Ebm 2g4b1i

Tema 1 Balance de Materiales en Yacimientos de Petr´oleo con Gas Disuelto Prof. Jos´e R. Villa Ingenier´ıa de Yacimientos II - 7413 Escuela de Ingenier´ıa de Petr´ oleo Universidad Central del Venezuela Versi´ on 3.2 c

2003-2007

Introducci´ on Mecanismos de empuje . . . . . . . Par´ametros PVT. . . . . . . . . . . . Factor volum´etrico de formaci´on . Solubilidad. . . . . . . . . . . . . . . . Curvas PVT. . . . . . . . . . . . . . .

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EBM Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . Balance volum´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . Par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expansi´ on del petr´oleo. . . . . . . . . . . . . . . Expansi´ on del gas en soluci´on . . . . . . . . . . Expansi´ on del petr´oleo + gas en soluci´on . . Expansi´ on de la capa de gas . . . . . . . . . . . Expansi´ on agua connata y volumen poroso . Influjo de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vaciamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaci´on general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mecanismos de recobro . . . . . . . . . . . . . . Aspectos relevantes de la EBM . . . . . . . . .

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12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 25 26 27 28 30 33 34

Fuentes de error Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos. Selecci´ on inadecuada de PVT . . . . . . . . . Presi´on promedio de yacimiento . . . . . . . Medici´ on de fluidos producidos . . . . . . . . Acu´ıferos y descensos leves de presi´ on . . . Estimados de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . Petr´oleo activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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35 37 38 39 40 41 42 43 44

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3 5 6 8 9 11

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Linealizaci´ on 45 Havlena-Odeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 T´erminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1

Mecanismos de Empuje . . . . . . . . . . . . Empuje por gas en soluci´on . . . . . . . . . Yacimiento subsaturado . . . . . . . . . . . . Yacimiento saturado . . . . . . . . . . . . . . Empuje por expansi´on de la capa de gas. Empuje por influjo de agua . . . . . . . . . Empuje combinado . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice de mecanismos de empuje . . . . . .

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49 50 53 54 55 57 58 60 62

M´ etodos M´etodos de Balance de Materiales M´etodo F vs. Et . . . . . . . . . . . . M´etodo de la capa de gas . . . . . . M´etodo del acu´ıfero . . . . . . . . . .

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63 65 67 70 72

Ejemplos Descripci´ on Ejemplo 1 . Ejemplo 2 . Ejemplo 3 .

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74 76 77 81 83

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PVT 85 Muestras de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Influjo de Agua Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . Reconocimiento del empuje por agua . Clasificaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . Grado de mantenimiento de presi´ on . . Condici´on de borde externo . . . . . . . Reg´ımenes de flujo . . . . . . . . . . . . . Geometr´ıas de flujo . . . . . . . . . . . . . Modelos de acu´ıfero . . . . . . . . . . . . Pot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schilthuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van Everdingen-Hurst . . . . . . . . . . .

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95 . 97 . 98 . 99 100 101 102 103 105 106 111 113 116

Predicci´ on Introducci´on. . . . . . . . . Par´ametros . . . . . . . . . M´ecanismos de Recobro. M´etodo de Tracy . . . . . M´etodo de Tarner . . . . . M´etodo de Muskat . . . . Ejemplo. . . . . . . . . . . .

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132 134 135 140 142 148 150 157

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Referencias 164 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Antecedentes de EBM Antecedentes . . . . . . . . Coleman, Wilde y Moore Schilthuis . . . . . . . . . . Odd . . . . . . . . . . . . . . Woods y Muskat . . . . .

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2

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165 167 168 169 170 171

van Everdingen, Timmerman y Hawkins . . . . . . . . . . . . . . . Tracy . . . . . . . . . . . . . . . . . Havlena y Odeh . . . . . . . . . . Dake. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mcmahon . ........ ........ ........ ........

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172 173 174 175 176

M´ınimos Cuadrados 177 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Derivaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Par´ ametros Estad´ısticos Introducci´on. . . . . . . . . . Coeficiente de correlaci´ on. Error del ajuste (RSME) . Intervalo de confianza . . .

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MBO 191 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Archivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Ejecuci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Unidades 196 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3

Contenido Introducci´ on EBM Fuentes de error Linealizaci´ on M´ etodos Ejemplos PVT Influjo de Agua Predicci´ on Referencias Antecedentes de EBM M´ınimos Cuadrados Par´ ametros Estad´ısticos MBO Unidades Tema 1

slide 2

4

Introducci´ on

slide 3

Introducci´ on Mecanismos de empuje Par´ametros PVT Factor volum´etrico de formaci´on Solubilidad Curvas PVT Tema 1

slide 4

Mecanismos de empuje ■

Expansi´ on del l´ıquido y gas en soluci´on

■

Expansi´ on del gas en la capa de gas

■

Expansi´ on del agua connata

■

Reducci´on del volumen poroso por compactaci´ on de la roca

■

Influjo de agua

Tema 1

slide 5

Par´ ametros PVT Cada fase (p) contiene dos componentes (¯ c): ■

Componente asociado con la misma fase

■

Componente asociado con otra fase

Vol´ umenes: ■

Vp : El volumen de la fase p a condiciones de yacimiento (py , Ty )

■

Vc¯,p : El volumen del componente c¯ a condiciones normales que es liberado de la fase p

Tema 1

slide 6

5

Par´ ametros PVT

Figura 1: Par´ametros PVT: (a) encima del punto de burbujero (b) debajo del punto de burbujeo Tema 1

slide 7

Factor volum´ etrico de formaci´ on El factor volum´etrico de formaci´ on de la fase p se define como la relaci´ on entre el volumen de la fase p a condiciones de yacimiento y el volumen del componente asociado con la misma fase a condiciones normalesa Vo  Bo = Vo¯,o Vp w Bw = VVw,w = Bp = ¯ Vp,p  ¯ Vg Bg = Vg¯,g



Tema 1

slide 8

a 14.7 psi, 60 ◦ F

Solubilidad La solubilidad del componente c¯ en la fase p se define como la relaci´ on entre el volumen de este componente en la fase p a condiciones normales y el volumen del componente asociado con la fase p a condiciones normales. Rc¯,p

Vc¯,p = = Vp,p ¯

(

Rg¯,o = Ro¯,g =

Vg ¯,o Vo ¯,o Vo ¯,g Vg ¯,g

Relaci´ on gas-petr´ oleo (Rs ) Relaci´ on condensado-gas (Rv )

Tema 1

slide 9

6

Solubilidad

Figura 2: Par´ametros PVT por encima de la presi´on de burbujeo Tema 1

slide 10

Curvas PVT FVF Petroleo

Relacion Gas−Petroleo en Solucion

R (MSCF/STB)

0.8

1.3

1.2

1.1

1

0.6

0.4

s

o

B (bbl/STB)

1.4

0

1000

2000

3000

0.2

0

4000

0

1000

presion (psi) FVF Gas

3000

4000

Factor de Compresibilidad del Gas

10

1

8

0.95

Z

g

6 0.9

4

g

B (bbl/MSCF)

2000

presion (psi)

0.85

2 0

0

1000

2000

3000

0.8

4000

presion (psi)

0

1000

2000

3000

4000

presion (psi)

Figura 3: Comportamiento de propiedades PVT (T =190 ◦ F, Rsi =725 MSCF/STB, γg =0.7, Grav=30 ◦ API, pi =4000 psia) Tema 1

slide 11

7

EBM

slide 12

EBM Definici´ on Caracter´ısticas Modelo de tanque Balance volum´etrico Par´ ametros Derivaci´ on Expansi´ on del petr´ oleo Expansi´ on del gas en soluci´ on Expansi´ on del petr´ oleo + gas en soluci´ on Expansi´ on de la capa de gas Expansi´ on agua connata y volumen poroso Influjo de agua Vaciamiento Ecuaci´ on general Mecanismos de recobro Aspectos relevantes de la EBM Tema 1

slide 13

Definici´ on La ecuaci´ on de balance de materiales (EBM) se deriva como el balance volum´etrico que iguala la producci´ on acumulada de fluidos, expresada como un vaciamiento, y la expansi´ on de los fluidos como resultado de una ca´ıda de presi´ on en el yacimientoa . La forma general de la EBM fue desarrollada inicialmente por Schilthuis en 1941b . La EBM establece que la diferencia entre la cantidad de fluidos iniciales en el yacimiento y la cantidad de fluidos remanentes en el yacimiento es igual a la cantidad de fluidos producidos.

Cantidad de fluidos presentes inicialmente en el yacimiento (MMbbl)

-

Cantidad de fluidos producidos (MMbbl)

Tema 1

=

Cantidad de fluidos remanentes en el yacimiento (MMbbl)

slide 14

a L. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978, pp. 73 b R. J. Schilthuis, Active Oil and Reservoir Energy, Trans., AIME, 118:33-52

Caracter´ısticas ■

La EBM representa un balance volum´ etrico aplicado a un volumen de control, definido como los l´ımites iniciales de aquellas zonas ocupadas por hidrocarburos.

■

La suma algebraica de todos los cambios volum´ etricos que ocurren en cada una de las zonas definidas dentro del volumen de control es igual a cero.

■

Para el an´ alisis volum´ etrico se definen tres zonas: la zona de petr´ oleo, la zona de gas y la zona de agua que existe dentro del volumen de control.

■

Una de las principales suposiciones es que las tres fases (petr´ oleo, gas y agua) siempre est´ an en un equilibrio instant´ aneo dentro del yacimiento.

■

Los cambios de vol´ umenes ocurren a partir de un tiempo t=0 a un tiempo t=t cualquiera. Primero se procede a definir los vol´ umenes iniciales en cada una de las zonas, luego los vol´ umenes remanentes al tiempo t=t, y por u ´ltimo la diferencia entre ´ estos representa la disminuci´ on en cada zona.

■

Posteriormente se seguir´ a una serie de manipulaciones matem´ aticas para llegar a la ecuaci’on generalizada de balance de materiales. Todo los vol´ umenes est´ an expresados a condiciones de yacimiento.

Tema 1

slide 15

8

Modelo de tanque Producción: petróleo, Np gas, Gp agua, Wp

Inyección: gas, Gi agua, Wi

Etapa Inicial (1)

Etapa Final (2)

Gas

Gas

Gas

Petróleo

Petróleo

Petróleo

Agua

Agua

Agua

Influjo de Agua agua, We Referencia: http://www.ipt.ntnu.no/˜kleppe/TPG4150/matbal.ppt

Tema 1

slide 16

Balance volum´ etrico Vaciamiento = {Expansi´ on del petr´ oleo + gas en soluci´ on} + {Expansi´ on del gas de la capa de gas} + {Expansi´ on del agua connata + reducci´ on del volumen poroso} + {Influjo de agua de acu´ıfero} + {Inyecci´ on de gas/agua} Tema 1

slide 17

Par´ ametros ■

N : Volumen inicial de petr´ oleo en sitio a condiciones normales [MMSTB]

■

Gf : Volumen inicial de gas en la capa de gas (gas libre) a condiciones normales [MMMSCF]

■

Gs : Volumen inicial de gas disuelto en el petr´ oleo a condiciones normales [MMMSCF]

■

G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF] G = G f + Gs

Tema 1

slide 18

9

Par´ ametros ■

m: Relaci´ on entre volumen inicial de gas en la capa de gas y el volumen inicial de petr´ oleo + gas disuelto en la zona de petr´ oleo (m es constante y adimensional) G B m = NfBoigi

■

N Boi : Volumen de petr´ oleo + gas disuelto inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl]

■

mN Boi : Volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]

■

N Rsi Bgi : Volumen inicial de gas disuelto en el petr´ oleo a condiciones de yacimiento [MMbbl]

■

G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF] Boi G = N Rsi + mN B gi

■

Np : Petr´ oleo producido acumulado a condiciones normales [MSTB]

■

Gp : Gas producido acumulado a condiciones normales [MMSCF]

■

Rp : Relaci´ on gas-petr´ oleo acumulado [MSCF/STB] G Rp = Npp

Tema 1

slide 19

Derivaci´ on La derivaci´ on de la EBM contempla el desarrollo de los t´erminos que caracterizan el comportamiento volum´etrico de yacimientos de petr´ oleo: ■

Expansi´ on del petr´ oleo

■

Expansi´ on del gas en soluci´ on

■

Expansi´ on de la capa de gas

■

Expansi´ on del agua connata y reducci´ on del volumen poroso

■

Influjo de agua

■

Inyecci´ on de gas/agua

■

Vaciamiento

Tema 1

slide 20

10

Expansi´ on del petr´ oleo N Boi : volumen de petr´ oleo inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl] N Bo : volumen de petr´ oleo actual a condiciones de yacimiento [MMbbl] La expansi´ on del petr´ oleo es [MMbbl]: N (Bo − Boi )

(1)

FVF Petroleo 1.45 1.4

Bo (bbl/STB)

1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0

1000

2000

3000

4000

presion (psi)

