Distribusi Binomial Dan Multinomial 5c2446

DISTRIBUSI BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

Suatu percobaan sering kali terdiri atas uji-coba (trial) yang diulang-ulang dan masing-masing mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Setiap ulangan dari percobaan tersebut disebut uji-coba Bernoulli. Percobaan yang merupakan uji-coba Bernoulli yang bebas dinamakan percobaan binomial. Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut: 1. Percobaannya terdiri atas

uji-coba

2. Dalam setiap uji-coba, hasilnya dapat digolongkan sebagai sukses atau gagal 3. Peluang sukses, yang dilambangkan dengan , untuk setiap uji-coba adalah sama, tidak berubah-ubah. 4. Uji-coba-uji-coba itu bersifat bebas satu sama lain Misalkan sebuah percobaan binomial berupa lantunan sekeping koin sebanyak tiga kali, dan dikatakan “sukses” bila yang muncul sisi , maka banyaknya sukses dapat dipandang sebagai sebuah peubah acak

yang

mengambil nilai bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan kemungkinan hasil berikut nilai -nya adalah: Hasil Percobaan AAA

0

AGA

1

AAG

1

GAA

1

AGG

2

GAG

2

GGA

2

GGG

3

Karena uji-coba satu dengan lainnya bebas dan masing-masing memiliki peluang sukses tetap sebesar , maka (

)

( ) ( ) ( )

1

( )( )( )

2

Begitu setiap kemungkinan hasil percobaan lainnya juga terjadi dengan peluang sebesar . Dengan demikian, sebaran peluang bagi 0 (

1

adalah:

2

3

)

Atau dengan rumus ( )

( ) Peubah acak

untuk

.

yang menyatakan banyaknya sukses dalam

uji-coba

suatu percobaan binomial disebut peubah acak binomial. Distribusi peluang bagi peubah acak dikret ini disebut distribusi binomial, dan fungsi padat peluangnya dilambangkan dengan (

) karena nilai-nilai ini tergantung pada banyaknya

uji-coba dan peluang sukses pada suatu uji-coba. Sehingga, untuk lantunan koin sebanyak tiga kali, distribusi peluangnya akan dituliskan sebagai: (

)

( )

untuk

.

Definisi. Distribusi Binomial Bila suatu uji-coba Bernoulli mempunyai peluang sukses

dan peluang gagal

, maka distribusi peluang atau Probability Mass Function (PMF) bagi peubah acak binomial , yaitu banyaknya sukses dalam

ulangan yang bebas

adalah: ( untuk

)

( )

( )

(

)

,

dan Sesuai dengan hasil untuk banyaknya sisi

bila sebuah koin dilantunkan

tiga kali.

Pembuktian distribusi binomial merupakan suatu PMF. Bukti. Untuk membuktikan suatu peubah acak adalah PMF, maka harus ditunjukan: ) 1. ( 2. ∑

(

)

3

Akan ditunjukkan distribusi binomial memenuhi kedua syarat di atas: 1.

(

)

Karena 0 p 1 dan nilai kombinasi pasti positif maka ( 2. ∑

(

) pasti positif.

)

Menggunakan persamaan binomial Newton pada ∑ ∑ (

)

∑( )

(

( Perhatikan bahwa bila

( )

), akan diperoleh:

)

)) dan

(

(

(

)

, maka ( )( ) ( )

( )

Contoh 1. Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilantunkan 5 kali. Jawab: Peluang sukses setiap uji-coba yang bebas ini adalah dan peluang gagal adalah . Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap sukses maka: (

)

( )( ) ( )

Contoh 2. Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi

peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang

bahwa tepat 2 di antara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja? Jawab: Dengan anggapan bahwa kasus pencurian itu bersifat bebas dan

maka:

4

(

)

( )( ) ( )

Distribusi binomial mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa ke ) suku dalam penguraian binomial (

(

nilai dari (

) untuk

(

)

. Perhatikan bahwa:

( )

( )

(

)

( )

(

)

, maka kita peroleh ∑

karena

) ternyata merupakan berbagai

( )

( (

) )

(

)

, suatu syarat yang harus

berlaku untuk distribusi peluang apapun.

Contoh 3. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah tinggi adalah orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa: (a) Sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh? (b) Ada 3 sampai 8 orang yang sembuh? (c) Tepat 5 orang yang sembuh? Jawab: (a) Misalkan

adalah banyaknya orang yang sembuh maka:

(

(

)

∑ (

(b) (

)

∑

)

(

)

∑ (

(c)

(

)

( ∑ (

)

∑ (

)

) )

∑ (

)

. Bila 15

5

Teorema Rataan dan variansi bagi distribusi binomial (

) adalah:

dan Bukti: Misalkan hasil pada uji-coba ke- dinyatakanoleh peubah acak , yang bernilai 0 dan 1, masing-masing dengan peluang

dan . Peubah acak

Bernoulli atau mungkin lebih tepat peubah indicator, karena dan

ini disebut peubah berarti gagal

berarti sukses. Dengan demikian, dalam suatu percobaan binomial

banyaknya sukses dapat dituliskan sebagai jumlah

peubah indicator yang bebas,

sehingga: adalah ( )

Rataan setiap

. Maka dengan menggunakan

teorema pada bab 4 kita dapatkan rataan bagi distribusi binomial, yaitu: ( )

( )

Variansi bagi setiap

(

( )

adalah:

*( ( )

( )

) +

(

)

( ) )

Dengan demikian menurut teorema, variansi distribusi binomial adalah:

Seandainya dalam percobaan binomial tersebut setiap uji-coba menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil, maka percobaan itu menjadi apa yang disebut percobaan multinomial. Pengambilan kartu dengan pemulihan juga merupakan percobaan multinomial bila yang diamati adalah keempat macam kartu yang ada.

6

Definisi. Distribusi Multinomial Bila setiap ulangan menghasilkan salah satu dari dengan peluan

hasil percobaan

, maka sebaran peluang bagi peubah acak

, yang menyatakan berapa kali

terjadi dalam

ulangan

yang bebas, adalah ( dengan ∑

) dan ∑

(

)

,

.

Distribusi multinomial mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa suku-suku penguraian multinomial (

) , berpadanan dengan semua

kemungkinan nilai (

)

Contoh 4. Bila dua dadu dilantunkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak dua kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya tiga kali? Jawab: Kita daftarkan kejadian yang mungkin terjadi: : terjadi jumlah bilangan yang muncul 7 atau 11 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu : kemungkinan lainnya selain dua di atas. Dalam setiap ulangan, peluang masing-masing kejadian di atas adalah dan

. Ketiga peluang tersebut tidak berubah dari ulangan satu ke

ulangan lainnya. Dengan menggunakan distribusi multinomial denga dan (

,

, kita mendapatkan peluang yang ditanyakan: )

(

)( ) ( ) ( ( )

( ) (

) )

,