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EFECTO GIROSCOPICO Paul Andrés Román Sánchez, [email protected] Universidad Politécnica Salesiana Proyecto de dinámica

Resumen— En el siguiente informe se presenta como se produce el efecto giroscópico , además de cómo se realizó un giroscopio casero con materiales reutilizables, demostrando así mediante cálculos demostrando lo que nos explica la teoría y que este efecto giroscópico tiene una gran cantidad de aplicabilidad en la vida cotidiana como por ejemplo, es un dispositivo que, a día de hoy, se ha convertido en un elemento totalmente imprescindible en nuestros teléfonos móviles, entre otros muchos usos que tiene.

I. INTRODUCCIÓN ¿Por qué un trompo parece desafiar la ley de la gravedad? ¿Por qué personas normales, sin habilidades de equilibristas, pueden conducir tanto bicicletas como motocicletas sin caerse? ¿Por qué los proyectiles que giran sobre su eje mantienen una trayectoria tan estable? Todos estos fenómenos cotidianos, nos rodean y suceden normalmente. Y por supuesto, al igual que todo suceso que ocurre en la Tierra poseen una explicación física. Todos estos hechos, implican una cierta estabilidad por parte de cuerpos rígidos en rotación. Esta estabilidad intrínseca y otros fenómenos pueden ser explicados gracias al efecto giroscópico. En sí, un giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico formado esencialmente por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su eje de simetría y cuyo eje de giro no es fijo, sino que puede cambiar de orientación en el espacio. En 1851, Foucault ideó un dispositivo para poner de manifiesto la rotación de la Tierra el giróscopo (gyros, rotación; scopos, verse o poner de manifiesto). Cuando se somete el giroscopio a un momento de fuerza que tiende a cambiar la orientación del eje de rotación su comportamiento es aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en una dirección perpendicular a la dirección "intuitiva". Este principio se ha utilizado en diversas aplicaciones, particularmente en relación con el control y guía de aeroplanos, barcos, proyectiles, etc. Los giroscopios se han utilizado en girocompases y giropilotos. A su vez, la Tierra es un gran giróscopo.

La rigidez en el espacio es la tendencia que tienen todos los cuerpos en rotación a seguir girando en el mismo plano y sobre el mismo eje. La precesión es el movimiento generado al cambiar la orientación del eje (o plano) de rotación, producto de una fuerza externa que actúa perpendicularmente a la variación. Existen diversos tipos de giroscopios, de uno, dos o tres grados de libertad, dependiendo de las direcciones en que se mueve el eje de rotación, y el sistema de soporte que utiliza. Si observamos la siguiente figura se pueden distinguir tres movimientos particulares. El de giro de la rueda alrededor del eje de rotación, la precesión de dicho eje y un movimiento cicloide (como de cabeceo o tambaleo), denominado nutación.

Fig1.- movimiento cicloide del giro de una rueda. [1] 1.1 Rotación alrededor de un eje móvil. Trompo, giroscopio y Tierra. Cuando a un sólido que está girando se le aplica un momento M en la dirección del eje de giro, dicho momento produce una variación del momento cinético dL=Mdt, también en la dirección del eje, que da lugar a una variación de la aceleración angular α.

II. MARCO TEÓRICO 1.

Efecto Giroscópico

El giróscopo es un cuerpo con simetría de revolución, con un punto de su eje fijo, y girando a gran velocidad respecto de dicho eje. En estas condiciones se produce el llamado “efecto giroscópico” que describimos a continuación. [1] Los cuerpos en rotación se caracterizan por poseer dos propiedades que son la inercia giroscópica o rigidez en el espacio y la precesión.

Fig2.- DCL de un sólido que gira alrededor de un eje. [1]

De esta manera, el par de fuerzas F y F no obliga a la rueda a levantar su eje por la parte posterior y a hacerlo descender por la anterior como ocurriría si la rueda no girase sino a que le obliga a girar (su parte posterior gira hacia la izquierda y su parte anterior hacia la derecha) siempre en torno al eje Y. A este movimiento de rotación se le llama precesión, siendo Ω = dθ/dt su velocidad angular de precesión. [2] Conviene destacar dos características importantes del efecto giroscópico, aparentemente contradictorias con las leyes clásicas de la dinámica, al menos tal y como se formulan para partículas: 1. La acción de una fuerza F sobre el sólido produce un desplazamiento del eje del cuerpo en dirección perpendicular a F, en lugar de según la dirección de F. En efecto, el movimiento del eje lleva la dirección de MO = r ∧ F. 2. La acción de F y por consiguiente MO produce una velocidad de precesión constante, en lugar de una aceleración constante, como ocurriría en un cuerpo sin efecto giroscópico. Si cesa la acción de MO, cesa inmediatamente la velocidad de precesión. [1] 2.