Tema 1

slide 21

Expansi´ on del gas en soluci´ on N Rsi : gas en soluci´ on inicial a condiciones normales [MMMSCF] N Rsi Bgi : gas en soluci´ on inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl] N Rs Bg : gas en soluci´ on actual a condiciones de yacimiento [MMbbl] La expansi´ on del gas en soluci´ on [MMbbl] N Bg (Rsi − Rs )

(2)

Relacion Gas−Petroleo en Solucion

Relacion Gas−Petroleo en Solucion

10

0.9 0.8 0.7

BgRs (bbl/STB)

BgRsi (bbl/STB)

8

6

4

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

2

0.1 0 0

1000

2000

3000

0 0

4000

presion (psi)

1000

2000

3000

4000

presion (psi)

Tema 1

slide 22

11

Expansi´ on del petr´ oleo + gas en soluci´ on La expansi´ on del gas en soluci´ on + gas en soluci´ on [MMbbl] N [Bo − Boi + Bg (Rsi − Rs )]

(3)

Reescribiendo: N [(Bo + Bg (Rsi − Rs )) − (Boi )] Haciendo uso del concepto del factor volum´etrico de formaci´ on bif´ asico se tiene: N [Bt − Bti ] Bt : Factor volum´etrico de formaci´ on bif´ asico (2F) Bt = Bo + Bg (Rsi − Rs ) Tema 1

slide 23

Expansi´ on del petr´ oleo + gas en soluci´ on FVF Bifasico 10

Bt (bbl/STB)

8

6

4

2

0 0

1000

2000

3000

4000

presion (psi)

Tema 1

slide 24

Expansi´ on de la capa de gas mN Boi : volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl] mN Boi : Bgi

volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones normales [MMMSCF]

mN Boi Bg : Bgi mN Boi Bg Bgi

volumen actual de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]

− mN Boi

La expansi´ on del gas en la capa de gas [MMbbl] mN Boi





Bg −1 Bgi

(4)

Tema 1

slide 25

12

Expansi´ on agua connata y volumen poroso La compresibilidad isot´ermica se define como: c = − V1 dV dp El cambio en el volumen de agua y la roca debido a la disminuci´ on de presi´ on es: ∆Vw = cw Vw ∆p ∆Vr = cr Vr ∆p El volumen total de agua y roca es: N Boi Vw = Vr Swi = (1 + m) 1−S Swi wi Vr = (1 + m)

N Boi 1−Swi

La expansi´ on del agua connata y reducci´ on del volumen poroso es [MMbbl]: ∆Vw + ∆Vr = (1 + m) N Boi



cw Swi + cr 1 − Swi



∆p

(5)

Tema 1

slide 26

Influjo de agua La expresi´ on m´ as simple para calcular el volumen de influjo de agua a un yacimiento es: We = cW (pi − p) W : volumen inicial de agua en el acu´ıfero (depende de la geometr´ıa del acu´ıfero) pi : presi´ on inicial del yacimiento/acu´ıfero p: presi´ on actual del yacimiento/acu´ıfero (presi´ on en el o agua-petr´ oleo) c: compresibilidad total (c = cw + cr ) Esta ecuaci´ on esta basada en la definici´ on de compresibilidad isot´ermica y puede ser aplicada para acu´ıferos muy peque˜ nos. Para acu´ıferos grandes se requiere un modelo matem´ atico que incluya la dependecia del tiempo para tomar en cuenta el hecho que el acu´ıfero requiere un cierto tiempo para responder a un cambio en la presi´ on del yacimiento. En la l´ amina 96 se explicar´ a la secci´ on correspondiente a influjo de agua. Tema 1

slide 27

13

Vaciamiento La producci´ on acumulada de petr´ oleoa , gasb y aguac es: Np Bo : producci´ on de petr´ oleo [MMbbl] Gp Bg : producci´ on de gas [MMbbl] Np Rs Bg : producci´ on del gas en soluci´ on [MMbbl] Wp Bw : producci´ on de agua [MMbbl] La inyecci´ on acumulada de fluidos es: Wi Bw + Gi Bg : inyecci´ on de agua y gas [MMbbl] Definimos: Rp =

Gp : Np

relaci´ on gas-petr´ oleo acumulada [MSCF/STB]

El vaciamiento total es [MMbbl] Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw − Wi Bw − Gi Bg

(6)

Tema 1

slide 28

R Pn a N = t q dt ≈ q ¯o ∆t p o 0 R Pi=1 t n bG = qg dt ≈ q ¯g ∆t p R0t Pi=1 n c Wp =

0

qw dt ≈

i=1

q ¯w ∆t

Vaciamiento

Figura 4: Producci´on de petr´oleo, gas y agua Tema 1

slide 29

14

Ecuaci´ on general Combinando las expresiones 3, 4, 5 y 6 obtenemos la ecuaci´ on general del balance de materiales:

Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw

=

N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi

+

mN Boi

+

(1 + m)N Boi

+

We





Bg −1 Bgi



cw Swc + cr 1 − Swc



∆p (7)

Se puede observar que el vaciamiento (lado izquierdo de la ecuaci´ on) es igual a la expansi´ on de las zonas de petr´ oleo y gas libre, expansi´ on de la roca y agua connata y al influjo de agua. Tema 1

slide 30

Ecuaci´ on general Suponiendo que se conoce el tama˜ no de la capa de gas (m) y el comportamiento de influjo de agua (We ), es posible calcular el volumen de petr´ oleo original en sitio (N ): N =

Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw − We Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg + mBoi



Bg Bgi



− 1 + (1 + m)Boi

(8) cw Swc +cr 1−Swc



∆p

En consecuencia, al graficar el valor de N calculado en funci´ on de la producci´ on acumulada de petr´ oleo (Np ), se obtiene una l´ınea recta con pendiente igual a ceroa . Tema 1

slide 31

a Este m´etodo fue posteriormente modificado para diagnosticar la presencia de un acu´ıfero asociado a un yacimiento (M´etodo de Campbell)

15

Ecuaci´ on general Metodo N vs. Np 102

N (MMSTB)

101

100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 13 14

99

98 0

2

4

6

8

10

Np (MMSTB)

Tema 1

slide 32

Mecanismos de recobro La EBM permite identificar cada uno de los procesos que ocurren en el yacimiento: ■

Expansi´ on en la zona de petr´ oleo: N [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ]

■

g Expansi´ on de la zona de gas libre: mN Boi ( Bgi − 1)

■

Expansi´ on de la roca y agua connata: (1 + m)N Boi

■

Producci´ on de petr´ oleo y gas: Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ]

■

Producci´ on de agua: Wp Bw

B

cw Swc +cr 1−Swc



∆p

Tema 1

slide 33

Aspectos relevantes de la EBM ■

Es cero dimensional, s´ olo se eval´ ua en un punto del yacimiento

■

Muestra independencia del tiempo, aunque en algunos modelos de influjo de agua se muestra dependencia expl´ıcita del tiempo

■

Aunque la presi´ on aparece s´ olo expl´ıcitamente en el t´ermino de la expansi´ on de la roca y el agua connata, se encuentra impl´ıcita en los par´ ametros PVT (Bo , Rs , y Bg ), los cuales son dependientes de la presi´ on. Tambi´en es de hacer notar que los c´ alculos de influjo de agua son dependientes de la presi´ on.

■

No tiene forma diferencial, la EBM fue derivada comparando los vol´ umenes actuales a la presi´ on p, con los vol´ umenes iniciales a la presi´ on pi .

Tema 1

slide 34

16

Fuentes de error

slide 35

Fuentes de error Fuentes de error Supersaturaci´ on de hidrocarburos l´ıquidos Selecci´ on inadecuada de PVT Presi´ on promedio de yacimiento Medici´ on de fluidos producidos Acu´ıferos y descensos leves de presi´ on Estimados de m Petr´ oleo activo Tema 1

slide 36

Fuentes de error Essenfeld y Barberiia plantean varias situaciones posibles en las cuales no se cumplen los supuestos utilizados en la derivaci´ on de la EBM, esto se debe principalmente a que la suposici´ on de equilibrio total e instant´ aneo entre las fases es bastante ideal y generalmente no ocurre. ■

Supersaturaci´ on de hidrocarburos l´ıquidos del yacimiento

■

Selecci´ on inadecuada de PVT

■

Presi´ on promedio del yacimiento

■

Errores de medici´ on en los vol´ umenes de fluidos producidos

■

Acu´ıferos activos y descensos leves de presi´ on

■

Estimados de m

■

Concepto de petr´ oleo activo

Tema 1

slide 37

a M. Essenfeld y E. Barberii, Yacimientos de Hidrocarburos, FONCIED Fondo Editorial del Centro Internacional de Educaci´on y Desarrollo, Caracas, 2001. pp. 141-148, 171-176.

Supersaturaci´ on de hidrocarburos l´ıquidos Existen ciertos casos en los que al caer la presi´ on en un yacimiento que contiene crudo saturado, el gas de soluci´ on es liberado pero en un volumen inferior al pronosticado al an´ alisis PVT, efectuado bajo condiciones de equilibrio, es decir, se encuentra supersaturado con gas. Este efecto causa que la presi´ on del yacimiento sea m´ as baja de lo que ser´ıa si el equilibrio se hubiera alcanzado. Tema 1

slide 38

Selecci´ on inadecuada de PVT Al usar la EBM es fundamental seleccionar un an´ alisis PVT que a diferentes presiones represente apropiadamente, en su totalidad, la secuencia de fen´ omenos que actuan en la producci´ on de los fluidos, desde el yacimiento, pasando por el pozo hasta el separador. Diversas investigacionesa,b han mostrado que errores asociados a los datos PVT pueden producir grandes errores en los c´ alculos de los hidrocarburos en sitio. Tema 1

slide 39

a I. S. Agbon, G. J. Aldana, J. C. Araque, A. A. Mendoza, M. E. Ramirez, Resolving uncertainties in historical data and the redevelopment of mature fields, SPE Latin America and Caribbean Petroleum Engineering Conference held in Port-of-Spain, Trinidad, West Indies. SPE 81101., P´ aginas 16, 2003.

b Phillip L. Moses, Engineering applications of phase behavior of crude oil and condensate systems, Journal of Petroleum Technology. SPE 15835., P´aginas 715723, July 1986.

17

Presi´ on promedio de yacimiento Debido a la naturaleza 0-D de la EBM y recordando la suposici´ on del equilibrio total e instant´ aneo, el yacimiento se comporta como un tanque ubicado en un “volumen de control”. De all´ı la suposici´ on que todos los hidrocarburos, para un momento dado, se encuentran a la misma presi´ on. Se debe tener en cuenta que las presiones utilizadas en la EBM deben ser representativas del sistema, y cuando sea factible debe utilizarse una ponderaci´ on volum´etrica de las presiones medidas. Tema 1

slide 40

Medici´ on de fluidos producidos Una de las principales fuentes de error en la aplicaci´ on de la EBM son los valores err´ oneas de la producci´ on de fluidos. Se sabe que para yacimientos con crudo subsaturado, con errores de medici´ on, los estimados de N y We son muy altos. Jones-Parraa explica la situaci´ on de medici´ on de los vol´ umenes de fluidos producidos: el petr´ oleo fiscal no se mide necesariamente por yacimiento, se mide en estaciones de flujo y luego se prorratea al yacimiento. Cuando se prueba un pozo, se pasa de un separador de producci´ on, a determinadas presi´ on y temperatura, a un separador de prueba en el que las condiciones de presi´ on y temperatura no son necesariamente las mismas. Una vez probados todos los pozos que fluyen a una estaci´ on se suma su tasa de producci´ on para obtener una producci´ on te´ orica por estaci´ on y determinar la fracci´ on que cada pozo contribuye. Esta fracci´ on se multiplica por la tasa de producci´ on real de la estaci´ on para determinar el petr´ oleo que se considera que es el volumen producido del yacimiento. La producci´ on de gas est´ a sujeta a un control a´ un menos efectivo. Generalmente se hacen pruebas mensuales de la relaci´ on gas-petr´ oleo, promedi´ andose los valores obtenidos y multiplic´ andose por la producci´ on de petr´ oleo para obtener el volumen de gas producido. El volumen de agua que se produce tambi´ en se mide en pruebas peri´ odicas; pero como el agua no tiene ning´ un valor comercial se mide con muy poca precisi´ on. Tomando en cuenta la incertidumbre en las mediciones de los vol´ umenes producidos, con frecuencia es necesario rectificar las cifras reportadas. El gas producido a veces se calcula multiplicando el volumen de petr´ oleo producido por la relaci´ on gas-petr´ oleo de la u ´ltima prueba y se debe volver a calcular multiplicando por la relaci´ on promedio entre dos pruebas consecutivas. Tema 1

slide 41

a Juan Jones-Parra, Elementos de Ingenier´ıa de Yacimientos, EdIT Ediciones Innovaci´on Tecnol´ogica, Caracas, 1989. pp. 3.2-3.4.

