Ebook Matemc3a1ticas Iv 57371o

f(b) (f(a) es menor que f(b)). f (x)

f (x)

f (x)

f a f a f b

f a

f b

f b a

b

x

a

b

x

a

b

x

A estas funciones, como anteriormente se mencionó, se les conoce como monótonas, debido a que en todo su dominio crecen o decrecen. Las funciones en que cambia su comportamiento, se puede establecer si crecen o decrecen por intervalos, como se muestra en los siguientes ejemplos:

70

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

Ejemplo 1. Determinar para qué intervalos de la función f x

2 3

x

22

1 es creciente o decreciente.

f (x)

x

f (x)

La función tiene dos comportamientos: 1. A medida que “x” se acerca a 2, la función va decreciendo. 2. Cuando “x” es mayor que 2 la función va creciendo. Por lo tanto, su comportamiento se expresa así: La función es decreciente en el intervalo:

,2

La función es creciente en el intervalo: 2, x

Decreciente Creciente Ejemplo 2. Determinar los intervalos donde la función f x 3 cos x 1cambia de comportamiento. Considerando que el dominio de la función son los números reales y su gráfica es periódica, es decir que se repite infinitamente un fragmento de ella, se obtienen una infinidad de intervalos en los cuales la gráfica cambia de comportamiento. f (x)

x

Creciente

BLOQUE 1

Decreciente

Creciente

Decreciente

Creciente

Decreciente

71

Primero se describirán los intervalos que se visualizan en la gráfica, y posteriormente se encontrará la regla que describe a todos ellos. 1. La función es decreciente en los intervalos: , 0, , 2 , 3 2 , 2. La función es creciente en los intervalos: ,0 , ,2 3 , 2 , Por la forma que tienen los intervalos anteriores, se puede establecer una regla para encontrar todos los intervalos donde decrece o crece. Para n perteneciente a los números Enteros ( n 1. 2.

Z), los intervalos son:

La función decrece en los intervalos: 2n , 2n 1 La función crece en los intervalos: 2n 1 , 2n

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos sobre relaciones y funciones.

http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php

Actividad: 5 Escribe en la línea debajo de cada gráfica los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente. M(x)

f (x)

x x

72

Creciente:_________________________________

Creciente:_________________________________

Decreciente:_______________________________

Decreciente:_______________________________


Actividad: 5 (continuación)

M(x)

T(x)

x

x

Creciente:_________________________________

Creciente: _________________________________

Decreciente:_______________________________

Decreciente: _______________________________

Actividad: 5 Conceptual Reconoce la diferencia entre una función creciente y decreciente.

Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Diferencia funciones crecientes de funciones decrecientes y establece los intervalos en los cuales cambia el comportamiento de una función. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Practica con entusiasmo los ejercicios y se muestra interesado en las aportaciones del grupo en la retroalimentación de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

73

Según la forma de correspondencia entre sus conjuntos. Este tema se refiere a la propiedad o característica de algunas funciones, ésta se refiere a la relación que existe entre el dominio y rango de la función y puede ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Inyectiva (Uno a uno) Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es inyectiva si y sólo si, a elementos distintos del conjunto A, les hace corresponder imágenes distintas del conjunto B, es decir que ningún elemento de A tiene la misma imagen, a continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital. A

B

x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4 y5

Ejemplo 1. Se relaciona las candidatas a reina del primer semestre del Colegio de Bachilleres de Magdalena, con el grupo al cual pertenecen. Candidata a reina

Grupos 101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M

Ana Yolanda Susana Karla Laura

La relación funcional es inyectiva debido a que a cada alumna la asocia con su grupo y no existen dos candidatas que pertenezcan al mismo grupo. Ejemplo 2. A cada ciudadano mexicano le corresponde una clave única de registro poblacional (CURP), ésta es una función inyectiva, porque para dos individuos distintos, les asocia claves diferentes. Ejemplo 3. Determinar si la gráfica de la función f ( x ) 2x 1, es inyectiva. La función es lineal y su gráfica es:

f (x)

x

74


La función es inyectiva, debido a que a cada “x” le asocia un valor diferente de la función. Una forma sencilla de visualizar si una función es inyectiva, mediante su gráfica, es trazar rectas horizontales a lo largo de la función, si esta corta una sola vez a la gráfica, entonces la función es inyectiva; si la llega a cortar en más de una ocasión, la función no es inyectiva. f (x)

x

Ejemplo 4.

1 2 x 3 es inyectiva. 2 Su gráfica es una parábola, puesto que es una función cuadrática. Determinar si la gráfica de la función f ( x )

f (x)

x

Al trazarle líneas horizontales, se observa a excepción de una recta (la que pasa por el vértice), las demás cortan a la función en dos puntos, por lo tanto no es inyectiva. Para dos valores de “x” le asocia un valor de “y”. f (x)

x

BLOQUE 1

75

Sobreyectiva (Sobre) Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es sobreyectiva si y sólo si, cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento del conjunto A, es decir, no queda un solo elemento de B sin que esté relacionado por lo menos con un elemento de A. A continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital. A

B

x1 x2 x3 x4 x5 x6

y1 y2 y3 y4 y5

Ejemplo 1. Se relaciona un grupo de jovencitas con el curso de danza que llevan en su escuela. Grupo

Danza

Abigail Isaura Abril Karen Lita

Contemporánea Clásica Moderna Española

La relación funcional de las jóvenes con su clase de danza es sobreyectiva, dado que en todos los cursos que se ofrecen de danza tiene al menos una alumna de ese conjunto de chicas. Ejemplo 2. Determinar si la función k( x )

1 3 x 3

3x

7 3

es sobreyectiva.

La gráfica de la función es: K(x)

La función es sobreyectiva, ya que todo valor de K(x) proviene de por lo menos una “x”.

x

76

Esta función no es inyectiva puesto que existen tres valores diferentes de x que al sustituirlos en la función dan el mismo resultado, como se observa en el cruce de la función con el eje de las X, por mencionar un ejemplo de ello.


Biyectiva. Una función es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva, como se muestra en el siguiente diagrama. A

B

x1 x2 x3 x4 x5

y1 y2 y3 y4 y5

Ejemplo 1. Un retiro matrimonial ofrece la oportunidad a los matrimonios de reforzar su unión y renovar sus votos. Grupo de esposas

Grupo de esposos

Martha Margarita Maria Socorro Lupita

Rigoberto Benjamín Guillermo José Gustavo

La relación funcional que existe entre los conjuntos es biyectiva, puesto que a cada esposa la relaciona con su esposo y a su vez, no existe ningún esposo que haya asistido sin su esposa. Ejemplo 2. Determinar si la función f ( x ) 2x 1, es biyectiva. f (x)

x

Esta función se comprobó con anterioridad que era inyectiva, puesto que a toda x le corresponde un valor de la función, además no existe valor de la función sin que provenga de una x correspondiente, por lo tanto es biyectiva. Como las funciones se definen en el conjunto de los números reales, esto es, que va de , pocas de ellas cumplen con las propiedades, si se restringe la relación al dominio y rango de las funciones, algunas más podrán cumplir con alguna de ellas.

BLOQUE 1

77

Actividad: 6 Responde cada uno de los siguientes cuestionamientos. 1. ¿Es biyectiva la función y x 3 ? Justifica tus respuestas apoyándote en la gráfica correspondiente.

2. Clasifica cada una de las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas según sea el caso: Función

gx

y

x

78

Justificación

2

9 x2

f( x )

kx

Clasificación

1 x

2x 1


Actividad: 6 (continuación) 3.

Considera la cantidad de alumnos y el número de escritorios disponibles en un salón de clases, describe brevemente bajo qué circunstancias se produce: a) Una correspondencia inyectiva o uno a uno.

b)

Una función sobreyectiva.

c) Una función biyectiva.

4.

Entre los libros de una biblioteca y la correspondiente clave que se le asigna, ¿Qué tipo de relación se produce, inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? Explica tu respuesta.

Actividad: 6 Conceptual Distingue las características de una función según la correspondencia entre los conjuntos. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Cuestionario y Puntaje: complementación de la tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Precisa la característica que Expone sus puntos de vista con cumplen las funciones para claridad y confianza. clasificarse en inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. C MC NC Calificación otorgada por el docente

79

Cierre Actividad: 7 Observa cada una de las funciones que se muestran a continuación y escribe al pie de ellas dentro de cada cuadro la letra que corresponda a la característica que presentan, guíate por las flechas para encontrar su comportamiento. Inyectiva (I), Sobreyectiva (S), Biyectiva (B), Continua (C), Creciente (Cr), Decreciente (D) y Creciente-Decreciente(CD).

Actividad: 7 Conceptual Anota la característica que tienen las funciones por intervalos. Autoevaluación

80

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Analiza las funciones por intervalos y las clasifica. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus ideas ante el análisis realizado a las funciones.



Secuencia didáctica 3. Operaciones de funciones. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. I. Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide. 1)

fx

2x 2

2)

fx

5x

3 , encuentra f 3x 3

3)

fx

x4

3x 3

4)

fx

2x 2

8x

5)

fx

II.

x

8x

2 x

4 , encuentra f

x2

3

5

6x 1, encuentra f

4 , encuentra f

, encuentra f

1

3

1 x2

2

Sea f la función definida por f(h) = 60 h que convierte horas en minutos, y g(m) = 60m la función que convierte minutos a segundos. Encuentra una función que convierta horas en segundos.

Actividad: 1 Conceptual Reconoce la evaluación de funciones. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Evalúa funciones en puntos dados. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra disposición al realizar la actividad.


81

Desarrollo

Suma de funciones.

Como hasta ahora se ha visto, existen una gran variedad de funciones, las cuales pueden obtenerse de operaciones simples entre dos funciones más sencillas, por ejemplo: Si se tiene T x y gx

x2 1

, la cual es una función racional, ésta puede ser el resultado de sumar las funciones f x x x , esto se puede demostrar de forma gráfica. f (x)

1 x

g (x)

x

x

Para analizar la suma de las funciones se tomarán como ejemplo los mismos valores en ambas funciones.

fx

0

No está definida

1 2

1

3

82

1

x

x

2

1

1 3

gx

x

0

1 2

1

3

f x

gx

Tx

No está definida

2

1

5

2

2

1 1 2

1 3

3

x2 1 x

No está definida

1 2

2

1 1 2

1 1 4 1 2

5 4 1 2

12 1

1 1

2

1

1

1

5 2

2

10

32 1

9 1

10

3

3

3

3


En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la suma de ellas f g x (negro)

x

T(x)=(f +g )(x)

x

El dominio de f g x es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x). El dominio de f(x) es:

,0

El dominio de g(x) es:

,

0,

Por lo tanto, el dominio de f g x es: “g”.

,0

0,

, puesto que son los intervalos que están tanto en “f” como en

A continuación se definirá la operación de suma entre dos funciones. Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f+g es una función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos del Domf , que están también en el Domg , es decir, Domf

Domg y con la siguiente regla de correspondencia. f g x

BLOQUE 1

fx

gx

83

Ejemplo 1. Si f x

2x y g x

x , determinar la función f g x , así como su dominio.

Las gráficas y los dominios de cada una de las funciones son:

fx

2x

gx

x

f (x)

g (x)

x

Domf :

x

Domg : 0,

,

La suma de las funciones es:

f

g x

2x

x

Su gráfica se puede visualizar de color negro. [f +g ](x)

f g x

2x

x fx

2x

gx f g x

x

x

2x

El intervalo que se encuentra tanto en el dominio de la función f, como en el dominio de la función g, es tanto Dom f g : 0, .

84

x

x

0,

, por lo


Actividad: 2 Realiza la suma entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) f x x 2 , g x 2x 6) f x 4x x 2 , g x x 2 f g x f g x

Dom f 2)

fx

f

3)

f

2

8)

g x

: 2 3

5

9)

g

x2

9, g x

4x

g

f

:

Conceptual Escribe la suma de dos funciones. Autoevaluación

MC

NC

1 x

g

: 1 x

x2

g

: 9, gx

x

g x

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Obtiene la suma de dos funciones. C

x, g x

x2

Dom f

Actividad: 2

:

g x

10) f x

g x

g

2, g x

Dom f

:

1 x3

g x

fx

f

g x

Dom f

BLOQUE 1

x

2, g x

x3

Dom f x2 , g x

:

g x

fx

f

1 x

Dom f fx

:

g

4x

Dom f

x, gx

g

fx

f

fx

f

7)

x

g x g

fx

x2

5, g x

3x

Dom f

5)

Dom f

:

Dom f

f

4)

g

g

:

Puntaje: Actitudinal Expresa la simplicidad de la operación suma de funciones.


85

Resta de funciones. Al igual que la suma de funciones, el dominio de la función resta es la intersección de las funciones involucradas, esto es: Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f

g es una

función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos del Domf , que están también en el Domg , es decir, Domf


fx

gx

Ejemplo 1. Si se tiene f x

x 1 y gx

4 , determinar la función f

x

g x , así como su dominio.

Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones y realizar con ellas la resta. x

f x

x 1

gx

x

4

f x

gx

f

g x

x 1

–1

0

No es número real

No es número real

0

1

No es número real

No es número real

0 1

0 4

1

1.4

No es número real

No es número real

1 1

1 4

2

1.7

No es número real

No es número real

2 1

2 4

3

2

No es número real

No es número real

3 1

3 4

4

2.2

0

2.2

5

2.4

1

1.4

6

2.6

1.4

1.2

7

2.8

1.7

1.1

8

3

2

1

1 1

x

1 4

7 1 8 1

4 No es real

2

3 No es real

3

2 No es real

2

1 No es real

4 4

5 1 6 1

5 No es real

1

4 1

5

5 4 6 7

4

4 4 8 4

6 7 8

2.2 1 1.4 2 3

1.2 1.09

3 2 1

Al graficar cada una de ellas se obtiene:

f x

x 1

gx f (x)

x 1. g (x)

x

Domf :

86

1,

x

Domg : 4,


En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la resta de ellas f

g x (negro)

x

La gráfica de la función f

g x es: [f - g ](x)

x

El dominio de f

g x es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x).

El dominio de f(x) es: Domf : 1, El dominio de g(x) es: Domg : 4, Por lo tanto, el dominio de f

g x es: Dom f

g

: 4,

, sólo coinciden en ese intervalo, como se muestra en el plano

cartesiano donde están las tres juntas. Cuando se suman dos funciones, no importa el orden en que se realice la operación, la función resultante es la misma, pero en la resta no es así, a continuación se mostrará el ejemplo anterior, pero realizando la resta en diferente orden.

BLOQUE 1

87

Ejemplo 2. Si se tiene f x

x 1 y gx

4 , determinar la función g f x , así como su dominio.

x

Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones para realizar con ellas la resta. x

f x

x 1

gx

x

gx

4

fx

g f x

x

–1

0

No es número real

No es número real

0

1

No es número real

No es número real

0 4

0 1

1

1.4

No es número real

No es número real

1 4

1 1

2

1.7

No es número real

No es número real

2 1

2 4

3

2

No es número real

No es número real

3 4

3 1

4

2.2

0

–2.2

5

2.4

1

–1.4

6

2.6

1.4

–1.2

7

2.8

1.7

–1.1

8

3

2

–1

1 4

1 1

4 4

7

4

4 3

1 No es real 2 No es real

3

2 No es real 1 2 No es real 5

5 1 1

4

x 1 5 No es real

4 1

5 4 6

4

6 1 7 1

8 4

2.2

6

1.4

2

7

1.2

3

8

1.09

8 1 2 3

1

La operación queda representada en la siguiente gráfica:

fx

x 1

gx

x

4

x

f g x

88

x 1

x 4


La gráfica de la función g

f x queda de la siguiente forma: [f - g ](x)

x

El dominio de g

f x es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x).

El dominio de f(x) es: Domf :

1, El dominio de g(x) es: Domg : 4, Por lo tanto, el dominio de g

f x sigue siendo Dom g f : 4,

.

Actividad: 3 Realiza la resta entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) f x x 2 , g x 2x 4) f x 4x x 2 , g x x 2 f g x f g x

Dom f

2)

fx

f

:

Dom f x2

5, g x

3x

x

5)

g x

Dom f

3)

g

f

g

:

x, gx

fx

2

g x

Dom f

BLOQUE 1

g

fx

f

:

:

2, g x

4x

1 x3

g x

Dom f

6)

f

fx

g

g

:

x3

x, g x

1 x

g x

Dom f

g

:

89

Actividad: 3 (continuación) 7) f x

f

1 x

fx

f

x2

2 3

x

9)

5

9, g x

g

f

:

4x

g

:

Conceptual Escribe la resta de dos funciones. Autoevaluación

MC

NC

9, gx

x

g x

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Obtiene la resta de dos funciones. C

x2

:

x2

Dom f

Actividad: 3

g

10) f x

f

1 x

g x

Dom f

g x

Dom f

2, g x

fx

g x

Dom f

8)

x2 , g x

g

:

Puntaje: Actitudinal Es cuidoso al obtener la resta de dos funciones.


Multiplicación de funciones. Al igual que la suma de funciones, el dominio de la función multiplicación es la intersección de las funciones involucradas, esto es: Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f g es una función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos del Domf , que están también en el Domg , es decir, Domf


fx gx

En esta ocasión se debe tener muy en cuenta al realizar las operaciones, las leyes de los signos. La porción de la función que esté por encima del eje X es positiva y la que esté por debajo es negativa, por lo tanto: 1.

Si los valores de la función f y g que estén por encima del eje X, la multiplicación también estará por encima del eje X.

2.

Si los valores de la función f y g que estén por debajo del eje X, la multiplicación estará por encima del eje X.

3.

Si los valores de la función f y g se ubican en diferentes lados del eje X, la multiplicación estará por debajo del eje X.

Lo anterior se visualizará en los siguientes ejemplos. 90


Ejemplo 1. Si se tiene R x g x sen x .

xsen( x) , se puede comprobar que es el resultado de multiplicar las funciones f x

x y

Mediante la gráfica de cada una de ellas se visualizará la multiplicación de f y g.

f x

g x

x

sen x .

f (x)

g (x)

x

Domf :

x

Domg :

,

,

Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones para realizar con ellas la multiplicación, con el fin de compararla con la función R(x). x

f x

x

g x

sen x

f x gx

R x

x sen x

–1

–1

–0.8

0.8

0.8

0

0

0

0

0

1

1

0.8

0.8

0.8

2

2

0.9

1.8

1.8

En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la suma de ellas f g x (negro) x

BLOQUE 1

91

Visualizando sólo la función R(x), R(x)

x

El dominio de f g x es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x). El dominio de f(x) es: Domf : , , El dominio de g(x) es: Domg : Por lo tanto, el dominio de f g x

es: Dom f g :

,

, puesto que se intersecan en todo el conjunto de los

números reales. Ejemplo 2. Si f x x 2 y g x

2 , determinar la función f g x , así como su dominio.

x


fx

2x

gx

x

f (x)

g (x)

x

Domf :

92

,

x

Domg :

,


La multiplicación de las funciones es:

f g x f g x

x

2 x x

2

2 4

Su gráfica se puede visualizar de color negro. [f g ](x)

[f g ](x)

x

x

Como el dominio de las funciones “f” y “g” es el conjunto de los números reales, por lo tanto, el de su multiplicación también. Dom f g : ,

Actividad: 4 Realiza la multiplicación entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) f x x 2 , g x 2x 4) f x 4x x 2 , g x x 2 f g x f g x

Dom f g :

2)

3)

fx

3x

x2

5, g x

x

5)

fx

4x

f g x

f g x

Dom f g :

Dom f g :

fx

x, gx

f g x

Dom f g :

BLOQUE 1

Dom f g :

2

6)

fx

x3

2, g x

x, g x

1 x3

1 x

f g x

Dom f g :

93

Actividad: 4 (continuación) 7)

fx

2

x2 , g x

1 x

3

x

9)

5

x2

9, g x

x2

10) f x

4x

x2

9, gx

x

f g x

f g x

Dom f g :

Dom f g :

Actividad: 4 Conceptual Escribe la multiplicación de dos funciones. Autoevaluación

1 x

Dom f g :

Dom f g :

fx

2, g x

f g x

f g x

8)

fx

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Obtiene la multiplicación de dos Es cuidoso al obtener la resta de funciones. dos funciones. C MC NC Calificación otorgada por el docente

División de funciones. Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces

f g

es definida

por:

f g El dominio de

f g

x es: Domf

x

fx gx

con g x

0

Domg excluyendo los valores para los cuales g x

0.

En esta operación también se debe tomar en cuenta las leyes de los signos, pero también hay que recordar que la división entre cero no está definida, es por ello que la definición anterior está restringida a que g x 0 , en dado caso que la operación fuera al revés, no se tendría el mismo resultado, a diferencia de la multiplicación. Al multiplicar dos valores que son mayores que la unidad, su resultado aumenta, en el caso contrario, disminuye su valor. En la división sucede lo contrario: si las dos cantidades son menores que la unidad, el resultado aumenta, así como también si el denominador es menor que la unidad. En el caso de que los dos sean mayores que la unidad, el resultado disminuye.

94


Lo anterior lo visualizarán de manera más clara en las gráficas de los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Si f x

4 y gx

x

x2

f

1 determinar la función

g

x , así como su dominio.


fx

x

4

x2

gx

1

f (x)

g (x)

x

Domf :

x

Domg :

,

,

La división de las funciones es:

f g

x

x x2

4 1

Su gráfica se puede visualizar de color negro.

x

En estos puntos, la función que corresponde al denominador, es cero, por lo tanto, se convierten en asíntotas para la función racional que se formó al dividir ambas funciones.

BLOQUE 1

95

[f / g ](x)

x

Como el dominio de las funciones “f” y “g” es el conjunto de los números reales, por lo tanto, el de su división debería ser los números reales, porque en todos sus puntos coinciden, sólo que se debe de excluir de él, los valores para los cuales la función g(x) es cero, y como se observó en la gráfica, es para x=–1 y x=1, por lo tanto, el dominio es: Dom f : , 1, 1 g

En el siguiente ejemplo se invertirá la división, para observar cuáles serían los cambios. Ejemplo 2. Si f x

x

4 y gx

x2

g

1 determinar la función

f

x , así como su dominio.


fx

x

4

gx

x2

1

f (x)

g (x)

x

Domf :

96

,

x

Domg :

,


La división de las funciones es:

g f

x

x2 x

1 4

Su gráfica se puede visualizar de color negro.

x

En este punto, la función que corresponde al denominador, es cero, por lo tanto, se convierte en una asíntota para la función racional que se formó al dividir ambas funciones.

La gráfica de la función

g f

x

x2 x

1 4

, queda de la siguiente forma: [g / f ](x)

En este caso el único valor que hace cero a la función “f” es para x=–4, por lo tanto, el dominio es:

Dom x

BLOQUE 1

g f

:

,

4

97

Actividad: 5 Realiza la división entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) f x x 2 , g x 2x 6) f x 4x x 2 , g x x 2 f x f g x g

Dom

2)

fx

Dom

x2

5, g x

3x

:

f g

x

7)

f x g Dom

3)

:

Dom

x, gx

fx

2

8)

f x g

4)

fx

:

f g

x2 , g x

2 3

x

:

f g

x3

x, g x

1 x

5

9)

fx

:

f g

2, g x

1 x

x2

f x g g

fx

2

x

Dom f

: 9, g x

4x

f x g f g

:

Actividad: 5 Conceptual Reconoce la multiplicación de dos funciones. Autoevaluación

98

fx

Dom

1 x

Dom f

Dom

1 x3

f x g

f x g

5)

2, g x

4x

f x g f g

Dom

fx

:

f g

g

:

x2

10) f x

9, gx

x

f x g Dom

f g

:

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Resuelve la multiplicación de dos Es cuidoso al obtener la resta de funciones. dos funciones. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Composición de funciones. ¿Será lo mismo guardar una cartera en una caja de regalo, que guardar un regalo en la cartera? En esta sección se utiliza la sustitución de valores dentro de una función, y más aún, una función dentro de otra función, a este procedimiento se le llama composición de funciones, y tiene su sentido, no es lo mismo la función compuesta de “f” con “g”, que la de “g” con “f”. A continuación se desarrollará la teoría correspondiente a la función composición. Se sabe que la notación f(a) significa el valor de la función f(x) cuando x = a; se obtiene al sustituir “a” por x, siempre y cuando que “x” aparezca en la expresión de f(x), por ejemplo: 1.

Si f x

x2

2.

Si f x

3 x

a2

1, entonces f a 6 , entonces f a

1

3 a

Ahora, si g(x) es una función, entonces f g x ésta ocurra en la expresión de f(x).

6 es la función que se obtiene al sustituir g(x) en lugar de x, siempre que

La función f g x es llamada la compuesta de “f” con “g” y se utiliza el símbolo operacional “ ” para denotar la compuesta de “f” con “g”. Así f g x f g x . Ejemplo 1. Si f x

x

2 y gx

x 2 , determinar f g x

Como se observa en f g x con “g” es:

y g f x

fgx

gf x .

f g x , f(x) es la función que será evaluada en g(x), por lo tanto, la composición de “f”

fx

x

2

fgx

gx

fgx

x2

2 2

Se puede expresar como:

x2

f g x

2

Ahora se obtendrá la composición de “g” con “f”.

gx

x2

gf x

fx 2

gf x

x

22

x2

4x

4

Se puede expresar como:

g f x

x2

4x

4

Ambas composiciones son funciones cuadráticas, por lo tanto, el dominio es el conjunto de los números reales.

