Derivadas 2jw1d
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Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3 3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA 3.2 DEFINICIÓN 3.3 NOTACIÓN 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4. 1.6.5. 1.6.6. 1.6.7.
3.7
FORMULAS DE DERIVACIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DERIVACIÓN IMPLÍCITA DERIVACIÓN PARAMÉTRICA DERIVACIÓN POLAR DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina derivada. • Calcule ecuaciones de rectas tangentes a una curva • Realice demostraciones formales de derivada. • Calcule derivadas.
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Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Desde la antigüedad (épocas de los griegos) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto con los estudios de ISAAC NEWTON (1642-1727) y GOTTGRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), preocupados también por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria. Empecemos primero estudiando posteriormente el problema mecánico.
el
problema
geométrico
y
3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la grafica de una función f , en un punto x0 . y
y = f ( x)
y0
x0
x
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe el gráfico:
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Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ( x0 + h )
f ( x0 )
N
N
y = f ( x)
y
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
x0
x0 + h
x
La pendiente de la recta secante entre los puntos
( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =
( x0 , f ( x0 ) )
y
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
mtg = lím h→0
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
A la pendiente de la recta tangente se le llama la derivada de f .
3.2 DEFINICIÓN
Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada f , denotada como f ´ , es otra función, cuyo valor en " x0 " está dado por: f ´(x0 ) = lím h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
Siempre que este límite exista. En este caso, se dice que es diferenciable en " x0 ".
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Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.3 NOTACIÓN. Las notaciones que se emplean para la derivada son:
dy , Dx y . dx
f ´ , y´ ,
En cualquier caso, la derivada en " x " sería:
f ´( x) = lím h →0
f ( x + h) − f ( x ) h
3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma diferente para la derivada, que para algunos casos resultaría muy útil. Observe el gráfico: y = f ( x)
f ( x)
f ( x0 )
N
N
y
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
x
x0
x
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x0 ) ) y ( x, f ( x) ) sería:
msec =
f ( x) − f ( x0 ) . Entonces la pendiente de la recta tangente, x − x0
que es la derivada de f , sería en este caso:
mtg = f ´( x0 ) = lím x→ x0
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f ( x) − f ( x0 ) x − x0
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x) = 2 x + 1 SOLUCIÓN:
f ( x + h) − f ( x ) h ⎡⎣ 2 ( x + h ) + 1⎤⎦ − [ 2 x + 1]
f ´( x) = lím h →0
= lím h →0
h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h →0 h 2h = lím h →0 h = lím 2 h →0
f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) x − x0
x → x0
= lím
2 x + 1 − 2 x0 − 1 x − x0
= lím
2 x − 2 x0 x − x0
x → x0
x → x0
= lím
x → x0
2 ( x − x0 )
( x − x0 )
= lím 2 x → x0
f ´( x0 ) = 2
Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ´(x) = lím
h →0
= lím
h→0
f ( x + h) − f ( x ) h
(x + h )2 − x 2 h
x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 = lím h→0 h h(2 x + h ) = lím h→0 h = lím (2 x + h ) h→0
f ´(x) = 2 x Empleando la forma alternativa:
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Cap. 3 La derivada
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f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
x → x0
= lím
f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x 2 − x0 2 x − x0
( x − x0 )( x + x0 ) x − x0
x → x0
= lím ( x + x0 ) x → x0
= x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0
Ejercicios propuestos 3.1 1.
Sea
f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .
f (2.5) − f (2) 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 a) Calcule el valor de
d) Calcule el valor de
2.
Hallar
f ´( 2 ) . Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.
f ´(3) , considerando la gráfica:
y = f ( x)
3.
Empleando la definición, determine la derivada de: a) f ( x) = 3 x + 2 b)
f ( x) = −2 x + 1
c)
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
d)
f ( x ) = −2 x 2 + x − 1
e)
f ( x) = 2 x3
f) f ( x ) =
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1 3x + 2
Cap. 3 La derivada
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3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función en un punto exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en ese punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en " x0 ", es decir entonces f es continua en " x0 "
f ´(x0 ) existe,
Demostración. Expresemos lo siguiente:
f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicarlo por (x − x0 ) tenemos:
f ( x) =
f ( x) − f ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) x − x0
Ahora, tomando límite a todos los de la ecuación, resulta:
lím f ( x) = lím
x → x0
La expresión
lím
x → x0
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0
f ( x) − f ( x0 ) es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es x − x0
derivable en x 0 . Entonces: cons tan te
f ( x) − f ( x0 ) lím f ( x) = lím lím ( x − x0 ) + lím f ( x 0 ) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x − x0
0 f (x ) f ´( x0 )
0
= f ´(x0 )[0] + f ( x0 ) = 0 + f ( x0 ) lím f ( x) = f ( x 0 )
x → x0
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.
Analizando el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " x 0 " entonces no es diferenciable en " x 0 ".
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Cap. 3 La derivada
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También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar
f ´(1)
para
f ( x) = x − 1
SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: f ´(1) = lím
x →1
= lím
x→1
= lím
x→1
f ( x ) − f (1) x −1 x −1 − 0 x −1 x −1 x −1
El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: x −1 1. lím = lím 1 = 1 x →1+ x − 1 x →1+ −(x − 1) 2. lím = lím (− 1) = −1 − x −1 x →1 x →1− Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím
x→1
x −1 x −1
no existe.
Observando la gráfica de y = x − 1
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.
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Cap. 3 La derivada
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3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente.
3.5.2.1 Derivada por derecha
La derivada por derecha en " x0 " de una función f se define f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 + ) = lím x→ x x − x0
como:
+
f ´(x0 ) = lím +
o por la forma
+
0
3.5.2.2 Derivada por izquierda.
La derivada por izquierda en " x0 " de una función f se define f ( x 0 + h ) − f ( x0 ) h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 − ) = lím x→ x x − x0
como: f ´(x0 − ) = lím h →0 −
o por la forma
−
0
Por tanto, para que f ´( x0 ) exista, se requiere que las derivadas +
−
laterales existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es derivable en " x 0 " y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo ⎧⎪2 x − 1; x < 2 ⎪⎩ x 2 − 1; x ≥ 2
Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨
SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en x = 2 .
(
)
Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2−
x→2+
Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2 .
f ´(2 − ) = lim− x→2
(2 x − 1) − (2(2) − 1) = x−2
lim−
x→2
2x − 4 2( x − 2 ) = lim− =2 x − 2 x→2 x − 2
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Cap. 3 La derivada
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f ´(2 + ) = lim+
(x
x→2
−
2
) (
)
−1 − 2 2 −1 (x + 2)(x − 2) = 4 x2 − 4 = lim+ = lim+ x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2
( ) entonces
Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2
+
f ´(2) no existe
Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0) SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: f ´(0) = lím
x →0
= lím
x →0
= lím
x →0
f ( x ) − f ( 0) x−0 3
x −0 x 1 2
x 3 f ´(0) = ∞ (no existe )
Lo que ocurre es que la recta tangente, en
x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe la gráfica.
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " x0 " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto
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Cap. 3 La derivada
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Ejercicio Resuelto ⎧⎪mx + b ; x < 2 Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su ⎪⎩ x ;x ≥ 2 dominio. SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto de su gráfica se debe poder trazar una única recta tangente que no sea vertical. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:
( )
lím (mx + b ) = lím x 2
x →2−
x→2+
2m + b = 4 2. f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 f ( x ) − f ( 2) x2 − 4 = lím = lím + x−2 x − 2 x−2 x→2 x→2 x→2+ x→2+ f ( x) − f (2) (mx + b ) − (2m + b ) = lím mx + b − 2m − b = lím m(x − 2) = m f ´(2 − ) = lím = lím x−2 x−2 x−2 x→2− x→2− x→2− x→2− x − 2 f ´(2+ ) = lím
+
Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2( 4) + b = 4 tenemos b = −4
Ejercicios Propuesto 3.2 1.
Hallar
⎧⎪2 x + 1; x < −1 f ´(−1) para f ( x) = ⎨ ⎪⎩ x 2 ; x ≥ −1
2.
Hallar
⎧⎪− x 2 + 10; x < 3 f ´(3) para f ( x) = ⎨ ⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3
3.
Hallar
⎧⎪2 x + 1 ; x < −2 f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 7; x ≥ −2
4.
Sea la función f definida por f ( x) = ⎨
⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2 . Determine, si es posible, los valores de a y b ⎩⎪ax + b ; x > 2
para que f sea derivable en x = 2 5.
Sea la función f definida por
; x ≤1 ⎧⎪3ax + b f ( x) = ⎨ 2 Determine ⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1
los valores para " a " y
" b " para f que sea derivable en todo su dominio.
6.
Sea la función f definida por
⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 1 . Determine " a ", " b " y " c " para que ; x >1 ⎪ ⎩x
f ´(1) exista.
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Cap. 3 La derivada
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3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FORMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las formulas siguientes:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
D x ( k ) = 0 ; ∀k ∈ R Dx ( x) = 1
Dx ( x n ) = n(x n−1 ) D x (e x ) = e x Dx (a x ) = a x ln a 1 Dx (ln x) = x 1 Dx (log a x) = x ln a D x (sen x) = cos x D x (cos x) = − sen x Dx (tg x) = sec 2 x Dx (Co tg x) = − csc 2 x D x (sec x) = sec x tg x D x (csc x) = − csc x cot gx
DEMOSTRACIONES:
Demostraciones de algunas de las formulas anotadas serían: 1. Dx (k ) = lím
k −k 0 = lím = 0 h→0 h h
2. D x ( x) = lím
x+h−x h = lím = 1 h →0 h h
h→0
h →0
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Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3. Dx ( x n ) = lím
(x + h )n − x n
h →0
[x
= lím
n
+ nx n −1h +
h →0
h
= lím
nx n −1h +
h →0
= lím
h →0
[
n (n −1) n − 2 2 x h 2
n (n −1) n − 2 2 x h 2
]
+ ... + nxh n −1 + h n − x n
h + ... + nxh n −1 + h n
h
h/ nx
n −1
+
n (n −1) n − 2 x h + ... + nxh n − 2 2
+ hn−2
h/
[
= lím nx n −1 + h →0 n −1
( )
n (n −1) n − 2 x h + ... + nxh n − 2 2
+ hn−2
]
]
Dx ( x n ) = n x
4.
(
)
(
)
eh − 1 e x+h − e x e xeh − e x e x eh − 1 = lím = lím = e x lím = ex h →0 h →0 h →0 h →0 h h h h
Dx (e x ) = lím
6. ln (x + h ) − ln x = lím Dx (ln x) = lím h →0 h→0 h ⎡ ⎛ h⎞ = ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ ⎢h →0⎝ x⎠ ⎣ 1 Dx (ln x) = x
8.
h⎞ ⎛ x+h⎞ ⎛ 1 ln⎜ ln⎜1 + ⎟ ⎟ h⎞ h x x⎠ ⎛ ⎝ ⎠ = lím ⎝ = lím ln⎜1 + ⎟ h →0 h→0 ⎝ h h x⎠
1
1
h x
⎤x 1 ⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦
[sen x cosh + senh cos x] − sen x sen( x + h) − sen x = lím h →0 h h sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x = lím = lím + lím h →0 h →0 h →0 h h h (cosh − 1) senh = sen x lím + cos x lím = (sen x )(0) + (cos x )(1) h →0 h →0 h h Dx (sen x) = cos x
Dx (sen x) = lím
h→0
La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector. Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0
(FORMULA 1)
Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x
(FORMULA 3)
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Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3 Si f ( x ) = x = ( x )
1
2
entonces f ´( x ) =
1 2
( x)
1 −1 2
=
1
(FORMULA 3)
2 x
Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN:
f ( x ) = x3 Recta tangente
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m(x − x0 ) El punto sería:
x0 = 1
y
y0 = f ( x0 ) = (1) = 1 3
La pendiente sería:
mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3x 2
x =1
=3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)
Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos.
