Detyra Nga Matricat Dhe Determinatat - Ushtrime 3j41m

University for Business and Technology

MATEMATIKA 1 (USHTRIME- MATRICAT DHE DETERMINANTAT (PËRCAKTORET))

Mësimdhënësit Dr. Azir Jusufi

Prishtinë 2012

Matricat dhe determinantat 1. A janë të barabarta matricat

 2 log 10 sin 90o  A=  2 2  −1 cos x − sin x 4  o  2 sin 30 1  B=  o cos180 cos 2 x 4 

Zgjidhje.

1   2 log 10 sin 90o   2 1 A= 2 = 2 2 − − 1 cos x sin x 4    −1 cos 2 x 4  1   o 1  2 sin 30 1   2 B= 2 = o cos180 cos 2 x 4   −1 cos 2 x 4   

Dmth A=B

2. Janë dhënë matricatë

 3 −2 5  A =  4 0 1    −7 6 5   3 x 3

 −1 5 2  B=  −3 2 2     −5 0 4   3 x 3

 4 −1 C = 2 5     −1 3   3 x 2

1 3 5 D=    3 5 1 2 x 3

Njehsoni a) A ± B, b) C+D,

c) A ⋅ B,

d) B ⋅ C,

e) B ⋅ D

Zgjidhje

a ) A ± B,  3 −2 5   −1 5 2   3 + (−1) −2 + 5 5 + 2    A + B = 4 0 1 +  −3 2 0  =  4 + (−3) 0 + 2 1 + 0  =        −7 6 5   −5 0 4   −7 + ( −5) 6 + 0 5 + 4         2 3 7 =  1 2 1   −12 6 9   

 3 −2 5   −1 5 2   3 − (−1) −2 − 5 5 − 2  A - B =  4 0 1  -  −3 2 0  =  4 − (−3) 0 − 2 1 − 0  =        −7 6 5   −5 0 4   −7 − (−5) 6 − 0 5 − 4         4 −7 3  =  7 −2 1     −2 6 1   

b) C+D,

Nuk egziston

c) A ⋅ B,  3 −2 5   −1 5 2  A ⋅ B =  4 0 1  ⋅  −3 2 0  =  −7 6 5   −5 0 4       3 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ (−3) + 5 ⋅ (−5) 3 ⋅ 5 + (−2) ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 3 ⋅ 2 + (−2) ⋅ 0 + 5 ⋅ 4  =  4 ⋅ (−1) + 0 ⋅ (−3) + 1 ⋅ (−5) 4 ⋅ 5 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 0 4 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 4  =  (−7) ⋅ (−1) + 6 ⋅ (−3) + 5 ⋅ (−5) (−7) ⋅ 5 + 6 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 (−7) ⋅ 2 + 6 ⋅ 0 + 5 ⋅ 4    15 + (−4) + 0 6 + 0 + 20   −22 11 26   −3 + 6 + (−25) =  −4 + 0 + (−5) 20 + 0 + 0 8 + 0 + 4  =  −9 20 12   7 + (−18) + (−25) (−35) + 12 + 0 (−14) + 0 + 20   −36 −23 6     

d) B ⋅ C,  −1 5 2   4 −1  −1 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( −1) −1 ⋅ ( −1) + 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3  B ⋅ C =  −3 2 0  ⋅  2 5  =  −3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ (−1) −3 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 5 + 0 ⋅ 3  =        −5 0 4   −1 3   −5 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 4 ⋅ (−1) −5 ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 5 + 4 ⋅ 3         −4 + 10 + ( −2) 1 + 25 + 6   4 32   −12 + 4 + 0  =  −8 13  3 + 10 + 0      −20 + 0 + ( −4) 5 + 0 + 12   −24 17     

e) B ⋅ D

Nuk egziston

3. Janë dhënë matricatë

1 2 1  A = 2 1 2   1 2 3  Gjeni

dhe

 4 1 1 B= -4 2 0     1 2 1 

A⋅ B − B ⋅ A

Zgjidhje 1 2 1   4 1 1  1 ⋅ 4 + 2 ⋅ ( −4 ) + 1 ⋅1 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 1 ⋅1    A ⋅ B =  2 1 2  ⋅ -4 2 0  =  2 ⋅ 4 + 1 ⋅ ( −4 ) + 2 ⋅1 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 2 ⋅1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 =     1 2 3   1 2 1  1 ⋅ 4 + 2 ⋅ ( −4 ) + 3 ⋅1 1 ⋅1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅1  4 + ( −8 ) + 1 1 + 4 + 2 1 + 0 + 1   −3 7 2    = 8 + ( −4 ) + 2 2 + 2 + 4 2 + 0 + 2  =  6 8 4     4 + ( −8 ) + 3 1 + 4 + 6 1 + 0 + 3  −  1 11 4 

4 ⋅ 2 + 1 ⋅1 + 1 ⋅ 2 4 ⋅1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3   4 1 1  1 2 1   4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1      B ⋅ A = -4 2 0 ⋅ 2 1 2 = −4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅1 −4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 −4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 =       1 ⋅ 2 + 2 ⋅1 + 1 ⋅ 2 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3   1 2 1  1 2 3   1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 8 +1+ 2 4 + 2 + 3  7 11 9   4 + 2 +1  = −4 + 4 + 0 −8 + 2 + 0 −4 + 4 + 0  =  0 −6 0      2 + 2 + 2 1 + 4 + 3   6 6 8   1 + 4 + 1

−3 A⋅B − B ⋅A =  6   − 1 −10  6   − 7

−4 14 5

7 8 11

2  7 4 − 0   4   6

11 −6 6

9 −3 − 7  0 =  6−0   8   − 1 − 6

−7  4  =  − 4 

4. Janë dhënë matricatë

 1 2 −1 M = 0 1 3     x 2 4 

dhe

 x y 5 N=  9 x x     x 8 x 

Gjeni x dhe y, në menyrë që të vlenë vetia komutative

M ⋅N = N ⋅M Zgjidhje

7 − 11 8 − (−6) 11 − 6

2 − 9 4 − 0 =  4 − 8 

 1 2 −1  x y 5  1 ⋅ x +2 ⋅ 9+(-1) ⋅ x 1 ⋅ y +2 ⋅ x +(-1) ⋅ 8 1 ⋅ 5+2 ⋅ x +(-1) ⋅ x  M ⋅ N =  0 1 3  ⋅  9 x x  =  0 ⋅ x +1 ⋅ 9+3 ⋅ x 0 ⋅ y +1 ⋅ x +3 ⋅ 8 0 ⋅ 5+1 ⋅ x +3 ⋅ x  =       x ⋅ y +2 ⋅ x +4 ⋅ 8 x ⋅ 5+2 ⋅ x +4 ⋅ x   x 2 4   x 8 x   x ⋅ x +2 ⋅ 9+4 ⋅ x  x +18+(-x) =  0+9+3x   x 2 +18+4x