Dom f

BLOQUE 1

g

:

,

Dom g

f

:

,

99

Ahora se presenta la definición de la composición de funciones. Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f g (también conocida como composición de funciones) es función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos de Domg tal que g(x) está en Domf y con la siguiente regla de correspondencia.

f g x

fgx

La siguiente figura muestra una representación geométrica de f g x

• x

fgx .

• g(x)

• fgx

f g

Es muy importante hacer notar que para formar la función composición es necesario que el rango de la función g sea igual o un subconjunto del dominio de la función f. Ejemplo 2. Si f x 2x x y g x x 3 , encontrar f g y especificar su dominio. Como se pide evaluar a “f”, se sustituye la función g dentro de cada “x” que posea la función “f”, como se muestra a continuación.

fx

2x

x

fgx

2g x

gx

fgx

2x

3

fgx

2x

6

x x

3 3

La función composición se expresa así:

f g x

2x

6

x

3

Ahora, analizando el dominio de g, por ser el valor que se está sustituyendo, observamos que es una función lineal, dado que es de primer grado, por lo tanto, el dominio y rango de g x x 3 son todos los números reales.

Domg :

,

y Rango g :

,

Tomando en cuenta que los valores del Rango de g, son los que se sustituirán en la función “f”, y ésta posee una raíz, entonces de todos los números reales sólo se tomarán como dominio de la función composición, aquellos para los

x 3 , se tiene que el dominio de composición de f cuales f g es válida, esto es, observando f g x 2x 6 con g es Dom f g : 3, , porque al sustituir valores menores que –3 no se puede obtener de la raíz un número real.

100


Si se realizan las gráficas correspondientes, es más sencillo visualizar el dominio de la función composición. f g x

2x 6

x 3

x

fx

gx

2x

x

x 3

Observando la gráfica se puede concluir que la función “g” desplaza a la función “f” tres unidades hacia la izquierda. ¿Qué pasaría con la función, si la composición de las funciones fuera al revés? Ejemplo 3. Si f x 2x x y g x x 3 , encontrar g f y especificar su dominio. Como se pide evaluar a “g”, se sustituye la función f dentro de cada “x” que posea la función “g”, como se muestra a continuación.

gx

x

3

gf x

fx

3

gf x

2x

x

3

La función composición se expresa así:

g f x

2x

x

3

Ahora, para los valores mayores e iguales a cero es válida la función composición “g” con “f”, puesto que la única parte que restringe al dominio es la raíz, sólo los valores no negativos pueden ser sustituidos, para validar esa función, por lo tanto, su dominio es:

Dom g

f

: 0,

Si se realizan las gráficas correspondientes, es más sencillo visualizar el dominio de la función composición.

BLOQUE 1

101

g f x

2x

x

3

x

fx

gx

2x

x

x 3

En esta ocasión, la función “f” fue trasladada 3 unidades hacia arriba. Generalizar este comportamiento sería muy apresurado, la forma en que varía la posición de las funciones, depende de ellas mismas, del tipo de funciones que sean. Posteriormente se utilizará la composición de funciones, para analizar el movimiento de las funciones, esto será en el próximo bloque. Los siguientes enunciados son ejemplos de la aplicación de la función composición. 1.

El costo de producción de huevos por un granjero está en función del número de gallinas que tiene; el número de gallinas depende a su vez del costo del alimento, por lo tanto, el costo de producción de huevos es una función del costo del alimento para gallinas.

2.

La producción anual de naranjas de una huerta está en función del número de árboles plantados en ella; el número de árboles plantados es función de la fertilidad del terreno. La producción anual es, pues, función de la fertilidad del terreno. Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos de operaciones con funciones. http://www.iesmarquesdesantillana.org/departamentos/matem/funciones/funcion es1.htm http://ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/temas_1bach_CCNN/temario_1bach_CCN N.htm

102


Actividad: 6 Utiliza las siguientes funciones para realizar las composiciones descritas en cada inciso y describe el dominio de la función compuesta, mediante intervalos.

fx a)

f g

b)

g f

c)

f h

d)

h f

e)

h g

f)

g h

g)

f g h

2

x2

gx

x

4

hx

2

x

Expresa las siguientes funciones compuestas, como las funciones que las originaron, es decir, escríbelas como f g.

hx

x3

hx

fx gx f g x

hx

x2

fx gx f g x

Actividad: 6 Conceptual Identifica la composición de dos funciones.

Autoevaluación

BLOQUE 1

1

x3

fx gx f g x

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Resuelve la composición de dos funciones. C

1 x3

MC

NC

Puntaje:

Actitudinal Aprecia el Álgebra como herramienta fundamental para obtener la composición de dos funciones. Calificación otorgada por el docente

103

Cierre Actividad:7 Resuelve cada una de las cuestiones que se te plantean. 1.

r 2 y si A d

Si el área de una circunferencia es A r

d 2

r, determina la función

compuesta: A d Ard

2.

En una tienda se observa la siguiente promoción: “En la compra de un juego de maletas obtenga un 20% de descuento”, y además “un descuento adicional de 35 pesos". Si se consideran las funciones C x

Px

x

0.8x y

35 .

a) Calcula: C P x

PC x

Evaluación b) ¿Cuál de los resultados obtenidos determina el pago del juego de maletas? ________. Actividad: x

Producto:

Puntaje:

c) ¿Cuánto se pagará por un juego de maletas con precio de lista de 650 pesos? _______. Saberes Conceptual

Procedimental

Autoevaluación

3.

C

MC

NC

Actitudinal Calificación otorgada por el docente

Daniel arroja una piedra a un lago y crea una ola circular que va hacia fuera a una velocidad de 55 cm/s. Expresa el radio del círculo formado en función del tiempo. a) Si A es el área del círculo en función del radio, encuentra A r e interprétala.

Actividad: 7 Conceptual Identifica las operaciones de funciones que describen problemas de la vida cotidiana. Autoevaluación

104

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica operaciones de funciones Propone maneras creativas para para resolver problemas solucionar problemas. cotidianos. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Aplica funciones especiales y transformaciones de gráficas.

Competencias disciplinares básicas: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando propiedades de funciones inversas, constantes, idénticas, valor absoluto y escalonadas, para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Utiliza transformaciones de gráficas para la visualización de las representaciones algebraicas y geométricas de las funciones

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 12 horas

Secuencia didáctica 1. Funciones especiales. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. I. Marca con ordenados.

la característica que cumple cada una de las funciones descritas por los pares

Función

fx

2, 6 ,

fx

3,9 ,

Inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

1, 3 , 0, 0 , 1, 3 , 2,6 , 3,9 , 4,12 2,4 ,

1,1 , 0, 0 , 1,1 , 2,4 , 3,9

fx

2, 5 , 2, 3 , 3, 1 , 4,1 , 5, 1 , 6, 3 , 7, 5

fx

1

4,4 ,

1

3,3 ,

1

2,2 ,

1,1 , 2, 12 , 3, 13 , 4, 14

fx

1

4,4 ,

1

3,3 ,

1

2,2 ,

1,1 , 2, 12 , 3, 13 , 4, 14

II. Invierte las coordenadas de cada una de las funciones anteriores, analízalas y determina si es función marcando con , de ser así, marca la característica que cumple cada una de ellas. Pares ordenados

Función

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

III. Invierte las coordenadas de la gráfica de la función que se encuentra en el lado izquierdo, para que ubiques los puntos invertidos en el plano cartesiano de la derecha y traces la gráfica correspondiente. Clasifica cada una de ellas marcando con si es función o relación; si es función, marca la característica correspondiente. f (x)

y

x

x

Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( )

106

Relación ( )

)


Relación (

)

)

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS

Actividad: 1 (continuación) f (x)

y

x x


Relación (

)

)


f (x)

Relación (

)

) y

x

x


Relación (

)

)


f (x)

Relación (

)

)

y

x

x


Relación (

)

)

Actividad: 1 Conceptual Reconoce las características de las funciones.

Autoevaluación

BLOQUE 2


Relación (

)

)

Evaluación Producto: Complementación de Puntaje: tablas. Saberes Procedimental Actitudinal Asocia la característica de las Muestra interés al realizar la funciones de acuerdo a la regla de actividad y sus conocimientos correspondencia de una función o previos. a su gráfica. C MC NC Calificación otorgada por el docente

107

Desarrollo

La importancia de las Matemáticas radica en su aplicación, en la manera que ayuda a plantear y resolver problemas; en la modelación, es fundamental el domino de diferentes funciones, debido a la variedad de problemas que se busca solucionar. En diferentes disciplinas se utilizan las funciones, como es el caso de la Física, en ella se conocen como fórmulas que requieren despejarse dependiendo la variable que se requiera conocer, por ejemplo: Un ciclista se mueve con una velocidad constante de 10 m/s, si “x” representa el desplazamiento recorrido por el ciclista en un tiempo t, entonces la relación entre el tiempo y el desplazamiento es:

v 10

x t x t

x

t

x 10 t

10 Cada una de ellas es una función, la primera permite encontrar el desplazamiento cuando se conoce el tiempo, y en la segunda ocurre de forma inversa, se puede conocer el tiempo si se conoce el desplazamiento, por lo tanto, se pueden expresar como:

x

ft

10 t

t

ft

10 t

gx

0 1 2 3 4

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

x

gx

10

x 10 0 1 2 3 4

Si se toma la primera tabla y se invierten las columnas se obtiene la segunda, en ambos casos la relación es la misma, pero la interpretación es diferente; desde el punto de vista de las funciones, se le denomina obtener la inversa de una función.

Función inversa. En la actividad de inicio encontraste que una de las características esenciales para obtener la inversa de una función, es que ésta sea biyectiva. A continuación se enuncia su definición. Dada una función biyectiva f : A

B , se dice que la función g : B A es su inversa, si se cumple que: fgx x, x B

gf x

x,

x

A

En otras palabras, una función biyectiva tiene función inversa y al encontrar la función compuesta entre ambas, se obtiene la función identidad. Lo anterior se visualiza en el siguiente ejemplo:

108


Ejemplo 1. Sea la función f x

2 , demostrar que la función g x

x

2

es su función inversa. 3 Antes que nada, se graficará la función para determinar si es biyectiva, significa entonces, que debe cumplir con ser inyectiva y sobreyectiva.

3x

Primero se grafica la función utilizando uno de los métodos para graficar funciones lineales, obteniéndose la siguiente: f (x)

x

Posteriormente, se utilizará la prueba de las líneas horizontales para demostrar que función f(x) es inyectiva, como se muestra a continuación. f (x)

x

Como se puede constatar, las líneas intersecan a la función una sola vez, esto significa que es inyectiva, porque para dos valores diferentes de x le asocia dos valores diferentes de la función.

Si se observa el contradominio es el conjunto de los números reales y al ser igual que el rango, significa que todos las imágenes pertenecientes al contradominio provienen de una “x” específica, con ello se demuestra que también es sobreyectiva, por lo que se concluye que la función es biyectiva. Una vez comprobada que es biyectiva, se requiere demostrar que la función compuesta entre ambas da como resultado la función identidad, como se aprecia enseguida.

BLOQUE 2

109

fx

3x

gx

2

fgx

3g x

fgx

3

fgx

3

fgx

x

fgx

x

x

2 2

x

2 3 2

fgx

2

2 3

gf x

2

2 3 fx

gf x

2

3

x

3x

2

3x

3 2

2 2

3 3x

fgx

x x

fgx Cada una de ellas es la función inversa de la otra.

Al graficar ambas funciones en el mismo plano cartesiano, se observará otra de las características que tienen las funciones inversas. y

fx

y

3x 2

x

gx x

x 2 3

La característica a la cual se refiere anteriormente, es a que las funciones son simétricas con respecto a la función identidad y=x, es decir, que las funciones se encuentran a la misma distancia de la recta identidad. Regularmente si la función f x tiene inversa, ésta se representa con f 1 x , esta notación sólo es una representación sin el sentido algebraico que tiene –1 como exponente, así que no se debe confundir el término inverso con recíproco. En el caso anterior fue sencillo comprobar que las funciones son inversas, se complica un poco cuando se desconoce la inversa de una función y se quiere encontrar; en el siguiente tema se explicará el proceso para encontrar la inversa de una función.

Actividad: 2 Prueba algebraicamente que las funciones f y g son inversas. 1) f x

110

1 x3

gx

3

1 x


Actividad: 2 (continuación) 1

2)

fx

3)

fx

3 2x

4)

fx

4 x2

5)

fx

1 x

para x

1

gx

para x

0

gx

5x 9

gx

x 2

Actividad: 2 Conceptual Reconoce la función compuesta como método de comprobación algebraica de la función inversa. Autoevaluación

BLOQUE 2

gx

1

1

x

3 x 2

4 x

9 2x x 5

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Comprueba algebraicamente la función inversa. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de la función compuesta como método algebraico de comprobación para la función inversa.


111

Forma algebraica de la inversa de una función. Los pasos requeridos para encontrar la forma algebraica de la inversa de una función, son los siguientes: 1. Comprobar que la función es biyectiva. 2. Escribir la función colocando en lugar de f(x) una “y”. 3. Despejar la “x” de la función. 4. Reescribir ésta última cambiando la “x” por la “y”, y viceversa. 5.

Representar la “y” como f 1 x .

Ejemplo 1. Encontrar la función inversa de f x 2x 4 . Lo primero que se debe hacer, es comprobar que es biyectiva, y esto se hace utilizando las rectas horizontales en su gráfica. f (x)

Toda función lineal es biyectiva, tanto el dominio como el rango son los números reales y las rectas horizontales la cortan una sola vez.

x

Ahora se expresa la función como y y 2x 4

y

4

y

4 2 x x

2x

4 , para poder despejar la variable “x”.

2x y

x y

4 2

1

y 2 2 El siguiente paso consiste en cambiar las variables, reescribiendo la función de la siguiente forma. 1 y x 2 2 Por último, se representa la variable “y” como

f 1x

1 2

x

2 x

f 1 x , obteniéndose de esta forma la función f x 2x inversa. 1 f 1x x 2 2 Al graficarse ambas funciones en el mismo plano cartesiano, se observa la simetría con respecto a la función identidad.

112


4

Ejemplo 2. Encontrar la función inversa de f x x 2 1. Esta función cuadrática describe una parábola con ramas hacia arriba, como se muestra en su gráfica, y al trazarle rectas horizontales, se comprueba que la cortan más de una vez en todos los puntos menos en su vértice, por lo tanto no es inyectiva y por consecuencia, tampoco biyectiva. f (x)

x

Si se traza una curva simétrica con respecto a la función identidad, de esta función, se obtiene la siguiente gráfica. y

x

Se obtiene una curva que no es función, porque a un valor de “x” le corresponden dos de “y”, también esto se puede comprobar al trazar una recta vertical y verificar que corta a la función en dos puntos. Es por ello que un requisito indispensable que se debe comprobar para obtener la función inversa, es que sea biyectiva, es decir, que sea inyectiva y sobreyectiva. Siempre que una función no sea inyectiva, al quererla invertir, se obtienen relaciones, no funciones. Aunque una función no sea inyectiva, se puede acotar a un intervalo que sí lo sea, esto es, sólo considerar aquellos valores de “x” en los que la función es inyectiva, se puede decir que se restringirá el dominio, si antes esta función tenía como dominio todos los números reales, ahora se puede considerar el dominio de los números no negativos, esto se escribe:

fx

BLOQUE 2

x2

1

si x

0,

113

Entonces con ello se obtiene sólo la mitad derecha de la función, como se ve en la siguiente gráfica. f (x)

x

Ahora se procede a obtener la función inversa.

x2

fx

1

Recordando que primero se debe realizar el cambio de notación.

x2

y

1

Posteriormente, despejando la variable “x”.

x2

y

1

y 1 x2 y 1 x x y 1 Como se puede observar en el despeje, se obtienen dos funciones, esto es válido para cualquier “x”, pero como en este caso las “x” están restringidas a ser no negativas, entonces sólo se elige la función irracional de signo positivo fuera del radical.

x

y 1

A continuación se renombran las variables, intercambiando la “x” por la “y”.

y

x 1 y

De esta forma se obtiene la función inversa:

f

1

x

x 1

Al graficar ambas funciones se observa la simetría.

fx

x2

1 x

f

114

1

x

x 1


Al ver los tipos de funciones que se conocieron en el bloque anterior, se observa que hay varias de ellas que no cumplen con ser biyectivas, como por ejemplo las funciones trigonométricas, las cuales al ser periódicas no pueden ser inyectivas, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3. Encontrar la función inversa de f x cos x . Al graficar esta función se observa su periodicidad, es por ello que se debe elegir un intervalo en el que la función sea inyectiva. f (x)

x

Se elegirá el intervalo de 0 a π.

f (x)

x

Por lo tanto, la función se redefine de la siguiente forma:

fx

cos x

si

x

0,

Ahora se procede a encontrar la función inversa.

y cos 1 y

cos x x

x

cos 1 y

Haciendo el cambio de variables se obtiene:

y

cos 1 x

Por lo tanto, la función inversa se expresa:

f 1x

cos 1 x

f 1x

arccos x

También se conoce como:

BLOQUE 2

115

Al graficar las funciones se observa la simetría de éstas, con respecto a la función identidad.

f 1x

y

arccos x

x

fx

cos x

Ahora se presentarán las dos funciones por separado, para comprobar cómo el dominio de la función original se convierte en el rango de la inversa, y el rango de la función se convierte en el dominio de su inversa. f (x)

y 1

f

x

x x

Dom : 0, Rango :

Dom : 1, 1

1, 1

Rango : 0,

Ejemplo 4. Utilizando la función inversa, determinar el dominio y rango de la función f x

x

. x 1 Esta función es racional y se indefine sólo si el denominador es igual a cero, es decir, cuando la x=1, por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales menos el 1, y se escribe de la siguiente manera:

Dom: 1 Para obtener el rango se hace más complicado sin la gráfica, por ello es que se recurre a la función inversa, si se obtiene el dominio de ésta, corresponderá al rango que se busca. Ahora se procederá a obtener la función inversa, suponiendo que es biyectiva, esto se comprobará al ver la función graficada. El propósito de este ejemplo es proporcionar otro método para obtener el rango de una función. 1.

Se cambia f(x) por “y”.

y 2.

116

x x 1

Se despeja “x”.


yx 1

x

xy

y

x

xy

x

y

xy 1

y y

x 3.

y 4.

y 1

Se cambian las variables, la “y” por la “x” y viceversa.

Se expresa “y” como f

1

x x 1

x . x

f 1x

x 1 Observando la función inversa, se deduce, que la función original y su inversa es la misma, por lo tanto, el dominio de ésta última, también son todos los números reales menos el 1. Por lo tanto, el rango buscado en la función original es el mismo que su dominio. Graficando puntos se obtiene la siguiente función. f (x)

x

Dom: Rango :

1 1

Resulta que la función misma es simétrica con respecto a la función identidad, es por ello que resultó ser igual a su función inversa.

BLOQUE 2

117

Actividad: 3 Dadas las siguientes gráficas, desarrolla lo que se pide. 1. Verifica que sean uno a uno. 3.

2. Identifica el dominio y el rango de f 1 En la misma gráfica, y tomando en cuenta que la función inversa se refleja en la recta y=x (la línea punteada), traza la inversa.

a) f (x)

x

b) f (x)

x

c) f (x)

x

118


Actividad: 3 (continuación) d) f (x)

x

e) f (x)

x

Actividad: 3 Conceptual Reproduce la gráfica de la función inversa. Autoevaluación

valuación Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Grafica la función inversa como Aprecia la facilidad de graficar la reflejo con respecto a la función función inversa a partir de la identidad gráfica de la función. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: En los siguientes sitios podrás reforzar tus conocimientos. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/funciones_ definidas_oper_transf/pagina17.htm http://cuhwww.upr.clu.edu/~basa/taller2pc/index.htm

BLOQUE 2

119

Actividad: 4 Resuelve lo que se pide. I. Toma en cuenta la siguiente función f 0 f 7 14 ; calcula lo siguiente:

II.

120

1)

f

1

0

2)

f

1

3

3)

f

1

6

0, f 1

3, f 3

6, f 5

10 , f 6

12 y

Encuentra las funciones inversas, escribe el dominio para la cual f(x) tiene inversa. 1)

0, 0 , 1, 3 , 2, 5 , 3, 6 , 4,7

2)

fx

2 4x

3)

fx

2 x



fx

5)

fx

6)

fx

6x 2

1 x

5x 9 x 2

Actividad: 4 Conceptual Reconoce la forma algebraica de la inversa de una función.

Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Construye la forma algebraica de la inversa de una función. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Reconoce y aprecia los conocimientos previos del Álgebra para calcular funciones inversas.


121

Funciones definidas por partes. No todos los comportamientos de situaciones reales se pueden modelar con una misma función, tan sencillo como visualizar el recorrido de un automóvil. En condiciones controladas como en un laboratorio, un automóvil puede recorrer largas distancias a velocidad constante, pero en la vida real, un automóvil, acelera, desacelera, tiene velocidad constante o se detiene, e incluso, invierte su marcha. Todas estos comportamientos de recorridos son complicados para modelarse con una sola función, es por ello, que se puede modelar estas situaciones por partes, como por ejemplo: Un automóvil comienza acelerando los 40 primeros segundos, posteriormente su velocidad permanece constante durante 5 minutos más, abruptamente se detiene por un lapso de 1.5 minutos, y por último, reinicia su marcha acelerando para alcanzar en los 10 segundos siguientes, la misma velocidad a la que venía circulando, para luego seguir su marcha a velocidad constante. La siguiente gráfica podría modelar el comportamiento de este automóvil. d (mt s )

t (s eg )

En ella se pueden reconocer dos funciones lineales, las cuales son definidas en los intervalos de tiempo de 40 seg a 340 seg y de 440 seg en adelante. También se reconoce la función constante que se define en el intervalo de 340 seg a 430 seg, y las funciones en donde acelera pueden ser cuadráticas, cúbicas, exponenciales o cualquier función en la que el crecimiento no sea de forma constante. Ejemplos como éste hay muchos en la vida diaria, es por ello que es necesario definir y obtener las gráficas de este tipo de funciones. La función definida por partes es aquella que tiene dividido su dominio en al menos dos partes y en cada una de ellas se define una regla de correspondencia diferente. Esto es, tener en un mismo plano varias funciones, por ejemplo:

fx

x 1

fx fx fx

2 x

f (x)

3

2

x2

x

fx

x

2

4x

4x

x2

fx

6

4x

4x

fx

122

6

3

x

3

x

fx

1 2

x

3


Cada una de ellas es función, pero agrupadas, es decir, considerándolas todas a la vez, no lo son, porque a varias “x” les corresponden varios valores de “y”, como es el valor de x=–2, que le corresponde y=1, y=2 y y= 4. Sin embargo, a partir de ellas se puede construir una función definida por partes. Esto se puede lograr dividiendo el eje x en intervalos consecutivos, por ejemplo: f (x)

x

, 1

4,

1,4

1,1

En los intervalos que muestra la ilustración anterior, no quedaron definidos los números –1, 1 y 4, es decir, no están considerados en ningún intervalo y si se desea hacer, se deben considerar sólo en uno, porque se caería de nuevo en definir una relación no una función, por lo tanto, se definirán los intervalos de la siguiente forma: , 1 , 1,1 , 1, 4 y 4, . En cada uno de ellos se hará válida sólo una función, por lo tanto, se “borrarán” las gráficas que no son válidas, dejándose sólo el trazo de una, esto garantiza que la definición de función. f (x)

Hay que recordar que el paréntesis “(“, “)” indica que no está definido el valor de “x”, y le corresponde un hueco “ ”. El corchete “[“, “]” indica que está definido el valor de “x”, y le corresponde un punto lleno “ ”. Ver anexo A.

x

, 1

1,1

4,

1,4

La expresión algebraica de esta función se representa de la siguiente forma.

x2 x fx

4x 3

x2

4x

6

si

x

1

si

1< x < 1

si

1 x

4

1

x 3 si x>4 2 Como se observa, la función está compuesta por las cuatro funciones condicionadas en un intervalo, es por ello que después de nombrar a cada una de ellas está el condicionante “si”, seguido de la desigualdad que representa al intervalo donde son válidas.

BLOQUE 2

123

El dominio de la función será la unión de los intervalos de las funciones que la componen, esto es: Dom: , 1 1,1 1,4 4, ; en este caso, se puede decir que el dominio son todos los números reales, Dom : . En cuanto al rango de la función definida por partes, también abarca todos los números reales, debido que la unión de los intervalos que componen los rangos de las funciones que la integran, da como resultado el conjunto de los números reales. A continuación se mostrará un ejemplo de la manera que se debe graficar una función definida por partes. Ejemplo 1. Graficar la función f x

x3

2x 2

4x

6

2x 1

si

x <1

si

x 1

y encontrar su dominio y rango.