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Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. 2. 3. 4. 5.
d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) dx d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx d ( f ( x ) g ( x )) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) (Cociente) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ g ( x) ⎠ [ g ( x) ]
Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1. d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím h → 0 dx h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h →0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h→0 h = kf ´( x)
2.
[ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] d ( f ( x) + g ( x)) = lím h → 0 dx h f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] [ = lím h →0 h [ f ( x + h) − f ( x)] + lím [ g ( x + h) − g ( x)] = lím h →0 h →0 h h = f ´( x) + g´( x)
La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma.
71
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) =
4 3
x
= 4x−
1
entonces f ´( x ) = 4
3
(
) (
)
d − 13 4 4 − 1 −1 x = 4 − 13 x 3 = − x − 3 dx 3
Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) 2 + 3 entonces x d d d ⎛ 1 ⎞ −2 f ´( x ) = 4 x − ( 2 x −1 ) + ( 3 ) = 4 ⎜ ⎟ + 2x + 0 dx dx dx ⎝2 x ⎠
Si f ( x ) = 4 x −
(
)
Ejemplo 3 (Derivada del producto) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x ) ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
Ejemplo 4 (Derivada del producto)
(
)(
)
Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 +1 entonces: ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥ dx dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ( 2 x + 0 ) ( x3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
d [ f ( x) g ( x)h( x) ] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x )h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si
f ( x ) = e x senx ln x
entonces
⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ 1 ⎛ ⎞ = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟ ⎝x⎠
72
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 6 (Derivada de cociente) Si f ( x ) =
x2 + 2 entonces x3 + 1
⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤ 2 ⎢⎣ dx ( x + 2 ) ⎥⎦ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢⎣ dx ( x + 1) ⎥⎦ ( 2 x ) ( x 3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3 x 2 ) = f ´( x ) = 2 2 ( x3 + 1) ( x3 + 1) =
2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2
(x
3
+ 1)
2
=
− x4 − 6x2 + 2x
(x
3
+ 1)
2
Ejemplo 7 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤
π 2
SOLUCIÓN: La intersección se obtiene igualando que x =
2 sen x = 2 cos x entonces tg x = 1 lo cual quiere decir
π 4
Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 , Si f ( x ) =
2 sen x entonces f ´( x ) = 2 cos x que reemplazando tenemos:
⎛ 2⎞ ⎟ =1 m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Si g ( x ) =
2 cos x entonces g´( x ) = − 2 sen x que reemplazando tenemos:
⎛ 2⎞ ⎟ = −1 m 2 = − 2 sen π4 = − 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.
73
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.3 1.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e
(
b) f ( x ) = x + 2 3
)( x
2
+ 1)
c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) d) f ( x ) =
2.
4.
xe x senx + 1
f)
f ( x) =
1 2 x x e ln x 2
x2 + 1 x senx
f ( x ) = x2 + 2 x + 2
en el
(1,5) .
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
f ( x ) = 3x 2 + 4
y que sea paralela a la recta
3x + y + 2 = 0 .
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto por la ecuación
5.
f ( x) =
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación punto
3.
e)
x
( 2,5)
y que son tangentes a la curva definida
y = 4x − x . 2
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x) = 2 x + 3x − 24 x y 3
2
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 . 6.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = x2 .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8.
Determine f ′(0 ), si f (x ) = x (x − 1)(x − 2 )...(x − 50 )
9.
Si f , g y h son funciones tales que h( x ) =
f ( x) g ( x) , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 , 3 f ( x) − 4 g ( x)
g´(3) = 2 . Determine h´(3) .
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable en " g ( x0 ) " entonces la función compuesta " x0 " y
( f D g )( x ) = f ( g ( x ) )
es diferenciable en
d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0 O lo que es lo mismo
74
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
dy dy du = dx du dx u = g ( x )
Ejemplo 1
(
)
y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 tenemos y = f (u ) = u 20 dy du de donde = 20u 19 y = 2x . du dx dy dy du Por tanto = = (20u 19 )(2 x ) que al reemplazar " u " resulta dx du dx 19 19 dy = 20(x 2 + 2 ) (2 x ) = 40 x (x 2 + 2 ) dx Si
20
(
)
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida.
Ejemplo 2
(
) [ (
(
)
)][
]
Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3
u
Ejemplo 3 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ Si y = ⎢ ⎥ x 2 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢
30
entonces
u
⎡ x 3 +3x 2 + x ⎤ y´= 30 ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ x − 1 ⎦⎥ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ = 30 ⎢ ⎥ ⎢⎣ x 2 − 1 ⎥⎦
29
29
⎡ x 3 +3x 2 + x ⎤ Dx ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ x − 1 ⎦⎥
(
)(
) ( ( )
)
⎡ 3x 3 + 6 x + 1 x 2 − 1 − x 3 +3x 2 + x (2 x ) ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ x 2 −1 ⎣ ⎦
75
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
y = f ( g (h( x) ) haciendo que v = h( x) tenemos y = f ( g (v) ) y ahora haciendo que u = g (v) tenemos dy dy du dv y = f ( u ) ; entonces . = dx du dv dx Para el caso de funciones de la forma
O más simplemente
y´= ⎡⎣ f ´( g (h( x)) ) ⎤⎦ [ g´(h( x) ][ h´( x) ]
Ejemplo 4
( )
Si y = cos 3 x 4
2
4
⎡ ⎤ = ⎢cos N 3 x 2 ⎥ entonces: ⎥ v ⎦ ⎣⎢
( ) u
[ ( )] D [cos(3x )] = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3 x ) = 4[cos(3 x )] [− sen (3x )][6 x ]
y´= 4 cos 3x 2
3
2 3
2
x
2
2
x
2 3
2
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto 1 Si
f (2) = 4 , f ´(4) = 6 , f ´(2) = −2 hallar: d a) b) ( f D f )´(2) [ f (x)]3 en x = 2 dx
SOLUCIÓN: d [ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería: a) dx 3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4)2 (− 2) = −96
4⎤ ⎡ b) ( f D f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio Resuelto 2 Si H =
f Dg y además: h(2) = −1; g (2) = 3; f (3) = 2; h′(2) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; h
determine H ′(2 ) . SOLUCIÓN:
76
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Como H ( x) =
f Dg entonces: h
⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x) H ´(x) = D x ⎢ ⎥= [h( x)]2 ⎣ h( x ) ⎦ [ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x) = [h( x)]2
que en x = 2 sería: 3 ⎤ ⎡ ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ H ´(2) = [h(2)]2 [ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2) = (−1) 2 (5)(−3)(−1) − (2)(−2) = 1 H ´(2) = 19
Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos
D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]
de la igualdad tenemos:
[ f ´(− x)](− 1) =
f ´(x)
− f ´(− x) = f ´(x) f ´(− x) = − f ´(x)
La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las formulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:
Sea u = u (x) , entonces: 1. Dx (u n ) = n(u n−1 )u´ 2. Dx (e u ) = e u u´ 3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´ 4.
1 Dx (ln u ) = u´ u 77
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
1 u´ u ln a D x (sen u ) = (cos u ) u´
5.
D x (log a u ) =
6. 7. D x (cos u ) = (− sen u )u´ 8. Dx (tg u ) = (sec 2 u )u´ 9. Dx (Co tg u ) = (− csc 2 u )u´ 10. D x (sec u ) = (sec u tg u )u´ 11. D x (csc u ) = (− csc u cot gu )u´ Ejercicios Propuestos 3.4 1.
2.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a)
f ( x ) = x2 − 2x + 1
b)
f ( x) =
c)
f ( x) =
e x − e− x e x + e− x
d)
f ( x) =
x2 − 1 x2 + 1
⎛ senx ⎞ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠
e) f ( x ) = ⎜
1
3
f) f ( x ) = ln ⎡⎣ln ( x + 1) ⎤⎦
2x − 3
g) f ( x ) =
1 ⎛ x2 ⎞ 1 ln ⎜ 2 ⎟− 2 4 ⎝ x −4⎠ x −4
Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:
∀f ∈ V [ f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ f ' ( − x ) = f ' ( x )] (La derivada de una función impar es una función par)
( f D g )′ (x ) , si f (u ) = e u
2
y
u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )
3.
Hallar
4.
Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:
g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2) = 3, h′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 . h(a) = a, h´(a) = 4 En x = a determine el valor de: a) (g D f )´ d)
(f
D h D g )´
b) (g D h )´
c) (h D g )´
′ ⎛ f DhD g −hD g ⎞ ⎟⎟ gD f ⎝ ⎠
e) ⎜⎜
5.
Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x )))) en x = 0 .
6.
Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea
g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1) = g ' ( x2 )
7.
Suponga que la función f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) para toda x , y . Pruebe que si f ´(0) existe, entonces
f ´(a ) existe y además f ´(a ) = f ( a ) f ´(0) . 8.
78
Pruebe que si un polinomio p (x ) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) . 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:
Sea
y = f (x )
una función " n " veces derivable, entonces:
La primera derivada es: y´= f ´(x ) =
dy f ( x + h) − f ( x ) = Dx y = lím h→0 dx h
La segunda derivada es: Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) =
d2y f ´(x + h) − f ´(x) = Dx2 y = lím 2 h→0 dx h
La tercera derivada es: Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) =
En fin, La
n − ésima
f ´´(x + h) − f ´´(x) d3y = Dx3 y = lím 3 h →0 dx h
derivada es:
y n = f n ( x) =
f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) dny n D y = = lím x h→0 dx n h
Ejemplo 1 ⎛
1 ⎞ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠
Hallar D xn ⎜
SOLUCIÓN: Aquí tenemos:
y=
1 −1 = (1 − 2 x ) . 1 − 2x
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:
y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21 y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2 ) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2 y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2 )2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3 y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4 Directamente la quinta derivada sería
y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = (n!)(1 − 2 x )
−6
− (n +1)
2n
79
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
( )
Demuestre que D xn x n = n! SOLUCIÓN: Como y = x n entonces: y´= nx n −1 y´´= n(n − 1)x n − 2 y´´´= n(n − 1)(n − 2)x n −3
" y n = n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)" (n − (n − 1))x n − n = n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)" (1) = n!
Ejercicio Propuesto 3.5 1.
Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a.
d4 dx
b.
c.
4
[cos (x )]
5 ⎞ ⎟ − x⎠ 4 ⎝
d 2 ⎡ x sen 2 (πx ) ⎤ ⎢ ⎥ dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦
dn dxn
e. Dx
[xe ]
f.
x
30 ⎡ 1 +
d 35 dx35
x⎤ ⎢1 − x ⎥ ⎦ ⎣
[xsenx]
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢x ⎜ ⎟⎥ dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ ⎣ ⎦
2.
Determine
3.
Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
(
D xn a n x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 4.
n⎛
d. Dx ⎜
2
)
Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 .
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Algunos lugares geométricos presentan su ecuación en forma implícita F ( x, y ) = 0 . Suponga que no se pueda ponerla en forma explícita y = f (x) , que no se pueda despejar y , pero que se desea hallar y´ . Entonces considerando que F ( x, f ( x)) = 0 y tomando en cuenta la regla de la cadena lograríamos lo deseado.
80
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo Sea x + y = 1 hallar y´ SOLUCIÓN: 2
2
PRIMER MÉTODO. Como es posible despejar y , tenemos y = ± 1 − x 2
(
y´= ± 12 1 − x 2 Entonces:
=−
)
− 12
x ± 1− x
(− 2 x )
=−
2
x y
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x )] = 1 y tomar derivada a 2
ambos de la igualdad:
(
2
)
Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1) 2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0
que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0 despajando y´ resulta: y´= −
x x =− y ± 1− x 2
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1 Sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior.