Acu´ıferos y descensos leves de presi´ on Cuando el acu´ıfero es muy activo o la capa de gas es muy grande, los cambios de presi´ on a trav´es del yacimiento son muy leves. Esta situaci´ on acarrea dificultades en la aplicaci´ on de la EBM, principalmente debido a que las diferencias de las propiedades PVT no son significativas y tambi´en influye la precisi´ on con que se hayan medido en el laboratorio los par´ ametros Bo , Rs y Bg . Tema 1

slide 42

Estimados de m La EBM supone que todo el gas libre del yacimiento se encuentra en la capa de gas y que todo el petr´ oleo en la zona de petr´ oleo. Sin embargo, en algunas oportunidades ocurre que existe saturaci´ on de petr´ oleo en la capa de gas y saturaci´ on de gas en la zona de petr´ oleo. En esos casos, el valor de m debe ser calculado utilizando todo el gas libre y todo el petr´ oleo en estado l´ıquido, independientemente donde se encuentren. Tema 1

slide 43

18

Petr´ oleo activo Existen casos en los cuales los descensos de presi´ on causados por la producci´ on e inyecci´ on de fluidos no afectan la totalidad de hidrocarburos contenidos en el yacimiento. Esto ocurre bajo diferentes circunstancias: cuando el yacimiento es muy grande y ha habido poca producci´ on; cuando en el yacimiento existen zonas con bajas permeabilidad las cuales no han sido afectadas por los descensos de presi´ on que hay en aquellas zonas mas permeables; etc. En estas situaciones existen dos valores de N ; petr´ oleo activo (N activo) y petr´ oleo inactivo (N inactivo). Se puede notar que la suma del petr´ oleo activo y el inactivo conforman el petr´ oleo total en sitio (N ). Se sabe que el petr´ oleo original en sitio no cambia, pero si lo hace la relaci´ on del volumen activo al inactivo con el tiempo, mas a´ un, el volumen de petr´ oleo activo crece con el tiempo mientras el volumen del petr´ oleo inactivo disminuye con el tiempo, hasta llegar al punto que todo el petr´ oleo activo es igual al petr´ oleo original en sitio. Para estas situaciones, los resultados de los c´ alculos con la EBM generan valores de N que corresponden al volumen de petr´ oleo activo y no al petr´ oleo original en sitio, y por esta raz´ on, a medida que transcurre el tiempo y se repite el c´ alculo, el valor de N aumenta debido a que representa el volumen de petr´ oleo activo. Tema 1

slide 44

19

Linealizaci´ on

slide 45

Linealizaci´ on Havlena-Odeh T´erminos Mecanismos de Empuje Empuje por gas en soluci´ on Yacimiento subsaturado Yacimiento saturado Empuje por expansi´ on de la capa de gas Empuje por influjo de agua Empuje combinado Ecuaci´ on lineal Indice de mecanismos de empuje Tema 1

slide 46

Havlena-Odeh La EBM expresada como una l´ınea recta fue propuesta por Havlena y Odeha . El m´etodo de Havlena-Odeh consiste en agrupar ciertos t´erminos en la EBM y graficar un conjunto de variables con respecto a otro. Dependiendo del mecanismo principal de empuje, se grafican diferentes conjuntos de t´erminos en funci´ on de otros, resultando que si el mecanismo de empuje elegido es el correcto, al igual que otros par´ ametros, se obtiene una relaci´ on lineal entre las variables graficadas. Esto permite la estimaci´ on de los par´ ametros N , m, y/o We , a partir del comportamiento lineal observado. La secuencia y direcci´ on de los puntos graficados, as´ı como la forma del gr´ afico le imprime un sentido din´ amico a la EBM. Tema 1

slide 47

a D. Havlena y A.S. Odeh, The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, OK. SPE 559., 1963.

T´ erminos Definimos los siguientes t´erminos: F = Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg Eg = Bo



Ef w = Boi

Bg Bgi



−1

cw Swc +Cr 1−Swc



∆p

Et = Eo + mEg + (1 + m)Ef w La EBM queda de la siguiente forma: F = N Et + We

(9)

Si esta ecuaci´ on se escribe como: F − We = N Et , entonces ´esta es una ecuaci´ on lineal con pendiente igual a N (petr´ oleo original en sitio) y debe pasar por el punto (0,0). Tema 1

slide 48

20

Mecanismos de Empuje En caso que ninguno de los t´erminos en la EBM sean despreciables, se puede decir que el yacimiento tiene una combinaci´ on de mecanismos de empuje. Esto significa que todas las fuentes posibles de energ´ıa contribuyen significativamente en la producci´ on de los fluidos del yacimiento. Sin embargo, en algunos casos, los yacimientos pueden ser descritos como si tuvieran un mecanismo predominante de empuje. Los principales mecanismos de empuje son: ■

Empuje por gas en soluci´ on

■

Empuje por expansi´ on de la capa de gas

■

Empuje por influjo de agua

■

Empuje por compactaci´ on

Tema 1

slide 49

Empuje por gas en soluci´ on

Figura 5: Yacimiento con empuje por gas en soluci´on (a) por debajo de la presi´on de burbujeo; expansi´on del petr´oleo l´ıquido, (b) por debajo de la presi´ on de burbujeo; expansi´ on del petr´ oleo l´ıquido m´ as expansi´ on del gas liberado Tema 1

slide 50

21

Empuje por gas en soluci´ on

Figura 6: Historia de producci´on de un yacimiento con empuje por gas en soluci´on Tema 1

slide 51

Empuje por gas en soluci´ on

Figura 7: Yacimiento bajo un esquema de recuperaci´on secundaria (inyecci´on de agua y gas) Tema 1

slide 52

22

Yacimiento subsaturado En un yacimiento subsaturado todo el gas producido debe estar disuelto en el petr´ oleo en el yacimiento. Suponiendo que no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a: Np Bo = N Boi



cw Swi + cf Bo − Boi + ∆p Boi 1 − Swc



La compresibilidad del petr´ oleo se puede expresar como: co =

Bo − Boi Boi ∆p

La EBM se puede escribir como: Np Bo = N Boi Finalmente,

c S + c S + c o o w wi f 1 − Swc

∆p

Np Bo = N Boi Ce ∆p

(10)

Tema 1

slide 53

Yacimiento saturado Por debajo de la presi´ on de burbujeo, el gas es liberado del petr´ oleo saturado y se desarrollar´ a una capa de gas libre dentro del yacimiento. Suponiendo que no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM queda: Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] = N [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] Tema 1

(11) slide 54

Empuje por expansi´ on de la capa de gas

Figura 8: Yacimiento con expansi´on de la capa de gas Tema 1

slide 55

23

Empuje por expansi´ on de la capa de gas Suponiendo que el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a:

Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ]

=

N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi

+

mN Boi





Bg −1 Bgi

(12)

Tema 1

slide 56

Empuje por influjo de agua

Figura 9: Producci´on de un yacimiento subsaturado con fuerte influjo de agua de un acu´ıfero asociado Tema 1

slide 57

Empuje combinado La ecuaci´ on general de balance de materiales considera todos los mecanismos de empuje activos en el yacimiento: Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw

=

N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi

+

mN Boi

+

(1 + m)N Boi

+

We



Bg −1 Bgi





cw Swc + cr 1 − Swc

Tema 1



∆p (13) slide 58

24

Empuje combinado

1. 2. 3. 4. 5.

Expansión de roca y fluidos Gas en solución Capa de gas Influjo de agua Segregación gravitacional

Figura 10: Eficiencia de mecanismos de recobro en t´erminos del factor de recobro Tema 1

slide 59

Ecuaci´ on lineal La ecuaci´ on general del balance de materiales es: Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] − Wp Bw

=

N Boi [Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg ] /Boi

+

mN Boi

+

(1 + m)N Boi

+

We



Bg −1 Bgi





cw Swc + cr 1 − Swc



∆p

Definimos: F = Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ] + Wp Bw Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg Eg = Bo



Ef w = Boi

Bg Bgi



−1

cw Swc +cr 1−Swc



∆p

Et = Eo + mEg + (1 + m)Ef w Tema 1

slide 60

Ecuaci´ on lineal En consecuencia, la ecuaci´ on general del balance de materiales se puede escribir como:

F = N [Eo + mEg + (1 + m) Ef w ] + We

(14)

F = N Et + We

(15)

Tema 1

slide 61

25

Indice de mecanismos de empuje La ecuaci´ on lineal de balance de materiales puede ser escrita de una forma que permite ser utilizada para cuantificar la contribuci´ on relativa de cada mecanismo de empuje: N

Ef w Eg We Eo + mN + (1 + m) N + =1 F F F F

(16)

Io + Ig + If w + Iw = 1

(17)

Tema 1

slide 62

26

M´ etodos

slide 63

M´ etodos M´etodos de Balance de Materiales M´etodo F vs. Et M´etodo de la capa de gas M´etodo del acu´ıfero Tema 1

slide 64

M´ etodos de Balance de Materiales Los principales m´etodos de resoluci´ on de la ecuaci´ on de balance de materiales son m´etodos gr´ aficos que permiten calcular las variables desconocidas (N , m) con base en los datos de producc´ on, PVT, influjo de agua, partiendo de la ecuaci´ on lineal de balance de materiales. Entre los principales m´etodo de resoluci´ on de la EBM se encuentran: ■

M´etodo F vs. Et

■

M´etodo de la capa de gas (F/Eo vs. Eg /Eo )

■

M´etodo del acu´ıfero (F/Et vs. We /Et )

■

M´etodo F vs. Et iterativo (c´ alculo simult´ aneo de N y m)

Otros m´etodos m´ as robustos y sin las limitaciones inherentes a los m´etodos gr´ aficos anteriores son: ■

M´etodo de regresi´ on planar

■

M´etodo de Tehrani (Minimizaci´ on de desviaciones de presi´ on)

Tema 1

slide 65

M´ etodos de Balance de Materiales Los m´etodos pioneros de balance de materiales consisten en procesos iterativos para en estimar la RGP y resolver ∆Np hasta que el valor calculado de N coincide con el valor inicialmente supuesto. Np [Bo + (Rp − Rs ) Bg ]

N=

Bo − Boi + (Rsi − Rs ) Bg + mBoi Entre estos m´etodos se encuentran: ■

M´etodo de Tracy (1955)a

■

M´etodo de Tarner (1944)

■

M´etodo de Muskat-Taylor (1946)



Bg Bgi

(18)



−1

Estos m´etodos son utilizados para predecir el comportamiento de producci´ on de yacimientosb . Tema 1

slide 66

a AIME, 1955, 204, 243-246 b Fern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006

M´ etodo F vs. Et Suponiendo que se tiene un yacimiento volum´etrico (We = 0), sin capa de gas (m = 0) y con expansi´ on despreciable de la roca y el agua connata, donde el principal mecanismo de empuje es el gas en soluci´ on, la ecuaci´ on lineal de balance de materiales es: F = N Eo

(19)

En este caso, el vaciamiento (F ) y el expansi´ on del petr´ oleo y gas en soluci´ on (Eo ) conocidos, por lo que al realizar un gr´ afico de F vs. Eo se obtiene una linea recta que debe pasar por el origen (0,0) y la pendiente es igual al petr´ oleo original en sitio (N ). Tema 1

slide 67

27

M´ etodo F vs. Et Cuando existe influjo de agua (We 6= 0), la ecuaci´ on lineal de balance de materiales se puede escribir como: F − We = N Eo , y el m´etodo consiste en graficar (F − We ) vs. (Eo ). Al suponer que la expansi´ on de la roca y el agua connta no son despreciables (Ef w 6= 0), la ecuaci´ on lineal de balance de materiales se puede escribir como: F − We = N [Eo + Ef w ], y el m´etodo consiste en graficar (F − We ) vs. (Eo + Ef w ) En caso que se disponga un valor estimado de la capa de gas, la ecuaci´ on lineal de balance de materiales se puede escribir como: F − We = N [Eo + mEg + (1 + m) Ef w ], y el m´etodo consiste en graficar (F − We ) vs. (Eo + mEg + (1 + m) Ef w ). Este m´etodo supone que el valor de m es correcto o cercano al verdadero, al igual que los valores de We , as´ı como todas las otras suposiciones intr´ınsecas a la EBM. Si el valor de m es mayor o menor que el valor verdadero de m, el gr´ afico se desviar´ a por encima o por debajo, respectivamente, de la l´ınea recta correspondiente al valor correcto de m. En general, el fundamento del m´etodo es graficar (F − We ) en funci´ on de Et , donde Et depende de los mecanismos de empuje activos en el yacimiento. Tema 1

slide 68

M´ etodo F vs. Et Metodo F−We vs. Et 5 14 13 12

4

11 10

F−We (MMbbl)

9 8

3 7 6 5

2 4 3

1

2 1

0

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Et (bbl/STB)

Tema 1

slide 69

M´ etodo de la capa de gas Este m´etodo permite calcular simult´ aneamente los valores de N y m. Graficando (F − We )/Eo en funci´ on de Eg /Eo se obtiene una l´ınea recta cuyo intercepto con el eje Y es N , y la pendiente es mN . Si se tiene un yacimiento donde no existe influjo de agua, el gr´ afico resultante es: F/Eo en funci´ on de Eg /Eo . Se puede observar que si no existe capa de gas, el gr’afico resultante ser´ıa una l´ınea horizontal con intercepto N . En el caso que todos los mecanismos de empuje se encuentren activos (se incluyen todos los t´erminos de la EBM), el m´etodo consiste en graficar: (F − We )/(Eo + Ef w ) en funci´ on de (Eg + Ef w )/(Eo + Ef w ). Tema 1

slide 70

28

M´ etodo de la capa de gas Metodo (F−We)/Eo vs. Eg/Eo 220

200

6

(F−We)/Eo (MMSTB)