Para graficar la función es recomendable representar, en sus diferentes formas, cada uno de los condicionantes que validan las funciones que la componen, esto se hará de la siguiente forma:

x3

Función Condicionante Representación por intervalo

2x 2

4x

2x 1

6

x 1 1,

x <1 ,1 x

x

Representación gráfica

En la representación gráfica del condicionante quedan más claros los valores que se deben sustituir en cada una de las funciones, y también queda más específico qué función llevará el hueco y cuál el punto. x

x3

–3 –2 –1 0 1

2x 2 4x 3 –2 1 6 7

6

x

2x 1

1 2 3 4 5

3 5 7 9 11

Al ubicar los puntos se tiene: f (x)

x

124


Al ver los puntos de esta forma, es muy común que el alumno los una sin considerar que son dos funciones, y que además, la función que está a la izquierda del 1 es cúbica y la que está a la derecha es una función lineal, por lo tanto, si se tiene duda de la curvatura de la función cúbica, se recomienda graficar más puntos entre los valores ya graficados, como es: x

x3

–1.5 –1 –0.5 0 0.5

2x 2

4x

6

–1.125 1 3.625 6 7.375 f (x)

x

Se debe tener en cuenta que la función es discontinua, porque da un salto, debido a que en la función cúbica el hueco ubicado en (1, 7), y en la función lineal el punto se ubica en (1, 3). Al unir los puntos se obtiene la gráfica: f (x)

x

Dom :

,

Rango :

2,

BLOQUE 2

125

Ejemplo 2. Elaborar la gráfica y obtener el dominio y rango de la función:

x2

g( x )

x

6

si

x

2

si

x

2

Como en el ejemplo anterior, es recomendable visualizar los intervalos donde cada una de las partes que compone a esta nueva función, es válida; así como también, determinar los puntos que se requiere sustituir.

x2

Función Condicionante Representación por intervalo

x

x <2 ,2

Representación gráfica

6

x >2 2,

x

x

Sustituyendo los valores correspondientes de cada una de las funciones, se obtienen los siguientes puntos, recordando que en ambas partes hay un hueco, debido a que ninguno de los condicionantes posee la igualdad. x –2 –1 0 1 2

x2 4 1 0 1 4

x 2 3 4 5 6

x

6

4 3 2 1 0

Al graficar los puntos se obtiene lo siguiente: g (x)

x

Para unir los puntos se debe considerar que a la izquierda del 2 la función es una parábola y a la derecha del mismo la función es una línea recta. También se debe reflexionar el punto en el que se parte la función (x=2), éste no es válido para ninguna de las dos partes de la función, pero en él se dibujará un círculo a la altura de 4, uniendo así la parábola y la línea recta, debido a que en las dos se obtiene el mismo valor de “y” (y=4). Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función g(x).

126


g (x)

x

Su dominio son los números reales menos el 2, debido a que a la izquierda del 2 se extiende infinitamente la parábola y a su derecha, se extiende infinitamente la recta, pero en 2 no estaba definida la función g(x). En cuanto a su rango, la parábola se extiende infinitamente hacia arriba y a la altura de 4 si existe valor cuando x=–2, y hacia abajo se extiende infinitamente la recta, por lo tanto, el rango son todos los números reales. Tanto el dominio como el rango se escriben: Notación por intervalos Dom : ,2 2,

Rango :

,

Notación por conjuntos Dom : 2

Rango :

Actividad: 5 Traza la gráfica de las siguientes funciones. 1)

f( x )

x2 x 6

si x

2

si x

2 f (x)

x

BLOQUE 2

127

Actividad: 5 (continuación) x3

2) f( x )

2

3

si x 1 si x 1 f (x)

x

x2 3)

g( x )

1 4

x

4x 1 2

si x

2

si x

2 f (x)

x

128


Actividad: 5 (continuación) x2

4

x 2 4)

si x

2

si x

2

f( x ) 3

f (x)

x

5)

x 4

si

2

si

f( x ) x

2

3

4

si

x

4

x

1

x

1 f (x)

x

Actividad: 5 Conceptual Reconoce las funciones que componen a una función definida por partes. Autoevaluación

BLOQUE 2

valuación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones definidas por partes. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad con interés, expresa sus dudas y corrige sus errores.


129

Se pueden construir una cantidad innumerable de funciones definidas por partes, como los ejemplos que se acaban de ver, pero en particular hay dos funciones especiales que por su utilidad se les denomina función valor absoluto y función escalonada, las cuales se describen a continuación. Función valor absoluto. En Matemáticas 3 viste el concepto de valor absoluto y lo utilizaste en el tema de distancia entre dos puntos; éste se representa mediante dos líneas como x , y se lee, valor absoluto de “x”. En ese momento no se definió como función, sólo se usó para asegurarse de que las distancias obtenidas dieran como resultado un número positivo, como por ejemplo: 6 6 y 3 3 . Ahora observando su definición como función, se aclara más el hecho de por qué si se aplica el valor absoluto a un número positivo resulta positivo, y si se aplica el valor absoluto a un número negativo da como resultado positivo. La función de valor absoluto f x

x se define como: f( x )

x

x

si

x

0

x

si

x

0

Esta función está definida como la distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Observando las dos partes en las que está compuesta la función valor absoluto, se concluye que son dos rectas, una con pendiente negativa y la otra con pendiente positiva, a continuación se graficará dando valores a la función.

f( x ) Función Condicionante Representación por intervalo

x

si

x

0

x

si

x

0

x x <0 ,0

x x 0 0, x

Representación gráfica x –4 –3 –2 –1 0

x

x 4 3 2 1 0

x

x 0 1 2 4 4

x 0 1 2 3 4

En las tablas anteriores se observa más claramente que se sustituye un número negativo, éste se multiplica por menos para convertirlo a positivo, y si es positivo se deja igual. f (x)

Posteriormente no será necesario realizar todo el proceso de separación de la función, con sólo sustituir en el valor absoluto se obtendrá la gráfica de la función, pero siempre es necesario visualizar de dónde proviene el valor absoluto. Enseguida se sustituyen los puntos; notarás que en la tabla de la izquierda hay un hueco en el punto (0, 0), pero en la tabla de la derecha el punto está lleno en (0, 0), por lo tanto, le da continuidad a la función. x

130


Su gráfica queda de la siguiente manera: f (x)

Al extenderse infinitamente hacia los lados su dominio son los números reales, y su rango son los números no negativos.

Dom :

,

Rango : 0, x

A continuación se mostrarán dos ejemplos de funciones de valor absoluto, utilizando simple sustitución. Ejemplo 1. Graficar la función f x

x

3

5 , además, encontrar su dominio y rango.

Se usa una tabla para determinar las coordenadas de los puntos por donde pasa la función, se recomienda graficar valores a la izquierda y derecha del 3, debido a que éste al sustituirlo en la función hace cero dentro del valor absoluto. x

fx

x

3

5

0

8

f0

0 3

1

7

f1

1 3

2

6

f2

2 3

5

3

5

f3

3 3

5

4

6

f4

4 3

5

1

5 1 5 6

5

7

f5

5 3

5

2

5 2

5 7

6

8

f6

6

5

3

5 3

5 8

3

5

3

5

2 1 0

5 3 5 2

5 8 5 7

5 1 5 6 5 0

5 5

La gráfica queda de la siguiente forma: f (x)

x

Su dominio y su rango son:

Dom :

,

Rango : 5,

BLOQUE 2

131

Ejemplo 2.

1

Graficar la función k x

x 4 2 ; encontrar su dominio y rango. 2 Ahora se tomarán valores alrededor de –4, porque es el número que al sustituirlo dentro del valor absoluto da como resultado cero. x

kx

1 2

x

4

2

–7

–3.5

k

7

–6

–3

k

6

–5

–2.5

k

5

–4

–2

k

4

–3

–2.5

k

3

–2

–3

k

2

–1

–3.5

k

1

1 2 1

7

4

2

6

4

2

5

4

2

4

4

2

3

4

2

2

4

2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 4

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 1

3

2

2

2

1

2 2 2

2 3

2 2

1 2 1 2 1

3

2

2

2

1

7 3 5

2

2 1 0 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2

3.5

2

2

2.5

2 5 2

2.5

3 7 2

3.5

La gráfica queda de la siguiente forma: k (x)

x


Dom : Rango :

132

, , 2


Actividad: 6 Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones, realiza la gráfica correspondiente y entrégalas a tu profesor. 1)

H( x )

x

1 H(x)

x

2)

R( x )

1 3x 6 2

1

R(x)

x

3)

L( x )

2 x L(x)

x

BLOQUE 2

133

Actividad: 6 (continuación) 4) M( x )

x 2

2 M(x)

x

5)

L( x )

2x 10

3 L(x)

x

6)

K( x )

x 4 K(x)

x

Actividad: 6 Conceptual Identifica la función valor absoluto. Autoevaluación

134

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones con valor absoluto. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad con interés, expresa sus dudas y corrige sus errores. Calificación otorgada por el docente


Función escalonada. Es la función cuya gráfica está formada por segmentos horizontales de rectas, parecidos a escalones. Por ejemplo: Ejemplo 1. Graficar la función f( x )

1

si

x

0

; encontrar su dominio y rango. 1 si x 0 En esta función no es necesario utilizar tablas ni sustitución, ya que las partes por las que está formada son funciones constantes. Para todos las “x” menores que cero, se graficará una recta horizontal a la altura de –1 y para las mayores e iguales a cero, se trazará una recta horizontal a la altura de 1. f (x)

x

Su dominio son todos los números reales, debido a que los intervalos de cada una de las partes contienen a todos los números reales, ,0 0, ; en cuanto al rango, sólo son dos valores para los que existe la función, –1 y 1, en este caso no se utiliza paréntesis ni corchetes, porque no son intervalos, son dos elementos, por lo tanto, se encierran entre llaves, aquí no importa el orden en el cual se acomoden los elementos del rango.

Dom : Rango :

1,1

Ejemplo 2. Graficar la función T( x )

2 0

si si

4 x 2 2 x 2

2

si

2 x

4

4

si

4 x

6

encontrar su dominio y rango.

Esta función está formada por 4 segmentos de recta, como se muestra en la gráfica. T(x)

x

BLOQUE 2

135

Su dominio lo forman los intervalos

4, 2 2, 2 2, 4 4,6 , que es lo mismo que considerar el intervalo 4, 6 ; en cuanto al rango, únicamente son cuatro valores: –2, 0, 2 y 4.

Dom :

4, 6

Rango :

2,0, 2, 4

Existe una función escalonada especial, llamada función máximo entero, cuya gráfica está formada por una serie de segmentos de recta horizontales de una unidad de longitud, cada segmento está definido por un intervalo semicerrado por la izquierda, es decir, que incluye al extremo izquierdo pero al derecho no. La función máximo entero se expresa como f x “x”. Por ejemplo: 2.3 2 , 0.74 0 , 3.1 4

x , donde el símbolo

indica el máximo entero menor o igual a

f (x)

x

El dominio de la función son todos los números reales, porque a cada número se le asigna el entero menor o igual que él, por lo tanto el rango es el conjunto de los números enteros.

Dom : Rango : Las funciones escalonadas son útiles en las compañías de telefonía, en el costo de las llamadas; si un cliente rebasa el tiempo en un determinado minuto, le cargan el siguiente minuto completo, situación que en la mayoría de los casos es injusta para el cliente, pero ellos se amparan en el contrato. Lo mismo sucede en el cobro del uso de estacionamiento, que por lo general tienen la leyenda “10 pesos por hora o fracción”, lo cual significa que aunque sea mínimo el tiempo excedido, siempre cobran una hora más. Ejemplo 3. El costo de una llamada por celular es de 2.5 pesos los primeros cinco minuto y 1.25 por cada minuto o fracción adicional. Expresar la función que representa esta situación. Primero hay que determinar las variables involucradas, por lo tanto, se considerará C(t) como el costo de la llamada en “t” minutos. El problema dice que el primer minuto cuesta 2.5 pesos, y en el segundo minuto costará 2.5+1.25, en total 3.75, el tercer minuto costará lo del minuto anterior más 1.25 pesos y así sucesivamente, por lo tanto, después del primer minuto, la función dará saltos de 1.25, como se muestra en la gráfica. En este caso se realizará primero la gráfica para poder dilucidar la forma de la función.

136


C (t )

t

También se tiene que considerar que el cobro se empieza a hacer a partir de t>0, es por ello que cuando t=0 se tiene un hueco a la altura de 2.5. La función que representa el costo de las llamadas en término del tiempo transcurrido es: 2.5 si 0 t 1

C( t )

3.75

si

1 t

2

5

si

2 t

3

6.25

si

3 t

4

También se puede expresar como:

C(t) 2.5 1.25 t

para t > 0

Actividad: 7 Traza la gráfica que describe cada situación. 1) La calificación en el sistema básico tiene como mínimo aprobatoria 6, si el alumno reprueba se le asigna la calificación de 5. La calificación aprobatoria se redondea, es decir, si obtiene de 6 a 6.4 se le asigna la calificación de 6, si obtiene como calificación de 6.5 a 7, se le asigna la calificación de 7 y así sucesivamente. La calificación obtenida es “x” y la calificación asignada se denota como C(x). C (x)

x

BLOQUE 2

137


La tabla representa el costo de envío por correo de paquetes según su peso. Intervalo Peso (gramos)

Costo en pesos $

[0, 200)

450

[200, 500)

750

[500, 700)

950

[700, 1000)

1250

[1000, 1200]

1450

C (x)

x (p es o s )

1 3.

f( x )

si

x

0

3

si

0

x

5

si

x

4

4 f (x)

x

Actividad: 7 Conceptual Identifica a la función escalonada en situaciones de la vida cotidiana. Autoevaluación

138

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Representa gráficamente Aprecia la utilidad de las situaciones de la vida cotidiana funciones en la representación de mediante funciones escalonadas. situaciones cotidianas. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Cierre Actividad: 8 Realiza lo que se pide. I. Grafica cada una de las siguientes funciones y determina su dominio y rango: 2x 2 si x 3 2x 1 2 a) f( x ) b) f( x ) x 6 x 3 1 si x 3

f (x)

f( x)

x

si x

2

x

d) f( x)

1 f (x)

x 1 f (x)

x

BLOQUE 2

2

f (x)

x

c)

si x

x

139

Actividad: 8 (continuación) II.

Completa la siguiente tabla escribiendo un ejemplo de la función que se solicita, su inversa, la comprobación algebraica y un bosquejo de la simetría de ambas funciones.

Nombre

Función

Comprobación algebraica

Función inversa

Gráfica

Lineal Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango:

Dom: Rango

Cuadrática

Cúbica

Racional

Irracional

Actividad: 8 Conceptual Identifica las funciones especiales e inversa de una función. Autoevaluación

140

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Ejemplifica funciones y sus inversas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.



Secuencia didáctica 2. Transformaciones de gráficas de funciones. Inicio Actividad: 1 En equipo, realicen lo que se solicita. I.

Utilicen lápices de colores para graficar en un mismo plano cartesiano las siguientes funciones: a) Con rojo la función f x

x2

b) Con azul la función f x

x2

2 2

c) Con verde la función f x x 2 Consideren las siguientes tablas para realizar las gráficas. x

fx

x2

x

fx

x2

x

2

−3

−3

−3

−2

−2

−2

−1

−1

−1

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

fx

x2

2

f (x)

x

BLOQUE 2

141


Respondan las siguientes preguntas:

x 2 si la comparan con la gráfica f x

a) ¿Qué ocurre con la gráfica de f x

x2

b) Ahora, ¿qué sucede si la comparan con f x

x2

2?

2?

c) ¿Sucederá lo mismo con todas las funciones? III.

Comprueba lo anterior con la función identidad. f (x)

x

IV. Escriban sus conclusiones y discutan en grupo ¿cuál es la utilidad que encuentran al usar gráficas para representar cierta información?

Actividad: 2 Conceptual Identifica las funciones cuadráticas. Autoevaluación

142

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Transforma funciones cuadráticas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad.



Desarrollo

En Matemáticas 3 observaste cómo las figuras geométricas pueden moverse en el plano cartesiano sin cambiar de forma, como por ejemplo una circunferencia de radio 1 puede cambiar la ubicación de su centro y no cambia su forma, pero la ecuación que la describe sufre una modificación. Y

Y

Y

X

x2

y2

Y

X

x2

1

y

32

1

X

x

32

y2

1

X

x

32

y

32

1

Es muy útil al momento de graficar conocer los cambios que sufre la regla de correspondencia de una función al trasladarse en el plano cartesiano, de antemano se puede realizar un bosquejo de la función sin necesidad de sustituir puntos. Estos cambios se realizan a partir de una función base, como la siguiente: f (x)

x

Los cambios que se abordarán en esta secuencia son: f (x) f (x)

f (x)

x x

x

Traslación horizontal f (x)

Reflexión con respecto al eje X

f (x)

x

Reflexión con respecto al eje Y

BLOQUE 2

Traslación vertical

f (x)

x

Reflexión con respecto a la recta de 45º

x

Expansión y contracción

143

Cuando ocurren transformaciones gráficas, se observa que existen desplazamientos y reflexiones, que por lo general obedecen a parámetros, es decir, a valores constantes que propician dichos cambios, por ejemplo: en Matemáticas 3 se estudió a fondo la línea recta como lugar geométrico, y una de sus formas es la pendiente-ordenada en el origen ( y mx b ), donde “m” y “b” son los parámetros; “m” es la pendiente, la cual dependiendo de su valor es la inclinación que tiene la recta y “b” es la ordenada en el origen, la cual determina la altura a la que se encuentra la intersección de la recta con el eje Y. A continuación se analizará algunas transformaciones que se pueden presentar en las funciones, esto se hará mediante ejemplos; posteriormente se formalizará cada una de ellas.

Traslación horizontal. Éste tipo de transformación se da cuando la función se mueve hacia la izquierda o a la derecha, como por ejemplo: Si se utiliza una tabla de valores para graficar la función f x x , se obtiene:

fx

x

x

−3

8

−2

7

−1

6

0

5

1

6

2

7

3

8

Ahora se tabula y grafica la función f x

f (x)

x

3

x

3 . f (x+3)

x

fx

3

x

−6

3

−5

2

−4

1

−3

0

−2

1

−1

2

0

3

También se tabula y grafica la función f x x

144

fx

3

x

3 x

0

3

1

2

2

1

3

0

4

1

5

2

6

3

3

x

3

f (x-3)

3

x


Notaste que los valores de “x” en las tablas no son los mismos, se eligen alrededor del valor de “x” que hace cero dentro del valor absoluto, cero para la primera función, menos tres para la segunda y tres para la tercera. Si se grafican las tres funciones en el mismo plano cartesiano, se observa cómo se transforma la función al sumarle o restarle una constante a la variable. f (x)

f(x+3)

f(x – 3) x

f(x)

Con base en lo anterior, se puede concluir que: Si f x se transforma en f x c , la gráfica de f(x) se desplaza horizontalmente a la izquierda o a la derecha, obteniéndose una nueva función g x f x c ; hacia dónde se traslade depende del signo del parámetro “c", esto es: Si c > 0; es decir, “c” es positivo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia la izquierda “c” unidades. Si c < 0; es decir, “c” es negativo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia la derecha “c” unidades. A continuación se ejemplificará la traslación horizontal, sin utilizar la sustitución y la tabla de valores. Ejemplo 1. Graficar la función g x

x

5 3 como una transformación de f x

x 3 , tomando en cuenta que su gráfica es:

f (x)

x

g (x)

x

Como el valor del parámetro es −5, entonces para obtener la gráfica de g x se desplaza cinco unidades a la derecha la gráfica de f x , como se muestra.

BLOQUE 2

145

Ejemplo 2. Graficar la función y

11

, como transformación de la función identidad. 2 Como se sabe, la gráfica de la función identidad es la recta que pasa por el origen y tiene una inclinación de 45º, las coordenadas de los puntos por donde pasa la función identidad son iguales.

x

Con base en esta información, se puede trazar la gráfica de “y” trasladando la función identidad cinco unidades y media a la izquierda, como se muestra a continuación. h(x)

x

En la gráfica se muestra cómo se traslada la función identidad hacia la izquierda, conservando su inclinación.

Traslación vertical. Es la transformación que se presenta al trasladarse la función hacia arriba o abajo, como por ejemplo: Si se utiliza una tabla de valores para graficar la función f x

sen x se obtiene: fx

x

2

sen x 0

3

1

2

0 −1

2

0

0

2

1 0

3

−1

2

2

0 f (x) x

146


Ahora se tabula y grafica la función f x

fx

x

2

2 sen x

2 sen x

2.

2

2

3

3

2

f (x)

2 1

2

0

2

x

3

2

2 3

1

2

2

2

También se tabula y grafica la función f x

fx

x

2

2 sen x

2 sen x

2

2

−2

3

2

−1

f (x) x

−2 2

0

−3 −2

2

−1 −2

3

2

2

−3 −2

En el caso de las tres tablas anteriores, los valores de “x” son los mismos, debido a que el argumento de la función es “x”, es decir, para el mismo valor de “x” hace cero a la función seno en los tres casos. Al graficar las tres funciones en el mismo plano cartesiano se observa cómo se transforma la función al sumársele o restársele una constante. f (x)

fx x

fx

fx

BLOQUE 2

2

2

147

Con base en lo anterior, se puede concluir que: Si f x se transforma en f x una nueva función g x f x

c , la gráfica de f(x) se desplaza verticalmente hacia arriba o hacia abajo, obteniéndose c ; hacia dónde se traslade dependerá del signo del parámetro “c", esto es:

Si c > 0; es decir, “c” es positivo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia arriba “c” unidades. Si c < 0; es decir, “c” es negativo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia abajo “c” unidades. A continuación se ejemplificará la traslación vertical, sin utilizar la sustitución y la tabla de valores. Ejemplo 1. Graficar la función T x

x2

4 como una transformación de f x

x 2 , tomando en cuenta que su gráfica es:

f (x)

x

El valor del parámetro es 4, éste es positivo, significa que la función f(x) se trasladará hacia arriba cuatro unidades, para obtener la gráfica de T(x). T(x)

x

Ejemplo 2.

x Graficar la función C x x 3 , como transformación de la función f x En el bloque anterior se graficó la función f(x), ésta es la mitad superior de una parábola con ramas a la derecha con vértice en el origen, por lo tanto, la gráfica de la función C(x) describe esta media parábola sólo que trasladada hacia abajo tres unidades, como se muestra a continuación.

148


C (x)

En la gráfica se muestra cómo se traslada la función irracional f(x) hacia abajo, conservando su forma.

x

Reflexión con respecto al eje X. Esta transformación se obtiene al convertir f(x) en –f(x), debido a que las imágenes de ambas funciones tienen la misma magnitud pero signo contrario, lo cual se comprenderá mejor al observar las siguientes gráficas.

x 4 mediante la tabla de valores se obtiene:

Al graficar la función f x x

f (x)

x4

fx

−3

81

−2

16

−1

1

0

0

1

1

2

16

3

81 x

Mediante una tabla de valores se graficará la función G x x

fx

−3

−81

−2

−16

−1

−1

0

−0

1

−1

2

−16

3

−81

BLOQUE 2

x4

f x , es decir, G x

x4 . G(x)

x

149

Ahora se visualizarán las dos gráficas, la de base, la cual es f(x) y la reflejada G(x). G(x)

x

Ahora se ejemplificará el trazo de algunas funciones reflejadas con respecto al eje X. Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función M x

1 3 x como reflejo de la función f x 2

1 3 x 2

La función f x tiene como gráfica: f (x)

x

150


Así que la función G(x) se obtiene cambiándole de signo a todas las imágenes de la gráfica anterior, es decir, si a x=2 la función f(x) le asigna el valor de y= 4, para ese mismo valor de “x” la función G(x) le asignará a y=−4; si a x=−1 f(x) le asigna y=−0.5, la función G(x) le asignará al mismo valor de “x” a y=0.5; siguiendo este proceso se obtiene la siguiente gráfica. G(x)

x

Comparando las dos gráficas, se observa cómo la parte de la gráfica que se encuentra en el primer cuadrante pasa al cuarto cuadrante y la parte que se encontraba en el tercer cuadrante se cambia al segundo, como si se sujetara al plano cartesiano por los dos extremos del eje X y se le diera un medio giro. Ejemplo 2. Graficar –h(x) como reflexión de la función h(x) a partir de su gráfica, la cual es: f (x)

x

Si no se tiene la regla de correspondencia, como en este caso, se ubican puntos de la gráfica y se invierte el signo de las imágenes, como se muestra a continuación.