y +2x +(-8) 5+2x +(-x)   18 0+x +24 0+x +3x  =  9+3x   xy +2x +32 5 x +2x +4x   x 2 +18+4x

y +2x-8 5+x  x +24 4x   xy +2x +32 11x 

 x y 5   1 2 −1  x ⋅1+y ⋅ 0+5 ⋅ x x ⋅ 2+y ⋅1+5 ⋅ 2 x ⋅ ( −1) +y ⋅ 3+5 ⋅ 4    N ⋅ M =  9 x x  ⋅  0 1 3  =  9 ⋅ 1+x ⋅ 0+x ⋅ x 9 ⋅ 2+x ⋅1+x ⋅ 2 9 ⋅ ( −1) +x ⋅ 3+x ⋅ 4  =      x 8 x   x 2 4   x ⋅ 1+8 ⋅ 0+x ⋅ x x ⋅ 2+8 ⋅1+x ⋅ 2 x ⋅ ( −1) +8 ⋅ 3+x ⋅ 4   x +0+5x 2 x +y+10 − x +3y+20  6x =  9+0+x 2 18+x +2x −9+3x +4x  =  9+x 2     x +0+x 2 2 x +8+2x − x +24+4x   x +x 2

2 x +y+10 − x +3y+20  18+3x −9 + 7 x   4 x +8 24+3x 

Atëhere kemi

M ⋅N = N ⋅M 18   9+3x   x 2 + 18+ 4 x

y + 2 x -8 x + 24 xy + 2 x + 32

5+ x   6 x 4 x  = 9+x 2   11 x   x + x 2

2 x + y+ 10 18+ 3 x 4 x+8

− x + 3y+ 20  −9 + 7 x   24+ 3 x  3) 5+ x = − x + 3y+ 20

1)

18 = 6 x

2)

y + 2 x -8= 2 x + y+ 10

4)

9+3x = 9+x 2

5)

x + 24= 18+ 3 x

6)

4 x = −9 + 7 x

8) xy + 2 x + 32= 4 x + 8

9)

11 x = 24+ 3 x

7 ) x 2 + 18+ 4 x = x + x 2

N ga 1) dhe 8) kem i 1) 1 8 = 6 x ⇒ x = 3

dhe

8) xy + 2 x + 3 2 = 4 x + 8 ⇒ 3 y+ 2 ⋅ 3 + 3 2 = 4 ⋅ 3 + 8 ⇒ 3 y+ 6 + 3 2 = 1 2 + 8

D m th

x = 3

⇒ 3 y = 2 0 -3 8

dhe

y = -6

⇒

y= -

18 3

⇒ y = -6

5. Të llogaritet

f

(x ) =

x2 − 3x + 5

nese

1 x =  -1   2

0 3 1

4 -2   1 

Zgjidhje f ( x ) = x2 − 3x + 5 1 ⋅ 0+0 ⋅ 3+4 ⋅ 1 1 ⋅ 4+0 ⋅ ( −2)+4 ⋅ 1   1 0 4   1 0 4   1 ⋅ 1+0 ⋅ ( −1)+4 ⋅ 2      x = -1 3 -2 ⋅ -1 3 -2 = -1 ⋅ 1+3 ⋅ ( −1)+(-2) ⋅ 2 -1 ⋅ 0+3 ⋅ 3+(-2) ⋅ 1 -1 ⋅ 4+3 ⋅ ( −2)+(-2) ⋅ 1 =        2 1 1   2 1 1   2 ⋅ 1+1 ⋅ ( −1)+1 ⋅ 2 2 ⋅ 0+1 ⋅ 3+1 ⋅ 1 2 ⋅ 4+1 ⋅ ( −2)+1 ⋅ 1  2

0+0+4 4+0+4   9 4 8   1+0+8  = -1+( −3)+(-4) 0+9+(-2) -4+( −6)+(-2)  =  −8 7 −12       2+( −1)+2 0+3+1 8+( −2)+1   3 4 7   1 0 4   3 0 12  3 x = 3 ⋅  -1 3 -2  =  -3 9 -6       2 1 1   6 3 3  1 0 0  1 0 0  5 0 0    E = 0 1 0 matrica njesi 5 ⋅ E =  0 1 0  =  0 5 0         0 0 1   0 0 1   0 0 5   9 4 8   3 0 12   5 0 0   11 4 −4  f ( x ) = x − 3 x + 5 =  −8 7 −12  -  -3 9 -6  +  0 5 0  =  −5 3 −6           3 4 7   6 3 3   0 0 5  −  3 1 9  2

6. Të vërtetohet se

n 1 0 0  1 0 0  0 1 1  = 0 1 n       0 0 1  0 0 1 

Zgjidhje

Vertetojm se n 1 0 0  1 0 0   0 1 1  = 0 1 n      0 0 1  0 0 1 

Për n=1 1 1 0 0  1 0 0  0 1 1  = 0 1 1      0 0 1  0 0 1 

Për n=2 2 1 0 0  1 0 0  1 0 0  0 1 1  = 0 1 1  ⋅ 0 1 1  =       0 0 1  0 0 1  0 0 1 

1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 1 0 0  =  0 ⋅1 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 + 1 ⋅1  = 0 1 2     0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 0 0 1 

Për n=3 3 2 1 0 0  1 0 0  1 0 0  1 0 0  1 0 0   1 0 0  0 1 1  = 0 1 1  ⋅ 0 1 1  = 0 1 2  ⋅ 0 1 1  = 0 1 3             0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1 

Supozojm se barazimi vlen për n=k k 1 0 0  1 0 0  0 1 1  = 0 1 k      0 0 1  0 0 1 

Supozojm se barazimi vlen për n=k+1 k +1 k 1 0 0  1 0 0  1 0 0  1 0 0  1 0 0  0 1 1  = 0 1 1  ⋅ 0 1 1  = 0 1 k  ⋅ 0 1 1  =            0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1 