Giróscopo

El giróscopo es un instrumento mecánico cuyo elemento fundamental es un sólido rígido de revolución con un punto fijo que gira con gran velocidad alrededor de un eje muy cercano al de revolución; es muy práctico para poner en evidencia si la rotación del mismo permanece constante respecto a la Tierra o, por el contrario, evoluciona respecto a ésta, evidenciando su rotación. El sistema de fuerzas de ligadura se reduce a una fuerza única que pasa por el centro de masas. Cuando el sólido gira a alta velocidad, la rotación inicial está dirigida según el eje de revolución, esta rotación se mantiene y es estable. Una pequeña perturbación en las condiciones iniciales o debida a interacciones se traduciría en una rotación próxima a una dirección fija. Este elemento giratorio se monta sobre un sistema de ejes que confieren al giróscopo distintos grados de libertad de movimientos, siendo el más comúnmente utilizado el denominado montaje universal, en el cual el giróscopo es libre de moverse en cualquier dirección sobre su centro de gravedad. Un giróscopo de este tipo se dice que tiene tres planos o tres grados de libertad. Un giróscopo básico es como el que se muestra en la figura, y consta de una suspensión Cardan con dos marcos (m1 azul y m2 rojo) de forma que m1 gira libremente en torno al eje e1 y m2 gira libremente en torno al eje e2 de m1. Finalmente, el sólido σ (amarillo) gira libremente en torno al eje z de m2. Los giróscopos proporcionan unos planos fijos de referencia, planos que no deben variar, aunque cambie la posición del avión (o del barco, etc.). Gracias a esto, el piloto dispone de instrumentos que le proporcionan la posición espacial del avión con respecto a distintos ejes o planos de referencia. Estos instrumentos son: indicador de actitud también llamado "horizonte artificial", indicador de giro y virajes denominado también "bastón y bola",

e indicador de dirección. Un giróscopo es, por tanto, un aparato constituido por un cuerpo de gran momento de inercia (un disco D en la figura a) que gira a gran velocidad alrededor del eje’.

Fig3.-Ejes de giro para un giroscopio. [2] La misma Tierra puede considerarse como un gran giróscopo que gira con una velocidad angular de 7,29 x 10 ∧ -5 rad/s.

Como no es una esfera perfecta, la fuerza de atracción del Sol no está aplicada en el centro O de la Tierra sino en un punto P, apareciendo entonces un momento. Su eje describe como en los casos anteriores, un movimiento de precesión. Cada veintiséis mil años describe un cono, de tal manera que su dirección, que es ahora la de la estrella polar, estará dirigida hacia la estrella Vega de la constelación de Lira dentro de 12 800 años. [2] 3.

Formulas aplicadas para el efecto giroscópico

El movimiento del cuerpo se analizará mediante los ángulos de Euler 𝜑, 𝜃, 𝛿,(fi, teta, psi). Se fija un segundo sistema de ejes x, y, z. La secuencia de estos tres ángulos debe mantenerse puesto que las rotaciones finitas no son vectores. Para cada eje tendremos una ecuación respectiva del momento que se produce en el giroscopio. ∑ 𝑀𝑋 = 𝐼(𝜃̈ − 𝜑̇ 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 ) + 𝐼𝑧 𝜑̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃(𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + ψ̇) ∑ 𝑀𝑦 = 𝐼(𝜑̈ − 2 𝜃̇𝜑̇ 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 ) − 𝐼𝑧 𝜃(𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + ψ̇) ∑ 𝑀𝑧 = 𝐼(ψ̈ − 𝜑̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜑̇ 𝜃̇𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐) Hay un caso especial, sin embargo, en el cual es posible simplificar las ecuaciones. Comúnmente conocida como precisión constante esta ocurre cuando el angulo de nutación φ y el angulo de rotación ψ permanecen constantes. Entonces se reduce a la forma [4] ∑ 𝑀𝑋 = 𝐼(𝜃̈ − 𝜑̇ 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 ) + 𝐼𝑧 𝜑̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃(𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + ψ̇) ∑ 𝑀𝑦 = 0) ∑ 𝑀𝑧 = 0 Las ecuaciones pueden simplificarse aún más observando que 𝜔𝑧 = 𝜑̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + ψ̇ de modo que

∑ 𝑀𝑋 = 𝜑̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃(𝜑𝐼𝑍 𝜔𝑧̇ − 𝐼 𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃) O bien, ∑ 𝑀𝑋 = 𝐼𝑍 𝜔𝑧̇ Ω𝑦

antes para mantenerse fijas mientras que el piloto se inclina, por lo que permiten visualizar de forma real la inclinación real que tiene el piloto en su paso por curva. De hecho, existen ya hasta cámaras en 360º que también incluyen esta función. Y sí, son una auténtica pasada. [3] III. PROCEDIMIENTO El giroscopio se lo realizo con materiales reciclados de la siguiente forma: 1. Se perforo la madera de tal moto que pudo girar libremente sobre su base y el brazo que lo sostiene. 2. Se unió los cd a la salida de un motor c.c. 3. Se instaló un motor de corriente continua 12v con un Switch de encendido y apagado para hacer girar los cd solo cuando sea necesario 4. Se colocó un contrapeso de los cd al otro extremo tratando que quede lo más horizontal posible. 5. Se alimentó al motor con 12 v para comprar su correcto funcionamiento.

