Curva Involuta 4c517

An´alisis Diferencial de la Curva Involuta de un C´ırculo. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista. 36730, Salamanca, Gto., M´exico Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400. E-mail: [email protected]

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Objetivo.

Este trabajo tiene como objetivo presentar en forma conjunta dos resultados acerca de las propiedades diferenciales de la curva involuta, de un c´ırculo, que son de inter´es para el estudio de engranes cil´ındricos. El autor es de la opini´ on que los resultados presentados aqu´ı remed´ıan algunas fallas pedag´ ogicas en la introducci´ on al estudio de los engranes presentados en los libros de Mabie y Ocvirck, [2], y Mabie y Rheinholtz, [3]. No se reclama originalidad; sin embargo, se ha tratado de presentar el material de manera que sea accesible a los estudiantes que posean fundamentos en c´ alculo diferencial y onocimientos b´ asicos de cinem´atica de la part´ıcula. Una derivaci´ on semejante a la mostrada aqu´ı, empleando c´alculo vectorial, puede encontrarse en Angeles [1].

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Introducci´ on.

Partiremos de la siguiente definici´on de la involuta de un c´ırculo:1 La curva involuta de un c´ırculo es el lugar geom´etrico de la punta de una cuerda que se desenrolla, manteni´endola tensa, a partir del c´ırculo correspondiente, este c´ırculo se conoce como c´ırculo base. La figura 1 presenta la curva involuta generada a partir de un c´ırculo de radio Rb . El eje X se ha orientado convenientemente para que el punto de inicio de la involuta, A, yazca sobre el eje X. El a´ngulo θ se denomina el a´ngulo de rodado de la involuta. De la definici´ on de la curva involuta, se tiene que AB = BP 1 Los

(1)

t´ erminos involuta y evoluta se refieren a la relaci´ on existente entre dos curvas, la evoluta es el lugar geom´etrico del centro de curvatura de la involuta. De manera que existen un s´ın n´ umero de curvas involutas y evolutas.

1

Figure 1: Curva Involuta de un C´ırculo. Por lo tanto, se tienen las siguientes relaciones. tan φ =

BP Rb θ =θ = Rb OB

o

φ = tan−1 θ

(2)

donde, θ debe estar expresado en radianes. Adem´as Rb θ θ BP √ = = √ r Rb 1 + θ2 1 + θ2

Sen φ =

(3)

Finalmente, el a´ngulo ψ est´a dado por ψ = θ − φ = tan φ − φ.

(4)

Puesto que este ´angulo ψ juega un papel primordial en el desarrollo de la curva involuta, se le denomina inv φ; por lo tanto ψ ≡ inv φ = tan φ − φ.

(5)

Puede probarse que la funci´ on involuta es, entre 90◦ ≥ φ ≥ 0◦ monot´ onica ascendente y, por lo tanto, invertible. Estos resultados permiten escribir las ecuaciones param´etricas de la curva involuta. x(ψ) = r Cos ψ donde r = Rb



1 + θ2

y(ψ) = r Sin ψ

(6)

θ = tan φ φ = inv −1 ψ

(7)

2

Debe notarse que a´ un cuando la evaluaci´ on de las componentes x y y, como funciones de ψ requiere de los pasos indicados por la ecuaci´ on (7); las componentes x y y son efectivamente funciones del ´angulo ψ.

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Determinaci´ on de las Propiedades de la Tangente y la Normal a la Curva Involuta.

A fin de determinar la pendiente de la tangente a la curva involuta, en un punto arbitrario P , es necesario determinar las siguientes derivadas dx dr = Cosψ − r Senψ dψ dψ