0  1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 1 0 =  0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + k ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + k ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + k ⋅ 1 =  0 1 k + 1      0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1  0 0 1  Pra n 1 0 0  1 0 0  0 1 1  = 0 1 n       0 0 1  0 0 1 

7. Gjeni

An

1 2 -2  nese A=  2 1 -2     2 2 -3

Zgjidhje

Për n=1  1 2 -2  A =  2 1 -2     2 2 -3 1

Për n=2  1 2 -2  1 2 -2  1 0 0  A =  2 1 -2  ⋅  2 1 -2  = 0 1 0  = E        2 2 -3  2 2 -3 0 0 1  2

Për n=3 2  1 2 -2  1 2 -2  1 0 0   1 2 -2  1 2 -2  3       A = 2 1 -2 ⋅ 2 1 -2 = 0 1 0 ⋅  2 1 -2  =  2 1 -2  =A            2 2 -3  2 2 -3 0 0 1   2 2 -3  2 2 -3

Për n=4 Për n=5

⇒ A4 = A2 ⋅ A2 = E    n ⇒ A =    5 3 2 ⇒ A = A ⋅ A = A 

n = 2k ⇒E n = 2k + 1 ⇒ A

8. Të gjenden x, y, z dhe t në qoft se

x 3⋅  z

y  x 6   4 = + t   −1 2t   z + t

x + y 3 

y  x 6   4 = + t   −1 2t   z + t

x + y 3 

Zgjidhje

x 3⋅  z

6 + x + y 3 x 3 y   x + 4 = 3z 3t   −1 + z + t 2t + 3     3x = x + 4

⇒ 3x − x = 4

3y = 6 + x + y

⇒ 3 y − y = 6 + 2 ⇒ 2y=8

3 z = −1 + z + t

⇒ 3 z − z = −1 + t ⇒ 2 z = −1 + 3 ⇒ z = 1

3t = 2t + 3

⇒ 3t − 2t = 3

dmth x=2

y=4

z =1

t=2

⇒ 2x = 4

⇒

t =3

⇒x=2 ⇒ y=4

⇒t =3

9. Me metodën e Sarusit njehsoni vlerën e përcaktorit

4 5

a)

1 -3 2 0

5 0 -7 b) 3 -1 2

dhe

-3 4 -7

3

4

1

Zgjidhje Metoda për zgjedhjen e detyrave me metodën e Sarusit është duke i shtuar dy shtylla te pare ne fund te shtyllave dhe mënyra e dyte është duke i shtuar dy rreshta te pare ne fund te rreshtave. 4 a)

1 -3 4

1

5 2 0 5 2 = 4 ⋅ 2 ⋅ ( −7) + 1 ⋅ 0 ⋅ ( −3) + (−3) ⋅ 5 ⋅ 4 − (−3) ⋅ 2 ⋅ ( −3) − 4 ⋅ 0 ⋅ 4 − 1 ⋅ 5 ⋅ (−7) = -3 4 -7 −3 4

= −56 − 60 − 18 + 35 = −99

b)

5 0 −7 5 0 3 −1 2 3 −1 = 5 ⋅ ( −1) ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 ⋅ 3 + ( −7 ) ⋅ 3 ⋅ 4 − ( −7 ) ⋅ ( −1) ⋅ 3 − 5 ⋅ 2 ⋅ 4 − 0 ⋅ 3 ⋅ 1 = 3

4

1 3

4

= −5 − 84 − 21 − 40 = −150 10. Duke zbatuar metodën e trekëndëshit të njehsohet vlera e përcaktorit

a)

-4

3

1

-2

b)

0 -9 1

2

5 2 1 c) -1 3 0 -2 4 2

d)

5 2 −1 0 −4 3 2

0

−1

Zgjidhje

a)

-4 3 =-4 ⋅ (−2) − 3 ⋅ 1 = 8 − 3 = 5 1 -2

b)

0 -9 = 0 ⋅ 2 − ( −9) ⋅ 1 = 0 + 9 = 9 1 2

5 2 1 c) -1 3 0 =5⋅ 3⋅ 2 + 2⋅ 0 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 4⋅1− (−2) ⋅ 3⋅1− 4⋅ 0 ⋅ 5 − 2⋅ (−1) ⋅ 2 = 30 − 4 + 6 + 4 = 36 -2 4 2

5 2 −1 d) 0 −4 3 = 5⋅ (−4) ⋅ (−1) + 2⋅ 3⋅ 2 + 0⋅ 0⋅ (−1) − 2⋅ (−4) ⋅ (−1) − 0⋅ 3⋅ 5 − 0⋅ 2⋅ (−1) = 20 +12 − 8 = 24 2 0 −1 11. Zgjidhni përcaktorin

1 a a2 1 b b 2 = (b − a ) ⋅ (c − a ) ⋅ (c − b) 1 c c2 Zgjidhje 1

a

1 1

b c

=

a2

1

rr − rr1 b2 = 2 = 0 rr3 − rr1 2 c 0

b−a

(b − a ) ⋅ (b + a )

c−a

(c − a ) ⋅ (c + a )

a2

a b−a c−a

b−a b2 − a2 = 1⋅ c−a c2 − a2

= (b − a ) ⋅ (c − a ) ⋅

1 b+a 1

c+a

b2 − a2 c −a 2

7 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

7 2 2 2 2

2 7 2 2 2

2 2 7 2 2

2 2 2 7 2

2 2 2 2 7

=

b−a

(b − a ) ⋅ (b + a )

c−a

(c − a ) ⋅ (c + a )

=

= (b − a ) ⋅ ( c − a ) ⋅ (1 ⋅ ( c + a ) − 1 ⋅ (b + a ) =

= ( b − a ) ⋅ ( c − a ) ⋅ ( c + a − b − a ) = (b − a ) ⋅ ( c − a ) ⋅ ( c − b )

12. Gjeni vlerën e përcaktorit

2

Zgjidhje

7 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2

=

sht1 + sht2 + sht3 + sht4 + sht5 + sht6 + sht7 + sht8

2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 7

=

21 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2

21 7 2 2 2 2 2 2 21 2 7 2 2 2 2 2

1 7 2 2 2 2 2 2 1 2 7 2 2 2 2 2

21 2 2 7 2 2 2 2 21 2 2 2 7 2 2 2

= 21 ⋅

1 2 2 7 2 1 2 2 2 7

sht2 − 2 sht1 sht3 − 2 sht1 sht4 − 2 sht1 2 2 2 sht5 − 2 sht1 = 2 2 2 sht6 − 2 sht1 7 2 2 sht7 − 2 sht1 2 7 2 sht8 − 2 sht1

21 2 2 2 2 7 2 2 21 2 2 2 2 2 7 2

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

21 2 2 2 2 2 2 7

1 2 2 2 2 2 2 7

1 0 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 0 0 = 21 ⋅

1 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 0 5

= 21 ⋅ 57

=

12. Gjeni vlerën e përcaktorit

3 2 2 2 . . 2 2 3 2 2 . . 2 2 2 3 2 . . 2 .

