Conversor Cuk 2z66u

Conversor C´uk Caverna 18 de junho de 2014

1

Princ´ıpio de Funcionamento

O conversor C´ uk ter´a as seguintes caracter´ısticas: 1. Os valores dos dois indutores s˜ao altos e suas correntes s˜ao contantes. 2. Os valores dos dois capacitores s˜ao altos e suas tens˜oes s˜ao constantes. 3. O circuito funciona no estado est´avel, o que significa que as formas de onda da tens˜ao e da corrente s˜ao peri´odicas. 4. Para uma raz˜ao c´ıclica D, a chave fica fechada por um tempo DT e aberta por (1 − D) T . 5. A chave e o diodo s˜ao ideais. A topologia b´asica do conversor C´ uk ´e mostrado a seguir

1

I1

D

I2

S

1.1

Circuito C´ uk pr´ atico

Pode-se implementar com base na topologia do conversor C´ uk o seguinte conversor C´ uk pr´atico. Seja Vin a tens˜ao de entrada e Vout a tens˜ao de sa´ıda:

1

2

1

2

1

1a Etapa A chave S est´a aberta e o diodo D est´a conduzindo. As correntes IL1 e IL2 circulam pelo Diodo D. Durante esta etapa o capacitor C1 ´e carregado pela energia proveniente da fonte de entrada Vin e da indutˆancia L1 . A corrente IL1 decresce devido `a tens˜ao VC1 ser maior que Vin . A energia armazenada em L2 ´e transferida para a carga, portanto, a corrente IL2 tamb´em decresce.

1

=

1

1

2

1

2

2a Etapa Durante esta etapa a chave S permanece fechada e o diodo D fica bloqueado. As correntes IL1 e IL2 circulam pela chave S. O capacitor C1 se descarrega transferindo sua energia para a carga e para o indutor L1 . Neste caso a corrente IL2 cresce. A fonte de entrada Vin alimenta o indutor L1 causando o crescimento da corrente IL1 .

1

1

=−

2

2

1

2

2

Modelamento Matem´ atico para a condu¸c˜ ao cont´ınua

A tens˜ao m´edia nos indutores ´e zero no estado est´avel do circuito, logo VC1 = Vin − Vout com a chave fechada, o diodo est´a em corte de modo que a corrente no capacitor C1 ser´a (IC1 )fechada = −IL2

(1)

Com a chave aberta, a corrente em L1 e L2 for¸ca o diodo `a condu¸c˜ao de modo que a corrente no capacitor C1 ser´a (IC1 )aberta = IL1 (2) A potˆencia absorvida pela carga ´e igual `a potˆencia fornecida pela fonte −Vout IL2 = Vin IL1 2

(3)

Para um funcionamento peri´odico, a corrente m´edia no capacitor ´e zero. Com a chave ligada por um tempo D e desligada por (1 − D) T , logo (IC1 )fechada DT + (IC1 )aberta (1 − D) T = 0

(4)

Substituindo as equa¸c˜ oes (1) e (2) em (4) −IL2 DT + IL1 (1 − D) T = 0 teremos a raz˜ao entre as correntes nos indutores IL 1 D = IL 2 1−D

(5)

Como consideramos o circuito como sendo ideal, teremos Pin = Pout Vin IL1 = −Vout IL2 IL1 Vout =− IL2 Vin

(6)

Igualando as equa¸c˜ oes (5) e (6) teremos ( Vout = −Vin

D 1−D

) (7)

O sinal negativo indica que a polaridade ´e invertida entre a sa´ıda e a entrada. A ondula¸c˜ao em C1 ´e estimada pelo c´alculo da varia¸ca˜o em VC1 no intervalo quando a chave est´a aberta e as correntes IL1 e IC1 s˜ ao as mesmas. Supondo que a corrente em L1 seja constante num n´ıvel IL1 e usando as equa¸c˜ oes (6) e (7), temos ∆VC1 ≈

1 C1

∫

T

IL1 dt = DT

IL1 Vin D2 (1 − D) T = C1 RC1 f 1 − D

de modo que ∆VC1 ≈

Vout D RC1 f

(8)

As flutua¸c˜oes nas correntes do indutor podem ser calculadas examinando-se as tens˜oes no indutor enquanto a chave est´a fechada. A tens˜ao em L1 com a chave fechada ´e VL1 = Vin = L1

dIL1 dt

(9)

No intervalo de tempo DT quando a chave est´a fechada, a varia¸c˜ao na corrente do indutor ´e Vin ∆IL1 = DT L1 ou ∆IL1 =

