Deret Fourier 1y1bj

2. DERET FOURIER Fungsi Periodik Deret Fourier Trigonometri Identitas Parseval Terapan Deret Fourier

oleh : Marwan dan Joedono

   

2.1. Fungsi Periodik Definisi 1 Suatu fungsi f disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan real positif 2p, sehingga untuk tiap t berlaku f(t+2p) = f(t) Bilangan positif 2p dinamakan perioda fungsi f.

y

0

2p

Gambar 1 :

4p

6p

t

Contoh grafik suatu fungsi periodik dengan perioda 2p

Bila 2p merupakan perioda fungsi f, maka : f(t) = f(t+2p) = f[(t+2p)+2p] = f(t+4p). Jadi 4p juga perioda fungsi f. Dengan cara serupa, akan diperoleh periodaperioda fungsi f, yaitu 4p, 6p, 8p,.... Secara umum dapat dikatakan bila 2p adalah perioda fungsi f, maka 2np (n=1,2,3,...) juga merupakan perioda f. Perioda terkecil suatu fungsi disebut Perioda Dasar (fundamental period). Tidak semua fungsi periodik mempunyai perioda dasar (misalnya fungsi konstan y=k).

Deret Fourier

1

Contoh 1 1. f(t) = k , k konstan. Setiap bilangan real positif 2p merupakan perioda fungsi f sebab : f(t+2p) = k = f(t). Mengingat tidak ada nilai 2p terkecil untuk f tersebut, maka fungsi f tidak mempunyai perioda dasar. 2. g(t)=sin(ωt), dengan ω suatu bilangan real positif, maka perioda dasar fungsi g adalah 2π/ω. 3. h(t)=tan(t), adalah suatu fungsi periodik dengan perioda dasar π, meskipun tan (π 2 + nπ) =tidak terdefinisi untuk n=1,2,3,... 4. y(x)=sin(3x)+cos(2x) adalah fungsi periodik dengan perioda dasar 2π, sebab : sin(3x), perioda dasar T1=2π/3 cos(2x), perioda dasar T2=π, maka Perioda dasar sin(3x)+cos(2x), T=KPK{T1,T2}=2π (KPK=Kelipatan Persekutuan terKecil) Grafik fungsi y(x) dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 : Grafik y(x)=sin(3x)+cos(2x) ∞  nπx nπx   , p konstan. Perioda dasar f adalah 5. f ( x ) = ∑  cos + sin p p  n =1 

T=KPK{2p ,2p/2 ,2p/3 ,2p/4 ,⋅⋅⋅⋅}=2p. Untuk selanjutnya, perioda dasar disebut perioda saja.

Deret Fourier

2

2.2. Deret Fourier Trigonometri Definisi 2 Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p) sedemikian hingga integral-integral : p

∫ f(x) sin

-p

p

nπx dx dan p

∫ f(x) cos

-p

nπx dx ada, untuk n=0,1,2,... p

Deret Fourier (Trigonometri) fungsi f pada interval (-p,p) didefinisikan oleh : f(x) =

1 2

a0 +



∞

∑  a

n =1



n

cos

nπx nπx   + bn sin p p 

dengan 1 an = p 1 bn = p

p

∫ f(x) cos

-p p

∫ f(x) sin

-p

nπx dx , n=0,1,2,3,.... p nπx dx , n=1,2,3,.... p

an dan bn disebut Koefisien Fourier fungsi f. Contoh 2: Diketahui f fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda , −π <0 0 f(t) =  sin t , 0 ≤ t < π Akan dicari deret fourier f Penyelesaian Perioda f adalah 2p=π-(-π)=2π, jadi p=π an =

1 π

π

∫

-π

f(t) cos nt dt =

1 π

π

0

∫

-π

0 ⋅ cos nt dt +

1 sin t cos nt dt π ∫0 π

1  1  cos (1 - n) t cos (1 + n) t  = -  +   1-n 1+n π  2  0 - 1  cos (π - nπ) cos (π + nπ) 1   1 + -  + =   2π  1-n 1+n 1 + n  1 - n

Deret Fourier

3

1 + cos nπ , n≠1 π (1 - n2 )

