Derivacion-implicita 4h94u

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Prof.Waldo M´arquez Gonz´alez

C´alculo: La Derivaci´on Impl´ıcita Funciones Expl´ıcitas y Funciones Impl´ıcitas En los cursos de c´alculo y secundaria la mayor parte de las funciones con que trabajamos est´an expresadas en forma expl´ıcita, como en la ecuaci´on y = 4x2 + 3 d´onde la variable y est´a escrita expl´ıcitamente como funci´on de x. Sin embargo, muchas funciones est´an impl´ıcitas en una ecuaci´on. La funci´on y = x1 , viene definida impl´ıcitamente por la ecuaci´on x·y =1 dy Si queremos hallar la derivada dx para esta u´ ltima ecuaci´on lo hacemos despejando y, 1 −1 as´ı: y = x = x , obteniendo su derivada f´acilmente:

dy 1 = −x−2 = − 2 dx x El m´etodo sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuaci´on. El problema es que sino se logra despejar la variable y es in´util este m´etodo. Por ejemplo, dy ¿c´omo hallar dx para la ecuaci´on: x2 − 2y 3 + 4y = 2? Resulta muy d´ıficil despejar y como funci´on expl´ıcita de x.

El M´etodo de Regla de la Cadena para Funciones Impl´ıcitas Ya sabemos que cuando se derivan t´erminos que solo contienen a x, la derivaci´on ser´a la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un t´ermino donde aparezca la y, ser´a necesario aplicar la regla de la cadena.



Ejemplo 1 La funci´on impl´ıcita y = x3 al derivarla se obtiene d 3 (x ) = 3x2 dx 1

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Aqu´ı las variables coinciden y se deriva normalmente.



Ejemplo 2 dy d 3 (y ) = 3y 2 dx dx Aqu´ı las variables no coinciden y se usa regla de la cadena.



Ejemplo 3 dy Hallar dx , de la funci´on impl´ıcita: ax6 + 2x3 y − y 7 x = 10 Soluci´on: Aplicando la notaci´on

a

d dx ,

a cada t´ermino y extrayendo las constantes;

d 6 d d d (x ) + 2 (x3 y) − (y 7 x) = (10) dx dx dx dx

A continuaci´on, en el primer t´ermino las variables coinciden, se deriva normalmente; en el segundo t´ermino se aplica la derivada de un producto (primer par´entesis cuadrado); lo mismo en el tercer t´ermino. 6ax5 + 2[

d 3 dy d d d (x )y + x3 ] − [ (y 7 )x + (x)y 7 ] = (10) dx dx dx dx dx

La regla de la cadena se aplica al t´ermino uaci´on claramente en el segundo par´entesis. 6ax5 + 2[3x2 y + x3

d 7 dx (y ),

como puede observarse a contin-

dy dy ] − [7y 6 x + y 7 ] = 0 dx dx

quitando par´entesis y ordenando los t´erminos, 6ax5 + 6x2 y + 2x3

dy dy − 7x6 − y 7 = 0 dx dx

pasando t´erminos al lado derecho, 2x3

dy dy − 7xy 6 = y 7 − 6ax5 − 6x2 y dx dx

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extrayendo factor com´un,

dy dx

(2x3 − 7xy 6 )

dy = y 7 − 6ax5 − 6x2 y dx

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida: dy y 7 − 6ax5 − 6x2 y = dx 2x3 − 7xy 6 dy dx

con Derivadas Parciales

El m´etodo de la regla de la cadena es lo m´as usual para derivar impl´ıcitamente en los cursos de c´alculo, ya que a estas alturas solo se conoce la derivaci´on com´un. Las derivadas parciales son un tema que aparece m´as adelante en los cursos de c´alculo. Empero, si quis´ıeramos hacer la vida m´as f´acil a nuestros estudiantes podr´ıamos traer estos contenidos y unirlos a la derivaci´on impl´ıcita de una vez. Veamos la propuesta. Obviamente tendr´ıamos que ense˜nar la derivaci´on parcial para funciones de 2 variables. Daremos un ejemplo con la siguiente funci´on: f (x, y) = y 3 + y 2 − 5y − x2 + 4 La derivada parcial con respecto a la variable x se denota ∂f ∂x , se debe entender que la funci´on ser´a derivada considerando a x como variable; tanto las y como los n´umeros son constantes. Derivemos, ∂f = −2x ∂x Ahora derivemos parcialmente con respecto a la variable y. Dejamos la x y los n´umeros como constantes. quedando esta derivada como, ∂f = 3y 2 + 2y − 5 ∂y Otro ejemplo con una funci´on un poco m´as compleja: x3 − 2x2 y + 3xy 2 = 38.

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Acomodemos la funci´on y pong´amosle nombre: f (x, y) = x3 − 2x2 y + 3xy 2 − 38. Derivando parcialmente con respecto a la variable x, tenemos ∂f = 3x2 − 4xy + 3y 2 ∂x Derivando parcialmente con respecto a la variable y, tenemos ∂f = 2x2 + 6xy ∂y En este punto ya tenemos las herramientas para hallar la derivada impl´ıcita usando las derivadas parciales. Para tal efecto usaremos la f´ormula siguiente:

∂f dy ∂x = − ∂f dx ∂y

dy donde dx es la derivada impl´ıcita que nos piden encontrar, y donde ∂f ∂x representa la ∂f derivada parcial de la funci´on f, con respecto a x; ∂y representa la derivada parcial de la funci´on f, respecto a la variable y.



Ejemplo 4 dy Hallar dx , de la funci´on impl´ıcita: ax6 + 2x3 y − y 7 x = 10 Soluci´on: Primero,

∂f ∂x

= 6ax5 + 6x2 y − y 7 , segundo

∂f ∂y

= 2x3 − 7xy 6 .

Ahora el cociente; ∂f dy 6ax5 + 6x2 y − y 7 ∂x = − ∂f = − dx 2x3 − 7xy 6 ∂y

acomodando el signo, obtenemos el resultado pedido:

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y 7 − 6ax5 − 6x2 y dy = dx 2x3 − 7xy 6



Ejemplo 5 Hallar la derivaci´on impl´ıcita de la funci´on: f (x, y) = x3 + y 3 − 2xy.

Soluci´on: ∂f ∂x

= 3x2 − 2y, adem´as

∂f ∂y

= 3y 2 − 2x.

Formando el cociente: ∂f 2 dy ∂x = − 3x − 2y = − ∂f dx 3y 2 − 2x ∂y

As´ı, el resultado obtenido es: dy 3x2 − 2y =− 2 . dx 3y − 2x





Bibliograf´ıa Granville, Willian y otros. C´alculo Diferencial e Integral. Editorial Uteha.

Larson, Roland y otros. C´alculo. Volumen 1. Editorial Mc Graw-Hill, Sexta Edici´on.