

7n

y

6n

x  y6 7

,

sabiendo que, el término del lugar 7 tiene como grado absoluto 57. A) 10 B) 8 C) 6 D) 12 E) 9

x mn  ynp x y m

p

, se sabe que el 5to término de su

desarrollo tiene por grado absoluto 42, el 8vo término tiene por grado absoluto 45 y por grado relativo a “y”, 21, hallar el valor de m. A) 10 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1

18. Hallar el número x 4n 12  y4n 3

de

términos

del

cociente

notable

x n 8  yn 9 A) 15 D) 3

B) 10 E) 1

C) 5

19. Calcular el grado absoluto del décimo primer término en el cociente x3n  2  y5n 1 es: x 2  yn 5 B) 24 C) 34 E) 54

notable que se obtiene al dividir A) 14 D) 44

20. En el cociente notable generado por la división x 20m35  y20m57 , determinar el número de términos. ym1  ym3

A) 13 D) 31

B) 23 E) 34

C) 27

21. Si x p y28 ; x16 y2(p6) son términos equidistantes en el cociente notable de la división A) 35 D) 235

x m  yn x 4  y7

B) 70 E) 335

C) 32

36 36 cociente (x  3)  x 2x  3 A) 32 B) 64 D) 112 E) 98

C) 128

20m35  y20m57 , da lugar a un cociente notable, 26. Si la división x

3

16. Indicar cuántos términos tiene el siguiente desarrollo

17. Dado el cociente

B) 22 E) 52

25. Hallar el valor numérico de lugar 29 para x = -1, del desarrollo del

15. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:

B) 2 E) 2

x n  yn

ite ser

7

desarrollado como término central a x a y 70 . Evaluar J = p – 3m - 20 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 1 D) 4

75 30 cociente notable x  y tiene grado absoluto 40 calcular el

x 5  y2

a176b64 . Calcular el número de términos.

A) 14 D) 10

23. Si el término “k” con todo a partir del extremo final del desarrollo del

el valor de E = m + n + p es: C) 135

5n 12  y4p 22. Si el desarrollo del siguiente cociente notable x tiene

x n  yp

un término que contiene a x 24 y3 , el valor de E = n + p es: A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

x m1  ym3 indicar el número de términos de dicha división. A) 13 B) 23 C) 33 D) 35 E) 37

27. En el siguiente cociente notable

x3n 9  y3n x 3  y2

numérico del término central para x = 1, y = 2. A) 56 B) 156 D) 280 E) 310

28. Determinar (x  a)

14

el

término

central

en

el

, calcular el valor

C) 256 cociente

notable

a

14

x 2  2a 2  2ax A) a 6 (x  a)6

B) a 6 (x  a)6

D) a 7 (x  a)7

E) a5 (x  a)5

29. Dado el cociente

x mn  ynp x m  yp

C) a 7 (x  a)7

, se sabe que el 5to término de su

desarrollo tiene por grado absoluto 42, el 8vo término tiene por grado absoluto 45 y por grado relativo a “y”, 21, hallar el valor de m. A) 10 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1

30. Cual es el lugar que ocupa untermino en el siguiente C.N. : x350  y140 x 5  y2 Contando a partir del primer término sabiendo que la diferencia del G. A. de éste con el G.A. del término que ocupa la misma posición contado a partir del extremo final es 9. A) 34 B) 35 C) 37 D) 38 E) 30 155 93 31. En el desarrollo de x  y existe un término cuyo grado

x 5  y3 absoluto es 122, determinar la diferencia entre los exponentes de “x” e “y” en dicho término. A) 9 B) 19 C) 38 D) 39 E) 42