Vin DT Vin D = L1 L1 f

(10)

Para o indutor L2 , a tens˜ao nele quando a chave est´a fecha ´e VL2 = Vout + (Vin − Vout ) = Vin = L2

dIL2 dt

de modo que a varia¸c˜ ao em L2 ser´a ∆IL2 =

Vin DT Vin D = L2 L2 f 3

(11)

2.1

Ondula¸c˜ ao da tens˜ ao na carga

Pela defini¸c˜ao de capacitˆancia ∆Q2 = C2 ∆Vout a tens˜ao de sa´ıda ser´a ∆Vout =

∆Q2 C2

A varia¸c˜ao na carga ∆Q2 ´e a ´area do triˆangulo abaixo do eixo do tempo

2

2

∆

∆ 2 2

2

∆Q2 = −

1 2

( )( ) T ∆IL2 T ∆IL2 =− 2 2 8

resultando em ∆Vout = −

∆IL2 8f C2

substituindo a equa¸c˜ ao (11) na equa¸c˜ ao acima ∆Vout = −

Vin D 8f C2 L2 f

e substituindo a equa¸c˜ ao (7) na equa¸c˜ ao acima [ ] D Vout (1 − D) D Vout (1 − D) ∆Vout = − 2 − = 2 8f C2 L2 D 8f C2 L2 D Portanto, a ondula¸c˜ ao ou varia¸c˜ ao de tens˜ao de sa´ıda ser´a ∆Vout 1−D = Vout 8L2 C2 f 2

(12)

Observemos que os componentes na sa´ıda (L2 , C2 e R) est˜ao na mesma configura¸c˜ao do conversor Buck e que a corrente no indutor tem a mesma forma do conversor Buck. Portanto, n˜ao foi coincidˆencia que a ondula¸c˜ ao (12) do C´ uk ´e a mesma do conversor Buck. A tens˜ao de ondula¸c˜ao na sa´ıda ser´a afetada pela resistˆencia equivalente em s´erie do capacitor.

3

Valores cr´ıticos dos indutores para a condu¸c˜ ao cont´ınua

A potˆencia dissipada na carga dever´ a ser igual `a carga na fonte de entrada, portanto 2 Vout = Vin IL1 R

de modo que IL1 =

4

2 Vout RVin

(13)

substituindo (7) em (13) IL 1

[ ( )]2 2 1 1 Vin D D2 = −Vin = RVin 1−D RVin (1 − D)2 Vin D2 R (1 − D)2

IL 1 =

(14)

Para obtermos IL2 basta substituirmos (5) em (14) de modo que IL 2 =

1 − D Vin 1−D D2 IL1 = D D R (1 − D)2 Vin D R 1−D

IL 2 =

(15)

Para um modo de condu¸c˜ ao cont´ınua nos indutores, a corrente m´edia deve ser maior que metade da varia¸c˜ao na corrente, para IL1 ter-se-´a 1 IL1 > ∆IL1 2 substituindo (14) e (10) na condi¸c˜ ao acima Vin D2 1 Vin D > 2 R (1 − D) 2 L1 f 1 D 1 1 > 2 R (1 − D) 2 L1 f de modo que a condi¸c˜ ao cr´ıtica para condu¸c˜ao cont´ınua para o indutor L1 ser´a 2

L1 >

(1 − D) R 2f D

para IL2 ter-se-´ a IL2 >

(16)

1 ∆IL2 2

substituindo (15) e (11) na condi¸c˜ ao acima Vin D 1 Vin D > R 1−D 2 L2 f portanto, a condi¸c˜ ao cr´ıtica para condu¸c˜ ao cont´ınua para o indutor L2 ser´a L2 >

1−D R 2f

(17)

Deste modo, os valores m´ınimos para os indutores para o modo de condu¸c˜ao cont´ınua s˜ao 2

L1,min

(1 − D) R 2Df

=

(18) L2,min

(1 − D) R 2f

=

5

4

Formas de onda

Em regime permanente as principais formas de onda ser˜ao

6

∆

1

=

2

1

=

2

2

=

1

7

1

5

Projeto e dimensionamento de componentes do conversor C´ uk

Para testar as equa¸c˜ oes constru´ıdas nas se¸c˜oes anteriores, projetaremos um conversor C´ uk, que simularemos em seguida para corroborar a exatid˜ao dos c´alculos.

