Ecuaciones Diferenciales Ordinarias En Matlab 24k1y

 

Trabajo  Final  Ecuaciones  Diferenciales   Ordinarias   Seminario  de  Ecuaciones  Diferenciales  Ordinarias   Facundo  Ramón  

RESUMEN   Resolución  de  un  sistema  de  ecuaciones  diferenciales  de  primer  orden  por   método  de  Runge  Kutta  de  4to  orden  con  Software  MatLab  R2010a                        

 

        Universidad  Nacional  de  Tres  de  Febrero   Ingeniería  de  Sonido   2do  Cuatrimestre  2011  

 

Seminario  Ecuaciones  Diferenciales  Ordinarias  

Ramón  Facundo  

Objetivo   El   objetivo   del   trabajo   es   obtener   el   valor   de   las   funciones  !! (!)  e  !! (!)  en  ! = 0.5   partiendo   del   siguiente   sistema   de   ecuaciones   diferenciales   ordinarias   de   primer   orden  con  valores  iniciales.     !!! ! = −20!! + 10!! + 100 !"   !!! ! = 10!! − 20!! !"   !! 0 = !! 0 = 0   (1)   Que  responde  al  comportamiento  de  la  corriente  del  siguiente  circuito.    

E=100[v],  R=10[Ω]  y  L=1[h].  

Desarrollo  del  código  

Se   utlizó   el   método   Runge   Kutta   de   4to   orden.   Primero   se   realizó   un   código   simple   con   un   único   loop for   que   resuelve   el   sistema   y   luego   se   lo   comparó   con   la   función  ODE45  de  la  librería  de  MatLab.   El   primer   código   define   en   la   variable   h   el   paso   de   la   discretización,   y   luego   define   el   valor   inicial   de   los   vectores   i1   e   i3   según   la   información   del   enunciado.     Los   vectores  i1  e  i3  serán  los  valores  de  la  corriente  en  función  del  tiempo  al  finalizar   el  algoritmo.  Posteriormente,  ingresa  en  un  loop  for  en  el  que  se  calculan  los  k1,   k2,  k3  y  k4  de  las  funciones  i1  e  i3,  y  se  obtiene  el  siguiente  valor  de  i1  e  i3,   habiendo   dado   saltos   definidos   por   h.   De   esta   manera,   a   medida   que   el   loop for   avanza   se   generan   los   vectores   i1   e   i3   que   contienen,   en   la   posición   0.5/h,   el   valor  de  !! (!)  e  !! (!)  en  ! = 0.5  segundos.   El   segundo   código   precisa   la   generación   de   una   función,   en   este   caso   llamada   fun,   en   la   cual   se   declaran   el   sistema   de   ecuaciones   que   se   quiere   resolver   y   los   valores   iniciales  del  problema  y,  por  medio  de  la  función  ODE45,  se  obtienen  los  vectores   deseados.   En  ambos  casos  se  grafica  la  solución.  Se  eligió  un  intervalo  de  resolución  de  0  a  1   segundo  en  ambos  casos.   Y  por  último,  se  solicita  el  valor  de  las  funciones  funciones  !! (!)  e  !! (!)  en  ! = 0.5   para  comprar  los  resultados  entre  ambos  métodos.  

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Códigos  y  resultados   Código  1   %% Runge Kutta de Orden 4 h=0.01; %Paso i1(1)=0; i3(1)=0;

%Condición inicial para i1 %Condición inicial para i2

%Generación de los vectores i1 e i3 for i=1:1/h k11=-20*i1(i)+10*i3(i)+100; k31=10*i1(i)-20*i3(i); k12=-20*(i1(i)+1/2*k11*h)+10*(i3(i)+1/2*k31*h)+100; k32=10*(i1(i)+1/2*k11*h)-20*(i3(i)+1/2*k31*h); k13=-20*(i1(i)+k12*h)+10*(i3(i)+k32*h)+100; k33=10*(i1(i)+k12*h)-20*(i3(i)+k32*h); k14=-20*(i1(i)+k13*h)+10*(i3(i)+k33*h)+100; k34=10*(i1(i)+k13*h)-20*(i3(i)+k33*h); i1(i+1)=i1(i)+(h/6)*(k11+2*k12+2*k13+k14); i3(i+1)=i3(i)+(h/6)*(k31+2*k32+2*k33+k34); end %Ploteo y=0:h:1; %Vector de referencia plot(y,i1,'b-',y,i3,'r-.') grid %Resultados valor1=i1(0.5/h) valor2=i3(0.5/h)

El  código  entrega  los  siguientes  valores.   valor1 = 6.6263 valor2 = 3.2929

Es  decir,  !! 0.5 = 6.6263  e !! 0.5 = 3.2929.  Y  se  obtiene  el  siguiente  gráfico.  

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Código  2   %%Función para ODE45 function dy=fun(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=-20.*y(1)+10.*y(2)+100; dy(2)=10.*y(1)-20.*y(2); %%Resolución con funciones de MatLab error=odeset('RelTol',1e-4); [T,Y]=ode45(@fun,[0 1],[0 0],error); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.') grid k=0; for i=1:length(T) if T(i)<=0.5 k=k+1 end end Y(k+1,:)

El  código  entrega  los  siguientes  valores:   valor1 = 6.6345 valor2 = 3.3012

Muy  similares  a  los  entregados  por  el  código  1.  Y  también  devuelve  un  gráfico   similar.  

Comprobación  analítica   Dado   que   la   fuente   del   circuito   es   de   tensión   continua,   los   inductores   no   ofrecen   resitencia  teórica  al  paso  de  la  corriente,  por  lo  tanto  la  corriente  final  del  circuito   (superado   el   estado   estacionario)   depende   únicamente   del   voltaje   de   la   fuente   y   los  valores  de  las  resistencias.   La  resistencia  total  de  este  circuito  es  de   15[Ω]  y  la  tensión  100[v],  entonces  por   Ley   de   Ohm,   la   corriente   total   del   circuito   es   de   6,66[A].   Por   Ley   de   Kirchhoff     tenemos   que  !! = !! + !!  y,   como   ambas   ramas   tienen   iguales   resistencias,   se  

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!,!! !

deduce  que  !! = ! = 3,33[!].  En  0.5  segundos  el  circuito  prácticamente  llega  a   su   estado   estacionario   y   las   corrientes   se   mantienen   en   esos   valores   hasta   que   varíe  la  fuente.    

Bibliografía  

MatLab  R2010a,  Matlab  Getting  Started  Guide,  The  Mathworks  Inc.  2010   Seminario   de   Ecuaciones   Diferenciales   Ordinarias,   Material   y   apuntes   del   seminario,  UNTREF,  Ing.  De  Sonido  2011   Dennis  G.  Zill,  Ecuacuines  diferenciales  con  aplicaciones  de  modelado  6ta  edición,   Ed.  Thomson,  1997      

Tabla  de  contenido   Objetivo  ....................................................................................................................  1   Desarrollo  del  código  .................................................................................................  1   Códigos  y  resultados  ..................................................................................................  2   Código  1  .......................................................................................................................................................................  2   Código  2  .......................................................................................................................................................................  3   Comprobación  analítica  .............................................................................................  3   Bibliografía  ................................................................................................................  4      

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