Criterios Para Graficar Ecuaciones 102y2h

Criterios para graficar ecuaciones Integrantes: • Arapa Quispe Shirley Ediht • Calderón Condori Luz Lizeth • Carrasco Reynoso Alcira Angela • Mamani Hanco Damarisse Milagros • Parillo Aguilar Jimena Angela • Zea Suni Juan Alejandro

Criterios para graficar ecuaciones • Lugar geométrico es el conjunto de puntos (x, y) en el plano que cumplen con una misma propiedad o condición geométrica. Dicha condición es representada mediante una ecuación de la forma: 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟎 •

El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen tal ecuación recibe el nombre de gráfica de la ecuación; o bien, su lugar geométrico. Un lugar geométrico puede cumplir con una o más condiciones a la vez.

Ecuación del lugar geométrico • Para hallar la ecuación del lugar geométrico utilizaremos la siguiente formula

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Ejemplo

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Hallar la ecuacion del lugar geometrico de los puntos que equidistan de A(2,-3) y de B (-2,6)

• El gráfico de una función es una representación visual del comportamiento de una función en un plano x-y. Los gráficos nos ayudan a comprender los diferentes aspectos de una función, lo cual sería difícil con solo mirar a la ecuación. Existen miles de ecuaciones y cada una tiene una fórmula diferente. Sin embargo, siempre hay formas de graficar una función si olvidas los pasos

exactos para ese tipo específico de función.

• Una gráfica es una imagen que muestra la relación entre dos o más variables en una ecuación. • Para trazar una gráfica, se debe de tener en cuenta (no todas las gráficas son iguales es por eso que los procedimientos no son los mismos): • Intercepto con los ejes coordenados • Simetría

• Extensión o campo de variación • Rotación • Tabulación

• Pasos para graficar una función exponencial

• Hacer una tabulación. • Graficar la parte exponencial: Ejemplo: f(x)=2x

• El intercepto es el punto donde la recta cruza al eje “x”(eje horizontal) y al eje “y”(eje vertical).

Para ele eje “x”: • Igualar la componente “y” a cero

Para el eje “y”: • Igualar la componente “x” a cero. Ejemplo: Hallar los puntos de intersección de la siguiente ecuación:

9x2+4y2=36

SIMETRIA Consiste en la ubicación de puntos equidistantes (igual distancia) respecto a un punto, una recta o un plano determinado.

Existen simetrías con el eje x, el eje y y el origen de coordenadas.  Simetría con eje y: para cada (x,y) existe un (-x,y)

 Simetría con eje x: para cada (x,y) existe un (x,-y)  Simetría con el origen de coordenadas: para cada (x,y) existe un (-x,-y)

EJERCICIOS: Determinar las simetrías del lugar geométrico de las siguientes ecuaciones.

1. 2. 3.

ASINTOTAS Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva. Esta definición implica: 1) Una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente. Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = constante. Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante. Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.

ASINTOTA ASÍNTOTA VERTICAL Denominador = 0

ASÍNTOTA HORIZONTAL 𝑮𝑵 < 𝑮𝑫, Y=0 𝑮𝑵 = 𝑮𝑫, 𝒀 =

𝑪.𝑷.𝑵. 𝑪.𝑷.𝑫.

𝑮𝑵 > 𝑮𝑫, No hay A.H

ASÍNTOTA OBLICUA Solo si no hay A. H. y además GN-GD=1 Y=cociente(N/D)

𝒙+𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 𝒙+𝟏

𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙−𝟏

OBLICUO VERTICAL

HORIZONTAL

Translación de ejes Cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original.

Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´(c, k) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones: x = x´ + c y = y´ + k

 determinar las coordenadas de un punto al nuevo origen.  transformar una ecuación dado un nuevo origen.

ROTACION Cuando en un sistema de coordenadas rectangulares xy consideramos un nuevo par de ejes x'y' con el mismo origen, y referimos un punto del primer sistema coordenado al segundo, efectuamos un giro de ejes. También en el giro de ejes existe una relación entre las coordenadas de un punto (x, y) y las coordenadas del mismo punto (x', y') referido al nuevo sistema de ejes coordenados; con el objeto de obtener dicha relación, llamaremos Φ a la magnitud del ángulo medido en sentido positivo desde la parte positiva del eje x, hasta la parte positiva del nuevo eje x'

De la figura se observa que: 0 A = 0 C - A C; pero como A C = B D, queda que: 0 A = 0 C - B D ................................................................(1) De la misma manera; se observa que: A P = A D + D P; pero como A D = B C, queda que: A P = B C + D P..........................................................................(2) Ahora en el triángulo rectángulo 0BC de la figura se tiene por definición trigonométrica que:

Por otra parte, en el triángulo rectángulo BDP, de la misma figura se tiene también que:

Sustituyendo (3) y (4) en (1) y (2), respectivamente tenemos: A P = 0 B sen Φ + B P cos Φ 0 A = 0 B cos Φ - B P sen Φ Pero según la figura: A P = y; B P = y′ 0 A = x; 0 B = x′ Por lo que al sustituir en las expresiones anteriores quedan como: x = x′cos Φ - y′sen Φ..............................................................(I) y = x′sen Φ + y′cos Φ...............................................................(II)

ECUACIONES DE UNA ROTACION INVERSA

x  x 'cos   y 'sin  y  x 'sin   y ' cos  Multiplicando la primera ecuación por cos  y la segunda ecuación por sin  , tenemos x cos   x 'cos 2   y 'sin  cos  y sin   x 'sin 2   y 'sin  cos  Sumandolas tenemos x cos   y sin   x 'cos 2   y ' sin  cos   x 'sin 2   y 'sin  cos  x cos   y sin   x 'sin 2   x 'cos 2   x '  sin 2   cos 2   x '  x cos   y sin 

x  x 'cos  y ' sin  y  x 'sin   y 'cos Multiplicando la primera ecuación por  sin  y la segunda ecuación por cos , tenemos  x sin    x 'sin  cos  y 'sin 2  y cos  x 'sin  cos  y 'cos 2  Sumandolas tenemos  x sin   y cos   x 'sin  cos  y 'sin 2   x 'sin  cos  y 'cos 2   x sin   y cos  y 'sin 2   y 'cos 2   y '  sin 2   cos 2   y '   x sin   y cos

Encontrar las ecuaciones de una rotación inversa

x  x 'cos  y 'sin  y  x 'sin   y 'cos x '  x cos  y sin  y '   x sin   y cos

Encontrar las ecuaciones de una rotación inversa x  x 'cos  y 'sin  y  x 'sin   y 'cos x '  x cos  y sin  y '   x sin   y cos

Otra forma de ver la transformación inversa, es como una rotación en un ángulo negativo,   .

sin      sin  cos     cos tan      tan 

Encontrar las ecuaciones de una rotación inversa x  x 'cos  y 'sin  y  x 'sin   y 'cos Poniendo el ángulo como   , tenemos x  x 'cos     y 'sin    y  x 'sin     y 'cos    Y usando las propiedades de las funciones trigonométricas x  x 'cos  y 'sin  y   x 'sin   y 'cos Finalmente hay que intercambiar los papeles de x y de x '.