Diagonalizacion 1j5r6d

DIAGONALIZACIÓN

Autovalores y autovectores de una matriz.- Dada una matriz A nxn, el vector no nulo X se llamará autovector de A con respecto al autovalor (escalar)  si se verifica: AX  X . Nota.- Autovector = vector propio = vector característico = eigenvector; autovalor = valor propio = valor característico = eigenvalor = valor latente. Polinomio característico de la matriz A (nxn).p ( )  det(I  A) = n + an–1 n–1 + … + a22 + a1 +a0 (polinomio de grado n). Ecuación característica de la matriz A (nxn).- p( )  0 ó det(I  A )  0 Autovalores de A.- Son las raíces (reales y complejas) del polinomio característico. Espacio característico.- Se llama espacio característico de A correspondiente al autovalor , al espacio solución del sistema (I  A) X  0 . En símbolos, S() = { X  Rnx1: X = AX }. Autovectores de A.- Para cada autovalor , los vectores componentes de cualquier base de su espacio característico son los autovectores de A correspondientes a . Propiedad.- Sea A  Rnxn y sean 1, 2, ... , n valores propios distintos de A con vectores propios x1, x2, ... , xn respectivamente. Entonces x1, x2, ... , xn son linealmente independientes. Autovalores y autovectores de un operador f: U  U.- El vector no nulo uU se denomina autovector del operador f correspondiente al autovalor  si se verifica: f (u )  u . Para encontrar los autovalores de f se puede usar A = [f] B, que es la matriz de f con respecto a cualquier base B de U, de modo que se verifique: Ax = [f] B [u]B =  x =  [u]B. Propiedades del polinomio característico

 a b 2x2  matriz del espacio R . Su polinomio característico es: c d  

Sea A  

  a  c

p ( )  det(I  A)  det 

b   2    ( a  d )   (ad  bc ) = 2 + (–tr(A)) +   d 

det(A). Propiedad.- El coeficiente independiente del polinomio característico de una matriz A, coincide (salvo el signo) con el valor de determinante de A. Propiedad.- =0 puede ser autovalor de una matriz cuadrada; el vector nulo no puede ser autovector de una matriz cuadrada.

Teorema de Cayley-Hamilton.- Sea A una matriz del espacio vectorial R nxn. Entonces A satisface su propio polinomio característico: Si p() = det ( I – A ) = n + an–1 n–1 + … + a22 + a1 +a0 , entonces p(A) = An + an–1 An–1 + … + a2A2 + a1A +a0 I = O, siendo O la matriz nula del espacio en cuestión. Inversa por Cayley.- Si A es matriz cuadrada no singular, det(A)  0 y por lo tanto a0  0. De la igualdad An + an–1 An–1 + … + a2A2 + a1A +a0 I = O, efectuando las operaciones adecuadas se obtiene: A –1 = (–1/a0) [ An–1 + an–1An–2 + … + a2A + a1I ] Diagonalización.- Una matriz cuadrada A se dice diagonalizable si existe una matriz no singular P de modo que P–1AP = D, donde D es matriz diagonal. La matriz cuadrada A es diagonalizable si y solo si tiene n autovectores linealmente

 1 

 

2

independientes. En tal caso, la matriz diagonal D  



 tiene en su diagonal





 



k 

principal a los autovalores de A, y P tiene como columnas a los autovectores de A. Propiedad.- Si la matriz cuadrada A de orden n tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable. Si A (nxn) tiene menos de n autovectores linealmente independientes, entonces A no es diagonalizable. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.Las matrices simétricas reales tienen varias propiedades importantes. 1. Sea A  Rnxn matriz simétrica, es decir, A=AT. Entonces los valores propios de A son reales. 2. Sea A  Rnxn matriz simétrica. Entonces los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son ortogonales. 3. Sea A  Rnxn matriz simétrica. Entonces A posee n vectores propios reales ortonormales. Definición.- Se dice que una matriz A  Rnxn es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que Q T AQ  D ó Q 1 AQ  D donde D es matriz diagonal constituida por los autovalores de A. Por lo anterior, para diagonalizar ortogonalmente a una matriz simétrica A, basta ortogonalizar por Gram-Schmidt cada base de cada espacio característico de A.