Derivadas: X X F X X F 1i632

Derivadas

Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x 2

df 3 dx

df  2 x dx

x3 f ( x)  3

2x 1 f ( x)  5

df  x2 dx

df 2  dx 5

Sea la función:

f ( x )  cx n La derivada de esta función es: df  dx



n 1

df  cnx n 1 dx

Sea la función:

f ( x )  c x1 La derivada de esta función es:

df 1 1   dx df 0 cx  dx df c dx

Derivadas Sea la función:

f ( x)  c La derivada de esta función es:

df 0 dx

Ejemplos de derivadas Sea la función:

f ( x) 5x 3 La derivada de esta función es: df  dx



df  15x 2 dx

3 1

Ejemplos de derivadas Sea la función:

f ( x )   3x 4 La derivada de esta función es: df  dx



df   12x 3 dx

4 1

Ejemplos de derivadas Sea la función: 2 3

1 5

x f(x) La derivada de esta función es: 

1 1 df 5   dx 4 df 2 5  x 15 dx

Derivada de una suma y diferencia de funciones Sea la función:

f ( x )  g ( x )  h( x ) La derivada de la suma o diferencia es:

df dg dh   dx dx dx

Ejercicios Sean las funciones:

f ( x)  5 x 2  7 x  6 df  10 x  7 dx

f ( x)  4 x 6  3x5  10 x 2  5x  16 df  24 x 5  15 x 4  20 x  5 dx

Ejercicios Deriva las siguientes funciones: 1 2

3 4 f ( x)  8 x  x 4

df  1  2  (8)  x dx  2

 3   (4) x 5  4 df 4 3   5 dx x x 1

f ( x)  3x 4  10 x

df 12 5  5 dx x x

Derivada de un producto de funciones Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  g( x )h( x )

df dg dh  h( x )  g ( x ) dx dx dx

Ejercicio Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x)  (8x 2  5x)(13x 2  4) Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4 y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

df dg dh  h( x )  g dx dx dx

df  (16 x  5)(13x 2  4)  (8 x 2  5 x)( 26 x) dx 3 2 3 2  208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x  416 x 3  195 x 2  64 x  20

Ejercicios Resuelve el producto de funciones:

f ( x)  (4  x)(3  x 2 )

df 2  (1)(3  x )  (4  x)( 2 x) dx  3  x 2  8 x  2 x 2  3 x  8 x  3 2

Ejercicios Deriva este otro producto de funciones:

f ( x)  (3x 2  x 3 )( x 1  2 x 2 )

df  (6 x  3x  4 )(  x 1  2 x 2 )  (3x 2  x 3 )( x  2  4 x) dx  6  12 x 3  3x 5  6 x 2  3  12 x 3  x 5  4 x 2 2

5

 24 x  2 x  4 x  3 3

Derivada de un producto de varios factores Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x )  e( x ) g ( x ) h ( x ) su derivada será:

df de dg dh  g ( x ) h ( x )  e( x ) h ( x )  e( x ) g ( x ) dx dx dx dx

Ejercicio Derivemos la siguiente expresión:

f ( x)  (3  x)( 2  x)(5  x)

df  (1)( 2  x)(5  x)  (3  x)( 1)(5  x)  (3  x)( 2  x)( 1) dx  (2  x)(5  x)  (3  x)(5  x)  (3  x)( 2  x)

 (5  x)(2  x  3  x)  (6  3x  2 x  x 2 )  (5  x)(5  2 x)  (6  5x  x 2 )  25  10 x  5 x  2 x 2  6  5 x  x 2  3x 2  20 x  31

Derivadas Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

g( x ) f(x) h( x )

dg dh h( x )  g df dx  dx dx h( x)2

Ejercicio Consideremos el siguiente cociente de funciones

4x  5 f ( x)  3x  2 Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones

dg dh h( x )  g df dx  dx dx h( x)2 tenemos que

df (4)(3x  2)  (4 x  5)(3)  dx 3x  22

Ejercicio df 12 x  8  (12 x  15)  dx 3x  22 7  2 3x  2 Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.

Ejercicio Sea

8 x 2  6 x  11 f ( x)  x 1

df (16 x  6)( x  1)  (8x 2  6 x  11)(1)  dx ( x  1) 2 16 x 2  16 x  6 x  1  8x 2  6 x  11  ( x  1) 2

8 x 2  16 x  10  ( x  1) 2

Ejercicio Sea

x3  1 f ( x)  3 x 1

df 3x 2 ( x3  1)  ( x3  1)(3x 2 )  dx ( x3  1) 2

3x 5  3x 2  3x 5  3x 2  ( x 3  1) 2 6x2  3 2 ( x 1)

Derivadas Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

f ( x)  h( x)

n

df n 1  dh   nh( x)   dx  dx 

Ejercicios Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x)  (5 x  4) 2 Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena

tenemos que

df n 1  dh   nh( x)   dx  dx  df  2(5 x  4)(5) dx  10(5 x  4)

 50x  40

Ejercicios Sea

f ( x)  7 x 2  6x  3

La función puede escribirse también de la siguiente forma:





f ( x)  7 x  6 x  3 y

2





1 2

1  df 1 2  7 x  6 x  3 2 14 x  6 dx 2 7x  3  1 2 7 x  6 x  32



7x  3 7x2  6x  3

Ejercicios Sea

df 1  3x 2  6     3 2  dx 2  ( x  6 x) 

3x 2  6 f ( x)  ( x 3  6 x) 2 

1 2



 (6 x)( x 3  6 x) 2  (3x 2  6) 2( x 3  6 x)(3x 2  6)  3 2 2 ( x  6 x) 





1 2





1  ( x 3  6 x) 2   ( x 3  6 x) 6 x( x 3  6 x)  (3x 2  6) 2       2 2  3x  6   ( x 3  6 x) 4  1 ( x 3  6 x) 2  2 3x 2  6





 ( x 3  6 x) 6 x 4  36 x 2  (9 x 4  36 x 2  36)    3 4 ( x  6 x )  





Ejercicios 1 ( x 3  6 x)  ( x 3  6 x)(6 x 4  36 x 2  9 x 4  36 x 2  36)    2 3x 2  6  ( x 3  6 x) 4   ( x 3  6 x) 2 (3x 4  36)  1 1   2 3x 2  6  ( x 3  6 x) 4    3x 4  36  1 1  2 3x 2  6  ( x 3  6 x) 2  1 3 x 4  36  2 ( x 3  6 x) 2 3x 2  6