=

untuk n=1 1 a1 = π

1 π

bn =

1 = π

π

sin 2t sin t cos t dt = 2π

∫ 0

π

∫

f(t) sin nt dt =

-π

1 π

π

=0 0

0

∫

0 ⋅ sin nt dt +

-π

1 π

0

∫

sin t sin nt dt

-π

π

 1  sin (1 - n) t sin (1 + n) t   = 0 , n≠1 2  1-n 1+n  0  

untuk n=1 1 b1 = π

π

∫ 0

1 sin t dt = π 2

π

1  t sin 2t     = 4  0 2 2

Jadi diperoleh deret fourier fungsi f : f (t ) = =

1 sin t 1 ∞ 1 + cos nπ cos nt + + ∑ 2 π π n = 2 (1 - n2 ) 1 sin t 1  cos 2t cos 4t cos 6t cos 8t  -  + + + + + ... 2 15 35 63 π π 3 

y=f(t) f (t ) =

1 sin t + 2 π

Gambar 3 :

Deret Fourier

f (t ) =

1 sin t cos 2t + π 2 3π

Grafik ekspansi fourier fungsi f pada Contoh 2, masingmasing untuk 2 dan 3 suku pertama.

4

Sifat 1 a. Jika f suatu fungsi ganjil, yaitu f(-x)=-f(x), ∀x maka deret fourier fungsi f hanya memuat suku-suku sinus saja (konstanta fourier an=0, ∀n) dan disebut Deret Sinus. b. Jika f suatu fungsi genap, yaitu f(-x)=f(x), ∀x maka deret fourier fungsi f hanya memuat suku-suku cosinus saja (konstanta fourier bn=0, ∀n) dan disebut Deret Cosinus. Contoh 3 1.

Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(x)=x , -4<x<4. Penyelesaian Karena f(-x)=-x=f(x), ∀x berarti f fungsi ganjil, maka menurut sifat di atas konstanta fourier an=0. Jadi hanya dicari bn saja bn =

1 4

4

∫

-4

f(t) sin

nπx 1 dx = 4 4

4

∫

x sin

-4

nπx dx 4

(int egral parsial)

4

1  16 nπx 4x nπx  n +1 8 cos , n = 1,2,3,  − =  2 2 sin  = (− 1) 2 n π 4 nπ 4 0 nπ

Diperoleh

f(x) =

8 π

(−1)n +1 nπx sin ∑ n 4 n =1 ∞

Berikut grafik y=f(x) untuk 7 suku pertama:

Gambar 4 : Grafik fungsi f dan hasil ekspansi fourier f untuk 7 suku pertama dari Contoh 3

Deret Fourier

5

2.

Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(t)=4-t2 , -2 <2 Penyelesaian Karena f(-t)=4-(-t)2=4-t2=f(t), ∀t berarti f fungsi genap, maka menurut sifat di atas konstanta fourier bn=0. Jadi hanya dicari an saja. 2

(

)

1 nπt 16 n + 1 16 , n≠0 an = 4 - t 2 cos dt = − 2 2 cos (nπ) = (− 1) ∫ 2 -2 2 n2 π 2 n π untuk n=0 a0 =

1 2

2

∫ (4 - t ) dt 2

-2

=

16 3

Diperoleh f(t) =

8 16  πt 1 2πt 1 3πt 1 4πt  + 2  cos − 2 cos + 2 cos − 2 cos +  3 π  2 2 2 2 2 3 4 

Hasil lain yang diperoleh dari ekspansi fourier f tersebut adalah jika diambil t=0, maka : 4= f(0) =

8 16  1 1 1  + 2 1 − 2 + 2 − 2 +   3 π  2 3 4 

1 1 1 π2 =1− 2 + 2 − 2 + 12 2 3 4 Berikut adalah teorema yang menyatakan syarat cukup kekonvergenan deret fourier suatu fungsi.

Teorema 1 Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p). Jika (a). f periodik dengan perioda 2p (b). f dan f ′ kontinu sepotong-sepotong (piecewise continue) pada interval (-p,p) maka deret fourier fungsi f akan konvergen ke : 1. f(x) , bila f kontinu di x. 2.

