Ejercicios Anova 6b3p73

ANÁLISIS DE VARIANZA.

BUELVAS AYÚS SAÍL. LÓPEZ AYALA JOSÉ. PACHECO GALEANO GISELLE.

IX SEMESTRE.

OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS TERMOENERGÉTICOS. ING. RAFAEL GÓMEZ.

UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA. FACULTAD DE INGENIERÍA. INGENIERÍA MECÁNICA.

MONTERÍA – CÓRDOBA.

2015.

2 B. Saíl; L. José y P. Giselle

Análisis de Varianza

EJERCICIOS ANOVA.

3-8) En un artículo de ACI Materials Journal (Vol. 84, pp. 213-216) se describen varios experimentos para investigar el varillado de concreto para eliminar el aire atrapado. Se usó un cilindro de 3x6pulgadas; y el número de veces que esta barra se utilizó es la variable de diseño. La resistencia a la compresión resultante de la muestra de concreto es la respuesta. Los datos se muestran en la tabla siguiente.

Nivel de varillado 10 15 20 25

Resistencia a la compresión 1530 1650 1730 1490

1530 1610 1560 1500

1540 1500 1530 1510

Solución: Para los valores de resistencia a la compresión se realiza un análisis de varianza que da como resultados los siguientes:

RESUMEN Nivel de varillado 10 15 20 25

Cuenta 3 3 3 3

Suma Promedio Varianza 4600 1533.333333 33.333333 4760 1586.666667 6033.3333 4820 1606.666667 11633.333 4500 1500 100

ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones

Suma de cuadrados

Entre grupos 21466.66667 Dentro de los grupos 35600 Total

57066.66667

Grados de Promedio de libertad los cuadrados 3

7155.55556

8

4450

F

Probabilidad

Valor crítico para F

1.60799 0.262523445 4.066180551

11

De acuerdo a los resultados obtenidos posterior al respetivo análisis de varianza se puede ver que existe una correspondencia entre los datos analizados. Hecho que se sustenta en la

3 B. Saíl; L. José y P. Giselle

Análisis de Varianza

diferencia entre los valores para F y F crítico. Dicha diferencia se ilustra en la siguiente dispersión:

Resistencia a la compresion Vs. Nivel de varillado Resistencia a la compresión

1620 1600 1580 1560 1540

y = -1,6x2 + 54,4x + 1144,7

1520 1500 1480 0

5

10

15

20

25

30

Nivel de varillado

La ecuación resultante de la modelación es: 𝑅𝑐 = −1.6𝑁𝑣 2 + 54.4𝑁𝑣 + 1144.7 Al derivar se tiene: 𝜕𝑅𝑐 = −3.2𝑁𝑣 + 54.4 𝜕𝑁𝑣 Si igualamos a cero lo anterior podemos determinar el valor óptimo de n de tal modo que sea el nivel de varillado que determine la mejor resistencia a la compresión de los cilindros de concreto. −3.2𝑁𝑣 + 54.4 = 0 𝑁𝑣 =

−54.4 = 17 −3.2

Se demuestra que el nivel óptimo de varillado es de 17.

4 B. Saíl; L. José y P. Giselle

Análisis de Varianza

3-9) En un artículo de Environment International (Vol. 18, No.4) se describe un experimento en el que se investigó la cantidad de radón liberado en las duchas. Se usó agua enriquecida con radón en el experimento, y se probaron seis diámetros diferentes de los orificios de las regaderas. Los datos del experimento se muestran en la siguiente tabla.

Diámetros de los orificios 0.37 0.51 0.71 1.02 1.4 1.99

Radón liberado (%) 80 75 74 67 62 60

83 75 73 72 62 61

83 79 76 74 67 64

85 79 77 74 69 66

Solución: Para los valores de los diámetros de los agujeros se tiene el siguiente análisis de varianza:

RESUMEN Diámetro de los orificios 0.37 0.51 0.71 1.02 1.4 1.99

Cuenta 4 4 4 4 4 4

Suma Promedio 331 82.75 308 77 300 75 287 71.75 260 65 251 62.75

Varianza 4.25 5.333333 3.333333 10.91667 12.66667 7.583333

ANÁLISIS DE VARIANZA

Origen de las variaciones Entre grupos Dentro de los grupos Total

Grados Promedio Suma de de de los cuadrados libertad cuadrados 1133.375 5 226.675 132.25