.

.

.

. . 2

2 2 2 2 . . 3 Zgjidhje

3 + (n − 1)2 2 2 2 . . 2

3 2 2 2 . . 2

2 3 2 2 . . 2 3 + (n − 1)2 3 2 2 . . 2 sh1 + sh2 + sh3 + sh4 + ⋅⋅ ⋅ + shn = 3 + (n − 1)2 2 3 2 . . 2 = 2 2 3 2 . . 2= . . . . . . 2 2 2 2 2 . . 3

. . . . . . 2 3 + (n − 1)2 2 2 2 . . 3

1 2 2 2 . . 2 1 3 2 2 . . 2 = (3 + (n − 1)2) ⋅ 1 2 3 2 . . 2 = . . . . . . 2 1 2 2 2 . . 3

sh2 − 2sh1 sh3 − 2 sh1

. = (3 + 2n − 2) ⋅ 1 0 1 0 . . 0 = . . . . . . . 0 shn − 2 sh1 1 0 0 0 . . 1

= (2n + 1) ⋅ 1n = 2n + 1

13. Janë dhënë matricat

-1 2 1   A= 4 0 2  ,    0 -1 3 

dhe

1 0 0 0 . . 0 1 1 0 0 . . 0

 0 1 4 B=   -2 1 5 

Të njehsohet

b) A T ⋅ A dhe A ⋅ A T ,

a ) A T dhe BT ,

c) (B ⋅ A)T dhe A T ⋅ B T

Zgjidhje

 −1 4 0  a ) A T =  2 0 −1    1 2 3 

 0 −2  BT =  1 1     4 5 

 −1 4 0  -1 2 1  17 -2 7  b) A T ⋅ A =  2 0 −1 ⋅  4 0 2  =  -2 5 -1         1 2 3   0 -1 3   7 -1 14  -1 2 1   −1 4 0   6 -2 1    A ⋅ A = 4 0 2 ⋅  2 0 −1 = -2 20 6         0 -1 3   1 2 3   1 6 10  T

T

 -1 2 1    4 6  T   0 1 4    4 −4 14   T  c) (B ⋅ A) =   ⋅ 4 0 2  = = −4 −9          −2 1 5   0 -1 3    6 −9 15   14 15        −1 4 0   0 −2   4 6  A ⋅ B =  2 0 −1 ⋅ 1 1  =  −4 −9         1 2 3   4 5  14 15  T

T

(Vetia: (B ⋅ A) = A ⋅ B ) T

T

T

14. Të caktohet matrica inverse A-1 e matricës

3 1  A=   5 2  Zgjidhje Mënyra I. -1

x z

Le te jete A = 

y matrica inverse e matricës A. Atëhere sipas përkufizimit t 

kemi.

A ⋅ A -1 =E

3 1   x 5 2  ⋅  z    3x + z = 1 3y + t = 0 5x + 2z = 0 5 y + 2t = 1

y  1 0   3x+z 3y+t  1 0  = ⇒ 5x+2z 5y+2t  = 0 1  t  0 1     

⇒ x=2 ⇒ y = −1 ⇒ z = −5 ⇒ t =3

Pra matrica inverse A-1 e matricës së dhënë A do të jetë

 2 −1 A -1 =    −5 3 

Mënyra II. Matrica inverse A-1 e një matrice regulare A gjendet edhe sipas formulës

A -1 =

1 ⋅ adjA, det A

detA=

3 1 =1 5 2

 2 -1 adjA=   -5 3 

sepse A11 = (−1)1+1 ⋅ 2 = 2

A12 = (−1)1+ 2 ⋅ 5 = −5

A 21 = (−1) 2+1 ⋅ 1 = −1

A 22 = (−1) 2+ 2 ⋅ 3 = 3

Prandaj

A -1 =

1 1  2 -1  2 -1 ⋅ adjA=  = , det A 1 -5 3  -5 3 

15. Gjeni matricën inverse

A =? −1

nëse

 2 2 3 A =  1 −1 0     −1 2 1 

Zgjidhje Matrica inverse

A −1 =

1 adjA, ku det A

detA ≠ 0,

dhe

 A11 A 21 A A 22 adjA=  12  ..... .....   A1n A 2n

..... A n1  ..... A n2   ..... .....   ..... Ann 

2 detA= 1 −1

2

3

−1 0 = 2 ⋅ (−1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 − (−1) ⋅ (−1) ⋅ 3 − 2 ⋅ 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2

1

= −2 + 6 − 3 − 2 = −1 dmth. detA ≠ −1, atëherë ekziston matrica inverse A-1. Tani gjejme adjA

 2 2 3 A =  1 −1 0     −1 2 1   A11 adjA=  A 21   A 31

A11 =(-1)1+1

A 21 =(-1)1+2

A 31 =(-1)1+3

-1 0 2

1

= - 1 - 0 =-1

2 3 = - (2 - 6)=4 2 1 2

3

−1 0

=0+3=3

A13  T A 23  ,  A 33 

A12 A 22 A 32

A12 =(-1) 2+1

A 22 =(-1)2+2

A 32 =(-1) 2+3

1

0

−1 1

= - (1 - 0) = -1

2 3 =2+3=5 −1 1

2 3 1 0

= - (0 - 3) =3

A13 =(-1)3+1

A 23 =(-1)3+2

A 33 =(-1)3+3

Rrjedh se

-1 4 3  1 A = - -1 5 3  =  1  1 -6 -4 

−1 2

= 2 −1 =1

2 2 = −(4 + 2) = −6 −1 2 2

2

1 −1

-1 -1 1  T -1 4 3    adjA= 4 5 -6 , ⇒ adjA= -1 5 3       3 3 -4   1 -6 -4 

-1

1 −1

 1 -4 -3  1 -5 -3   -1 6 4 

= −2 − 2 = −4

16. Të gjendet matrica e panjohur X nëse është dhënë

a) A X + B = C

dhe

b) A X + B = 2 (X - C)

