Docer.com Aplicaciones De La Derivada Parte 01a4 5g4t5b

ANÁLISIS MATEMÁTICO – ISTRACIÓN DE EMPRESAS

1

APLICACIONES DE LA DERIVADA

El objetivo de este capítulo será justificar el tiempo que se ha invertido (dado (dado en los dos últimos últimos capítulos) aprendiendo aprendiendo a hallar la derivada de una función. Ahora vamos a exponer múltiples aplicaciones. En la práctica la derivada no sólo proporciona pendiente de rectas tangentes, sino mide razones de cambio, así también nos proporciona una buena cantidad de información sobre la forma i el comportamiento de una función. Introducción:

Otro de los objetivos de este libro, como se ha manifestado antes, entre otros fines, es aumentar el interés por la aplicación de la matemática en situaciones cotidianas. En este sentido, el sistema educativo, en el nivel secundario i superior debe proveer elementos para que el individuo desarrolle sus potencialidades, propiciándole capacidad para pensar crítica e independientemente. Tampoco queremos que el alumno, en pocos años de experiencia, descubra lo que la humanidad, incluso a través de sus mejores inteligencias descubrió a lo largo de miles de años. La matemática no sólo contribuye sobremanera para el ejercicio intelectual, sino que también es el lenguaje de la ciencia. La enseñanza debe estar enfocada en los intereses i necesidades prácticas de la comunidad, i que el alumno desarrolle precozmente la capacidad para leer e interpretar el mundo de la matemática. En este sentido tratamos de alcanzar en alguna medida con la exposición de varias aplicaciones del cálculo diferencial en los dos capítulos siguientes, a estudiantes de las carreras profesionales de todas las ingenierías, economía, istración de empresas, biología, medicina, ciencias físicomatemáticas, ciencias sociales, contaduría, etc. Un ingeniero, cuando calcula un diseño, necesita conocer la rapidez con que varía una de sus variables. En otros campos, para predecir la magnitud futura de una población, la demanda futura de energía eléctrica, etc. Por esta razón, los métodos del cálculo nos proporciona una poderosa herramienta para resolver estos problemas. 16.1 La derivada como razón de cambio

En esta sección se analizará la derivada como una razón de cambio (denominada a veces también como tasa de cambio). Vistas de este modo, las derivadas pueden representar cantidades como la razón a la cual, por ejemplo, crece la población, la velocidad de un cuerpo en movimiento, el costo marginal para un fabricante, la tasa de inflación, i la razón a la cual se agotan los recursos. recursos. A. Incr Increm emen ento to i tasa tasass

Sea y = f(x) una función tal que x1 es un primer valor i x2 un segundo valor de la variable x, entonces el cambio en la variable x es x 2 – x1, que se denomina incremento de x APLICACIONES DE LA DERIVADA

2 i denotada por: 'x = x2 – x1

En consecuencia, y adquiere un valor de y1 cuando x = x1; esto es, y1 = f(x1) Análogamente y2 = f(x2). Así el incremento de y es 'y = y2 – y1

El volumen de ventas de gasolina en cierto “grifo” depende del precio. Si p es el precio por galón, se determina que el volumen de ventas q (en galones por día) está dado por g(p) = 80 (20 – p). Calcule el incremento incremento en el volumen de ventas que corresponde corresponde a un incremento en el precio de 10.00 soles a 10.80 soles. Ejemplo 1.

Aquí en lugar de y = f(x) tenemos q = g(p), donde p es el precio i q el volumen de ventas. Luego p1 = 10.00 i p2 = 10.80 de modo que el incremento en el precio es ' p = p2 – p1 = 0.80. Los valores correspondientes de q son los siguientes q 1 = g (p1) = 80 (20 –p 1) = 800, q2 = g (p2) = 80 (20 – p 2) = 736. Por tanto, el incremento de q es 'q = 736 – 800 = – 64. El signo menos indica que el volumen de ventas disminuye en 64 galones por día cuando el precio se incrementa 0.80 de sol. 'y cambio en y  Nosotros estamos interesados en el cociente de incrementos . 'x cambio en x Solución:

Resolviendo la ecuación 'x = x2 –x1 ҧ x2 = x1 + 'x, tenemos 'y = f(x2) – f(x1) = f(x1+'x) – f(x1). Como x1 es cualquier valor de x, podemos suprimir el subíndice i escribir: 'y = f(x + 'x) – f(x). Dado que y = f(x), expresamos como: y + 'y = f(x + 'x) 'y 'y f ( x  'x )  f ( x ) se convierte en  'x 'x 'x 'y  f ' ( x ) ; Vea la sección 1del capítulo 14. Note que cuando cuando lim 'x o 0 'x

Por tanto, el cociente

Nos interesa los “términos relativos”, como en el ejemplo anterior. Las ventas de gasolina bajan en 64 galones en un día cuando el precio sube de 10.00 a 10.80 soles; esto 'q 64   80 galones diarios / sol. es, se pierde ' p 0.80 Definición 16.1

(a) La razón de cambio promedio (o tasa de cambio promedio) de y = f(x) se define Lic. José L. Estrada P. - UNAJMA

2 i denotada por: 'x = x2 – x1

En consecuencia, y adquiere un valor de y1 cuando x = x1; esto es, y1 = f(x1) Análogamente y2 = f(x2). Así el incremento de y es 'y = y2 – y1

El volumen de ventas de gasolina en cierto “grifo” depende del precio. Si p es el precio por galón, se determina que el volumen de ventas q (en galones por día) está dado por g(p) = 80 (20 – p). Calcule el incremento incremento en el volumen de ventas que corresponde corresponde a un incremento en el precio de 10.00 soles a 10.80 soles. Ejemplo 1.

Aquí en lugar de y = f(x) tenemos q = g(p), donde p es el precio i q el volumen de ventas. Luego p1 = 10.00 i p2 = 10.80 de modo que el incremento en el precio es ' p = p2 – p1 = 0.80. Los valores correspondientes de q son los siguientes q 1 = g (p1) = 80 (20 –p 1) = 800, q2 = g (p2) = 80 (20 – p 2) = 736. Por tanto, el incremento de q es 'q = 736 – 800 = – 64. El signo menos indica que el volumen de ventas disminuye en 64 galones por día cuando el precio se incrementa 0.80 de sol. 'y cambio en y  Nosotros estamos interesados en el cociente de incrementos . 'x cambio en x Solución:

Resolviendo la ecuación 'x = x2 –x1 ҧ x2 = x1 + 'x, tenemos 'y = f(x2) – f(x1) = f(x1+'x) – f(x1). Como x1 es cualquier valor de x, podemos suprimir el subíndice i escribir: 'y = f(x + 'x) – f(x). Dado que y = f(x), expresamos como: y + 'y = f(x + 'x) 'y 'y f ( x  'x )  f ( x ) se convierte en  'x 'x 'x 'y  f ' ( x ) ; Vea la sección 1del capítulo 14. Note que cuando cuando lim 'x o 0 'x

Por tanto, el cociente

Nos interesa los “términos relativos”, como en el ejemplo anterior. Las ventas de gasolina bajan en 64 galones en un día cuando el precio sube de 10.00 a 10.80 soles; esto 'q 64   80 galones diarios / sol. es, se pierde ' p 0.80 Definición 16.1

(a) La razón de cambio promedio (o tasa de cambio promedio) de y = f(x) se define Lic. José L. Estrada P. - UNAJMA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO – ISTRACIÓN DE EMPRESAS mediante:

'y f ( x  'x )  f ( x )  'x 'x

(b) La razón de cambio instantáneo (o tasa de cambio instantánea) de y con respecto a x f ( x  'x )  f ( x ) dy 'y  lim  f ' ( x )  se define por: lim . 'x o 0 'x 'x o 0 dx 'x En consecuencia, la derivada f’(x) denota tanto la pendiente de la gráfica de f en x, como la razón de cambio instantánea de y con respecto a x. El siguiente cuadro indica las ventas anuales de una compañía durante un determinado periodo.

Ejemplo 2. (istración (istrac ión de empresas)

Año Ventas anuales

2001 S/. 200000

2002 S/. 225000

2003 S/. 248000

2004 S/. 282000

¿Cuál es la rapidez de incrementos promedio de ventas anuales? (a) (c)

¿Entre 2001 i 2004? ¿Entre 2002 i 2003?

(b) (d)

¿Entre 2001 i 2002? ¿Entre 2002 i 2004?

