Divisor De Cero 735u30

Divisor de cero En álgebra abstracta, un elemento no nulo a de un anillo g(x) = x, x ≤ 0 y g(x) = 0, x > 0 A es un divisor de cero por la izquierda si existe un elemento no nulo b tal que ab = 0. Los divisores de cero por El producto f · g = 0 para todo x ,número la derecha se definen análogamente. Un elemento que es real.[3] tanto un divisor de cero por la izquierda como por la derecha recibe el nombre de divisor de cero. Si el producto es conmutativo, entonces no hace falta distinguir entre divisores de cero por la izquierda y por la derecha. Un ele- 3 Contraejemplos mento no nulo que no sea un divisor de cero ni por la izquierda ni por la derecha recibe el nombre de regular. Cuando p es un número primo, el anillo Zp no tiene divisores de cero. Como todo elemento del anillo es una unidad, el anillo es un cuerpo.

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Definición

Sean a≠ 0 y b ≠ 0 dos elementos distintos de un anillo R 4 Propiedades tales que ab = 0. a y b se denominan divisores de cero, si a es divisor a izquierda y b es divisor a derecha.[1] Los divisores de cero por la izquierda o por la derecha nunca pueden ser unidades, porque, si a es invertible y ab = 0, entonces 0 = a−1 0 = a−1 ab = b.

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Ejemplos

•

•

• ( 1 2

Todo elemento idempotente no nulo a≠1 es divisor de cero, ya que a2 = a implica que a(a - 1) = (a - 1)a = 0. El anillo Z de los enteros no tiene divisores de cero, Los elementos nilpotentes no nulos del anillo también son pero en el anillo Z × Z, o Z2 (donde la suma y el divisores de cero triviales. producto se realizan componente a componente), se tiene que (0,1) × (1,0) = (0,0), así que tanto (0,1) En el anillo de las matrices de n×n sobre algún campo, los divisores de cero por la izquierda y por la derecha coincomo (1,0) son divisores de cero. ciden; son precisamente las matrices singulares no nulas. En el anillo de las matrices de n×n sobre un dominio de En el anillo cociente Z/6Z, la clase del 4 es un divisor integridad, los divisores de cero son precisamente las made cero, ya que 3×4 es congruente con 0 módulo 6. trices no nulas de determinante cero. De manera general, los divisores de cero existen en el anillo Z/nZ si y solo si n es número compuesto y Si a es un divisor de cero por la izquierda y x es un elecorresponden a aquellos números que no son primos mento arbitrario del anillo, entonces xa es cero o bien un divisor de cero. El siguiente ejemplo muestra que no se relativos con n.[2] puede decir lo mismo de ax. Considérese el conjunto de Un ejemplo de divisor de cero en el anillo de matrices de ∞×∞ sobre el anillo de los enteros, donde cada fila y cada columna contiene un número finito de matrices de 2×2 es la siguiente matriz: entradas no nulas. Éste es un anillo con el producto usual ) de matrices. La matriz 1 2 

porque, por ejemplo, ( 1 2

)( 1 1 · 2 −1

0 0  ) ( )( ) ( ) 0 1 −2 1 1 1 0 0 A= 0 = · =  −1 −2 1 2 2 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0 .. .

0 0 1 0

 0 0 · · ·   0   1  .. .

• Sean f y g dos funciones reales, ninguna es la función cero, de variable real definidas por es un divisor de cero por la izquierda y B = AT es, por tanto, un divisor de cero por la derecha. Pero AB es la f (x) = 0, x ≤ 0 y f (x) = x, x > 0 matriz identidad y, por tanto, no puede ser un divisor de 1

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cero. En particular, concluimos que A no puede ser un divisor de cero por la derecha. Un anillo conmutativo con 0≠1 y sin divisores de cero recibe el nombre de dominio de integridad o dominio integral. Las leyes de la cancelación valen en un anillo R si sólo si R no tiene divisores de 0. En este caso la ecuación ax = b tiene una única solución.[4]

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Véase también • Divisor

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Referencias

[1] Róbinson Castro Puche: Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica ECOE Ediciones ISBN 978-958648-850-1 [2] Castro Puche. Op. cit. pág 153 [3] Basta aplicar el producto de funciones, en sus respectivos subdominios [4] Fraleigh: álgebra abstracta ISBN 0-201-64052-X

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Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Zero Divisor». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

ENLACES EXTERNOS

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Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

8.1

Texto

• Divisor de cero Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Divisor_de_cero?oldid=98568165 Colaboradores: Joseaperez, Sabbut, Sms, Rembiapo pohyiete (bot), Francosrodriguez, Yrbot, CEM-bot, JMCC1, Antur, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, P.o.l.o., Rei-bot, AlleborgoBot, Farisori, Leonpolanco, Raulshc, MastiBot, Luckas-bot, Rubinbot, Grillitus, JackieBot, ChuispastonBot, AvocatoBot, Invadibot, Elvisor, YFdyh-bot, Legobot, Shin-Kats, Ruterous, X2y3, NinoBot, MomijiRoBot y Anónimos: 11

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Imágenes

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