Ejercicios Resuelto 1 613l2c

Univ. de Alcal´ a de Henares

Ingenier´ıa T´ ecnica Industrial

Complementos de matem´ aticas.

Curso 2004-2005

Colecci´ on de ejercicios del tema 1 Las soluciones aparecen en color azul, y si dispon´eis de la posibilidad de imprimir este documento en color os lo recomiendo para facilitar el trabajo. Gracias a vuestra colaboraci´on vamos reduciendo cada curso los errores que contiene este fichero, pero todav´ıa pueden quedar algunos. Os pido disculpas por adelantado, y os agradezco por adelantado vuestra ayuda. De esa forma haremos m´as f´acil el trabajo a vuestros compa˜ neros.

Se˜ nales en tiempo discreto 1. Dada la se˜ nal

  1

−1 ≤ t ≤ 2 3≤t≤4 x [t] =  0 en otro caso 1 2

dibujar las se˜ nales: (a) x [t − 2] (b) x [4 − t] (c) x [t + 2] (d) x [n] u [2 − t] (e) x [t − 1] δ [t − 3] 2. Demostrar que: a) δ [t] = u [t] − u [t − 1] 0 ∞ P P b) u [t] = δ [t + k] = δ [t − k] k=−∞

k=0

3. Determinar si las siguientes se˜ nales son o no peri´odicas y, en el caso de que lo sean, encontrar su per´ıodo fundamental. a) x [t] = cos

πt 8



πA Soluci´ on: En cualquier se˜ nal de la forma sen t (con A, B B naturales) se puede calcular el per´ıodo fundamental N mediante la expresi´on: 2B N= k con k ∈ N A

1

Se debe buscar el menor valor (no nulo) de k que hace que N sea un n´ umero natural. En este ejemplo (A = 1, B = 8) ser´ıa: N=

2·8 k 1

y tomando k = 1 se obtiene el per´ıodo fundamental N = 16. 2t b) x [t] = sen π + 10 Soluci´ on: No es peri´odica. 2t 2t 2t 2t sen π + = sen (π) cos +cos (π) sen = − sen 10 10 10 10 Y es evidente ahora que no es peri´odica. πt c) x [t] = eiπt/16 cos 17 Soluci´ on: eiπt/16 cos



πt 17



 πit 33πit 1 = e 272 + e 272  2 

= eiπt/16

1 2

e

πit 17

− πit 17

+e



Y ahora es f´acil ver que esas se˜ nales tienen per´ıodo 544. 4. Descomponer las siguientes se˜ nales en suma de una se˜ nal par (que cumple y[−t] = y[t]) y una impar (que cumple y[−t] = −y[t]): a) x [t] = u [t] b) x [t] = αt u [t] Soluci´ on: Dada una se˜ nal x[t] cualquiera, si se define: xP [t] =

x[t] + x[−t] x[t] − x[−t] , xI [t] = , 2 2

entonces obviamente x[t] = xP [t] + xI [t], xP [t] es una se˜ nal par y xI [t] es una se˜ nal impar. En este ejemplo eso significa que hacemos: 1 1 1 1 −1 −1 1 1 u[t] = . . . , , , 1, , , . . . + . . . , , , 0, , , . . . 2 2 2 2 2 2 2 2

2

5. Si x1 [t] es una se˜ nal par y x2 [t] es una se˜ nal impar, su producto x [t] = x1 [t] x2 [t] ¿es par, impar o ninguna de ambas? Soluci´ on: Es x[−t] = x1 [−t]x2 [−t] = x1 [t](−x2 [t]) = −x[t], as´ı que x es impar. 6. Dada la se˜ nal x [t] = (6 − t) (u [t] − u [t − 6]) hacer un dibujo aproximado de: a) y1 [t] = x [4 − t] b) y2 [t] = x [2t − 3] c) y3 [t] = x [8 − 3t] d ) y4 [t] = x t2 − 2t + 1 7. La potencia P de una se˜ nal x [t] (con valores reales) se define as´ı, como la suma de los cuadrados de los valores de la se˜ nal: ∞ X

P (x [t]) =

(x [t])2

t=−∞

Dada la se˜ nal

t 3 u [−t] x [t] = 2

a) Hallar la suma A=

∞ X

x [t]

t=−∞

b) Calcular la potencia de x [t] c) Si se usa x como entrada para el sistema definido por y [t] = tx [t] , calcular la potencia de la se˜ nal de salida y [t] . 2 P∞ 3 t Soluci´ on: Para el c´alculo de la potencia u [−t] = t=−∞ 2 P0 2t 3 = 95 (Teniendo en cuenta la definici´on de u[t]) t=−∞ 2 Para calcular la potencia de la se˜ nal de salida y[t] hay que hacer la suma: !2 t t !2 0 ∞ X X 3 468 3 t u [−t] = t = 2 2 125 t=−∞ t=−∞ 3