(8)

dy dr = Senψ + r Cosψ dψ dψ

(9)

dr dθ dφ dr = dψ dθ dφ dψ

(10)

dr 1 1 Rb θ = Rb (1 + θ2 )− 2 (2 θ) = √ dθ 2 1 + θ2

(11)

dθ = Sec2 φ dφ

(12)

dψ Sin2 φ 1 = Sec2 φ − 1 = − 1 = = tan2 φ dφ Cos2 φ Cos2 φ

(13)

donde

De la ecuaci´on (7),

Por lo tanto dr dψ

= =

dr dθ dθ dφ dψ dφ

=

Rb θ r

√Rb θ Sec2 φ 1+θ 2 tan2 φ

=

Rb θ √ 1 + θ2

Sen2 φ

r Rb θ r2 r2 √ = = = √ 2 2 θ r θ θ Rb 1 + θ 1 + θ2



Por lo tanto, las ecuaciones (8, 9) se transforman en



dx r Cos ψ = Cosψ − r Senψ = r − Sen ψ dψ θ θ r Sen ψ dy = Senψ + r Cosψ = r + Cos ψ dψ θ θ





(14)

(15) (16)

De aqu´ı que, la pendiente de la recta tangente a la curva involuta es dy mT = = dx

dy dψ dx dψ

=

r r

Sen ψ θ Cos ψ θ

+ Cos ψ − Sen ψ 3

=

Sen ψ + θCos ψ Cos ψ − θ Sen ψ

(17)

Sustituyendo la ecuaci´ on (2), la ecuaci´on (17) se transforma en mT =

tan ψ + tan φ Sen ψ + tan φ Cos ψ = = tan(ψ + φ) = tan θ Cos ψ − tan φ Sen ψ 1 − tan φ tan ψ

(18)

Denominando α el ´angulo que forma la recta tangente con el eje X, se tiene que, de la figura 1, α = tan−1 mT = tan−1 (tanθ) = θ

(19)

Por lo tanto, la recta tangente forma un a´ngulo θ con el eje X. Evidentemente, las rectas normal y tangente son perpendiculares. De aqu´ı que, la pendiente de la recta normal a la involuta en el punto P est´a dada por mN = −

1 1 =− mT tan θ

(20)

Mas a´ un, la ecuaci´ on de la recta normal en el punto P , est´a dada por yn − yP = mN (xn − xP ) o yn − r Senψ = −

Cos θ [xn − r Cos ψ] Sen θ

(21)

A continuaci´ on, se probar´ a que el punto B pertenece a la recta normal a la involuta en el punto P . Puesto que las coordenadas del punto B son (Rb Cosθ, Rb Sen θ) = (r Cos φ Cos θ, r Cos φ Senθ) se tiene que, sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuaci´on (21), r Cos φ Sen θ − r Senψ

=

Cosφ Sen2 θ − Sen θ Sen ψ

=

Cos θ [r Cos φ Cos θ − r Cos ψ] Sen θ −Cos φ Cos2 θ + Cos θ Cos ψ

= =

Cos θ Cos ψ + Sen θ Sen ψ Cos (θ − ψ)

2

2

Cosφ Sen θ + Cos φ Cos θ Cosφ (Sen2 θ + Cos2 θ)

−

o finalmente Cos φ = Cos φ. Por lo tanto, se ha probado la siguiente proposici´ on, la cual desde el punto de vista de la geometr´ıa sint´etica es evidente. Proposici´ on 1. En cualquier punto de la curva involuta de un c´ırculo, la normal a la curva involuta es tangente al c´ırculo base.

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Determinaci´ on del Radio de Curvatura de la Curva Involuta.

En esta secci´on se determinar´a el radio de curvatura de la curva involuta, este resultado es importante en la cinem´atica del engranamiento y para determinar los esfuerzos de o entre un par de engranes. Como primer pase se 4







determinar´ an las segundas derivadas de las coordenadas de la curva involuta d2 x d ψ2

= =

Cos ψ d − Sen ψ r dψ θ Cos ψ d θ Sen ψ d r Cosψ − Sen ψ − r + Cos ψ + dψ θ θ θ2 d ψ



(22)

Debe notarse que, de las ecuaciones (12, 13), se tiene que dθ dθ dφ Sec2 φ 1 = = = dψ dφ dψ tan2 φ Sen2 φ



(23)





Sustituyendo las ecuaciones (14, 23, 3) en la ecuaci´ on (22), se tiene que d2 x d ψ2