Sea x = f(t) una función, donde x representa la cantidad en soles i t el tiempo en años. Cuando t se incrementa en 't, entonces x se incrementa en 'x, tal que x + 'x =

Solución:

f (t + 't) ҧ 'x = f (t + 't) – f (t), luego el cociente de incrementos

'x f ( t  't )  f ( t )  't 't

es

la razón de cambio promedio de las ventas anuales. (a) Entre Entre los años 2001 i 2004 para los cuales cuales t1 = 1 i t2 = 4 respectivamente, las ventas se han incrementado incrementad o de 200000 soles a 282000 soles, entonces 't = 4 – 1 = 3, 'x = 282000 – 200000 = 82000. Por lo tanto,

'x 82000 = 27333.3 soles / año, es la  3 't

rapidez en promedio de las ventas anuales durante 3 años. En forma similar obtenemos para los demás casos: (b) (c) (d)

'x 225000  200000  2 1 't 'x 248000  225000  32 't 'x 282000  225000  4 1 't

= 25000 soles / año = 23000 soles / año = 28500 soles / año.

B. Razón de cam camb bio


4 Queremos resaltar la diferencia entre lo que es continuo i discreto . La mayor parte de los problemas en ciencias sociales son propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aún, la computadora digital es una herramienta exacta i rígida para manejar cantidades discretas. Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos primero con curvas continuas?. Por esta razón muchos colegas, ofrecen ahora cursos de matemáticas discretas. Sin embargo, debido a su belleza i poder, el cálculo continúa gozando de popularidad como una herramienta para analizar los problemas, tanto de las ciencias sociales como las de ingeniería, i las de físico matemáticas. (Esta es la situación que ocurre en el ejemplo 1, planteado anteriormente). Los siguientes ejemplos expresan problemas en la cual la derivada se comporta efectivamente como una razón de cambio instantánea . Note que, siendo f ’(x) = f ( x  'x )  f (x ) f (x  'x )  f ( x ) , entonces f ’(x) es aproximadamente igual a ; es 'x o 0 'x 'x 'y decir, f ’(x) | = Razón de cambio promedio. 'x lim

Ejemplo 5. (Eficiencia de los trabajadores) Un estudio de productividad de turno matinal

en cierta fábrica revela que un obrero “promedio” que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado f(x) = –x 3 + 6x2 + 15x radios x horas más tarde: (a) A las 9:00 a.m. a qué razón ensambla radios el trabajador, (b) ¿Cuánto radios ensamblará el trabajador realmente entre las 9:00 a.m. i las 10:00 a.m.; entre las 10:00 a.m. i las 12:00 m. (a) Desde que nos solicitan la razón, necesitamos la derivada: f ’(x) = –3x 2 + 12x + 15. Para x = 0 se tiene 8:00 a.m., para x = 1 las 9:00 a.m., para x = 2 las 10:00 a.m., para x = 4 se tiene las 12 horas. Luego f ’(1) = 24; es decir, el obrero ensambla exactamente a las 9.00, 24 radios / hora. Solución:

(b) Deseamos hallar f(2) – f(1) = 46 – 20 = 26; esto es, el obrero ha ensamblado 26 radios entre las 9:00 i 10:00 de la mañana. En promedio

'y 26   26 radios 1 'x

/ hora, es lo que

ensambla en una hora. Similarmente f(4) – f(2) = 92 – 46 = 46, expresa el número de radios que ensambla entre las 10:00 i las 12.00; es decir, en dos horas. En promedio 'y 46   23 2 'x

radios / hora, es lo que ensambla en cada hora. Note que la eficiencia del

trabajador está disminuyendo. Encontrar el promedio de la razón de cambio del volumen V de una esfera, cuando el radio r cambia: Ejemplo 6.

(a)

de r 0 = 2 a r 1 = 2.3

(b)

Lic. José L. Estrada P. - UNAJMA

de r 0 = 2 a r 1 = 2.2

(c) de r 0 =

2 a r 1 = 2.1

5

ANÁLISIS MATEMÁTICO – ISTRACIÓN DE EMPRESAS (d)

Además hallar la razón de cambio instantánea de V en el instante r 0 = 2.

La fórmula para hallar el volumen de una esfera de radio r está dado por: V(r) = (4/3)Sr , entonces: Solución: 3

V(r 1 )  V(r 0 ) (4 / 3)S(2.3) 3  ( 4 / 3)S(2) 3  58.15 (a) = r 1  r 0 2.3  2 V(r 1 )  V(r 0 ) (4 / 3)S(2.2) 3  (4 / 3)S(2) 3 (b) =  55.43 r 1  r 0 2.2  2 V(r 1 )  V(r 0 ) (4 / 3)S(2.1) 3  (4 / 3)S(2) 3 (c ) =  52.79 r 1  r 0 2.1  2 V(r )  V(r 0 ) (d) lim = V’(r 0) = 4S r o2 . En r 0 = 2 se tiene: V’(2) = 4S (2)2 = 50.2656 u3. r or 0 r  r 0

Se calcula que dentro de t años la población de la cierta comunidad, del departamento del Cusco, será de 20 – 6 / (t + 1) miles de habitantes. (a) Deduzca una fórmula que exprese la razón al cual está cambiando la población con respecto al tiempo. (b) ¿Con qué rapidez estará creciendo la población de la comunidad al final de 9 años? (c ) ¿En qué cantidad aumentará la población en realidad durante el 10mo año?. (d) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo plazo?. Ejemplo 7.

Supongamos que f(t) = 20 – 6/(t + 1) expresa el número de habitantes (en miles) en función del tiempo t: Solución:

(a) La fórmula que representa la razón de cambio (instantánea) de la población con respecto al tiempo (en años) está dada por f ’(t) = 6 / (t + 1)2. (b) Al final de 9 años, se tiene t = 9; luego la población estará creciendo a razón de f ’(9) = 3/50 miles de habitantes por año; es decir, f ’(9) = 60 habitantes por año. (c ) Puesto que f ’(t) = 6 / (t + 1) 2 varía con el tiempo, el cambio real de la población en el lapso del 10mo año, viene dado por: f (10)  f (9) (20  6 / 11)  (20  6 / 10) 3 miles de habitantes; es decir,   10  9 1 55

aproximadamente 55 personas. (d) La razón de crecimiento a largo plazo está determinada cuando t o + f, lim f ’(t) = t o f

2

lim [6 / (t + 1) ] = 0, lo que quiere decir que la población tiende a permanecer constante.

t o f


6 Ejemplo 8.

(Medicina) La Dirección de Salud indica que t semanas después del brote de

cierta clase de gripe, aproximadamente Q( t ) 

80 miles de personas habían 1.2 t 4  76e

contraído la enfermedad. (a) ¿A qué ritmo se propagaba la enfermedad al final de la segunda semana?, (b) ¿Cuántas personas se contagiaron al final de la segunda semana? (a) Desde que nos solicitan el ritmo en que se propaga la enfermedad, requerimos la derivada Q’(t). Derivando como un cociente: Solución:

Q' ( t ) 

 80[ 76 (1.2) e 1.2 t ]

(4  76 e 1.2 t )2

7296 e 1.2 t (7296 ) (0.0907) Q ' ( 2 )   .Después de 2 semanas, (4  76 e1.2 t )2 (10.8945) 2

= 5.575; luego al final de las segunda semana la enfermedad crece a la rapidez de 5575 personas / semana. (b) Al final de la semana 2, se contagian de la gripe Q(2) 

80  7.3431; esto es, 343 10.8946

personas. D. Razón de cambio porcentual

En muchas situaciones prácticas la razón de cambio de una cantidad no es tan significativa como su razón de cambio porcentual. Por ejemplo, una razón de cambio anual de 600 personas en la población, en una ciudad de 9 millones de habitantes, sería insignificante, mientras que la misma razón de cambio tendría un efecto importante en un pueblo de 2400 habitantes. La razón de cambio porcentual (R) se define por: razón de cambio de la cantidad f ' ( x ) ; es decir, R  100 u tamaño de la cantidad f ( x ) dy o R = 100 u dx , donde y = f(x). Por tanto, una razón de cambio de 600 personas / año y 600 en una ciudad de 9 millones, resulta R = 100 u = 0.006 % de la población al 9000000 R  100 u

año. En cambio, para aquella razón de cambio de 600 personas / año en una ciudad de 2400 habitantes resulta:

R = 100 u

600  25 %. 2400

(Economía) El producto nacional bruto (PNB) de cierto país crece a una razón constante. En el año 2000 el PNB era 125000 millones de dólares i en el año 2002, 155000 millones de dólares. ¿A qué razón porcentual aumentó el PNB en el año 2006?. Ejemplo 9.