Se trata de una suma aritm´etico geom´etrica, un poco m´as dif´ıcil que las que hemos hecho hasta ahora, pero muy f´acil si se aplican los m´etodos del siguiente cap´ıtulo. 8. Descomponer la se˜ nal  1    2 x [t] = 3    0 en

t=0 t=1 t=2 otro caso

como suma de impulsos desplazados con peso δ[t − k]. Soluci´ on: Se obtiene x[t] = δ[t] + 2δ[t − 1] + 3δ[t − 2]

Sistemas en tiempo discreto 1. Dado el sistema T mediante y [t] = T (x [t]) = x t2 a) determine si es invariante en el tiempo. b) para ilustrar el resultado del apartado a. considere que la se˜ nal de entrada es 1, 0 ≤ t ≤ 3 x [t] = 0, en el resto Entonces: (1) dibuje la se˜ nal (2) calcule la se˜ nal de salida correspondiente y [t] = T (x [t]) (3) calcular la se˜ nal desplazada y [t − 2] (4) calcule la se˜ nal desplazada x2 [t] = x [t − 2] . (5) encuentre la se˜ nal y2 [t] = T (x2 [t]) (6) compare y2 [t] con y [t − 2] . ¿cu´al es la conclusi´on? c) Repetir los dos apartados anteriores para el sistema dado por y [t] = T (x [t]) = x [t] − x [t − 1] 2. Para cada uno de los sistemas siguientes determine si son (1) estables, (2) causales, (3) lineales, (4) invariantes en el tiempo. a) T (x [t]) = g [t] x [t] con g [t] una se˜ nal fija dada. Soluci´ on: El sistema es claramente causal: s´olo se usan el valor

4

de x en t para calcular la salida en t. No es invariante porque se tiene: sistema / g[t]x[t − k]

x[t − k]

k5 retraso kkkk k k k k x[t] SSS Ssistema SSS SS)

g[t]x[t]

retraso

/ g[t − k]x[t − k]

Por otra parte, dadas dos se˜ nales: h4 suma hhhh hhhh

sistema / (x1 [t] + x2 [t])g[t]

x1 [t] + x2 [t]

x1 , x2 [t] T

TTTsistema TTTT TT )

x1 [t]g[t] x2 [t]g[t]

suma

/ x1 [t]g[t] + x2 [t]g[t]

y como los dos resultados son iguales, pasamos a comprobar si es homog´eneo. k5 producto kkk

sistema / ag[t]x[t]

ax[t]

kkk kkk x[t] SSS Ssistema SSS SS)

g[t]x[t]

/ ag[t]x[t]

producto

As´ı que el sistema es lineal. t P b) T (x [t]) = x [k] k=t0

Soluci´ on: No es invariante porque se tiene: x[t − k]

7 o o ooo x[t] OO OOO sistema OOO O' oo retraso ooo

t sistema / P x[p − k] p=t0

t P

p=t0

5

x[p]

retraso

/

t−k P p=t0

x[p]

Y como puede verse en un caso se suma desde t0 hasta t − k y en el otro desde t0 − k hasta t − k. Para la linealidad, dadas dos se˜ nales: t sistema / P (x1 [p] + x2 [p])

x1 [t] + x2 [t] 5

kkk suma kkk

x1 , x2 [t]

kk kkk

p=t0

OOO OOO sistema OOO  P O' t  x1 [p] 

  

p=t0 t P

suma

x2 [p]

t P

/

x1 [p] +

p=t0

t P

x2 [p]

p=t0

p=t0

Pasamos a comprobar si es homog´eneo. ax[t] o7 o producto o oo ooo ooo x[t] OO OOO sistema OOO O' t P

t sistema / P ax[p] p=t0

x[p]

p=t0

/a

producto

t P

x[p]

p=t0

As´ı que el sistema es lineal. t+t P0 c) T (x [t]) = x [k] k=t−t0

Soluci´ on: No es causal, porque para calcular la salida en t se usan valores posteriores como x[t + t0 ]. Es invariante porque se tiene:

6

nn retraso nnn

x[t − k]

t+t P0

sistema /

x[p − k]

p=t−t0

nnn nnn x[t] PP PPP sistema PPP P( t+t

P0

p=t−t0

6

x[p]

retraso

/

t−k+t P0 p=t−k−t0

x[p]