= =



Cos ψ Sen ψ r Cosψ − Sen ψ − r + Cos ψ + 2 θ θ θ θ Sen2 φ 1 2 Sen ψ −r + Cos ψ 1 + 4 θ θ







(24)

Similarmente, la segunda derivada de y est´a dada por d2 y d ψ2

= = = =

Sen ψ d + Cos ψ r dψ θ Sen ψ d θ d r Senψ Cos ψ + Cos ψ + r − Sen ψ − dψ θ θ θ2 d ψ Sen ψ Cos ψ r Senψ + Cos ψ + r − Sen ψ − 2 θ θ θ θ Sen2 φ 2 Cos ψ 1 − Sen ψ 1 + 4 r θ θ





(25)

De la figura 1, el vector unitario normal, a la curva involuta, en el punto P , est´a dado por (26) eˆn = −Sen θˆi + Cos θˆj.





Por lo tanto, la aceleraci´ on normal est´ a dada por an

d2 x d2 y d2 x ˆ d2 y ˆ Cosθ i+ j · eˆn = − 2 Senθ + 2 2 dψ dψ dψ d ψ2 2 Sen ψ 2 Cos ψ 1 1 = r + Cos ψ 1 + 4 − Sen ψ 1 + 4 Senθ + r θ θ θ θ

=







Recordando las identidades trogonom´etricas Sen φ = Cos φ =

Sen(θ − ψ) = Sen θ Cos ψ − Cos θ Sen ψ Cos(θ − ψ) = Cos θ Cos ψ + Sen θ Sen ψ

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Cosθ





se tiene que













1 2 (Sen θ Sen ψ + Cos θ Cos ψ) 1 + 4 (Sen θ Cos ψ − Cos θ Sen ψ) θ θ 2 2 1 1 + 1 + 4 tanφ = r Cos φ + 1 + 4 Sen φ = rCos φ (27) θ θ θ θ 1 2 2 1 + θ4 + 1 + 4 θ = rCos φ + = rCos φ θ = θ θ θ θ4 (1 + θ2 )2 (28) = rCos φ θ3 Por otro lado, el cuadrado de la magnitud de la velocidad de una part´ıcula que se desplaza a lo largo de la curva involuta est´a dada por

an

= r









2 2 dx 2 dy 2 Cos ψ Sen ψ − Sen ψ + r2 + Cos ψ + = r2 dψ dψ θ θ r 2 2 2 2 = Cos ψ − 2 θ Cos ψ Sen ψ + θ Sen ψ + Sen2 ψ + 2 θ Sen ψ Cos ψ + θ2 Cos2 ψ θ r2 (1 + θ2 ) = (29) θ2 Finalmente, el radio de curvatura de la curva involuta en un punto arbitrario, est´a dado por r 2 (1+θ 2 ) rθ v2 θ2 (30) = = ρ= (1+θ 2 )2 an Cos φ(1 + θ2 ) rCos φ 3

v2

=



θ

Sustituyendo la ecuaci´ on (2) en la ecuaci´ on (30), se tiene que ρ=

r tan φ r tan φ r tan φ = = = r Sen φ = BP . 2 2 Cos φ(1 + tan φ) Cos φ Sec φ Sec φ

(31)

Donde el u ´ ltimo paso requiere de la ayuda de la figura 1. Asi pues, se ha probado la siguiente proposici´on Proposici´ on 2. El centro de curvatura de la curva involuta, en un punto arbitrario, siempre yace sobre el c´ırculo base de la propia involuta. Otra interpretaci´ on de este resultado es que, verdaderamente, la evoluta de la involuta de un c´ırculo es el propio c´ırculo.

References ´ [1] Angeles, A. J. (1978), An´ alisis y S´ıntesis Cinem´ aticas de Sistemas Mec´ nicos, Limusa Wiley: Ciudad de M´exico. [2] Mabie, H.H. y Ovcirk, F.W. (1988), Mecanismos y Din´ amica de Maquinaria, Limusa: Ciudad de M´exico. [3] Mabie, H.H. y Reinholtz C.F. (1987), Mechanisms and Dynamics of Machinery, John Wiley and Sons: New York.

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