7

Como la razón es constante, entonces el PNB es una función lineal de la forma N(t) = at + b tal que N’(t) = a es constante, donde a es la pendiente de la recta i b la intersección con el eje vertical. Sea t = 0 para el año 2000, t = 2 para el año 2002, t = 6 para el año 2006. Solución:

Optamos en vez de 125 x 109 dólares para t = 0, sólo 125; análogamente para 155  125 t = 2, N = 155, luego a   15 , b = 125, entonces N(t) = 15t + 125, de donde 2 N’(t) = 15 i N’(6) = 15. La R es igual a 100 u 100 u

N' ( t ) N( t )

ҧ

para t = 6, R =

15 N' (6)  100 u = 6.98 %. N(6) 215

Ejemplo 10.

(Negocios) Un importador de café brasileño estima que los consumidores

locales comprarán aproximadamente D( p) 

4374 kilos de café a la semana cuando el p 2

precio sea p soles / kilo. Se estima que dentro de t semanas el precio del café brasileño será p(t) = 0.02 t2 + 0.1t + 6 soles por semana. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de café con respecto al tiempo dentro de 10 semanas; aumentará o disminuirá la demanda? dD . Como la demanda D está en función de p i p está en dt dD dD dp  función del tiempo, entonces empleando la regla de la cadena se obtiene: dt dp dt Solución:

Necesitamos obtener

- p (10)  0.02 (100)  0.1 (10)  6  9 ° 4374 Cuando t = 10 ҧ ® D ( p )  2  54 °¯ 9 dD (2) (4374) dD Por una parte, i cuando p = 9,   12 kilos de café / sol. Por otra parte, dp dp p3 dp dp dD dD dp ҧ  0.04 t  0.1 i cuando t = 10,  0.5 soles / semana. Luego  dt dp dt dt dt dD  ( 12) (0.5) = – 6 kilos / semana. Está disminuyendo. dp Sensibilidad al cambio

Cuando un pequeño cambio de x produce un cambio grande en el valor de una función y = f(x), decimos que la función es relativamente sensible a los cambios de x. La derivada f’(x) es una medida de la sensibilidad al cambio en x. Por ejemplo: El monge austriaco Gregor Johann Mendel (1822–1884), que trabajaba con chícharos (arvejas) de APLICACIONES DE LA DERIVADA

8 jardín i otras plantas, dio la primera explicación científica de la hibridización. Sus cuidadosos registros mostraron que si p (un número entre 0 i 1) es la frecuencia del gen de la cáscara lisa en los chícharos (dominante) i (1– p) es la frecuencia del gen de la cáscara arrugada, entonces la proporción de chícharos de cáscara en la población total es y = 2p(1– p) + p2 = 2p – p2. La gráfica de y = f(p) = 2p – p2 es una parábola donde el valor de y es más sensible a un cambio de p cuando p es pequeña, que cuando p es grande. En efecto, esto es evidente en la gráfica de y = f’(p) que es una recta, donde se muestra dy/dp es cercana a 2 cuando p se aproxima a 0, i cercana a 0 cuando p se aproxima a 1. y’

y y = 2p – p2

1 x

2x y’ = 2 – 2p

1

x

p

x

1

p

EJERCICIOS

2.

Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20000+ 40x soles i el ingreso obtenido por la venta de x toneladas esta dado por R(x) = 100x – 0.01 x2. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, ingreso i utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras.

3.

Durante el periodo de 1980 al 2000, el PNB de cierto país se encontraba por la fórmula I = 5 + 0.1x + 0.01x 2 en miles de millones de dolares. Determine el crecimiento promedio del PNB por año entre 1985 i 1990?.

4.

En el ejercicio anterior, calcule las tasas de crecimiento instantáneas del PNB en : (a) 1980, (b) 1990, (c) 2000.

5.

El producto nacional bruto de cierto país era N(t) = t 2 + 5t + 106 miles de millones de dólares t años después de 1998. (a) ¿A qué razón cambia el PNB con respecto al tiempo en el año 2006? (b) ¿A qué razón porcentual cambia el PNB con respecto al tiempo en el año 2006?.

6.

Las ganancias anuales de cierta compañía fueron G(t) = 0.1t 2 + 10t + 20 miles de soles t años después de su formación en el año 2001.

(Costo, Ingreso, Utilidades)

(Crecimiento del PNB)

(Crecimiento del PNB)

(PNB)

(Ganancias anuales)



9

(a) ¿A qué razón crecieron la ganancias anuales brutas de la compañía con respecto al tiempo en el año 2005?. (b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas, con respecto al tiempo en el año 2005?. 7.

En el cuadro siguiente aparecen la demanda i el incremento en los diferentes años, para la comercialización de madera en la ciudad de Madre de Dios (Perú) La demanda se mide en millones de pies cúbicos, i está aumentando aunque no a una velocidad constante. Determine la razón de cambio promedio en la demanda: (a) entre 2000 i 2005, (b) entre 2000 i 2003, (c) entre 2003 i 2005. (istración forestal)

Año

Demanda

Incremento de la demanda

2000 2001 2002 2003 2004 2005

12.0 12.4 13.3 14.8 16.0 17.5

0.4 0.9 1.5 1.2 1.5

8.

La contribución total C, recolectada con fines de caridad es función de la duración de la campaña nacional de recolección de fondos. La función es C  f ( t )  1000000 (1  e 0.04 t ) , donde C se da en soles i t en días. (a) ¿Cuánto se espera recaudar si la campaña dura 20 días?. (b) ¿Con qué rapidez se recauda en 20 días?.

9.

Los registros indican que x años después del año 2001, el impuesto medio sobre la propiedad de una casa de 3 habitaciones en cierta comunidad era T(x) = 20x 2 + 40x + 600 soles. (a) ¿A qué razón aumentó el impuesto sobre la propiedad con respecto al tiempo en el año 2007?. (b) ¿A qué razón porcentual creció el impuesto sobre la propiedad con respecto al tiempo en el año 2007?.

(Recaudación de fondos)

(Impuesto sobre la propiedad)

El producto nacional bruto de cierto país crece con el tiempo t de acuerdo con la fórmula I = I0 + at, en donde I0 i a son constantes. La población al tiempo t es P = P0 + bt, P0 i b son constantes. Calcule la tasa de cambio del ingreso per cápita en el instante t ( El ingreso per cápita es igual al PNB dividido entre el tamaño de la población).

10. (Ingreso per cápita)

El ingreso per cápita en cierto país al tiempo t es igual a W = 6000 + 500t + 10t (W está en dólares i t en años). El tamaño de la población en el

11. (Tasa de cambio del PNB) 2


10 instante t (en millones) es P = 10 + 0.2t + 0.01t2. Calcule la tasa de cambio del PNB en el instante t. El tamaño de la población P de un país es P  f (t )  50e0.05 t , donde P se mide en millones i t en años (t = 0 corresponde al 2000) (a) ¿Cuál fue la población en 1995?. (b) ¿Cuál fue la tasa promedio de crecimiento del 2000 al 2005?. (c) ¿Cuál se espera que sea la tasa instantánea de crecimiento para el año 2020?.

12. (Crecimiento de una población)

Sea y el número de trabajadores en la fuerza laboral de una fábrica necesaria para producir x unidades de cierto artículo i supongamos que x = 4y2. Si la producción del artículo en el presente año es de 250000 unidades i la producción está creciendo a razón de 18000 unidades por año. ¿Cuál es la razón a la cual debe ser aumentada la fuerza laboral?.

13. (Producción de una fábrica)

La ecuación de provisión de cierta clase de lápices es x = 3p 2 + 2p, donde p soles es el precio de cada lápiz cuando 1000x lápices son provistos. Encontrar la razón de cambio instantánea del abastecimiento por cambio de un sol en el precio, cuando el precio es de 10 soles.

14. (Producción)

15. (Publicidad i ventas)

Para vender x unidades de su producto semanalmente, una 400 · ¸ . Los objetos se  500 x © ¹

compañía debe gastar A soles en publicidad donde A  200 ln § ¨

venden a S/. 5 cada uno. La utilidad neta es entonces R = 5x – A. Calcule la razón de cambio de R respecto a A. Los ingresos de un almacén de ventas al menudeo son 100y soles cuando x soles son gastados diariamente en publicidad i y = 2500 + 26x – 0.2x 2. Usar la derivada para determinar si sería ventajoso que el presupuesto diario de publicidad fuera aumentado, si el presupuesto actual de publicidad es S/. 60; es S/. 100.