Y en ambos casos se suman los valores de x desde t − k − t0 hasta t − k + t0 . Para la linealidad, dadas dos se˜ nales: sistema

x1 [t] + x2 [t] 5

/

kkk suma kkkk

x1 , x2 [t]

PPP PPP sistema PPP  t+t0 P P ' 

  

(x1 [p] + x2 [p])

p=t−t0

k kkkk



t+t P0

p=t−t0 t+t P0

x1 [p] suma

x2 [p]

t+t P0

/

x1 [p] +

p=t−t0

p=t−t0

p=t−t0

Pasamos a comprobar si es homog´eneo. ax[t] n6 producto nnn n n nnn nnn x[t] PP PPP sistema PPP P( t+t P0

ax[p]

p=t−t0

x[p]

p=t−t0

t+t P0

sistema /

/a

producto

t+t P0

x[p]

p=t−t0

As´ı que el sistema es lineal. d ) T (x [t]) = x [t − t0 ] Soluci´ on: Si t0 ≥ 0 es causal, si t0 < 0 no lo es. Es invariante porque se tiene: k5 retraso kkk

x[t − k]

sistema /

kk kkk x[t] SSS Ssistema SSSS S)

x[t − t0 ]

7

retraso

t+t P0

x[t − k − t0 ]

/ x[t − k − t0 ]

x2 [p]

Para la linealidad, dadas dos se˜ nales: h4 suma hhhh

x1 [t] + x2 [t]

sistema /

(x1 [t − t0 ] + x2 [t − t0 ])

suma

/ x1 [t − t0 ] + x2 [t − t0 ]

hhhh

x1 , x2 [t] T

TTTsistema TTTT T )

x1 [t − t0 ] x2 [t − t0 ]

Pasamos a comprobar si es homog´eneo. k5 producto kkkk

ax[t]

kk kkkk x[t] SSS Ssistema SSSS S)

x[t − t0 ]

sistema / ax[t − t0 ]

/ ax[t − t0 ]

producto

As´ı que el sistema es lineal. e)

T (x [t]) = ex[t] Soluci´ on: Es causal, porque s´olo se necesita el valor x[t]. Es invariante porque se tiene: 5 retraso kkkk

x[t − k]

k kkkk Ssistema SSSS SSS)

sistema /

ex[t−k]

x[t] SSS

ex[t]

/ x[t−k] retraso e

Para la linealidad, dadas dos se˜ nales: h4 suma hhhh

x1 [t] + x2 [t]

sistema / (x1 [t]+x2 [t]) e

hhhh

x1 , x2 [t] T

TTTsistema TTTT TTT ) ex1 [t]

ex2 [t] As´ı que no es lineal.

8

suma

/ ex1 [t] + ex2 [t]

f ) T (x [t]) = ax [t] + b Soluci´ on: Es causal, s´olo se usa x[t]. Es invariante porque se tiene: 5 x[t − k] retraso kkkk k k k kkk x[t] SSS Ssistema SSSS S)

ax[t] + b

sistema / ax[t − k] + b

retraso

/ ax[t − k] + b

Para la linealidad, dadas dos se˜ nales: h4 suma hhhh

x1 [t] + x2 [t]

sistema / a(x1 [t] + x2 [t]) + b

hhhh

x1 , x2 [t] T

TTTsistema TTTT T *

ax1 [t] + b ax2 [t] + b

/ suma ax1 [t] + b + ax2 [t] + b

As´ı que no es lineal (se obtiene 2b en lugar de b). g) T (x [t]) = x [−t] Soluci´ on: No es causal, porque por ejemplo para calcular y[−1] se usa x[1], que es posterior. No es invariante porque se tiene: x[t − k]

k5 retraso kkkk k k k k x[t] SSS Ssistema SSS SSS )

x[−t]

sistema / x[−t − k]

retraso

/ x[−(t − k)]

que no es lo mismo. Para la linealidad, dadas dos se˜ nales: h4 suma hhhh hhhh

x1 [t] + x2 [t]

sistema /

x1 [−t] + x2 [−t]

x1 , x2 [t] T

TTTsistema TTTT TT ) x [−t] 1

x2 [−t] 9

suma

/ x1 [−t] + x2 [−t]

Comprobamos la homogeneidad: l5 producto lll

ax[t]

sistema /

ll lll x[t] RRR RRR sistema RRR )

x[−t]

ax[−t]