180

7

8

14 13 12 11 910

5 4 3

160 2

140

1

120

100

80 0

1

2

3

4

Eg/Eo

Tema 1

slide 71

M´ etodo del acu´ıfero F We =N+ Eo Eo

(20)

Este m´etodo permite calcular N imponiendo una restricci´ on adicional: adem´ as de mostrar un comportamiento lineal, la pendiente de la l´ınea recta debe ser igual a 1. Si existen valores err´ oneos para el t´ermino relacionado con el influjo de agua (We ), se obtendr´ a un comportamiento alejado de la tendencia lineal. Espec´ıficamente, si We asumido es demasiado grande, la tendencia es hacia abajo del comportamiento lineal; si el We asumido es demasiado peque˜ no, la tendencia es hacia arriba. Tema 1

slide 72

29

M´ etodo del acu´ıfero Metodo F/Et vs. We/Et 2500

14

2000

13 12

F/Et (MMSTB)

11 10

1500 9 8 7 6

1000 5 4 3

500

2 1

0 0

400

800

1200

1600

2000

We/Et (MMSTB)

Tema 1

slide 73

30

Ejemplos

slide 74

Ejemplos Descripci´ on Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Tema 1

slide 75

Descripci´ on Ejemplo 1: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´ on de roca y agua connata despreciable Ejemplo 2: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable Ejemplo 3: Yacimiento con capa de gas libre y asociado a un acuifero de estado estable Tema 1

slide 76

Ejemplo 1 Este es un ejemplo de un yacimiento de petr´ oleo con gas disuelto asociado a un ac´ıfero lateral de estado estable. Los datos de producci´ on y PVT se muestran a continuaci´ on:

4

4300 4200 4100

2

4000

1

3900 1990

0 1990

1992

1994

1996

1998

2000

4000

1

3000

0.5

x 10

8

3

1.44

Bg (bbl/SCF)

4400

8.2

1.46

Bo (bbl/STB)

5

Np (MMSTB)

pressure (psi)

−4

4500

1.42

7.8 7.6 7.4

1.4 7.2 1992

1994

1996

1998

1.38 3800

2000

4000

4200

4400

4600

4000

4200

4400

4600

7 3800

4000

4200

4400

4600

840

2000

1000

Rs (SCF/STB)

Wp (MMSTB)

Gp (MMSCF)

820

0

−0.5

800 780 760 740 720

0 1990

1992

1994

1996

1998

2000

−1 1990

1992

1994

1996

1998

700 3800

2000

Tema 1

slide 77

31

Ejemplo 1 Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansi´ on de roca y agua connata son despreciables (Ef w = 0) obtenemos:

Method F−We vs. E

t

5

N=103 MMSTB C=[101.6 104.4] ρ=0.9987 e=0.04 MMbbl

F−W (MMbbl)

4

10 9 8

3

7

e

6 5

2

4 3

1

2 1

0

0

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Et (bbl/STB) Method F/Et vs. We/Et 220

N=102.9 MMSTB C=[100.9 104.9] ρ=0.9893 e=2.79 MMSTB

1

10 8 9

180 6

160

0.8

7

0.6

Iw

4 5

t

F/E (MMSTB)

200

Recovery Mechanisms

140

3

120 100

2

1

0

0.4

Io

0.2

Ig Ifw

20

40

60

80

0

100

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

We/Et (MMSTB)

Tema 1

slide 78

Ejemplo 1 Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansi´ on de roca y agua connata no son despreciables (cr =3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Ef w 6= 0) obtenemos:

Method F−We vs. E

t

6

N=90.3 MMSTB C=[88.7 92] ρ=0.9975 e=0.06 MMbbl

4

10 9 8

3

7

e

F−W (MMbbl)

5

6 5

2

4 3

1

2 1

0

0

0

0.02

0.04

0.06

Et (bbl/STB) Method F/Et vs. We/Et 200

N=89.3 MMSTB C=[87.4 91.1] ρ=0.9891 e=2.6 MMSTB

1 10 8

160 6

140

9

0.8

7

0.6

Iw

4 5

t

F/E (MMSTB)

180

Recovery Mechanisms

120

3 1

100 80

2

0.4

Io

0.2

Ig Ifw

0

20

40

60

80

0

100

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

We/Et (MMSTB)

Tema 1

slide 79

32

Ejemplo 1 Si el yacimiento se encuentra saturado (m 6= 0) y la expansi´ on de roca y agua connata no son despreciables (cr =3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Ef w 6= 0) obtenemos:

Method F−We vs. E

Method (F−W )/(E +E ) vs. (E +E )/(E +E )

N=84.9 MMSTB C=[83.8 86.1] ρ=0.9986 e=0.05 MMbbl

5 4

10 9 8

3

7

e

F−W (MMbbl)

e

(F−We)/(Eo+Efw) (MMSTB)

t

6

6 5

2

4 3

1

2 1

0

0

0

200

0.04

fw

g

fw

o

fw

8 10

4

9

90

6

3 1

7

88 5

86 2

0

1

2

3

4

Et (bbl/STB)

(Eg+Efw)/(Eo+Efw)

Method F/Et vs. We/Et

Recovery Mechanisms 1

10

160

0.8

8 9

140

t

6

0.6

7

4 5

120

3

100 80

o

N=84.7 MMSTB, m=0.02 C=[76.4 92.9] ρ=0.0729 e=2.51 MMSTB

92

84

0.06

N=84.7 MMSTB C=[83.1 86.4] ρ=0.9894 e=2.3 MMSTB

180

F/E (MMSTB)

0.02

94

1

2

Iw

0.4

Io

0.2

Ig Ifw

0

20

40

60

80

0

100

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

We/Et (MMSTB)

Tema 1

slide 80

Ejemplo 2 Este es un ejemplo de un yacimiento inicialmente saturado (m = 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´ on de roca y agua connata (cr =3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Ef w 6= 0). Los datos de producci´ on y PVT se muestran a continuaci´ on:

−4

4200 4100 4000

1.48

8

1.46

6 4 2

3900 3800 1990

1995

2000

0 1990

2005

8.2

1.44 1.42 1.4

1995

2000

1.38 3800

2005

x 10

8

Bg (bbl/SCF)

4300

Np (MMSTB)

pressure (psi)

4400

10

Bo (bbl/STB)

4500

7.8 7.6 7.4 7.2

4000

4200

4400

4600

4000

4200

4400

4600

7 3800

4000

4200

4400

4600

4

x 10

Wp (MMSTB)

Gp (MMSCF)

2 1.5 1 0.5 0 1990

1995

2000

2005

1

850

0.5

800

Rs (SCF/STB)

2.5

0

−0.5

−1 1990

1995

2000

750

700

650 3800

2005

Tema 1

slide 81

33

Ejemplo 2 Method F−We vs. E

t

14

N=200 MMSTB C=[200 200] ρ=1 e=0 MMbbl

10

14 13 12 11 10 9

8

e

F−W (MMbbl)

12

8 7

6

6 5 4

4

3 2

2 0

1 0

0

0.02

0.04

0.06

E (bbl/STB) t

Method F/E vs. W /E t

550

N=200 MMSTB C=[200 200] ρ=1 e=0.01 MMSTB

500 450

Recovery Mechanisms

t

1

14 13 12

0.8

11 10

400 8

350

9

0.6

6 5

300

0.4

Io

0.2

Ig

4 3 2

250 200

Iw

7

t

F/E (MMSTB)

e

Ifw

1

0

100

200

0

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

W /E (MMSTB) e

t

Tema 1

slide 82

Ejemplo 3 Este es un ejemplo de un yacimiento saturado (m 6= 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´ on de roca y agua connata (cr =3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Ef w 6= 0). Los datos de producci´ on y PVT se muestran a continuaci´ on:

2.5

1.46

4300 4200 4100 4000

2 1.5 1

3800 1990

1995

2000

0 1990

2005

1.42

1995

2000

1.38 3800

2005

x 10

8

1.44

1.4

0.5

3900

8.2

Bg (bbl/SCF)

1.48

Bo (bbl/STB)

3

4400

Np (MMSTB)

pressure (psi)

−4

4500

7.8 7.6 7.4 7.2

4000

4200

4400

4600

4000

4200

4400

4600

7 3800

4000

4200

4400

4600

4

3

x 10

1

850

0.5

800

2 1.5 1

Rs (SCF/STB)

Wp (MMSTB)

Gp (MMSCF)

2.5

0

−0.5

750

700

0.5 0 1990

1995

2000

2005

−1 1990

1995

2000

650 3800

2005

Tema 1

slide 83

34

Ejemplo 3 Method F−We vs. E

Method (F−W )/(E +E ) vs. (E +E )/(E +E )

N=100 MMSTB C=[100 100] ρ=1 e=0 MMbbl

14 13 12

8

10

11

fw

9 8

6

7

e

6

o

F−W (MMbbl)

10

e

(F−W )/(E +E ) (MMSTB)

t

12

5

4 2 1

0

0

0

180

0.02

0.04

0.06

t

0.08

t

F/E (MMSTB)

100

0

2

14 11 10 13 912

2

0

1

2 fw

3 o

4

fw

Recovery Mechanisms

t

1

200

1

1

g

0.8

14

5

fw

(E +E )/(E +E ) e

250

4

78

o

120 100

0.1

N=100 MMSTB C=[100 100] ρ=1 e=0.01 MMSTB

3

65

fw

3

140

Method F/E vs. W /E

150

g

4

t

300

fw

160

E (bbl/STB) 350

o

N=100 MMSTB, m=0.25 C=[100 100.1] ρ=1 e=0.01 MMSTB

e

4 3

2

200

6

7

8

9

10

12 11

13

0.6

Iw

0.4

Io

0.2

Ig Ifw

50

100

150

0

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

W /E (MMSTB) e

t

Tema 1

slide 84

35

PVT

slide 85

PVT Muestras de fluidos Experimentos Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo Tema 1

slide 86

Muestras de fluidos Las muestras de fluidos se recolectan usualmente durante la etapa temprana de producci´ on de un yacimiento. Existen dos formas de recolectar las muestras de fluidos:

■ Muestreo de fondo ■ Muestreo por recombinaci´on superficial Tema 1

slide 87

Muestras de fluidos

Figura 11: Recolecci´on de una muestra PVT de fondo Tema 1

slide 88

36

Muestras de fluidos

Figura 12: Recolecci´on de una muestra PVT por recombinaci´on superficial Tema 1

slide 89

Conversi´ on condiciones laboratorio-campo El an´ alisis de laboratorio consiste de:

■ Expansi´on instant´anea de la muestra de fluido para determinar la presi´on de burbujeo ■ Expansi´on diferencial de la muestra de fluido para determinar Bo y Rs ■ Expansi´on instant´anea de la muestra de fluido a trav´es de varias separadores para obtener los par´ametros que permiten ajustar los datos PVT de laboratorio para cotejar las condiciones del separador de campo Tema 1

slide 90

Conversi´ on condiciones laboratorio-campo

Figura 13: Celda PVT Tema 1

slide 91

37

Conversi´ on condiciones laboratorio-campo

Figura 14: (a) Expansi´on instant´anea (b) Expansi´on diferencial Tema 1

slide 92

Experimentos ■ Datos PVT de laboratorio: -

Volumen relativo (vo )

-

Relaci´ on gas-petr´ oleo (Rsdif )

-

Factor volum´ etrico de formaci´ on del petr´ oleo (Bodif )

■ Datos PVT del separador a diferentes presiones (psep ) y temperatura constante (Tsep ) -

Relaci´ on gas-petr´ oleo (Rssep )

-

Factor volum´ etrico de formaci´ on del petr´ oleo (Bosep )

Tema 1

slide 93

Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo ■ Para p > pb : Bo = vo Bosep

■ Para p < pb : Bosep Bob dif Rs Rsdif R sep sbdif

Bo = Bodif Rs =

Tabla 1: Prueba del separador psep (psi)

Tsep (F)

Rssep

API

Bosep

0 50 100 200

74 75 76 77

620 539 505 459

29.9 31.5 31.9 31.8

1.382 1.340 1.335 1.341

Tema 1

slide 94

38

Influjo de Agua

slide 95

Influjo de Agua Introducci´ on Reconocimiento del empuje por agua Clasificaci´ on Grado de mantenimiento de presi´ on Condici´ on de borde externo Reg´ımenes de flujo Geometr´ıas de flujo Modelos de acu´ıfero Pot Schilthuis Hurst van Everdingen-Hurst Tema 1

slide 96

Introducci´ on ■ Una gran catidad de yacimientos de petr´oleo y gas tienen un acu´ıfero asociado que representa una fuente importante de energ´ıa de yacimiento ■ Esta energ´ıa provee un mecanismo de empuje para la producci´on de fluidos cuando los yacimientos son sometidos a producci´on ■ Se cree que el gran n´umero de yacimientos con empuje de agua esta relacionado con el origen marino de muchos yacimientos ■ En los casos que el volumen del acu´ıfero es menos de 10 veces el volumen del yacimiento, el mecanismo de empuje por agua es considerado peque˜ no. Si el tama˜ no del acu´ıfero es significativamente mayor (> 10x), el mecanismo de empuje por agua puede ser la principal fuente de energ´ıa de yacimiento