16. (Negocios)

Cuando una compañía inicia una nueva campaña de ventas, el número de ventas por día aumenta. Sin embargo, el número de ventas diarias extras por día disminuye a medida que la campaña termina. Para una campaña específica la compañía ha determinado que si S es el número de ventas diarias extras como resultado de la campaña i x es el número de días que han pasado desde que la campaña terminó, entonces: S = (100)(3) – x / 2. Encontrar la razón a la cual las ventas diarias extras están decreciendo cuando: (a) x = 4; (b) x = 10. 18. (Costos) Supongamos que el costo total en soles de la fabricación de x unidades de cierto artículo es C(x) = 3x2 + 5x +10 (a) ¿Cuál es la razón de cambio del costo con respecto a x cuando se han producido cincuenta unidades?. 17. (Ventas al menudeo)



11

(b) ¿Cuál es el costo efectivo de la fabricación de la unidad número 51?. En la escala igualmente templada con la que se afinan los instrumentos de teclado desde la época de J. S. Bach (1685-1750), las frecuencias de las notas sucesivas DO, DO#, RE, RE#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI, DO , forman una progresión geométrica en la que DO tiene el doble de frecuencia que DO. ¿Cuál es la razón r entre las frecuencias de notas sucesivas? Si la frecuencia de LA es 440, encuentre la frecuencia de DO .

56. (Música)

Suponga que la producción en determinada fábrica es Q = 2x 3 + x2y + y3 unidades, donde x es la cantidad de horas de mano de obra calificada que se utiliza i y la cantidad de horas de mano de obra no calificada. La fuerza laboral actual incluye 30 horas de mano de obra calificada i 20 horas de mano de obra no calificada. Estime el cambio que debería realizarse en la mano de obra calificada i para compensar un incremento de una hora en la mano de obra calificada x, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 58. (Utilidades) Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 10t 2  t  236 mil soles, t años después de su formación en enero de 2001. (a) ¿A qué razón estarán aumentando las ganancias brutas en enero de 2005?. (b) ¿A qué razón porcentual estarán aumentando las ganancias brutas en enero de 2005?. 57. (Producción)

En cierta fábrica, el costo total de fabricación de n artículos durante el trabajo de producción diario es de 0.2 n 2 + n + 900 soles. Según la experiencia se ha determinado que durante las primeras t horas de trabajo de producción diario se fabrican aproximadamente t2 + 100t artículos. (a) Deduzca una fórmula para la razón de cambio del costo total con respecto al tiempo. (b) ¿Cuál es la razón de cambio una hora después de que comience la producción?.

60. (Producción diaria)

Un estudio de eficiencia de turno matinal en cierta fábrica revela que un obrero medio que llega a las 8:00 a.m. al trabajo habrá producido Q(t) = – t3 + 6t2 + 24t unidades t horas más tarde. (a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 11:00 a.m. (b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 11:00 a.m.? (c) Estime el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 11:00 a.m. i las 11:10 a.m. (d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre 11:00 a.m. i 11.10 a.m.

61. (Eficiencia de un trabajador)


12 En cierto momento, la población de una ciudad está aumentando a una razón de 2000 habitantes por año i ha llegado a una magnitud en la cual se cometen aproximadamente 2 robos diarios por cada 5000 habitantes. ¿A qué razón está aumentando el número de robos por día con respecto al tiempo?.

62. (Seguridad ciudadana)

Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será de 0.5p + 1 partes por millón cuando la población sea de p mil personas. Se calcula que dentro de t años la población de la comunidad será de 10 + t2/10 mil personas. ¿A qué razón estará aumentando el nivel diario de monóxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 4 años?.

63. (Salud ambiental)

En cierta fábrica la producción Q está relacionada con los insumos x i y mediante la ecuación Q = 2x3 + 3x2y2 + (1+y)3. Si los niveles actuales de insumo son x =30 i y =20, utilice el cálculo para estimar el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una disminución de 0.8 unidades en el insumo x, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual.

64. (Fabricación)

En cierta fábrica, el costo total de fabricación de q unidades durante el trabajo de producción diario es de 0.2q 3 - 0.1q2 + 0.5q + 600 soles. Después de t horas en un día de trabajo típico, se han producido 10 t 2  t  4 unidades. Calcule la razón de cambio del costo total con respecto al tiempo 3 horas después de que comience la producción.

65. (Producción)

Cuando se venden batidoras eléctricas a p soles cada una, los clientes locales comprarán un total de 8000/p batidoras al mes. Se calcula que dentro de t meses el precio de las batidoras será de 0.04t 3/2 + 15 soles. Calcular la razón a la cual estará cambiando la demanda mensual de batidoras con respecto al tiempo dentro de 25 meses. 67. (Ganancias) Un fabricante ha estado aumentando la producción total de su fábrica en cinco unidades cada semana. La utilidad semanal es de –x2/10 + 72x – 140 soles cuando se producen x unidades durante la semana. (a) Si t denota el número de semanas durante las cuales ha estado vigente el aumento de producción, halle una fórmula para la razón a la cual está cambiando la utilidad del fabricante con respecto a t si x = 200 cuando t = 0. (b) ¿A qué razón estará cambiando la utilidad con respecto al tiempo 8 semanas después del comienzo del aumento de producción? ¿La utilidad en ese momento será creciente o decreciente? (c) ¿Cuándo será igual a cero la razón de cambio de utilidad? ¿Cuál es el significado económico del nivel de producción en ese momento? 66. (Negocios)


13


Si el PNB de una nación es I = 10 + 0.4t + 0.01t2 (en miles de millones de dólares) i el tamaño de la población (en millones) es P = 4 + 0.1t + 0.01t2, determine la tasa de cambio del ingreso per cápita.

68. (Ingreso per cápita)

El pH de una solución está definido como pH = –log10[H], donde [H] es la concentración de iones de hidrógeno. Es una medida de acidez, con pH = 7 la solución

69. (Acidez)

es neutral. Calcule los valores de

d pH cuando [H] = 10 –4, 10 –7, 10 –10. d [H]

Después de una inyección, la concentración de cierta droga en la sangre de un paciente, cambia de acuerdo a la fórmula c = p t2 e – k t, donde p i k son constantes. Calcule la razón de crecimiento de la concentración en el tiempo t.

70. (Medicina)

Suponga que una proyección a 5 años de las tendencias de la población indica que dentro de t años la población de determinada comunidad será P(t) = –t3 + 9t2 + 48t + 200 miles. (a) ¿A qué tasa crecerá la población dentro de 3 años? (b) ¿A qué razón cambiará la tasa de crecimiento de la población con respecto al tiempo dentro de 3 años? (c) Estime el cambio en la tasa de crecimiento de la población durante el primer mes del cuarto año. (d) Calcule el cambio real en la tasa de crecimiento de la población durante el primer mes del cuarto año.

71. (Crecimiento de la población)

72. (Crecimiento de la población)



y  y m 1  Ce  k t

Cierta población crece de acuerdo con la fórmula

3 , donde ym, C i k son constantes.

el instante t i pruebe que es de la forma

Calcule la tasa de crecimiento en

dy  3ky 2 / 3 (B) . Halle el valor de B. dt

E. Razones afines.

Si la variable y depende del tiempo, entonces

dy dt

se llama razón de cambio con

respecto al tiempo.

Por supuesto, si y mide la distancia, esta razón se llama velocidad. Estamos interesados en una amplia variedad de razones con respecto al tiempo. Cuando en la función y = f(x), las variables x i y dependen de una tercera variable t, donde t denota el tiempo, entonces la razón de cambio de y, que es dy ; i la razón de dt

cambio de x, que es

dx dt

, están relacionadas por medio de la regla de la cadena:

dy dy dx  dt dx dt

.

Estas razones de cambio, así relacionadas se llaman razones afines. Otras veces se APLICACIONES DE LA DERIVADA

14 denomina tasas relacionadas. Dicho de otra manera, si y = f(x) i x = g(t), entonces sabemos que y = h(t), donde h = f o g; luego en virtud de la regla de la cadena se tiene (f o g)’(t) = f ’( g(t) ) g’(t) o dy  dy dx dt

dx dt

Puesto que la cantidad y depende de la cantidad t, cuando y aumenta a medida que t aumenta se tendrá dy ! 0 , i cuando y disminuye a medida que t aumenta se tendrá dy  0 , i dt

dt

cuando y no varía cuando t aumenta se obtendrá

dy 0 . dt

Un punto se mueve sobre la curva x 3 + y 3 = 1 de tal modo que su abscisa x disminuye a una velocidad de –1 cm/seg. Calcular la velocidad a la que varía la ordenada de este punto cuando x = 1/3. Solución: Las dos coordenadas x i y de este punto que se desplaza a lo largo de la curva x 3 + y3 = 1 están en función del tiempo t. Se pide determinar dy cuando dx = –1 i x = 1 . Ejemplo 11. (Velocidad)

dt

dt

1 3

obtenemos

3

Pasamos a derivar implícitamente con respecto a t: x3 + y3 = 1

ҧ

3x 2

1 y  3 1  x 3  3 26 3

dx dy  3y 2 0 dt dt

ҧ

dy x 2 dx  dt y 2 dt

. Para

x

(1 / 3) 2 dy dy 1 | 0.1139 . Reemplazando en :  (–1)= 3 676 2 dt dt ª§ 1 · 3 º «¨¨ ¸¸ 26 » «¬© 3 ¹ »¼