Nese

1 2 -1 A=  4 1 -2  ,   1 0 -1

 3 -1 4  B== -1 -5 0  ,    0 -2 1 

2 5 1  C==  2 3 4     2 -1 2 

Zgjidhje

a) AX+B=C ⇒ AX=C-B ⇒

A -1

AX=C-B

⇒ A -1A X = A -1 (C - B)

 −1 2 −3  1 A = 2 0 −2   4  −1 2 −7  -1

7  1  4 4  6 10 X=  −  4 4  7 3 −  4 4

⇒ X = A -1 (C - B)

 2  −2    1 

b) A X + B = 2 (X - C) ⇒ A X + B = 2 X - 2C

⇒ (A - 2E)X = - 2C -B ⇒

⇒ X = (A - 2E)-1 ⋅ (-2C -B)

(A - 2E)-1

⇒ A X -2X = - 2C -B

(A - 2E)-1 ⋅ (A - 2E)X = (A - 2E)-1 ⋅ (-2C -B)

 −37 −53 −41 1  −58 −118 −62  X=   16  15 −39 13  17. Gjeni rangun e matricës

 2 −1 3 −2 4  A=  4 −2 5 1 7     2 −1 1 8 2 

Zgjidhje

 2 −1 3 −2 4  A=  4 −2 5 1 7     2 −1 1 8 2   2 −1 3 −2 4   0 0 −1 5 −1    0 0 −1 5 −1

Rr2 − 2 Rr1 Rr3 − Rr1

 2 −1 3 −2 4   0 0 −1 5 −1    0 0 −2 10 −2 

1 0  0 1  ⇒ r (A) = 2  

Rr3 2

18. Gjeni rangun e matricës

 1 −1 2 1 A=  -1 4  1 5

1 −1  4 1 −5 −4   8 2 −4 −5  0 0 4 1

2 1

Zgjidhje

 1 −1 2 1 A=  -1 4  1 5

0 4 4 8

0 2 1 1 1 −1  1 −5 −4   2 −4 −5 

 1 −1 0 0 2 1  0 3 4 1 −3 −3   0 3 4 1 −3 −3 1 0 0 0 0 0  0 1 1 1 1 1   

Rr2 − 2 Rr1 Rr3 + Rr1 Rr4 − Rr1

 1 −1 0 3  0 3  0 6

1 0 0 0 0 0    0 3 4 1 −3 −3

1 0  0 1   

⇒ r (A)=2

 2 3 −1 19. Matrica A =   të shumëzohet me 3. 4 2 5  Zgjidhje.  2 3 −1  6 9 −3 3⋅  = .  4 2 5  12 6 15 

0 4 4 8

0 2 1 1 −3 −3   1 −3 −3   2 −6 −6  Sht2 3 Sht3 4

Sht5 −3 Sht6 −3

20. Të mblidhen matricat  3 0 −2  0 1 8   3 + 0 0 + 1 −2 + 8  3 1 6   −4 1 1  +  3 2 6  =  −4 + 3 1 + 2 1 + 6  =  −1 3 7  .        

21. Të zbriten matricat

 −2 0   1 −1   −3 1   3 −1  −  3 −2  =  0 1  .        2 4   −2 5   4 −1       

22. Të gjendet matrica 3A - 2B, në qoftë se  2 −1 −2  3 −2 −3 A=  ,B=  . 0 4 1  1 6 0  Duke patur parasysh ∀ A∈Mm,n, (-1)A = -A, kemi  2 − 1 − 2  3 −2 −3 3A - 2B = 3A+(-2)B = 3   + ( −2 )   = 0 4 1  1 6 0   6 −3 −6  −6 4 6  0 1 0  +  = .  0 12 3   −2 −12 0  −2 0 3

=

23.

1 2 1   4 1  2 1 2  ⋅  −4 2     1 2 3   1 2 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ (−4) + 1 ⋅1 =  2 ⋅ 4 + 1 ⋅ (−4) + 2 ⋅1  1 ⋅ 4 + 2 ⋅ (−4) + 3 ⋅1  −3 7 2  =  6 8 4   −1 11 4 

1 0 =  1  1 ⋅1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2

1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 1 ⋅1  2 ⋅1 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 2 ⋅1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 =  1 ⋅1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅1

24. Jepen matricat  1 3 0  2 − 1 A=   , B=  .  −2 1 −1 1 0  a) Cili nga prodhimet A⋅B, B⋅A ekziston? b) Të gjendet A⋅B. Zgjidhje. a) Për të kontrolluar ekzistencën e prodhimeve A⋅B dhe B⋅A plotësojmë tabelat: A B ∃ A⋅ B B A ∃ B⋅ A 2 2 2 ; 2 2 2 3 3 3 2 Prej tyre del se ekziston vetëm prodhimi A⋅B, që është matricë me 2 × 3 përmasa. b) Sipas formulës (13) kemi  2 − 1  1 3 0  A⋅B =   =  ⋅   1 0   − 2 1 − 1  2 ⋅ 1 + ( −1)( −2) 2 ⋅ 3 + ( −1)1 2 ⋅ 0 + ( −1)( −1)  =  = 1⋅ 3 + 0 ⋅1 1 ⋅ 0 + 0( −1)   1 ⋅ 1 + 0( −2)  4 5 1 =   .  1 3 0 25. Jepen matricat  1    A=  0  , B=(3 2 4).  − 2   Të gjendet AB dhe BA. Zgjidhje. Vëmë re se AB ekziston dhe se është matricë me 3 × 3 përmasa:  1  3 2 4     AB =  0  (3 2 4) =  0 0 0  .      −2  −6 −4 −8 Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe është matricë me 1 × 1 përmasa:

 1    BA = (3 2 4)  0  = (3⋅1+2⋅0+4⋅(-2)) = (-5) = -5.  − 2   26. Jepen matricat  1 0  0 1 A=   ; B=  .  0 0  0 0 Të gjendet AB dhe BA. Meqenëse të dyja matricat janë matrica katrore nga M2, atëherë ekzistojnë prodhimet AB dhe BA. Kemi  1 0  0 1  1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0  0 1 AB =    =  = ,  0 0  0 0  0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0  0 0  0 1  1 0  0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0  0 0 BA =    =  =  = O.  0 0  0 0  0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0  0 0