■ Cuando la presi´on del yacimiento disminuye, se crean un diferencial de presi´on a trav´es del o agua-petr´oleo (agua-gas) y en consecuencia, el acu´ıfero reacciona porporcionando los siguientes mecanismos de empuje:

◆

Expansi´ on del agua en el acu´ıfero

◆

Reducci´ on del volumen poroso del acu´ıfero causado por examnsi´ on de la roca

◆

Expansi´ on de otros yacimientos a trav´ es de acu´ıferos comunes

◆

Flujo artesiano

■ En yacimientos de petr´oleo con empuje por agua, el factor de recobro puede variar entre 35%-65% del POES, mientras que en el caso de empuje por gas en soluci´ on, se obtiene entre 10%-25%. Por el contrario, en yacimientos de gas, el mecanismo de empuje por agua puede obtener factores de recoboro entre 35%-65% del GOES, mientras con expansi´ on del gas libre, el recobro puede variar entre 70%-90%. Tema 1

slide 97

39

Reconocimiento del empuje por agua ■

Disminuci´ on de la tasa de declinaci´ on de presi´ on con incremento del vaciamiento acumulado

■

Incremento gradual de la RGP en yacimientos inicialmente saturados

■

Balance de materiales

Figura 15: M´etodo de Campbell Tema 1

slide 98

Clasificaci´ on Los acu´ıferos se puede clasificar de acuerdo a: ■

Grado de mantenimiento de presi´ on

■

Condici´on de borde externo

■

Reg´ımenes de flujo

■

Geometr´ıas de flujo

Tema 1

slide 99

Grado de mantenimiento de presi´ on Los tipos de empuje por agua son: ■

Activo El influjo de agua es igual al vacimiento total La presi´ on permanace constante qe = qo Bo + qg Bg + qw Bw

(21)

qe = qo Bo + (RGP − Rs ) qo Bg + qw Bw

(22)

■

Parcial

■

Limitado

Tema 1

slide 100

40

Condici´ on de borde externo ■

Infinito El efecto de la declinaci´on de presi´ on no se siente en el borde externo La presi´ on en el borde externo es igual a pi

■

Finito El efecto de la declinaci´on de presi´ on se siente en el borde externo La presi´ on en el borde externo cambia en funci´on del tiempo

Tema 1

slide 101

Reg´ımenes de flujo Existen tres regimenes de flujo que influencian la tasa de influjo de agua hacia el yacimiento: ■

Estado estable La ca´ıda de presi´ on se transmite en todo el yacimiento y el acu´ıfero reacciona en forma instant´anea

■

Estado inestable La ca´ıda de presi´ on se transmite en todo el yacimiento y el acu´ıfero reacciona en forma gradual

Tema 1

slide 102

Geometr´ıas de flujo Los sistemas yacimiento-acu´ıfero se pueden clasificar con base a las geometr´ıas de flujo como: ■

Empuje lateral

■

Empuje lineal

■

Empuje de fondo

Tema 1

slide 103

41

Geometr´ıas de flujo

Figura 16: Geometr´ıas de flujo Tema 1

slide 104

Modelos de acu´ıfero Los modelos matem´aticos de influjo de agua comunmente utilizados en la industria petrolera son: 1.

2.

Estado estable (a)

Pot

(b)

Schithuis (1936)

(c)

Hurst (1943)

Estado inestable (a)

van Everdingen-Hurst (1949)

(b)

Carter-Tracy (1960)

(c)

Fetkovich (1971)

(d)

Allard-Chen (1984)

Tema 1

slide 105

42

Pot ■

El modelo Pot es el modelo m´ as simple que puede ser utilizado para estimar el influjo de agua a un yacimiento

■

Esta basado en la definici´ on b´ asica de compresibilidad

■

Una ca´ıda de presi´ on en el yacimiento debido a la producci´ onde fluidos causa que el agua del acu´ıfero se expanda y fluya hacia el yacimiento

■

Usualmente se utiliza para acu´ıferos peque˜ nos, del mismo tama˜ no del yacimiento

Aplicando al definici´ on de compresibilidad al acu´ıfero se tiene: We = (cw + cf ) Wi (pi − p)

(23)

donde: We : influjo de agua acumulado [MMbbl] cw : compresibilidad del agua [psi−1 ] cf : compresibilidad de la roca [psi−1 ] Wi : volumen de agua iniccial en el acu´ıfero [MMbbl] pi : presi´ on inicial del yacimiento [psi] p: presi´ on actual del yacimiento (en el OWC) [psi] Tema 1

slide 106

Pot El vomuen de agua inicial en un acu´ıfero radial es: Wi =

π ra2 − ro2 hφ 5.615



donde: ra : radio del acu´ıfero [ft] ro : radio del yacimiento [ft] h: espesor del acu´ıfero [ft] φ: porosidad en el acu´ıfero En el caso que la influencia del acu´ıfero no sea completamente radial, se define un factor de forma: We = (cw + cf ) Wi f (pi − p)

(24)

donde: θ f = 360 Tema 1

slide 107

43

Pot

Figura 17: Modelo de acu´ıfero radial Tema 1

slide 108

Pot Balance de materiales Al combinar la Ec. 24 con la Ec. 20 obtenemos F ∆p = N + (cw + cf ) Wi f Eo Eo

(25)

Debido a que las propiedades del acu´ıfero (cw , cf , h, ra , θ) pueden variar de forma poco significativa, es conveniente agrupar estas propiedades en una variable desconocia K: ∆p F =N +K Eo Eo

(26)

Tema 1

slide 109

44

Pot Balance de materiales

Figura 18: M´etodo F/Eo vs. ∆p/Eo Tema 1

slide 110

Schilthuis ■

El comportamiento de flujo esta descrito por la Ley de Darcy

■

Regimen de flujo en estado estable

La tasa de influjo de agua se puede describir aplicando la Ley de Darcy: dWe = dt

"

#

0.00708kh (pi − p) µw ln rrao

(27)

dWe = C (pi − p) dt

(28)

donde: k: permeabilidad del acu´ıfero [md] h: espesor del acu´ıfero [ft] ra : radio del acu´ıfero [ft] ro : radio del yacimiento [ft] t: tiempo [d] C: constante de influjo de agua [bbl/d/psi] Tema 1

slide 111

45

Schilthuis Integrando obtenemos:

Z

We

dWe =

0

Z

t

C (pi − p) dt ⇒ We = C

0

Z

t

(pi − p) dt

0

Utilizando un m´etodo de integraci´ on num´erico obtenemos: Wek = C

k X

∆pj ∆tj

j=1

Tambi´en se puede expresar como: Wek = C

k h X

pi −

j=1

1 (¯ pj−1 + p¯j ) ∆tj 2

i

(29)

donde: j: paso de tiempo k: n´ umero de intervalos de tiempo Tema 1

slide 112

Hurst ■

El radio “aparente” del acu´ıfero ra se incrementa con el tiempo

■

La relaci´ on adimensional ra /ro se reemplaza por una funci´ on que depende del tiempo ra /ro = at

Sustituyendo en la Ec. 27 obtenemos: dWe = dt





0.00708kh (pi − p) µw ln (at)

(30)

C (pi − p) dWe = dt ln (at)

(31)

Integrando obtenemos: We = C

Z t 0



(pi − p) dt ln (at)

(32)

Tema 1

slide 113

Hurst Utilizando un m´etodo de integraci´ on num´erico obtenemos: Wek

=C

k X ∆pj j=1

ln (at)

∆tj

(33)

El modelo de acu´ıfero de estado estable de Hurst continen dos par´ ametros desconocidos: a y C. Estos par´ ametros se pueden determinar a partir del comportamiento de presi´ on e historia de influjo de agua. Utilizando la Ec. 31 se tiene: pi − p dWe dt

pi − p dWe dt

=

1 ln at C

=

1 1 ln a + ln t C C

La Ec. 34 indica que un gr´ afico de obtiene

1 C

(34) pi −p dWe dt

en funci´ on de ln t debe ser una l´ınea recta con pendiente

1 C

y cuando t = 1 se

ln a

Tema 1

slide 114

46

Hurst

Figura 19: M´etodo Tema 1

pi −p dWe dt

vs. ln t slide 115

van Everdingen-Hurst van Everdingen y Hurst resolvieron la ecuaci´ on de influjo para un sistema yacimiento-acu´ıfero aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´ on de difusividada que describe el flujo bajo condiciones transientes. ∂ 2 pD 1 ∂pD ∂pD + = ∂ 2 rD rD ∂rD ∂tD

(35)

Esto conduce a la determinaci´ on del influjo de agua como funci´ on de una ca´ıda de presi´ on dada en el borde interno del sistema yacimiento-acu´ıfero. Tema 1

slide 116

a La ecuaci´on de difusividad ser´a desarrollada en el Tema 3 (An´alisis de Presiones)

47

van Everdingen-Hurst

Figura 20: Influjo de agua a un yacimiento cil´ındrico Tema 1

slide 117

van Everdingen-Hurst van Everdingen-Hurst propusieron una soluci´ on a la ecuaci´ on adimensional de difusividad que utiliza la condici´ on de presi´ on constante y las siguientes condiciones condiciones iniciales y de borde: ■

Condici´ on inicial: p = pi , ∀t

■

Condici´ on de borde interno: p = pi − ∆p, r = ro , ∀t

■

Condici´ on de borde exterior: ◆

Acu´ıfero infinito: p = pi , r → ∞

◆

Acu´ıfero finito:

∂p ∂r

= 0, r = ra

Adicinalmente, van Everdingen-Hurst asumieron que el acu´ıfero estaba caracterizado por: ■

Espersor uniforme

■

Permeabilidad constante

■

Posoridad constante

■

Compresibilidad de roca y agua constante

Tema 1

slide 118

48

van Everdingen-Hurst La soluci´ on a la Ec. 35 para un sistema yacimiento-acu´ıfero, considerando las condiciones de borde descritas, permite calcular el influjo de agua en forma de un par´ ametro adimensional denominado influjo de agua adimensional WeD , el cual es funci´ on del tiempo adimensional tD y el radio adimensional rD : WeD = f (tD , rD )

(36)

WeD se encuentra en forma tabular para diversas geometr´ıas de sistema yacimiento-acu´ıfero El influjo acumulado de agua se calcula de la siguiente expresi´ on: We = B∆pWeD

(37)

donde: We : influjo de agua acumulado [bbl] B: constante de influjo de agua (depende del modelo geom´etrico) [bbl/psi] ∆p = pi − p WeD : influjo de agua adimensional Tema 1

slide 119

van Everdingen-Hurst El valor de tD y B se muestran a continuaci´ on: Modelo geom´etrico

Tiempo adimensional

Constante del acu´ıfero

Radial

tD = 2.309 φµ ktc

B = 1.119φct ro2 hf

Lineal Fondo

tD = 2.309 φµwktct L2 tD = 2.309 φµ ktc L2

B = 0.178W Lhct B = 0.178Va ct

2 w t ro

w t

a

donde: k: permeabilidad del acu´ıfero [md] t: tiempo [a˜ nos] h: espesor del yacimiento [ft] φ: porosidad del acu´ıfero µw : viscosidad del agua en el acu´ıfero [] ra : radio del acu´ıfero [ft], ro : radio del yacimiento [ft] cw : compresibilidad del agua [psi−1 ], cr : compresibilidad de la roca [psi−1 ] ct = cw + cr : compresibilidad total [psi−1 ] L: longitud del acu´ıfero [ft] W : ancho del yacimiento [ft] Va : volumen del acu´ıfero [ft3 ], La = πrV2aφ o

Tema 1

slide 120

49

van Everdingen-Hurst

Tema 1

slide 121

50

van Everdingen-Hurst

Tema 1

slide 122

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on ■

Existe una ca´ıda de presi´ on en el o agua-petr´ oleo debido a la producci´ on de fluidos en un yacimiento asociado a un acu´ıfero

■

El agua se expande y la ca´ıda de presi´ on se propaga dentro del acu´ıfero hacia el borde exterior

■

Debido a que las ca´ıdas de presi´ on ocurren en forma independiente, el agua se expande a consecuencia de sucesivas ca´ıdas de presi´ on

Tema 1

slide 123

51

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on

Figura 21: Presi´on en el o agua-petr´oleo Tema 1

slide 124

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on La presi´ on promedio es: p¯j =

pj−1 + pj 2

La ca´ıda de presi´ on es: ∆pj =

pj−1 − pj+1 2

Para calcular el influjo acumulado de agua a un tiempo arbitrario t, el cual corresponde al paso de tiempo n, se requiere la superposici´ on de las soluciones de la Ec. 37: We (tn )



=

B∆p0 WD (tDn ) + B∆p1 WD tDn−1 + . . . +

+

B∆pj WD tDn−j + . . . + B∆pn−1 WD (tD1 )