/ ax[−t]

producto

As´ı que es lineal. h) T (x [t]) = x [t] + 3u [t + 1] Soluci´ on: Es causal. No es invariante porque se tiene: i4 x[t − k] retraso iiii i i i i iiii x[t] UUUU Usistema UUUU UU*

x[t] + 3u[t + 1]

sistema

retraso

/ x[t − k] + 3u[t + 1]

/ x[t − k] + 3u[t − k + 1]

Para la linealidad, dadas dos se˜ nales: x1 [t] + x2 [t] suma gggg3 g g g g gggg x1 , x2 [t] VV VVVsistema VVVV *

sistema / x1 [t] + x2 [t] + 3u[t + 1]

x1 [t] + 3u[t + 1] x2 [t] + 3u[t + 1]

/ suma x1 [t] + x2 [t] + 6u[t + 1]

Luego no es lineal. 3. Un sistema lineal es a la vez aditivo: T (x1 [t] + x2 [t]) = T (x1 [t]) + T (x2 [t]) y homog´eneo: T (ax[t]) = aT (x[t]) Dar un ejemplo de un sistema homog´eneo pero no aditivo. Soluci´ on: Tomar por ejemplo: T (x[t]) = 10

(x[t])2 x[t − 1]

Entonces T (ax[t]) =

(ax[t])2 (x[t])2 =a = aT (x[t]) ax[t − 1] x[t − 1]

Pero desde luego T (x[ t] + x2 [t]) =

(x1 [t] + x2 [t])2 x1 [t − 1] + x2 [t − 1]

no tiene nada que ver con T (x1 [t]) + T (x2 [t]) 4. Para cada uno de los siguientes sistemas x [t] es la se˜ nal de entrada e y [t] es la se˜ nal de salida. Determinar cu´ales de estos sistemas son homog´eneos, cu´ales son aditivos y cu´ales son lineales. a) y [t] = log (x [t]) Soluci´ on: Dadas dos se˜ nales: h4 suma hhhh hhhh

x1 [t] + x2 [t]

sistema / log(x1 [t] + x2 [t])

x1 , x2 [t] T

TTsistema TTTT TT)

log x1 [t] log x2 [t]

suma

/ log x1 [t] + log x2 [t]

Luego no es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: k5 producto kkk

ax[t]

kkk kkk x[t] SSS Ssistema SSS SS)

log x[t]

sistema / log(ax[t])

/ a log x[t]

producto

As´ı que tampoco es homog´eneo, y desde luego no es lineal. b) y [t] = 6x [t + 2] + 4x [t + 1] + 2x [t] + 1 Soluci´ on: Es f´acil comprobar que no es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: ffff3 producto fffff

f fffff fffff x[t] XXXXXX XXsistema XXXXX XX+

ax[t]

sistema

/ 6ax[t + 2] + 4ax[t + 1] + 2ax[t] + 1

/ 6ax[t + 2] + 4ax[t + 1] + 2xa[t] + a 6x[t + 2] + 4x[t + 1] + 2x[t] + 1 producto

11

As´ı que tampoco es homog´eneo, y desde luego no es lineal. (x [t + 1] x [t − 1]) c) y [t] = 6x [t] + x [t] Soluci´ on: Se comprueba f´acilmente que no es aditivo. En cuanto a la homogeneidad:

6x [t] +

/ 6ax [t] + (ax [t + 1] ax [t − 1])

sistema

ax[t] iii4 producto iiii i i i ii iiii iiii x[t] VVVV VVVV sistema VVV*

ax [t]

(x [t + 1] x [t − 1]) / 6ax [t] + a (x [t + 1] x [t − 1]) x [t] x [t] producto

Este sistema es por tanto homog´eneo, sin ser aditivo. πt d ) y [t] = x [t] sen 2 Soluci´ on: Dadas dos se˜ nales: sistema

x1 [t] + x2 [t]

x1 , x2 [t]

jj4 suma jjjj j j j jj

RRR RRsistema RRR  R(

/ (x1 [t] + x2 [t]) sen πt

2

 x1 [t] sen πt 2  x [t] sen πt 2 2

πt πt / suma x1 [t] sen 2 + x2 [t] sen 2

Es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: l6 ax[t] producto lll l l lll lll x[t] RR RRRsistema RRR R(

x[t] sen

πt sistema / ax[t] sen 2

πt / ax[t] sen πt 2 producto 2

Tambi´en es homog´eneo, y por tanto es lineal. 5. Estudiar si los siguiente sistemas son invariantes en el tiempo:

12

a) y [t] = x [t] + x [t − 1] + x [t − 2] Soluci´ on: Es invariante porque se tiene: sistema

gg3 x[t − k] retraso ggggg g g g g ggggg x[t] WgWWWW WWsistema WWWWW WW+

x[t] + x[t − 1] + x[t − 2]

/ x[t − k] + x[t − k − 1] + x[t − k − 2]

retraso

/ x[t − k] + x[t − k − 1] + x[t − k − 2]

b) y [t] = x [t] u [t] Soluci´ on: No es invariante: 5 retraso kkkk

sistema / x[t − k]u[t]

x[t − k]

k kkkk Ssistema SSS SS)

x[t] SSS

x[t]u[t]

c) y [t] =

t P

retraso

/ x[t − k]u[t − k]

x [k]

k=−∞

Soluci´ on: Es invariante: x[t − k] retraso jjj5 j j j j jjjj x[t] TTT TTsistema TTTT )P

sistema / Pt

t p=−∞ x[p]

p=−∞ x[p

retraso

/

− k]

Pt−k

p=−∞ x[p]

y es f´acil comprobar que en ambos casos se suman los valores de x desde −∞ hasta t − k. d ) y [t] = x t2 Soluci´ on: No es invariante: x[t − k]

5 retraso kkk kkk k k k x[t] SSS Ssistema SSSS SSS )

x[t2 ]

13

sistema / 2 x[t − k]

retraso

/ x[(t − k)2 ]

e) y [t] = x [−t] Ya lo hemos hecho antes. 6. Supongamos que un sistema viene dado y [t] =

∞ X

x[k]x[t + k]

k=−∞

Estudiar si este sistema es (a) lineal (b) invariante en el tiempo (c)estable (d) causal. Soluci´ on: El sistema es claramente no causal: para calcular la salida en t se usan todos los valores de x. No es invariante porque se tiene: P sistema / ∞ x[t − k] p=−∞ x[p − k]x[t + p − k] 3 h h hh retraso hhhh hhh hhhh Vsistema VVVV V PV+

x[t] VVVVV

∞ p=−∞ x[p]x[t

+ p]

retraso

/

P∞

p=−∞ x[p]x[t

− k + p]

Es f´acil ver que el sistema no es lineal, porque la se˜ nal x se multiplica por si misma. 7. Estudiar cu´ales de los siguientes sistemas son causales: y [t] = x2 [t] u [t] y [t] = x [ |t| ] y [t] = x [t] + x [−3] + x [t − 10] y [t] = x [t] − x t2 − t 10 Q e) y [t] = x [t − k]

a) b) c) d)

f ) y [t] =

k=1 ∞ P

x [t − k]

k=t

Soluci´ on: Para estudiar la causalidad hay que plantearse si al calcular y[t] se emplea alg´ un valor de x en instantes posteriores a t. Con esta idea, es f´acil ver que (b) y (d) no son causales. En cuanto a (f), es un poco m´as dif´ıcil darse cuenta, pero tampoco es causal. Por ejemplo, y[−1] =

∞ X

x [−1 − k] = x[0] + x[−1] + x[−2] + · · ·

k=−1

14

8. Estudiar cu´ales de los siguientes sistemas son causales: a) y [t] = x2 [t] ex[t] x [t − 1] c) y [t] = cos x [t] t P x [k] d ) y [t] = b) y [t] =

k=−∞

e) y [t] = log (1 + |x [t]|) πt f ) y [t] = x [ |t| ] cos 8 Soluci´ on: El u ´ltimo sistema es el u ´nico no causal. 9. Estudiar cu´ales de los siguientes sistemas T son invertibles. Es decir, para cu´ales de ellos existe un sistema S (el inverso de T ) tal que si y[t] = T (x[t]) entonces x[t] = S(y[t]) Dicho intuitivamente, S deshace lo que hizo T . a) y [t] = 2x [t] Soluci´ on: Para obtener el inverso de un sistema en general hay que hacerse esta pregunta: ¿puedo recuperar x[t] a partir de y[t]? En este primer caso es f´acil ver que s´ı y que el inverso viene dado por: y[t] T −1 (y[t]) = 2 b) y [t] = tx [t] Soluci´ on: Nos gustar´ıa decir que el inverso viene dado por: T −1 (y[t]) =

y[t] t

pero un poco de reflexi´on permite entender que esto no nos permite recuperar el valor de x[0]. As´ı que el sistema no tiene inverso.