27. (Zbatim ekonomik) Tri firma A1, A2, A3 prodhojnë të njejtin mall dhe e shesin në të njejtin treg. Në vitin t0 ato zotëronin përkatësisht 20%, 60%, 20% të klientëve në treg. Me këto të dhëna ndërtojmë vektorin shtyllë  0, 2  S0=  0, 6  ,  0, 2    që e quajmë vektori i ndarjes se tregut në përqindje. Gjatë vitit në vazhdim ndodhën këto ndryshime në klientelën e firmave: · 85% e klientëve fillestar të firmës A1 qëndruan, 5% e tyre shkuan tek firma A2 dhe 10% e tyre tek firma A3; · 55% e klientëve fillestar të firmës A2 qëndruan, 10% e tyre shkuan tek firma A1 dhe 35% e tyre tek firma A3; · 85% e klientëve fillestar të firmës A3 qëndruan, 10% e tyre shkuan tek firma A1 dhe 5% e tyre tek firma A2. Me këto të dhëna formojmë matricën  0,85 0,10 0,10  K=  0, 05 0,55 0,05  ,  0,10 0, 35 0,85    ku në kufizën kij është vendosur përqindja e klientelës së firmës Aj, që kalon në firmën Ai vitin në vazhdim. Matrica K quhet matricë kalimtare e ndarjes së tregut. Në këto kushte është e qartë se vektori i ndarjes së tregut vitin në vazhdim do të ketë pamjen  0,85 0,10 0,10   0, 2  S1=K·S0=  0, 05 0, 55 0, 05  ·  0, 6  =     0,10 0, 35 0,85    0, 2 

 0, 85 ⋅ 0, 2 + =  0, 05 ⋅ 0, 2 +   0,10 ⋅ 0, 2 +

0,10 ⋅ 0, 6

+

0, 55 ⋅ 0, 6 + 0, 35 ⋅ 0, 6 +

0,10 ⋅ 0, 2 

 0, 25   0, 05 ⋅ 0, 2 =  0, 35  .    0,85 ⋅ 0, 2   0, 40 

Kuptohet se kur ruhet e njejta matricë kalimtare edhe në vitin e dytë në vazhdim vektori i ndarjes së tregut në këtë vit do të jetë K·S1 = K(K·S0) = K2·S0.

 3 2  3 −1 5  T , atëherë A =  −1 4  . 29. Nëse A =    2 4 0  2×3  5 0  3×2 1 2  30. Njehsoni A2 nëse A=  . 0 3  Zgjidhje. 1 2  1 2  1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3  1 8  A2 = A ⋅ A =   ⋅ = = .  0 3   0 3   0 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3  0 9 

3 −7

2 3 −7

1 2 −3 1 2 = 6 + 105 − 2 − 20 − 9 + 7 = 87 5 −1 1 5 −1

31.

32.

1 2 5 3 −4 7 = −3 12 15 = 1 ⋅ (−4) ⋅15 + 2 ⋅ 7 ⋅ (−3) + 3 ⋅12 ⋅ 5 − 5 ⋅ (−4) ⋅ (−3) − 3 ⋅ 2 ⋅15 − 7 ⋅12 ⋅1 = = −60 − 42 + 180 − 60 − 90 − 84 = −156

33. 2 0

−1

3 1 4

4 1 2 = 2 ⋅ ( − 1)1+1 4 5

2 5

+ 3 ⋅ ( − 1)1+ 2

0

2

−1 5

+ 4 ⋅ ( − 1)1+ 3

= 2 ⋅ (5 − 8) − 3 ⋅ (0 + 2) + 4 ⋅ (0 + 1) = − 6 − 6 + 4 = − 8

0

1

−1

4

=

34. Të njehsohet përcaktori i matricës  2 −1 0 4  1 0 5 1    −4 3 2 10   0 6 7 −3    Kemi: 2

−1

0

4

1

0

5

1

−4

3

2

10

0

6

7

−3

1

0 5

1

1

5

1

= (-1)²⋅2⋅ 3 2 10 +(-1)³⋅(-1) −4 2 10 +

6 7 −3 0

1

1

0

7 −3

0 5

+(-1) ⋅0⋅ −4 3 10 +(-1) ⋅4⋅ −4 3 2 = 2⋅354+(-164)-4(-111) = 988 4

5

0 6 −3 0 6 7 35. Duke përdorur vetitë e detrminantave, të tregohet se vlen

1 1 a b a 3 b3

1 c = (a + b + c)(b − a )(c − a )(c − b) c3

Zgjidhje.

1

1

1

a

b

c → a

3

3

a

b

c

3

K 2 − K1 K 3 − K1

1 a

3

0

0

b−a b −a 3

c−a = 3

c −a 3

3

b−a

c−a

b3 − a 3

c3 − a 3

=

= (b − a )(c3 − a 3 ) − (c − a )(b3 − a 3 ) = (b − a )(c − a )(c 2 + ac + a 2 ) − (c − a )(b − a )(b 2 + ab + a 2 ) = (b − a )(c − a )(c 2 + ac + a 2 − b 2 − ab − a 2 ) = = (b − a )(c − a )(c 2 + ac − b 2 − ab) = = (b − a )(c − a )((c − b)(c + b) + a (c − b)) = = (b − a )(c − a )(c − b)(a + b + c) 36. Të njehsohet përcaktori 1 1 2 det(A)= 0 0 −5 . 6 5 1 Duke zbatuar vetinë e parë, zhvillimi me më pak llogaritje është ai sipas rreshtit të dytë, ku të gjitha koordinatat janë zero, përveç të tretës. Kemi:

det A = (-5)(-1)2+3

1 1

= -5.

6 5

37. Të njehsohet përcaktori 1 2 9 det A = − 1

5 4. 2 −3 7 Duke zbatuar vetinë e gjashtë mund ta shndërrojmë përcaktorin në një tjetër të barabartë me të, por që t’i ketë të gjitha koordinatat e ndonjë rreshti (shtylle) të barabartë me zero, me përjashtim ndoshta të njërës. Për këtë, rreshtin e dytë të matricës A e zëvendësojmë me a2+a1, kurse rreshtin e tretë me a3+(-2)a1 dhe më tej përcaktorin e përftuar e zhvillojmë sipas shtyllës së parë. Marrim 1

2

9

−1

5

4

2

−3 7

1

a2 + a1

=

a3 + ( −2 ) a1

2

1

2

9

−1 + 1

5+ 2

4+9 =

2−2

−3 − 4

7 − 18

9

7 13 7 13 = =14. − 7 − 11 0 − 7 − 11

=0

38. Të gjendet matrica inverse e matricës  3 2 −1 A = 1 1 2   2 2 5  Zgjidhje. Njehsojmë determinantën e A. 3 2 −1

det A = 1 1 2 2

2 = 15 + 8 − 2 + 2 − 12 − 10 = 1 ≠ 0 5

Meqë det A ≠ 0 , atëherë ekziston matrica inverse A-1.