BLOQUE 2

151

f (x)

x

En el plano anterior se observan los puntos 3, 2 , 6, 4 , 2, 0 , 0, 2 , 2, 0 , 3, 2 , y 6, 4 , para obtener la gráfica de la función h(x) se invierte el signo de la segunda coordenada en cada uno de los puntos:

6, 4 ,

3,

2 ,

2, 0 , 0, 2 , 2, 0 , 3,

2 , 6, 4

Ubicando los puntos en el plano cartesiano se observa la curvatura de la función h(x). h(x)

x

Posteriormente se dibuja la gráfica observando la curvatura de la función base f(x). h(x)

x

152


Reflexión con respecto al eje Y. Esta transformación se obtiene a partir de invertir el signo de los valores de “x”, es decir, si se tiene la función base f(x) la reflexión con respecto al eje Y se obtiene con f x . A continuación se mostrará mediante tablas que la reflexión se da de acuerdo a lo antes mencionado. Para graficar la función f x 2 x 3 mediante la sustitución de valores, se deben elegir aquellos que permitan obtener la raíz cuadrada, es decir, los valores que se sustituyan debe dar como resultado, dentro de la raíz, un número no negativo, así que podrán sustituirse todos aquellos que sean mayores o iguales a 3. x

fx

2 x

3

0

4

2

5

2 2

2.8

6

2 3

3.5

7 8

f (x)

3

x

4 2 5

4.4

De la misma forma, ahora se encontrará la gráfica de la función R x f x , es decir R x caso los valores que se pueden sustituir son los menores o iguales que menos tres. x −8

Rx

2

2 5

−7

x

2

x

3 ; para este

R(x)

3

4.4 4

−6

2 3

3.5

−5

2 2

2.8

−4

2

−3

0

x

Visualizando las dos funciones en un mismo plano cartesiano, se puede observar la simetría con respecto al eje Y. Esto significa que si se dobla la gráfica por el eje Y, las dos gráficas deben de coincidir en todos sus puntos. y

x

BLOQUE 2

153

Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función que se obtiene de la reflexión vertical de f x

x

4.

Para la función f(x) no es necesario utilizar una tabla, debido a que ya se conoce la gráfica del valor absoluto básica, sólo que se traslada cuatro unidades a la derecha, como se muestra a continuación. f (x)

x

La gráfica de la reflexión vertical es f( x), y se expresaría:

f

x

x

4 f (-x)

x

Las dos gráficas trazadas en un mismo plano se ven de la siguiente forma: y

x

En ellas se nota que sólo con cambiarle el signo a la primera coordenada de la función se obtiene la función reflejada. Si te imaginas que tomas al eje Y por los extremos y le das un medio giro a la función f(x), se obtiene la función f( x).

154


Ejemplo 2. Graficar g( x) como reflexión de la función g(x) a partir de su gráfica, la cual es: g (x)

x

Al no conocer la regla de correspondencia, como en este caso, se ubican puntos de la gráfica y se invierte el signo de los valores de “x”, como se muestra a continuación. g (x)

x

En el plano anterior se observan los puntos 0, 9 , 1, 4 , 2,1 , 3, 0 , 4,1 , 5, 4 , 6, 3 , 7, 2 , 8, 1 y 9, 0 , para obtener la gráfica de la función g( x) se invierte el signo de la primera coordenada en cada uno de los puntos:

9, 0 ,

8, 1 ,

7, 2 ,

6, 3 ,

5, 4 ,

4,1 ,

3, 0 ,

2,1 ,

1, 4 0, 9

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se observa la curvatura de la función g( x). g (-x)

x

BLOQUE 2

155

Al graficar las dos funciones en el plano cartesiano se observa la simetría. y

x

Reflexión con respecto a la recta de 45o. Esta transformación se produce cuando en el mismo plano cartesiano se encuentra función y su inversa, debido a que son simétricas con respecto a la recta de 45º (función identidad). Ejemplo 1. Graficar la reflexión sobre la recta de 45º de la función f x

ex

3.

La función f(x) es una función exponencial desplazada tres unidades hacia abajo, como se muestra a continuación. f (x)

x

Se puede utilizar la calculadora para ubicar algunos puntos que pertenecen a la función y así invertir las coordenadas para graficar la función inversa. Los puntos encontrados son:

3, 2.9 ,

156

2, 2.8 ,

1,

2.6 , 0, 2 , 1, 0.3 , 2, 4.4


Entonces al invertirlos se obtiene:

2, 0 ,

2.9,

3 ,

2.8, 2 ,

2.6, 1 ,

0.3, 1 , 4.4, 2

y

x

Al trazarse las dos funciones en el mismo plano cartesiano se observa la simetría con la recta de 45º. y

x

Contracción y expansión de funciones. Éstas son otro tipo de transformaciones que pueden sufrir las funciones; para visualizarlas mejor se mostrarán ejemplos de las transformaciones que sufre la función f x x 3 2 al ser multiplicada por diferentes constantes. En los bloques posteriores se abordará con más detalle algunas funciones, y en ellos se formalizará la contracción y expansión de funciones particularizando cada caso. Ejemplo 1. Describir la transformación que sufre la gráfica de la función f x

x

3 2 cuando se multiplica por cuatro.

Se puede decir que al multiplicar la función original por una constante, se convierte en otra función, y para efectos de solución de este ejemplo, se le denominará como L x

4x

3 2.

Para observar la transformación que sufre, se graficarán las dos funciones mediante tablas de valores, para ello, se graficarán valores alrededor de 3, debido a que es el valor de “x” que al sustituirlo se hace cero dentro del paréntesis.

BLOQUE 2

157

x

fx

x

32

x

Lx

4x

0

9

0

36

1

4

1

16

2

1

2

4

3

0

3

0

4

1

4

4

5

4

5

16

6

9

6

36

f (x)

32

L(x)

x

x

Ubicando las dos gráficas en un mismo plano cartesiano se observa cómo la función original f(x) se “contrae” transformándose en la gráfica L(x). 2 Lx

y

4x

3

fx

x 32

fx

x 32

fx

x 32

x

Con todo el proceso anterior, se puede concluir que la función original sufrió una contracción al ser multiplicada por cuatro. 158


Ejemplo 2. Describir la transformación que sufre la gráfica de la función f x

x

3 2 cuando se multiplica por 1 4 .

1 x 3 2. 4 A continuación se muestran las tablas correspondientes a cada una de las funciones. A esta nueva función se le denominará como: N x

x

fx

x

0

9

1

4

2

1

3

0

4

1

5

4

6

9

32

f (x)

1

Nx

x

4

x

0

2.25

1

1

2

0.25

3

0

4

0.25

5

1

6

2.25

32

N(x)

x

Ubicando las dos gráficas en un mismo plano cartesiano se observa cómo la función original f(x) se “expande” transformándose en la gráfica N(x).

x

y

fx

x 32

En este caso se puede concluir que la función original sufrió una expansión al ser multiplicada por 1 4 . Si la función que se ha estado utilizando para realizar esta explicación se hubiese multiplicado por −4 y 1 , la transformación que sufriría la función original 4 es de contracción y expansión respectivamente, sólo que a su vez se reflejarían con respecto al eje X, es decir, si se multiplica por −4 las ramas de la parábola se cierran y se voltean hacia abajo, así como también, si se multiplica por 1 4 la función se abre

Nx

1 4

x

fx

x 32

fx

x 32

32

x

con ramas hacia abajo.

BLOQUE 2

159

En resumen, la transformación que sufre la gráfica de una función al multiplicarse por una constante es: 1.

La función f x se contrae si se transforma en g x

a f x cuando a

1

2.

La función f x se contrae si se transforma en g x

a f x cuando 0

a

1

Actividad: 2 En cada uno de los siguientes casos, indica el tipo de transformación que sufre f(x) para convertirse en g(x) y describe los cambios que se suscitaron en ellas. Función base

Función transformada

f x

x

gx

x 5

f x

x

gx

4x

f x

x

gx

f x

x

gx

x 1

f x

x

gx

x

f x

x

f x

x3

gx

x 43

f x

x3

gx

x3

f x

x3

f x

x4

gx

f x

x4

gx

f x

x4

gx

gx

gx

Actividad: 2 Conceptual Reconoce los tipos de transformaciones de funciones. Autoevaluación

160

2 3

Tipo de transformaciones

Descripción de los cambios

x 9

6

3x 1

4

4

2x 33

2

x 14

1 4 x 2 x 64

3 3

Evaluación Producto: Complementación de la Puntaje: tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Describe las trasformaciones que Expresa sus dudas y corrige sus sufren las funciones. errores. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Cierre Actividad: 3 Lee cuidadosamente los siguientes cuestionamientos y desarrolla lo que se solicita. 1. Describe cómo se desplaza g x

f x

x 54 y h x

x 2 4 con respecto a la función base

x4 .

2. Describe la diferencia algebraica y gráfica que existe entre las funciones f x

3. Dadas las gráficas f x x 3 , g x respecto a la función base f(x).

x3

4. Dadas las gráficas f x

3 x y hx

x, gx

2 y hx

x3

3 5

x 22 y gx

x2

2.

7 , describe los cambios que sufrió g(x) y h(x) con

x , describe los cambios que sufrió g(x) y h(x) con

respecto a la función base f(x).

Actividad: 3 Conceptual Identifica los cambios que se efectúan en las funciones al transformarse. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Descripciones. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Describe los cambios que se Escucha las descripciones de efectúan en las funciones al sus compañeros y participa en la transformarse. retroalimentación del grupo. C MC NC Calificación otorgada por el docente

161

Actividad: 4 Elabora un mapa conceptual que describas las transformaciones de las funciones.

Actividad: 4 Conceptual Identifica las transformaciones de las funciones. Autoevaluación

162

Evaluación Producto: Mapa conceptual. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Clasifica las transformaciones de Es creativo al realizar el mapa las funciones. conceptual. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Emplea funciones polinomiales.


Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales; para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.




Secuencia didáctica 1. Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. 1. ¿Qué es un polinomio?, proporciona un ejemplo.

164

2.

¿Cómo se determina el grado de un polinomio?

3.

Escribe un ejemplo de la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada en el origen.

4.

¿Qué significa la pendiente de una recta?

5.

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


¿Qué es la ordenada en el origen?

7.

Escribe un ejemplo de una ecuación cuadrática.

8.

¿Cuál es la forma de una ecuación cuadrática?

9.

¿Qué es el vértice en una ecuación cuadrática?

10. ¿Cómo se obtiene el vértice de una ecuación cuadrática a partir de su forma general?

Actividad: 1 Conceptual Reconoce las características de las funciones de grado cero, uno y dos. Autoevaluación

Evaluación Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Determina las características Muestra interés al realizar la principales de las funciones de actividad y mostrar sus grado cero, uno y dos. conocimientos previos. C MC NC Calificación otorgada por el docente

165 BLOQUE 3

Desarrollo

Concepto de función polinomial de una variable.

En el bloque 1 se introdujo a las funciones polinomiales, también llamadas funciones polinómicas; la regla de correspondencia que las distingue es:

f x a n x n a n 1x n 1 a n 2 x n 2 a n 3 x n 3 ... a 2 x 2 número no negativo y el grado de ella es n.

a 1x

a 0 , donde an, an-1,…, a1, a0 son constantes, n es un

Características de las funciones polinomiales. Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones: 1.

fx

2.

fx

7 es de grado cero, se le conoce como función constante. 4x 1 es de grado uno, también conocida como función lineal.

3.

fx

x2

5x 2

4.

fx

4x

5.

fx

2x 4

5x

6 es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. 3

4x 2

1 es de grado tres y se le conoce como función cúbica. x3

1 es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica.

Las gráficas de cada una de ellas son:

fx

7

fx

4x 1

f (x)

fx

x2

f (x)

6x

6

f (x)

x x

fx

4x 2

5x 3

x

fx

1 f (x)

2x 4

4x 2

x3

1

f (x)

x x

166


El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro (función cuártica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto. En general, si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales. En esta secuencia se abordarán funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, sus características y la influencia de los parámetros en el trazo de su representación gráfica.

Actividad: 2 Completa la siguiente tabla reconociendo el grado y el coeficiente principal.

Función

fx

x3

fx

2x 4

3x 2

fx

3x 2

1

fx

5

fx

9x

fx

4x 5

fx

3x

fx fx

fx

x

Tipo de función

Grado

Coeficiente principal

r x

x

6 x2

2x 3

4x

5x 2

3x 4

x x

x2

2

8x

8

Actividad: 2 Conceptual Identifica las características de las funciones polinomiales.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Determina las características de las funciones polinomiales. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad y reconoce la importancia de sus conocimientos previos.


167 BLOQUE 3

Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica. La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es:

f x a , donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a). Ejemplo 1. Graficar la función f x 5 , determinar su dominio y rango. La función también se puede expresar como y 5 , por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra a continuación. f (x)

x

Su dominio y rango son:

Dom :

,

Rango : 5 Ejemplo 2. Graficar la función g x

7

, determinar su dominio y rango. 2 La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale a y 3.5 . g (x)

x

Su dominio y rango son:

Dom : Rango :

168

, 7 2


Actividad: 3 Responde lo que se pide. 1.

Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

hx

4

Lx

10

y

3

24

Dom :

Dom :

Dom :

Rango :

Rango :

Rango :

2.

Analiza la gráfica que representa la posición de un automóvil y explica qué ocurre. d is t ancia (k m)

t iemp o (hrs )

_________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

Actividad: 3 Conceptual Reconoce la función constante, su dominio y rango.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Traza e interpreta la gráfica de la función constante. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Escucha la retroalimentación de la actividad con interés y respeta los comentarios de sus compañeros.


169 BLOQUE 3

La función lineal. Esta función se vio en Matemáticas 1 y se retomó a fondo en Matemáticas 3 como lugar geométrico, con base en estos conocimientos previos, se analizarán sus parámetros para trazar la gráfica. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es:

y mx b Donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es la ordenada en el origen. Vista como función, se expresa de la siguiente forma.

fx

mx

b

Analizando los parámetros, se tiene que: “b” es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término independiente. “m” es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, ésta es el coeficiente de la variable. “x” es la variable independiente. En la siguiente función se visualizan los parámetros antes mencionados.

fx

2x

3

m 2 b 3 f (x)

m 2

Ordenada en el origen (b) Es la intersección con el eje Y x

Existen varios métodos para graficar funciones lineales, como: Sustitución de valores (tablas). Intersección con los ejes coordenados. Parámetros (m y b). En este bloque se considerará el comportamiento paramétrico para bosquejar la gráfica de las funciones, el cual se describe a continuación. Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto. Como se muestra a continuación.

170


Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función f x

4 3

x 1.

Observando la función, la pendiente es m

4 3

y la ordenada en el origen es b

1 , la cual proporciona la

intersección con el eje Y. f (x)

x

b

1

Posteriormente se ubica el segundo punto a partir de la pendiente, como se muestra a continuación. Como la pendiente es m

4

, a partir del punto se desplaza 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba, ya 3 que en el cociente de la pendiente, el numerador es el incremento vertical y el denominador es el incremento y 2 y1 horizontal, dado que la fórmula de pendiente es m . x 2 x1 f (x)

x

Los parámetros dicen mucho del comportamiento gráfico de la función, como es el caso de la pendiente, cuando es mayor que cero y menor que uno, su ángulo de inclinación es mayor que 0 o y menor que 45º; cuando es mayor que uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de inclinación es mayor de 90º y menor que 180º. Lo anterior se puede comprobar con los siguientes ejemplos.

171 BLOQUE 3

Ejemplo 2. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) f x x 1 1

b)

fx

c)

fx

d)

fx

4x 1

e)

fx

2x 1

4

1 2

x 1

x 1

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen −1.

m 4

m 2

f (x)

m 1

m x

m

1 2 1 4

Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la pendiente, entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento, es decir, la recta estará más cerca del eje X, así mismo, entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más cerca del eje Y. Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa. Ejemplo 3. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) f x x 5 1

b)

fx

c)

fx

d)

fx

4x

5

e)

fx

2x

5

4

1 2

x

5

x

5

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen 5, es decir, cortan al eje Y a la altura de 5.

172


m m m

1 m

2m

1

4 f (x)

2 1 4

x

En este caso, las pendientes son negativas y las gráficas son decrecientes; entre más grande sea la pendiente el 1 crecimiento es menor, como se observa, la pendiente de m está más cercana al eje X, sin embargo, la 4 pendiente m 4 , la cual es menor que la anterior, está más cercana al eje Y. El comportamiento paramétrico que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello, dilucidar con anterioridad la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales. El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables, esto es, al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar mejor en una tabla o en la regla de correspondencia. A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado. Cuando se usan funciones lineales para describir relaciones del mundo real se llama modelación lineal. A continuación se ejemplificará la aplicación de funciones lineales. Ejemplo 4. Un taxista cobra 30 pesos por salida y cada 5 pesos por kilómetro recorrido. Calcular: a) El costo de un viaje en x kilómetros. b) El costo del viaje si el destino de una persona es a 12 km. c) Graficar el costo del viaje como una función de la distancia recorrida. Es claro en el enunciado del problema, que el cobro del viaje depende de la distancia recorrida y se pueden particularizar algunos casos para visualizar la estructura de la función que lo describe. Si el viaje es de 1 Km, su costo es de 30+5(1)=35 pesos. Si el viaje es de 3 Km, su costo es de 30+5(3)=45 pesos. Si el viaje es de 10 Km, su costo es de 30+5(10)=80 pesos. Generalizando: Si el viaje es de x Km, su costo es de 30+5(x) pesos. Por lo tanto, la respuesta al inciso “a”, es:

C x 30 5x Donde C(x) es el costo del viaje en taxi en función de la distancia recorrida “x”. 173 BLOQUE 3

En el inciso “b” se solicita un costo en particular que es el de 12 Km, sólo basta sustituir este dato en la función y así encontrar lo que se busca.

C 12

30

5 12

90

Por lo tanto, el costo del viaje cuando se recorren 12 Km es de 90 pesos. Por último, se traza la gráfica de la función, notando que la ordenada en el origen es 30 y la pendiente es 5, esto se puede deducir mejor si se acomoda la función.

Cx Cx b 30 m 5

5x 30 mx b

Ordenada en el origen Pendiente

Ubicando primero el punto que intersecta al eje Y (ordenada en el origen) y, posteriormente, el punto que se obtiene a partir de la pendiente. La gráfica queda de la siguiente forma: C (x)

x

Ejemplo 5. La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo. En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla, por canteras de donde extraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos.1

1

http://familydoctor.org/online/famdoces/home/common/asthma/triggers/085.html

174


Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas. Sea “p” el nivel de polución, medido en partes por millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 10 horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 15 partes por millón por hora.2 a) Identificar la pendiente y un punto de la función. b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido. c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido. En el inciso “a” se solicita la pendiente, la cual corresponde a la razón de cambio que es 15 partes por millón, y el punto que ofrece el problema es de (10, 50), donde la primer coordenada es la hora en la que se mide la polución, la cual corresponde a 50 ppm. En el inciso “b” se requiere encontrar la función que modela la polución, para ello se retomarán conocimientos de Matemáticas 3, en los que aprendiste a obtener la ecuación de una recta, dada la pendiente y un punto por donde pasa. Esto se logra con la siguiente fórmula:

y

y1 m x

x1

y

50 15 x 10

y

50 15 x 150

Sustituyendo los valores se obtiene:

y 15 x 100 La polución expresada como función que depende del tiempo se expresa como:

pt

15t 100

Al trazar la gráfica de la función, se considera que la intersección con el eje vertical a la altura de −100 y la pendiente 15. Por lo tanto, la gráfica de la función sin restricciones queda: y

p (t )

x

La gráfica restringida al problema es considerando sólo de 8 a 18 horas, como se muestra a continuación.

t

2

Problema 2, pag. 56 de Matemáticas IV, Ramírez Margarito.

175 BLOQUE 3

Actividad: 4 Desarrolla lo que se pide. I. Realiza la gráfica de las siguientes funciones, encuentra el dominio y el rango correspondiente. 1)

gx

2x

4 g (x)

x

2)

kx

x

1 2 k (x)

x

3.

Lx

3

5 x 4 L(x)

x

176



Gx

5 3

x G(x)

x

5)

2

Rx

7

x

5 R(x)

x

6)

Fx

1 2

x

3 4 F (x)

x

177 BLOQUE 3

Actividad: 4 (continuación) III. Completa la siguiente tabla ubicando las diferentes representaciones de las funciones lineales. Representación tabular

Representación algebraica

Representación gráfica y

X y

0 -2

1 1

2 4

3 7

4 10

5 13

f(x)=

x

x y

h(x)=−2x+3

h(x)

x

G(x)

x y

h(x)=

x

178



Un autobús viaja desde Hermosillo a Obregón a velocidad constante de 90Km/h. Un pasajero se sube en el cerrito de la virgen al Km 18 de los 351 Km que hay de Hermosillo a Obregón.

Expresa la función que modela la distancia recorrida por el pasajero con respecto al tiempo.

D (x)

D(t)=

Construye la tabla.

x

Actividad: 4 Conceptual Reconoce los parámetros de la función lineal, su dominio y rango. Autoevaluación

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Traza la gráfica de la función lineal utilizando parámetros. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores.


179 BLOQUE 3

La función cuadrática. Como ya se había visto en el bloque 1, las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en su forma general como: f x ( a 0 ).

ax 2

bx

c , con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero

Sus componentes son:

ax 2

Término cuadrático

bx

Término lineal

c

Término independiente

Al igual que la ecuación cuadrática, la función cuadrática tiene la misma clasificación. La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura. Funciones Completas: f x Clasificación de las funciones cuadráticas

ax 2

bx

c

Funciones Puras: f x

ax 2

c

Funciones Mixtas: f x

ax 2

bx

Funciones Incompletas

Las gráficas de las funciones cuadráticas describen parábolas. En Matemáticas 3 se abordó la parábola como lugar geométrico, conociendo sus elementos. A continuación se visualizarán los elementos principales de la función cuadrática. f (x)

Eje de simetría

x

Raíces o ceros de la función

Vértice V(h,k) Cuando la función se iguala a cero, se produce una ecuación y los valores que la satisfacen se llaman raíces de la función.

180


Dependiendo del tipo de parábola (con ramas hacia abajo o ramas hacia arriba), el vértice es el punto mínimo o punto máximo, como se muestra a continuación. f (x)

Vértice V(h,k) Punto Máximo

f (x)

x x

Vértice V(h,k) Punto Mínimo Para observar cómo intervienen los parámetros en los cambios que sufre la gráfica, se tiene que reescribir la forma general de la función cuadrática a la forma estándar, la cual explicita el vértice y la abertura que tiene la parábola que describe. Forma general de la función cuadrática.

fx

ax 2

bx

c

fx

ax

h2

k

Forma estándar de la función cuadrática.

Donde h y k son las coordenadas del vértice. En los siguientes ejemplos se mostrará los cambios que sufre la gráfica de la función cuadrática. Ejemplo 1. Comparar las gráficas de las funciones f x g(x) con respecto a f(x).

x2 y g x

3x

22

4 , para determinar la transformación que sufre

Al tomar valores y evaluarlos en las funciones, las gráficas quedan de la siguiente forma:

fx

x2

gx f (x)

x −2 −1 0 1 2

f(x) 4 1 0 1 4

3x

22

4 g (x)

x

x 0 1 2 3 4

g(x) 8 −1 −4 −1 8

x

181 BLOQUE 3

Si la función f(x) se escribe en forma estándar, se tiene:

fx Al compararse con la forma f x

ax

h2

02

1 x

0

k , se puede deducir que: a 1

h 0 k

0

Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así: f (x)

a=1 x

Vértice V(h,k)=(0,0)

El coeficiente principal que es “a”, es el que determina la abertura de la parábola si se considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están una unidad hacia arriba. Si se realiza el mismo análisis para la función g(x), los parámetros se visualizan así:

gx Al compararse con la forma f x

ax

h2

3x

22

4

k , se puede deducir que: a 3

h 2 Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así:

k

4

g (x)

Como consecuencia de que el coeficiente principal “a” es positivo, la parábola se abre hacia arriba y se contrae, debido a que si considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están a tres unidades hacia arriba. x

a=3

182

Vértice V(h,k)=(2,−4)


y

x

Mueve la parábola 2 unidades a la derecha

gx

3x 2

2

4 Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo

Se contrae y se abre hacia arriba Ejemplo 2. 1

x 4 2 5 mediante los parámetros. 2 Analizando los parámetros, se deduce que:

Graficar la función h x

1

a

2 4

h k

5

Mueve la parábola 4 unidades a la izquierda hx

Se expande y se abre hacia abajo

1 x 2

42

5

Mueve la parábola 5 unidades hacia arriba

h(x)

El vértice tiene como coordenadas V 4, 5 , y a partir de él, recorriendo una unidad a la derecha y a la izquierda, se ubican los puntos de la parábola, media unidad hacia abajo, de este modo se traza la gráfica utilizando parámetros. x

183 BLOQUE 3

Ejemplo 3. Graficar la función p x

x2

6x

5 utilizando parámetros.

La función es completa y para utilizar los parámetros “a”, “h” y “k”, se debe factorizar el polinomio que la compone, esto se hace mediante el método de completar trinomio cuadrado perfecto, éste se vio en Matemáticas 3. Los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto son los siguientes. 1. Se asegura que el coeficiente principal sea 1, de no ser así, primero se tendría que extraer. En este caso no es necesario, porque el coeficiente principal es 1. 2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal.

3. Se expresa el binomio al cuadrado.

px

x2

6x

px

x2

6x

px

x2

6x

9

9

px

x2

6x

9

4

px

x

2

4

3

5

6

2

6

2

2

2

5

5

Mueve la parábola 3 unidades a la izquierda

px

x 32

4 Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo

Tiene la abertura normal y se abre hacia arriba p (x)

x

Ejemplo 4. Determinar si la función t x función.