La ecuación de demanda del producto de una compañía es 2p + x = 300, en donde x unidades pueden venderse a un precio de S/. p cada una. Si la demanda cambia a una tasa de 2 unidades por año cuando la demanda alcanza 40 unidades, ¿a qué tasa está cambiando el ingreso si la compañía ajusta su precio a la demanda cambiante?. 1 Solución: De la ecuación de demanda 2p + x = 300 se tiene p = (300  x ) . Nos solicitan Ejemplo 18. (Tasa de cambio del ingreso)

2

dR cuando x = 40 i dx  2 , donde el ingreso R viene dada por R = xp. Ahora dt dt R = x (300  x ) . Para determinar dR empleamos la regla de la cadena: dR  dR dx . En 2 dt dt dx dt efecto, dR   x  150 , cuando x = 40, dR  110 . Reemplazando: dR  (110) (2)  220 soles/año. dx dt dt

El porcentaje de abejas que mueren durante el invierno de cierto grupo de colmenas es una función de la temperatura promedio. Ejemplo 20. (Función de supervivencia)

Supongamos que

p  100 e 0.1 e

0.1 T

donde T es la temperatura (en grados Celsius) i p es el


15


porcentaje de abejas muertas. Si T decrece a razón de 2° C por semana, calcule la razón en la cual cambia p cuando T = –10° C. Solución:

Nos piden calcular

dp dt

cuando T = –10 i

0.1 T dp  100 (e  0.1 e ) ( 0.1e0.1 T ) (0.1) ; es decir, dT

obtenemos

dT  2 . dt

Pero

0.1 T dp  e0.1T e 0.1 e dT

dp dp dT  dt dT dt

. Ahora

i cuando T = –10

1 dp  (e 1 ) (e  0.1 e ) . Empleando una calculadora de bolsillo se tiene: dT

dp   (0.367879441) (0.9638851)   0.354591823 . dT

Reemplazando en la regla de la cadena

dp  ( 0.354591823) ( 2)  0.709183646 . Por tanto, la abejas mueren (están aumentando) en dt

70.9 % o 71 % cuando T = –10°C. Rendimiento cardiaco

A fines de la década de 1860, Adolf Fick , profesor de biología de la Facultad de medicina de Würtzberg, Alemania, desarrolló uno de los métodos usados actualmente para medir la cantidad de sangre que bombea el corazón en un minuto. El rendimiento cardiaco de usted, mientras lee estas líneas, es probablemente de unos 7 litros/minuto. En reposo, probablemente esté apenas debajo de 6 litros/minuto. Un atleta entrenado que está corriendo una maratón puede tener un rendimiento cardiaco tan alto como 30 litros/minuto. El rendimiento cardiaco se puede calcular con la fórmula

y

Q D

, donde: Q es la

cantidad en mililitros de CO2 (Bioxido de carbono) que exhala en un minuto, D es la diferencia entre la concentración de CO 2 (ml/L) en la sangre bombeada a los pulmones i la concentración de CO2 en la sangre que regresa a los pulmones. Por ejemplo, si Q = 233ml/min., D = 97 – 56 = 41 ml/L, se tiene y =

233 ml / min =5.68 litros/minuto. (Datos 41ml / L

por cortesía de Quin Collage of Medicine, East Tennessee State University) Supongamos que Q = 233, D = 41 también se sabe que D decrece a razón de 2 unidades por minuto, pero que Q es constante, ¿qué pasa con el rendimiento cardiaco?. Ejemplo 21.

dy Q dD Q  2 i Q es constante, , donde t denota el tiempo en dt D D dt dy 233 minutos. Reemplazando (2) = 0.27 L/min; esto es, el rendimiento cardiaco es  dt (41)2 Solución:

Desde que y 

0.27 litros de sangre que bombea el corazón en un minuto. APLICACIONES DE LA DERIVADA

16

PROBLEMAS

1.

Un punto se mueve sobre la curva y  x e x de tal modo que la ordenada aumenta a una velocidad de 2 unidades/seg. Calcular la velocidad de su abscisa cuando x = 2.

2.

Un punto en el plano se mueve sobre la rama de la astroide x 2/3 + y2/3 = 2 (en donde x i y se miden en metros) que se encuentra en el primer cuadrante, de tal manera que su abscisa crece a una velocidad constante de 10 cm/min. Determine la velocidad a la que está variando la ordenada cuando el punto pasa por (1,1).

3.

Un punto se mueve sobre la curva x = y ln (1+y2) de tal modo que su abscisa decrece 2cm/seg. Halle la velocidad a la que está variando la ordenada cuando y = 2.

4.

La diagonal de un cuadrado está aumentando a una razón de 4cm/min. Calcule la razón a la que está aumentando el área del cuadrado en el momento en que la diagonal es de 5cm.

5.

Un cono circular recto tiene una altura de 15cm; mientras que el radio de su base está aumentando a razón de 1cm/min. Calcule la rapidez a la que está aumentando el volumen del cono cuando el radio de su base sea de 3 cm.

6.

(Costos)

(Velocidad)

(Velocidad)

(Velocidad)

(Rapidez)

(Rapidez)

Una empresa tiene la función de costo

C( x )  25  2x 

1 2 x , 20

en donde x es el

nivel de producción. Si éste es igual a 5 actualmente i está creciendo a una tasa de 0.7 por año, calcule la tasa en que los costos de producción se están elevando. 16.3 Análisis marginal La siguiente aplicación está dedicada a todos los estudiantes que cursan una carrera profesional. Algunos autores lo consideran sólo para aquellos que van a proseguir estudios de economía, istración de empresas, contaduría, etc. Cuando se vive en un mundo de libre competencia, donde por ejemplo, la oferta i la demanda compiten libremente, entonces es imperativo que cualquier futuro profesional debe conocer aspectos básicos de economía. Un ingeniero, por ejemplo, mediante la matemática requerirá en su empresa manejar estos conceptos tomando decisiones adecuadamente. Después de todo, a todos nos interesa la economía; i por esta razón, no debe ser exclusivo sólo para estudiantes de las ciencias económico-istrativas. Cada disciplina tiene su propio lenguaje. Esto por cierto, es verdad en economía que ha desarrollado un vocabulario especializado. Una vez que se aprende este vocabulario, Lic. José L. Estrada P. - UNAJMA


17

se descubre muchos de los problemas económicos no son más que problemas de cálculo ordinario vestido con nuevo ropaje (como dicen en mi terruño: es la misma “chola” con diferente “pollera”). La economía tiende a ser el estudio de fenómenos discretos i el uso de la derivada para aproximar el cambio producido en una función por un cambio de 1 unidad en su variable se denomina análisis marginal. A. Costo marginal

El costo total C de producir x artículos, si es una función lineal, viene dado por C(x) = ax + b, donde el término “ax” es el costo variable i “b” el costo fijo. Véase la sección 7.1, parte A. Ahora consideraremos funciones en general C = C(x), no siempre lineales. Por ejemplo, supongamos que un fabricante de cierto artículo determina que a fin de producir x de estos artículos el costo total está dado por C(x) = 0.05x 2 + 300. Si se produce 100 artículos cada mes, el costo total es C(100) = 800 S/. Si se produce 130 artículos cada mes, (decide aumentar su producción en 30 artículos) el costo es C(130) = 1145 S/., luego el aumento en el costo es 'C = 1145 – 800 = 345 S/. cuando el incremento en la producción es 'x = 130 – 100 = 30 unidades. Luego 'C 345   11.5 S/. es el costo promedio de producir 30 artículos adicionales 30 'x  



por cada uno.



Si la producción es 120 artículos mensuales, el costo es C(120) = 1020 S/. luego el aumento en el costo es 'C = 1020 – 800 = 220 S/. cuando el incremento en la 'C 220   11 S/. es el producción es 'x = 120 – 100 = 20 unidades. Por tanto 20 'x costo promedio de producir 20 artículos adicionales por cada uno.



Si la producción es 110 artículos cada mes, el costo será de C(110) = 905 S/. luego el incremento es 'C = 905 – 800 = 105 S/. cuando el incremento en los artículos es 'x 'C 105   10.5 S/. es el costo promedio = 110 – 100 = 10 unidades. De aquí que 'x 10 de producir 10 artículos adicionales por cada uno.