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio Resuelto 1 Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos y resolviendo tenemos:
(
) ( ) + (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´ Dx 4 x 3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3
12 x
2
2
2
12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´
Despejando y´ resulta: y´=
12 x 2 + 7 y 2 6 y 2 − 14 xy
Ejercicio Resuelto 2
( )
Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1 SOLUCIÓN:
81
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Obteniendo derivada a ambos , tenemos: Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1
(
1
1+
( )
)
(
)
[2 xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x 2
x2 y
1+
2 y´ + + 6 yy´= 4 x x y
Despejando y´ resulta: y´=
4x − 1 − 6y +
2 x
1 y
Ejercicio Resuelto 3
( )
Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos , tenemos:
( ( ))
(
Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y
( )[ ] sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+
)
− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x
− y2
2
2
x+ y +
[ (x + y )
− 12
1 2
(1 + y´)]
x xy´ + 2 x+ y 2 x+ y
Despejando y´ resulta:
( )
− y 2 sen xy 2 − x + y − y´= 2y +
x 2 x+ y
( )
x + 2 xy sen xy 2 2 x+ y
Ejercicio Resuelto 4 Determinar
la
ecuación
de
la
x cos y = sen( x + y ) en P(0,0).
recta
normal
a
la
curva
cuya
ecuación
es
SOLUCIÓN: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −
1 m tg
D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))
Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta: 1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´] En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 .
cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´]
Luego despejando y´ resulta : 1 + 0 = 1 + y´
.
y´= 0 Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con
1 =∞ 0 1 y − 0 = − (x − 0 ) Y su ecuación será: 0 x=0
pendiente m normal = −
82
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 5 Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre y' ' en (2,1). SOLUCIÓN: Primero se encuentra y ' : 2
3
(
)
D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2) 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´= 0 2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0
En ( 2,1) sería:
y´= 2
Ahora encontramos
y' ' :
(
)
D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0 )
(
)
2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0 2
2
2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0 2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0 En ( 2,1) sería: y´´= 15
Ejercicios Propuestos 3.6 1.
2.
Encontrar
dy para: dx 2
2
a.
x 3 + y 3 =1
b.
ln ( xy ) + y = 1
c.
e xy + ln y = 0
d. sec y + tan y = xy e. ln ( xy ) +
y =5
2 3 2 2 Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4 x y 2 x + 3 y = 14 en el punto
(1,2 ) son perpendiculares entre sí.
3.
3 3 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x + 3xy + y = 5 en el punto
4.
2 23 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x + y
5.
(1,1)
(
)
[2
]
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 en el punto (1,1)
6.
3
3
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a la recta x + y + 6 = 0
7.
2 2 2 2 Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1) (4 − y ) en
8.
Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos (2 y ) = 3 sen (x + y ) en el
9.
2 3 Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente
el punto (0,−2 ) . punto (0,0 ) .
a f sea horizontal. 10. Encuentre y ' ' si
x3 − 4 y 2 + 3 = 0
83
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
11. Calcula:
d2y dx
2
para
2
x
3
+y
2
3
=1
12. Para la función y = f ( x ) dada en forma implícita por la ecuación
x − tg y + e
y − π4
= 2 determine
d2y dx 2
( )
en el punto 2, π . 4
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma ⎧ x = x(t ) C:⎨ ⎩ y = y (t ) dy El objetivo será hallar directamente . dx Primero conozcamos las ecuaciones de ciertas curvas.
Recta
Elipse
84
Circunferencia
Cicloide
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Hipocicloide (astroide)
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas.
Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son funciones continuamente diferenciables, y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a " y " como una función diferenciable de " x " y su derivada es: dy dy dy dt = = dt dx dx dt dx dt Ejemplo 1 Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x + y = 1 , la derivada también puede ser hallada 2
2
dy
⎧ x = cos t x dy cos t = dt = =− partiendo de su ecuación paramétrica C : ⎨ , es decir: dx t y dx − sen y = sen t ⎩
dt Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
85
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t
Sea ⎨
⎩⎪ y = e sent SOLUCIÓN: t
hallar
dy dx
dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de " t ", es decir que Segunda derivada:
d2y dx 2
dy = y´(t ) dx
; por tanto:
d [y´(t )] = d [y´(t )] dt = = dx dt dx
d [ y´´(t )] dt d = Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] = dx dt dx dx d3y
d [ y´(t )] dt = y´´(t ) dx dt d [ y´´(t )] dt = y´´´(t ) dx dt
Y así sucesivamente. Ejemplo 3 Calcular
dny dx n
⎧⎪ x = ln t para: ⎨ ⎪⎩ y = t m ; m ∈ R
SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos: dy mt m −1 mt mt −1 dy = dt = = = mt m Primera derivada: dx 1 dx t −1 dt t
d [ y´(t )] m 2 t m −1 = dt = = m 2t m Segunda derivada: −1 2 dx t dx dt d [ y´´(t )] d3y m 3 t m −1 dt = = = m 3t m Tercera derivada: −1 3 dx t dx dt d2y
Directamente, la cuarta derivada sería:
d4y dx
n
Por tanto:
86
d y dx
n
= mnt m
4
= m 4t m
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.7 1. Hallar
dy para: dx a.
⎧ x = a (cos t + tsent ) ⎨ ⎩ y = a (sent − t cos t )
b.
⎧ 2 ⎪⎪ x = t + 1 t −1 ⎨ ⎪y = 2 ⎪⎩ t +1
⎧ x = a(t − sen t ) π en t = 2 ⎩ y = a(1 − cos t )
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = 2t − t 2
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2)
⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t en t = 0 ⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = t 2
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1
; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
d2y d3y ⎧y = t . Calcule a) y b) ⎩ x = ln(cos t ) dx 2 dx 3
6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.
⎧ x = r cos( θ ) ⎩ y = r sen (θ )
Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨
⎧ x = f (θ ) cos( θ ) ⎩ y = f (θ ) sen (θ )
Al reemplazar queda ⎨
dy dy f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ = dθ = Entonces dx dx f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ dθ Para encontrar la ecuación de la recta tangente:
87
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:
y − y 0 = m ( x − x0 )
Entonces:
x0 = f (θ 0 )cosθ 0 y0 = f (θ 0 )senθ 0
dy dy m= = dθ dx dx dθ
=
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
θ =θ 0
Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 = SOLUCIÓN: Observa la gráfica:
88
π 4
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π )
En este caso
[
] 4
4
= 4 sen 3 π cos π =4
2 2
y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )
4
y
4
2 2
[
=4
x0 = 2
] 4
4
4
= 4 sen 3 π sen π 2 2
4
2 2
y0 = 2
Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ Entonces: m= =
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4 [12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4
⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ −6+2 = −6−2 1 m= 2
⎤ 2 ⎡ + ⎢4 2 ⎥ 2 2 ⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎡ 2⎤ 2 − ⎢4 ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ 2
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − y0 = m(x − x0 ) y−2=
1 2
( x − 2)
Ejercicios propuestos 3.8 en θ 0 = π 4 r = 4sen 3θ en θ 0 = π 6
1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r =
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
en θ 0 = π 6 r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π 3 2 sen 3θ
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.
Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa.
89
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.
Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto correspondiente " y ", y 1 ⎡ d −1 ⎤ ( ) f y = ⎢⎣ dx ⎥⎦ f ´(x) Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de −1 la recta tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan de la forma la inversa f
−1
,
m2 =
1 m1
. Y que se puede encontrar la derivada de
trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir,
sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f
−1
.
Ejemplo 1 ⎡d 5 Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢ f ⎣ dx SOLUCIÓN: En este caso "4" es rango para
⎡d
reemplazarlo en: ⎢ f ⎣ dx
90
−1 ⎤
f
por tanto habrá que encontrar el correspondiente
1 ⎥ ( 4) = f ´(x ) ⎦
−1 ⎤
⎥ (4 ) ⎦
x
para
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Entonces, teniendo 4 = x 5 + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.
⎡d
f Por lo tanto, ⎢ ⎣ dx
−1 ⎤
1 1 1 = ⎥ (4) = f ´(1) = 4 ⎦ 5(1) + 2 7
No olvide que este resultado significa que la recta tangente a
m = 7 y por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1) En cambio, la recta tangente a ecuación: y − 1 =
f
−1
f
en el punto (1,4 ) tiene pendiente
en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =
1 y por 7
1 (x − 4 ) 7
Ejemplo 2 Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN: 1 ⎡ d −1 ⎤ De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢ f ⎥ (x ) = dx f ´ (y) ⎣ ⎦ x
Como f ( x) = y = e
x
tenemos que f ´(x) = e
x
y f ´( y ) = e
y
y además al cambiar las variable
resulta x = e , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x y
⎡d f ⎣ dx
Bien, reemplazando ⎢
−1 ⎤
1 1 ⎥ ( x) = f ´( y ) = x ⎦
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 1 D x (arcsen x ) = ; −1 < x < 1 1− x2 1 D x (arccos x ) = − ; −1 < x < 1 1− x2 1 D x (arctg x ) = 1+ x2 1 D x (arc sec x ) = ; x >1 x x2 −1 Demostración: Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea f ( x ) = y = sen x hallar D x f
[
−1
]
( x) = D x [arcsen x ]
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
91
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
[
Dx f
−1
]
( x) = D x [arcsenx] =
1 f ´( y )
Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la variable en la función dada). Por trigonometría, decir que seny =
Por lo tanto, D x [arcsenx] =
x significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura) 1
1 1 = L.Q.Q.D. cos y 1 − x2
Las formulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u (x) D x (arcsen u ) = D x (arccos u ) = −
1 1− u2 1
u´ ;−1 < u < 1
1− u2
u´ ;−1 < u < 1
D x (arctg u ) =
1 u´ 1+ u2 1 D x (arc sec u ) = u´ ; u > 1 u u2 −1
Ejemplo ⎛ y⎞ Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln ⎝x⎠ SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos:
92
x2 + y2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
[ (
)] (
⎡ ⎛ y ⎞⎤ Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2 2 ⎝ x ⎠⎦ ⎣ 1 1 ⎛ y⎞ 1 D ⎜ ⎟= Dx x 2 + y 2 2 x⎝ x ⎠ 2 2 x + y2 y⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠
)
⎡ y´x − y (1) ⎤ 1 [2 x + 2 yy´] ⎢ ⎥= 2 2 x2 ⎦ 2x +y
1
(
y2 1+ 2 ⎣ x
)
⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´) 1 ⎢ ⎥= x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2
(
x
)
2
x 2 (xy´− y )
x + yy´ = x2 x2 + y2 x2 + y2 xy´− y = x + yy´
(
)
xy´− yy´= x + y x+ y y´= x− y
Ejercicios Propuestos 3.9 1.
⎛ d −1 ⎞ Si f (x ) = x 7 + 3 x 3 + 2 hallar ⎜ f ⎟(6 )
2.
Si f (x ) = x − 3 x + 1 para x > 3
3.
⎛ dg ⎞ π , si g es la función inversa de Hallar ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ 4
4.
Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la
⎝ dx
2
2
⎠
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(3) . ⎝ dx ⎠
; hallar ⎜
()
f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(4 ) . ⎝ dx ⎠
recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜ 5.
6.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x ) = x 3 + 2 x − 3 en el punto
(0, f
−1
( 0)
)
Determine la ecuación de la recta tangente a la función
y = f −1( x) en x = −2 donde
f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR 7.
La ecuación de la recta normal a la inversa de f en x = 2a si se conoce que f ´(a ) = f ( a ) = 2a .
8.
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos (xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible Hallar ⎜ ⎝ dx ⎠
(y =
f (x ) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0 dy , para : 9. Calcular dx a.
⎤ ⎡ y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥ ⎣ ⎦
⎛ 4senx ⎞ c. y = arctg⎜ ⎟ ⎝ 3 + 5 cos x ⎠
b.