15

c) y [t] = x [t] − x [t − 1] Soluci´ on: El sistema calcula algo semejante a una diferencia, y las diferencias no se dejan invertir completamente. Ocurre como con las derivadas y las primitivas. Una funci´on tiene infinitas primitivas, que se diferencian en el valor de la constante de integraci´on. Con la antidiferencia ocurre lo mismo, hay infinitas antidiferencias, y eso impide invertir el sistema. t P x [k] d ) y [t] = k=−∞

Soluci´ on: Obs´ervese que y[t] − y[t − 1] =

t X

x [k] +

k=−∞

t−1 X

x [k] = x[t]

k=−∞

as´ı que el inverso viene dado por: T −1 (y[t]) = y[t] − y[t − 1]

10. Sean S1 y S2 dos sistemas y sea S el sistema resultante de su conexi´on en serie: S = S 2 S1 a) suponiendo que S1 y S2 son ambos lineales, invariantes en el tiempo, estables y causales ¿ser´a tambi´en S lineal, invariante en el tiempo, estable y causal? Soluci´ on: Linealidad: S2 (S1 (ax1 [t]+bx2 [t]) = S2 (aS1 (x1 [t])+bS1 (x2 [t])) = (aS2 S1 (x1 [t])+bS2 S1 (x2 [t]) en el primer paso se usa que S1 es lineal, y en el segundo que lo es S2 . En consecuencia, S es lineal. Invarianza en el tiempo: llamando y[t] = S1 (x[t]), z[t] = S2 (y[t]) sabemos que y˜[t − k] = S1 (x[t − k]) y que z[t − k] = S2 (y[t − k]). As´ı que: S2 S1 (x[t − k]) = S2 (y[t − k]) = z[t − k]

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con lo que el sistema S es invariante en el tiempo. Causalidad: el mejor argumento para ver que S es causal utiliza las respuestas al impulso de los sistemas. Si h1 , h2 son las respuestas al impulso de estos sistemas, sabemos que h1 y h2 son se˜ nales causales. Y la respuesta al impulso h de S2 S1 es la convoluci´on h2 ∗ h1 . Como la convoluci´on de se˜ nales causales es una se˜ nal causal, concluimos que h (y por tanto tambi´en el sistema S) es causal. b) si S1 y S2 no son lineales ¿es imposible que S sea lineal? Soluci´ on: S´ı. Por ejemplo si S1 (x[t]) = x[t]+t y S2 (x[t]) = x[t]−t, entonces es f´acil ver que ni S1 ni S2 son lineales, pero que S2 S1 (x[t]) = S2 (x[t] + t) = x[t] + t − t = x[t] y el sistema as´ı obtenido S(x[t]) = x[t] es trivialmente lineal. c) si S1 y S2 no son invariantes en el tiempo ¿es imposible que S sea invariante en el tiempo? Soluci´ on: S´ı. Sirve el mismo ejemplo del apartado anterior.

Convoluci´ on 1. Sea x una se˜ nal de duraci´on finita, cuyo primer valor no nulo es x [6] = 3, y cuyo u ´ltimo valor no nulo es x [24] = −4. Si se considera la se˜ nal y [t] = (x ∗ x) [t] (es decir, y es la convoluci´on de x consigo misma), ¿en qu´e posici´on aparece el primer valor no nulo de y?¿cu´al es su valor?¿qu´e se puede decir sobre el u ´ltimo valor no nulo de y? Soluci´ on: El primer valor no nulo es x[12] = 9. El u ´ltimo es x[48] = 16. 2. La convoluci´on de dos se˜ nales de duraci´on finita es siempre de duraci´on finita. Si se hace la convoluci´on de una secuencia de duraci´on finita con una de duraci´on infinita ¿se obtiene siempre una se˜ nal de duraci´on infinita? Soluci´ on: No. Consid´erese esta se˜ nal 2-peri´odica: x1 [t] = (. . . , 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .)