Sumando obtenemos: We (tn ) = B

n−1 X j=0



∆pj WD tDn−j



(38)

(39)

Tema 1

slide 125

52

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on

Figura 22: Ilustraci´on del principio de superposici´on Tema 1

slide 126

van Everdingen-Hurst Balance de materiales La constante del acu´ıfero B puede ser determinado mediante la soluci´ on del m´etodo gr´ afico de balance de materiales. Para ello se tiene: F = N Et + We F = N Et + B

n−1 X

∆pj WD tDn−j

j=0



Por lo que: F =N +B Et

Pn−1 j=0

∆pj WD tDn−j Et



(40)

La soluci´ on de la ecuaci´ on lineal de balance de materiales mediante el m´etodo gr´ afico puede ser utilizada para determinar el valor de un par´ ametro desconocido del acu´ıfero cuando el resto de los par´ ametros son conocidos. Tema 1

slide 127

53

van Everdingen-Hurst An´ alisis de sensibilidad

F/Et vs. We/Et 800

h=50 pies 700 600 500 F/Et

h=150 pies 400

h=100 pies

300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 23: Espesor del acu´ıfero Tema 1

slide 128

van Everdingen-Hurst An´ alisis de sensibilidad

F/Et vs. We/Et 800

r o=4600’

700 600 F/Et

500

r o=13800’

400

r o=9200’

300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 24: Radio del yacimiento Tema 1

slide 129

54

van Everdingen-Hurst An´ alisis de sensibilidad

F/Et vs. We/Et 800

Ae=100°

700 600

F/Et

500

Ae=200°

400

Ae=150°

300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 25: Angulo θ Tema 1

slide 130

van Everdingen-Hurst An´ alisis de sensibilidad

F/Et vs. We/Et 800

K=82 mD

700 600

F/Et

500

K=246 mD 400 300

K=164 mD

200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 26: Permeabilidad del acu´ıfero Tema 1

slide 131

55

Predicci´ on

slide 132

Predicci´ on Introducci´ on Par´ ametros M´ecanismos de Recobro M´etodo de Tracy M´etodo de Tarner M´etodo de Muskat Ejemplo

Esta secci´ on fue desarrollada por el Br. Bernardo Bohorquez y la Br. Johanna Fern´ andez, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´ oleo, UCVa . Tema 1

slide 133

a Fern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006

Introducci´ on ■

La predicci´ on del comportamiento de un yacimiento en funci´ on del tiempo puede dividirse en 3 fases principales: ◆

Comportamiento del yacimiento: Esta fase requiere del uso de la EBM de una manera predictiva, cuyo fin ser´ıa estimar la producci´ on acumulada de hidrocarburos y la relaci´ on gas–petr´ oleo instant´ anea (RGP ) en funci´ on del agotamiento de presi´ on del yacimiento.

◆

Comportamiento del pozo: Esta fase genera el comportamiento individual de cada pozo en la medida en la cual avanza el agotamiento de la presi´ on.

◆

Relaci´ on del comportamiento del yacimiento con el tiempo: Esta fase, los datos del yacimiento y de los pozos son vinculados con el tiempo, considerando cantidades y tasa de producci´ on de cada uno de los mismos.

Tema 1

slide 134

Par´ ametros Para realizar una predicci´ on de la producci´ on de hidrocarburos relacionada con la presi´ on promedio del yacimiento, se necesitan conocer el comportamiento de los siguientes par´ ametros: RGP instant´ anea: La relaci´ on gas–petr´ oleo instant´ anea representa la raz´ on entre los pies c´ ubicos est´ andar de gas producidos y los barriles est´ andar de petr´ oleo producidos al mismo instante. Se encuentra definida por: RGP =

Rs qo + qg = Rs + qo



krg kro



µ o βo µ g βg



Esta ecuaci´ on permite describir el comportamiento de la relaci´ on gas–petr´ oleo instant´ anea en cualquier momento durante el agotamiento de presi´ on del yacimiento. Tema 1

slide 135

56

Par´ ametros

Relaci´ on entre Rs y RGP vs Np a

Tema 1

slide 136

a Tarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.

Par´ ametros El gas acumulado producido puede vincularse a la RGP de la siguiente manera:

Relaci´ on RGP vs Np a

Tema 1

slide 137

a Tarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.

57

Par´ ametros Saturaci´ on de petr´ oleo remanente para cada paso de presi´ on: Se tiene un yacimiento volum´etrico (We = 0), sin capa inicial de gas, con N barriles est´ andar iniciales y una presi´ on inicial pi , en donde Soi = 1 − Swi. El c´ alculo de N volum´etrico viene representado por la siguiente ecuaci´ on: N=

Aφh(1 − Swi ) βoi

Si expresamos el t´ermino Aφh como Vp o volumen poroso se puede despejar de la siguiente manera: Volumen poroso =

N βoi 1 − Swi

Si el yacimiento ha producido un volumen Np , la cantidad remanente de petr´ oleo viene dada por: Volumen remanente de petr´ oleo = (N − Np )βo Tema 1

slide 138

Par´ ametros Si se tiene que So se encuentra definido por: So =

Volumen de petr´ oleo Volumen poroso

Utilizando esta definici´ on, y combin´ andola con las anteriores ecuaciones se tiene que:



So = (1 − Swi ) 1 −

Np N



βo βoi

Es importante destacar que se supone la distribuci´ on uniforme de las saturaciones de los fluidos a lo largo de todo el yacimiento. Por otra parte, de existir otros mecanismos de empuje, es necesario el desarrollo de ecuaciones distintas cuyo fin sea contabilizar migraci´ on de fluidos, vol´ umenes de petr´ oleo atrapados en zonas de agua o gas, entre otros aspectos. Tema 1

slide 139

M´ ecanismos de Recobro Yacimientos de petr´ oleo subsaturado Cuando la presi´ on del yacimiento se encuentra por encima de la presi´ on de burbujeo, es decir p > pb , el yacimiento es considerado como subsaturado. Asumiendo que no se tiene capa inicial de gas (m = 0) y que el yacimiento es volum´etrico (We = 0), la EBM se puede expresar de la siguiente manera: Np βo = N βoi

S C + S C + C oi o wi w f 1 − Swi

∆p

Despejando Np se tiene la ecuaci´ on: Np = N Ce



βo βoi

S

∆p C +S

C +C

wi w f Donde el t´ermino Ce = oi o 1−S representa la compresibilidad efectiva. El c´ alculo de la producci´ on futura de wi hidrocarburos no requiere de un proceso de ensayo cuando el yacimiento es subsaturado, con las suposiciones anteriormente mencionadas.

Tema 1

slide 140

58

M´ ecanismos de Recobro Yacimientos de petr´ oleo saturado Para un yacimiento saturado donde el u ´nico mecanismo de producci´ on presente es el empuje por gas en soluci´ on, volum´etrico y que no presenta inyeccion de fluidos, la EBM se puede expresar mediante la siguiente ecuaci´ on: N=

Np βo + (Gp − Np Rs ) βg (βo − βoi ) + (Rsi − Rs ) βg

Si N y los datos PVT son variables conocidas, Np y Gp son variables desconocidas. Para su c´ alculo, es necesario utilizar unos m´etodos los cuales combinan la EBM con la Relaci´ on Gas–Petr´ oleo, utilizando informaci´ on sobre la saturaci´ on inicial de los fluidos presente, y datos de permeabilidades relativas. Tema 1

slide 141

M´ etodo de Tracy Tracy (1955) sugiri´ o que la EBM puede ser reescrita y expresada en funci´ on de tres (3) par´ ametros PVT. Despejando N de la siguiente manera: N=

Np (βo − Rs βg ) + Gp βg + (Wp βw − We ) (βo − βoi ) + (Rsi − Rs ) βg + mβoi

h

βg βgi

i

−1

Se pueden definir los par´ ametros φo , φg y φw seg´ un las siguientes ecuaciones: β

βo −Rs βg

φg = g φw = 1 den den hden i βg den = (βo − βoi ) + (Rsi − Rs ) βg + mβoi βgi −1 φo =

La EBM queda reescrita de la siguiente manera: N = Np φo + Gp φg + (Wp βw − We ) φw

Considerando un yacimiento con empuje por gas en soluci´ on se tiene que: N = Np φo + Gp φg Tema 1

slide 142

M´ etodo de Tracy Por cada paso de presi´ on se debe considerar el aumento de la producci´ on de gas y de petr´ oleo (∆Gp y ∆Np respectivamente): Np = Np∗ + ∆Np Gp = G∗p + ∆Gp Donde el valor con un * representa el correspondiente a la presi´ on superior de cada paso. Sustituyendo se tiene que:





N = Np∗ + ∆Np φo + G∗p + ∆Gp φg Combinando esta ecuaci´ on con el concepto de la Relaci´ on Gas–Petr´ oleo, se obtiene:





N = Np∗ + ∆Np φo + G∗p + ∆Np (RGP )prom φg Tema 1

slide 143

59

M´ etodo de Tracy Despejando ∆Np : ∆Np =

1 − Np∗ φo + G∗p φg



φo + (RGP )prom φg

Esta ecuaci´ on presenta dos variables desconocidas, el incremento de producci´ on de petr´ oleo ∆Np y la Relaci´ on Gas–Petr´ oleo (RGP )prom . La metodolog´ıa utilizada para la resoluci´ on de esta ecuaci´ on consiste en una t´ecnica iterativa teniendo como objetivo la convergencia a los valores futuros de RGP . A continuaci´ on los pasos para su resoluci´ on: 1.- Seleccionar una presi´ on p por debajo de la presi´ on en donde se tienen los dem´ as valores conocidos p∗ . 2.- Calcular los valores de las funciones PVT, φo y φg , para la presi´ on p . 3.- Estimar un valor de RGP , el cual se denotar´ a por (RGP )est , para la presi´ on estimada en el paso 1 Tema 1

slide 144

M´ etodo de Tracy 4.- Calcular la RGP instant´ anea promedio: (RGP )prom = 5.-

Calcular el incremento de producci´ on de petr´ oleo acumulado ∆Np : ∆Np =

6.-

RGP ∗ + (RGP )est 2

1 − Np∗ φo + G∗p φg



φo + (RGP )prom φg

Calcular la producci´ on de petr´ oleo Np . Np = Np∗ + ∆Np

7.-

Calcular la saturaci´ on de petr´ oleo a la presi´ on seleccionada:



So = (1 − Swi ) 1 −

Np N



βo βoi

Tema 1

slide 145

M´ etodo de Tracy 8.- Obtener la raz´ on de permeabilidades relativas Krg /Kro utilizando la informaci´ on disponible, tal como pruebas de laboratorio, pozos cercanos o correlaciones emp´ıricas. 9.- Utilizando el valor obtenido en el paso anterior, calcular RGP : (RGP )cal = Rs + 10.-

Krg Kro



µ o βo µ g βg



Comparar el valor estimado de RGP en el paso 3, con el valor calculado en el paso anterior: 0.999 ≤

(RGP )cal ≤ 1.001 (RGP )est

Si estos valores se encuentran dentro de una tolerancia permitida se procede con el siguiente paso. De no cumplirse esto, se hace (RGP )est del paso 3 igual a (RGP )cal , se repiten desde el paso 4 hasta 10 logrando que se cumpla la tolerancia. Tema 1

slide 146

60

M´ etodo de Tracy 11.-

Calcular la producci´ on acumulada de gas: Gp = G∗p + (RGP )prom ∆Np

12.-

Repetir desde el paso 1 seleccionando un nuevo paso de presi´ on, haciendo: p∗ (RGP )∗ G∗p Np∗

= = = =

p (RGP ) Gp Np

Tema 1

slide 147

M´ etodo de Tarner En 1944, Tarner sugiri´ o un m´etodo iterativo para predecir la producci´ on acumulada de hidrocarburos (Np y Gp ) como funci´ on de la presi´ on. Este m´etodo se basa en resolver la EBM y la ecuaci´ on de RGP instant´ anea simult´ aneamente para obtener dos valores de la producci´ on acumulada de gas Gp , realizando posteriormente un proceso comparativo de los mismos y determinar si las suposiciones realizadas son correctas. La pasos para esta metodolog´ıa son los siguiente: 1.- Asumir una presi´ on futura p por debajo de la presi´ on inicial y conocida, p∗ . 2.- Estimar la producci´ on acumulada de petr´ oleo Np correspondiente a la presi´ on p. 3.- Resolver la EBM para calcular Gp



Gp1 = N (Rsi − Rs ) − 4.-

βoi − βo βg



− Np



βo − Rs βg



Calcular la saturaci´ on de petr´ oleo correspondiente a la presi´ on p.