⎛x⎞ y = xarctg⎜ ⎟ − ln x 2 + 4 ⎝2⎠
d.
(
)
(
3 y = e arctg x + senx
)
93
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x) g ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente Ejemplo 1 Hallar
dy para y = x x dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
ln y = ln x x ln y = x ln x Ahora derivando implícitamente, resulta:
Dx (ln y ) = Dx (x ln x ) 1 ⎛1⎞ y´= (1) ln x + x⎜ ⎟ y ⎝x⎠ y´= y[ln x + 1] y´= x x [ln x + 1]
Ejemplo 2 Hallar
dy para y = [sen 2 x ]arctg x dx
SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
(
)
ln y = ln [sen 2 x ]arctg x ln y = arctg x ln (sen 2 x )
Ahora derivando implícitamente, resulta: Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )] 1 1 ⎡ 1 y´= (cos 2 x )(2)⎤⎥ ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢ y 1 + x2 ⎣ sen 2 x ⎦
⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤ y´= y ⎢ + ⎥ sen 2 x ⎣ 1 + x2 ⎦ ( ) x x cos 2 x ⎤ ln sen 2 2 arctg ⎡ y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢ + ⎥ 2 sen 2 x ⎣ 1+ x ⎦
94
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3 Hallar
dy dx
para
y = xx
x
SOLUCIÓN:
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos:
( )
ln y = ln x x
x
ln y = x x ln x Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
(
ln(ln y ) = ln x x ln x
)
ln(ln y ) = ln x x + ln(ln x) ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x) Y ahora sí, derivamos implícitamente:
D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)] 1 1 1 1 1 y´= (1) ln x + x + ln y y x ln x x 1 ⎤ ⎡ y´= y ln y ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣ x x ⎡ 1 ⎤ y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 + ln x x ⎥⎦ ⎣ x 1 ⎤ ⎡ y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣
Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica Ejemplo Hallar
dy para y = dx
x 2 + 2 3 1 + arctg x 4
1 + ex
SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤ ⎥ ln[ y ] = ln ⎢ 4 x ⎥ ⎢ e 1 + ⎣ ⎦
(
)
(
ln y = 12 ln x 2 + 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x Ahora derivando implícitamente, resulta:
( (
)
(
Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x 2
3
4
)
)
( )
⎛ 1 1 1 y´= (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 y 2 x2 + 2 3 1 + arctgx ⎝ 1 + x
⎞ 1 1 ⎟− ex ⎟ 4 1 + ex ⎠
⎡1 1 ⎛ y´= y ⎢ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 2 arctgx 2 3 1 + ⎝1+ x ⎣⎢ x + 2
⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠
( )
Finalmente, reemplazando resulta:
95
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1 ⎛ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎢ 2 4 2 3 1 arctgx + x 2 x + ⎢ ⎝ 1+ x ⎣ 1+ e
y´=
( )
⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠
Ejercicios Propuestos 3.10 1. Calcular
a.
b.
c.
y=
dy , para : dx
sec 5 x
2.
tgx + 1
e.
y = xnnx
f.
⎡ arcsen sen 2 x ⎤ y=⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ arccos cos x ⎥⎦
g.
y = arcsen 1 + e 2 x
csc x 3 − 4 4
y = x 3 cos 4 x
3
1− x2
(4x − x )
3 5
x −1
y= 3
d.
3
2
(x + 2) (x + 3) 2
y = x3
arcsen(e x )
3
(
(
) )
arctg 2 x
))
sec x
i.
y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x)) (x + y ) y = x 2 + y 2
j.
y ( x) = 1 + x 2
h.
x
( (
(
)x
( x )ln(x+1) en el
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e punto (0,1)
y x 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) . 4. Determine
3.7
d2y dx 2
(1,2) , si existe, para
x y + xy = 3
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
Existen funciones especiales que se definen a partir de la función exponencial. 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es Por tanto su grafica sería:
96
e x − e− x y = f ( x) = senhx = 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es: Por tanto su grafica sería:
e x + e −x y = f ( x) = cosh x = 2
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es:
senhx e x − e − x = y = f ( x) = tghx = cosh x e x + e − x
97
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
cosh 2 x − senh 2 x = 1
Se puede demostrar que
3.7.3 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS. D x (senh x ) = cosh x
D x (cosh x ) = senh x D x (tgh x ) = sec h 2 x
D x (c tgh x ) = − csc h 2 x D x (sec hx ) = − sec hx tgh x D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x ¡Demuéstrelas!
Misceláneos 1.
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a)
⎛ d( f D g)⎞ Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜ ⎟(2) = 4 ⎝ dx ⎠
b)
La función f ( x ) = sen x no es derivable en x = 0
c)
Si
d)
3 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .
e)
f y g son derivables en x = c y f ´(c ) = g (c ) = 0 y h( x ) = f ( x ) g ( x ) entonces h´(c ) = 0 .
La expresión lim x→
π 2
98
sen x − 1 x− π 2
es la derivada de f ( x ) = sen x cuando x = π . 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f)
3 La función f ( x) = 6 x + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
g)
Si y ( x) = x
h)
Si g ( x) = f e
i)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a , b ] y f ( a ) = f (b ) entonces en algún punto
j)
1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟( x ) = Si f es una función invertible entonces ⎜ . f ´(x) ⎝ dx ⎠
k)
Si
x 1⎞ ⎛ entonces y´(x ) = x x x x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟
xx
⎝
x⎠
( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12
del intervalo abierto (a , b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
f ,
y
g
h
( f D g D h)´(2) = 4 ,
son funciones tales que
g (1) = g´(1) = −1 y
h( 2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0 l)
Si
es una función inversible y derivable tal que
f
f ´(1) = 4 y
f (1) = −2 entonces
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(−2) = 1 . ⎜ ⎝ dx ⎠ m) Si h ( x ) = f (1 + f (1 + f ( x )) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3 entonces h´(1) = −30
⎧2 x − 1; x ≥ 1 ⎪ n) La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x) = ⎨ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable ⎪ 3x ; x < 0 ⎩ en todo su dominio.
;x ≤ 0 ⎧ g ( x) ⎪⎪ 2 o) Existen funciones g ( x ) y h ( x ) tales que la función f ( x) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es ⎪ h( x ) ;x ≥1 ⎪⎩ derivable en todo R .
f ( x) = x 2 + ax + b y g ( x) = x3 + cx . Entonces no existen valores a, b, c ∈ IR , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto ( 2,2) .
p)
Si tenemos las curvas
q)
= y x define una función y = f ( x ) entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto (1,1) es y = x − 1 .
r)
Si g es la función inversa de f ( x ) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 . 5
s)
Si f es una función de variable real tal que f ( x) = ⎨ ⎪ 2
t)
Si la ecuación x
y
⎧⎪ 3x
;x ≤1
⎩x + 2 ; x > 1
entonces f ´(1) existe.
f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ( f D g )´(2) = 4 .
u)
Si f (c ) = g (c ) = 0 y h( x ) = f ( x ) g ( x ) entonces h´(c) = 0
v)
Si x
C es 2
a2
+
y
2
b2
un
lugar
geométrico
en
el
plano
cuyos
puntos
satisfacen
la
ecuación:
= 1 ; a, b ∈ R − {0} , entonces la recta tangente a C en cualquier punto P(x0 , y0 ) ∈ C ,
tiene por ecuación
x0 y a2
y y + 0 =1 b2
w) Si f y g son funciones de R en R tales que f ´= g´ entonces f = g
99
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
2.
dy para dx
Encuentre
a.
x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y
b.
ln x y ( x) = x 2 + 1
c.
y ( x) = sen ln cos x + e
( (
d.
x y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 − ⎝ y⎠ y2
2
2
)
(
2
x
y ( x) = xe + e x
f.
y ( x) = x cos x + x
3.
y ( x) = ln
Hallar
)
2 + 3x 2 − 3x
[
3 1 + arctg x
y ( x) =
i.
y ( x) = (sen3 x )arctg (x
j.
2 y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x
k.
ln (x + y ) = arctg⎛⎜ x ⎞⎟ ⎝ y⎠
l.
y ( x) = e tg x tg e x
m.
(x + y ) y = x 2
x
e.
g.
3x
x2 + 2
h.
4
1 + ex 2
)
( )
]
d [ f ( x)]2 + 1 dx
⎧ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎪ x sen ⎜⎝ x 4 ⎟⎠ ⎪ 4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b ⎪ 2 ⎪ cx + d ⎩ Sea
continua
[ f ´(−2)].[ f (
5.
1 2
en
x=0
)]− f ´(π + 1)
y
derivable
en
;x < 0 ;0 ≤ x ≤ 1 ;x > 1
x = 1 . Además determine, de ser posible,
⎧ x = 2 sec t ⎩ y = 2tant
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en t = −
π 6
(x + 1)2 + 3
determine el valor de (g D f )´(1) .
6.
2 Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =
7.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = cos t en el punto (0,0) . ⎨ ⎩ y = sen t cos t 8.
Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones
(
)
2 diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x) = h x g ( x) y se conoce que
g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h( 2) = −1 9.
[ ]
Determine los puntos del intervalo [−1,2] donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable.
1 ⎛ d −1 ⎞ . Considere que f ⎟(1) = 2 k + 5k ⎝ dx ⎠
10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜
f ( 4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x .
100
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
⎧ x = arccos t , t ∈ (−1,1) determine ⎩ y = arcsen t − t
11. Para la función y = f ( x ) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨
d3y dx3
.
⎧⎪ x = 1 + t 2 d3y , t > 0 determine en el ⎪⎩ y = t ln t dx3
12. Para la función y = f ( x ) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ punto ( 2,0)
2 2 13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x + ax + b y y = cx − x tienen una recta tangente común en el punto (1,0) .
(
)
y 14. La ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto (1,0) . x
15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1, 2) . Donde C está definida por las
⎧x = ⎪ ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪y = ⎩ 16. Hallar
17. Hallar
2t 2 t +1 , t ∈ IR − {−1,0} 3−t t
d2y
⎧⎪ x = et cos t
dx
⎪⎩ y = et sen t
para ⎨ 2
, t ∈ IR
dy 2 en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 . dx
18. Sea y = f ( x ) función tal que h = f
−1
. Sea y ≥ 0 si h( y ) =
y 2 − calcular f ´(1) y +1 y + 2
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas 3 3 ⎧⎪ x = a cos3 t ⎛ ⎛ ⎛ 2⎞ ⎞ 2⎞ ; t ∈ [0,2π] ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜ ⎟ , a⎜ 2 ⎟ ⎟⎟ . ⎨ 2 ⎜ 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪
⎩ y = a sen t
⎝
⎠
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f
⎧⎪sen x + a ; x ≥ 0 . ⎪⎩ be x + c ; x < 0
es una función tal que f ( x) = ⎨
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = (1 + cos t )cos t en t = π . ⎨ 2 ⎩ y = (1 + cos t )sen t
( 2 )+ 3x2 = 4 ; en el
22. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy punto (1,0) .
23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .
⎧⎪ x = 2t − t 2
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en el punto (1,2 ) .
⎪⎩ y = 3t − t 3
25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x[ f (cos x ) ] es una función Par. 26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola definida por y = 2 x 2 − 5 x + 1 .
101
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
27. Hallar
d 50 ⎡1 − x ⎤ ⎢ ⎥ dx50 ⎣1 + x ⎦
28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧⎪ x = e 2t − 1 cuando t = 0 ⎨ ⎪⎩ y = e − 2t + 2 29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función
f cuya regla de correspondencia es
f ( x ) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la 2
parábola. 30. Si f es una función de R en R inversible y con regla de correspondencia f ( x ) = x 3 + 3 x − 10
⎡ d −1 ⎤ entonces determine ⎢ f ⎥ (4 ) ⎣ dx ⎦
102
Moisés Villena Muñoz
3 3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA 3.2 DEFINICIÓN 3.3 NOTACIÓN 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4. 1.6.5. 1.6.6. 1.6.7.