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(de duraci´on infinita, por supuesto) y sea x2 [t] = δ[t] − δ[t + 2]. Entonces: (x1 ∗ x2 )[t] = x[t] ∗ (δ[t] − δ[t + 2]) = x[t] − x[t + 2] Y al ser 2-peri´odica la se˜ nal, esta diferencia es 0 para todo t. As´ı que se ha obtenido una se˜ nal de duraci´on finita. (Si no nos parece satisfactorio obtener un resultado nulo, es f´acil modificar este ejemplo para obtener como resultado se˜ nales de duraci´on arbitraria. 3. Encontrar la convoluci´on de estas dos se˜ nales de duraci´on finita: 1 x [t] = 2 t (u [t] − u [t − 6]) πt y [t] = 2 sen 2 (u [t + 3] − u [t − 4]) Soluci´ on: Se obtiene f´acilmente a partir de esta descomposici´on en suma de deltas: 1 x [t] = (δ [t − 1] + 2δ [t − 2] + 3δ [t − 3] + 4δ [t − 4] + 5δ [t − 5] + 6δ [t − 6]) 2 y [t] = 2 (δ [t + 3] − δ[t + 1] + δ [t − 1] − δ [t − 3]) (para la segunda t´engase en cuenta que sen πt es 0 si t es par, y es 2 ±1 si t es impar). 4. Hallar una f´ormula (sin series, es decir sin sumas de infinitos t´erminos) que exprese el valor de la convoluci´on de estas dos se˜ nales ( t−6 x [t] = 61 u [t] 1 t y [t] = 3 u [t − 3] Soluci´ on: Ese ejercicio se podr´a hacer con mucha m´as facilidad utilizando la transformada Z del siguiente cap´ıtulo. Sin usar la transformada se trata de hacer la suma: t−k ∞ ∞ k−6 X X 1 1 x[k]y[t − k] = u [k] u [t − k − 3] 6 3 k=−∞

k=−∞

Es f´acil ver que si t < 3 todos los productos de esta suma son cero. As´ı que podemos suponer que t > 3. En ese caso u[k]u[t − k − 3] es 1 entre 0 y t − 3, y 0 en cualquier otro caso. As´ı que la suma es: 1 t−2 Pt−3 1 k−6 1 t−k 1 t Pt−3 1 k 1 t 1−( 2 ) 6 6 =6 3 =6 3 = k=0 6 k=0 2 3 1− 12 t t−2 66 31 2 − 2 12 18

Y como esto es cierto si t ≥ 3 y el resultado es 0 en otro caso, podemos poner: t t−2 ! 1 6 1 x ∗ y[t] = 6 2−2 u[t − 3] 3 2 Es un ejercicio interesante obtener este mismo resultado usando transformada Z y comparar los dos. 5. Un sistema LTI tiene respuesta al impulso dada por h [t] = u [−t − 1] Encontrar la se˜ nal de salida cuando la se˜ nal de entrada es: x [t] = −t3t u [−t] Soluci´ on: Hay que hacer la convoluci´on y[t] = (h ∗ x)[t] = u[−t − 1] ∗ (−t3t u[−t]). Y aunque es mejor hacerlo usando transformada Z, se puede emplear la definici´on para poner: ∞ X

u[−(t − k) − 1](−k3k u[−k])

k=−∞

Si t > −2 todos los t´erminos que aparecen en esta suma son nulos. As´ı que suponemos t ≤ −2 y en ese caso el producto u[−(t−k)−1]u[−k] es distinto de cero s´olo si n + 1 ≤ k ≤ 0. As´ı que la suma que tenemos que hacer es ´esta 0 X − k3k k=t+1

que se puede hacer usando antidiferencias (por partes). Se obtiene finalmente:   −t 1  3 3  + (2t − 1) si t ≤ −2 y[t] = 4 4 3   0 en otro caso

6. Si la respuesta de un sistema LTI a la se˜ nal escal´on unitario u [t] es t 1 u [t] y [t] = t 2 19

encontrar su respuesta al impulso. t Soluci´ on: Puesto que T (u[t]) = t 12 u[t], y el sistema es LTI, se tiene: t−1 1 u[t − 1] T (u[t − 1]) = (t − 1) 2 Y como u[t] − u[t − 1] = δ[t], tenemos: t t−1 1 1 h[t] = T (δ[t]) = T (u[t])−T (u[t−1]) = t u[t]−(t−1) u[t−1] 2 2

7. Hallar la convoluci´on de x [t] = (0,9)t u [t] con la se˜ nal rampa y [t] = tu [t] Soluci´ on: (x ∗ y)[t] =

10t − 90 + 90

9 10

t ! u[t]

8. Hallar la convoluci´on de t 1 x [t] = (u [t] − u [t − 101]) 3 con

t 1 u [t] y [t] = 2

Soluci´ on:  0    t     3 1 2 (x ∗ y)[t] =  t   1     3 2

t<0 t+1 ! 2 1− 0 ≤ t ≤ 100 3 ! 101 2 1− t ≥ 101 3

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αt 0 ≤ t ≤ 10 9. Sea x [t] = y sea y [t] = 0 en otro caso Hallar la convoluci´on x ∗ y.