2x 2

4x tiene un máximo o mínimo, encontrar el punto en cuestión y graficar la

Es una función mixta y se requiere expresar la forma estándar para poder determinar el vértice y hacia dónde se abre la parábola, aunque se puede adelantar que se abre hacia abajo, debido a que el coeficiente principal es negativo.

184


Para convertirla a la forma estándar se seguirán los siguientes pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto. 1. Se extrae el coeficiente principal.

2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal dentro del paréntesis.

3. Se expresa el binomio al cuadrado.

t x

2x 2

4x

t x

2 x2

2x

t x

2x

2

2x

12

t x

2 x2

2x

1

2

t x

2x

2

2x

1

2

t x

2 x 12

12 1

2

El vértice es el punto V 1, 2 y al ser el coeficiente principal −2, se abre hacia abajo, por lo tanto el vértice es el punto máximo de la función. t (x)

Mueve la parábola una unidad a la izquierda.

t x

2 x 12

2 Mueve la parábola 2 unidades hacia arriba.

Contrae a la parábola y se abre hacia abajo.

x

La intersección con el eje horizontal es otra información importante en las funciones, éstas se denominas raíces o ceros de la función, para encontrarlas la función debe valer cero, como se muestra a continuación.

t x 0

2x 2

4x

2

4x

2x

La ecuación se puede resolver mediante factorización o por la fórmula general (ver anexo B), para este caso se utilizará factorización, debido a que es más sencilla.

2x 2 2x 2x x

0 0

2 x 0 En la gráfica puedes ubicar estos dos resultados.

x

4x

0

2

0 x

2

0

x

2

x

2

185 BLOQUE 3

Las opciones que tienen las raíces de una función cuadráticas son tres: 1. Dos raíces reales, como en el ejemplo anterior, que es cuando la parábola corta al eje X en dos puntos. f (x)

x

2. Una raíz real, esto sucede en el caso que el vértice esté sobre el eje X. f (x)

x

3. Dos raíces imaginarias, sucede cuando la función no corta al eje X. f (x)

x

Sitios Web recomendados: Este sitio te mostrará el comportamiento de la gráfica de una función cuadrática de acuerdo a sus parámetros. http://intercentres.cult.gva.es/intercentres/03000679/paginas/departamentos/mat ematicas/transformacion_de_funciones.htm

186


Actividad: 5 Desarrolla lo que se pide. I. Expresa la función que describe cada una de las siguientes gráficas. 1) h(x)

x

2) Q (x)

x

3) L(x)

x

187 BLOQUE 3


Determina el punto máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones, además, encuentra las raíces y dibuja la gráfica correspondiente. 1) g x

2x

12 g (x)

x

2)

2

Wx

3

x

42 W (x)

x

3)

Jx

1 4

x

52

1 J (x)

x

188



4)

Fx

3x 2

9x F (x) x

5)

Hx

x2

6x

6 H(x)

x

189 BLOQUE 3


Lx

5x 2

20 x

23 L(x) x

Actividad: 5 Conceptual Reconoce los parámetros de las funciones cuadráticas para realizar su gráfica. Autoevaluación

190

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones cuadráticas utilizando parámetros. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad de utilizar parámetros para trazar la gráfica de una función cuadrática.



Cierre Actividad: 6 Resuelve los siguientes problemas. 1.

El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica.

¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?

2.

El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2.20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir “x” bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

3.

La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg. Calcular la función que da la dosis del medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño que pesa 7.5 kg?

191 BLOQUE 3


5.

Un hortelano posee 50 m de varilla para cercar una parcela rectangular de terreno contigua a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

Un delfín toma impulso para saltar encima de la superficie del mar siguiendo la función y=–x2+6x+12 donde “y” es la distancia al fondo del mar en metros y “x” el tiempo empleado en segundos. a) Calcula cuándo sale de la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

b) ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

6.

Antonio encuentra que si su compañía produce “x” artículos diarios, el costo está dado por la función

C x 420 0.8x 0.002 x 2 , ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?

7.

Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función h t 16 t 2 80t 45 . a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?

192


Actividad: 6 (continuación) b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio?

c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

d) Traza la gráfica de la altura de la pelota al transcurrir el tiempo.

4.

En una compañía, la utilidad mensual en miles de dólares, se expresa mediante la función

Ux 2x 2 24 x 37 , donde “x” representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden en un mes. a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la utilidad sea máxima?

b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?

c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?

Actividad: 6 Conceptual Reconoce la aplicación de las funciones lineales y cuadráticas. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica las funciones lineales y Aprecia la aplicabilidad de las cuadráticas en situaciones reales. funciones lineales y cudráticas. C MC NC Calificación otorgada por el docente

193 BLOQUE 3

Secuencia didáctica 2. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Inicio Actividad: 1 Responde las siguientes preguntas. 1.

¿Qué características tienen las funciones polinomiales de tercer grado?

2.

¿Cuál es su nombre común?

3.

¿Cómo reconoces a una función polinomial de grado cuatro?

4.

¿Cuál es su nombre común?

5.

¿Qué característica tiene el dominio y el rango en cada una de ellas?

6.

Bosqueja la gráfica de una función polinomial de grado tres y otra de grado cuatro, en planos cartesianos por separado.

Actividad: 1 Conceptual Identifica las funciones de grado tres y cuatro. Autoevaluación

194

Evaluación Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Determina las características de las Muestra interés al realizar la funciones de grado tres y cuatro. actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Desarrollo

Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Graficación mediante parámetros. Funciones de grado tres.

ax 3

La forma general de las funciones de grado tres (cúbicas) es f x

bx 2

cx

d , con a

0 ; en su forma

3

estándar se presenta como f x a x h k Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios que sufren los parámetros. En el primer bloque se graficó la función cúbica básica, la cual es:

fx x −2 −1 0 1 2

x3

f (x)

f(x) −8 −1 0 1 8

x

Al punto donde la función cambia de concavidad, se le llama punto de inflexión (P.I.), que en el caso de la función cúbica base, es el origen. Para graficar una función cúbica utilizando los parámetros de forma estándar, se siguen los siguientes pasos: 1. Encontrar y graficar el punto de inflexión: P.I.(h,k). 2. A partir del punto de inflexión se recorre una unidad a la derecha y si el parámetro “a” es positivo, se ubica el punto hacia arriba “a”, de no ser así, se ubica hacia abajo. 3. Ahora, a partir del punto de inflexión, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido contrario del punto que se colocó en el paso 2, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de inflexión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo “a” unidades y viceversa. 4. Se traza la gráfica de forma suave. A continuación se ejemplificará el procedimiento anterior. Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función f x 2 x 1 3 3 , utilizando parámetros. El punto de inflexión se extrae de la función cúbica, de la misma forma que se extrae el vértice de la función cuadrática.

fx

2 x 13

3

fx

ax

h3

k

195 BLOQUE 3

Por lo tanto, el punto de inflexión es P.I.(1, 3). Además, como el parámetro a=2, cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de inflexión, el segundo punto se ubicará dos unidades hacia arriba, como se muestra en la siguiente gráfica. f (x)

x

Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo una unidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, debido a que es en sentido contrario del segundo punto. f (x)

x

Para trazar la gráfica se parte del punto de inflexión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica de la siguiente forma. f (x)

x

196


Ejemplo 2. Bosqueja la gráfica de la función T x

1 2

x

43

5

El punto de inflexión es: P.I.(−4, −5). En este caso, a partir del punto de inflexión, el segundo punto se situará una unidad a la derecha y media unidad 1 hacia abajo, debido a que el parámetro a ; el tercer punto se situará una unidad a la izquierda y media unidad 2 hacia arriba. f (x) x

Ahora se traza la gráfica considerando que a la derecha del punto de inflexión la función es cóncava hacia abajo y que a la izquierda de éste, es cóncava hacia arriba. f (x) x

Sitios Web recomendados: Este sitio contiene un graficador en línea, el cual te ayudará a comprobar las gráficas de las funciones. http://fooplot.com/

197 BLOQUE 3

Funciones de grado cuatro. La forma general de las funciones de grado cuatro (cuárticas) es f x

ax 4

bx 3

cx 2

dx

e , con a

0 ; en su

forma estándar se presenta como f x a x h 4 k La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido. La función cuártica base es:

fx x −2 −1 0 1 2

f(x) 16 1 0 1 16

x4 f (x)

x

En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta . Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo. Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máximo o mínimo, esto dependerá del signo del parámetro “a”. f (x)

Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función f x 3 x 2 4 4 utilizando los parámetros. Como a=−3, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máximo es P h, k y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación.

3x

24

fx ax Por lo tanto, el punto máximo es P(−2, 4).

4

fx

h

4 k

x

El segundo punto se ubica una unidad a la derecha del máximo y tres unidades hacia abajo; el tercer punto se encuentra una unidad a la izquierda y de igual forma, tres unidades hacia abajo, como se muestra en la gráfica.

198


Actividad: 2 Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones, utilizando los parámetros. 1)

H(x) = x 3 +1 H(x)

x

2)

Rx

1 2

x

63

2 R(x)

x

3)

Lx

2x 3 L(x)

x

199 BLOQUE 3


1

Kx

4

x

54

3 K(x)

x

5)

Lx

x

44 L(x)

x

Actividad: 2 Conceptual Identifica los parámetros de las funciones de grado tres y cuatro, para trazar la gráfica. Autoevaluación

200

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones de grado tres y cuatro, mediante parámetros. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad del trazo de gráficas utilizando parámetros.



Graficación de funciones utilizando las raíces o ceros de la función. Trazar gráficas de funciones cúbicas y cuárticas en su forma estándar es sencillo, el problema se presenta cuando están en su forma general, entonces se podría graficar utilizando tablas de valores como se mostró en el primer bloque, aunque es más tardado y posiblemente no daría un panorama completo del comportamiento de la gráfica; para ello, en esta ocasión se abordará otra forma de bosquejar la gráfica de una función, utilizado las raíces de la función y analizando algunas características básicas de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro. En el siguiente ejemplo se visualizará la intención de este tema. Ejemplo 1. Bosquejar la gráfica de la función f x

x3

2x 2

3x , mediante las raíces de la función.

Como se vio anteriormente, las raíces de la función son precisamente cuando f x

x3

2x 2

3x

0 , es decir, cuando

0.

Para encontrar la solución a la ecuación cúbica anterior, se requiere de factorizar el polinomio, en este caso, mediante factor común.

x3

2x 2

xx x1

2

0

2x ó

3x

0

3

0

x

2

2x

3

0

Al separar los factores, se obtiene el primer resultado que se busca x 1=0, pero también, se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se requiere resolver utilizando la fórmula general o factorización, debido a su sencillez, se factorizará la ecuación.

x2 x x

3

2x 3 x

0

ó

3

0

1

0 x

1 0

x2 3 x3 1 Ahora, se requiere analizar algunas características de las funciones cúbicas para poder bosquejar su gráfica. 1. El coeficiente principal es a=1, por lo tanto, la mayor parte de su trayectoria es creciente, parte de 2. Es una función suave, sin ángulos en su trazo. 3. La función pasa por las raíces encontradas. Por lo tanto, el trazo quedaría más o menos de la siguiente forma.

a

.

Si se requiere mayor precisión en el trazo, se tiene que expresar una tabla de valores y la gráfica exacta, como se muestra a continuación: f (x)

x

201 BLOQUE 3

Ejemplo 2. Bosquejar la gráfica de una función de grado cuatro, cuyas raíces son x1 su coeficiente principal es negativo.

1, x2

1, x 3

2 y x4

3 , además,

Primero se colocan los puntos en el plano cartesiano, posteriormente se analiza las características de la función cuártica. 1. 2. 3. 4.

La función cuártica es suave. Su rango es un subconjunto de los números reales, es decir, no los abarca a todos. El coeficiente principal es negativo, por lo tanto, la función se extiende hacia por ambos extremos. Debido al número de raíces y a las tres características anteriores, la función puede tener uno o dos puntos máximos. A continuación se bosqueja la gráfica.

Sustituyendo puntos se tiene la gráfica con más detalle, como se muestra a continuación.

f (x)

x

En el ejemplo anterior se puede obtener las raíces a partir de la función, su proceso sería diferente al que hasta ahora has utilizado, debido a que de un inicio no se puede factorizar por factor común para simplificar su solución. Como antes se ha mencionado, el cero o raíz de una función es un valor “x” para el cual f(x)=0. Por ejemplo, el cero de la función f x x 4 es x=4, porque si se sustituye este valor en la función, ésta será igual a cero.

202


A continuación se estudiarán algunos teoremas que ayudarán a conocer los ceros de una función de forma más práctica.

Teorema del residuo y del factor. Se requiere conocer la división entre polinomios como:

x3 5x2 3x 2 entre x 2

x2 2x 8 entre x 1 Si se toma x2

8x3 27 entre 2x 3

2x 8 entre x 1 y se realiza el algoritmo de la división, ésta resultaría de la siguiente manera: Cociente Divisor

x 1

x

3

x2

2x 8

x

2

Dividendo

x 3x 8 3x 3

Residuo

5 El resultado se puede escribir como: x2

2x 8

5

x 3

x 1

x 1

El Teorema del Residuo se enuncia de la siguiente forma: Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x−r, donde “r” es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(r). Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir “a” en el polinomio. Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a continuación. Si se considera f x

x2 2x 8 y se evalúa en x=1, se obtiene:

fx

x2

f1

1

2

f1

1 2 8

2x 8 21

8

f1 5 Esto significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, porque el polinomio evaluado en x=1 resulta −5, como el residuo en la división. ¿Por qué es tan importante este teorema para encontrar las raíces o ceros de una función?, porque si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio. Lo anterior da origen al Teorema del Factor, el cual se enuncia a continuación. Si “r” es una raíz de f(x) =0, es decir f(r)=0, entonces x−r es un factor de f(x). Recordando la división anterior, x−1 no es un factor de x2

2x 8 , porque su residuo fue −5.

203 BLOQUE 3

Ahora se retomará el polinomio anterior, pero en esta ocasión se dividirá entre x−2, para comprobar si es factor del polinomio x2

2x 8 .

x x 2

x

4

2

2x 8

x2 2x 4x 8 4x 8 0 Como el resultado del residuo fue cero, entonces, x−2 es factor del polinomio x2 expresar como:

x 2 2x 8

x 2 x 4

En el caso de que el polinomio representara a la función f x función. Para comprobar se puede evaluar f 2 y f

fx

x

2

x2 2x 8 , x=2 y x=−4 representarían las raíces de la

4 .

2x 8 2

2x 8 , por lo tanto, éste se puede

x2

fx

2x 8

f

4

42

f

4

16 8 8

f2 0 f Ejemplo 1. Si las raíces de la función polinomial son −1, 1, −2, 3, determinar dicha función.

4

0

f2

2

22

f2

4 4 8

8

2

4

8

Basándose en el teorema del factor, con cada una de las raíces se forma el factor correspondiente, quedando de la siguiente manera: x1 1 , x 2 1, x 3 2 y x4 3 Por lo tanto, la ecuación que satisfacen es:

x 1 x 1 x 2 x 3

0

Multiplicando los factores queda:

x2 1 x2 x

4

x

3

x 6

7x

2

0

x 6

0

La función se expresa:

fx

x4

x3 7x2

x 6

Aunque éste no es el único resultado, porque la función obtenida se extiende infinitamente hacia arriba, otra forma de función que cumple con las raíces anteriores es:

fx

x4

x 3 7x 2

x 6

Ésta se pasa por las mismas raíces pero se extiende infinitamente hacia abajo. Para simplificar un poco el procedimiento de la división de polinomios, se puede utilizar otro método menos complicado, el cual es la división sintética, la cual es un proceso abreviado del algoritmo de división que se conoce hasta ahora.

204


División sintética. Para ilustrar el procedimiento de la división sintética, se utilizará un ejemplo haciendo hincapié en que esta división sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma x−r. Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini). Dividir x3 5x2 3x 2 entre x 2 Procedimiento

Ejemplo

x 3 5x 2

El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un término y otro del polinomio. A la derecha del último elemento del dividendo se escribe “r” con signo contrario separado, por una línea vertical.

1

5

3x 2

3

2

1

5

3

2

2

1

5

3

2

2

1

5

3

2

2

1 1

5

3

2

2

5

3

2

2

2

14 2

Se traza una línea horizontal que separa al segundo y tercer renglón.

El primer término del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón Después se multiplica el primer término del tercer renglón por el divisor y el producto resultante se escribe en el segundo renglón y en la columna dos.

2 1 1

Se suman los términos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor, poniéndose dicho resultado en la tercera columna. Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la última columna del divisor.

Los coeficientes que quedan en el tercer renglón, son los coeficientes del cociente, y el último elemento del tercer renglón es el residuo.

1

7

1

5

3

2

2

14

28

1

7 17

30

1

5

3

2

2

14

28

7 17

30

1 x x 3 5x 2

La división se puede escribir como se muestra.

2

x 3x 2

x 2

2

cte. residuo x 2 x 2 7 x 17

30

Ejemplo 1. Dividir la función f x

8x 3 27 entre 2x 3 , utilizando la división sintética.

8

8

0

0

27

12

18

27

12 18

0

3 2

205 BLOQUE 3

El cociente de esta división es 8x2 12 x 18 , entonces la función dada se puede expresar en términos de sus 3 factores como f x 2x 3 8x2 12 x 18 . x 8x 2 12 x 18 o bien f x 2 Ejemplo 2. Demostrar que completa.

x 1 y

x 3

2x 4

son factores de f x

x3 14 x2 5x 6 , además, escribir la factorización

Si x 1 es factor, entonces la raíz es 1 y el residuo de la división de f(x) entre x 1 es cero.

2 2

1

14

5

6

1

2

3

11

6

3

11

6

0

Con ello se ha comprobado que x 1 es factor. Ahora, si x 3 es factor, la división entre el polinomio resultante 2x3 3 x2 11 x 6 y x 3 debe tener residuo cero, para ello el divisor es −3.

2 2

3

11

6

6

9

6

3

2

0

3

El polinomio resultante es 2 x2 3 x 2 y se puede factorizar, quedando:

2x 2 3 x 2

2x 1 x 2

Por lo tanto, f(x) se puede expresar como la multiplicación de sus factores.

2x 4

fx fx

x 3 14 x 2

5x 6

x 1 x 3 2x 1 x 2

A partir de cada factor se obtienen las raíces.

x 3

x 1 0 x

x

1

2x 1 0

0 3

x

1

x 2

0

x

2

2

Actividad: 3 Realiza lo que se indica. I. Determina el cociente y el residuo de las divisiones, utilizando división sintética. 1)

206

fx

2x3 3x2 5x 7 entre x 2



II.

2)

fx

x 4 1 entre x 1

3)

fx

2x4 2x3 10 x2 11 x 10 entre x 3

4)

fx

x3

8 entre x 2

Comprueba los resultados anteriores, evaluando la función.

Actividad: 3 Conceptual Identifica las funciones especiales e inversas de una función. Autoevaluación

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Ejemplifica funciones y sus inversas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.


207 BLOQUE 3

Cuando se tiene información previa de las raíces de una función es sencillo comprobar si lo son o extraer las faltantes, pero cuando se desconocen, se debe recurrir a otros teoremas que ayudarán a calcularlas.

Teoremas sobre las raíces de una ecuación. Teorema fundamental del Álgebra. Toda ecuación polinomial de grado n 1 tiene al menos una raíz, real o compleja. Teorema. Todo polinomio de grado n 1 puede ser expresado como producto de n factores lineales. Por ejemplo:

x3 2x2 5x 6 se puede factorizar y expresarse como f x

fx gx

x

4

2x

3

4x

2

8 x puede expresarse como g x

x 3 x 1 x 2 .

x x 2 x 2i x 2i .

Teorema de las n raíces. Toda función polinomial f(x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces, siempre y cuando considere la multiplicidad de las raíces. Por ejemplo:

fx

x2 4x 4 tiene dos raíces iguales: 2, 2.

hx

x3 2x2 5x 6 tiene tres raíces: −2, 1, 3.

gx

x4 2x3 4x2 8 x tiene cuatro raíces: 0, 2, 2i, −2i, las dos primeras son reales y las otras dos son complejas.

Teorema de las raíces racionales. u Si el racional irreducible es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros, entonces “u” es un factor v del término independiente y v es un factor del coeficiente principal. En la siguiente tabla se visualizará el teorema anterior, utilizando las raíces de las funciones de los ejemplos anteriores.

Función

Coeficiente principal

Factores del coeficiente principal

Coeficiente del término independiente

Factores del término independiente

Probables raíces

1 fx

hx

208

x 2 4x 4

x 3 2x 2 5x 6

1

1

1

1

4

6

1,

2,

1, 3,

4

2, 6

1 2

1 4 1 1 1 2 1 3 1 6 1

Raíces

1

2

2 2

4 1 2 3

−2 1 3

6


1 1 2

1

1 3 1 6 fx

2x 4

x3 14 x2 5x 6

2

1,

2

1,

6

2, 6

3,

1 1 2 2 2 3 2 6 2

2 3 6

1 −3 1

2 2 1

3

Ejemplo 1. Encontrar las raíces de la función polinomial f x 4x 3 16 x 2 9x 36 . Basándose en el teorema anterior, las posibles raíces son los cocientes formados por los factores del término independiente entre los factores del coeficiente principal. Esto es: Los factores del término independiente 36, son: 1, 2, Los factores del coeficiente principal 4, son: 1, 2, 4 Las posibles raíces son:

1

1,

2

,

1 4

,

2,

3,

3 2

,

3,

3 4

,

4,

9,

4, 9,

12,

9 2

,

18,

9 4

36.

, 12 , 6 ,

18 , 36 .

Si se prueban las posibilidades con división sintética, se obtiene: Para x=1.

4 16

9

36

4

20

11

20

11

25

4

1

Como el residuo es diferente a cero, x=1 no es raíz de la función. Haciendo el mismo procedimiento, pero con x=−1, encontrarás que tampoco es raíz, se requiere ir sustituyendo una a una las posibles raíces. Ahora se sustituirá

3 2

.

4 16 6 4 Como el residuo es cero, x

3 2

22

9

36

3 2

33 36 24

0

es raíz de la función.

209 BLOQUE 3

El polinomio que resulta es 4x 2

22 x

0 , ahora se procede a factorizar el polinomio de segundo grado.

24 4x

2

22 x

24

4x

6 x

4

0

Por lo tanto, las raíces son:

4x

6

0

4x x 4x 3

16 x 2

x 6

4 x

6

3

4

2 3

0 4

3

, 4. 2 2 No es necesario seguir probando con los demás valores, ya que el teorema de las n raíces dice que si el grado de la función es 3, tiene 3 raíces. Por lo tanto, las raíces de f x

9x

36 son:

,

La gráfica que describe a la función es: f (x)

x

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tu aprendizaje. http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_5_comparacion.htm http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_7_ecuacion.htm http://tutormatematicas.com/ALG/Ecuaciones_polinomios_soluciones_ceros_rai ces.html

210


Cierre Actividad: 4 Realiza lo que se indica. 1. Encuentra todas las raíces reales, para que escribas la forma factorizada de las siguientes funciones polinomiales. a) f( x ) x 4

12 x 2

b) T( x ) x 3

x2

c) G( x )

x3

d) P( x ) x 4

64

10 x

5x 2

5x 2

8

2x 10

36

2. Encuentra todos los ceros (reales e imaginarios) de la función F( x )

6x 3

2x 2

6x 2 .

211 BLOQUE 3


Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la función f( x )

212

x3

5x 2

2x 10 .

4.

Bosqueja la gráfica de la función G( x ) x 3

x2

5.

Encontrar los ceros racionales e irracionales de la función: L( x )

6.

Expresa en factores lineales la función de tercer grado H( x ) x 3

6x , utilizando sus raíces.

2x

x2

3 x2

16 x

5x .

20 .



f(x) es una función de tercer grado cuya gráfica corta al eje X en −4, 0 y

3 2

, encuentra su

regla de correspondencia y bosqueja la gráfica.

8.

Se desea hacer una caja de cartón corrugado, la cual tenga forma rectangular de 20 cm por 10 cm, cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Encontrar las dimensiones de la caja sabiendo que el volumen es de 156 cm3.

9.

La caja de un trailer que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de 120 m3, si el ancho es x, el largo 3x+1 y la altura x+1 metros, ¿cuáles son sus dimensiones?

Actividad: 4 Conceptual Reconoce la aplicación de las funciones cúbicas y cuárticas. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica las funciones cúbicas y Aprecia la aplicabilidad de las cuárticas en situaciones reales. funciones cúbicas y cuárticas . C MC NC Calificación otorgada por el docente

213 BLOQUE 3

214


Emplea funciones racionales.


Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones racionales.




Secuencia didáctica 1. Funciones racionales. Inicio Actividad: 1 Después de analizar el ejemplo, en equipo, determina el dominio de las siguientes funciones.