 1   2  1 adj A =  −  2   1  2

2 5

−

2 −1 2

5

2

3 −1

5

2

1 2

rrjedhimisht matrica inverse është

−

5 3 2 2 2

2 −1   1 2   1 −12 5  3 −1    = −1 17 −7  , −  1 2     0 − 2 1   3 2  1 1 

 1 −12 5   1 −12 5  1 1 A = ⋅ adj A =  −1 17 −7  =  −1 17 −7  . det A 1  0 −2 1   0 −2 1  −1

39. Të gjendet matrica inverse e matricës  1 −1 0  A=  3 1 1  ,  −2 4 1  në qoftë se ekziston. Zgjidhje: Duke njehsuar determinantën e matricës A, gjejmë det A= 2 ≠ 0. Për rrjedhojë matrica A është e rregullt, pra ka matricë të inverse. Sipas formulës (2) gjejmë  1 1 −1 0 −1 0  − +  +  4 1 1 1  4 1  −3 1 −1 3 1 1 0 1 0  1 1  = −5 1 −2  . adjA=  − + −  −2 1 3 1  2 2  −2 1   14 − 2 4    3 1 1 − 1 1 − 1 +  − +  −2 4 −2 4 3 1  Prandaj nga (1) marrim  −3 1 −1  −3 / 2 1/ 2 −1/ 2  1 -1 A =  −5 1 −1 =  −5 / 2 1/ 2 −1/ 2  2 14 −2 4   7 −1 2  40. Të gjendet rangu i matricës  1 2 − 3 A =  2 0 5   3 2 2 

Zgjidhje. Meqenëse matrica A ka elementë të ndryshëm prej zeros, atëherë mund të 2 0 konstatojmë se rangA ≥ 1 . Marrim minorin e rendit të dytë = 4 − 0 = 4 ≠ 0 , pra 3 2 konstatojmë se rangA ≥ 2 . Minori i rendit të tretë është vetë determinanta e matricës A. 1 2 −3

det A = 2 0 3 2

5 = 0 , pra rangA < 3 . 2

Meqë rangA ≥ 2 dhe rangA < 3 atëherë rangA = 2 .

41. Të caktohet rangu i matricës 3 −2 4  1 1 2 5 11   A=  −2 −4 7 −6     2 9 −8 3 

Zgjidhje. 3 −2 4  3 −2 4  1 1 1 2 5 11  R −R  0 −1 7 7  2 1→ A=   −2 −4 7 −6   −2 −4 7 −6       2 9 −8 3   2 9 −8 3  1 3 −2 4  1  0 −1 7 7  0 −2R    R4 1  →  0 2 3 2 0     2 9 −8 3  0  1 3 −2 4  1 0 −1 7 7  R +3R  4 2→ 0    0 0 17 16  0     0 3 −4 −5  0

R +2R

 3  1 →

−2

4 −1 7 7  R3+2R2 → 2 3 2  3 −4 −5  3 −2 4  −1 7 7  R4 − R3    → 0 17 16   0 17 16  3

 1 3 −2 4  0 −1 7 7    →  0 0 17 16    0 0 0 0  Matrica e fituar ka një rresht me zero, që domethënë se rangu i matricës nuk mundet të jetë 4, pra rangA < 4 . Minori

1

3

−2

0 −1 7 = −17 ≠ 0 , pra rangA = 3 . 0 0 17 42. Të gjendet matrica inverse e matricës  2 1 −1 A =  5 2 4  7 3 4  me transformime elementare.

Zgjidhje. Në fillim provojmë se 2 1 −1

det A = 5 2 7 3

4 = 16 + 28 − 15 + 14 − 24 − 20 = −1 ≠ 0 4

 2 1 −1 1 0 0  ( A, I ) = 5 2 4 0 1 0  7 3 4 0 0 1  1 2 0 K +K  3 1→  2 5 6    3 7 7

 1 2 −1 0 1 0    2 5 4 1 0 0  3 7 4 0 0 1  1 0 0 K −2 K 2 1→ →  2 1 6    3 1 7

K ↑↓ K 2 1  →

0 1 0 

1 0 1  0 0 1   1 0 0 −2 1

K −2 K 1 2 → 0 1 6   1 1 7 1  → 0  1

0 0

−2

1

1 0 1 1

5 0

−2 0

5 0

0

7

4

1 0 1 1

−8 −2 13  →  −1 0 1 



−8 −15 13  = ( I , A−1 )  −1 −1 1 

Në anën e djathtë të vijës vertikale është matrica inverse 7 −6  4   A−1 =  −8 −15 13    1  −1 −1

43. Duket menjëherë që matricat 1 3 2   3 2 1  0 −1 2      A = 0 2 4 , B = 0 0 2 , C = 0 0 3,        0 0 −2  0 0 0 0 0 0

1

−6 

0 0

−6 



1 −2 1  →  0 0 1 

 K3−6 K2 −2 1  →  0 1 

1  K1− K3  → → 0 13     1  0

4

1

0

−6 

1 0 0 K −K  2 3 → 0 1 0   0 0 1

0



 0 2 −1 4   2 3 −2 2     D = 0 0 2 −2 , E = 0 0 0 0      0 0 0 0   0 0 0 0 janë të shkallëzuara. Duke numëruar rreshtat jozero në secilën gjejmë rg A=3, rg B=2, rg C= 2, rg D=2, rg E=1. Matricat 1 8 2    2 1 5   0 1 2 3     0 6 0   0 2 − 1,  0 0 5 2 ,    0 2 2   0 0 3 0   0 0 − 3    0 0 2    nuk janë të shkallëzuara. Për të gjetur rangjet e tyre, më parë ato duhen shkallëzuar.