El incremento en el costo 'C viene dado por 'C = C(x + 'x) – C(x), i el costo 'C C( x  'x )  C( x )  promedio de producir 'x artículos adicionales por cada uno será: . 'x 'x En consecuencia ahora podemos definir el costo marginal de C = C(x) como el valor


18 límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra 'C  costo marginal; que no es sino: tiende a cero; es decir, lim 'x o 0 'x dC Costo marginal  dx En otras palabras, el costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida. NOTA:

Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio.

C( x ) . Por ejemplo: x C(130) 1145   8.81 (a) Costo promedio por artículo al producir 130 artículos es C ( x )  130 130 C(120) 1020   8.50 (b) Costo promedio por artículo al producir 120 artículos es C ( x )  120 120 C(110) 905 (c) Costo promedio por artículo al producir 110 artículos es C ( x )    8.23 110 110 C(100) 800   8.00 (d) Costo promedio por artículo al producir 100 artículos es C ( x )  100 100 En resumen: Si la producción se incrementa en 1 unidad, entonces 'x = 1 i la diferencia dC 'C = C(x+1) – C(x) estará muy cerca de . Por esta razón, escribimos: dx 'C = C(x+'x) –C(x) | C’(x)'x (es aproximadamente igual). Cuando 'x = 1 entonces: 'C = C(x+1) – C(x) | C’(x). Por tanto:

El costo promedio por artículo se define por C ( x ) 

Costo marginal = C’(x) | C(x+1) – C(x) : Costo de producir (x+1) unidad B. Ingreso marginal.

El ingreso total de una empresa proviene de la venta de x unidades. Si p es el precio unitario i x el número de unidades, el ingreso total R(x) viene dado por R(x) = xp. Considerando análogamente al costo marginal se obtiene; Ingreso marginal = R’(x) | R(x+1) – R(x) : Ingreso obtenido de la venta (x+1) unidad



19

La utilidad U(x) de una empresa, como ya sabemos, viene dada por U(x) = R(x) – C(x), donde R(x) i C(x) son el ingreso total i el costo total respectivamente. Luego: Utilidad marginal = U’(x) | U(x+1) – U(x) : Utilidad obtenida de (x+1) unidad El precio p de un artículo está en función de la cantidad x, donde p = p(x). Luego: Precio marginal = p’(x) | p(x+1) – p(x) : Precio obtenido de la (x+1) unidad El costo total de producir i vender x unidades de cierta mercancía por mes es de C(x) = 1200 + 3.25x – 0.0002x 2. Si el nivel de producción es de 1800 unidades por mes, encuentre el costo promedio de cada unidad i el costo marginal. C( x ) 1200  3.25x  0.0002 x 2  Solución Costo promedio: C ( x )  ҧ x x 1200 C(x)   3.25  0.0002x . Cuando x = 1800, C (1800)  3.56 . Esto significa que x cuesta 3.56 soles por unidad al producir 1800 unidades. Costo marginal: C’(x) = 3.25 – 0.0004x. Cuando x = 1800, C’(1800) = 2.53. Esto significa que cuesta 2.53 soles una mercancía adicional después de 1800. Ejemplo 1.

El costo total de un fabricante para producir x unidades es C(x) = 1 1 2 x  4x  57 i el precio es p( x )  ( x  36) . 5 4 (a) Determine el costo i el ingreso marginales. (b) Mediante el costo marginal, calcule el costo de producir la 4ta. unidad. (c) Encuentre el costo real de producir la 4ta. unidad. (d) Mediante el ingreso marginal, calcule el ingreso obtenido de la venta de la 4ta. unidad. (e) Determine el ingreso real obtenido de la venta de la 4ta. unidad. Ejemplo 2.

Solución:

1 2 (a) El costo total C( x )  x 2  4 x  57 ҧ C' ( x )  x  4 es el costo marginal. Además 5 5 x x el ingreso total viene a ser R(x) = x p(x), luego R ( x )  (  x  36) ҧ R ' ( x )    9 4 2 es el ingreso marginal.

(b) Para hallar el costo de producir la 4ta. unidad, el nivel de producción es x = 3, luego 2 C' (3)  (3)  4 ҧ C’(3) = 5.2 S/. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA

20 (c) El costo real para producir la 4ta. unidad es C(4) – C(3) = 76.2 – 70.8 = 5.4 S/. x (d) Como R ' ( x )    9 ҧ R’(3) = 7.5 S/. 2 (e) El ingreso real para la unidad 4 es R(4) – R(3) = 32 – 99/4 = 7.25 S/. EJERCICIOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Suponga que C(x) = 8300 + 3.25x + 40 3 x soles. Encontrar el costo promedio i el costo marginal, i evalúelos cuando x = 1000. Si la ecuación de demanda es x + 4p = 100, calcule el ingreso marginal. Si la ecuación de demanda es x 1 / 2  50 p  1000 , calcule el ingreso marginal cuando p = 16. Si en el ejercicio 2, la función de costo es C(x) = 5x + 100, calcule la utilidad marginal. Si en el ejercicio 3, la función de costo es C(x) = 50 + x 3 / 2 , calcule la utilidad marginal cuando: (a) p = 16, (b) x = 25. En el ejercicio 4, encuentre el valor de x tal que U’(x) = 0 i calcule la utilidad correspondiente. Esta representa la utilidad máxima que puede obtenerse por la venta del articulo en cuestión. Determine el precio p que da esta utilidad máxima.

7.

Para cada una de las funciones de costo total, encontrar el costo promedio, el costo marginal, el costo promedio marginal i graficar estas funciones. (a) C(x) = 1000x –180x2 + 3x3 (b) C(x) = 220 + 55x –2x3 + x4 (a) C(x) = x  25 , 0 d x d 10 (d) C(x) = 9x + 5x e 2 x

8.

Cuando un peluquero fija una cuota de S/. 4 por corte de cabello, advierte que el número de clientes en una semana es de 100, en promedio. Al elevar la tarifa a S/. 5, el número de clientes por semana baja a 80. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio i el número de clientes, determine la función de ingreso marginal. Encuentre entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero.

Demuestre que si la función de costo es de la forma C(x) = ax2 + bx + c, entonces en el valor de x para el cual el costo marginal es igual al costo promedio C( x ) , la derivada d >C(x)@  0 . dx 3/ 4 10. La función de consumo de cierta nación está dada por C(I) = 4 + 0.36 I + 0.48 I . Encuentre la tendencias marginales por consumir i por ahorrar si el ingreso marginal es I = 16 mil millones. 9.

11.

El gasto extra de un fabricante de juguetes para niños es de 400 soles por semana i otros gastos ascienden a S/. 3 por cada juguete producido. Encontrar:



21

(a) La función de costo total. (b) La función de costo promedio. (c) La función de costo marginal. dp se denomina función de dx 2 precio marginal. La ecuación de demanda de cierto producto es p = 2024 –2x – x . Determine el precio marginal a un nivel de demanda de 30 unidades. dx 13. Si la relación de demanda está dada por x = f(p), se denomina demanda dp 2 marginal . Si la ecuación de demanda de cierto producto es p + x = 20, encuentre la demanda marginal a un nivel de precio de p = 2. Interprete su resultado. 12.

Si la función de demanda está dada por p = f(x), entonces

14.

Calcule el ingreso marginal en el caso de las relaciones de demandas siguientes: (a) p = 5 – e 0.1 x , (b) x = 1000 (2 – e p )

Calcule el costo marginal i el costo promedio marginal para la función de costo C(x) = 100 + x + e 0.5 x . 16. Suponga que el costo total de fabricación de x artículos está dado por la función C(x) = 3x2 + x + 48. (a) ¿Cuál es el costo total de fabricación de 20 artículos?. (b) ¿Cuál es el costo de fabricación del vigésimo artículo?. (c) ¿Cuál es el costo promedio por artículo de la fabricación de 20 artículos?. 15.

Calcule el costo marginal i la tasa de cambio del costo marginal con respecto al volumen de producción en la función de costo C(x) = 500 + 30x –0.1x 2 + 0.002x3. 18. Si C( x ) es la función de costo promedio, demuestre que: C ' ' ( x ) 2C ' ( x ) 2C( x ) C ' ' (x )  .   2 3 x x x 19. Si x unidades pueden venderse a un precio de p soles cada una en donde x + ln (p+1) = 50, ( 0 d x d 50 ), calcule el precio marginal. 17.

20.

La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p 2 + x2 = 2500, en donde x unidades pueden venderse a un precio de p soles cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 soles. Interprete su resultado.

21.

Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de determinado artículo, el 1 1 costo total será C( x )  x 2  3x  98 soles, i que p( x )  (75  x ) soles por unidad es 8 3 el precio al cual se venderán las x unidades. APLICACIONES DE LA DERIVADA

22 (a) (b) (c) (d)

Halle el costo i el ingreso marginales. Mediante el costo marginal calcule el costo de producir la novena unidad. ¿Cuál es el costo real de producir la novena unidad?. Mediante el ingreso marginal calcule el ingreso obtenido de la venta de la novena unidad. (e) ¿Cuál es el ingreso real obtenido de la venta de la novena unidad?. 

x 20

22.

La ecuación de demanda de cierto producto es p = 300 e en donde x unidades se venden al precio de p soles cada una. Si el fabricante tiene costos fijos de 500 soles i un costo variable de 20 soles por unidad, calcule el ingreso marginal i la función de utilidad marginal.

23.

Supóngase que un líquido se produce por cierto proceso químico i que la función del costo total C está dada por C(x) = 6 + 4 x , donde C(x) soles es el costo total de la producción de x galones de líquido. Encontrar: (a) El costo marginal cuando se producen 16 galones. (b) El número de galones producidos, si el costo marginal es de S/. 0.40 por galón.

24.

El costo total para un fabricante es C(q) = 0.1q3 – 0.5q2 + 500q + 200 soles, donde q es la cantidad de unidades producidas. (a) Utilice el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la 4ta. unidad. (b) Calcule el costo real de fabricación de la cuarta unidad.

El número de soles del costo total de la producción de x unidades de cierta mercancía es C(x) = 40 + 3x + 9 2 x . Encontrar: (a) El costo marginal cuando se producen 50 unidades. (b) El número de unidades producidas cuando el costo marginal es de 4.50 soles. 16. 4 Diferenciales 25.

A. Aproximaciones.

Sea y = f(x) una función diferenciable. Hasta ahora, hemos usado

dy a fin de dx

dy como un símbolo, no como una dx razón de dy i dx. Ahora definiremos el nuevo concepto de diferencial de manera que dx i dy tengan significado separados. encontrar la derivada de y con respecto a x i se empleó

En algunos problemas es útil interpretar a dx i dy separadamente. Llamaremos dx = diferencial de x i dy = diferencial de y. Esto ocurre en el cálculo integral i en la estimación de errores pequeños que se presentan en el cálculo de una función, los cuales Lic. José L. Estrada P. - UNAJMA

23


provienen de la falta de precisión en la medición de la variable independiente o de otras causas. f (x  'x )  f ( x ) Dada la función y = f(x), sabemos que f ' ( x )  lim si el límite 'x o 0 'x f ( x  'x )  f ( x ) existe, donde en general el cociente | f ' ( x ) (es aproximadamente igual). 'x f ( x  'x )  f ( x )  f ' ( x ) una función de dos variables independientes Sea g( x, 'x )  'x g: R 2oR (Vea la sección 6.1). Tómese el límite: f ( x  'x )  f ( x ) ª f ( x  'x )  f ( x ) º lim g( x, 'x )  lim «  f ' ( x )»  lim  lim f ' ( x ) ҧ 'x o 0 'x o 0 ¬ ' o 'x o 0 x 0 x 'x ' ¼ f ( x  'x )  f ( x ) lim g ( x , 'x ) = f ’(x) – f ’(x) = 0. Por otro lado, de g ( x , 'x )   f ' ( x ) 'x o 0 'x lim g( x, 'x )  0 , luego podemos establecer: ҧ f’(x) 'x = f(x+'x) –f(x)– 'x g (x,'x) con 'x o 0

Si y = f(x) es una función real, entonces: (a) La diferencial de x se define como

Definición:

dx = x

(b) La diferencial de y se define como dy = f ’(x) dx . En otras ocasiones, se dice la diferencial de y como la diferencial de f , i denotada por df = dy. Observe que los incrementos 'x de la variable x, i 'y de la variable y están relacionados por 'y = f(x+'x) –f(x), luego escribiremos f’(x) 'x = 'y – 'x g(x,'x) con

y

Fig. 28 Q

y + 'y y

x

P

x

'x = dx x

x

lim g ( x , 'x )  0 , o f ’(x)dx = 'y – 'x g(x,'x), de donde

'x o 0

'y R x dy M

dy | 'y

x + 'x

x

, ya que

g(x,'x) o 0 cuando 'x o 0. Para interpretar geométricamente la diferencial de f, veamos la figura 28, donde P=(x,y), Q=(x+'x, y+'y) son dos puntos de la gráfica de y = f(x). La pendiente de la recta que pasa por P i R es m 

MR MR  . Pero m = f ’(x) MP dx

dy dy MR ҧ , entonces = dy = MR. Cuando 'x es muy pequeño, el punto Q se dx dx dx aproxima al punto P, consecuentemente 'y se aproxima a dy; es decir, 'y | dy, son

=


24 aproximadamente iguales cuando 'x = dx es pequeño. Por tanto, es claro que en general, 'x i 'y son los incrementos en x i y en la gráfica de y = f(x), mientras que dx i dy son incrementos a lo largo de la recta tangente de esa gráfica. En resumen: desde que dy = f ’(x)dx o 'y | f ’(x)dx, entonces “el cambio en la función f es aproximadamente igual a la derivada de la función por el cambio en su variable”; esto es: (Cambio en y) | (Razón de cambio de y con respecto a x) (Cambio en x) § dy · 'y | ¨ ¸dx © dx ¹ Fórmulas de diferenciales

Puesto que dy = f ’(x)dx es la diferencial de la función y = f(x), se sigue que las fórmulas para las diferenciales son enteramente semejantes a las fórmulas para derivadas; de aquí que, para hallar diferenciales se determina la derivada i el resultado se multiplica por dx. Estas fórmulas están expresadas en la columna de la derecha, a la izquierda aparecen las derivadas correspondientes, cuando u i v son funciones de x. Derivadas

d (c)  0 ; (c = constante) dx d (x )  1 2. dx d n 3. ( x )  n x n 1 dx d du dv ( u  v)   4. dx dx dx d dv du (uv)  u  v 5. dx dx dx du dv v u d § u · dx dx 6. ¨ ¸ dx © v ¹ v2 dy du Si y = f(u) i u = g(x) tales que i existen, entonces: du dx 1.


Diferenciales

d (c) = 0 d (x) = dx d (x n ) = nx n–1dx d ( u + v ) = du + dv d ( uv ) = u dv + v du § u · vdu  udv d¨ ¸ v2 © v ¹

25

ANÁLISIS MATEMÁTICO – ISTRACIÓN DE EMPRESAS 7. 8.

9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

dy dy du  dx du dx d n du ( u )  n u n 1 dx dx dx 1  dy dy dx d u du (a )  a u ln a dx dx d u du (e )  e u dx dx d 1 du (log a u )  dx u ln a dx d 1 du (ln u )  dx u dx d v du dv (u )  v u v 1  u v ln u dx dx dx d du (sen u )  cos u dx dx d du (cos u )   sen u dx dx

d du (tan u )  sec 2 u dx dx d du (ctg u )   csc 2 u dx dx d du (sec u )  sec u tan u dx dx d du (csc u )   csc u ctg u dx dx d 1 du (arc sen u )  dx 1  u 2 dx

§ dy du · ¸dx du dx © ¹

dy  ¨

d (u n )  nu n 1du

§ · ¨ ¸ 1 dx  ¨ ¸dy ¨ dy ¸ ¨ ¸ © dx ¹ d (a u )  a u ln a du d (eu )  eu du

d (loga u )  d (ln u ) 

du u ln a

du u

d (u v )  v u v 1du  u v ln udv d (sen u )  cos u du

d (cos u) = – sen u du d (tan u )  sec2 u du

d (ctg u) = – csc2u du d (sec u) = sec u tan u du d (csc u) = – csc u ctg u du d (arc sen u ) 

du 1  u2


26 22.