Función

fx

fx

fx

fx

fx

fx

fx

f( x )

Ceros del denominador

2x x

3

2x

9

2

1

x

x x

3

2

9 4x 2

5x 4x

2

3x x

x

2

x 4x

3x

0

3

0

x

0

4x

3

0

x

Dom :

3

0,

4

3 4

2 8x

15

2 x

x2 x

3

3x

4x 2

3x 1

3x 2 x

4

12 x

6 2

64

Actividad: 1 Conceptual Reconoce el dominio de la función racional. Autoevaluación

216

Dominio

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Distingue el dominio de la función racional. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad y demostrar sus conocimientos previos.


EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

Desarrollo Concepto de función racional.

Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma: Px donde P x y Q x son funciones polinomiales sólo que Q x 0 . fx Qx A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se encuentra el dominio de algunas funciones racionales, además, se muestra la gráfica de cada una de ellas. Ejemplo 1.

fx

x2

x

1

2

x

1

x

El dominio de la función es el conjunto de los números reales, menos aquellos valores que indefinan la función, esto es, cuando x 2

x 1 0.

Para encontrar la solución de la ecuación, se puede utilizar la fórmula general.

a

1

b

1

c 1

4ac 12

1

x x

b2 2a

b

x

41 1

21 1

1 4 2

3 2 Con el resultado anterior, se concluye que no existen números reales que sean solución de la ecuación, por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales. Su gráfica se presenta a continuación. x

1

f (x)

x

Ejemplo 2. x 1 fx x 1 Ahora, el dominio de la función depende de la solución a la ecuación x 1 0 , y al despejarla se obtiene x El dominio de la función es: Dom: 1

1.

217 BLOQUE 4

La gráfica es: f (x)

x

Ejemplo 3. 24 x 6 fx 2 8x 62 x 75 Se requiere resolver la ecuación 8x 2

a

8

b

62

c

75

62 x

75

0 , lo cual se realiza mediante la fórmula general.

x x x x x x1 x2

El dominio de la función es: 3 25 Dom : , 2 4

b 62

b2 2a

4ac 62

2

4 8 75

28 62

3844 16

62

1444

16 62 38 16 62 38 16 62 38 16

2400

3 2 25 4

1.5 6.25

f (x)

La gráfica es: x

218


Ejemplo 4. 4 fx x En este caso el único valor en el cual se indefine la función es x

Dom :

0 , por lo que el dominio es:

0

La gráfica es: f (x)

x

Ejemplo 5.

fx

3 x

4

2

1

Ahora se tiene que resolver la ecuación x 4 2 , para ello sólo se requiere despejar.

42

x x

4

x

4

0 0 0

x 4 Por lo tanto, el dominio son todos los números reales menos el cuatro.

Dom:

4

f (x)

La gráfica es:

x

219 BLOQUE 4

Actividad: 2 Anota en las líneas el dominio de cada una de las gráficas y selecciona la función correspondiente, de la que se ofrece al final. y

y

y

x x

x

_________________________

__________________________

__________________________

Dom:____________________

Dom:_____________________

Dom:_____________________

y y

y

x

x

x

_________________________

__________________________

__________________________

Dom:____________________

Dom:_____________________

Dom:_____________________

hx

kx

1 x

gx

1 4

x2

1

Actividad: 2 Conceptual Identifica el dominio de la función racional. Autoevaluación

220

Qx

4 x

2

x2

Vx

1 x 2x

fx

3

1 x 1 1 5 x2

Evaluación Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Selecciona la gráfica de funciones Aprecia la utilidad del dominio en racionales de acuerdo a su la identificación de gráficas. dominio. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Función racional reducible. Dentro de las funciones racionales se encuentran las que son reducibles, es decir, aquellas que tienen factores iguales en el numerador y denominador, de tal manera que se pueden eliminar y mostrar la función simplificada. Para reducir las funciones racionales, se recurre a la factorización, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. x2 4 fx x 2 Es esencial determinar primero el dominio de la función, la cual parte de encontrar los ceros del denominador, el cual, en este caso se convierte en cero cuando x=−2, por lo tanto, el dominio es:

Dom:

2

Observando la función, se deduce que el denominador es una diferencia de cuadrados, y se factoriza mediante binomios conjugados. A continuación se muestra la forma en que se reduce la función. fx

x2 4 x 2

x

2 x 2 x 2

x

2

Por lo tanto, la función queda:

fx

x

2

con x

2

La función reducida es una recta con pendiente uno y ordenada en el origen −2, su gráfica se muestra a continuación. Se debe dibujar un “punto hueco” en las coordenadas (2, −4), ya que en ese punto se indefine la función racional. f (x)

x

221 BLOQUE 4

Ejemplo 2.

gx

x3

4x

x El dominio de la función es: Dom :

0

El denominador se puede factorizar por factor común, de la siguiente manera:

x3

gx

x x2 4 x

4x x

x2

4


x2

gx

4

con x

0

La función reducida es una parábola con vértice en (0, 4), sólo que al dibujar el punto correspondiente a éste, debe ser un “punto hueco”, porque es donde la función se indefine. g (x)

x

Ejemplo 3.

hx

x3

8

x 2 El dominio de la función es:

Dom:

2

El denominador se puede factorizar por diferencia de cubos como se muestra a continuación:

hx

x3 8 x 2

x 2 x 2 2x 4 2 x 2x 4 x 2


hx

x2

2x

4

con x

2

Completando el trinomio cuadrado perfecto en la función cuadrática anterior, se obtiene el vértice.

222


hx

x2

2x

4

hx

x2

2x

12

x

2

hx

1

12

4

3

La parábola que describe tiene su vértice en el punto (−1, 3 ) y se abre hacia arriba, también tiene un “punto hueco” en x=2; para encontrar la altura, el valor donde se indefine se sustituye en la función reducida.

h2

22

22

4 12

Por lo tanto, el “punto hueco” tiene coordenadas (2, 12) y su gráfica queda: h(x)

x

Sitios Web recomendados: En este sitio encontrarás ejercicios concernientes a la función racional. http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionesracionales.htm http://www.x.edu.uy/racional.htm

Actividad: 3 En equipo, reduce las siguientes funciones racionales. 1)

fx

x3

x2 x

2

4x

4

4

223 BLOQUE 4


3)

gx

4)

px

5)

mx

6)

kx

2x 4

2x 4

Tx

4x

8x 2 8

4x

4x

2x

4

x

2

x2

6x x2

2x 4

8 4

7x 3 2x

2

4x 2 3x

4x

2

Actividad: 3 Conceptual Identifica el método de factorización para reducir una función racional. Coevaluación

224

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Establece la función reducida de una función racional. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Respeta la opinión de sus compañeros y colabora de forma activa en el equipo.



Cierre Actividad: 4 Las gráficas corresponden a las funciones descritas en la actividad anterior. Escribe debajo de cada una de ellas la función racional, la función reducida, el dominio y rango. y

y

y

x x

x

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

Dom: Rango:

Dom: Rango:

Dom: Rango:

y

y

y

x

x

x

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

Dom: Rango:

Dom: Rango:

Dom: Rango:

Actividad: 4 Conceptual Identifica la gráfica de una función racional, su dominio y rango. Autoevaluación

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Distingue la gráfica de la función racional, su dominio y rango. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad con entusiasmo.


225 BLOQUE 4

Secuencia didáctica 2. Gráficas de funciones racionales. Inicio Actividad: 1 Resuelve las siguientes ecuaciones.

x4

1)

2)

2x 2

x 15

3)

2x 4

7x 3

4)

4x 2

x

2x 3

0

0

2x 2

13x

6

0

9 0

Actividad: 1 Conceptual Identifica el método para resolver ecuaciones polinomiales. Autoevaluación

226

x2

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica diferentes métodos de Muestra interés al realizar la solución de ecuaciones actividad. polinomiales. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Desarrollo

Para graficar una función racional, se requiere sustituir valores alrededor de las indefiniciones (valores de “x” donde el denominador es cero) y valores extremos (muy grandes y muy pequeños).

x 1 , tiene su indefinición en x=3, por lo que se requiere sustituir valores muy x 3 cercanos a 3, también es necesario sustituir valores muy grandes y pequeños, como se muestra en las siguientes tablas. Por ejemplo, en la función f x

x

fx

x 1 x

3

x 1

fx

x

x

3

x

x 1

fx

x

2

-1

-30

0.94

14

1.18

2.5

-3

-28

0.94

16

1.15

2.9

-19

-26

0.93

18

1.13

2.99

-199

-24

0.93

20

1.12

3

indefinición

-22

0.92

22

1.11

3.01

201

-20

0.91

24

1.10

3.1

21

-18

0.90

26

1.09

3.5

5

-16

0.89

28

1.08

4

3

-14

0.88

30

1.07

3

Con las tablas se puede concluir que: 1. En la primera se observa que para valores muy cercanos a x=3 por la izquierda, la función tiende a cuando se sustituyen valores muy cercanos a x=3 por la derecha, la función tiende a . 2. En la segunda tabla se observa que para valores muy pequeños la función se acerca a 1. 3. En la tercera tabla se observa que para valores muy grandes, la función se acerca a 1.

; y

Analizando la función se pueden obtener otros datos que ayudan a visualizar la gráfica, por ejemplo: 1. Si se sustituye la función en x=3, no se obtiene valor alguno en la función.

3 1

2

3 3 Si se realiza el cociente de la función, se tiene:

0

f3

2.

no está definido

1 x 1 x 3

x 3

2 Se puede expresar como:

x 1

fx fx Al sustituirse valores muy grandes o muy pequeños

x 1

2 x

3

3 2 x

3

se aproxima a cero y la función se acerca a 1.

227 BLOQUE 4

Estos dos análisis coinciden, por lo tanto, se puede trazar dos rectas auxiliares que acoten estos comportamientos, a estas rectas se les conoce como asíntotas. f (x)

x f (x)

Graficando algunos de los puntos se puede orientar la forma de la función. x

Su gráfica queda de la siguiente manera.

f (x)

x

Para bosquejar la gráfica de una función racional, se requiere conocer dónde están situadas las rectas asíntotas, es por ello que se debe diferenciar los tipos de asíntotas.

228


Asíntotas de funciones racionales. Una recta es asíntota de una curva (la función racional) si la distancia entre un punto sobre la curva y la recta se aproxima a cero a medida que el punto se aleja del origen de coordenadas. En otras palabras, las asíntotas son líneas que nunca tocan a la función pero se encuentran muy cercanas a ella. Asíntotas verticales. Son las rectas auxiliares que son paralelas al eje Y, como se muestra en la siguiente gráfica. f (x)

Asíntota vertical x

La función que describe la gráfica anterior es f x

1

4 y su indefinición es cuando x=3, la cual la x 32 representa precisamente la asíntota vertical, por lo tanto, las asíntotas verticales son las indefiniciones que puede tener una función. La ecuación de la recta es x−3=0. Asíntotas horizontales. Éstas son las rectas auxiliares paralelas al eje X. Utilizando la función anterior para determinar las asíntotas horizontales se observa la posición de la misma. f (x)

Asíntota horizontal x

229 BLOQUE 4

Para conocer la posición de la asíntota horizontal, es necesario sustituir valores extremos, es decir, muy grandes o pequeños. Analizando la función, para valores que se acercan a infinito, se deduce lo siguiente: 1 fx 4 x 32 1 El término cuando “x” se acerca o tiende a , se aproxima a cero, dado que el numerador es 1 y el x 32 denominador cada vez es más grande, por lo tanto, el valor de la función cuando x (“x” tiende a ) es −4, por lo que la ecuación de la asíntota horizontal es: f x 4

ó y y

4

4 0

Ahora, si se quiere conocer las asíntotas horizontales de una función de la cual no es tan sencillo visualizar su comportamiento en valores extremos, se tendrá que aplicar el algoritmo de la división y expresar en forma de factores y residuo, como se muestra a continuación. Ejemplo1. Expresar la ecuación de la asíntota horizontal de la función f x

x

x

3 x

.

1 x 3 x 0

3

Por lo tanto, la función se puede expresar como:

fx fx

x

3 x

1

3 x

Así que cuando x , la función se acerca a 1, por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal es:

fx

f (x)

1

ó y 1 y 1 0 Si se desea visualizar la gráfica, también se considerará la asíntota vertical, la cual es cuando se indefine la función, y esto es, cuando x=0.

230

x


Asíntotas oblicuas. Son rectas auxiliares inclinadas y éstas se generan en funciones racionales donde el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador. En este caso, al realizar el algoritmo de la división, se obtiene como cociente una recta, esto se verificará con el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.

x3

Determinar la ecuación de la asíntota de la función f x

4 2

x

.

Al realizar el algoritmo de la división se obtiene:

x x

2

x3 4 x3 0

4

La función se expresa así:

fx

Cuando x

la parte de la función

4 x2

4

x

x2

se aproxima a cero, por lo tanto, la función se convierte en:

fx

x ó

y

x

La asíntota oblicua es la función identidad. También tiene una asíntota vertical, cuando x=0, porque es cuando se indefine la función, por lo tanto, su gráfica queda de la siguiente forma: f (x)

x

Utiliza un graficador para que compruebes todas las funciones racionales que se han graficado en este bloque.

231 BLOQUE 4

En resumen, si f(x) es una función racional, se puede decir que: 1. La función f(x) tiene asíntotas verticales en los ceros del denominador. 2. La función f(x) tiene asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual al grado del denominador. 3. La función f(x) tiene asíntotas oblicuas, si el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador.

Actividad: 2 Resuelve lo que se pide. I. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de cada una de las funciones y bosqueja la gráfica correspondiente.

232

1)

fx

2)

g( x )

3)

kx

6x 2

14

x

x 3 2x 2 x

2

x

1

3x 2 2x 2

1



p( x )

5)

t( x )

II.

x2 x

x2

1

3x

1

x 1

Escribe la ecuación de una función racional que tenga como asíntota oblicua a la recta y además pase por el punto (1,3).

Actividad: 2 Conceptual Indica las asíntotas de una función racional.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Obtiene las asíntotas para bosquejar la gráfica de una función racional. C

MC

NC

x

2 y que

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de las asíntotas para bosquejar las gráficas de las funciones racionales.


233 BLOQUE 4

Al igual que todas las funciones que se han abordado en este bloque, la función racional tiene aplicaciones importantes en situaciones reales, como el ejemplo que sigue: Ejemplo 1. Una compañía encontró que la demanda del artículo que vende varía en forma inversamente proporcional al precio del mismo. Cuando el precio del artículo es de $2.25, la demanda es de 300 unidades. Expresa la función que describe la demanda del producto dependiendo del precio del artículo. Si “D” representa la demanda del artículo y “p” se identifica como el precio, entonces, se tiene la siguiente relación.

D

k p

Donde “k” es la constante de proporcionalidad y para encontrar su valor se sustituyen los datos que proporciona el problema, es decir, la demanda y el precio quedando como sigue: k 300 2.25 Despejando “k” se tiene:

k k

300 2.25 675

La función una vez sustituida la constante queda:

Dp

675 p

La gráfica que representa la demanda se muestra a continuación. D (p )

p

234


Cierre Actividad: 3 Resuelve lo que se indica. 1.

El volumen de una solución varía inversamente con su concentración. Un milímetro de una solución tiene una concentración de 40 mg por litro de nitrato de plata. a) Encuentra el valor de la constante de proporcionalidad.

b) Expresa el volumen en función de la concentración de nitrato de plata.

c) ¿Cuál es el volumen de la solución cuando la concentración es de 65 mg por litro de nitrato de plata?

2.

Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos cuando empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de hiperactividad. Si se x supone que la función racional f( x ) , representa el porcentaje de estas sustancias en una persona, 2 x 1 durante una etapa de su enamoramiento, donde “x” representa el número de meses: a) Utiliza una tabla de valores para que traces la gráfica.

235 BLOQUE 4

Actividad: 3 (continuación) b) ¿Cuál es la cantidad global de estas substancias presentes a los cinco meses?

c) Según este modelo, ¿en cuánto tiempo se alcanza la máxima producción y cuál es ésta?

d) ¿Qué tipo de asíntotas tiene la función?

3.

236

Para realizar una construcción en una fábrica, cinco obreros la terminan en tres días, Si el tiempo en el que realizan la construcción es inversamente proporcional al número de obreros (considerando que todos trabajan al mismo ritmo), determina lo siguiente: a) Encuentra la constante de proporcionalidad.

b)

Expresa la función del trabajo realizado, en términos del número de obreros.

c)

¿En cuánto tiempo terminarán la misma construcción 7 obreros?



Una lancha demora 0.5 horas en atravesar un lago con una rapidez promedio de 40 Km/h, ¿qué rapidez promedio necesita la lancha para regresar en 0.2 horas?

5.

Para llenar un estanque con una sola llave de agua se requieren 12 horas, ¿Cuántas llaves del mismo tipo que la primera se requieren para llenar el estanque en 3 horas?

6.

El valor de un automóvil se deprecia en proporción inversa a su antigüedad. Si un sedan valía $50,000 cuando tenía 3 años. a) Encuentra la constante de proporcionalidad.

237 BLOQUE 4

Actividad: 3 (continuación) b) Expresa el valor de un automóvil en función de su antigüedad.

c) ¿Cuánto tenga 10 años, cuál será su valor?

7.

Si se mantiene fija el área de un terreno rectangular, el largo es inversamente proporcional a su ancho. Si el ancho del terreno es de 12 m y su largo es de 20 m. a) Expresa el ancho en función del largo.

b) Si el largo aumenta 16 metros, ¿cuánto mide el ancho?

Actividad: 3 Conceptual Reconoce la aplicación de las funciones racionales. Autoevaluación

238

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica las funciones racionales en Aprecia la aplicabilidad de las situaciones reales. funciones racionales. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Utiliza funciones exponenciales y logarítmicas.


Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos exponenciales y logarítmicos aplicando las propiedades de crecimiento y decrecimiento propias de estas funciones, para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos, de su vida cotidiana o escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones exponenciales y logarítmicas.




Secuencia didáctica 1. Funciones exponenciales. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide, en relación con la siguiente expresión y=2 x . 1.

¿Cuál es su significado?

2.

Calcula los valores correspondientes de “y” para x =2, 3, 4, 20, 0,−1, −2, −3, 1/2, 1/4, 3/4, −1/3.

3.

¿Es posible encontrar algún valor de “x” para el cual y

4.

¿Es posible encontrar algún valor de “x” para el cual “y” sea igual a 40?

5.

¿Puede representarse gráficamente la expresión? Justifica tu respuesta.

6.

¿Es posible encontrar valores de x que hagan que “y” resulte mayor que 40, que 400, que 4000? Explica tu respuesta.

7.

¿Conoces un fenómeno o situación que se pueda representar mediante esta función? Descríbelo.

Actividad: 1 Conceptual Reconoce algunas características de las funciones exponenciales. Autoevaluación

240

2 x resulte negativa? Justifica tu respuesta.

Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental Deduce algunas características de las funciones exponenciales. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad y mostrar sus conocimientos previos.


UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Desarrollo La aparición de las funciones exponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y el decrecimiento de poblaciones humanas, con colonias de bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina y la química, entre otras disciplinas. Un ejemplo de la aplicación de las funciones exponenciales se presenta en la división celular que tiene lugar en el vientre materno, cuando se gesta un ser humano. El núcleo del espermatozoide de un hombre se fusiona con el óvulo de la mujer dando origen a una célula llamada cigoto, la cual se divide en dos células y luego en cuatro, posteriormente en ocho y así sucesivamente continúa desarrollándose hasta el nacimiento de un nuevo ser humano; por otro lado, también el crecimiento bacteriológico presenta crecimiento exponencial. Otro ejemplo se encuentra en la forma en que se reproduce la marea roja, la cual la forma billones de protozoos que se multiplican a gran velocidad, afectando con ello a muchas especies marinas.

Concepto de función exponencial. La función exponencial es una función trascendente cuya forma es:

fx

bx

donde a “b” se le denomina base y es una constante positiva diferente de 1, y a la variable “x” se le denomina exponente. En la definición anterior, el coeficiente principal es uno, así que generalizando la definición se tiene:

fx

Ab x

donde el coeficiente A representa la condición inicial, esto es porque cuando x=0 se tiene:

f0

Ab 0

f0

A1

f0 A La definición de la función exponencial exige que la base siempre sea positiva y diferente de uno, porque en el caso contrario, al tener como base 1, se obtendría la función constante igual al coeficiente, como se muestra a continuación. fx

Ab x

fx

A1x

fx A Si la base fuese negativa, se tendrían valores sin sentido en los números reales, como el siguiente. 9

1 2

9 no existe en los números reales

La función exponencial f x b x presenta las siguientes características: 1. Su dominio son todos los números reales. 2. En todos los casos la función pasa por el punto (0, 1). 3. Los valores de la función siempre son positivos para cualquier valor de “x”. 4. Siempre es creciente si b>1, y siempre es decreciente si 0<1. 5. El eje X se convierte en una asíntota.

241 BLOQUE 5

Para visualizar todo lo anterior, en el mismo plano cartesiano, se grafica algunas funciones exponenciales. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f x 2x 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16

f x 3x 0.0123 0.0370 0.1111 0.3333 1 3 9 27 81

f x 4x 0.0039 0.0156 0.0625 0.25 1 4 16 64 256

4x

f x 5x

f x

f x

f x 4x 0.0016 0.008 0.04 0.2 1 5 25 125 625

f x 6x 0.0008 0.0046 0.0278 0.1667 1 6 36 216 1296

3x

f x

f (x)

2x

f x

6x

x

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

242

f x

1

2

16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

x

f x

1

3

81 27 9 3 1 0.3333 0.1111 0.0370 0.0123

x

f x

1

4

256 64 16 4 1 0.25 0.0625 0.0156 0.0039

x

f x

1

5

625 125 25 5 1 0.2 0.04 0.008 0.0016

x

f x

1

6

x

1296 216 36 6 1 0.1666 0.0277 0.0046 0.0007


1

f x

4

x

f (x)

f x 1

f x

3

f x

1

f x

1

5

x

x

f x f x

1

2

2

1

6

x

x

x

2x

x

Actividad: 2 Desarrolla lo que se pide. I.

Utiliza la calculadora para completar la tabla; con los valores obtenidos en ella, traza la gráfica de las funciones, determina su dominio y rango. x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f x

2 x

f (x)

x

243 BLOQUE 5

Actividad: 2 (continuación) x

f x

2

5

x

f (x)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

x

x

f x

2x

1

f (x)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

244

x

f x

3x

2

f (x)

x



Resuelve las siguientes ecuaciones (utiliza la calculadora para que verifiques los resultados). 1)

2x

1

2)

3)

32

2

4

x

x

4

64

Actividad: 2 Conceptual Escribe los valores que pertenecen a la gráfica de funciones exponenciales. Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Dibuja la gráfica de funciones exponenciales. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de la calculadora para encontrar valores de funciones exponenciales.


Variación exponencial. El siguiente ejemplo se puede modelar a través de una función exponencial. Ejemplo 1. Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad que queda en el cuerpo se disminuye el 80 % cada hora. Para que el fármaco haga efecto en el cuerpo, debe haber por lo menos 2 mg del mismo. Determinar cuándo quedan sólo 2 mg. Con una tabla se puede visualizar la función, al ir presentando algunos datos que cumplen con el comportamiento del medicamento en el cuerpo. Tiempo transcurrido (hrs) Cantidad de medicamento (mg)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10

8

6.4

5.12

4.096

3.2768

2.62144

2.09715

1.67772

245 BLOQUE 5

Para obtener las cantidades anteriores se realizaron las siguientes operaciones. Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantidad de medicamento 10 10(0.80)=8 10(0.80)(0.80)=6.4 10(0.80)(0.80)(0.80)=5.12 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=4.096 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=3.2768 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=2.62144 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=2.09715 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=1.67772

Por lo tanto, la cantidad de medicamento en el cuerpo al transcurrir el tiempo se puede expresar como:

C t 10 0.8 t Según los datos obtenidos, cuando han transcurrido 7 horas se acerca a la cantidad de 2 mg en el cuerpo, es por ello que la dosis para la istración de este medicamento tiene que ser 10 mg cada 7 horas. Para encontrar el tiempo exacto en el cual el cuerpo se tendrán 2 mg del medicamento en el cuerpo, se requiere conocer la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, la cual se explicará al finalizar de este bloque. Factor y tasa de crecimiento. El factor de crecimiento es el factor constante por el cual se multiplica cada valor en un patrón de crecimiento exponencial, para obtener el siguiente valor. El factor de crecimiento es la base en una ecuación exponencial; por ejemplo, en el problema anterior, el factor de crecimiento es 0.8, debido a que es el valor que se multiplica tantas veces como el tiempo transcurre. Ahora, se presentará el siguiente ejemplo para obtener la tasa de crecimiento. Ejemplo 1. En un salón de clases, un alumno se enferma de gripe y contagia a cuatro de sus compañeros en una semana. A la siguiente semana hay 16 contagiados en cinco salones. A las tres semanas, el virus lo tienen 64 personas de la escuela. En cuatro semanas ¿cuántas personas se habrán contagiado de gripe? Para obtener el modelo del problema se presentan los siguientes valores. Tiempo (semana) Número de personas contagiados

0

1

2

3

4

1

4

16

64

256

Al dividir dos resultados consecutivos, siempre da como resultado 4, es por ello que el factor de crecimiento es 4, por lo tanto, la función que modela esta situación es:

Nt

4t

En cuatro semanas se tendrán 256 contagiados.