So = (1 − Swi ) 1 −

Np N



βo βoi

Tema 1

slide 148

M´ etodo de Tarner k

correspondiente a la saturaci´ on de petr´ oleo del paso anterior. Con 5.- Obtener el coeficiente de permeabilidades krg ro estos datos, obtener la RGP instant´ anea. Los datos PVT empleados corresponden a la presi´ on asumida p. 6.- Calcular nuevamente la producci´ on acumulada de gas Gp a la presi´ on p aplicando la siguiente ecuaci´ on: Gp2 = G∗p + (RGP )prom ∆Np Donde RGP ∗ corresponde a la presi´ on p∗ 7.- Estableciendo un margen de error determinado, comparar los valores de Gp1 y Gp2 . Si el error se encuentra dentro del margen permitido, se ha conseguido el valor de Np correspondiente a la presi´ on p. Lo cual permite seleccionar una nueva presi´ on. De lo contrario, si el error no se encuentra dentro del margen permitido, se debe seleccionar un nuevo valor de Np y repetir los pasos desde el 2 hasta el 6. Tema 1

slide 149

61

M´ etodo de Muskat Muskat present´ o este m´etodo en 1945 y expuso que el valor de un n´ umero de variables que afectan la producci´ on de gas y de petr´ oleo y los valores de las tasas de cambio de estas con la presi´ on, se pueden evaluar en cada paso de agotamiento. Para este m´etodo se utiliza la siguiente ecuaci´ on: dSo = dp

So βg dRs βo dp

+

dβ So kg µo dβo − (1−Sβog−Sw ) dpg βo ko µg dp k 1 + kgo µµgo

Los diferenciales de So y p se pueden aproximar utilizando ∆So = So∗ − So y ∆p = p∗ − p respectivamente. Craft (1990) sugiri´ o que los c´ alculos pueden ser facilitados si se identifican tres grupos dependientes de la presi´ on, y posteriormente se grafican. Tema 1

slide 150

M´ etodo de Muskat Estos grupos son los siguientes: dβ β o s Y (p) = β1g µµgo dβ Z(p) = β1g dpg X(p) = βgo dR dp dp Combinando estos grupos con la ecuaci´ on propuesta por Muskat se obtiene:



∆So ∆p



=

rg Y (p) − (1 − So − Swi )Z(p) So X(p) + So kkro

1+

kg µo ko µg

Esta ecuaci´ on puede ser utilizada para predecir el comportamiento de la producci´ on y la saturaci´ on de fluidos del yacimiento dando como dato un ∆p utilizando los siguientes pasos: 1.- Graficar los valores de Rs , βo y βg vs p y calcular la derivada de las propiedades PVT a varios valores de presi´ on. 2.- Calcular los grupos dependientes X(p), Y (p) y Z(p) para cada presi´ on seleccionada para el paso 1. 3.- Graficar los valores de los grupos dependiente en funci´ on de la presi´ on como se ilustra en la figura: Tema 1

slide 151

M´ etodo de Muskat

Grupos dependientes vs presi´ on.a

Tema 1

slide 152

a Tarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.

62

M´ etodo de Muskat 4.- Asumir una ca´ıda de presi´ on desde la presi´ on actual p∗ a una presi´ on seleccionada p. Determinar los valores de X(p), Y (p) y Z(p). 5.- Resolver la ecuaci´ on de Muskat usando la saturaci´ on actual de petr´ oleo al principio de la presion p∗ .

6.-

∆So ∆p



=

rg Y (p∗ ) − (1 − So∗ − Swi )Z(p∗ ) So∗ X(p∗ ) + So∗ kkro

1+

kg µo ko µg

Determinar la saturaci´ on de petroleo So a la presi´ on promedio del yacimiento selecionada p: So =

So∗

∗

− (p − p)



∆So ∆p



7.- Utilizando la saturaci´ on de petr´ oleo calculada en el paso anterior, calcular el valor del cociente de permeabilidades relativas. Tema 1

slide 153

M´ etodo de Muskat Obtener (∆So /∆p) utilizando los nuevos valores para la presi´ on p.

8.-



=

rg Y (p) − (1 − So − Swi )Z(p) So X(p) + So kkro

1+

kg µo ko µg

Calcular un valor promedio entre los valores obtenidos del paso anterior y el paso n´ umero 5.

9.-

∆So ∆p

∆So ∆p



=

prom

1 2



∆So ∆p



+ 5



∆So ∆p

7

Utilizando este promedio, calcular la saturaci´ on de petr´ oleo correspondiente a la presi´ on p: So = So∗ − (p∗ − p)



∆So ∆p



prom

Tema 1

slide 154

M´ etodo de Muskat 10.-

Utilizando la saturaci´ on calculada en el paso anterior, calcular RGP RGP = Rs +

11.-

krg ro



µ o βo µ g βg



Calcular la producci´ on de petr´ oleo acumulada, utilizando la informci´ on de So calculada en el paso n´ umero 9



βoi So Np = N 1 − βo (1 − Swi ) 12.-



Utilizando la definici´ on de RGP , calcular el incremento de la producci´ on acumulada de gas: (RGP )prom =

RGP ∗ + RGP 2

Gp = G∗p + (RGP )prom ∆Np Tema 1

slide 155

63

M´ etodo de Muskat Repetir desde el paso 4 hasta el 12 con todos los pasos de presi´ on en estudio haciendo: p∗ (RGP )∗ G∗p Np∗ So∗

= = = = =

p (RGP ) Gp Np So

Como se observa, este m´etodo no realiza c´ alculos iterativos para lograr una convergencia de los valores obtenidos; el m´etodo de Muskat se puede presentar como una herramienta confiable al momento de realizar predicciones del comportamiento del yacimiento, solo cuando no se disponga de herramientas computacionales que faciliten cualquiera de los otros dos m´etodos. Tema 1

slide 156

Ejemplo Se dispone de la siguiente informaci´ on: Prueba Liberacin Diferencial p [lpc] 4350 4061 3772 3483 3194 2905 2616 2327 2038 1749 1460 1171 882 593 304 14.7

βo [BY/BN] 1.3935 1.3628 1.3331 1.3041 1.2761 1.2490 1.2229 1.1995 1.1765 1.1560 1.1366 1.1176 1.0997 1.0837 1.0686 1.0446

βg [BY/PCN] 0.000678 0.000713 0.000753 0.000803 0.000864 0.000941 0.001040 0.001168 0.001338 0.001573 0.001909 0.002421 0.003280 0.004992 0.009986 0.211740

Rs [PCN/BN] 840.00 773.56 708.13 643.72 580.38 518.19 457.26 401.68 346.30 295.93 247.24 198.79 152.10 109.32 67.95 0.00

µo [] 1.6182 1.7311 1.8598 2.0081 2.1802 2.3822 2.6220 2.8888 3.2165 3.5880 4.0399 4.6182 5.3541 6.2606 7.4668 10.7660

µg [] 0.0248 0.0237 0.0226 0.0215 0.0204 0.0193 0.0181 0.0171 0.0161 0.0152 0.0145 0.0138 0.0133 0.0130 0.0127 0.0125

Informaci´ on del Yacimiento N [MMBN] pi [lpc] pf [lpc] RGPi [PCN/BN] Swi pb [lpc]

Tema 1

100 4350 1000 840 0.3 4350

slide 157

64

Ejemplo Se desea estimar Np , Gp y RGP para la presin de abandono pf = 1000lpc. Para resolver este problema, se utilizan los m´etodos de predicci´ on estudiados anteriormente. p [lpc] 4350 4111 3871 3632 3393 3154 2914 2675 2436 2196 1957 1718 1479 1239 1000

Tracy Np [MMBN] 0 0.9763 2.1851 3.6098 5.1448 6.6254 7.9319 9.0446 9.9478 10.6980 11.3260 11.8540 12.3220 12.7620 13.1780

Tarner Np [MMBN] 0 0.9763 2.2005 3.6410 5.1365 6.4783 7.5716 8.4443 9.1171 9.6582 10.1000 10.4630 10.7800 11.0730 11.3450

Muskat Np [MMBN] 0 0.9742 2.2007 3.6404 5.1350 6.4801 7.5898 8.4518 9.1453 9.6863 10.1210 10.4930 10.8130 11.1010 11.3670

Tema 1

slide 158

Ejemplo

Producción de Petróleo 14 Tracy Tarner Muskat 12

Np (MMBN)

10

8

6

4

2

0 4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

Presión [lpc]

Relaci´ on Np vs pa .

Tema 1

slide 159

a Fern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006

65

Ejemplo p [lpc] 4350 4111 3871 3632 3393 3154 2914 2675 2436 2196 1957 1718 1479 1239 1000

Tracy Gp [MMPCN] 0 796 1785 3061 4789 7153 10261 14179 18667 23725 29234 34989 41074 47632 54378

Tarner Gp [MMPCN] 0 796 1769 3029 4797 7283 10553 14621 19213 24327 29850 35582 41618 48101 54757

Muskat Gp [MMPCN] 0 795 1769 3029 4795 7287 10613 14638 19386 24519 29969 35862 41980 48378 54904

Tema 1

slide 160

Ejemplo Producción de Gas 60

50

Tracy Tarner Muskat

30

p

G (MMMPCN)

40

20

10

0 4500

4000

3500

3000 2500 Presión [lpc]

2000

1500

1000

Relaci´ on Gp vs pa .

Tema 1

slide 161

a Fern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006

66

Ejemplo p [lpc] 4350 4111 3871 3632 3393 3154 2914 2675 2436 2196 1957 1718 1479 1239 1000

Tracy RGP [PCN/BN] 840 792 796 951 1412 2353 3918 6203 9097 12643 16714 20948 25169 28960 31584

Tarner RGP [PCN/BN] 840 792 796 954 1409 2295 3699 5641 8052 10923 14157 17500 20771 23616 25467

Muskat RGP [PCN/BN] 840 792 796 954 1410 2295 3688 5634 8017 10878 14116 17430 20684 23535 25400

Tema 1

slide 162

Ejemplo Gas−−Oil Ratio 35

30

Tracy Tarner Muskat

RPG (MPCN/BY)

25

20

15

10

5

0 4500

4000

3500

3000 2500 Presión [lpc]

2000

1500

1000

Relaci´ on RGP vs pa .

Tema 1

slide 163

a Fern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006

67

Referencias

slide 164

Referencias [1] L.P. Dake. Fundamentals of Reservoir Engineering. Elsevier Science B.V., Amsterdam, The Netherlands, fiftheenth edition, 1977. [2] B.C Craft and M.F. Hawkins. Applied Petroleum Reservoir Engineering. PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632, second edition, 1991. [3] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Reservoir Engineering Handbook. Gulf Professional Publishing, Houston, Texas, USA, 2001. [4] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005. [5] Charles Smith, G.W. Tracy, and R. Lance. Applied Reservoir Engineering, volume 2, chapter 12. OGCI Publications. [6] R.J. Schithuis. Active Oil ans Reservoir Energy. In Trans., AIME, 188, 33ff. [7] W. Hurst. Water Influx Into a Reservoir and Its Applications to the Equation of Volumetric Balance. In Trans., AIME, 151, 57ff, 1943. [8] M.J. Fetkovich. A Simplified Approach to Water Influx Calculations - Finite Aquifer Systems. Journal of Petroleum Technology, 1971. R 1995. [9] Ed Turek and Randy Morris. Black-oil properties correlations - AMOCO Corporation ,

Tema 1

slide 164

68

Antecedentes de EBM

slide 165

Antecedentes de EBM Antecedentes Coleman, Wilde y Moore Schilthuis Odd Woods y Muskat van Everdingen, Timmerman y Mcmahon Hawkins Tracy Havlena y Odeh Dake Tema 1

slide 166

Antecedentes Existen diversos trabajos publicados acerca de los m´etodos de estimaci´ on de reservas de hidrocarburos. La mayor´ıa de los trabajos se enfocan en varios aspectos del tema, que incluyen las leyes y principios fundamentales que gobiernan la extracci´ on de fluidos, la derivaci´ on de las ecuaciones con base en la relaci´ on entre la cantidad de fluidos producidos y las propiedades del yacimiento, entre otros. Esta secci´ on esta basada en el trabajo realizado por Carlos Garc´ıaa . Tema 1

slide 167

a C. Garc´ıa, An´alisis de errores de presi´on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005

Coleman, Wilde y Moore Dentro de los primeros trabajos realizados acerca del tema se encuentra el de Coleman, Wilde y Moorea . Su estudio se bas´ o en la declinaci´ on de la presi´ on del yacimiento posterior a la producci´ on de petr´ oleo y gas. Presentaron una ecuaci´ on que relaciona la presi´ on del yacimiento, la cantidad de petr´ oleo y gas producido, la cantidad de gas en el yacimiento y las propiedades de los fluidos del yacimiento. Tema 1

slide 168

a S.P. Coleman, H.D. Wilde and T.V. Moore, Quantitative effects of GOR on decline of average rock pressure. Trans. AIME (1930). 86. 174. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)