23. 24. 25.

d 1 du (arc cos u )   dx 1  u 2 dx

du

d (arc cos u )  

d 1 du (arc tan u )  dx 1  u 2 dx d 1 du (arc ctg u )   dx 1  u 2 dx d 1 du (arc sec u )  dx u u 2  1 dx

d (arc tan u ) 

du 1  u2

d (arc ctg u )   d (arc sec u ) 

1  u2

du 1  u2 du

u u2 1

26.

d 1 du (arc csc u )   dx u u 2  1 dx

d (arc csc u )  

27.

d u du u  du u dx

d ( u )¨

du u u2 1

§ u · ¸du ¨ u ¸ © ¹

B. Aproximación del cambio porcentual.

El cambio porcentual de una cantidad (C.P. de y) expresa el cambio en esa cantidad como un porcentaje de su tamaño antes del cambio; i se define por: Cambio porcentual de f = 100

En forma abreviada: C.P. de f = 100

'f

f

ó

cambio en la cantidad tamaño de la cantidad

C.P. de f | 100

f ' ( x )dx f ( x )

Por último, como 'y | dy = f ’(x)dx i 'y =f(x+'x) – f(x) entonces: f(x+'x) | f(x) + f ’(x) 'x esta aproximación es de utilidad por que a menudo es más sencillo calcular el lado derecho que evaluar f(x+'x). La razón de esto es que el lado derecho es una función lineal de 'x, mientras que el lado izquierdo en general es una complicada función de 'x. Cambiemos un poco la notación en la fórmula anterior. Sea x 0 un valor fijo, entonces f(x0+'x) | f(x0) + f ’(x0)'x; si x0 + 'x = x de donde 'x = x – x0 ҧ f(x) | f(x0) + f ’(x0) (x – x0); es decir, f(x) | f ’(x0)x + [f(x0) – x0f ’(x0)] que es de la forma Lic. José L. Estrada P. - UNAJMA

27


y | mx + b, con m = f ’(x0), b = f(x0) – x0f ’(x0). De esta manera hemos establecido un resultado muy importante, que con frecuencia se emplea para construir modelos matemáticos lineales de fenómenos complejos. Modelos lineales de esta clase se utilizan a menudo en la economía i en otras partes como punto de partida en el análisis de situaciones difíciles. C. Errores

También las diferenciales se utilizan en la estimación de errores en las mediciones de cantidades. Sea y = f(x), donde x es el valor exacto de la variable independiente, i x+'x es el valor medido, entonces 'x es el error en la variable x. El valor exacto de la variable dependiente es y i f(x + 'x) será el valor “medido”, luego 'y = f(x + 'x) – f(x) es el error en la variable y.

dy dx se llama error relativo en x, i la expresión se denomina x y error relativo en y; las aproximaciones de los cambios porcentuales de las cantidades: dy dx C.P. de x = 100 i C.P. de y = 100 , reciben el nombre, otras veces, de errores x y porcentuales .

La expresión

Ejemplo 1. (Cambio Porcentual)

Estime que le sucederá al volumen de una esfera si el

radio se incrementa 1%. Solución:

El volumen de una esfera de radio r viene dado por V(r) =

incrementa el 1%, entonces el C.P. de r = 100 C.P. de V = 100

'V

V

'r

r

4 3 S r . Como r se 3

=1. Deseamos hallar el:

, o lo que es más fácil, C.P. de V | 100

dV . Como dV = 4S r 2 dr, V

4S r 2dr § dr ·  3¨100 ¸  3% . En consecuencia, cuando el reemplazando: C.P. de V | 100 4 3 r ¹ © S r 3

radio aumenta (o disminuye) en 1%, el volumen de la esfera aumenta (o disminuye) en 3%. Ejemplo 2. En la función f(x) = x 2 + 1, determinar 'y (a) x = 5 i 'x = 0.3 (b) x = 5 i 'x = 0.2

i dy cuando: (c)

x = 5 i 'x = 0.1

Solución:

'y = f(x + 'x) – f(x) = (x + 'x)2 + 1 – x2 – 1 = 2x 'x + ('x)2. Además dy = f ’(x)dx = 2xdx (a) Si x = 5 i 'x = 0.3, se obtiene 'y = 2(5)(0.3) + (0.3)2 = 3.09 i dy = 2(5)(0.3) = 3


28 (b) Si x = 5 i 'x = 0.2, se tiene 'y = 2(5)(0.2) + (0.2)2 = 2.04 i dy = 2(5)(0.2) = 2 (c) Si x = 5 i 'x = 0.1, resulta 'y = 2(5)(0.1) + (0.1)2 = 1.01 i dy = 2(5)(0.1) =1 Resumiendo en un cuadro obtenemos: x

x

5 5 5

0.3 0.2 0.1

y

3.09 2.04 1.01

dy

3 2 1

Nótese que cuando 'x = dx es más pequeño, 'y se aproxima más a dy. Un gerente de ventas estima que las ventas en una empresa serán de 400 unidades por semana con un error porcentual posible del 5%. Si la función de ingreso es R(x) = 10x – 0.01x 2, encuentre el máximo error porcentual en el ingreso estimado. dR 'x  5 , necesitamos el C.P. de R | 100 Solución : Como el C.P. de x es 100 , donde el x R 'x 5 ҧ ingreso R para x = 400 es R(400) = 10 (400) – 0.01(400) 2 = 2400. De 100 x 5x 5(400) 'x =   20 , i dR = R’ (x)dx ҧ dR = (10 – 0.02x)dx, 100 100 dR § 40 · dR = [10 – (0.02)(400)](20) ҧ dR = 40. Luego C.P.de R | 100 = 100 ¨ ¸ =1.67% R 2400 © ¹ Ejemplo 3. (istración de empresas)

Ejemplo 4. (Aproximación por diferenciales)

Calcular el valor aproximado de 4 82 ,

usando diferenciales. Solución : Aproximando al modelo lineal f(x+ 'x) | f(x) + f ’(x) 'x, definimos f(x) = 4 x , 1 1 1 donde f ’(x) = , de tal manera que f(81)= 4 81 = 3, f ’(81) = , 'x=1.  4 3 4 3 108 4 x 4 81 § 1 · ¸ (1) = 3.009 108 © ¹

Necesitamos hallar f(81 + 1) | f (81) + f ’(81)(1) ҧ 4 82 | 3 + ¨

La velocidad de circulación de la sangre a lo largo del eje central de cierta arteria es v(r) = 1.8 u 105 r 2 cm/seg., donde r es el radio de la arteria. Un investigador médico determina el radio de la arteria (i halla que) tiene 1.2 u 10 –2 cm., pero comete un error de 5 u 10 –4 cm. Estime la cantidad en la cual el valor calculado de la velocidad de la sangre diferirá de la verdadera velocidad si se utiliza el valor incorrecto del radio en la fórmula. Ejemplo 5. (Medicina)



29

Solución :

La fórmula de aproximación se utiliza también para estudiar el error máximo. Se desea hallar 'v = v(r + 'r) – v(r) | dv = v ’(r )dr con r = 1.2 u 10 –2, 'r = r 5 u 10 –4 , donde r 5 u 10 –4 es el error máximo en la medición de la arteria (puede establecerse la medición a favor o en contra, por ello se coloca los signos “más” i “menos”). El error máximo en la velocidad de la sangre es: 'v | v’(1.2 u 10 –2) (r 5 u 10 –4). Pero: v’(r ) = 3.6 u 105 r i se sigue que v’(1.2 u 10 –2) = 4320 i 'v | (4320) (r 5u10 –4) = r 2.16 Esto indica que en el peor de los casos la velocidad de la sangre por la arteria es inexacto aproximadamente en 2.16 cm/seg. EJERCICIOS

1 x a ln ; 2a x  a

1.

Hallar la diferencial de: (a) y=

2.

Encuentre 'y, dy, 'y – dy; si: 2 (a) y = 3x + x – 2, x = 1, 'x = 0.01 3 (b) y = x – 1, x = 1, 'x = – 0.5

3.

sen x 1 § x S · ln tan  ¨  ¸ 2 2 2 cos x © 2 4 ¹

(b)

y

(c)

y = 3 x , x = 64, 'x = 1

Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de: (a) 3 120 (b) 331 / 5

(c)

(0.96) 1 / 2

4.

Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de: (a) e2.1 , (e2 = 7.39) (b) ln 10.2 , (ln 10 = 2.303) (c) sen 62° , (sen 60°=0.8603)

5.

Si A es el área de un cuadrado de lado x, hallar dA i 'A. Construir una figura que muestre el cuadrado, dA i 'A

6.

Calcule el cambio porcentual en la función f(x) = x2 + 2x – 9 a medida que x aumenta de 4 a 4.3.

7.

El costo total para un fabricante es C(x) = 0.1x 3 – 0.5x2 + 500x + 200 soles cuando el nivel de producción es x unidades. El nivel de producción actual es 4 unidades i el fabricante planea incrementarlo a 4.1 unidades. Calcule el cambio del costo total debido a este incremento.

8.

9.

(Cálculo porcentual)

(Fabricación)

100 . x  100 Mediante diferenciales encuentre el precio aproximado en que se demandan 2500 unidades. (Precio aproximado)

La ecuación de demanda de cierto producto es p =

En determinada fábrica, la producción diaria es Q(K) = 600 K 1/2 unidades, donde K representa la inversión de capital medida en unidades de S/. 1000. (Producción)


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