Deret Fourier

1 2

(f(x

+

)

) + f(x − ) , bila f diskontinu di x.

6

Keterangan Untuk h>0, maka :

f(x + ) = lim f (x + h) dan f(x − ) = lim f (x − h) . h→0

h→0

Contoh 4 , −π <0 0 Diambil ekspansi fourier dari f(t) =  , yaitu π − t , 0 ≤ t < π

f (t ) =

∞   1 − (−1)n π 1 + ∑  cos nt + sin nt  . 2 4 n =1  n π n 

Diperhatikan bahwa f kontinu pada interval (-π,π) kecuali di titik t=0. Jadi f kontinu sepotong-sepotong pada interval tersebut. Berdasarkan teorema disimpulkan bahwa deret : ∞   1 − (−1)n π 1 + ∑  cos nt + sin nt  2 n 4 n =1  n π 

konvergen ke f(t) untuk setiap t∈(-π,π)\{0} dan konvergen ke 1 2

(f(x

+

)

) + f(x − ) =

1 2

(π + 0) =

1 2

π

di titik x=0, meskipun f(0) = π ≠ ½ π. Hingga di sini fungsi yang diperderetkan ke deret fourier adalah fungsi-fungsi

yang

terdefinisi

pada

suatu

interval

bentuk

(-p,p).

Kenyataannya, ada fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval bentuk (0,p). Untuk memperoleh ekspansi fourier fungsi semacam ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan fungsi f pada interval (-p,0), sehingga f terdefinisi pada (-p,p). Ada tiga cara yang dapat dilakukan untuk tujuan ini : 1. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=f(t), jadi diperoleh suatu fungsi genap pada interval (-p,p). Dengan demikian f dapat diperderetkan ke Deret Cosinus 2. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=-f(t), jadi diperoleh suatu fungsi ganjil pada interval (-p,p). Dengan demikian f dapat diperderetkan ke Deret Sinus.

Deret Fourier

7

3. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(t)=f(t+p). Dengan demikian f dapat diperderetkan ke deret fourier pada interval (-p,p). Deret cosinus atau deret sinus yang diperoleh dengan cara di atas dikenal sebagai half-range expansions.

Contoh 5 Ekspansikan f(t)=t2 , 0 <2 ke dalam (a). Deret cosinus

2

(b). Deret sinus, dan (c). Deret Fourier lengkap Penyelesaian (a). Diambil f(t)=t2 , -2 <2 yaitu f fungsi genap, diperoleh deret

f (t ) =

4 16 ∞ (−1)n nπt + 2 ∑ 2 cos 3 π n =1 n 2

-2

2

− t 2 , − 2 < t ≤ 0 (b). Diambil f(t) =  2 yaitu f fungsi ganjil, t , 0 t 2 < < 

diperoleh deret :

f (t ) =

-2

8 ∞  (−1) ∑ π n = 1  n

n +1

+

2

 2 nπt (−1)n − 1  sin 2 2 n π  3

(

)

(t + 2)2 , − 2 < t ≤ 0 (c). Diambil f(t) =  , 2 t , 0 t 2 < < 

diperoleh deret f (t ) =

Deret Fourier

-2

2

4 4 ∞  1 1  + ∑  2 cos nπt − sin nπt  3 π n = 1  nπ n 

8

2.3. Identitas Parseval Teorema 2: Bila fungsi f dapat diekspansikan ke dalam deret fourier yang konvergen seragam (uniformly convergence) ke f(t) pada interval (-p,p), maka : p

1 p

2 ∫ (f(t)) dt =

1 2

a20 +

−p

∑ (a ∞

n =1

2 n

+ bn2

)

Bukti:

f(t) =



∞

∑  a

nπt nπt   + bn sin p p 

1 2

a0 +

1 2

a0 f(t) +

∫ (f(t)) dt =

1 2

p  p nπt nπt   a0 ∫ f(t)dt + ∑ an ∫ f(t)cos dt + bn ∫ f(x)sin dt   p p n =1  −p −p −p 

=

1 2

pa20 + p∑ an2 + bn2

(f(t))2 p

=

2

n =1

cos

n





∞

∑  a

n =1



p

−p

n

f(t)cos

nπt nπt   + bn f(x)sin p p 

∞

∞

(

)

n =1

terbukti.