3.7
FORMULAS DE DERIVACIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DERIVACIÓN IMPLÍCITA DERIVACIÓN PARAMÉTRICA DERIVACIÓN POLAR DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina derivada. • Calcule ecuaciones de rectas tangentes a una curva • Realice demostraciones formales de derivada. • Calcule derivadas.
57
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Desde la antigüedad (épocas de los griegos) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto con los estudios de ISAAC NEWTON (1642-1727) y GOTTGRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), preocupados también por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria. Empecemos primero estudiando posteriormente el problema mecánico.
el
problema
geométrico
y
3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la grafica de una función f , en un punto x0 . y
y = f ( x)
y0
x0
x
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe el gráfico:
58
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ( x0 + h )
f ( x0 )
N
N
y = f ( x)
y
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
x0
x0 + h
x
La pendiente de la recta secante entre los puntos
( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =
( x0 , f ( x0 ) )
y
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
mtg = lím h→0
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
A la pendiente de la recta tangente se le llama la derivada de f .
3.2 DEFINICIÓN
Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada f , denotada como f ´ , es otra función, cuyo valor en " x0 " está dado por: f ´(x0 ) = lím h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
Siempre que este límite exista. En este caso, se dice que es diferenciable en " x0 ".
59
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.3 NOTACIÓN. Las notaciones que se emplean para la derivada son:
dy , Dx y . dx
f ´ , y´ ,
En cualquier caso, la derivada en " x " sería:
f ´( x) = lím h →0
f ( x + h) − f ( x ) h
3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma diferente para la derivada, que para algunos casos resultaría muy útil. Observe el gráfico: y = f ( x)
f ( x)
f ( x0 )
N
N
y
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
x
x0
x
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x0 ) ) y ( x, f ( x) ) sería:
msec =
f ( x) − f ( x0 ) . Entonces la pendiente de la recta tangente, x − x0
que es la derivada de f , sería en este caso:
mtg = f ´( x0 ) = lím x→ x0
60
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x) = 2 x + 1 SOLUCIÓN:
f ( x + h) − f ( x ) h ⎡⎣ 2 ( x + h ) + 1⎤⎦ − [ 2 x + 1]
f ´( x) = lím h →0
= lím h →0
h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h →0 h 2h = lím h →0 h = lím 2 h →0
f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) x − x0
x → x0
= lím
2 x + 1 − 2 x0 − 1 x − x0
= lím
2 x − 2 x0 x − x0
x → x0
x → x0
= lím
x → x0
2 ( x − x0 )
( x − x0 )
= lím 2 x → x0
f ´( x0 ) = 2
Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ´(x) = lím
h →0
= lím
h→0
f ( x + h) − f ( x ) h
(x + h )2 − x 2 h
x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 = lím h→0 h h(2 x + h ) = lím h→0 h = lím (2 x + h ) h→0
f ´(x) = 2 x Empleando la forma alternativa:
61
Cap. 3 La derivada
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f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
x → x0
= lím
f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x 2 − x0 2 x − x0
( x − x0 )( x + x0 ) x − x0
x → x0
= lím ( x + x0 ) x → x0
= x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0
Ejercicios propuestos 3.1 1.
Sea
f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .
f (2.5) − f (2) 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 a) Calcule el valor de
d) Calcule el valor de
2.
Hallar
f ´( 2 ) . Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.
f ´(3) , considerando la gráfica:
y = f ( x)
3.
Empleando la definición, determine la derivada de: a) f ( x) = 3 x + 2 b)
f ( x) = −2 x + 1
c)
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
d)
f ( x ) = −2 x 2 + x − 1
e)
f ( x) = 2 x3
f) f ( x ) =
62
1 3x + 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función en un punto exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en ese punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en " x0 ", es decir entonces f es continua en " x0 "
f ´(x0 ) existe,
Demostración. Expresemos lo siguiente:
f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicarlo por (x − x0 ) tenemos:
f ( x) =
f ( x) − f ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) x − x0
Ahora, tomando límite a todos los de la ecuación, resulta:
lím f ( x) = lím
x → x0
La expresión
lím
x → x0
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0
f ( x) − f ( x0 ) es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es x − x0
derivable en x 0 . Entonces: cons tan te
f ( x) − f ( x0 ) lím f ( x) = lím lím ( x − x0 ) + lím f ( x 0 ) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x − x0
0 f (x ) f ´( x0 )
0
= f ´(x0 )[0] + f ( x0 ) = 0 + f ( x0 ) lím f ( x) = f ( x 0 )
x → x0
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.
Analizando el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " x 0 " entonces no es diferenciable en " x 0 ".
63
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar
f ´(1)
para
f ( x) = x − 1
SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: f ´(1) = lím
x →1
= lím
x→1
= lím
x→1
f ( x ) − f (1) x −1 x −1 − 0 x −1 x −1 x −1
El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: x −1 1. lím = lím 1 = 1 x →1+ x − 1 x →1+ −(x − 1) 2. lím = lím (− 1) = −1 − x −1 x →1 x →1− Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím
x→1
x −1 x −1
no existe.
Observando la gráfica de y = x − 1
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.
64
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente.
3.5.2.1 Derivada por derecha
La derivada por derecha en " x0 " de una función f se define f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 + ) = lím x→ x x − x0
como:
+
f ´(x0 ) = lím +
o por la forma
+
0
3.5.2.2 Derivada por izquierda.
La derivada por izquierda en " x0 " de una función f se define f ( x 0 + h ) − f ( x0 ) h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 − ) = lím x→ x x − x0
como: f ´(x0 − ) = lím h →0 −
o por la forma
−
0
Por tanto, para que f ´( x0 ) exista, se requiere que las derivadas +
−
laterales existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es derivable en " x 0 " y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo ⎧⎪2 x − 1; x < 2 ⎪⎩ x 2 − 1; x ≥ 2
Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨
SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en x = 2 .
(
)
Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2−
x→2+
Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2 .
f ´(2 − ) = lim− x→2
(2 x − 1) − (2(2) − 1) = x−2
lim−
x→2
2x − 4 2( x − 2 ) = lim− =2 x − 2 x→2 x − 2
65
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ´(2 + ) = lim+
(x
x→2
−
2
) (
)
−1 − 2 2 −1 (x + 2)(x − 2) = 4 x2 − 4 = lim+ = lim+ x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2
( ) entonces
Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2
+
f ´(2) no existe
Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0) SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: f ´(0) = lím
x →0
= lím
x →0
= lím
x →0
f ( x ) − f ( 0) x−0 3
x −0 x 1 2
x 3 f ´(0) = ∞ (no existe )
Lo que ocurre es que la recta tangente, en
x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe la gráfica.
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " x0 " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto
66
Cap. 3 La derivada
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Ejercicio Resuelto ⎧⎪mx + b ; x < 2 Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su ⎪⎩ x ;x ≥ 2 dominio. SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto de su gráfica se debe poder trazar una única recta tangente que no sea vertical. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:
( )
lím (mx + b ) = lím x 2
x →2−
x→2+
2m + b = 4 2. f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 f ( x ) − f ( 2) x2 − 4 = lím = lím + x−2 x − 2 x−2 x→2 x→2 x→2+ x→2+ f ( x) − f (2) (mx + b ) − (2m + b ) = lím mx + b − 2m − b = lím m(x − 2) = m f ´(2 − ) = lím = lím x−2 x−2 x−2 x→2− x→2− x→2− x→2− x − 2 f ´(2+ ) = lím
+
Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2( 4) + b = 4 tenemos b = −4
Ejercicios Propuesto 3.2 1.
Hallar
⎧⎪2 x + 1; x < −1 f ´(−1) para f ( x) = ⎨ ⎪⎩ x 2 ; x ≥ −1
2.
Hallar
⎧⎪− x 2 + 10; x < 3 f ´(3) para f ( x) = ⎨ ⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3
3.
Hallar
⎧⎪2 x + 1 ; x < −2 f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 7; x ≥ −2
4.
Sea la función f definida por f ( x) = ⎨
⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2 . Determine, si es posible, los valores de a y b ⎩⎪ax + b ; x > 2
para que f sea derivable en x = 2 5.
Sea la función f definida por
; x ≤1 ⎧⎪3ax + b f ( x) = ⎨ 2 Determine ⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1
los valores para " a " y
" b " para f que sea derivable en todo su dominio.
6.
Sea la función f definida por
⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 1 . Determine " a ", " b " y " c " para que ; x >1 ⎪ ⎩x
f ´(1) exista.
67
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FORMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las formulas siguientes:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
D x ( k ) = 0 ; ∀k ∈ R Dx ( x) = 1
Dx ( x n ) = n(x n−1 ) D x (e x ) = e x Dx (a x ) = a x ln a 1 Dx (ln x) = x 1 Dx (log a x) = x ln a D x (sen x) = cos x D x (cos x) = − sen x Dx (tg x) = sec 2 x Dx (Co tg x) = − csc 2 x D x (sec x) = sec x tg x D x (csc x) = − csc x cot gx
DEMOSTRACIONES:
Demostraciones de algunas de las formulas anotadas serían: 1. Dx (k ) = lím
k −k 0 = lím = 0 h→0 h h
2. D x ( x) = lím
x+h−x h = lím = 1 h →0 h h
h→0
h →0
68
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3. Dx ( x n ) = lím
(x + h )n − x n
h →0
[x
= lím
n
+ nx n −1h +
h →0
h
= lím
nx n −1h +
h →0
= lím
h →0
[
n (n −1) n − 2 2 x h 2
n (n −1) n − 2 2 x h 2
]
+ ... + nxh n −1 + h n − x n
h + ... + nxh n −1 + h n
h
h/ nx
n −1
+
n (n −1) n − 2 x h + ... + nxh n − 2 2
+ hn−2
h/
[
= lím nx n −1 + h →0 n −1
( )
n (n −1) n − 2 x h + ... + nxh n − 2 2
+ hn−2
]
]
Dx ( x n ) = n x
4.
(
)
(
)
eh − 1 e x+h − e x e xeh − e x e x eh − 1 = lím = lím = e x lím = ex h →0 h →0 h →0 h →0 h h h h
Dx (e x ) = lím
6. ln (x + h ) − ln x = lím Dx (ln x) = lím h →0 h→0 h ⎡ ⎛ h⎞ = ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ ⎢h →0⎝ x⎠ ⎣ 1 Dx (ln x) = x
8.
h⎞ ⎛ x+h⎞ ⎛ 1 ln⎜ ln⎜1 + ⎟ ⎟ h⎞ h x x⎠ ⎛ ⎝ ⎠ = lím ⎝ = lím ln⎜1 + ⎟ h →0 h→0 ⎝ h h x⎠
1
1
h x
⎤x 1 ⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦
[sen x cosh + senh cos x] − sen x sen( x + h) − sen x = lím h →0 h h sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x = lím = lím + lím h →0 h →0 h →0 h h h (cosh − 1) senh = sen x lím + cos x lím = (sen x )(0) + (cos x )(1) h →0 h →0 h h Dx (sen x) = cos x
Dx (sen x) = lím
h→0
La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector. Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0
(FORMULA 1)
Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x
(FORMULA 3)
69
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3 Si f ( x ) = x = ( x )
1
2
entonces f ´( x ) =
1 2
( x)
1 −1 2
=
1
(FORMULA 3)
2 x
Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN:
f ( x ) = x3 Recta tangente
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m(x − x0 ) El punto sería:
x0 = 1
y
y0 = f ( x0 ) = (1) = 1 3
La pendiente sería:
mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3x 2
x =1
=3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)
Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos.
