Convol ej69

El impulso unitario o función delta . No es nada más que una función matemática que vale 1 en n = 0 y vale 0 en cualquier otro punto.

Desplazar y escalar la función delta: Si tenemos una señal s[n] que vale -3 en n = 5 y vale cero en cualquier otro punto, entonces expresarla como una función delta desplazada 5 muestras hacia la derecha, y escalada por un factor de -3 s[n] = -3*delta[n-5] -> es un impulso, es decir, es una señal que es el impulso unitario pero desplazado y escalada.

La función delta desplazada y escalada se la descompone en una sumatoria de impulsos. A la descomposición de una señal en una otras señales se le llama análisis de la señal. Si se toma cada impulso y se lo suma, se obtiene la señal original. A la composición de una señal a partir de la sumatoria de otras señales (impulsos) se le llama síntesis.

Si se tiene un sistema lineal cualquiera y al poner una señal cualquiera a la entrada, el sistema, devuelve una señal salida, la cual dependerá exclusivamente de qué haga el sistema internamente. Distintos sistemas nos pueden dar distintas respuestas ante la misma entrada. Si la entrada es el impulso unitario, la salida del sistema se llama respuesta al impulso o respuesta impulsiva y se denota como h[n].

δ[n]

Sistema Lineal

h[n]

Diferentes nomenclaturas utilizadas en la convolución

 Si la entrada al sistema es un impulso unitario desplazado y escalado, entonces la salida es la respuesta al impulso desplazada y escalada igual que la entrada.  Cualquier señal puede expresarse como una sumatoria de impulsos, donde se

conoce la respuesta del sistema a cada uno de esos

impulsos.  Si se suman todas las respuestas a cada impulso, entonces se obtiene la respuesta del sistema a la señal original.

Se denomina convolución a una función, que de forma lineal y continua, transforma una señal de entrada en una nueva señal de salida. La función de convolución se expresa por el símbolo *.

En el campo de las señales digitales es muy importante, ya que permite obtener la señal de salida de un sistema a partir de la señal de entrada y la respuesta al impulso. Es decir, podemos predecir la salida, conociendo la entrada y la respuesta al impulso.

La convolución de f y g se define por f *g como la integral del producto de ambas funciones después de desplazarse una de ellas una distancia t. Variable de integración

El intervalo de integración depende del dominio en que se definen las funciones. En el caso de tener una integración finita se las conoce como convolución extendidas. Usa dominios periódicos se llama cíclica. Es posible extender con ceros los dominios se la conoce como ceros extendidos o por infinitos se conoce como convolución lineal.

Al multiplicar 2 polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes. En el caso de una función continua, bidimensional, como es el caso de una imagen monocroma, la convolución de f(x,y) por g(x,y). g(x,y) debe cumplir el requisito de no variar según la posición x e y.

APLICACIONES.Estadística -> promedio móvil ponderado (pronosticar la demanda)

Probabilidad -> variables aleatorias independientes Óptica -> la sombra generada por una fuente de luz. Una fotografía desenfocada en la convolución de una imagen correcta. Acústica -> un eco es la convolución del sonido original que representan los objetos variados que lo reflejan. En la ingeniería eléctrica, electrónica -> utilizada en un sistema lineal en espacio o tiempo invariante, es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso. Física -> aplicado aun sistema lineal con un principio de superposición .

TIPOS DE CONVOLUCIÓN.Sistemas Discretos.- En un sistema discreto, como el de las imágenes digitalizadas,

la convolución de la función f(x,y) por g(x,y), en la que g(x,y) es una matriz de M filas por N columnas, esta dada por:

Donde: x= 0,1,2, .... M y=0,1,2, ..., N

PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN.-

DEMOSTRACIÓN.-

Calcule la convolución de .-

La integral de la convolución se interpreta como el área bajo la curva resultante del producto entre x(t) y h(t-Ƭ). Para x(t) se hace el cambio de variable independiente t= Ƭ Para h(t) se hace el cambio del variable independiente t= Ƭ , se refleja y se desplaza la señal t unidades.

El cálculo de la integral se la puede realizar de 2 maneras: Analíticamente (resolviendo las integrales planteadas) Gráficamente ( calculando las áreas respectivas a partir de los gráficos ) Esta operación es muy utilizada en comunicaciones en el análisis de armónico.

h(t)

h(t) t

1

2

3

4

5

0

1

2

3

-1

1

Se cambia la variable t por Ƭ y la función h(t) se refleja

-3 -2 -1

0

-1

1

Se desplaza h(- Ƭ) t unidades h(t- Ƭ) o h(-(Ƭ-t))

Tomar en cuenta los intervalos de t donde x(t)*h(t-Ƭ). El primer intervalo es: - ∞ < t < -1. para cualquier valor de t Las señales no se intersecan

t-2

El segundo intervalo es - 1 < t < 1. para cualquier valor de t

El tercer intervalo es 1 < t < 2. para cualquier valor de t

El cuarto intervalo es 2 < t < 4. para cualquier valor de t

El último intervalo es 4 < t < ∞. para cualquier valor de t

El resultado de x(t)*h(t) es

x(t)*h(t)

=

=

=

= =

= =

=

Convolución Discreta • Propiedades sobre la duración de la convolución discreta. El índice del comienzo de la convolución es la suma de los índices de

comienzo de las respectivas señales. Si las dos señales comienzan en n=n0 y n=n1, la convolución comienza en n=n0+n1. • Para dos secuencias de duración M y N, su convolución se extiende durante M+N-1 muestreos.

• Propiedades de la convolución discreta (x[n]*h[n]=y[n])

• Correlación discreta : Se definen de igual manera que en el caso continuo, así como la auto correlación.