5.1

Projeto

Um conversor C´ uk tem uma entrada de 12 V e precisa ter uma sa´ıda de −18 V alimentando uma carga de 40 W. Escolheremos a raz˜ao c´ıclica, a frequˆencia de chaveamento, os valores do indutor de modo que a varia¸c˜ao nas correntes do indutor n˜ao seja maior que 10% da corrente m´edia no indutor, a tens˜ao de ondula¸c˜ao na sa´ıda n˜ao seja maior que 1% e a tens˜ao de ondula¸c˜ao em C1 n˜ao seja maior que 5%. A raz˜ao c´ıclica ´e obtida pela equa¸c˜ ao (7) ( ) D −18 Vout = −Vin = = −1, 5 1−D 12 ou D = 0, 6 A seguir, a frequˆencia de chaveamento precisa ser escolhida. Frequˆencias altas de chaveamento resultam em menores varia¸c˜ oes de corrente no indutor. Escolhemos f = 50 kHz. As correntes m´edias no indutor s˜ao determinadas pela potˆencia e especifica¸c˜ oes da tens˜ao. IL1 =

Pout 40 W = = 2, 22 A −Vout 18 V

IL 2 =

Pin 40 W = = 3, 33 A −Vin 12 V

As varia¸c˜ oes nas correntes do indutor s˜ao calculadas pelas equa¸c˜oes (10) e (11). O limite de 10% nas varia¸c˜oes das correntes do indutor requer L2 >

Vin D 12 × 0, 6 = = 649 µH f ∆IL2 50000 × 0, 222

L1 >

Vin D 12 × 0, 6 = = 432 µH f ∆IL1 50000 × 0, 333

Pela equa¸c˜ ao (12), a especifica¸c˜ ao na ondula¸c˜ao de sa´ıda requer C2 > (

1−D 1 − 0, 6 ) = = 3, 08 µF ∆Vout 0, 01 × 8 × 649 × 10−6 × 500002 2 8L f 2 Vout

A tens˜ao m´edia em C1 ´e Vin − Vout = 12 − (−18) = 30 V, de modo que a varia¸c˜ao m´ınima em VC1 ´e 30 × 0, 05 = 1, 5 V. A resistˆencia equivalente R da carga ´e R=

2 182 Vout = = 8, 1 Ω Pout 40

Agora C1 ´e calculada pela especifica¸c˜ ao da ondula¸c˜ao na Equa¸c˜ao (8) C1 >

Vout D 18 × 0, 6 = = 17, 8 µF Rf ∆VC1 8, 1 × 50000 × 1, 5

8

5.2

Simula¸c˜ ao do projeto

Simulamos o circuito anterior do projeto no simulador PSIM vers˜ao 9.1. O software PSIM ´e um simulador espec´ıfico para eletrˆonica de potˆencia. Utilizamos um clock de 50 kHz sobre um MOSFET que funcionar´a como a chave S do circuito. No simulador o circuito ficou assim L1

C1 200u

500u

Vout

L2 750u

I_carga

V

V

A Vin

V1

50k C2

12

220u

R

8.1

Para a tens˜ao na carga, obtivemos o seguinte gr´afico

Vout (Volts) 10 0 -10 -20 -30 -40 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Time (s) O simulador forneceu uma valor RMS para a tens˜ao na carga de -1.8325944e+001 V, ou seja, um valor muito pr´oximo do −18 V especificado no projeto. Para a corrente na carga, obtivemos o seguinte gr´afico

9

I_carga (A) 1 0 -1 -2 -3 -4

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Time (s) O simulador forneceu uma valor RMS para a corrente na carga de 2.2624622e+000 A, ou seja, um valor muito pr´oximo dos 2, 22 A calculados no projeto. Tanto no gr´afico da corrente como na da tens˜ao da carga percebemos que no in´ıcio h´a a atua¸c˜ao dos transientes. No entanto, como falado no in´ıcio do trabalho, o conversor C´ uk ´e est´avel, portanto, mesmo tendo as instabilidades iniciais devido aos transientes, o circuito tende `a estabilidade.

6

Bibliografia

Referˆ encias [1] MARTINS, DENIZAR CRUZ e BARBI, IVO, Eletrˆ onica de Potˆencia: Conversores CC-CC B´ asicos N˜ ao Isolados, 4a edi¸c˜ ao revisada, 2011, 380 p. [2] HART, DANIEL W. Eletrˆ onica de Potˆencia: an´ alise e projetos de circuitos. Porto Alegre: AMGH, 2012.

10

0.1