70
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. 2. 3. 4. 5.
d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) dx d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx d ( f ( x ) g ( x )) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) (Cociente) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ g ( x) ⎠ [ g ( x) ]
Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1. d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím h → 0 dx h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h →0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h→0 h = kf ´( x)
2.
[ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] d ( f ( x) + g ( x)) = lím h → 0 dx h f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] [ = lím h →0 h [ f ( x + h) − f ( x)] + lím [ g ( x + h) − g ( x)] = lím h →0 h →0 h h = f ´( x) + g´( x)
La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma.
71
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) =
4 3
x
= 4x−
1
entonces f ´( x ) = 4
3
(
) (
)
d − 13 4 4 − 1 −1 x = 4 − 13 x 3 = − x − 3 dx 3
Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) 2 + 3 entonces x d d d ⎛ 1 ⎞ −2 f ´( x ) = 4 x − ( 2 x −1 ) + ( 3 ) = 4 ⎜ ⎟ + 2x + 0 dx dx dx ⎝2 x ⎠
Si f ( x ) = 4 x −
(
)
Ejemplo 3 (Derivada del producto) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x ) ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
Ejemplo 4 (Derivada del producto)
(
)(
)
Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 +1 entonces: ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥ dx dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ( 2 x + 0 ) ( x3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x4 + 6x2 + 2x
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
d [ f ( x) g ( x)h( x) ] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x )h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si
f ( x ) = e x senx ln x
entonces
⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ 1 ⎛ ⎞ = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟ ⎝x⎠
72
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 6 (Derivada de cociente) Si f ( x ) =
x2 + 2 entonces x3 + 1
⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤ 2 ⎢⎣ dx ( x + 2 ) ⎥⎦ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢⎣ dx ( x + 1) ⎥⎦ ( 2 x ) ( x 3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3 x 2 ) = f ´( x ) = 2 2 ( x3 + 1) ( x3 + 1) =
2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2
(x
3
+ 1)
2
=
− x4 − 6x2 + 2x
(x
3
+ 1)
2
Ejemplo 7 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤
π 2
SOLUCIÓN: La intersección se obtiene igualando que x =
2 sen x = 2 cos x entonces tg x = 1 lo cual quiere decir
π 4
Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 , Si f ( x ) =
2 sen x entonces f ´( x ) = 2 cos x que reemplazando tenemos:
⎛ 2⎞ ⎟ =1 m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Si g ( x ) =
2 cos x entonces g´( x ) = − 2 sen x que reemplazando tenemos:
⎛ 2⎞ ⎟ = −1 m 2 = − 2 sen π4 = − 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.
73
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.3 1.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e
(
b) f ( x ) = x + 2 3
)( x
2
+ 1)
c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) d) f ( x ) =
2.
4.
xe x senx + 1
f)
f ( x) =
1 2 x x e ln x 2
x2 + 1 x senx
f ( x ) = x2 + 2 x + 2
en el
(1,5) .
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
f ( x ) = 3x 2 + 4
y que sea paralela a la recta
3x + y + 2 = 0 .
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto por la ecuación
5.
f ( x) =
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación punto
3.
e)
x
( 2,5)
y que son tangentes a la curva definida
y = 4x − x . 2
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x) = 2 x + 3x − 24 x y 3
2
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 . 6.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = x2 .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8.
Determine f ′(0 ), si f (x ) = x (x − 1)(x − 2 )...(x − 50 )
9.
Si f , g y h son funciones tales que h( x ) =
f ( x) g ( x) , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 , 3 f ( x) − 4 g ( x)
g´(3) = 2 . Determine h´(3) .
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable en " g ( x0 ) " entonces la función compuesta " x0 " y
( f D g )( x ) = f ( g ( x ) )
es diferenciable en
d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0 O lo que es lo mismo
74
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
dy dy du = dx du dx u = g ( x )
Ejemplo 1
(
)
y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 tenemos y = f (u ) = u 20 dy du de donde = 20u 19 y = 2x . du dx dy dy du Por tanto = = (20u 19 )(2 x ) que al reemplazar " u " resulta dx du dx 19 19 dy = 20(x 2 + 2 ) (2 x ) = 40 x (x 2 + 2 ) dx Si
20
(
)
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida.
Ejemplo 2
(
) [ (
(
)
)][
]
Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3
u
Ejemplo 3 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ Si y = ⎢ ⎥ x 2 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢
30
entonces
u
⎡ x 3 +3x 2 + x ⎤ y´= 30 ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ x − 1 ⎦⎥ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ = 30 ⎢ ⎥ ⎢⎣ x 2 − 1 ⎥⎦
29
29
⎡ x 3 +3x 2 + x ⎤ Dx ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ x − 1 ⎦⎥
(
)(
) ( ( )
)
⎡ 3x 3 + 6 x + 1 x 2 − 1 − x 3 +3x 2 + x (2 x ) ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ x 2 −1 ⎣ ⎦
75
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
y = f ( g (h( x) ) haciendo que v = h( x) tenemos y = f ( g (v) ) y ahora haciendo que u = g (v) tenemos dy dy du dv y = f ( u ) ; entonces . = dx du dv dx Para el caso de funciones de la forma
O más simplemente
y´= ⎡⎣ f ´( g (h( x)) ) ⎤⎦ [ g´(h( x) ][ h´( x) ]
Ejemplo 4
( )
Si y = cos 3 x 4
2
4
⎡ ⎤ = ⎢cos N 3 x 2 ⎥ entonces: ⎥ v ⎦ ⎣⎢
( ) u
[ ( )] D [cos(3x )] = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3 x ) = 4[cos(3 x )] [− sen (3x )][6 x ]
y´= 4 cos 3x 2
3
2 3
2
x
2
2
x
2 3
2
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto 1 Si
f (2) = 4 , f ´(4) = 6 , f ´(2) = −2 hallar: d a) b) ( f D f )´(2) [ f (x)]3 en x = 2 dx
SOLUCIÓN: d [ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería: a) dx 3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4)2 (− 2) = −96
4⎤ ⎡ b) ( f D f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio Resuelto 2 Si H =
f Dg y además: h(2) = −1; g (2) = 3; f (3) = 2; h′(2) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; h
determine H ′(2 ) . SOLUCIÓN:
76
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Como H ( x) =
f Dg entonces: h
⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x) H ´(x) = D x ⎢ ⎥= [h( x)]2 ⎣ h( x ) ⎦ [ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x) = [h( x)]2
que en x = 2 sería: 3 ⎤ ⎡ ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ H ´(2) = [h(2)]2 [ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2) = (−1) 2 (5)(−3)(−1) − (2)(−2) = 1 H ´(2) = 19
Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos
D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]
de la igualdad tenemos:
[ f ´(− x)](− 1) =
f ´(x)
− f ´(− x) = f ´(x) f ´(− x) = − f ´(x)
La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las formulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:
Sea u = u (x) , entonces: 1. Dx (u n ) = n(u n−1 )u´ 2. Dx (e u ) = e u u´ 3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´ 4.
1 Dx (ln u ) = u´ u 77
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
1 u´ u ln a D x (sen u ) = (cos u ) u´
5.
D x (log a u ) =
6. 7. D x (cos u ) = (− sen u )u´ 8. Dx (tg u ) = (sec 2 u )u´ 9. Dx (Co tg u ) = (− csc 2 u )u´ 10. D x (sec u ) = (sec u tg u )u´ 11. D x (csc u ) = (− csc u cot gu )u´ Ejercicios Propuestos 3.4 1.
2.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a)
f ( x ) = x2 − 2x + 1
b)
f ( x) =
c)
f ( x) =
e x − e− x e x + e− x
d)
f ( x) =
x2 − 1 x2 + 1
⎛ senx ⎞ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠
e) f ( x ) = ⎜
1
3
f) f ( x ) = ln ⎡⎣ln ( x + 1) ⎤⎦
2x − 3
g) f ( x ) =
1 ⎛ x2 ⎞ 1 ln ⎜ 2 ⎟− 2 4 ⎝ x −4⎠ x −4
Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:
∀f ∈ V [ f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ f ' ( − x ) = f ' ( x )] (La derivada de una función impar es una función par)
( f D g )′ (x ) , si f (u ) = e u
2
y
u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )
3.
Hallar
4.
Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:
g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2) = 3, h′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 . h(a) = a, h´(a) = 4 En x = a determine el valor de: a) (g D f )´ d)
(f
D h D g )´
b) (g D h )´
c) (h D g )´
′ ⎛ f DhD g −hD g ⎞ ⎟⎟ gD f ⎝ ⎠
e) ⎜⎜
5.
Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x )))) en x = 0 .
6.
Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea
g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1) = g ' ( x2 )
7.
Suponga que la función f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) para toda x , y . Pruebe que si f ´(0) existe, entonces
f ´(a ) existe y además f ´(a ) = f ( a ) f ´(0) . 8.
78
Pruebe que si un polinomio p (x ) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) . 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:
Sea
y = f (x )
una función " n " veces derivable, entonces:
La primera derivada es: y´= f ´(x ) =
dy f ( x + h) − f ( x ) = Dx y = lím h→0 dx h
La segunda derivada es: Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) =
d2y f ´(x + h) − f ´(x) = Dx2 y = lím 2 h→0 dx h
La tercera derivada es: Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) =
En fin, La
n − ésima
f ´´(x + h) − f ´´(x) d3y = Dx3 y = lím 3 h →0 dx h
derivada es:
y n = f n ( x) =
f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) dny n D y = = lím x h→0 dx n h
Ejemplo 1 ⎛
1 ⎞ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠
Hallar D xn ⎜
SOLUCIÓN: Aquí tenemos:
y=
1 −1 = (1 − 2 x ) . 1 − 2x
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:
y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21 y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2 ) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2 y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2 )2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3 y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4 Directamente la quinta derivada sería
y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = (n!)(1 − 2 x )
−6
− (n +1)
2n
79
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
( )
Demuestre que D xn x n = n! SOLUCIÓN: Como y = x n entonces: y´= nx n −1 y´´= n(n − 1)x n − 2 y´´´= n(n − 1)(n − 2)x n −3
" y n = n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)" (n − (n − 1))x n − n = n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)" (1) = n!
Ejercicio Propuesto 3.5 1.
Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a.
d4 dx
b.
c.
4
[cos (x )]
5 ⎞ ⎟ − x⎠ 4 ⎝
d 2 ⎡ x sen 2 (πx ) ⎤ ⎢ ⎥ dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦
dn dxn
e. Dx
[xe ]
f.
x
30 ⎡ 1 +
d 35 dx35
x⎤ ⎢1 − x ⎥ ⎦ ⎣
[xsenx]
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢x ⎜ ⎟⎥ dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ ⎣ ⎦
2.
Determine
3.
Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
(
D xn a n x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 4.
n⎛
d. Dx ⎜
2
)
Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 .
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Algunos lugares geométricos presentan su ecuación en forma implícita F ( x, y ) = 0 . Suponga que no se pueda ponerla en forma explícita y = f (x) , que no se pueda despejar y , pero que se desea hallar y´ . Entonces considerando que F ( x, f ( x)) = 0 y tomando en cuenta la regla de la cadena lograríamos lo deseado.
80
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo Sea x + y = 1 hallar y´ SOLUCIÓN: 2
2
PRIMER MÉTODO. Como es posible despejar y , tenemos y = ± 1 − x 2
(
y´= ± 12 1 − x 2 Entonces:
=−
)
− 12
x ± 1− x
(− 2 x )
=−
2
x y
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x )] = 1 y tomar derivada a 2
ambos de la igualdad:
(
2
)
Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1) 2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0
que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0 despajando y´ resulta: y´= −
x x =− y ± 1− x 2
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1 Sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior.