αt 0

0 ≤ t ≤ 10 . en otro caso

10. La correlaci´ on ? de dos se˜ nales es una operaci´on, similar a la convoluci´on, definida as´ı: ∞ X x?y = x [k] y [t + k] k=−∞

a) Hallar x ? y cuando x [t] = u [t] − u [t − 6] y h [t] = u [t − 2] − u [t − 5] b) Suponiendo |α| < 1, hallar la correlaci´on de x [t] = αt u [t] consigo misma (´esto se conoce como la autocorrelaci´ on de x). 11. (a) Se sabe que la respuesta al impulso h [t] de un sistema lineal e invariante en el tiempo vale cero excepto en el intervalo T0 ≤ t ≤ T1 . Se sabe que la entrada x [t] es cero excepto en el intervalo T2 ≤ t ≤ T3 . Como resultado, la salida debe ser cero excepto en un intervalo T4 ≤ t ≤ T5 . Determine T4 y T5 en funci´on de T0 , T1 , T2 y T3 . Soluci´ on: T4 = T0 + T2 , T 5 = T1 + T3 (b) Si x [t] es cero excepto en T puntos consecutivos y h [t] es cero excepto en Te puntos consecutivos, ¿cu´al es el m´aximo n´ umero de puntos consecutivos en los que la salida puede ser distinta de cero? Soluci´ on: Lo que nos est´an diciendo es que T1 − T0 = T y que T3 − T2 = Te. As´ı que T5 − T4 = (T1 + T3 ) − (T0 + T2 ) = T + Te

12. Evaluando directamente la suma de convoluci´on, determine la respuesta al escal´on de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h [t] = a−t u [−t] , 0 < a < 1 Soluci´ on:

 −t   a 1−a y[t] =   1 1−a 21

t<0 t≥0

13. Determine la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo si la respuesta al impulso h [t] y la entrada x [t] son las siguientes a) x [t] = u [t] y h [t] = at u [−t − 1] , con a > 1 b) x [t] = u [t − 4] y h [t] = 2t u [−t − 1] c) x [t] = u [t] y h [t] = 12 2t u [−t] d ) x [t] = u [t] − u [t − 10] y h [t] = 2t u [−t − 1] e) x [t] = u [t] − u [t − 10] y h [t] = at u [t] 14. Para cada una de las siguientes respuestas al impulso de sistemas LTI ind´ıquese si el correspondiente sistema es o no causal. a) h [t] = b) h [t] = c) h [t] =

1 t 2 u [t] 1 t 2 u [t − 1 |t| 2

1]

d ) h [t] = u [t + 2] − u [t − 2] t e) h [t] = 13 u [t] + 3t u [−t − 1] Soluci´ on: S´olo son causales los sistemas para los que h[t] sea una se˜ nal causal. Es decir, que (a) y (b) son causales, pero el resto de los sistemas no son causales. 15. En los siguientes ejercicios se da la respuesta al impulso desplazado δ [t − k] de una serie de sistemas lineales en tiempo discreto. Decidir si estos sistemas son invariantes en el tiempo: a) T (δ [t − k]) = (t − k)u [t − k] b) T (δ [t − k]) = δ [2t − k] δ [t − k − 1] si k es par c) T (δ [t − k]) = 5u [t − k] si k es impar Soluci´ on: Indicaci´on: Si el sistema es invariante en el tiempo ser´a: T (δ[t − k]) = h[t − k]

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para todo k. Adem´as podemos obtener h[t] sin m´as que tomar k = 0 en las expresiones que nos han dado. As´ı por ejemplo en el segundo ejercicio h[t] = δ[2t − 0] = δ[2t] Pero si ahora cambiamos t por t−k en la expresi´on que hemos obtenido se llega a: δ[2(t − k)] = δ[2t − 2k] 6= h[t − k] = δ[t − k] as´ı que este sistema no puede ser invariante en el tiempo. 16. Sea T un sistema lineal (pero no necesariamente invariante en el tiempo), cuya respuesta al impulso desplazado δ [t − k] viene dada por h [t − k] . ¿C´omo podemos saber a partir de h [t − k] si el sistema es estable? ¿Y c´omo si es causal? Soluci´ on: Se deduce de la suma de convoluci´on: el sistema es causal si h[t − k] = 0 para t < k. 17. Supongamos que un sistema lineal T tiene la siguiente propiedad: al recibir como entrada la se˜ nal u [t − k] , produce la salida sk [t] = kδ [t − k] Hallar la respuesta del sistema a la se˜ nal δ [t − k]. ¿Es un sistema invariante en el tiempo? ¿Es estable? ¿Es causal? Soluci´ on: Usar que u[t − k] − u[t − k − 1] = δ[t − k] y la linealidad del sistema para obtener T (δ[t − k]). A partir de aqu´ı es f´acil analizar el resto de las propiedades.

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