Schilthuis Schilthuisa , present´ o una forma modificada de la ecuaci´ on de Coleman, Wilde y Moore. La ecuaci´ on de Schilthuis se puede describir como un balance volum´ etrico entre las cantidades de petr´ oleo, gas y agua producida, con la declinaci´ on de presi´ on del yacimiento, la cantidad total de agua que pudo haber entrado al yacimiento y la cantidad total de petr´ oleo y gas del yacimiento. La ecuaci´ on de Coleman, Wilde y Moore est´ a basada en las leyes de gases perfectos y soluciones perfectas, a diferencia de ´ esta, la ecuaci´ on de Schilthuis usa la relaci´ on entre la presi´ on y el volumen obtenido en el laboratorio a partir de muestras de petr´ oleo y gas del yacimiento, resultando que la ecuaci´ on sea aplicable al estudio de yacimientos de alta presi´ on. Otra mejora de la ecuaci´ on de Schilthuis sobre la de Coleman, Wilde y Moore es una simplificaci´ on del procedimiento de c´ alculo involucrado, la mayor´ıa de los t´ erminos usados en la ecuaci´ on de Schilthuis pueden ser le´ıdos directamente de curvas provenientes del laboratorio. Schilthuis, en la derivaci´ on de la ecuaci´ on, supuso que existe un estado de equilibrio instant´ aneo en el yacimiento. Esta suposici´ on de equilibrio es tal que el yacimiento se comporta como si tuviese cantidades m´ as peque˜ nas de petr´ oleo y gas de las que realmente contiene. Tal estado de equilibrio nunca se alcanza. Una consecuencia de esto es que el contenido de hidrocarburos calculado mediante la ecuaci´ on de Schilthuis es siempre menor que el contenido real. Se cree que la cantidad calculada de petr´ oleo es esa porci´ on del petr´ oleo contenida en la parte permeable e interconectada que contribuye activamente al mantenimiento de la presi´ on del yacimiento. Schilthuis llam´ o a este fen´ omeno “petr´ oleo activo”. La ecuaci´ on de Schilthuis no toma en cuenta la disminuci´ on en el volumen poroso debido al efecto combinado de la expansi´ on del agua connata y la reducci´ on del volumen poroso del yacimiento. Schilthuis tambi´ en propuso un modelo de influjo de agua el cual expresa la tasa de influjo de agua dentro del yacimiento a un tiempo cualquiera, proporcional a la diferencia de presi´ on entre la presi´ on original del yacimiento y la presi´ on en el yacimiento en un instante dado. Tema 1

slide 169

a R.J. Schilthuis, Active Oil Reservoir Energy. TRANS AIME(1936). 118. 32. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)

69

Odd Olda expuso el uso simult´ aneo de la EBM y la ecuaci´ on de Hurst, aplicado al c´ alculo de las reservas de hidrocarburos. Estudi´ o el comportamiento de un yacimiento de petr´ oleo y evalu´ o las fuerzas naturales que actuaban en el yacimiento. Old afirm´ o que un uso importante de ´este m´etodo de an´ alisis consiste en determinar el comportamiento de presi´ on. Tema 1

slide 170

a R. F. Jr. Old, Analyzing of reservoir performance. Trans. AIME( 1943). 151. 86. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 8.)

Woods y Muskat Woods y Muskata presentaron un procedimiento de an´ alisis de m´ınimos cuadrados para resolver la ecuaci´ on de balance de materiales y su aplicaci´ on para estimar el petr´ oleo en sitio a partir de observaciones de campo. El estudio concluy´ o que el balance de materiales por si mismo no puede, con seguridad, proporcionar una determinaci´ on u ´nica de las caracter´ısticas f´ısicas b´ asicas del petr´ oleo que se produce de un yacimiento. Sin embargo, el m´etodo proporciona una herramienta u ´til para estimar la intrusi´ on de agua o para predecir el comportamiento futuro de un yacimiento, cuando existen datos de control determinados independientemente, tales como valores de petr´ oleo y gas inicial en sitio. Tema 1

slide 171

a R. E. Woods y M. Muskat, An Analysis of material balance calculations. Trans AIME (1943). 151. 73. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.)

van Everdingen, Timmerman y Mcmahon Everdingen, Timmerman y Mcmahona presentaron una forma modificada de la ecuaci´ on de balance de materiales aplicable a yacimientos con empuje parcial de agua. El m´etodo combin´ o la ecuaci´ on de balance de materiales con la ecuaci´ on de influjo de agua de Hurst-Van Everdingen, para obtener valores confiables del petr´ oleo activo original en sitio y una evaluaci´ on cuantitativa del influjo de agua acumulado. El m´etodo de soluci´ on usa el m´etodo de m´ınimos cuadrados para obtener dos ecuaciones normales a partir de un cierto n´ umero de ecuaciones de balance de materiales. El m´etodo de desviaci´ on normales fue utilizado para determinar el valor de petr´ oleo en sitio asociado con el valor m´ as confiable de los intervalos de tiempo reducidos. Tema 1

slide 172

a A.F. Van Everdingen,E.H. Timmerman y J.J. Mcmahon, Application of the material balance equation to a partial water drive reservoirs. Trans. AIME (1953). 198. 51. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.)

Hawkins Hawkinsa present´ o una extensi´ on de la ecuaci´ on de balance de materiales aplicable a yacimientos volum´etricos subsaturados por encima del punto de burbujeo mediante la inclusi´ on de un t´ermino que toma en cuenta la presencia de agua intersticial y su compresibilidad. Tema 1

slide 173

a M. F. Jr. Hawkins, Material balance in expansion type reservoir above bubblepoint. Trans. AIME (1953). 204. 267. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 10.)

Tracy Tracya present´ o una forma simplificada de la ecuaci´ on de balance de materiales de Schilthuis. En la ecuaci´ on, los t´erminos de petr´ oleo producido acumulado, gas producido acumulado e influjo neto de agua se multiplican por diferentes factores de presi´ on. El m´etodo estima tasas gas-petr´ oleo instant´ aneas junto con producci´ on incremental de petr´ oleo. Tema 1

slide 174

a G. W. Tracy, Simplified form of the material balance equation. SPE Reprint Series No 3. 1970. pp 62. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp 11.)

70

Havlena y Odeh Havlena y Odeha presentaron un m´etodo en el cual la ecuaci´ on de balance de materiales se expresa como la ecuaci´ on de una l´ınea recta. El m´etodo consiste en graficar un conjunto de variables versus otro, dependiendo de los mecanismos de empuje del yacimiento del yacimiento. Este m´etodo proporciona un tercer y necesario criterio que s´ olo una soluci´ on exitosa de la ecuaci´ on de balance de materieales deber´ıa satisfacer. El m´etodo fue aplicado a varios casos de campo. El m´etodo ha demostrado ser el mejor en t´erminos de la interpretaci´ on de los c´ alculos de balance de materiales. Tema 1

slide 175

a D. Havlena y A.S. Odeh. The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, Okla. SPE 559., 1963.

Dake Dakea consider´ o la disminuci´ on en el volumen poroso de hidrocarburos debido al efecto combinado de la expansi´ on del agua connata y la reducci´ on en el volumen poroso, la cual no fue tomada en cuenta por Schilthuis al derivar la forma general de la ecuaci´ on de balance de materiales. Tema 1

slide 176

a L. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978

71

M´ınimos Cuadrados

slide 177

M´ınimos Cuadrados Introducci´ on Derivaci´ on Tema 1

slide 178

Introducci´ on El ajuste de m´ınimos cuadradosa,b es un procedimiento matem´ atico para obtener la curva que mejor ajuste un conjunto dado de puntos mediante la minimizaci´ on de la suma de los cuadrados de los residuales de los puntos de la curva.

Figura B.1: Ajuste de m´ınimos cuadrados Tema 1

slide 179

a http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html b http://www.keypress.com

Derivaci´ on La suma de los cuadrados de las desviaciones verticales R2 de un conjuntos de n puntos a la funci´ on f es: R2 =

X

[yi − f (xi , a1 , a2 , . . . , an )]2

(B.1)

La condici´ on para que R2 sea m´ınimo es: ∂ R2 ∂ai



=0

(B.2)

Para i = 1, . . . n Tema 1

slide 180

72

Derivaci´ on Para el ajuste lineal f (a, b) = a + bx, se tiene: R2 (a, b) =

n X

[yi − (a + bxi )]2

(B.3)

i=1

∂ R2 ∂a ∂ R2 ∂b



= −2



= −2

n X

[yi − (a + bxi )] = 0

(B.4)

[yi − (a + bxi )] xi = 0

(B.5)

i=1

n X i=1

Tema 1

slide 181

Derivaci´ on Finalmente:



a b



=

1 n

Pn

x2i −

Pn

yi

Pn

x2i −

Pn

xi yi −

Pn

i=1

Es decir: a=

b=

Pn

i=1

n

n

Pn

i=1

n

Tema 1

i=1 n i=1

P

Pn

i=1

x2i

x2i −

−

i=1

2

n x i=1 i i=1 2 n x i i=1

P

x

i=1 i n i=1

P

xi

Pn

P

Pn xi

i=1 2

Pn Pn Pn yi i=1 x2i −P i=1 xP xi yi i i=1 P n n n

i=1

n

i=1

xi yi −

xi yi

i=1

xi

i=1

yi

(B.6)



yi

(B.7)

slide 182

Derivaci´ on En el caso del ajuste lineal f (b) = bx, se obtiene:

Pn yi b = Pni=1 i=1

(B.8)

xi

Tema 1

slide 183

73

Par´ ametros Estad´ısticos

slide 184

Par´ ametros Estad´ısticos Introducci´ on Coeficiente de correlaci´ on Error del ajuste (RSME) Intervalo de confianza Tema 1

slide 185

Introducci´ on Entre los principales par´ ametros estad´ısticos se encuentran: 1.

Coeficiente de correlaci´ on

2.

Error del ajuste (RSME)

3.

Intervalo de confianza

Tema 1

slide 186

Coeficiente de correlaci´ on El coeficiente de correlaci´ on es una medida de la calidad de un ajuste de m´ınimos cuadrados de un conjuntos de datos.

Tema 1

slide 187

Coeficiente de correlaci´ on El coeficiente de correlaci´ on r (tambi´en denotado como R) esta definido por: r = rh

n

n

Pn

Pn

x2 − i=1 i

i=1

xi yi −

Pn

x i=1 i

Pn

i=1

xi

Pn

i=1

2 i h Pn n

yi

y2 − i=1 i

(C.1)

Pn

y i=1 i

Tema 1

2 i slide 188

74

Error del ajuste (RSME) El RSME es la raiz cuadrada del promedio del cuadrado de los valores de las diferencias entre los puntos y la curva (offset) de un ajuste lineal. El RSME esta definido por la siguiente expresi´ on:

v u n u1 X RSME = t (∆y)2 n

(C.2)

i=1

Tema 1

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Intervalo de confianza El intervalo de confianza es un intervalo en el cual la medida cae de acuerdo a una probabilidad dada. Usualmente, el intervalo de confianza de inter´es est´ a sim´etricamente centrado alrededor de la media, as´ı que un 50% del intervalo de confianza para una funci´ on de probabilidad sim´etrica es el intervalo tal que: 1 = 2

Z

a

P (x) dx

(C.3)

−a

Tema 1

slide 190

75

MBO

slide 191

MBO Introducci´ on Archivos Ejecuci´ on Tema 1

slide 192

Introducci´ on MBO es un toolbox de MATLAB que implementa los m´etodos m´ as importantes de resoluci´ on de la ecuaci´ on de balance de materiales para los c´ alculos de petr´ oleo original en sitio (POES) para yacimientos de petr´ oleo con gas en soluci´ ona . MBO utiliza los datos de producci´ on, datos PVT y par´ ametros de yacimiento y acu´ıfero para resolver la ecuaci´ on de balance de materiales y calcular el POES, GOES e ´ındice de mecanismos de empuje utilizando diversos m´etodos de resoluci´ on. La documentaci´ on de MBO, as´ı como algunos ejemplos tutoriales, se puede obtener a trav´es del web site: http://www.atgig.com/eam/mbo/mbo-es.html Tema 1

slide 193

a C. Garc´ıa, An´alisis de errores de presi´on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005

Archivos MBO requiere cinco archivos de entrada: .rsv: Datos del yacimiento .prd: Datos producci´ on .pvt: Datos PVT .aqu: Modelo de acu´ıfero .rmd: Especificaci´ on de los m´etodos de balance de materiales

Los archivos de salida son: .oip: POES y GOES calculado por cada m´etodo de resoluci´ on .hoe: T´erminos de expansi´ on de fluidos y roca Tema 1

slide 194

76

Ejecuci´ on MBO se puede ejecutar desde la l´ınea de comando de DOS de la siguiente forma: mbo

Figura D.1: Ventana de ejecuci´on de MBO Tema 1

slide 195

77

Unidades

slide 196

Unidades Unidades Tema 1

slide 197

Unidades Las siguientes abreviaciones de unidades han sido adoptadas por la Society of Petroleum Engineers (SPE) y son apropiadas para las mayor´ıa de las publicacionesa . ■

darcy [d]

■

grados (American Petroleum Institute) [ ◦ API]

■

libras por pulgada cuadrada [psi]

■

barriles a condiciones normales [STB]

■

barriles por d´ıa a condiciones normales [STB/d]

■

barriles a condiciones de yacimiento [bbl]

■

pies c´ ubicos de gas a condiciones normales [SCF]

■

pies c´ ubicos por d´ıa de gas a condiciones normales [SCF/d]

■

pies c´ ubicos de gas a condiciones de yacimiento [ft3 ]

Tema 1

slide 198

a SPE Letter and Computer Symbols Standard, 1986

78