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio Resuelto 1 Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos y resolviendo tenemos:
(
) ( ) + (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´ Dx 4 x 3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3
12 x
2
2
2
12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´
Despejando y´ resulta: y´=
12 x 2 + 7 y 2 6 y 2 − 14 xy
Ejercicio Resuelto 2
( )
Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1 SOLUCIÓN:
81
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Obteniendo derivada a ambos , tenemos: Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1
(
1
1+
( )
)
(
)
[2 xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x 2
x2 y
1+
2 y´ + + 6 yy´= 4 x x y
Despejando y´ resulta: y´=
4x − 1 − 6y +
2 x
1 y
Ejercicio Resuelto 3
( )
Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos , tenemos:
( ( ))
(
Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y
( )[ ] sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+
)
− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x
− y2
2
2
x+ y +
[ (x + y )
− 12
1 2
(1 + y´)]
x xy´ + 2 x+ y 2 x+ y
Despejando y´ resulta:
( )
− y 2 sen xy 2 − x + y − y´= 2y +
x 2 x+ y
( )
x + 2 xy sen xy 2 2 x+ y
Ejercicio Resuelto 4 Determinar
la
ecuación
de
la
x cos y = sen( x + y ) en P(0,0).
recta
normal
a
la
curva
cuya
ecuación
es
SOLUCIÓN: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −
1 m tg
D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))
Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta: 1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´] En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 .
cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´]
Luego despejando y´ resulta : 1 + 0 = 1 + y´
.
y´= 0 Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con
1 =∞ 0 1 y − 0 = − (x − 0 ) Y su ecuación será: 0 x=0
pendiente m normal = −
82
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 5 Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre y' ' en (2,1). SOLUCIÓN: Primero se encuentra y ' : 2
3
(
)
D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2) 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´= 0 2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0
En ( 2,1) sería:
y´= 2
Ahora encontramos
y' ' :
(
)
D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0 )
(
)
2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0 2
2
2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0 2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0 En ( 2,1) sería: y´´= 15
Ejercicios Propuestos 3.6 1.
2.
Encontrar
dy para: dx 2
2
a.
x 3 + y 3 =1
b.
ln ( xy ) + y = 1
c.
e xy + ln y = 0
d. sec y + tan y = xy e. ln ( xy ) +
y =5
2 3 2 2 Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4 x y 2 x + 3 y = 14 en el punto
(1,2 ) son perpendiculares entre sí.
3.
3 3 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x + 3xy + y = 5 en el punto
4.
2 23 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x + y
5.
(1,1)
(
)
[2
]
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 en el punto (1,1)
6.
3
3
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a la recta x + y + 6 = 0
7.
2 2 2 2 Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1) (4 − y ) en
8.
Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos (2 y ) = 3 sen (x + y ) en el
9.
2 3 Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente
el punto (0,−2 ) . punto (0,0 ) .
a f sea horizontal. 10. Encuentre y ' ' si
x3 − 4 y 2 + 3 = 0
83
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
11. Calcula:
d2y dx
2
para
2
x
3
+y
2
3
=1
12. Para la función y = f ( x ) dada en forma implícita por la ecuación
x − tg y + e
y − π4
= 2 determine
d2y dx 2
( )
en el punto 2, π . 4
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma ⎧ x = x(t ) C:⎨ ⎩ y = y (t ) dy El objetivo será hallar directamente . dx Primero conozcamos las ecuaciones de ciertas curvas.
Recta
Elipse
84
Circunferencia
Cicloide
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Hipocicloide (astroide)
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas.
Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son funciones continuamente diferenciables, y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a " y " como una función diferenciable de " x " y su derivada es: dy dy dy dt = = dt dx dx dt dx dt Ejemplo 1 Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x + y = 1 , la derivada también puede ser hallada 2
2
dy
⎧ x = cos t x dy cos t = dt = =− partiendo de su ecuación paramétrica C : ⎨ , es decir: dx t y dx − sen y = sen t ⎩
dt Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
85
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t
Sea ⎨
⎩⎪ y = e sent SOLUCIÓN: t
hallar
dy dx
dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de " t ", es decir que Segunda derivada:
d2y dx 2
dy = y´(t ) dx
; por tanto:
d [y´(t )] = d [y´(t )] dt = = dx dt dx
d [ y´´(t )] dt d = Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] = dx dt dx dx d3y
d [ y´(t )] dt = y´´(t ) dx dt d [ y´´(t )] dt = y´´´(t ) dx dt
Y así sucesivamente. Ejemplo 3 Calcular
dny dx n
⎧⎪ x = ln t para: ⎨ ⎪⎩ y = t m ; m ∈ R
SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos: dy mt m −1 mt mt −1 dy = dt = = = mt m Primera derivada: dx 1 dx t −1 dt t
d [ y´(t )] m 2 t m −1 = dt = = m 2t m Segunda derivada: −1 2 dx t dx dt d [ y´´(t )] d3y m 3 t m −1 dt = = = m 3t m Tercera derivada: −1 3 dx t dx dt d2y
Directamente, la cuarta derivada sería:
d4y dx
n
Por tanto:
86
d y dx
n
= mnt m
4
= m 4t m
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.7 1. Hallar
dy para: dx a.
⎧ x = a (cos t + tsent ) ⎨ ⎩ y = a (sent − t cos t )
b.
⎧ 2 ⎪⎪ x = t + 1 t −1 ⎨ ⎪y = 2 ⎪⎩ t +1
⎧ x = a(t − sen t ) π en t = 2 ⎩ y = a(1 − cos t )
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = 2t − t 2
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2)
⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t en t = 0 ⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = t 2
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1
; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
d2y d3y ⎧y = t . Calcule a) y b) ⎩ x = ln(cos t ) dx 2 dx 3
6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.
⎧ x = r cos( θ ) ⎩ y = r sen (θ )
Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨
⎧ x = f (θ ) cos( θ ) ⎩ y = f (θ ) sen (θ )
Al reemplazar queda ⎨
dy dy f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ = dθ = Entonces dx dx f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ dθ Para encontrar la ecuación de la recta tangente:
87
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:
y − y 0 = m ( x − x0 )
Entonces:
x0 = f (θ 0 )cosθ 0 y0 = f (θ 0 )senθ 0
dy dy m= = dθ dx dx dθ
=
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
θ =θ 0
Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 = SOLUCIÓN: Observa la gráfica:
88
π 4
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π )
En este caso
[
] 4
4
= 4 sen 3 π cos π =4
2 2
y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )
4
y
4
2 2
[
=4
x0 = 2
] 4
4
4
= 4 sen 3 π sen π 2 2
4
2 2
y0 = 2
Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ Entonces: m= =
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4 [12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4
⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ −6+2 = −6−2 1 m= 2
⎤ 2 ⎡ + ⎢4 2 ⎥ 2 2 ⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎡ 2⎤ 2 − ⎢4 ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ 2
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − y0 = m(x − x0 ) y−2=
1 2
( x − 2)
Ejercicios propuestos 3.8 en θ 0 = π 4 r = 4sen 3θ en θ 0 = π 6
1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r =
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
en θ 0 = π 6 r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π 3 2 sen 3θ
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.
Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa.
89
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.
Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto correspondiente " y ", y 1 ⎡ d −1 ⎤ ( ) f y = ⎢⎣ dx ⎥⎦ f ´(x) Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de −1 la recta tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan de la forma la inversa f
−1
,
m2 =
1 m1
. Y que se puede encontrar la derivada de
trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir,
sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f
−1
.
Ejemplo 1 ⎡d 5 Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢ f ⎣ dx SOLUCIÓN: En este caso "4" es rango para
⎡d
reemplazarlo en: ⎢ f ⎣ dx
90
−1 ⎤
f
por tanto habrá que encontrar el correspondiente
1 ⎥ ( 4) = f ´(x ) ⎦
−1 ⎤
⎥ (4 ) ⎦
x
para
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Entonces, teniendo 4 = x 5 + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.
⎡d
f Por lo tanto, ⎢ ⎣ dx
−1 ⎤
1 1 1 = ⎥ (4) = f ´(1) = 4 ⎦ 5(1) + 2 7
No olvide que este resultado significa que la recta tangente a
m = 7 y por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1) En cambio, la recta tangente a ecuación: y − 1 =
f
−1
f
en el punto (1,4 ) tiene pendiente
en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =
1 y por 7
1 (x − 4 ) 7
Ejemplo 2 Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN: 1 ⎡ d −1 ⎤ De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢ f ⎥ (x ) = dx f ´ (y) ⎣ ⎦ x
Como f ( x) = y = e
x
tenemos que f ´(x) = e
x
y f ´( y ) = e
y
y además al cambiar las variable
resulta x = e , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x y
⎡d f ⎣ dx
Bien, reemplazando ⎢
−1 ⎤
1 1 ⎥ ( x) = f ´( y ) = x ⎦
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 1 D x (arcsen x ) = ; −1 < x < 1 1− x2 1 D x (arccos x ) = − ; −1 < x < 1 1− x2 1 D x (arctg x ) = 1+ x2 1 D x (arc sec x ) = ; x >1 x x2 −1 Demostración: Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea f ( x ) = y = sen x hallar D x f
[
−1
]
( x) = D x [arcsen x ]
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
91
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
[
Dx f
−1
]
( x) = D x [arcsenx] =
1 f ´( y )
Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la variable en la función dada). Por trigonometría, decir que seny =
Por lo tanto, D x [arcsenx] =
x significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura) 1
1 1 = L.Q.Q.D. cos y 1 − x2
Las formulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u (x) D x (arcsen u ) = D x (arccos u ) = −
1 1− u2 1
u´ ;−1 < u < 1
1− u2
u´ ;−1 < u < 1
D x (arctg u ) =
1 u´ 1+ u2 1 D x (arc sec u ) = u´ ; u > 1 u u2 −1
Ejemplo ⎛ y⎞ Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln ⎝x⎠ SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos:
92
x2 + y2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
[ (
)] (
⎡ ⎛ y ⎞⎤ Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2 2 ⎝ x ⎠⎦ ⎣ 1 1 ⎛ y⎞ 1 D ⎜ ⎟= Dx x 2 + y 2 2 x⎝ x ⎠ 2 2 x + y2 y⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠
)
⎡ y´x − y (1) ⎤ 1 [2 x + 2 yy´] ⎢ ⎥= 2 2 x2 ⎦ 2x +y
1
(
y2 1+ 2 ⎣ x
)
⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´) 1 ⎢ ⎥= x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2
(
x
)
2
x 2 (xy´− y )
x + yy´ = x2 x2 + y2 x2 + y2 xy´− y = x + yy´
(
)
xy´− yy´= x + y x+ y y´= x− y
Ejercicios Propuestos 3.9 1.
⎛ d −1 ⎞ Si f (x ) = x 7 + 3 x 3 + 2 hallar ⎜ f ⎟(6 )
2.
Si f (x ) = x − 3 x + 1 para x > 3
3.
⎛ dg ⎞ π , si g es la función inversa de Hallar ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ 4
4.
Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la
⎝ dx
2
2
⎠
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(3) . ⎝ dx ⎠
; hallar ⎜
()
f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(4 ) . ⎝ dx ⎠
recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜ 5.
6.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x ) = x 3 + 2 x − 3 en el punto
(0, f
−1
( 0)
)
Determine la ecuación de la recta tangente a la función
y = f −1( x) en x = −2 donde
f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR 7.
La ecuación de la recta normal a la inversa de f en x = 2a si se conoce que f ´(a ) = f ( a ) = 2a .
8.
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos (xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible Hallar ⎜ ⎝ dx ⎠
(y =
f (x ) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0 dy , para : 9. Calcular dx a.
⎤ ⎡ y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥ ⎣ ⎦
⎛ 4senx ⎞ c. y = arctg⎜ ⎟ ⎝ 3 + 5 cos x ⎠
b.
