Diferencial Total 82p4e

Diferencial total Antes de comenzar es buena saber que el concepto de diferencial de una función de una variable. Este es el producto de la derivada por el incremento arbitrario de la variable

∆ ¿ x), es decir:

y´=

dy → dy= y ´ dx dx

De igual forma, definiremos el concepto de deferencial de funciones de varias variables Diferencial total de dos variables independientes Se y = f(x,y) una función de dos variables independientes. Se llama diferencial total, al producto de las derivadas parciales por los incrementos arbitrios de las variables respectivamente

(∆ x ) y

(∆ y ) , esto es:

dz=z x dx + z y dy Utilizando otra notación se podrá escribir:

dz=

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

De forma práctica, lo que deberemos hacer es hallar las derivadas parciales y multiplicarlas por dx y dy, como indican las anteriores formulas.

Diferencial total de una función de n variables independientes. El anterior concepto puede ser extendido de forma natural a funciones de varias variables. Sea

y=(x , y , t , s ,… .. , n)

una función de n variables independientes, se llama

diferencial total al producto de las derivadas parciales por los incrementos arbitrarios de las variables correspondientes, esto es:

dz=z x dx + z y dy+ z t dt + z s ds … .. z n dn Utilizando la otra notación, se podrá escribir:

dz=

∂z ∂z ∂z ∂z ∂z dx + dy+ dt + ds … . dn ∂x ∂y ∂t ∂s ∂n

Ejercicio 1 Hallar la diferencial total d la siguiente función de dos variables: 3

z=√ x−3 √ y 5 Comencemos por preparar la función, esto es:

[

−3

z= x y

1 5 3 2

] =x

−1

5

y6

A continuación calculamos las derivadas parciales, es decir:

−2

z x =−x

y

5 6

6 5 y √ =

x2

5

−1

−1 5 5 z y = x−1 y 6 = x−1 y 6 =5/6 x √6 y 6 6

Luego la diferencial se hallara sustituyendo las derivadas parciales, anteriormente calculadas, en la fórmula de la diferencial total, es decir:

dz=z x dx + z y dy 6

−√ y z x= 2 x z y=

6

−√ y 5 5 dz= 2 dx+ dy x 6 x √6 y

5

5 6 6 x√ y

Ejercicio 2 Hallar la diferencial total de la siguiente función de cuatro variables: 3

z=√ x−3 t 2 √ y 5 s3 Comencemos por preparar a función, esto es:

z=[ x

−3 2

t y

1 3

1 1 3 3

s ] =x

2 −1 3

5 6

t y s

1 2

A continuación calculamos las derivadas parciales, es decir:

3

−√ t 2 √ y 5 √ s −√ s √ t 2 √ y 5 z x =x t y s = = x2 x2 2 −2 3

2

5

1

2

5 6

5 −1 3 6 −1 2 5 −1 3 zy = x t y s = x t y 6 6

2 −1 −1 3

2 zt = x t 3

2 −1 3

5 6

1 2

−2 −1 3

2 y s = x t 3

5 6

1 zs = x t y s 2

1 −1 2

−2 −1 3

1 = x t 2

1 2

−5 6

5 6

3

6

1 2

3

5 √ s √t 2 s = 6 x √6 y

1 2

y s =2 y

5 6

s

1 2

3

= 1

3 xt3

5 6

−1 2

y s =

2 3

t y

5 6 1

2 √ s √ y5 3 x √3 t

3 2

t √y =√

5

2 x √s

2x s2

Luego la diferencial total se hallara sustituyendo las derivadas parciales, anteriormente calculadas, en la fórmula de la diferencial total, es decir:

dz=z x dx + z y dy+ z t dt + z s ds De donde: 3

dz=

3

√

3

3

−√ s √ t2 √ y 5 5 √t 2√s 2 s √ y5 √t 2 √ y 5 ds dx + dy + dt + 2 x√s x2 6 x √6 y 3 y √3 t

Ejercicio 3 Sensibilidad al cambio Su empresa fabrica tanques cilíndricos circulares rectos, con 25 pies de altura y 5 pies de radio, para el almacenamiento de melaza. ¿Cuál es la sensibilidad del volumen de los tanques a pequeñas variaciones en la altura y el radio? Solución Con