18

1265.625

23

7.347222

F 30.851796

Valor crítico Probabilidad para F 3.1595E-08 2.772853

5 B. Saíl; L. José y P. Giselle

Análisis de Varianza

Debido a que los valores para F tanto crítico como normal son diferentes, quiere decir que la disposición de datos dada se puede modelar ya que existe una relación entre las variables relacionadas. Luego, se tiene la siguiente gráfica de los valores promedios:

Porcentaje de radón

Porcentaje de Radón Vs. Diámetro de los agujeros 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

y = 5,9711x2 - 25,85x + 90,401

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Diámetro de los agujeros

La ecuación resultante que modela los valores es:

𝑃𝑟 = 5.9711𝑑 2 − 25.85𝑑 + 90.401 Al derivar se tiene:

𝜕𝑃𝑟 = 11.9422𝑑 − 25.85 𝜕𝑑 Si se iguala a cero para hallar el máximo se tiene:

𝑑=

25.85 = 2.1645 11.9422

El diámetro que proporciona la mayor concentración de radón en el agua de salida de la tubería es de 2.1645 pulgadas.

6 B. Saíl; L. José y P. Giselle

Análisis de Varianza

3,30) Se investigaron cuatro diferentes velocidades de alimentación en un experimento con una máquina CNC que produce una pieza que se usa en la unidad de potencia auxiliar de un avión. El ingeniero de manufactura a cargo del experimento sabe que una dimensión crítica de la pieza de interés puede ser afectada por la velocidad de alimentación. Sin embargo, la experiencia previa indica que es probable que solo estén presentes efectos de dispersión. Es decir, al cambiarse la velocidad de alimentación no se afecta la dimensión promedio, pero podría afectarse la variabilidad dimensional. El ingeniero realiza cinco corridas de producción con cada velocidad de alimentación y obtiene la desviación estándar de la dimensión crítica en (10−3 𝑚𝑚). Los datos se muestran abajo. Suponer que todas las corridas se hicieron en orden aleatorio. Velocidad de alimentación pulg/min

Corrida de producción 1

10 12 14 16

2 0,01 0,06 0,11 0,19

3 0,1 0,09 0,08 0,13

4 0,13 0,12 0,08 0,15

5 0,08 0,07 0,05 0,2

0,07 0,12 0,06 0,11

Solución. Para la desviación estándar de la dimensión crítica de la pieza descrita se obtiene el siguiente análisis de varianza: RESUMEN Vel. De alimentación 10 12 14 16

Cuenta 5 5 5 5

Suma Promedio 0,39 0,078 0,46 0,092 0,38 0,076 0,78 0,156

Varianza 0,00197 0,00077 0,00053 0,00148

ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones

Promedio Valor de los F Probabilidad crítico para cuadrados F 3 0,00709833 5,97754386 0,006212548 3,23887152

Suma de Grados de cuadrados libertad

Entre grupos Dentro de los grupos

0,021295 0,019

16

Total

0,040295

19

0,0011875

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Análisis de Varianza

Como se ve en el análisis el valor crítico para F es menor que el valor de F, lo que quiere decir que los datos de la desviación estándar de la medida de la pieza depende de la velocidad de alimentación de la máquina. Además dicha dependencia se refleja en la siguiente gráfica:

Desviación estándar

Velocidad de alimentación Vs. desviación estándar de la dimensión crítica. 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

y = 0,0041x2 - 0,0963x + 0,6353

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Velocidad crítica

La ecuación que se ajusta a las condiciones de medida de la pieza es: 𝑑𝑒𝑠𝑣 = 0,0041𝑉 2 − 0,0963𝑉 + 0,6353 La derivada con respect a la velocidad de dicha ecuación es 𝜕𝑑𝑒𝑠𝑣 = 0,0082𝑉 − 0,0963 𝜕𝑉 Se iguala a cero y hallar el valor optimo y se tiene que 𝜕𝑑𝑒𝑠𝑣 = 0,0082𝑉 − 0,0963 = 0 𝜕𝑉 𝑉=

0,0963 = 11,7439𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑚𝑖𝑛 ≈ 12𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑚𝑖𝑛 0,0082

Entonces la mejor velocidad de alimentación de la máquina para la elaboración de las piezas que se usan en la unidad de potencia auxiliar de un avión es de 11,74390243902439 pulg/min lo cual se podría aproximar hasta 12 pulg/min para efectos de simplificación.