⎛x⎞ y = xarctg⎜ ⎟ − ln x 2 + 4 ⎝2⎠
d.
(
)
(
3 y = e arctg x + senx
)
93
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x) g ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente Ejemplo 1 Hallar
dy para y = x x dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
ln y = ln x x ln y = x ln x Ahora derivando implícitamente, resulta:
Dx (ln y ) = Dx (x ln x ) 1 ⎛1⎞ y´= (1) ln x + x⎜ ⎟ y ⎝x⎠ y´= y[ln x + 1] y´= x x [ln x + 1]
Ejemplo 2 Hallar
dy para y = [sen 2 x ]arctg x dx
SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
(
)
ln y = ln [sen 2 x ]arctg x ln y = arctg x ln (sen 2 x )
Ahora derivando implícitamente, resulta: Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )] 1 1 ⎡ 1 y´= (cos 2 x )(2)⎤⎥ ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢ y 1 + x2 ⎣ sen 2 x ⎦
⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤ y´= y ⎢ + ⎥ sen 2 x ⎣ 1 + x2 ⎦ ( ) x x cos 2 x ⎤ ln sen 2 2 arctg ⎡ y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢ + ⎥ 2 sen 2 x ⎣ 1+ x ⎦
94
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3 Hallar
dy dx
para
y = xx
x
SOLUCIÓN:
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos:
( )
ln y = ln x x
x
ln y = x x ln x Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
(
ln(ln y ) = ln x x ln x
)
ln(ln y ) = ln x x + ln(ln x) ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x) Y ahora sí, derivamos implícitamente:
D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)] 1 1 1 1 1 y´= (1) ln x + x + ln y y x ln x x 1 ⎤ ⎡ y´= y ln y ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣ x x ⎡ 1 ⎤ y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 + ln x x ⎥⎦ ⎣ x 1 ⎤ ⎡ y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣
Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica Ejemplo Hallar
dy para y = dx
x 2 + 2 3 1 + arctg x 4
1 + ex
SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤ ⎥ ln[ y ] = ln ⎢ 4 x ⎥ ⎢ e 1 + ⎣ ⎦
(
)
(
ln y = 12 ln x 2 + 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x Ahora derivando implícitamente, resulta:
( (
)
(
Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x 2
3
4
)
)
( )
⎛ 1 1 1 y´= (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 y 2 x2 + 2 3 1 + arctgx ⎝ 1 + x
⎞ 1 1 ⎟− ex ⎟ 4 1 + ex ⎠
⎡1 1 ⎛ y´= y ⎢ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 2 arctgx 2 3 1 + ⎝1+ x ⎣⎢ x + 2
⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠
( )
Finalmente, reemplazando resulta:
95
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1 ⎛ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎢ 2 4 2 3 1 arctgx + x 2 x + ⎢ ⎝ 1+ x ⎣ 1+ e
y´=
( )
⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠
Ejercicios Propuestos 3.10 1. Calcular
a.
b.
c.
y=
dy , para : dx
sec 5 x
2.
tgx + 1
e.
y = xnnx
f.
⎡ arcsen sen 2 x ⎤ y=⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ arccos cos x ⎥⎦
g.
y = arcsen 1 + e 2 x
csc x 3 − 4 4
y = x 3 cos 4 x
3
1− x2
(4x − x )
3 5
x −1
y= 3
d.
3
2
(x + 2) (x + 3) 2
y = x3
arcsen(e x )
3
(
(
) )
arctg 2 x
))
sec x
i.
y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x)) (x + y ) y = x 2 + y 2
j.
y ( x) = 1 + x 2
h.
x
( (
(
)x
( x )ln(x+1) en el
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e punto (0,1)
y x 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) . 4. Determine
3.7
d2y dx 2
(1,2) , si existe, para
x y + xy = 3
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
Existen funciones especiales que se definen a partir de la función exponencial. 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es Por tanto su grafica sería:
96
e x − e− x y = f ( x) = senhx = 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es: Por tanto su grafica sería:
e x + e −x y = f ( x) = cosh x = 2
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es:
senhx e x − e − x = y = f ( x) = tghx = cosh x e x + e − x
97
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
cosh 2 x − senh 2 x = 1
Se puede demostrar que
3.7.3 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS. D x (senh x ) = cosh x
D x (cosh x ) = senh x D x (tgh x ) = sec h 2 x
D x (c tgh x ) = − csc h 2 x D x (sec hx ) = − sec hx tgh x D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x ¡Demuéstrelas!
Misceláneos 1.
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a)
⎛ d( f D g)⎞ Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜ ⎟(2) = 4 ⎝ dx ⎠
b)
La función f ( x ) = sen x no es derivable en x = 0
c)
Si
d)
3 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .
e)
f y g son derivables en x = c y f ´(c ) = g (c ) = 0 y h( x ) = f ( x ) g ( x ) entonces h´(c ) = 0 .
La expresión lim x→
π 2
98
sen x − 1 x− π 2
es la derivada de f ( x ) = sen x cuando x = π . 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f)
3 La función f ( x) = 6 x + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
g)
Si y ( x) = x
h)
Si g ( x) = f e
i)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a , b ] y f ( a ) = f (b ) entonces en algún punto
j)
1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟( x ) = Si f es una función invertible entonces ⎜ . f ´(x) ⎝ dx ⎠
k)
Si
x 1⎞ ⎛ entonces y´(x ) = x x x x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟
xx
⎝
x⎠
( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12
del intervalo abierto (a , b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
f ,
y
g
h
( f D g D h)´(2) = 4 ,
son funciones tales que
g (1) = g´(1) = −1 y
h( 2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0 l)
Si
es una función inversible y derivable tal que
f
f ´(1) = 4 y
f (1) = −2 entonces
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(−2) = 1 . ⎜ ⎝ dx ⎠ m) Si h ( x ) = f (1 + f (1 + f ( x )) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3 entonces h´(1) = −30
⎧2 x − 1; x ≥ 1 ⎪ n) La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x) = ⎨ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable ⎪ 3x ; x < 0 ⎩ en todo su dominio.
;x ≤ 0 ⎧ g ( x) ⎪⎪ 2 o) Existen funciones g ( x ) y h ( x ) tales que la función f ( x) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es ⎪ h( x ) ;x ≥1 ⎪⎩ derivable en todo R .
f ( x) = x 2 + ax + b y g ( x) = x3 + cx . Entonces no existen valores a, b, c ∈ IR , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto ( 2,2) .
p)
Si tenemos las curvas
q)
= y x define una función y = f ( x ) entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto (1,1) es y = x − 1 .
r)
Si g es la función inversa de f ( x ) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 . 5
s)
Si f es una función de variable real tal que f ( x) = ⎨ ⎪ 2
t)
Si la ecuación x
y
⎧⎪ 3x
;x ≤1
⎩x + 2 ; x > 1
entonces f ´(1) existe.
f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ( f D g )´(2) = 4 .
u)
Si f (c ) = g (c ) = 0 y h( x ) = f ( x ) g ( x ) entonces h´(c) = 0
v)
Si x
C es 2
a2
+
y
2
b2
un
lugar
geométrico
en
el
plano
cuyos
puntos
satisfacen
la
ecuación:
= 1 ; a, b ∈ R − {0} , entonces la recta tangente a C en cualquier punto P(x0 , y0 ) ∈ C ,
tiene por ecuación
x0 y a2
y y + 0 =1 b2
w) Si f y g son funciones de R en R tales que f ´= g´ entonces f = g
99
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
2.
dy para dx
Encuentre
a.
x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y
b.
ln x y ( x) = x 2 + 1
c.
y ( x) = sen ln cos x + e
( (
d.
x y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 − ⎝ y⎠ y2
2
2
)
(
2
x
y ( x) = xe + e x
f.
y ( x) = x cos x + x
3.
y ( x) = ln
Hallar
)
2 + 3x 2 − 3x
[
3 1 + arctg x
y ( x) =
i.
y ( x) = (sen3 x )arctg (x
j.
2 y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x
k.
ln (x + y ) = arctg⎛⎜ x ⎞⎟ ⎝ y⎠
l.
y ( x) = e tg x tg e x
m.
(x + y ) y = x 2
x
e.
g.
3x
x2 + 2
h.
4
1 + ex 2
)
( )
]
d [ f ( x)]2 + 1 dx
⎧ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎪ x sen ⎜⎝ x 4 ⎟⎠ ⎪ 4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b ⎪ 2 ⎪ cx + d ⎩ Sea
continua
[ f ´(−2)].[ f (
5.
1 2
en
x=0
)]− f ´(π + 1)
y
derivable
en
;x < 0 ;0 ≤ x ≤ 1 ;x > 1
x = 1 . Además determine, de ser posible,
⎧ x = 2 sec t ⎩ y = 2tant
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en t = −
π 6
(x + 1)2 + 3
determine el valor de (g D f )´(1) .
6.
2 Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =
7.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = cos t en el punto (0,0) . ⎨ ⎩ y = sen t cos t 8.
Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones
(
)
2 diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x) = h x g ( x) y se conoce que
g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h( 2) = −1 9.
[ ]
Determine los puntos del intervalo [−1,2] donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable.
1 ⎛ d −1 ⎞ . Considere que f ⎟(1) = 2 k + 5k ⎝ dx ⎠
10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜
f ( 4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x .
100
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
⎧ x = arccos t , t ∈ (−1,1) determine ⎩ y = arcsen t − t
11. Para la función y = f ( x ) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨
d3y dx3
.
⎧⎪ x = 1 + t 2 d3y , t > 0 determine en el ⎪⎩ y = t ln t dx3
12. Para la función y = f ( x ) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ punto ( 2,0)
2 2 13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x + ax + b y y = cx − x tienen una recta tangente común en el punto (1,0) .
(
)
y 14. La ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto (1,0) . x
15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1, 2) . Donde C está definida por las
⎧x = ⎪ ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪y = ⎩ 16. Hallar
17. Hallar
2t 2 t +1 , t ∈ IR − {−1,0} 3−t t
d2y
⎧⎪ x = et cos t
dx
⎪⎩ y = et sen t
para ⎨ 2
, t ∈ IR
dy 2 en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 . dx
18. Sea y = f ( x ) función tal que h = f
−1
. Sea y ≥ 0 si h( y ) =
y 2 − calcular f ´(1) y +1 y + 2
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas 3 3 ⎧⎪ x = a cos3 t ⎛ ⎛ ⎛ 2⎞ ⎞ 2⎞ ; t ∈ [0,2π] ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜ ⎟ , a⎜ 2 ⎟ ⎟⎟ . ⎨ 2 ⎜ 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪
⎩ y = a sen t
⎝
⎠
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f
⎧⎪sen x + a ; x ≥ 0 . ⎪⎩ be x + c ; x < 0
es una función tal que f ( x) = ⎨
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = (1 + cos t )cos t en t = π . ⎨ 2 ⎩ y = (1 + cos t )sen t
( 2 )+ 3x2 = 4 ; en el
22. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy punto (1,0) .
23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .
⎧⎪ x = 2t − t 2
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en el punto (1,2 ) .
⎪⎩ y = 3t − t 3
25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x[ f (cos x ) ] es una función Par. 26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola definida por y = 2 x 2 − 5 x + 1 .
101
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
27. Hallar
d 50 ⎡1 − x ⎤ ⎢ ⎥ dx50 ⎣1 + x ⎦
28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧⎪ x = e 2t − 1 cuando t = 0 ⎨ ⎪⎩ y = e − 2t + 2 29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función
f cuya regla de correspondencia es
f ( x ) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la 2
parábola. 30. Si f es una función de R en R inversible y con regla de correspondencia f ( x ) = x 3 + 3 x − 10
⎡ d −1 ⎤ entonces determine ⎢ f ⎥ (4 ) ⎣ dx ⎦
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