Ecuaciones Trascendentes q1d4k

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARIA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES Cálculo diferencial

Trabajo de cálculo diferencial DÍA -8:45

: 07-04-14

HORARIO : 7:15

Sección : C

TEMA(S)

CÓDIGO

FUNCIONES TRASCENDENTES ALUMNO

2014 - 1

Funciones trascendentes

FIRMA

Las funciones trascendentes son igualdades entre dos expresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas, su solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra. El término trascendente se refiere a que la ecuación o su resolución van más allá del álgebra; trasciende el álgebra. Una ecuación f(x)=g(x) es trascendente, si por lo menos una de las funciones no es algebraica Son ejemplos de estas ecuaciones, las exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas. En general, las ecuaciones trascendentes sólo pueden resolverse en forma aproximada. Las soluciones de muchas ecuaciones trascendentes se han obtenido tradicionalmente (antes de la aparición de los ordenadores) por métodos numéricos, aproximando la solución mediante iteraciones sucesivas. En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Las funciones exponenciales son las que tienen la variable como exponente. Para hacernos una idea clara vamos a analizar por ejemplo, la función

Y= a x Sea a un número real positivo. La ecuación que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama ecuación exponencial de base a y exponente x.

Grafica básica

Ejemplo:

Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Grafica basica

Ejemplo:

Funciones trigonométricas En el cálculo la covención es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la función f(x)=sinx, se supone que sinx significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

A. Función seno La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Características: - Dominio: D(f)= R - Rango: R(f)= [-1,1] - Puntos de corte con los ejes: Con el eje x: (/2,0), el corte se repite cada . Con el eje y: (0,1) -Simetría: respecto al origen ; ya que, -sen(-x)=sen(x). -Asíntotas: carece de asíntotas.

f(x) = sen x

B. Función coseno

La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x. Características: - Dominio: D(f)= R - Rango: R(f)= [-1,1] - Puntos de corte con los ejes: Con el eje x: (/2,0), el corte se repite cada . Con el eje y: (0,1) -Simetría: par; ya que, cos(-x)=cos(x). -Asíntotas: carece de asíntotas.

f(x) = cosen x

NOTA:

Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio

es (−∞, ∞) y el alcance es el intervalo [−1,1]. En estos términos, para todos los valores de x, se tiene

−1≤sinx≤1 −1≤cosx≤1 o, en términos de valores absolutos,

|sinx|≤1

|cosx|≤1

C. Función tangente La función tangente asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del ángulo cuya medida en radianes es x. Llamaremos función tangente a aquella que asocia a cada ángulo el valor de la tangente correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: f(x) = tg x

D. Función cosecante

Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:

1) Su dominio es

R - {k·π}

con

2) Su recorrido es

R - (- 1, 1) .

k∈Z .

3) No corta al eje X ni al eje Y. 4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen. cosec (- x) = - cosec (x)

5) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma

f(x) = cosec x

x = k·π

con k∈Z .

E. Función secante

Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:

1) Su dominio es 2) Su rango es

R - {π/2 + k·π}

con

k∈Z .

R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X. Corta al eje Y en el punto

(0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y. sec (- x) = sec (x) 5) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma k·π con k∈Z .

f(x) = sec x

x = π/2 +

F. Función cotangente Las características fundamentales de la función cotangente son las siguientes: 1) Su dominio es R - {π + k·π

con

2) Es discontinua en los puntos 3) Su rango es

k∈Z} .

π + k·π

con

k∈Z .

R.

4) Corta al eje X en los puntos

π/2 + k·π

con

k∈Z .

No corta el eje Y . 5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen. cotg (- x) = - cotg (x)

6) Las rectas

f(x) = cotg x

y = k·π

con

k∈Z

son asíntotas verticales.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRASCENDENTES

En general, para la resolución una ecuación trascendente seguiremos los mismos tres pasos que con las ecuaciones algebraicas., es decir:  Acotación  Separación  Aproximación Sin embargo, algunas veces nos encontraremos con ecuaciones en las que, por sus características particulares, nos podamos separar de este esquema y seguir otros métodos.

1. Acotación Normalmente, para resolver la ecuación f(x) = 0 utilizaremos como intervalo(s) de acotación al dominio de f.

2. Separación A la hora de separar las raíces de una ecuación trascendente f(x) = 0, pueden ocurrir dos casos: (a) Conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0. (b) No conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0.

Caso A: Conocidas las raíces de f '(x) = 0 Si conocemos las raíces de f ' (x) = 0, para separar las raíces de la ecuación f(x) = 0 podemos utilizar el método de Rolle Hemos de recordar que tenemos que trabajar en intervalos donde la función sea continua y derivable (salvo quizás en los extremos de los intervalos).

Caso B: No conocidas las raíces de f '(x) = 0 Consideremos la ecuación f(x) = 0. Supongamos que podemos descomponer la función f(x) como una diferencia de dos funciones, es decir, f(x) = g(x h(x) . Entonces: ⇔⇔ Luego, buscar las raíces de la ecuación f(x) = 0 es equivalente a buscar las raíces de la ecuación g(x) = h(x) . Y buscar los valores para los cuales se verifica esta última es buscar los puntos de corte de las curvas y = g(x) e y = h(x). Por lo tanto, el método gráfico de separación consiste en dibujar las gráficas de las curvas y = g(x) e y = h(x) para conocer el número de veces que se cortan (que coincide con el número de raíces de la ecuación f(x) = 0). Las gráficas nos proporcionan una estimación inicial del valor de las raíces que nos permitirá empezar las iteraciones de los métodos de aproximación.

3. Aproximación Para aproximar las raíces de una ecuación trascendente se pueden emplear tanto el método de Newton como el método del Punto Fijo.