Sifat 2: p

1.

∫

sin

-p

nπx dx = p

p

p

∫

cos

-p

mπx nπx 2. ∫ sin sin dx = p p -p p

3.

∫

-p

sin

nπx dx = 0 , n = 1,2,3,  p p

∫ cos

-p

0 , m ≠ n mπx nπx cos dx =  p p p , m = n

mπx nπx cos dx = 0 p p

Deret Fourier

9

2.4. Terapan Deret Fourier Ditinjau balok lurus seragam, panjang L, berbeban w(x) dan kedua ujungnya ditumpu sederhana (perhatikan gambar 5) dengan model matematis lendutan : EI

d4 y = w(x ) dx 4

...................(∗)

EI adalah angka kekakuan-lentur balok (flexural rigidity).

w(x) L

x y

Gambar 5 :

Balok seragam dengan tumpuan sederhana dan beban w(x)

Mengingat kedua ujung ditumpu sederhana, maka berlaku : 1.

Lendutan di titik-titik ujung balok nol, yaitu : y(0)=y(L)=0.

2.

Momen (bending momen) di titik-titik ujung balok nol, yaitu : d2 y dx 2

= x =0

d2 y dx 2

=0 x =L

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan (∗) dengan deret Fourier, maka dapat diasumsikan y(x) suatu deret sinus, yaitu y(x ) =

∞

∑b

n =1

n

 nπx  sin   .............................(∗∗)  L 

Dengan demikian beban w(x) menjadi w(x ) =

2  nπx  Bn sin  , dengan Bn = ∑ L  L  n =1 ∞

L

 nπx   dx L 

∫ w(x ) sin 0

........ (∗∗∗)

Jika persamaan (∗∗) dan (∗∗∗) disubstitusikan ke (∗), diperoleh π4 EI 4 L

Deret Fourier

 nπx  n bn sin = ∑  L  n =1 ∞

4

L4Bn  nπx  ∑ Bn sin L  ⇔ bn = n4 π 4EI . n =1 ∞

10

SOAL-SOAL

1. Perderetkan fungsi-fungsi berikut ke dalam deret fourier a. f(x)=x+π , -π<x<π −π< x <0 0 , b. f (x ) =  π − x , 0 ≤ x < π n +1 ∞ Jwb: a). f (x ) = π + 2∑ (− 1) sin nx

n

n =1

n ∞   b). f (x ) = π + ∑  1 − (− 1) cos nx + 1 sin nx  2  

4

n =1

n π



n



2. Tinjau suatu balok panjang L dengan kedua ujung ditumpu sederhana. Bila beban per satuan panjang diberikan oleh persamaan w(x)=w0x/L, 0<x
d4 y w 0 x = L dx 4

a. Ekspansikan w(x) ke dalam deret sinus b. Tentukan persamaan lendutan y(x) JWB: a). w(x ) = 2w 0 π

2w L4 (−1)n+1 nπx b). sin y (x ) = 50 n L π EI n=1 ∞

∑

( −1)n+1 nπx sin 5 L n n =1 ∞

∑

3. Tentukan perioda dasar fungsi periodik berikut a.

f(x)=sin(3πx/4)

b.

g(x)=sin(2πx)+3cos(5πx)

4. Diketahui fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda f(x)=x2 , 0<x<2 Perderetkan fungsi f ke dalam -

deret Fourier Sinus

-

deret Fourier Cosinus

-

deret Fourier lengkap (sinus dan cosinus)

Deret Fourier

11

5. Diketahui fungsi periodik dengan definisi satu periode : 0 , − π < x < 0 f (x ) =  x , 0 < x < π a).

Sketsalah grafik f(x) tersebut

b).

Hitung f(-6)+f(6)=....

c).

Andai f(x) diperderetkan ke dalam Deret Fourier, apakah akan menghasilkan Deret Sinus, Deret Cosinus atau bukan keduaduanya

Deret Fourier

12