Fig4.-Movimiento Giroscópico [4] 4.

Aplicaciones de los giroscopios

El primer uso que se le dio a los giroscopios fue en el estudio de los movimientos de rotación y traslación de la tierra, así como planetas y objetos en el espacio. Si desea equilibrar un robot, un giroscopio puede ser usado para medir la rotación de la posición de equilibrio y enviar correcciones a un motor. Tenemos distintos ejemplos más como lo son: 4.1. Sistemas de navegación Como muchos sabéis, no todas las horas de vuelo de un avión las llevan a cabo los pilotos. De hecho, gran parte del vuelo está realizado por el piloto automático que incluye el propio avión. Y, aunque por complejidad no es cuestión de meterse en todo el sistema de GPS y sensores que debe llevar un avión, un aparato que también emplea es un giroscopio para estabilizar la altura de los aviones. 4.2. Smartphone y otros dispositivos inteligentes La que, sin duda, es la aplicación más extendida en pleno siglo XXI es la implementación de giróscopos en dispositivos móviles para controlar la inclinación y el movimiento de nuestro Smartphone. Y es que, aunque el giroscopio y el acelerómetro sean elementos prescindibles en nuestros móviles, a día de hoy muchas aplicaciones utilizan estos aparatos para detectar la posición del móvil y utilizar esta información para mejorar la experiencia en el uso de mapas, juegos, etcétera. Si quieres saber más sobre cómo funciona el giróscopo en Smartphone, te recomiendo que leas el artículo publicado en El Androide Libre. 4.3. Cámaras giroscópicas Al comienzo de este artículo, y aunque no sea una función tan usada en la actualidad, he mencionado las cámaras giroscópicas que se utilizaban en motociclismo y otros deportes de acción. Y es que estas cámaras aprovechan las propiedades mencionadas

IV. CALCULOS Y RESULTADOS 1) Cálculos Si al giroscopio le colocamos una masa de 10gr dependiendo a que distancia se encuentre desde su eje de giro se podrá observar si su velocidad de precisión esta en sentido horario o anti horario. Por ejemplo: Colocaremos la masa de 10 gr a 10 cm de su eje de giro Masa de los cd = 22.88gr Radio del cd = 0.06m Peso del cd = 0.22 N Velocidad angular del motor = ¿

∑ 𝑀𝑋 = 𝐼𝑍 𝜔𝑧̇ Ω𝑦 1 (0.22𝑁)(0.14𝑚) − (0.32𝑁)(0.10) = (0.023𝑘𝑔)(0.06𝑚)2 (Ω𝑦 )(𝜔𝑧 ) 2 (𝜔𝑧 ) = ¿

Colocaremos la masa de 10 gr a -5 cm de su eje de giro Masa de los cd = 22.88gr Radio del cd = 0.06m Peso del cd = 0.22 N Velocidad angular del motor = ¿ ∑ 𝑀𝑋 = 𝐼𝑍 𝜔𝑧̇ Ω𝑦 1 (0.22𝑁)(0.14𝑚) − (0.32𝑁)(0.10) = (0.023𝑘𝑔)(0.06𝑚)2 (Ω𝑦 )(𝜔𝑧 ) 2 (𝜔𝑧 ) = ¿

V. CONCLUSIONES 2) Resultados Se pudo observar como el giroscopio tiende a girar dependiendo donde coloquemos la carga. En el caso que se colocó a 10 cm desde el eje de giro al contrapeso giro en sentido de las manecillas del reloj como se esperaba ya que mediante fórmulas que se lo demostró también. Y el segundo caso al colocar la masa a 5 cm del eje de giro hacia el motor, claramente se pudo observar como giro en sentido anti horario como se esperaba que lo hiciera.

El giroscopio es un en instrumento el cual se describió hace mucho tiempo, sin embargo, hasta el día de hoy tiene aplicabilidad en la vida cotidiana, sin que muchas de las personas sepan de su existencia en por ejemplo en un dispositivo pequeño que andamos a llevar en el bolsillo llamado celular para la rotación de la pantalla hasta los grandes aviones en sus sistemas de navegación automáticos. El giroscopio también es un instrumento excepcional ya que es la excepción de dos leyes físicas las cuales ya se mencionó en el documento BIBLIOGRAFIA [1] http://w3.mecanica.upm.es/~goico/mecanica/libro/cap9.pdf [2]http://www.ual.es/~mnavarro/Tema3Dinamicasolidorigido. pdf [3] https://www.factoriadeingenieros.com/giroscopio/ [4]CINEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO-INGENIERIA MECANICA-DINAMICA-12va Edición-R. C. Hibbeler