N4

44

256

Una tasa se identifica como un porcentaje de aumento o disminución de un valor inicial y se puede expresar como un porcentaje. El término “tasa” es comúnmente utilizado en matemáticas financieras, en el cálculo del interés compuesto.

246


La tasa de crecimiento se deduce mediante la siguiente fórmula:

Tasa de crecimient o

Valor final del periodo

Valor inicial del periodo

Valor inicial del periodo

La razón de crecimiento =Tasa de crecimiento x 100%. Si se considera el ejemplo anterior para encontrar la tasa de crecimiento, tomando en cuenta los dos primeros valores, se obtiene: 4 1 Tasa de crecimient o 3 1 Si se desea generalizar, se considera la función f x

Ab x , de la cual, tomando los dos primeros valores, se obtiene:

Tasa de crecimient o

Ab 1

Ab 0

Ab 0 Ab A A Ab 1

A b 1 Por lo tanto, se concluye que si la tasa de crecimiento se denota como r, ésta se puede expresar como: r

b 1

También se puede visualizar la base como:

b 1 r De la misma forma se puede determinar la tasa de decrecimiento, la cual es: b 1 r En ambos casos el crecimiento se da por periodos de tiempo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Si el valor de un objeto está dado por V t 600 1.10 t , calcular: a) La tasa de crecimiento. b) El valor del objeto al cabo de un año. En la función se reconoce la base, la cual es b=1.10, por lo tanto, la tasa de crecimiento es:

r 1.10 1 r

0.10

La tasa de crecimiento es 0.10, es decir, el valor del objeto crece a razón del 10%. En cuanto al valor al transcurrir un año, éste se obtiene al sustituir t=1 en la función.

V 1 600 1.10 1 V 1 660 El valor del objeto es $660 al transcurrir un año.

247 BLOQUE 5

Actividad: 3 Desarrolla lo que se pide. 1. Escribe una función exponencial, cuyo valor inicial es igual a 24 y el factor de crecimiento es igual a 3.

2.

Si la tasa de crecimiento de una función exponencial es igual a 0.15, entonces el factor de crecimiento es igual a:____________

3.

Si se invierten $25,000 en una cuenta bancaria, al 20% de interés anual durante tres años, ¿cuál es el monto que se genera en ese periodo?

4.

Un niño deposita $500 en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa de 6% compuesto anual capitalizado semanalmente. ¿Cuánto tendrá en la cuenta después de un año?

5.

El precio de un automóvil nuevo se incrementa cada año en 12.7%. Si actualmente un automóvil cuesta $135 000: a) Escribe una función mediante la cual obtengas el precio del automóvil como función del número “t” de años transcurridos.

b) ¿Cuánto costará un auto último modelo dentro de 6 años?

6.

Se sabe que el organismo elimina la nicotina a una razón de 40% cada hora. Una persona que fuma un cigarro, después de 2 horas tiene en su cuerpo 5 mg de nicotina. a) Escribe una función que dé la cantidad de nicotina en función del número t de horas después de haber fumado un cigarro.

b) ¿Cuánta nicotina tiene en su cuerpo esa persona después de 3 horas?

248


Actividad: 3 Conceptual Identifica la tasa y factor de crecimiento para dar solución a problemas reales.

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la función exponencial para resolver problemas de la vida real. C

Autoevaluación

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores.


El número e. Caracterización e importancia. Al igual que 3 y , el número “e” es un número irracional. Su descubrimiento se le atribuye a Leonhard Euler, quien en su artículo “Introductio in Analysin Infinitourm” en 1748, demostró que:

e 1

1

1

1

1!

2!

3!

..... 1

1

1

1

1

2

6

24

120

....

Dando como resultado aproximado e = 2.718281828…, el cual se puede obtener con una calculadora científica. Observa con cuidado las siguientes figuras para que localices dónde se ubica la función e. Notarás que se encuentra de color amarillo, lo cual significa que para activarla tienes que oprimir primero la tecla “Shift”. Prueba con e1 para que compruebes el valor del número de Euler.

El número “e” se emplea como base de los logaritmos naturales y es importante, porque participa en muchas situaciones que modelan planteamientos de tipo exponencial. Ejemplos: 1) En ocasiones, los psicólogos utilizan la función L t A 1 e kt , para medir el nivel de aprendizaje en un determinado tiempo “t”, donde L(t) es la cantidad aprendida en el tiempo t; A es la cantidad por aprender; y k es el nivel de aprendizaje. 2) La expresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente es T t Mo (e rt ) donde M0 es el monto inicial, T(t) es el monto a pagar transcurrido el tiempo “t”; r es la tasa de interés compuesto y “e” es el rendimiento sobre una inversión durante “t” años, a una tasa de interés de 100% compuesto continuamente. Función exponencial natural. La función exponencial natural es aquella que tiene como base el número “e” y se representa mediante la función: fx

A ek x

Si k>0, la función es creciente y si k<0, la función es decreciente. En finanzas, cuando una cierta cantidad de dinero (C0) se capitaliza continuamente, se emplea la función exponencial natural para determinar el monto total (C), al cabo de un cierto tiempo (t) con una tasa de interés (r). La expresión queda como sigue:

Ct

C0er t 249

BLOQUE 5

Ejemplo 1 Si son invertidos $1000 a una tasa anual del 7% capitalizado continuamente, ¿cuál será el monto al final de 3 años? Se sustituye la función continua de capitalización continua.

Ct

C0er t

Donde: C0=1000 r=0.07 t=3 Se tiene como resultado:

Ct

C0er t

C3

1000 e

C3

1233 .68

0.07 3

Al cabo de tres años, se tiene un capital de $1233.68. En la siguiente tabla se concentran las fórmulas explicadas anteriormente. Forma aplicada para comportamiento de decrecimiento

Forma general

Función exponencial

fx

Ab x

Función exponencial natural

fx

A ek x

Pt

Forma aplicada para comportamiento de crecimiento

P0 1 r t

Pt

P0 1 r t

Pt

P0 e r t

Pt

P0 e r t

Condiciones P: Valor final. P0: Valor inicial. r: tasa de crecimiento o decrecimiento por periodos. t: tiempo transcurrido. P: Valor final. P0: Valor inicial. r: tasa de crecimiento o decrecimiento continuo. t: tiempo transcurrido.

Ejemplo 2. Un banco paga 8% anual de interés, si se deposita la cantidad de $25 000, calcular: a) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza anualmente? b) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza continuamente? En este caso se presentan los dos tipos de funciones; en el inciso a) se utiliza la función con crecimiento por periodo, y en el inciso b) el crecimiento es continuo. Para dar respuesta al inciso a) se utiliza la fórmula C t C es el capital final. C0=25,000 r=0.08 t=10

C 0 1 r t , donde: Ct

C0 1 r

t

C 10

25,000 1 0.08

C 10

53,973 .12

10

Al final de 10 años, habrá $53,973.12 en el banco.

250


Para darle respuesta al inciso b) se utiliza la fórmula C t

C 0 e r t , donde:

C es el capital final. C0=25,000 r=0.08 t=10

Ct

C0ert 0.08 10

C 10

25,000 e

C 10

55,638 .52

Al final de 10 años, el monto total será de habrá $55,638.52 en el banco. Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples aplicaciones de la función exponencial y logarítmica. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bac h/naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/expo-logaplicac.pdf http://bc.inter.edu/facultad/NTORO/expow.htm

Cierre Actividad: 4 Plantea y resuelve los siguientes problemas, utilizando la función correspondiente. 1.

Una población crece a razón de 6% anual; si actualmente hay 3750 habitantes: a) Escribe la función de la cantidad de habitantes al transcurrir los años. b) ¿Cuántos habitantes habrá después de 5 años?

2.

La masa de una sustancia radiactiva se desintegra en 1.17% cada hora; si inicialmente hay 26.57 Kg. de esta sustancia: a) Escribe la función de la masa de la sustancia al transcurrir las horas. b) ¿Qué cantidad de sustancia habrá después de una semana?

251 BLOQUE 5

Actividad: 4 (continuación) 3. Una colonia de roedores crece a razón de 7% mensual; si actualmente hay 798 roedores: a) Escribe la función de la cantidad de roedores al transcurrir los meses. b) ¿Cuántos roedores habrá después de 20 meses?

4.

Una enfermedad contagiosa se propaga en 2.5% mensual, si inicialmente hay 67 enfermos: a) Escribe la función de la cantidad de enfermos al transcurrir los meses. b) ¿Cuántos enfermos habrá después de un año?

5.

Un banco paga un interés de 11% anual, si se desea tener $250,000 dentro de 3 años: a) ¿Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es continua? b) ¿Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es anual?

6.

Se sabe que el número de bacterias crece en forma exponencial diariamente de acuerdo con la función

P t P0 1.3 t , si actualmente hay 127,000: a) ¿Cuántas bacterias habrá dentro de 6 días? b) ¿Cuántas bacterias habrás dentro de 9 días?

252



Se sabe que el número de ratones de una colonia crece en forma exponencial anualmente, de acuerdo con la función P t P0 1.2 t , si actualmente hay 25,700 ratones: a) ¿Cuántos ratones habrá dentro de año y medio? b) ¿Cuántos ratones habrá dentro de 4 años?

8.

El uranio se desintegra de acuerdo con la función exponencial M t M0 0.7 t , donde “t” se mide en horas, si inicialmente hay 200 gramos de uranio, ¿qué cantidad de uranio habrá después de 6 horas?

9.

Las células cancerosas de un tumor crecen en forma exponencial diariamente de acuerdo con la función

P t P0 1.35 t . Cuando se descubre este tumor se calcula que hay 235,000 células cancerosas. a) ¿Cuántas células cancerosas habrá después de 3 días? b) ¿Cuántas células cancerosas habrá después de 8 días?

Actividad: 4 Conceptual Indica la función exponencial que da solución a problemas de la vida cotidiana. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la función exponencial para resolver problemas de la vida real. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Se interesa en la aplicabilidad de las funciones exponenciales y comparte los resultados con el grupo, en la retroalimentación.


253 BLOQUE 5

Secuencia didáctica 2. Función logarítmica. Inicio Actividad: 1 Utiliza la calculadora para encontrar los siguientes valores.

510

1) 1 5

2)

7776

3)

8

4)

e4

5)

3e 5

6)

log 4.5

7)

log 0.002

8)

ln 15

9)

ln 56.13

3

10) log 0.000728 6

Actividad: 1 Conceptual Reconoce las funciones de la calculadora, para obtener valores tanto con exponentes como con logaritmos. Autoevaluación

254

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Utiliza la calculadora para obtener valores con exponentes o con logaritmos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad.



Desarrollo Durante tu trayecto académico has resuelto ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, entre otras, pero no se te habían presentado ecuaciones cuya variable se encontrara en el exponente, es decir, ecuaciones exponenciales, como por ejemplo: a)

2x

b)

x

c)

64

4 2 2x 1 3 132

Comúnmente en los despejes de ecuaciones se requiere pasar dividiendo, un término que está multiplicando, así como se pasa restando un término que se está sumando, esto es porque se utiliza la operación inversa para llevar a cabo los despejes. En este caso, como la variable está en el exponente, no se puede ni multiplicar, ni dividir o potenciar la ecuación para extraer la variable. Se requiere aplicar la función inversa de la función exponencial y ésta es la función logarítmica. A continuación se te presenta el concepto de logaritmo. Concepto de logaritmo. El logaritmo base “b” es el inverso de la ecuación exponencial de base “b”.

x

bx

logb N

N

si N y b son positivos y b 1 .

Lo cual permite ir de la representación exponencial a la logarítmica y viceversa. Ejemplo 1. Convertir la 7 x

16807 a su forma logarítmica.

Observando la ecuación exponencial anterior, se tiene: b=7 N=16807 Siguiendo la definición se tiene que:

7x

Ejemplo 2. Convertir la log8 262144

16807

x

log7 16807

6 a su forma exponencial.

b=8 N=262144 x=6

log8 262144

6

86

262144

255 BLOQUE 5

Actividad: 2 Resuelve lo que se solicita. I. Convierte cada una de las expresiones exponenciales a la forma logarítmica.

23

1)

II.

2)

50

3)

4 3

4)

27

5)

10

6)

2x

8

1

2

1 64

9

3

4

0.0001 y

Escribe las expresiones siguientes en forma exponencial. 1) log10 1 0 2)

log10 10 1

3)

log36 6

4)

log32 2

5)

log6

6)

logx y

1 2

1 5

1

1

6

2

Actividad: 2 Conceptual Reconoce la trasformación de la notación exponencial a la notación logarítmica y viceversa. Autoevaluación

256

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Realiza transformaciones de la Muestra interés al realizar la notación exponencial a la notación actividad. algebraica. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Notarás que tu calculadora proporciona únicamente los logaritmos base 10 y base “e”, en el caso del logaritmo base 10, la notación que más se utiliza para nombrarlo es únicamente log y para el logaritmo base “e” se utiliza ln, como se muestra a continuación. log10 log

loge

ln

A continuación se proporciona un listado de propiedades que facilitan, en mucho de los casos, la solución de ecuaciones tanto logarítmicas como exponenciales, las cuales se abordarán al finalizar el bloque. También dentro de este listado se encuentra el cambio de base, es decir, la forma de calcular el logaritmo de cualquier base.

Propiedades de los logaritmos. 1.

logb M

log M

2.

log b logb MN logb M logb N

3.

logb

4.

logb Mn

M

logb M logb N

N

n logb M

Actividad: 3 Utiliza la calculadora para encontrar el valor de los siguientes logaritmos. 1) log 4 2)

log 0.001

3)

log10 2.58

4)

loge 1

5)

loge 12

6)

ln 6

7)

ln

8)

log3 81

9)

log5 625

1 3

10) log1025 4

Actividad: 3 Conceptual Selecciona las teclas adecuadas de la calculadora para obtener el valor del logaritmo. Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Escoge las teclas adecuadas de la Aprecia la tecnología como calculadora para obtener el valor herramienta de apoyo a su del logaritmo. aprendizaje. C MC NC Calificación otorgada por el docente

257 BLOQUE 5

Concepto de función logarítmica. La función logarítmica de base b es la inversa de la función Exponencial de base b, esto es:

y

by

logb x

x

El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función exponencial, implica que la acción que una de ellas realiza sobre un número, es eliminada por la otra función, es decir:

logb b x

x

Gráfica de la función logarítmica. Dentro de las funciones logarítmicas, se tienen dos comportamientos diferentes, de acuerdo al valor de la base “b”. I. Cuando b 1 las funciones tienen las siguientes propiedades: 1. Su dominio son los números reales positivos. 2. Rango son los números reales. 3. Son funciones continuas y crecientes en todo su dominio. 4. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1). 5. La recta x=0 es una asíntota vertical. 6. La función es negativa para los valores de “x” menores que 1. 7. La función es positiva para valores de “x” mayores que 1. Para visualizar todo lo anterior, se grafica en el mismo plano cartesiano algunas funciones logarítmicas base 10, debido a que es la función que proporciona la calculadora, además de la función base “e”. Posteriormente se proporcionarán algunas propiedades de los logaritmos, dentro de las cuales existe una que permite calcular el logaritmo de cualquier base x 0.2 0.5 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f x log2 x -2.32192809 -1 -0.32192809 0 1 1.5849625 2 2.32192809 2.5849625 2.80735492 3 3.169925 3.32192809

f x loge x ln x -1.60943791 -0.69314718 -0.22314355 0 0.693147181 1.098612289 1.386294361 1.609437912 1.791759469 1.945910149 2.079441542 2.197224577 2.302585093

f x

log10 x log x -0.69897 -0.30103 -0.09691001 0 0.30103 0.47712125 0.60205999 0.69897 0.77815125 0.84509804 0.90308999 0.95424251 1 f x

f (x)

f x

log2 x

ln x

x

f x

258

log x


II. Cuando 0 b 1 las funciones tienen las siguientes propiedades: 8. Su dominio son los números reales positivos. 9. Rango son los números reales. 10. Son funciones continuas y decrecientes en todo su dominio. 11. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1). 12. La recta x=0 es una asíntota vertical. 13. La función es negativa para los valores de “x” mayores que 1. 14. La función es positiva para valores de “x” menores que 1. A continuación se visualiza tres funciones con 0 b 1 . x 0.2 0.5 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f x

log 110 x

0.69897 0.30103 0.09691001 0 -0.30103 -0.47712125 -0.60205999 -0.69897 -0.77815125 -0.84509804 -0.90308999 -0.95424251 -1

f x

log 12 x

2.32192809 1 0.32192809 0 -1 -1.5849625 -2 -2.32192809 -2.5849625 -2.80735492 -3 -3.169925 -3.32192809

f x

log2 3 x

3.9693623 1.70951129 0.55033971 0 -1.70951129 -2.70951129 -3.41902258 -3.9693623 -4.41902258 -4.79920494 -5.12853387 -5.41902258 -5.67887359

f (x)

x

f x

log 110 x

f x

f x

log 12 x

log2 3 x

Por el hecho de ser la función logarítmica inversa de la función exponencial, se desprenden algunas propiedades. 1. 2. 3. 4.

blogb x x logb b y y logb 1 0 logb b 1

259 BLOQUE 5

Actividad: 4 Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

x

f x

ln x 1

f (x)

x

x

f x

ln x

2

3

f (x)

x

x

f x

2 log x

3

f (x)

x

260



x

f x

2 ln ( x

3) f (x)

x

x

f x

2 log3 x

f (x)

x

Actividad: 4 Conceptual Identifica la gráfica de funciones logarítmicas.

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Construye la gráfica de funciones logarítmicas.

Autoevaluación

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de la calculadora en la gráfica de funciones logarítmicas.


Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples aplicaciones de la función logarítmica. http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcioneslogaritmicas.htm http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica

261 BLOQUE 5

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. A continuación se presenta la solución de algunas ecuaciones tanto logarítmicas y exponenciales. Por comodidad se utiliza el logaritmo base 10 ó base “e”, los cuales son los que ofrecen directamente las calculadoras. Ejemplo 1. Soluciona la ecuación 1024 x

4.

Hay dos formas de resolverlo, una es transformando la ecuación exponencial a su forma logarítmica utilizando la definición, y la otra opción es aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación y se utilizan las propiedades de logaritmos. Las siguientes tablas presentan las dos formas de solucionar la ecuación. Utilizando la definición

1024

x

x

x

x

4

log1024 4

log1024

0.2

Utilizando propiedades.

1024

Se aplica la definición.

Se aplica la propiedad del cambio de logaritmo. log M logb M log b Mediante la calculadora se realiza la división.

log 4

x

Descripción del proceso Ecuación original.

4

Descripción del proceso Ecuación original.

log1024 x

log 4

Se aplica el logaritmo base 10 a ambos lados.

x log1024

log 4

Se aplica la propiedad:

x

x

logb Mn Se despeja la variable.

log 4

n logb M

log1024 Mediante la calculadora se realiza la división.

0.2

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 4 x 1

3x .

Como notarás, la ecuación tiene en ambos la variable x como exponente, debido a esto, conviene utilizar las propiedades para que sea más sencilla su solución. Primero se aplica logaritmo base 10 a ambos lados de la ecuación.

4x

1

log 4 x

262

3x 1

log 3 x


Posteriormente, se bajan los exponentes como coeficientes en cada uno de los logaritmos.

x 1 log 4

x log 3

A continuación se quita el paréntesis del lado izquierdo de la ecuación.

x log 4 log 4

x log 3

Se pasan las variables de lado derecho y se factoriza por factor común, para poder despejar la variable y encontrar su valor.

x log 4

x log 3 log 4

x log 4 log 3

log 4 log 4

x

log 4 log 3 4.819

x Ejemplo 3. Resolver la ecuación log 3x 1

log x

0.

Como se observa en la ecuación, hay una diferencia de logaritmos y se puede unificar ya que existe una propiedad para hacerlo, como se muestra a continuación. log 3x 1 log x 0

log

3x 1

0 x Ahora se transforma el logaritmo como ecuación exponencial, utilizando la definición (recordando que la base del logaritmo es 10), como se muestra a continuación. 10 0 1 x

3x

1

x 3x 1 x

x

3x

3x

1

2x x

1

1 1 2

Como cualquier ecuación, se puede comprobar el resultado sustituyéndolo en la ecuación original y corroborando que se cumple la igualdad.

log 3x 1 1

log 3 2 1 log 3 2 1 log 1 2

log x 1

log 2 log 1 2

0 0 0

log 1 2 0 0 0

263 BLOQUE 5

Ejemplo 4. La fórmula P 7e 48 / t representa la producción P de cierta especie de árboles (en millones de pies cúbicos por acre) para un bosque que cuenta con “t” años. Encontrar el tiempo que se necesita para tener una producción de: a) 1.4 millones cúbicos de árboles. b) 2 millones cúbicos de árboles. Para dar respuesta a cada uno de estos incisos se sustituye en la función la cantidad de árboles que se espera producir, como se muestra a continuación.

Ahora se despeja la función exponencial.

1.4 7e 48 / t 1.3 7 0.2

e

48 / t

e

48 / t

Ahora se aplica el logaritmo natural como se muestra a continuación.

ln 0.2

48 / t

ln e

Como el logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial natural, queda:

ln 0.2

48 / t

Por último se despeja el tiempo.

48

t

ln 0.2 29.82

t

Tienen que pasar aproximadamente 29.82 años para producir 1.4 millones cúbicos de árboles. Ahora se sigue el mismo procedimiento para dar respuesta al inciso b).

2 7e

48 / t

2 7

e

48 / t

0.2857

e

48 / t

ln 0.2857 ln 0.2857 t t

ln e 48 / t 48 / t 48 ln 0.2857 38 .32

Tienen que pasar aproximadamente 38.32 años para producir 2 millones cúbicos de árboles.

264


Actividad: 5 Resuelve las siguientes ecuaciones.

1

x

1)

4x 3

3)

2 log x

3 log

5)

log x 3

log6

2)

2

x

4)

10

2 log x

Actividad: 5 Conceptual Selecciona las propiedades adecuadas de los logaritmos para resolver ecuaciones. Autoevaluación

6)

2x 3

log 16

x2

log 3x

4

3x

2

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Resuelve ecuaciones logarítmicas y exponenciales. C

MC

NC

4x 1

1

3x

2

320

2

1

216

Puntaje: Actitudinal Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios.


265 BLOQUE 5


A unos estudiantes de física se les aplicó un examen, posteriormente se les aplicó exámenes mensuales equivalentes al original, para medir el nivel memorístico que poseen. La calificación promedio del grupo se obtiene mediante la función: C(t) 80 17 log t 1 0 t 12 donde C(t) es la calificación promedio que se obtiene a partir del examen aplicado en el tiempo “t”. a) ¿Cuál fue la calificación promedio en el examen original (t=0)?

b) ¿Cuál fue la calificación promedio después de 6 meses?

2.

La relación entre el número de decibeles dado por:

y la intensidad del sonido “I” en watts por metro cuadrado está

10 log

1

10 16 a) Simplifica la fórmula mediante las propiedades de los logaritmos.

b) Determina el número de decibeles de un sonido con una intensidad igual a 10 10 watts por metro cuadrado.

3.

La presión atmosférica “p” disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio se relaciona con la altura “h” en kilómetros mediante la fórmula p 760e 0.145h . ¿A qué altura se tiene una presión de 150 mm de Hg?

266



Los químicos usan un número denotado PH para describir cuantitativamente la acidez de ciertas soluciones. Por definición su fórmula es PH log H , donde H , es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro. Calcula el valor del PH de las siguientes soluciones dados sus correspondientes H a) Vinagre: H

b) Zanahoria: H

5.

:

6.3 x10 3

1x10 5

El número de miligramos en el flujo sanguíneo de cierto medicamento suministrado por vía intramuscular se modela mediante la función

N 5e

0.4t

Si se considera que al llegar a 2 miligramos se debe istrar nuevamente el medicamento, ¿cuánto tiempo transcurre entre la aplicación de las inyecciones?

267 BLOQUE 5


7.

La ecuación f x

En un cultivo de bacterias, la función que modela su crecimiento es B = 15,000 e cuánto tiempo la población se duplicará?

, ¿en

12000

da las ventas totales en x días después del lanzamiento de un nuevo juego 1 499 1.09 x de video. ¿En cuál día se vendieron 6000 juegos?

Actividad: 6 Conceptual Identifica la aplicación de las funciones logarítmicas. Autoevaluación

268

0.4 t

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica las funciones logarítmicas en Aprecia la aplicabilidad de las situaciones reales. funciones logarítmicas. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Emplea funciones periódicas.


Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos periódicos aplicando las propiedades de las funciones senoidales para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos senodidales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.




Secuencia didáctica 1. Funciones senoidales. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. 1.

¿Cómo se define el seno de un ángulo agudo?

2.

¿Cómo se define el coseno de un ángulo agudo?

3.

