Ejer 3 265ur

Un reactor nuclear consiste en un material radiactivo encapsulado en dos cilindros de acero inoxidable. El espesor de los cilindros de acero se puede despreciar. En la parte interior del cilindro circula vapor de agua a (600+0.3n) °C que genera un coeficiente de convección de (3,5+0.3n) kW/m2°C, mientras que en la parte exterior hay aire atmosférico que se encuentra a (27+0.3n) °C y produce un coeficiente de convección de (20+0.3n) W/m2K. El reactor genera calor por unidad de volumen a razón de (3+0.3n) MW/m3 y tiene una conductividad térmica de (57+0.3n) W/m°C. Se pide: a. Dibuje el circuito térmico equivalente b. Determine la temperatura máxima dentro del reactor y las temperaturas en la pared interior y exterior del mismo c. Calcule el flujo de calor por unidad de longitud del reactor que absorbe el vapor de agua y el que se pierde en el ambiente Solución Para realizar el problema vamos a considerar un valor de n de 18. Considerando lo anterior se tiene que: W W he =25,4 2 hi=8,9 2 T e=32,4 ° C ; T i =605,4 ° C ; ; m °C m °C ; q' ' ' =8,4 ×10 6 k =62,4

W m3 ;

W m° C ; ;

r 1=0,9 m ; r 2=1,8 m

Esquema:

Encontrar: temperatura exterior e interior del reactor. Temperatura máxima. Flujo de calor por unidad de longitud del reactor que absorbe el vapor de agua y el que se pierde en el ambiente. Suposiciones: La transferencia de calor es estacionaria ya que no se tiene indicación de algún cambio con el tiempo. La transferencia de calor es unidimensional, puesto que se tiene simetría térmica con respecto a la línea central y no hay variación en la dirección axial (dirección radial).

Propiedades constantes. Se desprecia radiación. Generación de calor volumétrica uniforme. Para los valores de r 1 y r 2 se tomará r 1=0,05 n y

r 2=0,1 n

Análisis: para el desarrollo del problema se debe tener en cuenta un balance de energía en el reactor para determinar los cambios de flujo de calor en este, del cual se tiene que: Ee + Eg - Es =0 (a)

(b)Para calcular la temperatura exterior e interior del reactor se debe hacer que: '

' ''

2

2

q =q π (r 2−r 1 ) ; representa el calor generado por el reactor por unidad de longitud. Además como

'

q cond =

Donde

1 r 2 /r ¿ ¿ ln ⁡¿ 1 R'total= +¿ A 1 h1

Luego

q'cond=64,13

T e −T i R'total

realizando los cálculos se obtiene un

R'total=¿

MW m

Como se asume que la transferencia de calor es radial y estacionaria entonces la ecuación de difusión de calor estará dada por:

[ ]

1 d dT q´ r + =0 r dr dr k

Resolviendo por doble integración se tiene que Colocando condiciones de frontera

T ( r )=

−´q 2 r +C1 lnr+C 2 4k

r=r 1 ; T ¿ T 1 r=r 2 ; T ¿ T 2

Además

T2=

Nos da que

Despejando

−´q 2 r +C ln r 2 +C2 4k 2 1

T 2 −T 1=

C1

y

T1=

−´q 2 r +C ln r 1 +C2 4k 1 1

se tiene que

2 2 q´ (r 2−r 1 ) T 2 −T 1 C1 = + 4k r2 r ln ln 2 r1 r1

condiciones de 2 2 −q´ 2 2 q´ (r 2−r 1 ) T 2 −T 1 r T= (r −r 1 )+[ + ] ln +T 1 4k 4k r r r1 ln 2 ln 2 r1 r1

q'cond =

T 1−T i 1 A1 h1

Además

T2 , T1

frontera

entonces

(2)

se considera que

Por lo que despejando

como

T 2 −T 1

r −q´ 2 2 (r 2−r 1)+C 1 ln 2 +C 2 4k r1

Por

Para el cálculo de

; haciendo

1 r 2 /r ¿ ¿ ln ⁡¿ 1 +¿ A1 h1 T −T q'cond= 2 ¿ i

T1

se tiene que

despejando

T 1 =1274 233 , 42 ° C

T 2 se

tiene

que

T 2 =1388 214 , 71 ° C Luego para calcular

T max

derivamos la expresión (2) en término del radio

e igualando a cero para hallar el máximo, por lo que queda:

[

2

2

]

dT q´ q´ ( r 2−r 1 ) T 2 −T 1 1 =−2 r+ + =0 dr 4k 4k r2 r2 r Despejando a ln ln r1 r1

r=

√

[

2

2

q´ ( r 2−r 1) T 2−T 1 + 4k r2 r ln ln 2 r1 r1 2

]

Para el cálculo de

T max

r

se tiene:

se remplaza el valor

q´ 4k

obtenido de este en (2) por lo que da un

T max=1 399 413,57 ° C

(c) Para el cálculo del flujo de calor que por unidad de longitud del reactor que absorbe el vapor de agua y el que se pierde en el ambiente se usa la ley de enfriamiento de Newton:

2−¿ T e T¿ ¿ ' q conv (e) =2 π r 1 he ¿ Usando balance de energía (1) se tiene que:

q'conv (i )=´q π ( r 22 −r 21 )−q'conv (e )=44 191 035,5

W m