2

V = p r h tenemos que la aproximación al cambio en el volumen es

dV =V r (5.25 ) dr +V h ( 5.25 ) dh ¿ ( 2 Prh ) ( 5.25 ) dr + ( Pr 2) ( 5.25 ) dh ¿ 250 PDR +25 Pdh

Así, un cambio de una unidad en r cambia a V en aproximadamente 250p unidades. Un cambio de una unidad en h cambia V en aproximadamente 250p unidades. El volumen del tanque es 10 veces más sensible a un pequeño cambio en r, que a un pequeño cambio de igual tamaño en h. Como ingeniero de control de calidad preocupado por el volumen correcto de los tanques, tendrá que prestar atención especial a los radios. En contraste, si los valores de r y h se invierten para que

r=25 y h=5 entonces la diferencial total en

V es

dV = ( 2 Prh )( 25.5 ) dr + ( P r 2 ) ( 25.5 ) dh=250 Pdr +625 Pdh

Ahora, el volumen es más sensible a cambios en h que a cambios en r (figura 14.35). La regla general es que las funciones son más sensibles a pequeños cambios en las variables que generan las mayores derivadas parciales.

Derivadas mixtas o cruzadas Teorema de la derivada cruzada. Si f(x, y) y sus derivadas parciales

fx , fy , fxy , y fyx y están definidas en una región abierta que contiene

a un punto (a, b) y todas son continuas en (a, b), entonces

ƒ xy (a , b)=ƒ yx (a , b). El teorema de derivadas mixtas se conoce también como teorema de Clairaut, en honor del matemático francés Alexis Clairaut, quien lo descubrió. El apéndice 7 muestra una demostración. El teorema 2 dice que para calcular una derivada parcial cruzada de segundo orden podemos derivar en cualquier orden, siempre que se cumplan las condiciones de continuidad. Esto puede ser de provecho. Si f es una función de dos variables y tiene derivadas parciales de primer, segundo y tercer orden continuas sobre algún disco abierto, entonces las derivadas mixtas de tercer orden son iguales; esto es,

f xyy=f yxy=f yyx

Y

f yxx=f xyx=f xxy

Se sostienen comentarios similares para funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables x, y y z que posee derivadas parciales continuas de cualquier orden en alguna bola abierta, entonces las derivadas parciales como

f xyz=f zyx=f yxz son iguales en cada punto en la bola.

Ejercicio 1 Suponga que

z 2=x 2+ x y 2 z

la ecuación define a z implícitamente como una función

de x y y. Encuentre

∂z ∂x

y

∂z ∂y

Al mantener y constante,

∂ 2 ∂ 2 z= ( x + x y2 z ) ∂x ∂x

implica

∂ 2 ∂ 2 2 ∂ z= x +y xz ∂x ∂x ∂x

Por la regla de potencia para funciones junto con la regla del producto:

2z

∂z ∂z =2 x+ y 2 x +z ∂x ∂x

(

)

Después de que resolvamos la última ecuación para

∂ x /∂ z

∂ z 2 x + y2 z = ∂ x 2 z−x y 2 Al mantener ahora x constante,

∂ 2 ∂ 2 2 z= (x +x y z) ∂y ∂y Al resolver para

2z

implica

∂ z /∂ y

∂z 2 ∂z =x ( y +2 yz ) ∂y ∂y

se obtiene

∂z 2 xyz = ∂ y 2 z −x y 2

Ejercicio 2 Determine

fyxyz

si

2

2

f ( x , y , z )=1−2 x y z+ x y

Primero derivamos con respecto a la variable y, luego con respecto a x, luego nuevamente con respecto a y, y por último con respecto a z:

fy=−4 xyz + x 2 fyx=−4 yz+2 x fyxy=−4 z

fyxyz=−4

Ejercicio 3

Elección del orden de derivación Encuentre

w=xy + El símbolo

∂2 w/∂ x ∂ y

si

ey y 2+1 ∂2 w/∂ x ∂ y

nos dice que primero derivemos con respecto a y y luego con respecto a x. Pero

si posponemos la derivación con respecto a y y derivamos primero con respecto a x, obtenemos la respuesta rápidamente. En dos pasos,

∂w =y ∂x

2

y

∂ w =1 ∂y∂x 2

∂ w =1 Si derivamos primero con respecto a y, obtenemos también que ∂x ∂ y