Utiliza la calculadora para obtener las siguientes cantidades: a) sen 50 o

b) cos 45 o

c) tan 25 o

d) sen

e) cos2

f) sen

g)

2

cos

3

Actividad: 1 Conceptual Reconoce las definiciones de las funciones seno y coseno. Autoevaluación

270

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Calcula el valor de las funciones Muestra interés al realizar la trigonométricas de ángulos actividad y mostrar sus agudos. conocimientos previos. C MC NC Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

Desarrollo En la vida diaria se pueden observar acontecimientos que se repiten siguiendo un patrón predecible, por ejemplo: el hecho de que en regiones de climas templados, el consumo de energía eléctrica se eleva en verano y desciende en invierno; el número de turistas que visitan las playas de México aumentan en periodos vacacionales y disminuyen el resto del año; el precio de venta de las frutas en temporada de verano disminuye y aumenta en invierno. Así como estos ejemplos, hay otros que pueden ser modelados con funciones periódicas, las cuales son aquellas que repiten el mismo valor en intervalos regulares de la variable. Una función f(x) es periódica si existe un número “p”, tal que, pueda hacer f(x+p)=f(x), para todas las “x”; al número “p” se le llama periodo. Debido a que las funciones seno y coseno repiten sus valores con un patrón regular, éstas son consideradas funciones periódicas, las cuales se construyen mediante las razones trigonométricas de seno y coseno, respectivamente. La razón trigonométrica seno, es la comparación por división entre el cateto opuesto y la hipotenusa de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

La razón trigonométrica coseno, es la comparación por división entre el cateto adyacente y la hipotenusa de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

En la asignatura de Matemáticas 2 se abordó la definición geométrica de función seno y coseno, la cual se construye con el círculo unitario, como se muestra en las siguientes figuras. En esta gráfica, se observa cómo los segmentos verticales (cateto opuesto), corresponden al valor del seno del ángulo A, debido a que la hipotenusa en cada triángulo es de longitud 1. y

1 sen A

x

0

1

1

1

2

5

7

4

3

5

11

6

3

2

3

6

6

3

2

3

6

A

2

-1

En la función coseno, la longitud de los segmentos horizontales (cateto adyacente) corresponde al valor del coseno del ángulo A, por ello, en la figura el círculo unitario se voltea 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj, para que el segmento correspondiente al cateto adyacente de los triángulos rectángulos coincida con la altura del valor de la función, como se muestra en la siguiente figura: x

y

1 cos A

0

1

1

1

2

5

7

4

3

5

11

6

3

2

3

6

6

3

2

3

6

2

A

-1

BLOQUE 6

271

En esta asignatura se desarrollarán las funciones senoidales, seno y coseno, como relación funcional entre dos conjuntos pertenecientes a los números reales.

Concepto de las funciones senoidales.

Son las funciones que están formadas por las razones trigonométricas seno o coseno. Las expresadas en su forma estándar son: f x a sen b x c d

fx

a cos b x

c

d

Los valores que se sustituyen de “x” son los números reales, y para construir la gráfica de las funciones mediante tablas de valores, se sustituirán múltiplos y submúltiplos de , debido a que son los que determinan los cambios importantes en el comportamiento de las funciones senoidales, como se mostró en la definición geométrica de las mismas. Para la obtención de valores de las funciones senoidales de números reales con una calculadora, se requiere usar el modo radián. En el bloque 1 se graficó la función seno y se visualizó su forma, utilizando tablas de valores, como se presenta a continuación. x

f( x ) sen x

2

0

3

1

2

f (x)

x

0 1

1

2

–1

0

0

2

1 0

3

2

2

–1


0

x

f( x ) cos x

2

1

3

0

2

Dom :

,

Rango :

1,1

Dom :

,

Rango :

1,1

−1 1

1

2

0

0

1

2

0 −1

3

272

2

0

2

1



Características de las funciones seonidales. Amplitud. Es la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función. Periodo (P). Es el intervalo en el cual la función no se repite, o bien, el intervalo que hay entre dos máximos o dos mínimos. Frecuencia. Es la medida que se utiliza generalmente para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo. Línea base. Es la línea horizontal que se encuentra en el punto medio de oscilación, es decir, está en la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función. f (x)=s en(x)

Amplitud

x

Línea base

Periodo (P) El comportamiento que tienen la función seno y coseno, en un periodo, se describe en la siguiente tabla. Variable x

Función seno

Función coseno

0<x <

Creciente de 0 a 1.

Decreciente de 1 a 0.

Tiene un máximo en 1.

Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o punto de inflexión.


Decreciente de 0 a −1.

Está en 0, el cual es el punto de equilibrio, en la línea base, también es un punto de inflexión, es decir, donde cambia de concavidad.

Tiene un mínimo en −1

Decreciente de 0 a −1.

Creciente de −1 a 0.

Tiene un mínimo en −1


<x<2

Creciente de −1 a 0.


2


Creciente de 0 a 1.

x 2

2

2 <x<

x

<x<

x 3 2

x

3 2

3 2

BLOQUE 6

273

Ejemplo 1. Graficar la función f x 4 sen x en el intervalo de 0, 2 . Primero se verifica que la calculadora se encuentre en el modo radian, si no puedes cambiar el modo, pregunta a tu profesor. Posteriormente se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de muestra a continuación.

1

x

f( x ) 4 sen x

0

0

2

4

dentro del intervalo solicitado, como se

0 3

−4

2

2

0

Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se traza la función, recordando que es una curva suave.

Si se compara f x

a sen b x

c

d con la función f x

4 sen x , se tiene:

a b c d

4 1 0 0

Con ello, por lo pronto, se puede deducir que “a” proporciona la amplitud de la función, debido a que la separación entre la línea base y el punto máximo o mínimo de la función es cuatro. Otra forma de visualizar la amplitud, es obteniendo la mitad de la separación entre el punto máximo y mínimo, la cual daría 8/2=4. En cuanto a los parámetros “b” “c” y “d”, se visualizarán en los ejemplos posteriores.

274


Ejemplo 2. Graficar la función g x sen 3x en el intervalo de 0, 2 . Se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de dentro del intervalo solicitado, sólo que en esta ocasión, se deben tomar más valores, debido a que el argumento de la función se multiplicó por 3, así que se tomarán los siguiente valores.

1 2

3 4

0

0

6

1 1

1

6

2

6

6

2

−1

3

0 1 0 −1

6 4 3

6

3

0

2

1

5

6 11

12

0

6

6

10

3

6

7

9

g( x) sen 3x

6

5

8

x

0

3

−1

6

6

2

0

Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se tiene la siguiente gráfica. g (x)

x

Se observa en la gráfica que se presentan tres periodos dentro del intervalo de 0, 2 , el cual es el periodo de la función seno original, por lo tanto, si se compara f x

BLOQUE 6

a sen b x a 1 b 3 c 0 d 0

c

d con la función g x

sen 3x , se tiene:

275

Con lo anterior, se concluye que “b” proporciona la frecuencia de la función la cual es 3, esto es, la función se repite tres veces en el periodo original de longitud 2 . Para obtener el periodo de esta función, se divide el periodo original entre la frecuencia, como sigue: 2 P 3 En la gráfica se visualiza como sigue:

P

2 3

Actividad: 2 Desarrolla lo que se pide. I. Coloca en el paréntesis la letra de la gráfica que corresponde a cada una de las funciones. ( ) f x sen 2x ( ) f x cos 2x ( ) fx ( ) f x sen 12 x ) fx

(

4 cos x

(

) fx

4sen 2x

A.

) fx

(

cos 4x

) fx

cos x

B. f (x)

f (x)

x

x

C.

D. f (x)

f (x)

x

276

(

2sen x

x


Actividad: 2 (continuación) E.

F. f (x)

f (x)

x

x

G.

H. f (x)

f (x)

x

x

II. Encuentra el periodo de cada una de las funciones anteriores. 1)

fx

sen 2x

P=________________

2)

fx

cos 2x

P=________________

3)

fx

sen

4)

fx

2sen x

P=________________

5)

fx

4 cos x

P=________________

6)

fx

4sen 2x

P=________________

7)

fx

cos 4x

P=________________

8)

fx

cos x

P=________________

1

2x

P=________________

Actividad: 2 Conceptual Identifica la amplitud, frecuencia y periodo de funciones senoidales. Autoevaluación

BLOQUE 6

Evaluación Producto: Reactivos de relación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Obtiene el periodo y distingue la Expresa sus dudas y corrige sus amplitud y frecuencia de funciones errores. senoidales. C MC NC Calificación otorgada por el docente

277

Actividad: 3 En equipo, investiga cómo está relacionada la frecuencia de onda de los aparatos, antenas, luz solar, entre otros con la salud del ser humano, escribe tu investigación en una cuartilla, coméntala en el grupo y escribe la conclusión grupal en el siguiente espacio.

Actividad: 3 Conceptual Indaga sobre las repercusiones que tienen la frecuencia de onda en la salud de los individuos. Coevaluación

278

Evaluación Producto: Conclusión grupal Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Sintentiza la información recabada Escucha con interés a sus sobre las repercusiones que tiene compañeros y comparte los la frecuencia de onda en la salud resultados de su investigación. del individuo. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Ejemplo 3. Graficar la función t x

cos x

2 Al observar la función, se tiene que:

en el intervalo de

1

2

,52

.

a 1 b 1 c

2 d 0 Como la frecuencia la determina el parámetro “b” y éste es 1, entonces se puede completar la tabla con los valores usuales en el intervalo de 12 , 5 2 x 1

2

hx

cos x

2

1 0

3

2

2 5

2

−1 0 1

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano y trazar la curva de forma suave, se obtiene: t (x)

x

fx

cos x

hx

cos x

2

Ahora, comparando esta gráfica con la función coseno original, se observa cómo existe un desplazamiento a la derecha de

BLOQUE 6

2

unidades.

279

Otro aspecto que se puede concluir de este ejemplo es que al desplazarse la función coseno

unidades a la 2 derecha, coincide en todos sus puntos con la función seno original, como se muestra en las siguientes gráficas: f (x)

x

t (x)

x

Así observamos una de las principales razones de por qué a las funciones seno y coseno se les denomina senoidales, porque el coseno puede ser transformada en coseno, aplicándosele el desplazamiento correspondiente.

sen x

cos x

2

Ejemplo 4. Graficar la función h x cos x 2 . Como el argumento de la función coseno no ha sido modificado, los valores a sustituir son los mismos que los de la función coseno original, como se muestra a continuación. x

1

hx

cos x

0

1

2

−2

2

−3 3

2

−2

2

−1

Ubicando los puntos en el plano cartesiano se obtiene la siguiente gráfica:

280


h(x)

x

Si se grafican la función original f x cos x y h x cos x 2 en el mismo plano cartesiano, se observa un desplazamiento de la línea base, dos unidades hacia abajo.

Los parámetros que se tienen en la función h x

cos x

2 , son:

a 1 b 1 c 0 d 2 Por lo tanto, el parámetro “d” desplaza a la función hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de su signo.

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios, para conocimientos de funciones senoidales.

que

refuerces

tus

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_ trigonometricas_vcc/seno_construccion.htm http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm9.html http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Olaondo/pag2.htm

BLOQUE 6

281

Cierre Actividad: 4 Completa la tabla describiendo cómo cambia la gráfica de cada una de las funciones dadas, en comparación con la gráfica de la función f(x)=cos(x) de acuerdo a los parámetros que éstas poseen. Función

a

J( x ) 3 cos 2x

G( x ) cos x

t( x)

h( x )

1 3

1 2

3

5

x

1

U( x ) cos 2 x

3

4

M( x) 5 cos 2x

8

3

Actividad: 4 Conceptual Indica los cambios que sufre una función senoidal, de acuerdo a sus parámetros. Autoevaluación

282

d

2

cos x

V( x ) cos

c

1

4

2 cos x

b

Evaluación Producto: Complementación de la Puntaje: tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Describe cómo influyen los Realiza la actividad con parámetros en las gráficas de las entusiasmo y expresa sus dudas. funciones senoidales. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Secuencia didáctica 2. Graficación paramétrica de funciones senoidales. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. I. Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponde a la descripción de cada una de las funciones dadas.

(

Función ) f( x) 4 cos 3x

2

(

) f( x) 3 cos 2x

4

(

) f( x) 2 cos x

Descripción A. La amplitud es 2, su periodo es 2 unidades a la derecha.

y se desplaza 3

B. La amplitud es 3, su periodo es unidades a la derecha.

3

C. La amplitud es 2, su periodo es

y se desplaza 2

2

y se desplaza 4

3

unidades a la derecha. (

) f( x) 2 cos 4x

3

2 3 (

) f( x ) 2 cos 3 x

2

D. La amplitud es 4, su periodo es

4

3

y se desplaza

unidades a la derecha.

E. La amplitud es 2, su periodo es

2

y se desplaza

3 4

unidades a la derecha. II. Escribe en la línea la palabra “derecha” o “izquierda”, para que el enunciado resulte válido. 1.

Si la gráfica de y

cos x

se traslada

coincidirá con la gráfica de la función y 2.

Si la gráfica de y

sen x se traslada

coincidirá con la gráfica de la función y

Actividad: 1 Conceptual Reconoce las características de las funciones senoidales. Autoevaluación

BLOQUE 6

unidades horizontalmente a la _____________________, ésta 2 sen x . unidades horizontalmente a la _____________________, ésta 2 cos x .

Evaluación Producto: Reactivos de relacionar y Puntaje: completar. Saberes Procedimental Actitudinal Escoge la amplitud, periodo y Se interesa por recuperar sus desplazamiento de las funciones conocimientos previos. senoidales. C MC NC Calificación otorgada por el docente

283

Desarrollo Graficación mediante parámetros.

En esta secuencia aprenderás a bosquejar las gráficas de las funciones senoidales, utilizando únicamente el análisis de sus parámetros, para ello, se utilizarán las funciones f x sen x y f x cos x como base. A continuación se mostrará un análisis de las gráficas de las funciones base, para obtener una metodología para el trazado de otras funciones senoidales. La gráfica de la función f x

sen x es: f (x)

x

El periodo de la función es 2 , por lo tanto, la función corta al eje X en los extremos del intervalo 0, 2 medio del mismo, como se ve en la gráfica, por lo tanto se ubican los puntos 0, 0 , , 0 y 2 , 0 .

y en el punto

f (x)

x

Posteriormente, se ubican los puntos máximo y mínimo en el primer y tercer cuarto del periodo, a la altura de 1 y −1, respectivamente, debido a que la amplitud es 1 (a=1), obteniéndose con ello, su máximo en

3 2

2

,1 y su mínimo en

, 1 . f (x)

x

Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave.

284


f (x)

x

Se sabe que el dominio de la función son todos los números reales, por lo tanto, la curva anterior se repite infinitamente tanto a la derecha como a la izquierda, de la manera siguiente: f (x)

x

Ahora se analizará la función f x

cos x , la cual tiene la siguiente gráfica:

f (x)

x

El periodo de la función es 2 , pero en esta ocasión, inicia a la altura de 1, es decir que en los extremos del intervalo 0, 2 la función vale 1, y en el punto medio del intervalo su valor es −1, por lo tanto, los máximos de la función en este periodo se ubican en los puntos 0, 1 y 2 , 1 . Su punto mínimo se encuentra en

, 1.

En el primer y tercer cuarto del periodo la función corta al eje X, por lo tanto, las intersecciones se ubican en los 3 ,0 y ,0 . puntos 2 2 Se ubican los puntos mencionados en el plano cartesiano, como se muestra a continuación.

BLOQUE 6

285

f (x)

x

Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave. f (x)

x

Cuando se repite el periodo a lo largo de los números reales se obtiene la función. f (x)

x

Ahora, se mostrarán varios ejemplos en los que se variarán los parámetros y utilizando las funciones bases, se bosquejarán las gráficas correspondientes. Ejemplo 1. Graficar la función g x Los parámetros son:

2 cos x

4.

a 2 , por lo tanto, su amplitud es 2. b 1 , esto significa que la frecuencia es 1, por lo tanto, su periodo es: 2 2 P 2 . b 1 c , desplaza a la función, unidades a la derecha. d 4 , desplaza a línea base, 4 unidades hacia abajo.

286


Si se traza la función base f x cos x y se toman en cuenta los parámetros de la función g(x), se puede bosquejar su gráfica, como se muestra a continuación.

Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la gráfica completa. g (x)

x

Ejemplo 2. Graficar la función h x sen 2x 6 1. Primero se factoriza la función en el argumento, para visualizar sin problemas el parámetro c.

hx

sen 2x

6

1

h x sen2 x 3 1 Los parámetros son: a 1 , por lo tanto, su amplitud es 1. b 2 , esto significa que la frecuencia es 2, por lo tanto, su periodo es: 2 2 P b 2 c 3 , desplaza a la función, 3 unidades a la izquierda. d 1 , desplaza a línea base, 1 unidad hacia arriba.

BLOQUE 6

287

Si se traza la función base f x sen x y se toman en cuenta los parámetros de la función h(x), se puede bosquejar su gráfica, como se muestra a continuación. h(x)

x

Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la gráfica completa. h(x)

x

Las aplicaciones más usuales son las utilizadas en Física sobre la velocidad y frecuencia de onda de emisión solar, electromagnéticas y de sonido, entre otras. La siguiente imagen muestra la forma en que se transforma la energía solar en energía eléctrica continua.

288


A continuación se presenta un ejemplo del movimiento ondulatorio, de los más utilizados en Física. Ejemplo 1. Un pescador observa que el corcho de la caña realiza 40 oscilaciones por minuto, debidas a unas olas cuyas crestas están separadas 60 cm. ¿Con qué velocidad se propaga la onda? La velocidad con la que se propaga una onda está dada mediante la siguiente fórmula:

v

f

Donde: es la longitud de onda, esto es, la separación que hay entre dos máximos o dos mínimos consecutivos. f es la frecuencia de onda. De acuerdo a los datos que proporciona al problema, se obtiene que: 60 cm 0.6 m

f

40

1 min

Por lo tanto, la velocidad es de:

v

f

v

0.6 m 40

v

24

m min

1

min m 0.4 s

Aplicaciones como la anterior se abordan en la asignatura de Física y con mayor profundidad a niveles superiores. Ahora se planteará un problema del análisis de gráficas. Ejemplo 2. Los científicos consideran que la temperatura anual en ciertos lugares es periódica. La temperatura promedio en una región geográfica determinada y en una estación dada, fluctúa con el tiempo: de frío pasa a cálido y, posteriormente, regresa al frío. La gráfica muestra una descripción idealizada de la temperatura en grados Celsius para los últimos miles de años, en un lugar a la misma latitud de Anchorage, Alaska. Temperatura (oC)

Años a) Determinar las temperaturas más alta y baja. b) Encontrar la amplitud. c) Determinar el periodo de la función.

BLOQUE 6

289

Para resolver los incisos es necesario observar la gráfica, por ejemplo, para el inciso a) solicita las temperaturas más alta y más baja, por lo que se requiere conocer el máximo y mínimo de la función. La temperatura más alta es de 27ºC y la más baja es de 9ºC. La amplitud es la distancia de la línea base, que se encuentra a 18ºC, al máximo o mínimo de la función, la cual es de 9ºC. Para determinar el periodo se ubican dos máximos o dos mínimos y se proporciona la distancia entre ellos; en esta ocasión, se aproximará el dato debido a la información que proporciona la gráfica, la cual resulta aproximadamente 40,000 años.

Actividad: 2 Encuentra la amplitud, la frecuencia y el periodo de las siguientes funciones. 1)

kx

2sen x

2)

Rx

2 sen x 3

2

3)

Lx

4 cos

x 2

2

4)

Mx

3 cos

5)

Ex

2sen x

6)

Sx

cos x

7)

Cx

2sen 2x

8)

Px

3 cos 2 x 2

1

x

2

2

4

Actividad: 2 Conceptual Reconoce los parámetros de las funciones senoidales. Autoevaluación

290

a=_____________

b=_____________

T=_____________

a=_____________

b=_____________

T=_____________

a=_____________

b=_____________

T=_____________

a=_____________

b=_____________

T=_____________

a=_____________

b=_____________

T=_____________

a=_____________

b=_____________

T=_____________

a=_____________

b=_____________

T=_____________

a=_____________

b=_____________

T=_____________

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Extrae los parámetros de las Muestra disponibilidad al hacer la funciones senoidales. actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente


Actividad: 3 Grafica las funciones en los periodos indicados. 1) k x 2sen x en dos periodos. k (x)

x

2)

Rx

2 sen x 3

2

en dos periodos.

R(x)

x

3)

Lx

4 cos

x 2

2

en un periodo.

L(x)

x

BLOQUE 6

291


Ex

2sen 4x

en cuatro periodos.

E(x)

x

5)

Sx

cos x

2

3 en un periodo.

S(x) x

6)

Cx

1 en tres periodos.

2sen 2x C (x)

x

Actividad: 3 Conceptual Identifica los parámetros de las funciones senoidales. Autoevaluación

292

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones senoidales mediante sus parámetros. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad de utilizar parámetros en la graficaión de funciones senoidales.




La temperatura en grados Fahrenheit en una región determinada, se predice mediante la función:

Tx

2

x 101 25 365 Donde T(x) es la temperatura en un día “x” de los 365 del año. Utiliza una calculadora para que calcules la temperatura de las siguientes fechas. a) 1 de marzo.

2.

b)

1 de abril.

c)

19 de junio.

d)

18 de septiembre.

37sen

La temperatura alta normal en San Luis Missouri, varía desde 37ºC para el 15 de enero hasta 89ºC para el 15 de julio. La temperatura alta normal sigue aproximadamente una curva senoidal. a) Determina los valores de a, b y c, tales que T t a sen b t c Donde “t”, expresada en meses desde el 1 de enero, es un modelo razonable para la temperatura alta normal.

b)

BLOQUE 6

Utiliza este modelo para aproximar la temperatura alta normal para el 15 de mayo.

293


Muchas de las actividades de los organismos vivos son periódicas. La gráfica siguiente ejemplifica la hora en la que cierto animal comienza su actividad nocturna. Actividad de un animal nocturno

7:30 7:00

Horas (p.m.)

Horas p.m.

8:00

6:30 6:00 Ene Feb Mar Abr May Jun

5:30 5:00

Jul

Ago Sep Oct

Nov

Dic

4:30 4:00

Meses

a) Determina la amplitud de esta gráfica.

b) Determina su periodo.

Actividad: 4 Conceptual Reconoce las características de las funciones senoidales en problemas aplicados. Autoevaluación

294

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica las funciones senoidales para resolver problemas aplicados. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la aplicabilidad de las funciones senoidales.



Anexo A Desigualdades Si en una recta numérica se localizan los números –3, 0 y 5, y se marcan con puntos, se obtiene el siguiente diagrama:

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Intuitivamente, se puede observar que hay un orden entre los números, como se muestra a continuación: 1) –3 se encuentra a la izquierda de 0 y de 5. 2) 0 se encuentra a la derecha de –3 y a la izquierda de 5. 3) 5 está a la derecha de –3 y de 0. Estas posiciones de los números se pueden representar de la siguiente manera: un número es mayor que otro si se encuentra a su derecha y viceversa, un número es menor que otro si se encuentra a la izquierda. Para representar matemáticamente lo anterior, se utilizan los símbolos “<” y “>”, a continuación se muestra cómo se indica el orden entre los números –3, 0 y 5: Desigualdad: –3<0 5>–3 0<5

Se lee: “–3 es menor que 0” o “0 es mayor que –3” “5 es mayor que –3” o “–3 es menor que 5” “0 es menor que 5” o “5 es mayor que cero”

Esto quiere decir que la desigualdad a
intervalo

Desigualdad

Intervalo abierto

a,b

a < x

El número “x” es mayor que “a” y menor que “b”.

a

b

Intervalo cerrado

a,b

a

El número “x” es mayor e igual que “a” y menor e igual que “b”.

a

b

Intervalo semiabierto por la izquierda

a,b

a<x b

El número “x” es mayor que “a” y menor e igual que “b”.

a

b

Intervalo semiabierto por la derecha

a,b

a

El número “x” es mayor e igual que “a” y menor que “b”.

a

b

x b

x

Significa

Gráfica

Cuando se quiere nombrar un conjunto de puntos formados por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

BLOQUE 6

295

Bibliografía ALLEN R., Ángel, Algebra intermedia, Prentice Hall, 4a. edición. ANTONYAN Nataella. Matemáticas 2, Funciones. Thomson. México. 2007. ANTONYAN Natella et. al. Problemario de precálculo. Cengage Learning. México. IBAÑEZ Patricia y García Gerardo. Matemáticas IV, Precálculo. Cengage Learning. México. 2006.2009. MÉNDEZ Arturo. Matemáticas 4. Bachillerato Santillana. México. 2007. ORTIZ CAMPOS, Francisco J., Matemáticas IV. Bachillerato General, Publicaciones Cultural, México, 2005. PIMIENTA Julio, Iglesias Rigoberto. Matemáticas IV un enfoque constructivista. Pearson Educación. México. 2007. RAMÍREZ Margarito. Matemáticas IV. Colegio de Bachilleres del Estado de San Luis Potosi. México. 2008. RUIZ BASTO, Joaquín., Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas IV. Bachillerato General, Publicaciones Cultural, México 2005. STEWART James et. al. Precálculo. Matemáticas para el Cálculo. Cengage Learning. México. 2009. SOBEL, Max, Precálculo. Prentice Hall, 5a. edición. SULLIVAN, Michael, Precálculo, Pearson Educación, 4a. edición.

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