44. Të gjendet rangu i matricës

1 − 1 3 2   A=  1 4 1 2  . 3 2 7 6   Meqenëse matrica A është e pashkallëzuar, e shndërrojmë më parë atë në një matricë të shkallëzuar. Për këtë, i shtojmë rreshtit të dytë a2 rreshtin e parë a1 të shumëzuar me -1 (e shprehur me formulën a2-a1), rreshtit të tretë a3 rreshtin e parë a1 të shumëzuar me -3(e shprehur me formulën a3-3a1) dhe në matricën e përftuar i shtojmë rreshtit të tretë a3 rreshtin e dytë a2 të shumëzuar me -1 (e shprehur me formulën a3-a2); marrim  1 −1 3 2  a −a  1 −1 3 2  A ≡  0 5 −2 0  ≡  0 5 −2 0  .    a −3a   0 5 −2 0  0 0 0 0     a2 − a1 3

3

2

1

Matrica e fundit është e shkallëzuar dhe ka dy rreshta të ndryshëm nga zero, prandaj rg A=2.

45. Të gjendet rangu i matricës  5 −10 15   2 −5 4  . B=  0  −1 5  3 −6 7   

E sjellim matricën B në një matricë të shkallëzuar. Për këtë, në hapin e parë shumëzojmë rreshtin e parë me 1/5. Në hapin e dytë rreshtin e parë të përftuar të shumëzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dytë , pastaj e mbledhim me rreshtin e tretë dhe së fundi të shumëzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e katërt. Në hapin e tretë shumëzojmë rreshtin e dytë me -1 dhe të tretin me 1/3. Në hapin e katërt rreshtit të tretë i heqim rreshtin e dytë. Në hapin e fundit rreshtin e tretë të përftuar të shumëzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e katërt. Shndërrimet e mësipërme i paraqesim hap pas hapi si më poshtë:

 5 −10 15  1  1 −2  2 −5 4  5 a1  2 −5  ≡  B=  0  −1 5  −1 5  3 −6 7   3 −6    1 1 − 2 3     2  −2a3 + a4  0 0 1 ≡ ≡ 0 0 0 −1    0  0 0 − 2

3

4

−2 a1 + a2 a1 + a3

0

−3a1 + a4



≡



7

 1 −2 3   0 −1 −2  − a2   ≡  0 3 3  1 a3  0 0 −2  3  

 1 −2 3   0 1 2  − a2 + a3   ≡ 0 1 1   0 0 −2   

−2 3  1 2 . 0 1  0 0

Matrica e fundit është matricë e shkallëzuar dhe ka 3 rreshta të ndryshëm nga zero , prandaj rg B=3.

46. Të zgjidhet barazimi matricor AX=B, ku  −1 0 2  1 1 −1   A =  −2 1 3  dhe B = 0 −1 1  .  0 −1 0  1 1 0  Zgjidhje. Njehsojmë në fillim A−1 , nëse A është matricë e rregullt. −1 0 2  3 −2 −2  −1 det A = −2 1 3 = 1 dhe A =  0 0 −1 .  2 −1 −1 0 −1 0 Zgjidhja e AX=B është e formës X = A−1 B dhe marrim

 3 −2 −2  1 1 −1  1 3 −5 X = A B =  0 0 −1 0 −1 1  =  −1 −1 0   2 −1 −1 1 1 0   1 2 −3 −1

47. Te zgjidhet barazimi matricor: 1 0 0 0  1 1 0 0   2 1 1 0 0  0 1 1 0   2  X  = 1 1 1 0  0 0 1 1   3      1 1 1 1  0 0 0 1   3 Zgjidhje. AXB = C AXB = C

2 1 1 3 2 3 6 4 3  7 7 5

shumëzojmë nga e majta me A −1

XB = A−1C shumëzojmë nga e djathta me B −1 X = A−1CB −1 Njehsojmë në fillim

1 0 0  −1 1 0 −1 A =  0 −1 1   0 0 −1

0 0  0  1

1 − 1 1 − 1 0 1 − 1 1  −1  . dhe B =  0 0 1 − 1   0 0 0 1 

: 1 0  −1 1 −1 A C=  0 −1  0 0 Përfundimisht kemi  2 2 1 1  1  0 1 1 2 0 −1 −1 ⋅ X = A CB =  1 3 2 0  0     0 1 3 2 0

0 2 0 0   2 ⋅ 1 0 3   −1 0   3 0

−1 1 0 0

2 1 1 2 3 2 3  0 = 6 4 3  1   7 7 5  0

−1  2 −1 1   0 = 1 −1 1   0 1  0 1

48. Të zgjidhet barazimi matricor ( AXB )

−1

2 1 1 1 1 2  3 2 0  1 3 2

0 1 0 1 0 2  2 0 0  1 2 0

= B −1 ( X −1 + B ) , nëse

1 2 1  1 0 0    A = 0 1 2 , B =  2 −1 0      1 0 −1 1 1 2  −1 −1 −1 Zgjidhje. Nga ( AXB ) = B ( X + B ) marrim

( AXB )

−1

= B −1 ( X −1 + B ) | ⋅ AXB nga e majta ⇒ I = ( AXB ) B −1 ( X −1 + B )

⇒ I = AX ( X −1 + B ) ⇒ I = A + AXB ⇒ AXB = I − A | ⋅ A−1 nga e majta ⇒ ⇒ XB = A−1 ( I − A) | ⋅B −1 nga e djathta ⇒ X=A−1 ( I − A) B −1

Pastaj gjejmë

 1 −2 3  2 0 0 0 −2 −1 1 A−1 = 0 1 2  , B −1 =  −2 1 0  dhe I − A = 0 0 −2  .      2 0 0 −1  −1 −1 −2  0 0 2  −1 −1 Duke i zëvendësuar këto te X=A ( I − A) B dhe duke kryer veprimet e nevojshme, marrim

 1 1 −3  1 X = −6 2 2  .  2  6 −2 −2  50. Duke përdorur vetitë e detrminantave, të tregohet se vlen

1 2 3 1 x +1 3 1 2 x +1 : : : 1 2 3

... n ... n ... n = ( x − 1)( x − 2)...( x − n + 1) : : ... x + 1

Zgjidhje.

1 2 1 x +1 1 : 1

2 : 2

3 3

... ...

n n

R2 − R1 R3 − R1 ............ Rn − R1

1 2 0 x −1

x + 1 ... n → = 0 : : : : 3 ... x + 1 0

= ( x − 1)( x − 2)...( x − n + 1)

0 : 0

3 0

... ...

n 0

= x − 2 ... 0 : : : 0 ... x − n + 1